Оценка эффективности систем вихревого прогноза тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова

на правах рукописи

Калядина Татьяна Вячеславовна ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СИСТЕМ ВИХРЕВОГО ПРОГНОЗА

| специальность 01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

! (

АВТОРЕФЕРАТ

' диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва - 2003

Работа выполнена на кафедре исследования операций факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры исследования операций, факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, Морозов Владимир Викторович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий программист, ОАО ОКБ Сухого, Попов Николай Михайлович;

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры оптимального управления, факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова, Орлов Михаил Владимирович.

Ведущая организация: Вычислительный Центр РАН

Защита диссертации состоится__2003г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 501.001.44 в Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Г'СП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан__2003г.

Учёный секретарь диссертационного совета профессор

Н.П. Трифонов

'¿.ао?- А

1. Общая характеристика работы 1.1. Актуальность темы

Во многих странах существует проблема перегруженности аэропортов. Для решения этой проблемы создают системы вихревого прогноза (СВП), позволяющие повысить эффективность работы аэропорта.

СВП моделирует и прогнозирует движения вихревых жгутов, сходящих с крыльев самолёта, с учётом типов самолётов, параметров их движения, высоты полёта и погодных условий (в особенности наличия бокового ветра). В результате этого моделирования можно определить минимальный безопасный временной или пространственный интервал для пролёта следующего самолёта.

СВП по сути представляет собой адаптивную систему для определения безопасных расстояний. Т.е. система подстраивается под изменения: погодных условий, интенсивности движения в районе аэропорта, состава движения (по типам самолетов) и веса самолета. Система предполагает возможность использования в различных аэропортах с учётом их конкретных параметров (рельеф местности, повторяемость ветров, радиус воздушного пространства аэропорта). Существует ряд аналитических и имитационных моделей, которые рассматривались в работах Н.Ашфорда и П.Х.Райта, Дж.Дж.Робинсона, В.Россоу, Т.Сарпкая, оценивающих функционирование отдельных элементов систем вихревого прогноза.

Подход предложенный в данной работе основан на рассмотрении СВП с позиции теории исследования операций. Для этого СВП рассматривается как управляемая система, характеризуемая набором случайных, неопределённых и управляемых параметров и вычисляется средняя и предельная пропускная способность взлётно-посадочной полосы (ВПП) на основе гибко понимаемого принципа гарантированного результата.

Время, затрачиваемое на обслуживание ВПП каждого прилетающего самолёта зависит от определённых правил, разработанных Международной

Организацией Гражданской Авиации

ограничения на допустимые расстояния при эшелонировании самолётов и обеспечивают их полную безопасность. Эти расстояния установлены ИКАО без учёта погодных условий. СВП позволяет оценить безопасный интервал для последовательного обслуживания пары самолётов с учётом погодных условий, который часто бывает меньше стандартного, определённого правилами ИКАО. Поэтому использование СВП позволяет увеличить пропускную способность ВПП. В результате повышается интенсивность движения самолётов в районе аэропорта и увеличивается эффективность его работы.

Построение оценки эффективности СВП в работе основано на сравнении пропускных способностей ВПП при использовании следующих двух методов эшелонирования самолётов: первого, основанного на правилах Международной Организации Гражданской Авиации (ИКАО) и второго, использующего систему вихревого прогноза (СВП). Оценить эффективность работы СВП необходимо для обоснования её применения, и в этом состоит актуальность темы диссертации.

1.2. Цель работы

Построение оценки эффективности СВП в зависимости от степени детализации СВП.

1.3. Методы исследования

Методологическую основу работы составляют современные методы математической теории исследования операций, теории вероятности, теории массового обслуживания, численных методов, теории дифференциальных уравнений, математического анализа.

1.4. Научная новизна

Научная новизна заключается в получении следующих основных результатов:

1. Предложен общий подход к оценке эффективности функционирования системы вихревого прогноза, основанный на теории исследования операций, учитывающий влияние случайных и неопределенных факторов и степень информированности о них. Построена универсальная модель, учитывающая погодные условия, рельеф местности, типы прибывающих самолетов, параметры конкретного аэропорта, и позволяющая вычислять безопасные временные и пространственные интервалы при движении самолетов и' оценивать эффективность работы систем вихревого прогноза, в зависимости от степени детализации системы.

2. Предложена модификация модели Грина затухания вихрей, учитывающая разрушение вихрей под влиянием турбулентности атмосферы и трения при движении в вязкой среде, для случая цилиндрических вихрей. Выведена формула для импульса, создаваемого двумя цилиндрическими вихрями.

3. Поставлена и исследована оптимизационная задача, возникающая при определении радиуса опасной зоны вокруг вихря, для различных значений коэффициента турбулентной вязкости.

4. Описан процесс прибытия и посадки самолётов как система массового обслуживания. Для этой системы определена средняя пропускная способность взлетно-посадочной полосы при наихудшем варианте расположения самолетов в эшелоне.

1.5. Практическая значимость работы

Полученная оценка эффективности показывает возможность повышения пропускной способности при использовании СВП достаточной степени

детализации. На основе предложенного подхода, для каждой конкретной СВП может быть найден соответствующий процент повышения пропускной способности ВПТТ, что позволяет делать выводы об эффективности применения того или иного варианта СВП.

1.6. Теоретическая ценность

Теоретическая ценность состоит в том, что вместо получения оценок эффективности каждой конкретной СВП, предложен подход, позволяющий оценить эффективность произвольно взятой СВП.

1.7. Структура и объём работы

Работа содержит 94 страницы, библиография состоит из 38 названий.

1.8. Публикации

Основные результаты работы опубликованы в [1-3].

1.9. Апробация работы

Результаты исследования были представлены на научной конференции МГУ «Ломоносовские чтения» (Москва, 2002) и 3-ей московской международной конференции по исследованию операций.

2. Основное содержание работы

Работа состоит из введения, четырёх глав и заключения. Во введении представлен обзор различных методов определения пропускной способности

4

ВПП, формулируется постановка задачи, описываются особенности модели, представленной в данной работе и подходы, используемые для построения оценки эффективности СВП.

В первой главе приведены математические основы движения вихрей: формулируются дифференциальные уравнения, описывающие движение вихрей, сходящих с крыла самолёта, рассматривается учёт влияния земли при помощи отражённых вихрей, влияние погодных условий (бокового ветра, плотности воздуха, температуры, вязкости воздуха) и параметров самолёта (вес, размах крыла, посадочная скорость). В первой главе описывается поведение вихрей, сходящих с крыла самолёта и рассматривается качественная картина движения вихрей, начальная скорость опускания вихрей и разрушение вихрей в зависимости от времени, выводится формула для импульса создаваемого двумя цилиндрическими вихрями.

Для рассмотрения вихревой картины в работе вводится следующая система координат: ось Оу направлена вертикально вверх, ось Ох - вдоль ВПП от ее торца к началу, а ось Oz направлена так, чтобы три оси образовывали правую тройку. Вихревая картина рассматривается в плоскости х = Const, перпендикулярной оси Ох. Обозначим (у,(/),z,(t)) - координаты точки пересечения оси /-го вихря с рассматриваемой плоскостью, а Г,. = Г,(г) -циркуляции г-го вихря, зависящие от времени t, i = \,...,n, >'((0)->'Г, 21(0) = zi°, i = l,.„, и координаты центров вихрей, в начальный момент времени.

При изучении движения вихрей необходимо учитывать влияние Земли. Для этого, кроме исходных основных вихрей, рассматривают отраженные относительно поверхности Земли вихри с координатами {-у,,г) и циркуляцией -Г,. Кроме того, необходимо учитывать влияние ветра. С учётом влияния Земли и ветра система уравнений примет вид

¿5.-1

¡л

где = +(г,-г^ - расстояние между г-м действительным и ]-м

отраженным вихрями, а и - составляющие скорости ветра по осям Оу и Ог соответственно.

При этом для двухвихревой модели качественная картина движения вихрей будет следующей: вихревые жгуты опускаются вниз и вблизи Земли при отсутствии ветра расходятся в разные стороны и асимптотически

приближаются к Земле на расстояние равное половине размаха крыла - ~.

