Оценка функционалов погрешности кубатурных формул в функциональных пространствах Соболева тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Р Г Б ОД

На правах рукописи

Корытов Игорь Витальевич

ОЦЕНКА ФУНКЦИОНАЛОВ ПОГРЕШНОСТИ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА

01.01.07 Вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск 1997

Работа выполнена в Восточно-Сибирском государственном технологическом университете (г. Улан-Удэ)

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Ц.Б.Шойнжуров

доктор физико-математических наук, профессор М.В.Носков кандидат физико-математических наук, доцент В.Л.Васкевич

Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра УрО РАН

Защита состоится пХС" 1997 г. в часов 00 мин,

на заседании диссертационного совета К 064.61.01 при Красноярском государственном университете по адресу: 660041, Красноярск, просп. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан " 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета*

кандидат физ.-мат. наук, доцент У/} /\ --ЕгК.Лейнартас

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В теории и практике численного интегрирования важной является проблема получения априорной оценки погрешности, которая позволила бы выполнить необходимое приближение с заранее заданной точностью.

При интегрировании функций одной независимой переменной проблема достаточно глубоко изучена, и для многих квадратурных формул известны численные значения констант, входящих в оценку, либо методы их вычисления на классах функций, широко употребляемых в математическом анализе. Эти результаты представлены в известных монографиях С.М.Никольского и В.И.Крылова.

Для оценки погрешности приближенного вычисления кратных интегралов С.Л.Соболевым предложен функционально-аналитический подход, а также указан способ построения ку-батурных формул специального вида — с регулярным пограничным слоем и доказано, что такие формулы обладают асимптотической оптимальностью в пространстве

Это направление в дальнейшем развивали В.И.Половинкин, М.Д.Рамазанов, П.Б.Шойнжуров, В.Л.Васкевич, Н.И.Блинов, Л.В.Войтишек и другие, обобщая результаты С.Л.Соболева на различные банаховы пространства.

Норма функционала погрешности при таком подходе явно выражается через экстремальную функцию данного функционала, которая, в свою очередь, является решением некоторого дифференциального уравнения с частными производными в обобщенных функциях. В пространстве такое уравнение становится нелинейным, и для его решения исследователям приходилось применять ряд искусственных приемов, например, вводить специальную нормировку пространства.

Для пространства с естественной нормой Ц.Б.Шойнжу-

ровым применен метод подбора экстремальной функции, разработанный на основе свойств рефлексивности банахова пространства с использованием ряда теорем функционального анализа. Этот метод приводит к результату, близкому к получению явного вида норм функционалов погрешности, применимого для программирования и численной реализации. Такое явное выражение можно вывести для периодического функционала погрешности, а затем использовать его при оценке норм функционалов погрешности с регулярным пограничным слоем, что даст возможность получить числовое значение априорной оценки погрешности приближенного интегрирования с применением указанных формул к функциям из пространства

Цель работы. Целью диссертационной работы является получение асимптотического выражения нормы функционала погрешности с регулярным пограничным слоем в пространстве Соболева

с естественной нормировкой.

Для ее достижения ставятся задачи нахождения представления периодического функционала погрешности в указанном пространстве, явного вида его нормы и главного члена асимптотического выражения нормы при стремлении шага решетки интегрирования к нулю, а также оценки сверху и снизу нормы функционала погрешности с регулярным пограничным слоем.

Методы исследования. Для решения поставленных задач используются методы математического анализа и функционального анализа. Конкретные методы указываются в кратком изложении содержания работы.

Научная новизна. Результаты диссертации получены лично автором, являются новыми и опубликованы впервые.

Практическая и теоретическая значимость. Асимптотическое выражение нормы функционала погрешности с регулярным пограничным слоем позволяет вычислить с требуемой

точностью константу, входящую в оценку погрешности. Эта константа зависит от гладкости подынтегральной функции и от размерности пространства, но не зависит от области интегрирования, шага решетки и коэффициентов пограничного слоя кубатурной формулы.

