Влияние различных видов производственной функции и схем налогообложения на поведение инвестора тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

На правах рукописи

Трубачева Анна Евгеньевна

ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ И СХЕМ НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ НА ПОВЕДЕНИЕ ИНВЕСТОРА

Специальность 01.01.09 — дискретная математика и математическая

кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2006

Работа выполнена на кафедре математической экономики Новосибирского государственного университета

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Валерий Александрович Васильев,

кандидат технических наук, старший научный сотрудник Сергей Матвеевич Анцыз

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Николай Павлович Дементьев, кандидат технических наук Рудольф Михайлович Ларин

Ведущая организация:

Новосибирский государственный университет экономики и управления

Защита, состоится 23 августа 2006 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.01 в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр-т Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале. Института, математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан июля 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета д. ф.-м.и.

Ю. В. Шамардин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема оптимизации управления производством в разных экономических ситуациях является одной из наиболее важных в теории управления сложными системами. Ввиду актуальности данной проблемы ее изучению посвящены труды многих исследователей. Среди них следует отметить работы Л. В. Канторовича, В. Л. Макарова, А. А. Петрова, С. А. Ашманова, В. А. Васильева, Н. П. Дементьева, Б. С. Митягина, И. Г. Поспелова, Ф. Рамсея, Р. Ссшоу, Е. Фелпса, Г. Хотелинга, А. А. Шананина и других.

Первые математические формулировки правил накопления, определяющих доли потребления и инвестиций, появились в 20-х годах прошлого столетия в работах [1] и [2]. В этих работах, а также в [3]-[5], с помощью аппарата оптимального управления изучаются модели, основанные на вогнутых производственных функциях (в частности, неоклассических). Подобные функции возникают и при моделировании экономической динамики с помощью аппарата математического программирования, а также балансовых уравнений, например в [6]-[9]. Требование вогнутости довольно естественно, но не отражает ряда существующих в экономике реалий. Поэтому важно исследовать новые классы возмущенных производственных функций.

Для того, чтобы определить, какая из схем налогообложения наиболее способствует росту производства, необходимо получение для каждой из них соответствующих правил накопления. Из математических исследований проблем инвестиций в производство и налогообложения отметим работы Г. С. Поспелова, С. М. Анцыза, Е. В. Балацкого, В. Д. Маршака, С. М. Мовшовича, Э. О. Рапопорта, Л. Е. Соколовского и других.

При изучении иерархической системы государство-инвестор (глава предприятия)-производство нужно согласовывать интересы государства и налогоплательщиков. Для этого необходимо одновременно решать две задачи: для инвестора — проблему потребление-инвестирование, а для государства — задачу роста налоговых поступлений.

Следовательно, является актуальным исследование трехуровневой системы государство-инвестор-производство с целью решения проблемы распределения доходов от производства между потреблением, инвестициями и помехами в виде налогов, когда доходы моделируются различными производственными функциями. Актуальность темы дис-

сертации подтверждается также тем, что на протяжении последних лет данная тема активно исследуется [5], [9]-[11].

Целью работы является сравнительный анализ параметров функционирования иерархической системы государство-инвестор-производство при различных формах налогообложения и разных видах производственной функции, доказательство теорем о магистральном поведении инвестора и рациональном поведении государства.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и обоснованы подробными доказательствами. Основными результатами диссертации являются следующие:

1. доказана независимость оптимальной структуры управления иерархической системой от схемы налогообложения;

2. найдено оптимальное значение доли инвестиций при едином пропорциональном и прогрессивном налогах;

3. получены правила накопления для аддитивных и мультипликативных возмущенных производственных функций;

4. найдено оптимальное значение доли инвестиций для случая аддитивного возмущения производственной функции, т.е. даже в случае возмущенной производственной функции, не являющейся неоклассической (/"(к) может менять знак), т.е. квазинеоклассической, получена аналогичная структура управления, что и в невозмущенном случае;

5. найдены новые свойства решения двухуровневой задачи оптимизации для системы государство-инвестор-производство при плоской и прогрессивной шкалах налогообложения.