Для эллиптически нагруженного крыла начальная циркуляция Г0 и начальная скорость «0 опускания вихрей равны

г 80

рУхГ и°~рУ^12'

где р - плотности воздуха, в - веса, V - скорость, / - размах крыла самолёта.

Вследствие трения о воздух и турбулентности воздушной среды вихрь

разрушается. Ослабление вихря учитывается следующим образом: в

уравнениях циркуляция считается не постоянной, а учитывается её зависимость

от времени -

г(0

-Г*

1 - е4"''

V /

я „ -о.з^

0.3 '' _/'_

0.3

Ч "о

г р 2'09 1 г Р2т ° 8/' к 2 Г° 8 Гп2

где V* [м2/с] - коэффициент турбулентной вязкости, Св - коэффициент вязкости ж

для твёрдого тела, /' = —/, <? =д'и0. Первый множитель показывает уменьшение 4

скорости движения частиц под воздействием прямолинейного концентрированного вихря в вязкой несжимаемой среде, второй множитель соответствует модифицированной модели Грина, описывающей разрушение вихрей вследствие турбулентности атмосферы. При выводе этой формулы доказана Теорема 1: Импульс, создаваемый двумя цилиндрическими вихрями одинакового радиуса, не зависит от величины этого радиуса и равен I --рТГ, где V - расстояние между центрами вихрей.

Дифференциальные уравнения движение вихрей описывают общий случай, когда вихревой жгут составляют п вихрей. В данной работе рассматривается двухвихревая модель и случай, когда вихревой жгут составляют девять вихрей. Случай девяти вихрей рассматривался для получения более детальной картины движения вихревых жгутов.

Вторая глава посвящена определению радиуса опасной зоны вокруг вихря. В ней рассматривается воздействие вихря на самолёт (изменение положения самолёта, вызванное вихрем), вводится понятие радиуса опасной зоны и формулируется условие опасной зоны, решается оптимизационная задач, связанная с определение радиуса опасной зоны.

Вокруг места, где пролетел самолет, создаётся так называемая опасная зона, связанная с воздействием вихрей в этой области. Со временем вследствие трения о воздух вихрь рассеивается, при этом размеры опасной области уменьшаются. Поэтому важно знать зависимость размера опасной зоны от времени /?(/). Под воздействием вихря самолёт приобретает вращение вокруг своей оси. Тонкий вихрь воздействует на крыло и вызывает его вращение со скоростью ы% Угловая скорость вращения сначала возрастает, а через некоторое время устанавливается постоянной, равной а>х.

Рассмотрим плоское крыло размаха I, разбиваемое плоскостью

симметрии самолёта на две части: левое и правое полукрыло. В начальном

7

положении точки крыла располагаются в плоскости Охг и имеют координаты (х,Я,г), 1[х)<\г\<Ь{х), х3 < х < х,, где неотрицательные функции ¿(х) и ¿(х) при г > 0 задают границы контура правого полукрыла, а Я - высота полёта.

Пусть вихрь пересекает плоскость Оуг в точке (о,Н+у0,г0). В точке (х,Н,г) такой вихрь вызывает перемещение частиц воздушной среды вдоль оси Оу со скоростью

с

v(z)=(v,(z),v2(z)) =

г

Av* t

litr2

1-е

r(4

(у-уо)

f N

4/ t

2nr

1-е

r(0

где г = )2 + (г - г0 )2 - расстояние между точками (х, Н, г) и (х, Н + у0, г0).

Скорости в различных точках крыла (х, Н, г) вызывают его

вращение с угловой скоростью ах вокруг некоторой оси, параллельной оси Ох

W

и проходящей через точку | 0,# + [/„,—

«а.

. Параметры (U0,JV0) и скорость юх=а,

найдены методом наименьших квадратов из решения задачи

C(a,U(nlVa)= J J(v,(^)-W0 +zafdzdx+ J J(v2(z)-U0a)2dzdx -> min,

где двойной интеграл берётся по площади крыла.

О > '-'о ~~ Г С 1 , '

I ¡аЫ* а^йЬабс

| (1гс1х

х,1(хЦх\^(х)

В работе рассмотрены частные случаи этой формулы для крыла прямоугольной и трапециевидной формы.

рУ2

Вихрь вызывает момент крена Мх = тх811-^-, где тх коэффициентом момента, 5 - площадь крыла. Требуется найти момент, необходимый для того,

чтобы вернуть самолет в первоначальное положение. Более того, необходимо заставить его вращаться в противоположную сторону со скоростью -сох. Когда самолёт вращается вокруг оси Ох1, возникает так называемый демпфирующий момент, препятствующий этому вращению. Через некоторое время момент крена самолета будет совпадать с демпфирующим моментом и скорость вращения тх станет постоянной ( а движение - установившееся). Коэффициент демпфирующего момента равен

где т"* - аэродинамическая производная коэффициент момента крена по безразмерной скорости вращения <ох. Для самолёта величина тх' известна.

Для того, чтобы ликвидировать вращение и вернуть самолет в исходное положение, необходимо создать противоположный момент сил с удвоенным коэффициентом тх=2тх(а>,). Чтобы самолет заставить вращаться в противоположном направлении нужно преодолеть оба этих момента. Таким образом, для возвращения самолета в исходное положение необходимо создать момент сил с коэффициентом

Противодействующий момент создаётся с помощью элеронов. Элероны с углом отклонения 8 создают момент сил с коэффициентом тх(з)=тхд, где аэродинамическая производная т" коэффициента момента сил предполагается известной.

Запишем следующее условие, при котором вихрь с координатами (у0,г0) представляет опасность для самолёта:

Здесь 6„ - максимальный угол отклонения элеронов, т.е. требуется проверить условие

/00= тах , (1)

21 т>

Кроме условия (1) существует ещё одно условие, связанное со временем в течение которого происходит крен самолёта. Момент у, инерции самолёта, момент крена и демпфирующий момент связаны равенством

"Ж 4 4 А

ш

где /(;)- угол крена за промежуток времени /. Решение этой задачи Коши при

1 = 1

/ „- . \

у{г') = сох

47.

е -1

ч у

т*-Б1грУ

ч *

где /*- время, необходимое для того, чтобы лётчик успел среагировать на возникновение крена, а элероны создать соответствующий противодействующий момент.

Для всех типов самолётов должно быть выполнено неравенство у' > у^'), где у'- предельно допустимый угол крена.

Таким образом, имеем два условия опасности вихря: условие (1) и условие у' > /(/'). Используя их, формулируется условие опасной зоны.

1). Если условие у' > /(/*) не выполнено, то вихрь считается опасным,

2). Если условие у' > у{(') выполнено, но не выполнено условие (1) , то

вихрь также считается опасным.

При этом цилиндр вокруг вихря радиуса Л будет опасной зоной. При заданном г определим радиус опасной зоны К (г) как максимальное Я, при котором выполняется условие опасной зоной.

Для прямоугольного крыла максимум в задаче (1) достаточно искать только по части окружности, лежащей в первой координатной четверти.

Нетрудно проверить, что ç'(s)<0,ç"(s)>0 и функция ç>(s)убывает и

выпукла при î>0. Задача (1) сводится к нахождению максимального и

1/2

минимального значения функции Ф(г0) = jV(z,z0)fife на отрезке [0,Д], где

-1/2

s = s [z, z0 ) = г2 = (jo )2 + (z - z0 )2 = R2 + z2 - 2zz0 > 0, a = 4vt > 0

S

Ç>(s)='~—, s> 0, = ^(z,z0)=z(z-z0)î»(j(z,z0)).

Теорема 2. При R>l/2 функция Ф(г0) вогнута, её максимальное значение на отрезке [0,Л] достигается в точке z0= 0, а минимальное - в точке z0=R.

Аналогичные теоремы получены для случая v' = 0 для тонких и цилиндрических вихрей. В конце главы доказанно

Утверждение 1. Для цилиндрических вихрей при v' = 0 и —£ функция

Ф(г0) вогнута.