Представление произвольного периодического функционала в пространстве Соболева найдет применение за рамками теории кубатурных формул.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на III семинаре-совещании "Кубатурные формулы и их приложения" (Красноярск,1995); на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа, 1996); на Втором Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996); на ежегодных научных конференциях ВосточноСибирского государственного технологического университета (Улан-Удэ, 1992—1996); на научных семинарах Института математики СО РАН (Новосибирск) и Института математики с вычислительным центром УНП РАН (Уфа); на объединенных физико-математических семинарах Бурятского филиала Новосибирского государственного университета и Бурятского научного центра, на семинарах по проблемам вычислительной математики Бурятского государственного университета, на семинарах кафедры высшей математики Восточно-Сибирского государственного технологического университета под руководством проф. Ц.Б.Шойнжурова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, восьми параграфов и списка литературы из 73 наименований. Объем работы составляет 96 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит собственно введение в проблему (пункты 1°—5°), формулировку цели и задач диссертации (п. 6°), краткий обзор литературы по теме работы (п. 7°). Описание методов дается параллельно с кратким изложением содержания работы (л. 8°).

В § 1 вводятся основные функциональные пространства I), Я, 5, Т, \¥рШ\ и сопряженные к ним. Указываются связи периодических функций с функциями из пространства Б Шварца и с функциями, заданными на торе. Заложены основы подхода к построению периодических обобщенных функций, осуществляемого при доказательстве основных утверждений.

В § 2 рассматриваются фундаментальные решения дифференциальных операторов, в том числе и периодические. Доказываются леммы, результаты которых будут использованы в основной теореме об экстремальной функции элементарного периодического функционала погрешности.

Лемма 1. Периодическое фундаментальное решение уравнения

£(_1)иМд».и = р (1)

|а|<П1

принадлежит пространству

Лемма 2. Решением уравнения (1) с правой частью р{х) = 1 — фо{х) будет функция

е-2х.у?г

= (2)

При доказательстве лемм используется разложение функций в ряды Фурье и преобразование Фурье обобщенных функций.

В § 3 выводится представление произвольного периодического функционала и элементарного периодического функционала погрешности в пространстве Wpm\ Доказывается лемма и ее следствие.

Лемма 3. Произвольный периодический функционал f Е Wp"^* при рт > п, 1 < р < оо, 1 /р+ 1/р* = 1, имеет представление

{/, ц>) = сйс'0 + [ Е 5 I Е °ае~(Тс-е + ) DM*)dx (3) JA м<™ а- W ~т )

где с0 = (/,1), c'Q = (1 ,ip), = (f,eM^x}, аз0 = О при |а| = 0, эза ф О,

т

при |а| > 0, |а| < т, = £ |2тг/?|2|а1.

|ог|=0

Следствие леммы 3. В условиях леммы функционал погрешности р(х) = 1 — фо(х) имеет представление

<4)

где <р в Щт\

В доказательствах реализуется подход, изложенный в § 1, используются разложение обобщенных функций в ряды Фурье, свойства производных периодических функций, свойства сходимости по норме в пространстве Wpm\

Выводятся уравнения, из которых находятся оптимальные значения параметра геа :

/

р'-1

sign

№

dx = 0, (5)

О < |а| < т.

В § 4 рассматривается вариационная задача для периодического функционала погрешности:

Задача. Найти периодическую функцию <ро 6 удовле-

творяющую условиям

Г 1Н1Щ»)' = {р,¥>о) ^

Приводятся сведения из функционального анализа, необходимые при доказательстве основной теоремы: определения экстремальной функции, рефлексивного пространства, равномерной выпуклости банахова пространства; критерии рефлексивности банаховых пространств; следствие теоремы Хана— Банаха для линейных нормированных пространств; указывается рефлексивность пространства

Соболева

Выводится основное дифференциальное уравнение в обобщенных функциях

£ (|Л>ГХ ЩУЯЧо) = Р, (7)

|ог(<ттг

решением которого будет экстремальная функция, определяемая равенством фа = ^оЦрЦ1^-1^. Устанавливается единственность периодического решения уравнения (7) в пространстве

Щт).

Лемма 4. Уравнение (7) имеет единственное решение фа £ \¥рт\ если правая часть принадлежит

< р < оо.

Неравенства Кларксона, применяемые С.Л.Соболевым для пространств £р, используются здесь при доказательстве в случае Щт).

В § 5 доказывается основная теорема об экстремальной функции и выписывается явное выражение нормы периодического функционала погрешности.

Теорема 1. В пространстве при тр > п, 1 < р < оо,

1 /р + 1/р' = 1 для элементарного периодического функционала погрешности р(х) = 1 - фо{х):

1) экстремальной является функция

1/0-1)

Л |а|<Я1 0

¿)ое2т!Щх-у)

мО?)