Методы исследования.

В работе использовались понятия и методы теории исследования операций, теории оптимального управления, функционального анализа, теории дифференциальных уравнений, математической экономики, а также новые методы оптимизации функционирования систем с иерархией в управлении.

Практическая ценность данной работы состоит в возможности использования полученных результатов для разработки научных основ формирования бюджетов при различных условиях экономического состояния государства.

Апробация работы. Результаты диссертации были изложены на объединенном семинаре кафедры математической экономики и кафедры теоретической кибернетики НГУ, на семинаре математико-экономического отдела Института математики СО РАН, а также на следующих конференциях: МНСК "Студент и научно-технический про-

гресс" (Новосибирск, 2001-2005 гг.); Международная конференция YM (Новосибирск, 2001, 2002, 2004 гг., Красноярск, 2003 г., Кемерово, 2005 г.); Всероссийская конференция DAOR (Новосибирск, 2002, 2004 гг.); Всероссийская конференция "Проблемы оптимизации и экономические приложения" (Омск, 2003, 2006 гг.); Международная школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 2005 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 работ, среди которых 3 препринта и 13 тезисов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 150 стр. и список литературы из 107 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечена актуальность исследуемой темы, дается обзор и краткий анализ существующих подходов и методов в исследованиях, связанных с темой диссертации, ставятся цели и задачи исследования, изложено краткое содержание работы.

Первая глава посвящена изучению влияния различных схем налогообложения на построение правил накопления, соответствующих этим схемам.

Раздел 1.1 посвящен построению базовой математической модели функционирования системы государство-инвестор-производство, включающей объем L трудовых ресурсов, инвестора и государство, облагающее налогом N(t) доход Y(t) инвестора. Пусть ставка налогообложения задается функцией р(У), вид которой зависит от схемы налога. Предполагается, что развитие экономики подчиняется условиям:

Y(t) = N(t) + C{t) + Щ, )

N(t) = p(Y)Y(t), C(t) = (1 — р(У))(1 — s(t))Y(t), } (1)

I(t) = (1 - p(Y))s(t)Y(t), 0 < s(t) <1, 0 < p(Y) < 1, J

где C(t) — объем потребления, /(f) — величина инвестиций, s(t) — доля инвестиций в доходе.

Определение 1.1. Система называется фискально лояльной, если государство направляет часть налогов на инвестиции.

Обозначим через K(t) объем основных фондов. В первой главе рассматриваются производственные функции Y — F(K,L), удовлетворяющие требованиям гладкости, однородности (1-й степени), условиям

Ш > 0l Ш > °> < °> Йт < °> К,ь > О VI ограничениям на

вид функции K(t):

K(t) = (1 - p(Y))s(t)F(K(t), L) - MK(t) + p(Y)F(K(t),L)X, (2)

> kT > 0, (3)

где Ц > 0 — темп амортизации фондов, 0 < A < 1 — доля налога, направляемая на инвестиции, кт — нижняя граница фондовооруженности в момент времени Т. Предполагается, что трудовые ресурсы неизменны в течение всего рассматриваемого промежутка времени.

Переходя к новым переменным, задачу оптимизации поведения инвестора записываем следующим образом: для заданных p(f), А 6 [0,1] максимизировать функционал

Га - р(/))( 1 - s(t))mt))e~Stdt (4)

Jo

при ограничениях

Ht) = (l-p(f))s(t)f(k(t))-ßk(t) + p(f)f(k(t))X, (5)

0 < s(t) < 1, (6)

fc(0) = fco > 0, к(Т) >кт> 0, (7)

где S > 0 — константа дисконтирования, k(t) — Щр- — фондовооруженность, f(k) = 1), p(f) — ставка налогообложения. Функция f(k) является неоклассической, т.е. выполняются условия: /' > 0,/" < 0,/(0) = 0, lim f(k) = оо, lim f'(k) = oo, lim J'(k) = 0.

k-yoo k-y 0 k-ioo

Определение 1.4. Форма налогообложения называется рациональной, если выполняется неравенство к, < к'ах, где ка — фондовооруженность в ситуации без налога при заданном значении s, являющаяся стационарным решением уравнения (5) при p(f) = 0, kfax — стационарное решение уравнения (5) при том же значении а и фиксированной схеме налогообложения.