В третьей главе определяются соотношения между временными и пространственными интервалами между самолётами при движении в эшелоне и на глиссаде, при этом рассматриваются два случая: когда используются интервалы, заданные ИКАО, и интервалы, возникающие при использовании СВП. В данной модели оценки эффективности СВП для определения вихревой опасности от пролетевшего самолета использована система окон. На заданной высоте строится окно, определённых размеров (обычно по размерам оно вдвое больше окна, в котором пролетают самолёты), причем центр окна должен лежать на глиссаде. Предполагается, что самолёт проходит по центру окна и рассматривается поведение образовавшихся от него вихрей. Самолеты удобно рассматривать парами, поскольку вихревая опасность от пролетевшего самолета (лидера) во многом зависит от параметров следующего за ним самолета («ведомого»). Для всех типов самолётов используется одна и та же система окон, но их размеры необходимо увеличивать на радиус опасной зоны R{t). Окно считается свободным от вихря в двух случаях:

- вихрь покинул окно, расширенное на радиус опасной зоны;

- вихрь не покинул окно, но стал безопасным. Обозначим через к номер окна. Для каждой пары (/,у) (/ - тип ведомого, ]-тип лидера) и для каждого окна с номером к вычисляется время его освобождения и, от вихрей. Для нахождения 4 необходимо используется решение системы дифференциальных уравнений движения вихрей. Зная для каждого окна, найдём максимальное время освобождения по всем окнам 1Я = тах/"*, которое будем полагать равным минимальному безопасному

временному интервалу между самолётами пары (/,/).

Все прилетающие в аэропорт самолеты упорядочивают в эшелон вдоль центральной линии. При этом скорость движения в эшелоне V' устанавливают постоянной до начала глиссады длины Я. полагалась равной 11143 м. Самолеты вдоль центральной линии летят на одной высоте, соответствующей точке начала глиссады. В работе предполагается, что самолеты делятся на N типов. Для поиска минимальных безопасных интервалов самолёты объединяются в пары (¡,у) по порядку их следования, где у - тип лидера, г- тип ведомого. Самолеты должны соблюдать в эшелоне безопасные пространственные интервалы до глиссады и на глиссаде и временные интервалы: /„ -интервал между самолётами на глиссаде, - интервал между посадками самолетов. Кроме этого, с каждым самолётом типа _/ связаны следующие параметры: - посадочная скорость, ^ <У', а, >0 - величина замедления вдоль глиссады, - время прохождения глиссады. Найдем соотношения между введёнными величинами ^ и с/,*.

Для определения минимальных безопасных интервалов и оценки эффективности СВП в данной модели требуется:

1. расчет пропускной способности ВПП в случае использования правил ИКАО. В этом случае <1Ч задаются стандартами ИКАО и по ним требуется

найти и с/*..

2. расчет пропускной способности ВПП при использовании СВП. В этом случае известны из предыдущих вычислений времён освобождения окон и по ним требуется найти , (,у, с1ч.

Таким образом, имеем две задачи:

Задача 1. При заданных йч требуется найти d'J, г,у.

Задача 2. При заданных требуется найти (1'^, г/у, . Решение задачи 1.

1-ый случай, а,<а1.

<Г„-

2Sa,

Í

2Sa,

V'ÍY' + YjY

2a, „ , 2 SV 2S2a,

s(v-r[ (r+vj)

sfrJ

2-ой случай, a,>a¡.

t + t -t 'и y• ' '« 1J'

а расстояния определяется по той же формуле, что и в случае 1. Решение задачи 2.

1-ый случай, а,<аг

/,=/„ = V.t, <.J = p- + í/-<y => d^V'^-t.+tj).

2-ой случай, а, > ar

„ ~ t\a, ~ ta.

При условии t =—5-1— <t, , где t =-—.

a,-aJ 0,-aj

, „. . 1 a,aj{hf . z a, a¡

Если 7= >?;,TO a, -a.

Четвёртая глава посвящена рассмотрению аэропорта как системы массового обслуживания. В ней приведены некоторые сведения о цепях Маркова, необходимые для моделирования работы ВПП. Описывается цепь Маркова возникающая моделировании процесса посадки самолётов. В четвёртой главе формулируется и решается задача поиска максимальной длины эшелона и рассматривается оценка пропускной способности ВПП в двух случаях: при фиксированной величине скорости бокового ветра и при различных величинах бокового ветра, взятых с учетом статистических данных о повторяемости ветров в районе аэропорта, установленных за длительный период наблюдений.

В работе самолеты занумерованы в том порядке, в котором они заходят на посадку: п = 1,2,... . Процесс появления самолетов в эшелоне - это случайный процесс. Для его описания вводится функция v(/), показывающую число самолетов в эшелоне в момент времени t. При фиксированном начальный моменте времени t = 0, v„=v(/„ + о) - количество самолетов, находящихся в эшелоне после того, как сел самолет с номером п, где /„- время посадки самолета с номером и.

Кроме этих величин, рассматриваются ещё интервалы времени между двумя последовательными посадками^ =t„-t„., и д„ - число самолетов, добавившихся в эшелон за время т]п.

Зависимость между введенными параметрами vn и Д„ будет следующая: Для этого рассмотрим два случая:

1. v„_, > 1, т.е. в момент времени после посадки самолета с номером п-1 в эшелоне ещё остались самолеты. В этом случае v, равно сумме числа самолетов, бывших в эшелоне до посадки (n-l) - го самолета, и числа самолетов, добавившихся за время т]п без приземлившегося (n-l) - го самолёта.

(

2. = 0, т.е. в момент времени /„_, после посадки самолёта типа у с номером п-1 эшелон оказался пуст по причине того, что следующий за ним самолёт типа / идёт с временным промежутком, большим ^. В этом случае V» = А„ • Итак,

\д„, у„_,=0.

Предполагается, что самолеты прибывают по пуассоновскому закону с параметром Я. Тогда можно найти безусловную вероятность того, что за время г}л в эшелон добавилось ровно к самолетов.

1. 21. В этом случае т]„ - случайная величина, принимающая значение /1у с вероятностью р1р1 и

к\

~Р,Р] =/*•

2- ^.,=0,

^{А. =*} = ££-----г,---—Р.Р,=8>-

¡.1 ].\ к\

Рассматривается цепь Маркова с бесконечным множеством состояний / = 0,1,... , где /- число самолётов в эшелоне. С помощью вероятностных распределений {/4} и {#,} составим матрицу вероятностей перехода

Построенная цепь является неприводимой и непериодической. Для неё пайдено условие, при котором существует стационарное вероятностное распределение п = (пй, ж„...) с положительными компонентами.

8о Я. 8 2 8.

/о /, Л Л

0 /о /, /_.

0 0 /о /л-2

1=0

Утверждение 2. кк > 0, к = 1,2,....

Итак, условие Лт< 1 обеспечивает существование стационарного распределения вероятностей як > 0, к = О,1,2,... , где

N N

- среднее предельное время обслуживания самолётов.

В случае Лт> 1, стационарного распределения вероятностей на множестве состояний не существует, а Ит р!"' ~ 0, 1 = 0, 1,2,... т.е., что число

самолётов в эшелоне неограниченно возрастает. В работе предполагается, что Лт <1.

В общем случае число самолётов в эшелоне и его длина являются случайными величинами. Длина эшелона не может превышать некоторой изначально заданной величины Л, зависящей от параметров конкретного аэропорта. Если в эшелоне находится к самолётов типов е{1,

расстояния между которыми равны д, тогда длина эшелона

+ <1'А + - функция, зависящая от последовательности типов самолётов и их числа - к0.

Задача нахождения максимального числа ка, при котором по всем последовательностям типов г,,^,...,^ длина эшелона не превзойдет Я решается методом динамического программирования. Для каждого целого к>2 требуется рассмотреть - /к (/) максимальную длину эшелона, содержащего к самолётов, причём Л-ый самолёт заданного типа и далее, последовательно вычислять функции

Ш = Л™/"' - = -

и проверять неравенство

тах /.(/)<Л.

Максимальное к, при котором последнее неравенство выполнено является искомым кй.

Если в эшелоне находятся к<к0 самолётов и в воздушное пространство аэропорта прибыл ещё один самолёт, совершающий посадку на заданную ВПП, тогда возможен один из двух случаев:

1. если к +1 < кй, то прилетевший самолёт пристраивается в конец эшелона,

2. если к+1>ка, то при неблагоприятном стечении обстоятельств самолёт вынужден будет пойти на второй круг.