[х-*

М/з)

М0)

(8)

с нормой

№

\д !«|<»

2) норма определяется равенством

= / Е ^г

_ па

т

¿X

(9)

\а\<тп

.__ Г)ар-2т>0х

№

йх

(10)

где Жа3 — решение системы (5), 0 < |а| < т, эе^ = 0.

При доказательстве применен метод подбора экстремальной функции, основанный на свойствах рефлексивности пространства с использованием следствия теоремы Хана — Банаха. Приводится второй вариант доказательства существования экстремальной функции, основанный на условии достижения знака равенства в неравенстве Гельдера и интегрального представления функции в

В § б целью стоит получение асимптотического выражения нормы функционала

(И)

которое даст возможность подсчитать с заданной точностью константу, входящую в априорную оценку функционала погрешности с регулярным пограничным слоем. Эта константа не будет зависеть от коэффициентов пограничного слоя ку-батурной формулы. Для достижения цели находится норма функционала р(|) в явном виде. Приводится теорема, аналогичная основной. Доказательство ее опущено, так как полностью повторяет предыдущие рассуждения. Содержательное отличие состоит в том, что значения параметра Ла, выполняющего ту же роль в представлении функционала в что и параметр аеа в будут определяться из системы

уравнений

1/Ср-Ч

__. пар-2прк~'х

/

¡3*0

(12)

О < |а| < т.

Теорема 2. Пусть тр > п, 1 < р < оо, 1 /р+ 1/р' = 1, Дд = {х = Ьу 0 < У} < 1, .7 = Тогда в пространстве 1/Урт\Аь)

для элементарного периодического функционала погрешности р (|) = 1 - фа (|) с матрицей периодов Ь.Е: 1) экстремальной является функция

у)

и\У ] ^ а! ^ -

д |о|<пг

_ т-)ог„-21Г1Й4"1у

1/(?-1)

ю

._. fia^tiph-'y

с нормой

I / 2 'J

|»|<п»

№

дОвл-1)

норма определяется равенством

¡a|<m

Y; »

Л^Л"1)

где A^ — решение системы (12), О < |or| < m, A^ = 0.

dx

(14)

' V

dx ,

(15)

Далее выделяется главный член в норме при Л —> 0, который затем минимизируется. Причем оптимальные значения параметров, минимизирующих главный член нормы, отлйчаются от таковых, минимизирующих саму норму.

Лемма 5. Норма (15) имеет при Н —► 0 асимптотическое выражение

1ИиЗ->(<Д0 = + ОД), (16)

где

т\

ÍL w=m

__. ina„-2ripx

-|2jtj8|

2m ' "а

dx

(17)

Минимизация главного члена приводит к системе уравнений

/

jytg-itíPx

ftÉO

-|2ir/?|

и

|а| = т.

В следующих двух параграфах функционал погрешности с регулярным пограничным слоем оценивается сверху и снизу. Доказывается совпадение этих оценок для р = 2 при любом m и для р ф 2 при нечетном m, что равносильно асимптотической оптимальности функционала с регулярным пограничным слоем при указанных условиях.

В § 7 дается определение Соболева кубатурных формул с регулярным пограничным слоем. Вводится множество R(L,A,s) функционалов с носителем, сосредоточенным в шаре радиуса L, оценкой, не превышающей А в пространстве, сопряженном пространству непрерывных функций и ортогональных к многочленам степени ниже s. На основании представления, приведенного в определении,строится оценка сверху для функционала с регулярным пограничным слоем (теорема 3). Предварительно доказываются две леммы.

.Лемма 6. Если I - 7^ G R(L, A, s), )aj = m, Je) = m +1 и ja; - A7I > Lh, то свертка DaJrS£{x) * ^ — 7) удовлетворяет неравенству

£>а+'ф)*1(^-7) <К—--п-п, (19)

где |а| < m, |s| = то г« |sj = тп + 1.

Доказательство основано на разложении производных фундаментального решения в ряд Тейлора и приведенных в § 2 оценок.

Лемма 7. Если I ^ - 7^ € R(L, A, s), - Й7| < Lh, 1/р + 1/р* = 1 и ртп > п, то

J |Da£{x) * г(| - 7)1 f'dx < H < m (20)

Доказательство также основано на оценках из § 2.

Теорема 3. Пусть П имеет кусочно-гладкую границу д{1, рт > п, 1/р+1/]У = 1 игп - нечетное число.