В задаче (4)-(7) определяется функция s(t), максимизирующая функционал (4) потребления инвестора.

Наилучшим стационарным значением фондовооруженности для производственной функции f называется такое число к*, что в точке (к*,/(к*)) касательная к графику функции / параллельна прямой цк и лежит выше всех других касательных к этому графику, параллельных прямой цк.

В разделе 1.2 приведена схема получения оптимальной величины s* для стационарных траекторий, соответствующей наилучшему стационарному значению фондовооруженности к*, в отсутствии налога (т.е. при р(/) = 0).

В разделах 1.3 и 1.4 рассматривается влияние единого пропорционального налога (р(/) = х) на поведение инвестора.

Решая задачу (4)-(7) с помощью принципа максимума Л. С. Понтря-гина, получаем

(s(t) — 1, если q > 1,

a(t) = 0, если q < 1, (8)

s(t) G [0, 1], если 9=1,

где q = фе51, ip(t) — сопряженная функция. Исследовав фазовые траектории на плоскости (k,q), рассматривая специальные не особые траектории, находим величины Ti — время прохождения ¿-ой траектории. Положим То = шах{Т,}.

Будем говорить, что задача оптимизации имеет усеченную область допустимых траекторий, если все траектории данной области не имеют особых режимов управления. В противном случае будем говорить о задаче с неусеченной областью допустимых траекторий.

Теорема 1.1 (о поведении инвестора). Пусть в фискально лояльной системе задача планирования (4)-(7) с дополнительными условиями f(k) е С3,/"' > 0 и р(/) = х = const ф 1, имеет неусеченную область допустимых траекторий. Пусть также промежуток планирования Т достаточно велик (T > TqJ и имеет место ограничение < /¿к* < (1 - х + X>)f(k*). Тогда в задаче (4)-(7) существует особое оптимальное управление s(t) и моменты времени Т*,Т** (0 < Т* < Т** < Т), для которых выполнены условия: в начале периода (0 < t < Т*) и в конце (Т** < t < Т) значение s(t) равно либо 0, либо 1. Все остальное время s(t) = s* = (цк* — — x)/(k*)> где к* — решение уравнения }'{к) — (5 + ju)/(l — х +

В разделе 1.5 рассматривается модель поведения инвестора при прогрессивном налоге, получено правило накопления для этой модели.

В разделе 1.6 предложена схема прогрессивного налога с постоянной скоростью изменения ставки налогообложения p(Y) = Y(i) и получено соответствующее правило накопления.

В разделе 1.7 для плоской и прогрессивной шкал налогообложения доказано следующее утверждение.

Теорема 1.2 (о верхнем уровне управления). Пусть в модели (4)-(V фискально лояльной системы производственная функция f(k) неоклассическая, функция р(/) — одна из рассмотренных в разделах 1.3, 1.5 функций. Тогда для рациональности указанных форм налогообложения необходимо ы достаточно, чтобы доля налога А, направляемая на дотации производству, была не меньше, чем доля дохода s, идущая на инвестиции, т.е. О < s < X < 1 независимо от рассматриваемых типов функций p(f).

Во второй главе рассматриваются новые виды производственных функций — возмущенные.

Раздел 2.1 посвящен построению базовых математических моделей, в которых p(f) = 0, функционал в (4) заменяется на

fT(l-a(t))f(k(t))e-stdt, (9)

J о

а ограничение (5) — на условие

k(t) = s(t)f(k(t)) - fik(t). (10)

Рассматриваются два вида возмущения: f(k) = /(&) +т(А) (аддитивное) и /(А) = /(&)( 1 + т(к)) (мультипликативное), где ¡(к) — неоклассическая функция, т(к) € С1.