Таким образом, возникает задача поиска максимального значения параметра пуассоновского процесса Л , при котором выполнено неравенство

*о

*=*0+1 ыо

где а - заданная, предельно допустимая вероятность того, что эшелон будет состоять более, чем из к0 самолётов.

Искомое значение Л0 будет оценкой пропускной способности ВПП. Расчёты показывают, что функция р(Л) - возрастающая и Лц является корнем уравнения р(л) = а. Для поиска корня можно выбирается некоторый начальный отрезок [Л,,Л2], где Л, мало, а Л2близко к 1/г, и применяется метод деления отрезка

пополам. Вычисления останавливаются в случае если длина отрезка локализации корня будет меньше заданного малого числа е0 > 0.

При расчёте пропускной способности ВПП учтены статистические данные о повторяемости ветров в районе аэропорта, установленные за длительный период наблюдений.

В заключении приведены основные результаты вычислений, полученные в работе. Для метода эшелонирования, с использованием СВП пропускная способность ВПП вычислена для двух случаев: для двухвихревой модели и для моделирования вихревого жгута при помощи девяти вихрей. Оба случая рассматривались при с* = 0 и с* = 0.01. Таким образом, получены четыре значения Я. Эти значения являются логически упорядоченными: наблюдаемое

17

увеличение пропускной способности ВПП при увеличении v', связано с разрушением вихрей в следствие трения в вязкой среде, а уменьшение пропускной способности ВПП при увеличении числа вихрей, используемых для моделирования вихревых жгутов, вызвано тем, что большее число вихрей даёт более подробную картину вихревого следа.

Кроме этого вычислена пропускная способность ВПП для эшелонирования с использованием правил ИКАО. Сравнение этих значений и позволяет оценить эффективность СВП.

Таким образом, для рассматриваемой модели СВП для значений постоянных параметров системы, получена оценка показывающая, что использование СВП позволяет, в среднем на 11%, увеличить пропускную способность ВПП.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

[1] Belotserkovsky A.S., Kalyadina T.V., Morozov V.V. A Model for the Vortex Forecasting System Performance. Сборник «Тезисы докладов 3-й Московской международной конференции по исследованию операций ». - М: ВЦРАН, 2001, с.13.

[2] Калядина Т.В., Морозов В.В. О вычислении радиуса опасной зоны вокруг вихря. Сборник «Прикладная математика и информатика» №12, 2003, с. 71.

[3] Калядина Т.В. Оценка эффективности системы вихревого прогноза. - М:, 2003. Деп. в ВИНИТИ 21.01.03. № 122-В2003.

' 14 8 5 5

Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. 102 Тираж 100 экз. Заказ №64

Введение

Различные методы определения пропускной способности ВПП.

Структура работы.

Глава 1. Математические основы движения вихрей

§1.1. Уравнения движения вихрей.

§ 1.2. Уравнения движения для случая восемнадцати вихрей.

§ 1.3. Разрушение вихрей.

Глава 2. Определение радиуса опасной зоны вокруг вихря

§ 2.1. Изменение положения самолета, вызванное вихрем.

§ 2.2. Момент крена самолёта, вызванный вихрем.

§ 2.3. Критерий вихревой опасности.

§ 2.4. Исследование экстремальной задачи.

§ 2.5. Исследование экстремальной задачи при v* = 0.

Глава 3. Метод определения безопасных интервалов

§3.1. Вычисление безопасного временного интервала.

§3.2. Соотношения между безопасными интервалами.

Глава 4. Аэропорт как система массового обслуживания

§ 4.1. Сведения о цепях Маркова, необходимые для моделирования работы ВПП.

§ 4.2. Распределение времени обслуживания самолёта.

§ 4.3. Распределение числа самолётов в эшелоне.

§ 4.4. Задача поиска максимальной длины эшелона.

§ 4.5. Оценка пропускной способности ВПП.

§4.6. Сравнение полученных пропускных способностей ВПГТ для различных методов эшелонирования самолётов.

Во многих странах существует проблема перегруженности аэропортов. Для решения этой проблемы создают системы вихревого прогноза (СВП), позволяющие повысить эффективность работы аэропорта.

Цель создания СВП - это моделирование и прогнозирование движения вихревых жгутов, сходящих с крыльев самолета, с учетом типов самолетов, параметров их движения, высоты полета и погодных условий (в особенности наличия бокового ветра). В результате этого моделирования можно определить минимальный безопасный временной или пространственный интервал для пролета следующего самолета.

СВП по сути представляет собой адаптивную систему для определения безопасных расстояний. СВП подстраивается под изменения погодных условий, интенсивности движения в районе аэропорта и состава движения (по типам самолетов), веса самолета и степени его загруженности. Система предполагает возможность использования в различных аэропортах с учетом их конкретных параметров (рельеф местности, повторяемость ветров, радиус воздушного пространства аэропорта).

Подход, предложенный в данной работе, основан на рассмотрении СВП с позиции теории исследования операций. Для этого СВП рассматривается как управляемая система, характеризуемая набором случайных, неопределенных и управляемых параметров, и вычисляется средняя и предельная пропускные способности взлетно-посадочной полосы (ВПП) на основе гибко понимаемого принципа гарантированного результата [4].

Время, затрачиваемое на обслуживание посадки каждого прилетающего самолета, зависит от определенных правил, разработанных Международной

Организацией Гражданской Авиации (ИКАО). Правила ИКАО накладывают ограничения на допустимые расстояния при эшелонировании самолетов и обеспечивают их полную безопасность. В табл. 7 в конце текста указаны существующие стандартные минимальные допустимые интервалы. Эти 4 расстояния установлены ИКАО без учета погодных условий. СВП позволяет оценить безопасный интервал для последовательного обслуживания пары самолетов с учетом погодных условий, который часто бывает меньше стандартного, определенного правилами ИКАО [11]. Поэтому использование СВП позволяет увеличить пропускную способность В1111. В результате повышается интенсивность движения самолетов в районе аэропорта и увеличивается эффективность его работы.

Оценить эффективность работы СВП необходимо для обоснования применения системы. Построение оценки эффективности СВП основано на сравнении пропускных способностей Bill! при использовании следующих двух методов эшелонирования самолетов: первого, основанного на правилах Международной Организации Гражданской Авиации (ИКАО), и второго, использующего систему вихревого прогноза (СВП).

Проблема состоит в создании специальной модели, которая бы оценивала увеличение эффективности функционирования аэропорта, которое и будет являться оценкой эффективности самой СВП. В данной работе количественным критерием, по отношению к которому оценивается эффективность системы, является Л0 - среднее число посадок в час.

Некоторые факторы, рассматриваемые в модели, считаются случайными величинами, имеющими известное распределение. К ним относятся: тип прибывающего самолета г, моменты прибытия самолетов в аэропорт, распределенные по пуассоновскому закону, время обслуживания самолета /,7, которое определяется типами j и / последовательно приземляющихся самолетов. Ряд факторов, учитываемых моделью, полагаются известными и фиксированными: повторяемость ветра в районе аэропорта, параметры движения самолетов вдоль глиссады и параметры аэропорта.

Различные методы определения пропускной способности ВПП

Рассмотрим существующие подходы к определению пропускной способности ВПП. Пропускную способность элемента аэродрома выражают в количестве операций (взлетов - посадок), которое может быть выполнено в единицу времени при конкретных условиях эксплуатации. В нашем случае рассматривается пропускная способность ВПП как максимальное количество посадок, которое может быть выполнено за один час.

Пропускная способность ВПП зависит от многих факторов: условий окружающей среды, расположения ВПП и системы рулежных дорожек (РД), технических характеристик обслуживаемых самолетов, состояния поверхности ВПП, стратегии, выбранной диспетчерами при организации очередности движения воздушных судов, допускаемой вероятности ее нарушения и т.п.

Существуют различные методы определения пропускной способности

ВПП.

Простейший метод определения пропускной способности ВПП.

Простейший метод основан на проведении обширных статистических исследований движения самолетов в действующих аэропортах, т.е. рассматривается информация о реальных посадках на некотором отрезке времени [10, 37]. Этот метод очень трудоемкий и требует обработки большого количества информации.

