Оценка параметров процессов сбережения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Й о»

Київський університет іи. Т.Шевченка

, 5 «96

на правах рукопису

Турбал Юрій Васильович 1/~~

ОЦІНКА ПАРАМЕТРІВ ПРОЦЕСІВ ЗБЕРЕЖЕННЯ

01. 01. 05 - теорія ймовірностей та математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступени кандидата фізико-математичних наук

Київ 1996

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі дослідження операцій Київського університету ім. Г. Шевченка

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук

ЗАКУСИЛО ОЛЕГ КАЛЕНИКОВИЧ

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук

КАРТАШОВ МИКОЛА ВАЛЕНТИНОВИЧ

кандидат фізико-математичних наук ПОРТЮК ВОЛОДИМИР ГРИГОРОВИЧ

Провідна установа: ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

НАН УКРАЇНИ

Захист відбудеться 25 листопада 1996 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої ради К 01.01.21 при Київському університеті за адресою:

252127 , м.Київ-127, пр*. Глушкова, 6

корпус механіко-математичного факультету , ауд. 42

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського університету за адресою: м.Київ, вул. Володимирська,58

Автореферат розіслано жовтня 1996 р.

Вчений секретар спеціалізованої ради

КУРЧЕНКО О.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми.

Процеси збереження - це певний клас випадкових процесів, які можуть служити моделями багатьох реальних природних процесів, пов’язаних з забрудненням навколишнього середовища , радіоактивного забруднення, тощо. Такі процеси в тій чи іншій мірі розглядались в роботах Карліна С., Феллера В., Іто К., Кеілсона Дж.. Мерміна Н„ Єо Г. та ряду інших авторів.

Використання ймовірносшгх моделей при дослідженні багатьох процесів у природі пов’язане з недетермінованістю цих процесів. Адже навіть класичні детерміновані процеси можна вважати такими лише в результаті відкидання багатьох, пеконтрольоваиих факторів, впливом яких можна знехтувати. Побудова ж будь-якої ймовірносної моделі, яка претендує на максимально повне відображення моделюючого процесу, неможлива без розв’зання задач ідентифікації параметрів . Ось чому теорія оцінювання невідомих параметрів відіграє важливу роль в фундаментальних дослідженнях. Причому вона продовжує розвиватись і зараз, незважаючи на те, що вже розроблено величезну кількість найрізноманітніших методів. Адже постають все нові і нові задачі, які вимагають розробки нових підходів. Виникає необхідність у створеній ефективних методів оцінки параметрів, які враховують специфіку досліджуваних процесів.

Мета роботи.

Метою роботи є розробка методів оцінки параметрів та перевірки гіпотез про розподіл величин стрибків певного класу випадкових процесів (процесів збереження).

З

Наукова новизна .

В дисертаційній роботі отримані такі нові результати:

• розроблено метод оцінки параметрів функцій зносу досліджуваної моделі, що використовує специфіку траєкторій процесу;

• згаданий вшде метод поширено на випадок нерівномірних моментів спостережень;

• розроблено специфічний метод оцінки параметрів Пуассонівських потоків в досліджуваній моделі, що грунтується на побудові спеціальним чином введеної множини інтервалів ідентифікації;

• побудовано загальний метод оцінки всіх параметрів , що являє собою комбінацію розробленого методу та підходу, аналогічного методу моментів. Доведені відповідні теоретичні результати;

• вивчена можливість оцінювання параметра функції зносу у випадку одномірного параметра та рівновіддалених моментів спостережень за допомогою вибіркових кореляцій. Знайдено умови, при яких відповідна центральна гранична теорема має місце у випадку довільних моментів спостережень;

• запропоновані деякі підходи до перевірки гіпотез про розподіл величин стрибків досліджуваного процесу;

• розроблена комп’ютерна модель процесу та проведені чисельні розрахунки роботи деякій методів.

Методи дослідження.