В разделах 2.2-2.4 исследуется аддитивная модель возмущения производственной функции. Так как в многоэкстремальной задаче (9), (10), (6), (7) в качестве меры устойчивости принимается уровень гарантирования условия к(Т) > кт > 0, то можно использовать предложенный метод нахождения максимальной величины наилучшей стационарной фондовооруженности к*.

Определение 2.1. Функция /(&) = f(k) + т(к) называется аддитивно слабо возмущенной, если f{k) — неоклассическая функция и возмущение т(к) мало, т.е. ||r||cri < С Для 0 < Ç 1 и г(0) = 0.

Определение 2.3. Стратегия инвестора a(i), t € [0,Т] — это доля его дохода от производства, направленная на развитие данного производства.

Для аддитивной модели возмущения получено правило накопления и доказана теорема о магистрали.

Теорема 2.2. Пусть стратегия инвестора определяется из условия стационарности решения задачи (9), (10), (6), (7), в которой f(k) — аддитивно слабо возмущенная функция, т(к) 6 С1. Тогда оптимальная стратегия инвестора имеет вид

a* _ Мadd

ККм)'

где k*d(t — максимальное среди наилучших стационарных значений фондовооруженности.

Теорема 2.3. Пусть в задаче планирования (9), (10), (6), (7) функция f(k) является аддитивно слабо возмущенной, где т(к) G С2, ||r(fc)||c2 < С» 0 < С 1- Пусть в рассматриваемой задаче существуют допустимые траектории и промежуток планирования Т достаточно велик (Т > Tq). Пусть также существует максимальный элемент к^ах в множестве {fc^t € /} П (0, fcmirl), где к? — решения уравнения f'(k) = <5 + ц — т'(к), кт(п — минимальное из решений уравнения /(&) = fik — г (к), I — некоторое индексное множество. Тогда справедливы следующие утверждения.

1) Существует по крайней мере одна оптимальная стратегия распределения дохода на потребление и инвестиции.

2) Оптимальное управление s(t) имеет следующий вид: в начале периода (0 < t < Т*) и в конце (Т** < t <Т) выполнено s(t) € {0,1},

а все остальное время (Г* < t < Т**) имеет место s(t) = s* = fik"

В разделе 2.5 исследуется мультипликативная модель возмущения производственной функции.

Определение 2.2. Функция f(k) = /(fc)(l + т(к)) называется слабо возмущенно вогнутой, если /(&) — неоклассическая функция и возмущение т(к) мало, т.е. ||т||сп < С Для 0 < С 1 и т(0) = 0.

Теорема 2.4. Пусть распределение дохода на потребление и инвестиции определяется из условия стационарности решения задачи (9), (10), (6), (7), f(k) — слабо возмущенно вогнутая функция и т(к) 6 С1. Тогда оптимальная стратегия инвестора определяется по правилу

3* _ tumult fi^mult)

где k'mult — максимальное среди наилучших стационарных значений фондовооруженности.

Раздел 2.6 иллюстрирует теоретические выводы разделов 2.2 и 2.5 на примере реальной модели функционирования одного машиностроительного объединения, данные о котором взяты из [12].

Приведены примеры аддитивно слабо возмущенной функции Д (к) = = а£ Vk + £2 sin j и слабо возмущенно вогнутой функции /г(&) = = a£\fk(l + е2 sin £), оптимальная доля в* для которых существенно больше оптимальной доли, соответствующей невозмущенной функции f(k) = ay/k, где 0<е<1, а,ае > 0 — некоторые коэффициенты.

Третья глава посвящена исследованию моделей, введенных в разделах 1.3 и 1.6.

В разделе 3.1 сформулирована двухуровневая задача оптимизации, базирующаяся на модели (4)-(7), в которой р(/) = Xif¡ гДе Xi — постоянная скорость роста ставки налогообложения.