Рассмотрим другие методы определения пропускной способности ВПП.

Определение пропускной способности ВПП методами теорий массового обслуживания. Кроме уже описанных подходов, существуют методы оценки пропускной способности ВПП, основанные на теории массового обслуживания. Так как полеты на гражданских авиалиниях выполняют по расписанию, можно было бы предположить, что прибытие самолетов имеет регулярный характер. Однако установлено, что между ожидаемым и фактическим временем прибытия воздушных судов существует значительное различие, а сам процесс прибытия воздушных судов носит случайный, а не регулярный характер.

Для описания процесса функционирования ВПП, работающей только на обеспечение посадок, может быть использована теория систем массового обслуживания. Под продолжительностью обслуживания понимается продолжительность занятия ВПП последним прибывшим самолетом, исключающая возможность прибытия последующего самолета [23]. Закономерность прибытия воздушных судов может быть аппроксимирована распределением Пуассона с параметром X - средним числом самолетов, прибывающим в единицу времени. Пусть прибывающие самолеты классифицируются по N типам, Т - время обслуживания самолета i -го типа, вероятность прибытия которого равна pt. Тогда время обслуживания самолета N является случайной величиной с математическим ожиданием Т' и

N ( \2 дисперсией D* = ~т) ■ 1 1

В пределе (при длительной работе аэропорта) преобразование Лапласа для распределения случайной величины времени обслуживания задается формулой Хинчина [5]

1 -XT' со где h(s)~ Je~xsdH(x) - преобразование Лапласа для функции распределения о длительности обслуживания Н(х). Из формулы Хинчина следует выражение для математического ожидания времени обслуживания:

Аналогичная формула существует для производящей функции числа требований на обслуживание (в нашем случае числа самолетов в эшелоне): где пп, п > 0 - предельное распределение числа самолетов в эшелоне. Отсюда можно вывести среднее число самолетов п в эшелоне:

При вычислении пропускной способности ВПП таким методом не учитывается зависимость безопасных разделяющих расстояний между самолетами от типов самолетов. Это является недостатком, т.к. интенсивность образовавшихся вихрей и величина интервала зависят от технических характеристик следующих друг за другом самолетов.

В следующем подходе самолеты разбиваются на пары (лидер и ведомый) и при вычислении минимальных разделяющих интервалов учитываются скорости лидера и ведомого.

Определение пропускной способности ВПП аналитическим методом. Существует ряд аналитических моделей для определения пропускной способности ВПП [1]. Простейшая модель такого рода - модель с интервалами между посадками, которая учитывает влияние следующих факторов: длину установленной траектории захода самолетов на посадку, их скорость и минимальные интервалы эшелонирования, установленные правилами полетов.

Эта модель основана на предположении о том, что при заходе самолета на посадку ошибки исключены. Таким образом, предполагается, что диспетчеры могут вывести самолет в зону аэродрома точно в заданное время, а пилоты способны точно выдержать скорость полета и интервал эшелонирования.

Рассматриваются два случая: сближение, когда скорость догоняющего самолета v2 равна или превышает скорость лидирующего самолета v, и случай, когда скорость лидирующего самолета превышает скорость

A2D' +2 XT'-Л2Т догоняющего. Для определения минимального временного интервала между посадками самолетов используются следующие зависимости [23]: 5 m(v2,v,) = , V2 8 + r

1 1

VV2 V! ) v9 < v

1' где у - длина установленной траектории захода на посадку (посадочной глиссады), 5 - безопасный минимальный пространственный интервал эшелонирования, m(v2,vJ - минимальный временной интервал эшелонирования второго самолета (см. рис. 1).

Первый случай реализуется в конце глиссады, когда лидер коснулся B1I11 и расстояние между ним и ведомым равно 5. Второй случай реализуется, когда лидер находится в начале глиссады и расстояние до ведомого равно S.

При определении предельной пропускной способности ВПП аналитическим методом принимают предположение о том, что различные типы самолетов могут быть разбиты на N классов по скоростям полета (v,,v2,.,vN). Рассматривается матрица минимальных интервалов времени между последовательными прибытиями

М = \т v,., v,)[ = \т .} , V ' ' J П NxN U >N*N ' где m{v., v ) - минимальный временной интервал для лидирующего самолета из i -го класса и следующего за ним самолета класса j . Затем составляется вектор вероятностей прибытия самолетов р = {рх,ргpN), где pf - доля самолетов i -го класса в общем объеме движения.

Ожидаемый минимальный интервал времени при посадке воздушных судов (или средневзвешенное время обслуживания) приближенно может быть вычислен по формуле

N N i=l ./=1

Обозначим через С предельную пропускную способность ВПП при работе только на посадку. Она представляет собой величину, обратную средневзвешенному времени обслуживания. Если интервалы т. выражены в секундах, то число посадок в час будет равно с^ 3600 т

Если параметр входного пуассоновского потока достигает величины С, то число самолетов в эшелоне начинает неограниченно возрастать. В этой модели, в отличие от подхода приведенного в данной работе, учитываются только скорости, но не учитываются другие параметры самолетов: вес, размах крыла, интенсивность создаваемых вихрей и т.д. Кроме того, в данной работе вводится более точный критерий пропускной способности ВПП, учитывающий ограничение на вероятность захода самолетов на второй круг.

Определение пропускной способности ВПП с помощью методов, использующих эмпирические зависимости. Существует руководство ФАА [37] и опубликованные одновременно с ним отчеты [15, 35, 36], в которых отражены результаты широких исследований по определению предельной пропускной способности аэродрома и задержек воздушных судов. Эмпирические зависимости, представленные в [37], учитывают влияние различных факторов, таких, как состав движения воздушных судов, наличие тренировочных полетов, метеорологические особенности местности, различное расположение в плане точек примыкания соединительных РД к ВПП и т.д.

В [37] предложен способ вычисления пропускной способности ВПП как произведения трех величин: часовая пропускная способность = С -Т ■ Е , где С - пропускная способность ВПП в условиях визуальных полетов (определяется по графику как зависимость от индекса состава движения, определяемого по таблицам в зависимости от числа тяжелых самолетов, обслуживаемых ВПП), Т - поправочный коэффициент, учитывающий долю тренировочных операций, Е - коэффициент, учитывающий расстояние точки примыкания РД от торца ВПП. Величины Г и £ определяются по таблицам [1].

Определение пропускной способности ВПП при помощи методов имитационного моделирования. В [12] представлен подход, использующий методы имитационного моделирования для определения пропускной способности аэропорта.

В [12-14] описана компьютерная программа, разработанная компанией Boeing, которая позволяет осуществить имитационное моделирование взлета и посадки самолетов, при заданном количестве и конфигурации ВПП. При этом программа учитывает целый ряд случайных факторов: погодные условия, состав движения, расположение РД и т. д. [19-21]

Эта модель позволяет по безопасным расстояниям между самолетами оценить пропускную способность аэропорта. При таком подходе [12] основная роль уделяется моделированию движения самолетов в районе аэродрома. При этом учитываются многие факторы: конфигурация ВПП и РД, доли самолетов каждого весового класса в общем объеме движения, преобладание погодных условий в районе аэродрома и т. д. Недостатком подхода, описанного в [12], является то, что при этом подходе не учитывается движение вихрей и влияние на них погодных условий, а, следовательно, не учитывается и время освобождения ВПП от вихрей.

Система вихревого прогноза (AVOSS). В NASA существует программа по решению проблемы повышения эффективности использования зоны аэродрома (ТАР). Согласно этой программе организован отдел по уменьшению интервалов (RSO), являющийся подразделением научно-исследовательского центра NASA Лэнгли. Отдел разрабатывает систему определения вихревого интервала AVOSS [16, 26-28].

В 1997 - 1998 годах в международном аэропорте Далласа Форт Уорт (DFW) производилась начальная интеграция и тестирование системы AVOSS.

Система AVOSS дает величины минимальных допустимых интервалов для трех весовых классов самолетов (малые, большие и тяжелые). AVOSS отслеживает поведение вихревого следа, образовавшегося за самолетом, и определяет время, за которое вихри становятся безопасными. Поведение вихревого следа рассматривается внутри некоторого множества окон, расположенных вдоль глиссады. Основное множество состоит из шести окон, но при этом предусмотрено создание любого необходимого дополнительного множества окон. Основные характеристики стандартных окон приведены на рис. 16 и 17.