Методи дослідження грунтуються, з одного боку , на використанні та узагальненні класичних, підходів до оцінки параметрів випадкових процесів та створенні на їх базі нових методів. З іншого боку,

проводиться пошук та аналіз можливих некласячних підходів , що максимально використовують специфіку досліджуваних процесів. Теоретична і практична цінність.

Запропоновані методи оцінки параметрів та перевірки гіпотез можуть бути використані при вивченні досить широкого класу випадкових процесів.Розроблене програмне забезпечення та підходи до оцінювання параметрів можуть застосовуватись для прогнозу рівня радіації в певному середовищі та дослідження інших процесів, пов’язаних з забрудненням навколишнього середовища.

Апробація роботи.

Результати дисертаційної роботи доповідались:

« на семінарі з теорії ймовірностей та математичної статистики, що проходить на кафедрі прикладної статистики факультету кібернетики Київського університету;

• на всеукраїнській конференції “Моделювання та дослідження стійкості систем” (м.Київ, 1995);

» на семінарі кафедри теорії ймовірностей механіко-математичного факультету Київського університету;

» па міжнародній конференції, присвяченій 100-річчю з дня зародження М.Ремеза (м. Рівне, 1996).

Публікації

Основні результати дисертації опубліковані в 6 роботах, список їких наведено в хінці реферату.

Структура і об’єм роботи

Дисертація складається з вступу , семи розділів, додатку та '.писку літератури з 67 найменувань. Загальний обсяг роботи -121

сторінка (додаток не включений в загальний обсяг).

ЗМІСТ РОБОТИ Розглянемо основні результати роботи.

Розглядається випадковий процес

Х{і) = £ ЛГ г(/) ,

(1)

І V * ) 1

Де ^/(0 задовольняють стохастичні диференційні рівняння

виду:

ах^г) = -ц.-лгдо^ + <^,(0, (2)

А'ДО) = х°

Тут ц . -деякі параметри , ЛД/) -узагальнені пуассонівські

V,- ( ' )

процеси з параметрами (X, (?. (ї)) • Тобто ^ (/) = ^ ^ .

к = 0

де ^ —випадкові величини з функціями розподілу

С,( / ) > V Д /) — найпростіші потоки з параметрами X,відповідно .

З рівняння (2) можна отримати:

/

Хі(і) = хгце~^'* + ^е~^'^~г^сіАі(и) . (3)

о

Звідси

і +5

Х,(1 + і)= Х^Ое'"1* + |г-"-(,¥,-'‘><ЗАі(и) . (4)

З співвідношення (4) видно , що траєкторії процесів X і (ї) на інтервалах неперервності спадають по експоненті, а в моменти час)’ Тк вони мають стрибки величиною ^ к (див. мал.1).

Важливою задачею, яка виникає при вивченні таких процесів, є побудова прогнозу поведінки процесу в майбутньому по результатах спостережень. Очевидно, що ця задача не може бути розв’язаною без вирішення таких задач:

I) знаходження параметрів }і (їх називають параметрами функцій зносу);

II) оцінки параметрів Пуассонівських потоків А, •, і — 1, т ;

III) знаходження розподілів величин стрибків ^ j = 1,2,...,

і = 1, т ;

Відмітимо, що розв’язавши задачі І)-ІІІ), легко побудувати

г т- . ;:рну модель процесу, заданого рівняннями (1)-(2) . Дійсно ,

7

розглянемо довільну компоненту X, (Ґ) процесу Х(Ч). Значення Xі ( / ) в довільний момент часу і визначене повністю , якщо відомі послідовності моментів стрибків траєкторії Т|,Т2,..., Ту(/)

(Т,<Т2<...^ГУ^)<1), величин стрибків Е!і ,^2 у(/) та

параметр функції зносу р, . Будемо вважати, що послідовності моментів стрибків та величин стрибків не залежать від параметрів функції зносу. Тоді, моделюючи послідовності величин

ту > ^ 1 > 7-2 > ^ 2 ’ • * * та маючи значення ц ; легко визначити

Х^І) а отже і Х(0. Як відомо, у випадку, коли Т ‘ є точками

найпростішого потоку з параметром А,;-, випадкові величніш

Iі. = Т- — = 1, ;и, 7= 1,2,... є незалежними, однаково

розподіленими величинами , що мають показниковий розподіл з параметром X і • Тоді наша задача зведеться до моделювання значень