Условия (1) в этой модели принимают вид

У (í) = N(t) + C(t) + I(t), N(t) = XiYHt), )

C{t) = (l-s(t))(l-XiY{t))Y(t), J(í) = s(í)(l-xiF(í))F(í), >(11) 0 < s(t) <1, 0 < xi Y(t) <1. J

Условие (5) выглядит следующим образом:

Ш = s{t)f{k{t)) + Xi/2(fc(í))(A - s(í)) - fiHt). (12)

Двухуровневость модели заключается в том, что в интересах государства требуется максимизировать по Xi функционал

ГТ

/ N(t)e~5tdt, (13)

Jo

задавая инвестору величину XI и получая от инвестора оптимальное значение которое определяется в результате максимизации инвестором удельного потребления

/

Jo

(i - smmt)) - xií2m))e-stdt. <и)

Разделы 3.2-3.4 посвящены решению оптимизационной задачи инвестора, раздел 3.5 — исследованию задачи государства максимизации налоговых поступлений в бюджет при найденном оптимальном поведении инвестора. Задача инвестора состоит в выборе функции s(t) = s(t,xi)t максимизирующей функционал (14) при ограничениях (12), (6), (7) и фиксированном значении параметра Хъ Задача государства — максимизировать функционал (13) при условии, что доля дохода s(t) в (11), (12) определяется в результате решения задачи инвестора.

Оптимальная стратегия инвестора определяется в этой модели следующим утверждением.

Теорема 3.1 (о поведении инвестора). Пусть при прогрессивном налоге с постоянной скоростью роста ставки налогообложения задача (14), (12), (6), (7) в фискально лояльной системе имеет неусеченную область допустимых траекторий. Пусть Т > То и имеет место ограничение xiA/2(fc*) < цк* < f(k*)[ 1 - xi/(k*)(l - А)]. Тогда в задаче (14), (12), (6), (7) существует особое оптимальное управление s(t), которое в начале периода (0 < t < Г*) и в конце периода (Т** < t <Т) принимает значения 0 или 1, а все остальное время (Т* < t < Г**) — одно и то же значение, определяемое формулой

где k* находится из условия /'(fc)[l — 2xi(l — A)/(fc)] = <5 + ц.

Для различных неоклассических функций вида f(k) = akb, где о>0, 0 < Ь < 1, приведены примеры экономических ситуаций, в которых, при выполнении найденных в работе условий существования особых оптимальных траекторий, функции налоговых поступлений в бюджет (кривая Лаффера при едином пропорциональном и кривая "типа Лаффера" при прогрессивном налогообложении) возрастают с ростом X и Xi > соответственно, до некоторой величины xopt (x°pt), а далее убывают.

Отметим, что другими авторами (см., например, [10]) кривая Лаф-фера рассматривалась как функция от ставки налогообложения, а кривая "типа Лаффера" является функцией от скорости роста ставки налогообложения. Рассмотрение кривых "типа Лаффера" обосновано тем, что лафферов эффект (существование оптимального уровня налогообложения) имеет место, если в качестве аргумента рассматривается не сама ставка, а скорость ее роста.

Из проведенного в диссертации исследования верхнего уровня управления при едином пропорциональном налоге следует, что существуют реальные для экономики параметры, при которых эффект Лаффера реализуется в явном виде (существует максимум функции, аргументом которой является ставка налогообложения).

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

1. Установлена независимость оптимальной структуры управления иерархической системой от схемы налогообложения. Исследовано поведение инвестора при различных схемах налогообложения и вогнутой производственной функции, получены новые правила накопления для рассмотренных схем.

2. Доказана магистральная теорема, позволяющая определить оптимальное значение доли инвестиций в случае единого пропорционального налога.

3. Исследовано поведение инвестора при возмущении функции производства. Показано, что даже слабые возмущения могут потребовать значительных дополнительных затрат на инвестиции для устойчивости производственного процесса.

4. Для аддитивной модели возмущения производственной функции получено правило накопления и доказана теорема о магистрали, определяющая оптимальное значение доли инвестиций. Тем самым, даже в случае квазинеоклассических производственных функций показано существование особого оптимального режима управления.

5. Доказана магистральная теорема об оптимальном значении доли инвестиций для нижнего уровня управления в двухуровневой задаче при прогрессивном налогообложении.