Для более детального описания вихревого следа в системе AVOSS используется специальная аппаратура: датчики следа [17, 25, 29] и сеть метеорологических датчиков [30]. Датчики следа используются с целью получения данных по временной истории следа, образовавшегося непосредственно после каждого самолета.

В [28] используется модель эллиптически нагруженного крыла [8], в которой начальная циркуляция следа определяется выражением г = 9$Ю 0 1,224 VI'' где масса самолета G выражена в килограммах, скорость его движения V - в м/с, а начальное расстояние между вихревыми жгутами следа или расстояние от левой части следа до правой части следа /' - в метрах. В этом выражении используется плотность воздуха на уровне моря 1,224 кг/м3. Начальное расстояние между вихревыми жгутами V связано с размахом крыла / соотношением 4

Начальная скорость опускания вихревой пары следа в спокойной атмосфере определяется циркуляцией и расстоянием между вихревыми жгутами согласно формуле

Эти аппроксимации для начальных характеристик следа оказались подходящими для инициализации и проверки компьютерной программы по прогнозированию поведения следа независимо от конфигурации самолета.

Затухание вихрей описывалось следующей формулой для циркуляции следа: Л г = г 1 - -' 0 Й '

V «У где t - время «жизни» вихря. Данная зависимость является слишком грубой. Более подробные модели изменения циркуляции вихря описаны в [3, 18, 22].

Подход, приведенный в [28], подробно учитывает особенности движения вихревого следа, но при этом в [7, 28] отсутствует моделирование движения самолетов в районе аэропорта (т.е. движение в эшелоне и на посадочной глиссаде). Этот недостаток не позволяет вычислять изменение пропускной способности ВПП, вызванное уменьшением разделяющих интервалов.

В [32-34] рассматривается простейшая двухвихревая модель (т.е. с каждого полукрыла сходит по одному вихрю). Вихри в этом случае рассматриваются как тонкие. В данной работе рассмотрен более подробный случай, когда с крыла сходит несколько вихрей, каждый из которых является цилиндрическим.

Модель, используемая в данной работе для построения оценки эффективности СВП. В данной работе предлагается метод, объединяющий подход к определению безопасных интервалов, описанный в [28], аналитические методы и элементы теории массового обслуживания. При вычислении оценки эффективности СВП учитываются особенности движения вихрей и моделируется движение самолетов в районе аэропорта. Это позволяет оценить уменьшение безопасных разделяющих интервалов и вызванное ими увеличение пропускной способности ВПП.

В данной работе строится некоторая замкнутая модель оценки эффективности, в которой есть элементы движения самолета вдоль глиссады, моделирование вихревых жгутов на основе метода дискретизации, а также моделирование работы ВПП как системы массового обслуживания.

Отметим основные особенности модели, используемой для оценки эффективности СВП. Важной особенностью построенной модели является уменьшение объема вычислений, производимых в режиме реального времени. Это актуально потому, что СВП может быть установлена на борту самолета. Модель учитывает влияние многих факторов, таких, как разрушение циркуляции вихря с течением времени, направление, скорость и повторяемость ветров, преобладающих в районе аэропорта, зависимость радиуса опасной зоны от времени и типа самолета и т.п.

Самолеты, осуществляющие посадку на заданную ВПП, выстраиваются диспетчером аэропорта в эшелон вдоль линии ВПП. До начала глиссады каждый самолет поддерживает в эшелоне постоянную скорость, общую для всех самолетов, а вдоль глиссады он движется с постоянным замедлением. Посадочные скорости самолетов разных типов различны. При использовании СВП самолеты делятся на несколько типов по весу, посадочной скорости, размаху крыла и некоторым аэродинамическим характеристикам. Минимальные безопасные расстояния в эшелоне зависят от типов следующих друг за другом самолетов. Они определяются на основе расчета времен освобождения окон, расположенных вдоль глиссады, от спутного следа пролетевшего первым самолета. При этом учитываются не только размеры окон и влияние земли, но и погодные условия (боковой ветер, атмосферное давление и турбулентность, температура и вязкость воздуха). Размеры окон увеличиваются на радиус опасной зоны, образуемой вокруг вихревого жгута. Величина этого радиуса зависит от интенсивности затухания вихрей, а также от аэродинамических параметров второго самолета (следующего непосредственно за первым), характеризующих его устойчивость к возмущениям воздушной среды.

Затухание вихрей учитывается следующим образом: в уравнениях учитывается зависимость циркуляции от времени где v*[m2/c] - коэффициент турбулентной вязкости, щ - начальная скорость опускания вихрей, г - расстояние между вихрями, q - отношение стандартного отклонения суммы случайных составляющих скорости ветра к начальной скорости опускания вихрей. Первый множитель показывает уменьшение скорости движения частиц под воздействием прямолинейного концентрированного вихря в вязкой несжимаемой среде [8]. Второй множитель соответствует модифицированной модели Грина, описывающей разрушение вихрей вследствие турбулентности атмосферы.

Если вихревые жгуты становятся безопасными, то радиус опасной зоны полагается равным нулю. Окно считается свободным от вихрей в двух случаях:

- вихревые жгуты покинули окно, расширенное на радиус опасной зоны;

- вихревые жгуты не покинули окно, но стали безопасными.

При использовании правил ИКАО самолеты делятся на типы по весу, а минимальные безопасные расстояния стандартизированы.

По безопасным расстояниям между самолетами различных типов определяется максимально возможная длина эшелона, ограниченная размерами воздушного пространства аэропорта, а также число самолетов в наиболее длинном эшелоне. Самолеты, прибывающие сверх этого числа, при неблагоприятном стечении обстоятельств не смогут пристроиться в эшелон и вынуждены будут пойти на второй круг.

ВПП рассматривается как система массового обслуживания. Самолеты прибывают по пуассоновскому закону с параметром Я. Вероятность принадлежности самолета заданному типу определяется частотой посадок самолетов этого типа в соответствии с расписанием полетов. Время обслуживания самолета предполагается случайной величиной, равной

Интервалам времени между посадками данного и предшествующего ему

15 самолетов. Число самолетов в эшелоне рассматривается как состояние цепи Маркова. Находится максимальное значение параметра X, при котором вероятность захода самолетов на второй круг не превосходит заданную предельно допустимую величину. Это значение Я0 полагается равным пропускной способности Bill А. Таким образом, подход, приведенный в данной работе, сочетает в себе методы оптимизации (при вычислении радиуса опасной зоны вокруг вихря и нахождении наихудшей последовательности самолетов), оценки вероятности некоторых случайных событий (например, вероятности захода самолета на второй круг) и моделирование с использованием теории массового обслуживания.

Сравнение пропускных способностей для двух указанных методов эшелонирования позволяет оценить эффективность использования СВП.

В данной работе пропускная способность ВПП при использовании СВП вычислена для двухвихревой модели и для случая моделирования каждого вихревого жгута при помощи девяти вихрей. Значения параметров модели, для которых производились вычисления, указаны в табл. 8 - 10. Также в табл. 11 приведена средняя пропускная способность ВПП, вычисленная в предположении, что самолеты вдоль глиссады движутся с постоянным замедлением. Таким образом, для рассматриваемой модели и принятых значений постоянных параметров системы, из построенной оценки следует, что использование адаптивных систем позволяет на 11% увеличить пропускную способность аэропорта.

Структура работы

Работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Во введении представлен обзор различных методов определения пропускной способности ВПП, формулируется постановка задачи, описываются особенности модели, представленной в данной работе, и подходы, используемые для построения оценки эффективности СВП.

В первой главе приведены математические основы движения вихрей: формулируются дифференциальные уравнения, описывающие движение вихрей, сходящих с крыла самолета, рассматривается учет влияния земли при помощи отраженных вихрей, влияние погодных условий (бокового ветра, плотности, температуры и вязкости воздуха) и параметров самолета (веса, размаха крыла и посадочной скорости). Описывается поведение вихрей, сходящих с крыла самолета, и рассматривается качественная картина движения и разрушения вихрей, вычисляется начальная скорость опускания вихрей в зависимости от времени.

