Оценка надежности восстанавливаемых систем при инверсионной дисциплине обслуживания тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

61: 33~Г/9дГ-5

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.248

Карасева Наталья Георгиевна

Оценка надежности восстанавливаемых систем при инверсионной дисциплине обслуживания

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук профессор А. Д. Соловьев

Москва 1999

Оглавление

Введение ............................................................................................5

§1. Оценка среднего времени жизни восстанавливаемых систем . 18

1. Описание системы, постановка задачи..................................18

2. Оценка вероятности q..............................................................20

§2. Общая модель резервирования с восстановлением при инверсионной дисциплине обслуживания с прерыванием, система

(АьС,1,п).................................................................25

1. Описание системы, постановка задачи..................................25

2. Вывод формул первого и второго моментов распределения длины периода занятости процесса обслуживания для системы (А/., С, 1, п) ....................................................................26

2.1. Средняя длина периода занятости для "усеченной" системы........................................................26

2.2. Средняя длина периода занятости процесса обслуживания исходной системы..............................29

2.3. Второй момент распределения длины периода занятости......................................................................................30

3. Оценка вероятности д отказа системы (А&, <2,1, п) на одном периоде занятости....................................................................31

3.1. Нижняя оценка величины д..............................................31

3.2. Верхняя оценка величины д..............................................35

3.3. Асимптотическая оценка вероятности д при п оо.. . 37

4. Предельные теоремы о распределении т...................38

4.1. Конечная нагрузка, параметрический случай................38

4.2. Конечная нагрузка, равномерный случай........................39

4.3. Малая нагрузка................................................................40

4.4. Предельные теоремы для модели (А, <2,1, п), конечная

нагрузка...................................... 41

§3. Общая модель резервирования с восстановлением при инверсионной дисциплине обслуживания с прерыванием, система (А к,в,г,п).......................................... 42

1. Описание системы, постановка задачи................. 42

2. Нахождение средней длины периода занятости процесса обслуживания ....................................... 43

2.1. Средняя длина периода занятости для "усеченной" системы........................................ 43

2.2. Средняя длина периода занятости процесса обслуживания £(£)..................................... 45

3. Верхняя оценка второго момента распределения длины периода занятости процесса ((¿)...................... 45

3.1. Построение процесса С(£), нахождение функции распределения длины его периода занятости........... 45

3.2. Верхняя оценка Е<^............................. 50

4. Оценка вероятности д отказа системы (А*, С, г, п) на одном периоде занятости.................................. 51

5. Предельные теоремы о распределении времени г до первого отказа системы (А&, <7, г, п)........................... 52

5.1. Малая нагрузка................................ 52

5.2. Конечная нагрузка, параметрический случай........ 52

5.3. Конечная нагрузка, равномерный случай............ 53

§4. Сложная восстанавливаемая система (А*, 1, Е+) при инверсионной дисциплине обслуживания................... 55

1. Описание системы, постановка задачи................. 55

2. Вывод формулы средней длины периода занятости процесса е(£)............................................ 57

3. Вычисление точного значения вероятности д отказа системы (А&, 1,Е+) на одном периоде занятости процесса е(£) 60

4. Оценка вероятности ^(Л^) отказа системы

(А&, Ок, !,-£'+) на одном периоде занятости.............. 64

4.1. Верхняя оценка д(Лг)........................................................64

4.2. Нижняя оценка вероятности д(Л^)....................................64

4.3. Оценка вероятности д(Л'г) в частном случае параллельного соединения элементов системы................................68

5. Предельные теоремы о распределении времени г до первого

отказа системы (А*, 1, Е+) ................................................69

5.1. Малая нагрузка (р —> 0)...............■......................70

5.2. Конечная нагрузка, равномерный случай........................70

Литература........................................................................................73