послідовності випадкових величин х *|, £,, Т 2 , £, 2 >•••> Де

Т У , у = 1,2,... мають показниковий розподіл з параметром А, / •

Розділ І роботи присвячений побудові спроможних оцінок параметрів функцій зносу, що використовують специфіку траєкторій процесу. Основним результатом розділу е метод побудогн спроможних оцінок параметрів функцій зносу, який можна викласти в таких основних положеннях.

Нехай х1 , X 2 , ... ,Х п - спостережеігл процесу (І).

1. Розбиваємо спостереження па групи по 2т елементів. Спосіб групування даних може бути довільним, спостереження можуть повторюватись в різних групах. Важливо лише, щоб кожна група містила спостереження, що йдуть підряд.

2. Нехай х | , X 2 і ■ ■ ■ ) х 2 м "деяка ГРУ™ спостережень. Розглянемо для цієї групи систему рівнянь:

'Уі+У2+-+Ут=х1 -

У]Є~М +У2е~м+-+Уте^т- =х2, (5)

<

УіЄ-( 2-1)й1 +Ле-(2»-1)0 2=Х2П"

Якщо ця система несумісна, вказану групу спостережень далі не розглядаємо. В противному випадку розв’язуємо систему методом, описаним в розділі 1 .

3. Розв'язавши відповідні системи для кожної групи спостережень, будуємо оцінку за формулою:

* *

Л П І А ЇХ І ґ£\

Ні - М’1’,,->Н'7П — И-ОТ? ^

, *

де і знаходимо з умови:

. * . . * . . . . . ——_

м\ уІ+...+м'ту‘т =тах(м{у\+...+мІу11),і,] = Ір •

і

Тут верхні індекси - номери груп спостережень, що розглядаються.

Отримана оцінка є спроможною. Специфіка побудованої оцінки полягає в тому, що вона дає можливість з ймовірністю

1 — е~2^т ,Х = А.^ -Ь Х<2+--*+^ш визначити точні значення

параметрів функцій зносу. Точні значення отримуємо у випадку, якщо існує проміжок, що містить 2т спостережень, де немає стрибків траєктрії досліджуваного процесу.

Порад з випадком рівновіддалених спостережень розглядається випадок довільних моментів спостережень. У випадках існування нерівномірних включень та періодичного повторення інтервалів між спостереженнями вдалося побудувати методи оцінки параметрів та знайти прості умови, що накладаються на моменти спостережень, при яких отримані оцінки є спроможними.

В розділі 2 пропонується метод побудови оцінок параметрів Пуассонівських потоків , що грунтується на побудові специфічної множини інтервалів ідентифікації.

Припустимо , що задано алгоритм А. , за допомогою якого можемо з множини інтервалів {[1,2],[2,3],...,[п-1,п]} виділити підмножину І, що задовольняє умову: для будь-якого інтервалу [к,к+1] є І відома перестановка іі ,І2)...,іг,іг+ь-->іт чисел 1,2,...,щ така, що Р {X( (О ,ХІ2 (/) , - . X , (О мали стрибки на [к,к-Н] а інші

складові-не мали}=1. Таку множину І будемо називати .І5к.-множиноіо ідентифікації або просто множиною ідентифікації .Припустимо, що відомі ймовірності Р{на інтервалі [к,к+1] не було стрибка траєкторії

</е/

процесу Х/О/ [к,к+1 ] є 1} = р. (X , Д 2 ,..., Хп: ) <1.

З означення множини І випливає, що можна обчислити величини п 0 -кількість інтервалів з множини І, де не було стрибків процесу ХД) (з ймовірністю 1). Тоді можемо записати систему рівнянь для

знаходженім оцінок невідомій параметрів А, ] , X 2 ,ХЩ:

Р,(і , , X ,-----.X „ ) = ,

Я

л 2

Р2(Х,,Х 2 * ' * ■ * ^ ) ~ *

• п

Р „ (X , , X 2......х „ ) = -1І-.