В первой главе выписаны дифференциальные уравнения движения вихрей для общего случая, когда оба вихревых жгута в сумме состоят из п вихрей. В данной работе рассматривались два случая п- 2 и п = 18. В § 1.1 рассмотрен случай, когда с крыла самолета сходит два вихря, а в § 1.2 описан случай, когда вихревой жгут составляют девять вихрей. В § 1.2 показано распределение циркуляции для девяти вихрей и их начальные координаты. В § 1.3 выводится зависимость степени разрушения вихрей от времени, соответствующая модифицированной модели Грина [22]. В частности, выведена формула для импульса, создаваемого двумя цилиндрическими вихрями.

Вторая глава посвящена определению радиуса опасной зоны вокруг вихря. В § 2.1 рассматривается воздействие вихря на самолет (изменение положения самолета, вызванное вихрем) и вводится понятие радиуса опасной зоны. Там же выводится формула для угловой скорости вращения самолета, вызываемого вихрем, в общем виде (для крыла произвольной формы) и рассматриваются два частных случая: для прямоугольного крыла и крыла трапециевидной формы. В § 2.2 и § 2.3 рассматривается связь между моментом крена самолета, вызванного вихрем, противодействующим ему демпфирующим моментом и моментом инерции самолета, а также выводится зависимость угла крена самолета от времени. В § 2.3 формулируется критерий вихревой опасности и экстремальная задача, связанная с определением радиуса опасной

17 зоны. § 2.4 посвящен исследованию этой задачи. В § 2.5 рассматривается эта экстремальная задача для случая, когда коэффициент турбулентной вязкости v* равен нулю.

В третьей главе определяются безопасные временные и пространственные интервалов между самолетами. В § 3.1 описана система окон, используемых для определения вихревой опасности от пролетевшего самолета, и условие освобождения окна от вихрей. В § 3.2 определяются соотношения между временными и пространственными интервалами между самолетами при движении в эшелоне и на глиссаде. При этом рассматриваются два случая: когда используются интервалы, заданные ИКАО, и интервалы, полученные при использовании СВП.

Четвертая глава посвящена рассмотрению аэропорта как системы массового обслуживания. В § 4.1 приведены некоторые сведения о цепях Маркова, необходимые для моделирования работы ВПП. В § 4.2 описывается цепь Маркова, состояниями которой являются пары (i,j) типов самолетов, совершающих посадку, где j - тип лидера, а г - тип ведомого, i, j е {l, 2,., N], доказывается, что данная цепь является неприводимой и эргодической, и определяется среднее время обслуживания. § 4.3 посвящен изучению распределения числа самолетов в эшелоне. Там рассматривается модель из [1], модифицированная с учетом обслуживания посадок самолетов. Процесс появления самолетов в эшелоне рассматривается как случайный процесс, и описывается зависимость между vn = v{tn + 0) количеством самолетов, находящихся в эшелоне после того, как сел самолет с номером п и Лп - числом самолетов, добавившихся в эшелон за интервал времени между двумя последовательными посадками tn - . § 4.4 посвящен формулировке и решению задачи поиска максимальной длины эшелона. В § 4.5 рассматривается оценка пропускной способности ВПП в двух случаях: при фиксированной величине скорости бокового ветра и при различных величинах бокового ветра, взятых с учетом статистических данных о повторяемости ветров в районе аэропорта, установленных за длительный период наблюдений. В § 4.6 привел анализ полученных результатов.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные работе, и выводы из проведенных исследований.

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

1. Предложен общий подход к оценке эффективности функционирования системы вихревого прогноза, основанный на теории исследования операций и учитывающий влияние случайных и неопределенных факторов, а также степень информированности о них.

2. Построена универсальная модель, учитывающая погодные условия, рельеф местности, типы прибывающих самолетов, параметры конкретного аэропорта, и позволяющая вычислять безопасные временные и пространственные интервалы при движении самолетов и оценивать эффективность работы систем вихревого прогноза с учетом степени детализации системы.

3. Предложена модификация модели Грина затухания вихрей, учитывающая разрушение вихрей под влиянием турбулентности атмосферы и трения при движении в вязкой среде, для случая цилиндрических вихрей.

4. Найдено решение оптимизационной задачи, возникающей при определении радиуса опасной зоны вокруг вихря, для различных значений коэффициента турбулентной вязкости.

5. Описана система массового обслуживания, моделирующая прибытие и посадку самолетов. Для этой системы определена средняя пропускная способность взлетно-посадочной полосы при наихудшем варианте расположения самолетов в эшелоне.

Указанные результаты опубликованы в следующих работах:

• Belotserkovsky A.S., Kalyadina T.V., Morozov V.V. A Model for the Vortex Forecasting System Performance. Тезисы докладов 3-й Московской международной конференции по исследованию операций. - М.: ВЦ РАН, 2001, с.13.

• Калядина Т.В., Морозов В.В. О вычислении радиуса опасной зоны вокруг вихря. Прикладная математика и информатика. Труды факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова / Под ред. Д.П. Костомарова и В.И. Дмитриева, - М.: МАКС Пресс. 2003, №12, с. 71.

• Калядина Т.В. Оценка эффективности системы вихревого прогноза. - М.: 2003. Деп. в ВИНИТИ 21.01.03. № 122-В2003.

Табл.1. К - длина отрезка вогнутости функции ф(г„), R* - оценка для Ж. а=100 а=150 а=200

1/2 К R' R' R'

11,0 0,0 7,2 0,0 0,0

11,5 0,0 9,3 7,2 0,0

12,0 0,0 10,4 9,3 0,0

12,5 0,0 11,2 10,4 0,0

13,0 0,0 11,9 11,2 0,0

13,5 0,0 12,6 11,9 0,0

14,0 0,0 13,2 12,6 0,0

14,5 0,0 13,9 13,2 0,0

15,0 0,0 14,4 13,9 0,0

15,5 0,0 15,0 14,4 0,0

16,0 3,0 15,6 15,0 12,5

16,5 4,5 16,1 15,6 13,8

17,0 6,0 16,7 16,1 14,7

17,5 6,5 17,2 16,7 15,6

18,0 7,0 17,7 17,3 16,4

Табл. 2. Повторяемость ветра в % по 16 румбам [1].

Направление ветра Скорость ветра, м/с 1,8-6,7 6,7-13,8 13,8-21,0 Сумма по строке

С 4,8 1,3 од 6,2

ССВ 3,7 0,8 0 4,5 св 1,5 0,1 0 1,6 всв 2,3 0,3 0 2,6 в 2,4 0,4 0 2,8 вюв 5,0 1Д 0 6,1 юв 6,4 3,2 0,1 9,7 ююв 7,3 7,7 0,3 15,3 ю 4,4 2,2 0,1 6,7 ююз 2,6 0,9 0 3,5 юз 1,6 од 0 1,7 зюз 3,1 0,4 0 3,5

3 1,9 0,3 0 2,2 зсз 5,8 2,6 0,2 8,6 сз 4,8 2,4 0,2 7,4 ссз 7,8 4,9 0,3 13,0

Итого 65,4 28,7 1,3 95,4

Табл. 3. Преобразованные данные повторяемости ветра в % по 5 румбам.

Направление ветра Скорость ветра, м/с 1,8-6,7 6,7-13,8 13,8-21,0 Сумма по строке

СЗ 22 9,3 0,5 31,8

ССВ 19,4 13,3 0,6 33,3

С 14,6 4,2 0,2 19

ССВ 9,4 1,9 0 11,3

Итого 65,4 28,7 1,3 95,4

Табл. 4. Вероятностное распределение скорости бокового ветра. w2, м/с РМ

0 0,046

0,85 0,22

2,04 0,093

3,47 0,005

2,37 0,194

5,69 0,133

9,67 0,006

3,53 0,146

8,52 0,042

14,47 0,002

4,17 0,094

10,05 0,019

17,07 0

Табл. 5. Параметры самолетов.