Введение

В математической теории надежности наиболее трудной проблемой является оценка надежности восстанавливаемых систем, в которых отказывающие элементы восстанавливаются и поступают обратно в систему. Математически модели восстанавливаемых систем являются моделями теории массового обслуживания, однако в отличие- от последних основные модели восстанавливаемых систем по своей дискретной и вероятностной структуре гораздо сложнее. Кроме того, если в теории массового обслуживания основные характеристики систем выражаются через стационарные вероятности процесса обслуживания, то основные характеристики восстанавливаемых систем, как правило, намного сложнее — это интервалы, на которых процесс находится в том или ином множестве состояний. По этой причине только для самых простых моделей восстанавливаемых систем (марковские модели, дублирование) характеристики надежности могут быть найдены в замкнутой форме. К счастью, для почти всех восстанавливаемых систем время восстановления (ремонта) элементов во много раз меньше времени их безотказной работы. Это обстоятельство позволило при анализе восстанавливаемых систем, используя асимптотические методы, доказать ряд предельных теорем и, как следствие, получить для характеристик надежности простые и эффективные приближенные выражения [1]. В этой асимптотической теории доказаны теоремы двух типов. Во-первых, доказывается, что при некоторых достаточно слабых условиях нормированное своим средним время безотказной работы системы сходится по распределению к показательному. В других теоремах при гораздо более жестких условиях находится асимптотическая оценка среднего времени жизни системы, которая опирается на так называемый "принцип монотонной траектории" [2,3]. Однако, в последние 10-20 лет в связи с появлением сложных информационно-вычислительных систем, обладающих большой избыточностью (под избыточностью понимается минимальное число элементов в системе, при отказе которых система отказывает), выяснилось, что оценки

среднего времени жизни системы, основанные на "принципе монотонной траектории", для таких систем не дают сколько -нибудь удовлетворительного приближения даже по порядку. Поэтому возникла проблема поиска других методов оценки этого среднего. Такой метод дается в [1], где приведено двустороннее неравенство для среднего, в котором правая часть — это оценка по "принципу монотонной траектории", а левая выражается через стационарные вероятности процесса обслуживания. Но остался неясным вопрос, насколько хорошее приближение дает выражение верхней оценки среднего для восстанавливаемых систем с большой избыточностью. Кроме того, является достаточно сложной и проблема оценки стационарных вероятностей процесса.

В теории массового обслуживания и в теории надежности уже давно используются, кроме обычной дисциплины обслуживания (в теории надежности — восстановления) в порядке поступления, другие — нестандартные — дисциплины. В общем случае класс дисциплин задается набором скоростей обслуживания [4-6]. Среди таких дисциплин наиболее простой дисциплиной, и это давно известно в теории массового обслуживания, является инверсионная дисциплина с прерыванием, согласно которой в каждый момент обслуживается последнее из прибывших требований. Требование, обслуживание которого было прервано, дообслуживается. Для этой дисциплины многие характеристики, в том числе и стационарные вероятности, находятся в явном виде. Однако, в теории восстанавливаемых систем эта дисциплина не изучалась.

В дальнейшем мы будем обозначать обычную дисциплину обслуживания в порядке поступления через й?о> а инверсионную дисциплину с прерыванием через <1\.

В соответствии со всем вышесказанным целью настоящей диссертации является анализ всех основных моделей восстанавливаемых систем при инверсионной дисциплине восстановления с прерыванием Более конкретно,

а) нахождение, там, где это возможно, замкнутых выражений для характеристик надежности восстанавливаемых систем;

б) в случае быстрого ремонта доказательство предельных теорем при минимальных условиях;

в) асимптотический анализ восстанавливаемых систем для случая высокой избыточности, оценка среднего времени жизни восстанавливаемой системы для этого случая.

Изложим кратко содержание и основные результаты диссертации.

Опишем модели восстанавливаемых систем, надежность которых изучается: общую модель резервирования с восстановлением и модель сложной восстанавливаемой системы.