. Л

Описаний вище підхід можна застосувати до моделі (1)-(2). В розділі 2 описаний алгоритм побудови множини ідентифікації, знайдені відповідні ймовірності та розв'язана ситема рівнянь (7). В конкретному випадку вона має вигляд:

. т г) .

е'я (1 - е~к> )П [е"2А (1 - е"Д') + е~х‘ ] = —!— ,

/=і « - >4

і ^

т ,, _____

едПК2Д 0 - ^ = і,**,

. /=1 п-п3

де п-кількість інтервалів одиничної довжини, що утворюють множину ідентифікації; Пр кількість інтервалів одиничної довжини з множини ідентифікації, де є стрибки процесу ХДі); п3- кількість інтервалів одиничної довжини з множини ідентифікації, де є стрибки процесу Х(1). Її розв’язок зводиться до знаходження коренів многочлена:

т т

П (£- 1>е'2"1 - е'лП к? - 1)е'2Х + ч = о-

>=1 ' ;=1 У

Отримана оцінка є сильно спроможною.

В розділі 3 пропонується метод, що грунтується на такій теоремі:

Теорема 1

Е\ 2 ...

Нехай = Е%\ ... Е\г * 0

Е$? ЕН ...

Тоді спроможною оцінкою параметрів —і_ , і = \,т є розв’язок системи лінійних рівнянь:

т л грр к ____

^-р^=Р,(х,Г)Д = 1,ш , (8)

ІҐі к\х,

. (9)

1 /=1 к=0

Виявляється, що знайдена оцінка є і асимптотично-нормальною. Це випливає з такої теореми:

<■ '» х іїЕ к

Теорема 2 Нехай у . ( А. , ц , £ £ ) = V —1—

ТҐі

Тоді сумісний граничний розподіл величин

7г(ч/, -р,),7г(ч<2 -р277(4.,,. -р„) с

нормальїшм з середнім 0 та коваріаційною матрицею IV = ( іу ) , = а;ау-а2, де

2цу(1-е^') *

а

к= О

л-2

т

п = V* +ЕС»*-і'*,^1ИІ»-к-1 ’а1 = и> = VI-

к = О

Наслідок. Нехай відома матриця

Е%х ' Еї2 ... Еї,

Е$і Еїг ...

Е =

,причому беї Е Ф 0

Е%1 ... £5!

Тоді розв’язок системи (8) є асимптотично нормальною оцінкою параметрив ^ ' , і — 1, /я з середнім о та коваріаційною матрицею

Iі і

С=І£ік)?,к=\ ’ де £/* = (е/ >а)(е/ ><3)су - <‘-п-тий рядок матриці Е'1, о = (а, ,..., а ) -визначений в теоремі,

2 , _-ц,

т

я. ^5/(1+ є-"')

й 2 ц, (1-е"»1')

На основі методів, описаних в розділах 2 та 3 можна побудувати метод, описаний в розділі 4, який грунтується на такій теоремі: Теорема З

Нехай існує послідовність функцій ик ((),к = 1,2 т — 1 така, що

а) утворює систему Чебишева на [0,+оо];

б) послідовність

« - £ СІ>Р^(х,Т)хҐ-')

1 /= 1 А: = 0

є строго позитивною;

в)£5**' = £§,», (£4,),і = 17т;к = 0,2ш - 1

Тоді а) спроможні оцінки математичних сподівань = 1 ,/77

можуть бути знайдені як корені многочлена

аеі||рг(х,7)рг,.І(х,г)...рг+ю.1(х,г)гг||“о

б) спроможні оцінки параметрів А,,-, / = 1, Ні є розв'язками системи рівнянь:

»' х.ат ________

0,/я-І -Іґі і

* Т +* V , . ^

де а • , (І • -спроможні оцінки величин іІС,^ та відповідно.