6. Приведены примеры для плоской и прогрессивной шкал налогообложения, показывающие, что существуют ситуации, для которых в двухуровневой задаче оптимизации налоговой ставки существует нетривиальное оптимальное решение.

Список литературы

[1] Ramsey F.P. A mathematical theory of savings // Economic J. 1928. Vol. 38. P. 543-559.

[2] Hotelling H. The economics of exhaustible resources // J. of Political Economy. 1931. Vol. 39, № 2, Apr. P. 137-175.

[3] Митягин Б. С. Заметки по математической экономике // Успехи математических наук, 1972. Т. XXVII, в. 3. С. 3-19.

[4] Аишанов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.

[5] Дементьев Н.П. Модели экономического роста с классовой дифференциацией сбережений // Системное исследование экономических процессов в России. Сб. науч. тр. ИЭОПП СО РАН, 2004. С. 51-74.

[6] Канторович Л.В. Динамическая модель оптимального планирования // Оптимальное планирование, 1967. В. 8. С. 3-22.

[7] Макаров B.JI., Васильев В.А., Козырев А.Н., Маракулин В.М. О некоторых проблемах и результатах современной математической экономики // Оптимизация, 1982. В. 30(47). С. 5-86.

[8] Вирченко М.И., Рапопорт Э.О. О влиянии земельного налога на стимулы производства // Сибирский вестник селькохозяйственной науки, 1997. № 1-2. С. 103-108.

[9] Петров A.A., Шананин A.A. Математическая модель для оценки эффективности одного сценария экономического роста // Математическое моделирование, 2002. Т. 14, № 7. С. 27-52.

[10] Балацкий Е.В. Инвариантность фискальных точек Лаффера //Мировая экономика и международные отношения, 2003. № 6. С. 62-71.

[11] Егорова Н. Е., Хачатрян С. Р. Применение дифференциальных уравнений для анализа динамики развития малых предприятий, использующих кредитно-инвестиционные ресурсы // Экономика и мат. методы, 2006. Т. 42, Л* 1. С. 50-67.

[12] Анцыз С.М., Донское И.В., Маршак В.Д., Чупин В.Г. Оптимизация системных решений в распределенных базах данных. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[13] Трубачева А.Е. Поведение инвестора при различных формах налогообложения // Материалы XXXIX МНСК "Студент и научно-технический прогресс". Математика, НГУ, 2001. С. 57-58.

[14] Трубачева А.Е. Поведение инвестора при различных формах налогообложения // Материалы международной конференции YM'01. Новосибирск, 2001. С. 18-19.

[15] Трубачева А.Е. О развитии экономики при некоторых формах налогообложения // Материалы всероссийской конференции DAOR'02. Новосибирск, 2002. С. 197.

[16] Трубачева А.Е. Возмущенно вогнутые производственные функции // Материалы международной конференции YM'02. Новосибирск, 2002. С. 79.

[17] Трубачева А.Е. О некоторых моделях возмущенной производственной функции // Материалы XLI МНСК "Студент и научно-технический прогресс". Математика, НГУ, 2003. С. 95.

[18] Трубачева А.Е. Эффект от возмущения производственной функции в модели Рамсея // Материалы всероссийской конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения". Омск, 2003. С. 161.

[19] Трубачева А.Е. Теорема о магистрали в случае возмущенных производственных функций / / Материалы IV всероссийской конференции YM'03. Красноярск, 2003. С. 76-77.

[20] Трубачева А.Е. Об одном примере возмущения экономической динамики // Материалы XLII МНСК "Студент и научно-технический прогресс". Математика, НГУ, 2004. С. 120-121.

[21] Трубачева А.Е. Новые модели поведения инвестора при различных формах налогообложения // Труды XLII МНСК "Студент и научно-технический прогресс". НГУ, 2004. С. 176-180.

[22] Трубачева А.Е. Математический анализ последствий возмущения производственных функций // Материалы всероссийской конференции DAOR'04. Новосибирск, 2004. С. 214.

[23] Трубачева А.Е. Влияние возмущения производственной функции на поведение инвестора // Сибирский журнал индустриальной математики, 2004. Том VII, №3(19), июль-сентябрь. С. 156-169.