Общая модель резервирования с восстановлением С, г, п, (I) описывается следующим, образом. Рассмотрим систему, состоящую из гг + 1 однотипных элементов. Отказывающие в системе элементы мгновенно поступают в ремонтное устройство, состоящее из г ремонтных единиц, каждая из которых может одновременно ремонтировать один неисправный элемент. Предполагаем, что если в системе неисправно к элементов, то суммарная интенсивность отказа элементов системы не зависит от прошлого поведения системы и равна А&. Времена ремонта (восстановления) отказывающих элементов — независимые одинаково распределенные случайные величины, и время ремонта т] отказавшего элемента имеет функцию распределения О(х). Ремонт отказывающих элементов происходит согласно заданной дисциплине обслуживания (1. Процесс £(£) — число неисправных элементов в момент I (С(0) =0) — описывает поведение данной системы. Если ((£) < п, полагаем, что система исправна, если ("(£)= тг + 1 — неисправна. Таким образом, пространство Е состояний процесса разбивается на два множества Е = Е+ЦЕЕ+Г\Е_ = 0, где Е+ = {1,2,..., п} — множество исправных состояний системы, Е_ = Е \ — множество неисправных. Переход процесса £(£) из состояния п в состояние п + 1 назовем отказом системы, обратный переход — восстановлением.

Опишем кратко модель сложной восстанавливаемой системы с дисциплиной ¿1.

Рассмотрим систему теории надежности, состоящую из п элементов, каждый из которых может быть исправен или неисправен. Пред-

полагаем, что время безотказной работы каждого к-го элемента имеет функцию распределения ^(ж) = 1 — е~ХкХ с интенсивностью отказа > 0, зависящей только от номера элемента, причем времена безотказной работы элементов — независимые случайные величины. Предполагаем, что каждый отказавший элемент мгновенно поступает в ремонтное устройство, состоящее из одной ремонтной единицы, а ремонт производится согласно инверсионной дисциплине ¿\. После окончания ремонта отказавший элемент сразу же возвращается на свое место в системе. Время ремонта к-го элемента г]}е имеет функцию распределения Ск{х) и случайные величины щ,... ,г]п независимы. Состояние элементов системы в каждый момент времени задается двоичным вектором е(£) = (в1 (£),...,е„(£)) и множество Б = {е} всех состояний системы разбивается на два непересекающихся подмножества Е = Е+ + где Е+ — множество исправных состояний системы, Е_ — множество неисправных [3].

Предполагаем, что состояние системы (исправна - неисправна) однозначно определяется состоянием ее элементов и е(0) = (0,... ,0).

Отказом системы назовем переход процесса е(£) из исправного состояния в неисправное. Случайный процесс е(£) описывает поведение данной системы. Описанную модель сложной восстанавливаемой системы будем обозначать (Л^,1,Е+).

Основные результаты диссертации связаны с исследованием характеристик надежности определенных выше восстанавливаемых систем, поведение которых описывается регенерирующими процессами специального типа (РПСТ) [1,7] (процесс выбирается так, чтобы по его состоянию в данный момент времени всегда можно было сказать, исправна система или нет). Каждый период регенерации РПСТ состоит из двух частей. Длина первой части, где процесс находится в исправном состоянии 0, имеет показательное распределение с параметром А^. Вторая часть не зависит от первой и имеет произвольное распределение со средним Г, на ней процесс находится в состояниях, отличных от 0. Отказ системы может наступить только на второй части, которую, следуя терминологии ТМО, мы назовем периодом занятости. В

моделях надежности на первой части периода регенерации в системе исправны все элементы, а на периоде занятости происходят отказы и восстановления элементов.

Обозначим: т — момент первого отказа восстанавливаемой системы ид — вероятность отказа системы на одном периоде занятости (регенерации).

Приведем здесь предельные теоремы для регенерирующих процессов (см. [1]), устанавливающие асимптотическое распределение момента первого отказа восстанавливаемой системы, на которые будем ссылаться в дальнейшем тексте диссертации.

(Общий) регенерирующий процесс. Теорема 1. Справедливо следующее утверждение:

где £ — длина периода регенерации общего регенерирующего процесса, То = Е£, д — вероятность отказа на одном периоде регенерации, а символ "А 0 " означает стремление к нулю по Хинчину [1].