Як бачимо, у цій теоремі наводиться спосіб побудови параметрів функцій зносу , параметрів Пуассонівських потоків а також середніхвеличин стрибків. Правда, суттєво використовується інформація про розподіл веиличини стрибка.

В розділі 5 розглядається випадок одномірного параметра та пропонується оцінювати невідомий параметр функції зносу за допомогою вибіркових кореляцій. Якщо розглядати рівиовіддалеиі моменти спостережень, то це добре відомий підхід . В дисертації поширюються відомі результати на випадок довільних моментів

спостережень. Звичайно, що при цьому асимптотична нормальність оцінок буде вимагати накладання деяких умов на сітку моментів спостережень. Основним результатом розділу є така теорема:

Теорема 4 Нехай у = X — Х~ ’

* Ч (і

т - ґ

І У'.У',.,

ГІ - лаА________________’ Рі = е н ;

’ т - г-і

2 п2

і= І

00

> О таке,що ряд Еі - с| < 00 .

;=1 -

Тоді сумісний граничний розподіл величин

4т(гт -Р!),л/Г(гг2 -р2),...,л/г(г/ -р,) є нормальним з 0 середнім та коваріаційною матрицею IV — (уу^ ) ™ ^,

«V=(^-)2~^{1+р-\+е7*(Ъ-р~Т)+Х!-2)е'«**2) + 2ра 1-е4

н-го-гу*'*2* -аг" -2/®'**' +4е11<'+,’-2>+еш'-'\\-р+г>+ «&(і+р-і» ,

іе

а = Мі1+2^(1_е-^)(1_Мі_^)

2ц ц Ц

Д = HmA(/i)

/->00

ti ~ kjC + A(f,),A(r,) < c,kt eN

Розділ 6 присвячений перевірці гіпотези про функцію розподілу величини стрибка. (Відмітимо, що побудова множини ідентифікації дас можливість обмежитись у вивченні лише одномірним випадком.) Цей розділ можна поділити на 3 основні частини. В першій частині перевіряється гіпотеза про функцію розподілу величини стрибка. Причому пропонується такий підхід.

і

Нехай ф = ехр{-Я|[/(^е_>і(,-т))- \)d%

о

K{F,s,u) = {e~se~*F('{u) /F{\u)

dn

h * = — IK(F,s, In є

Ф

» = \e-"dFj(x) = e-"-

o n i=\

Алгоритм перевірки гіпотези про функцію розподілу величини стрибка такий:

1. Вибираємо деяке Б > 0;

2. Утворюємо ряд

3. Обчислюємо величини ср (5) та ф * (5) ;

4. Обчислюємо величину К^,Б,и) та Н* ,к~\

5. Якщо

л/л~ (1п<ру(>)- ІП ф * (5)) < Ь ~ або

л/Й(ІП ф у (5) - ІП ф * О)) > Л* ,

то гіпотеза відхиляється з ймовірністю, більшою ніж 1 — 2 Є .

В другій частіші перевіряється гіпотеза про перетворення Лапласа величини стрибка. Нехай функція И(р') така, що

* (р)

У(р)= \dPii, < х) = Р^к{р)У

о

Маючи функції М(р) та 1|/ (/?), легко можемо побудувати критичну множину рівня Є. Дійсно, виберемо точки Р\->Рг->Рі < Р\ так’ що6 У(Рі) “ ¥(Рі) - 1 - є • Тоді

V (Р2) - V (Рі) = % (КР2)) - Ь (КРх [А(

Отже, процедура перевірки гіпотези Н буде такою: якщо

£,! 0 [И{рі ), И{р2 )] > го гіпотеза відхиляється. В іншому випадку [тродовжуготься спостереження. В роботі будується критична множина у вигляді:[ 0,^2 (/?))] .Де

В третій частині розділу 6 пропонується наближено визначати щільність величини Х2 ~ Є , Тоді задача зведеться до класичної.

Величини Х-у — Є ^Х^,Х^~Є ^Х2,..-,Хп — Є можна

розглядати як вибірку з генеральної сукупності (Ху -результати

спостережень). Тоді необхідно перевірити гіпотезу про щільність розподілу по вибірці з генеральної сукупності.