Тогда при Н —> 0 для всех функционалов 1ц '{Ел) с регуляр-

ным пограничным слоем имеет место асимптотическое равенство

1а

% -\2кр\2т

1/р'

ах I Лт(1+0(А)) (21)

В § 8 получена оценка снизу для произвольного функционала погрешности в \У$т\Еп) (теорема 4). Предварительно доказана лемма.

Лемма 8. Пусть область Л имеет кусочно-гладкую границу ЗП. Тогда при Л —► 0 существует последовательность функций

таких, что

а)<рь.(х) = 0, если х = КР или х 0

б)J ч>ъ{х)<1х = тезП J ^ ^у-п л М<™

•(1+ОД)

№

Теорема 4. Пусть область П имеет кусочно-гладкую границу дП, Ь, — малый параметр. Тогда для любого функционала погрешности кубатурпых формул с узлами на вершинах кубов

1п{х) = 1П{х) - ^ кпСу6{х - Ь'у),

(22)

где 1п{х) — характеристическая функция области П, с7 — коэффициенты кубатурной формулы, 8(х) — дельта-функция Дирака, при й —► О

имеет место следующая оценка снизу

р—1

> (теэП) »

1^ -\9тгЯ\2т + Аа

"М

р'

в,х

)

Лт(1 + 0{к)) (23)

Функции из леммы 8 являются произведениями усредненных по Соболеву функций на видоизмененную экстремальную функцию периодического функционала. Значение произвольного функционала на таких функциях не будет зависеть от коэффициентов кубатур ной формулы, поскольку в узлах решетки они обращаются в нуль.

Основные результаты диссертации.

Получено представление элементарного периодического функционала погрешности в пространстве Соболева с естественной нормой.

Получено выражение минимальной нормы элементарного периодического функционала в указанном пространстве, выделен главный член нормы при переходе от единичной матрицы Е периодов к ее образу ЫЕ при к —► 0.

Оценены сверху и снизу нормы функционалов погрешности с регулярным пограничным слоем, доказано совпадение этих оценок при определенных условиях; получено асимптотическое выражение нормы с главным членом, не зависящим от шага решетки, области интегрирования и коэффициентов в пограничном слое указанных кубатурных формул.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шойнжуров Ц.Б., Корытов И.В. Вариационная задача для линейного функционала в пространстве Соболева // Тезисы докладов XXXI научной конференции ВСТИ. — Улан-Удэ, 1992. — С. 6.

2. Корытов И.В. Вычисление двойных интегралов по формуле с регулярным пограничным слоем // Межвузовский сборник научных трудов по прикладной математике / Отв. ред. С.Л.Буянтуев. — Улан-Удэ, 1994. — С. 57—60.

3. Корытов И.В. Оценки погрешности квадратурных формул с регулярным пограничным слоем для класса функций

о, 6) // Межвузовский сборник научных трудов по прикладной математике / Отв. ред. С.Л.Буянтуев. — Улан-Удэ, 1994. — С. 157—158.

4. Корытов И.В, Построение формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных статей. Физико-математические науки. — Улан-Удэ, 1994. — Вып.1. — С. 150—152.

5. Корытов И.В. Эффективный способ вычисления коэффициентов квадратурных формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных статей. Физико-математические науки. — Улан-Удэ, 1994. — Вып.1. — С. 147—150.

6. Шойнжуров Ц.Б., Корытов И.В. Квадратурные формулы Соболева с регулярным пограничным слоем / Вост.-Сиб.

технол. ин-т. — Улан-Удэ, 1994. — 21 с. — Леп. в ВИНИТИ 27.06.94, Яа1594-В94, деп.

7. Корытов И.В. Норма периодического функционала погрешности в Wp(m)( Д) // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. Ill семинара-совещ. / Отв. ред. М.Д.Рамазанов.

— Уфа, 1996. — С. 32—36.

8. Корытов И.В. Оценка снизу нормы функционала погрешности в W^(En) // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М.Д.Рамазанов.

— Уфа, 1996. — С. 37—40.

9. Корытов И.В. Оценка сверху нормы функционала погрешности с регулярным пограничным слоем в W^m\En) // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. V. Численные методы. — Уфа, 1996. — С.71-78.

10. Корытов И.В. Повышение точности квадратурных формул с регулярным пограничным слоем для индивидуальных функций // Второй Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-96: Тез. докл.— Новосибирск, 1996. — 4.1. — С.75.