Определение. Последовательность неотрицательных случайных ве-

зде Т = Е^ — средняя длина периода занятости регенерирующего процесса специального типа ((Ь), д — вероятность отказа системы на одном периоде занятости и Ао — параметр экспоненциального распределения длины £о свободного периода регенерирующего процесса

личин Е£п > 0, сходится к нулю по Хинчину 0), если

где Fn(x) = 1 - Fn(x) = Р{£„ > х}.

Регенерирующий процесс специального типа. Теорема 2. Выполнено предельное соотношение

lim Р{А0дт >х} = е~х,

Ло-1 —>-и

X

СМ-

Перейдем к изложению основного содержания диссертации.

Диссертация состоит из введения четырех параграфов.

В первом параграфе приведены методы оценки среднего времени жизни (т.е. среднего времени до первого отказа) восстанавливаемых систем в задачах математической теории надежности на примере общей модели резервирования с восстановлением (A¿, G, 1, n, d). Причем дисциплина d принадлежит классу консервативных дисциплин [4] и выполнены условия "быстрого" ремонта, когда среднее время восстановления элемента во много раз меньше среднего интервала между соседними моментами отказов элементов.

Процесс ("(i), описывающий поведение системы (A¿, G, 1, п, с/), — регенерирующий специального типа, а для среднего времени жизни системы в условиях предельной теоремы 2, приведенной выше, справедлива оценка Ет ~ д^. Поэтому проблема оценки среднего времени до первого отказа восстанавливаемой системы сводится к проблеме оценки вероятности q.

Первый метод оценки q — "принцип монотонной траектории", упомянутый ранее [2].

Второй метод оценки вероятности q — через стационарные вероятности. Предположим, что процесс ((t) эргодический (а при "быстром" ремонте это всегда так) и обозначим через рп стационарные вероятности процесса. С использованием теории регенерирующих процессов [8] для вероятности q получено соотношение

КРп q = --тг ,

АоРо

где 7г есть вероятность того, что наугад взятый отказ системы (в стационарном режиме) является последним на том периоде занятости, где он произошел. Следовательно, q < и, если при некоторых условиях вероятность 7г стремится к единице, то q ~

Основной результат первого параграфа — условия эквивалентности q ~ найденные для общей модели резервирования с восстановлением (Afe, G, 1, n, do) и для модели (A¿, G, 1, n, d) с дисциплинами d из класса инвариантных дисциплин [9].

Для модели (Л^, G, 1, п, ¿о) найдена оценка вероятности 7Г, а условием, при котором 7г —> 1, является условие \rj А- 0, где Л = шахЛ^..

к <п

Полученный результат сформулирован в следующей теореме.

Теорема 1.1. Если в системе (А&, G, 1, /г, do) величины А& > 0 и распределение G(x) меняются так, что Хг] А 0, то q ~ .

Применяя доказанную оценку в предельной теореме 2, для рассматриваемой модели восстанавливаемой системы получаем следующий результат.

Теорема l.l.a. В предыдущих обозначениях справедливо утверждение

lim Р |ап— т > х\ = е~х . Лу,4о I Po J

Далее рассмотрена система (А&, G, 1 ,n,d) с дисциплинами d из класса инвариантных дисциплин. К дисциплинам, обладающим таким свойством, относится дисциплина d\.

Для данной модели восстанавливаемой системы аналогично предыдущему случаю получен результат, формулирующийся следующим образом.

Теорема 1.2. Для того чтобы была справедлива оценка q ~ достаточно, чтобы величина А г/ (где А — max A&J стремилась к нулю

k<n+l

по Хинчину.

Как и в случае системы с дисциплиной обслуживания ¿о, в обозначениях теоремы 1.2 имеет место следующее утверждение.

Теорема 1.2.а. Справедливо утверждение

Jim р(ап—т > ж} = е~х . Дг?4 о I ро )

Вся последующая часть работы посвящена исследованию основных моделей восстанавливаемых систем при инверсионной дисциплине d\. Поэтому везде далее будем опускать символ d\ в обозначении изучаемых систем.

Для каждой модели восстанавливаемой системы решаются две основные задачи.

Первая задача состои