Лидер посадочная скорость, размах крыла, вес, м/с м кг

В777 85 60 200 ООО

В727 72 33 65 ООО

Ра46 62 13 7 000

Табл. 6. Аэродинамические характеристики самолетов. ведомый т5х ст. т/ 57 шах

В777 0,1403 0,4356 0,7

В727 ОД 293 0,4509 0,7

Ра46 0,3581 0,7191 0,7

Табл. 7. Стандартные минимальные расстояния, принятые ИКАО, в метрах. ведомый / лидер тяжелые самолеты большие самолеты легкие самолеты тяжелые самолеты 7 408 5 556 5 556 большие самолеты 9 260 5 556 5 556 легкие самолеты 11 112 7 408 5 556

Стандартные минимальные расстояния, принятые ИКАО, в морских милях. ведомый / лидер тяжелые самолеты большие самолеты легкие самолеты тяжелые самолеты с массой >255 000 фунтов 4 3 3 большие самолеты с массой от 41 000 до 255 000 фунтов 5 3 3 легкие самолеты с массой <41 000 фунтов 6 4 3

Значения параметров модели, используемые при вычислении пропускной способности ВПП

Табл. 8. Доли самолетов каждого типа в общем количестве посадок. тип самолета доля в общем объеме посадок тяжелые самолеты 0,1 большие самолеты 0,65 легкие самолеты 0,25

Табл. 9. Значения предельно допустимых углов крена для самолетов различных типов. тип самолета угол тяжелые самолеты 'Аг большие самолеты 'Аг легкие самолеты я/ /12

Табл. 10. Значения параметров, связанных с уменьшением циркуляции от времени.

V 0,05 Ч 0,6

CD 0,9

Результаты расчетов

Табл. 11. Результаты расчетов. Здесь v* [м21с] - коэффициент турбулентной вязкости, п - число вихрей, используемых для моделирования вихревых жгутов. метод эшелонирования Л' посадок/час правила ИКАО 31,52 использование СВП при v* = 0,05, п = 2 35,9 использование СВП при V* = 0,05, п = 18 35,7 использование СВП при v* = 0, п = 2 35,1 использование СВП при v* — 0, « = 18 34,9

Рис. 2. Вычисление циркуляции в начальный момент времени. Случай эллиптически нагруженного крыла.

Рис. 3. Траектории движения вихревых жгутов. Случай п = 2 : два исходных и два отраженных вихревых жгутов. Рассмотрен случай х = 0, Г2 = Г > 0, z, (0) = z0, z2 (0) - -z0, у]=у2=у0. жгутов.

2,09 V

J 1,74 V ь ( /-т-\ )

W 1 г

Рис. 5. Расположение вихрей, образующих вихревой след.

Рис. 6. Непересекающиеся цилиндрические вихри.

1 У щ Е2

2

Рис. 8. Разбиение на области Е[, Еу у E2i Еъ.

2 <ох 2

Рис. 9. Вращение крыла вокруг точки а под действием вихря, расположенного в точке В. и>\

Рис. 10. Приближение крыла крылом трапециевидной формы.

У®*

1 F г

Рис. 13. Действие демпфирующего момента.

X,

----J а

V*

О ~ —-- —~—W Г

A V{z)

Рис. 14. Изменение угла атаки.

1 1 к а

0 ----► X

Рис. 15. График функции <р(х). впп $ Л £ о\ С\ UN 1—1

Рис. 17. Система окон вдоль глиссады (вид сверху).

1. Ашфорд Н., РайтП.Х. Проектирование аэропортов. -М.: Транспорт, 1988.

2. Баранов Н.А., Белоцерковский А.С., Каневский М.И., Турчак Л.И. Численные методы динамики летательного аппарата в условиях аэродинамической интерференции. -М.: Наука, 2001.

3. Белоцерковский С.М., Скобелев Б.Ю. Метод дискретных вихрей и турбулентность. Препринт № 10-93. Институт теоретической и прикладной механики. Новосибирск, 1993.

4. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. — М.: Наука, 1971.

5. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. -М: Наука, 1966.

6. Практическая аэродинамика манёвренных самолётов/ Ред. Н.М. Лысенко. -М.: Военное издательство Министерства обороны СССР, 1977.

7. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

8. Седов Л.Н. Механика сплошной среды. Т. II. М.: Наука, 1976.

9. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т1. — М.: Мир, 1964.

10. Airport Capacity Handbook, 2nd Ed., prepared for the FAA by Airborne Instruments Laboratory, Report No. AD 690470, June 1969.

11. Amendment 10 to the ICAO Procedures or Navigation Services Rules of the Air and Air Traffic Services, ICAO, PANS-RAC/Document 4444, 1978.

12. Aviation Week& Space Technology, p. 20, 26 January 1970.

13. Aviation Week & Space Technology, pp. 25-26, 23 February 1970.

14. Aviation Week & Space Technology, pp. 225, 227, 9 March 1970.

15. Ball C.T. Model User's Manual for Airfield Capacity and Delay Models. Books 1 and 2. Federal Aviation Administration. Report No. FAA-RD-76-128, November 1976.

16. Brad P.R., Hinton D.A., Stuever R.A. NASA Wake Vortex Research for Aircraft Spacing. AIAA 97-0057. 35th Aerospace Sciences Meeting & Exhibit, January 9-10, 1997, Reno, NV.

17. Burnham D., Gorstein M., Hallock J.N., Kodis R., Sullivan Т., McWilliams I.G. Aircraft Wake Vortex Sensing Systems. DOT-TSC-FAA-72-13, June 1971.

18. Donaldson C. duP., Bilanin A.J. Vortex Wakes of Conventional Aircraft. AGARDograph, N204, May 1975.

19. FAA General Notice ("GENOT"). 26 February 1970.

20. FAA Aviation Capacity Enhancement (ACE) Plan. 1994

21. Facts of Flight: Practical Information about Operation of Private Aircraft,p. 11, Civil Aeronautics Administration, Department of Commerce, Washington DC, March 1947.

22. Green G.C. An Approximate Model of Vortex Decay in the Atmosphere. Journal of Aircraft, Vol.23, July 1986, pp. 566-573.

23. Harris R.M. Models for Runway Capacity Analysis, Report No. FAA-EM-73-5 McLcan. Va.: Mitre Corporation, May 1974.

24. Hazards to Small Aircraft Flown in the Wake of Large or Heavy Jet and Propeller Driven Aircraft Aviation Safety Release No. 399, Civil Aeronautics Administration, Department of Commerce, Washington DC, 19 December 1955.

25. Hinton D.A. Aircraft Vortex Spacing System (AVOSS) Conceptual Design, NASA TM-110184, August 1995.

26. Hinton D.A., Charnock J.K., Bagwell D.R., Grigsby D. NASA Aircraft Vortex Spacing System Development Status. 37th Aerospace Sciences Meeting & Exhibit, 11-14 January 1999, Reno, NV.

27. Koch. G.J., Barker B.C., Britt C.L. Development of an Operational Wake Vortex Sensor Based on Pulsed Coherent Lidar. 9th conference on Coherent Laser Radar, Linkoping, Sweden, June 1997.

28. McCormick B.W.Jr. Aerodynamics of V/STOL Flight, Academic Press, New York, 1967, p. 33.

29. Robinson J.J. A Simulation-Based Study of the Impact of Aircraft Wake Turbulence Weight Categories on Airport Capacity. Air Traffic Management Research Boeing Commercial Airplane Group.

30. Rossow V.J. Wake-Vortex Separation Distances When Flight-Path Corridors Are Constrained. NASA Ames Research Center, Moffett Field, California 940351000.

31. Spejker L.J.P, Blom H.A.P., Kos J. Assessment of Wake Vortex Safety to Evaluate Separation Distances. Research for Safety in Civil Aviation, Paris, October 21-22, 1999.

32. Supporting Documentation for Technical Report on Airport Capacity and Delay Studies, prepared for the FAA by Douglas Aircraft Company et al. Report No. FAA-RD-76-162, June 1976.

33. Technical Report on Airport Capacity and Delay Studies, prepared for the FAA by Douglas Aircraft Company et al., Report No. FAA-RD-76-153, June 1976.

34. Techniques for Determining Airport Airside Capacity and Delay, prepared for the DEAA by Douglas Aircraft Company et. al., Report No., FAA-RD-74-124/ June 1976.

35. Wake Vortex Prediction. An overview. Tp-13629E, 2001, Ottawa, Ed. Jackson Wa.