[24] Трубачева А.Е. Магистральные теоремы, характеризующие развитие экономических систем // Материалы V всероссийской конференции YM'04. Новосибирск, 2004. С. 64-65.

[25] Трубачева А.Е. Об одной модели прогрессивного налогообложения // Материалы ХЫП МНСК "Студент и научно-технический прогресс". Математика, НГУ, 2005. С. 125-126.

[26] Трубачева А.Е. Исследование поведения инвестора при различных схемах налогообложения и разных видах производственной функции. Препринт ИМ СО РАН № 153, 2005. 40 с.

[27] Трубачева А.Е. О поведении инвестора при линейно возрастающей ставке налогообложения. Препринт ИМ СО РАН № 156, 2005. 44 с.

[28] Трубачева А.Е. Об оптимальности линейно возрастающей ставки прогрессивного налога // Равновесные модели экономики и энергетики: Труды Х1П Байкальской международной школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск, 2005. С. 228-233.

[29] Трубачева А.Е. Аддитивная модель возмущения производственной функции // Материалы VI всероссийской конференции YM'05. Кемерово, 2005. С. 53.

[30] Трубачева А.Е. Исследование двух уровней управления сложной экономической системы. Препринт ИМ СО РАН № 168, 2006. 36 с.

[31] Трубачева А.Е. Об особенностях оптимальной стратегии верхнего уровня управления в некоторой двухуровневой задаче // Материалы Ш всероссийской конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения". Омск, 2006. С. Л ТЛ .

Трубачева Анна Евгеньевна

Влияние различных видов производственной функции и схем налогообложения на поведение инвестора

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 10.07.06. Формат 60 х 84 '/jó. Печать офсетная.

_Уч.-нзд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 365._.

НП AII «Гео» 630090, Новосибирск, просп. Коптюга, 3

Введение.

Глава 1. Исследование поведения инвестора при различных схемах налогообложения.

1.1. Базовая математическая модель.

1.2. Развитие экономики в отсутствие налога.

1.3. Влияние единого пропорционального налога на поведение инвестора.

1.4. Теорема о магистрали при едином пропорциональном налоге.

1.5. Модель поведения инвестора при прогрессивном налоге

1.6. Прогрессивный налог с постоянной скоростью изменения ставки налогообложения.

1.7. Теорема о верхнем уровне управления при различных формах налогообложения.

Глава 2. Влияние возмущения производственной функции на поведение инвестора.

2.1. Базовая математическая модель возмущения производственной функции.

2.2. Простейшая аддитивная модель возмущения производственной функции.

2.3. Общий случай аддитивной модели возмущения производственной функции.

2.4. Теорема о магистрали для аддитивной модели возмущения производственной функции.

2.4.1. Вспомогательные утверждения.

2.4.2. Исследование оптимальной стратегии инвестора.

2.5. Мультипликативная модель возмущения производственной функции.

2.5.1. Простейшая модель.

2.5.2. Общий случай мультипликативной модели возмущения производственной функции.

2.5.3. Влияние возмущения производственной функции на стратегию инвестора.

2.6. Анализ модели функционирования одного машиностроительного объединения.

Глава 3. Исследование двух уровней управления сложной экономической системы.

3.1. Модель функционирования производства при прогрессивном налогообложении.

3.2. Задача инвестора в иерархической системе.

3.3. Исследование условий существования решения задачи инвестора.

3.3.1. Исследование дифференциальных уравнений при q > 1.

3.3.2. Исследование дифференциальных уравнений при q < 1.

3.3.3. Построение фазовых диаграмм.

3.4. Теорема о магистральном поведении инвестора при линейно возрастающей ставке налога.

3.5. Исследование верхнего уровня управления в иерархической системе.

Полное решение проблемы оптимизации функционирования системы с иерархией в управлении, являющейся одной из наиболее сложных проблем математической кибернетики, до сих пор не получено. Показано [72], что простейшая по формулировке задача данной проблематики (двухуровневого линейного программирования) NP-трудна.