Додаток являє собою ілюстрацію роботи пакету програм, що включає в себе програму, яка моделює процес радіоактивного забруднення з багатовимірним параметром та програми-реалізації основних методів дисертаційної роботи.

Висновки

Таким чином, в дисертаційній роботі отримані такі результати:

• розроблено методи оцінки параметрів функцій зносу та пуассонівських потоків досліджуваної моделі, що використовують специфіку траєкторій процесу і дають можливість будувати точні оцінки параметрів прн порівняно невеликій кількості спостережень. Причому розглядається і випадок нерівномірних моментів спостережень;

• побудовано метод оцінки всіх класів параметрів , що являє собою комбінацію розробленого методу та підходу, аналогічного методу

моментів;

• вивчена можливість оцінювання параметра функції зносу у випадку одномірного параметра та рівновіддалених моментів спостережень за допомогою вибіркових кореляцій. Знайдено умови, при яких відповідна центральна гранична теорема має місце у випадку довільних моментів спостережень;

• запропоновані деякі підходи до перевірки гіпотез про розподіл величин стрибків досліджуваного процесу;

• розроблено пакет програм, за допомогою якого можна моделювати досліджуваний процес та будувати оцінки параметрів по результатах спостережень . Він може бути корисним при дослідженні певного класу реальних природних процесів.

Основні результати дисертації опубліковані в наступних роботах:

1. Закусило О.К.,Турбал Ю.В. Один метод оцінки параметрів функцій зносу моделі радіоактивного забруднення.-Вісник Київського університету, н. 1 , 1996 р.,ст. 119-124.

2. Закусило О.К. Турбал Ю.В. Оцінка параметрів функцій зносу моделі радіоактивного забруднення у випадку нерівномірних моментів спостережень. -Вісник Київського університету, н.1, 1996 р., ст. 124-130.

3. Турбал Ю.В. Оцінка параметрів моделі радіоактивного забруднення методом моменті в.-Волинський математичний вісник, вип.2,1996, ст. 171-175.

4. Турбал Ю.В. Оцінка інтенсивностей пуассонівських потоків моделі радіоактивного забруднення. -Волинський математичний вісник, вип.3,1996, ст.54-60

5. Турбал Ю.В. Один метод побудови оцінок параметрів пуассонівських потоків для моделі радіоактивного забруднення.-Тези доповідей міжнародної конференції, присвяченої 100-річчю з дня народження Е.Ремеза ,“Теорія апроксимацій та чисельні методи”, Рівне, 1996 ,ст.96.

6. Турбал Ю.В. Одна гранична теорема для часового ряду моделі радіоактивного забруднення.- Тези доповідей конференції, присвяченої річниці з дня народження М.Кравчука, Київ, 1996, ст.84.

7. Турбал Ю.В. Оцінка параметрів моделі радіоактивного забруднення,-Тези доповідей VI-Ї української конференції “Моделирование и исследование устойчивости систем”, Київ, 1995, ст. 111 .

Турбал Ю.В, Оценка параметров процессов сохранения. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-матаматических наук по специальности 01.01.05-теория вероятностей и математическая статистика. Киевский университет, Киев,1996.

В диссертации содержится ряд методов оценки параметров и проверки гипотез о функции распределения скачков исследуемого случайного процесса.

Turbal Y.V. The parameters estimation of a processes of reserving. Theisis for a degree of Candidate of Science (Ph.D) in Physics and Mathematics, speciality 01.01.05-Probability theory and mathematical statistics. Kyiv National University,Kyiv, 1996.

Theisis containes methods of parameters estimation and testing of statistical hypotheses about the jumps distributions of researching process trace .

Ключові слова: оцінка, параметр, функція зносу, розподіл, часовий ряд, вибірка, випадковий процес, функція розподілу, випадкова величина, вибіркова кореляція, момент, множина ідентифікації, пуассонівський потік, перетворення Лапласа, характеристична функція, система функцій Чебишева, спроможність, асимптотична нормальність.