При изучении иерархической системы государство-инвестор-производство приходится согласовывать интересы государства и налогоплательщиков. Для этого необходимо одновременно решать две задачи: для инвестора — проблему потребление-инвестирование, а для государства — задачу роста налоговых поступлений. Начиная с первых исследований по данной тематике [27, 76, 82], проблему потребление-инвестирование принято рассматривать как задачу распределения дохода на инвестиции и потребление. Доходы в этой задаче моделируются различными производственными функциями [2, 5, 16, 39, 45, 74, 84, 85], а налоги считаются помехами функционированию системы. Таким образом, проблема оптимизации поведения инвестора при разных видах производственной функции и налога является одной из наиболее важных в теории управления сложными системами. Следовательно, является актуальным исследование трехуровневой системы государство-инвестор-производство с целью решения проблемы распределения доходов от производства между потреблением, инвестициями и помехами в виде налогов. Актуальность темы диссертации подтверждается также тем, что на протяжении многих лет данная тема активно исследуется [6], [20]—[23], [41, 55, 65, 75].

Внедрение математических методов в экономические исследования началось в 30-х годах XX в., хотя первые проникновения относятся к XVII — XVIII вв. В настоящее время можно выделить два основных подхода к решению проблемы оптимизации поведения инвестора — методы, использующие аппарат математического программирования, и методы оптимального управления. Оба подхода моделируют "дуализм в поведении индивидуумов как потребителей (побольше потреблять сейчас) и как инвесторов (инвестировать сейчас так, чтобы иметь побольше в будущем), приводящий к рассмотрению оптимизационных проблем, которые в математической экономике формулируются как потребление — сбережение и размещениё' [68]. Потребление — это конечная, завершающая стадия общественного производства, а также использование общественного продукта для удовлетворения экономических потребностей людей [62]. В рамках теории полезности и предпочтения эта проблема опирается на аксиомы (фон Неймана-Моргенштерна [49]) рационального поведения индивидуумов в условиях неопределенности, дающие подход и способ определять предпочтительность того или иного типа их поведения посредством количественного сравнения, например, средних значений функций полезности (см. [50]).

Моделирование поведения инвестора задачами математического программирования началось с основополагающих работ J1. В. Канторовича и Дж. Данцига [18,27, 28], в которых рассмотрены различные модели производственных процессов. Внедрение аппарата динамического программирования в экономико-математические исследования начато работами Р. Беллмана (см. [7]). В дальнейшем подобные методы активно разви-вались(см., например, работы И. И. Еремина, Ю. П. Иванилова и др. [24, 25]).

Особое внимание этому подходу было уделено в исследованиях, проводимых под руководством JI. В. Канторовича и В. JI. Макарова сотрудниками математико-экономического отдела Института математики СО РАН: В. Д. Маршаком, В. И. Шмыревым, С. М. Анцызом, В. А. Карда-шем, Э. О. Рапопортом и др. [3, 4, 26, 30, 31, 69]. В этих работах разрабатывались модели функционирования сложных экономических систем в различных отраслях и их математическое обеспечение. При этом были существенно использованы результаты Г. Ш. Рубинштейна, В. A. Byлавского и др. (см., например, [8, 59, 69]) по исследованию методов решения задач математического программирования большой размерности с учетом специальной структуры. Конкретные задачи, в которых учитывалась иерархичность принятия решений в экономических системах, были рассмотрены в работах [3, 4, 31] и др. Подобные исследования проводятся и в отделе теоретической кибернетики ИМ СО РАН (см., например, [19,37]).

Близкий по инструментарию подход (балансовые уравнения) используется в работах А. А. Петрова, Г. С. Поспелова, И. Г. Поспелова и др. (см., например, [10, 22, 54, 55, 57]). В частности, в работе [22] для модели производственной системы при жестких финансовых ограничениях доказана теорема о магистрали, которая позволила рассматривать режимы сбалансированного экономического роста и получить численную оценку темпа роста ВВП, основываясь на параметрах технологической структуры, доли налогов и зарплаты. В работе [55] рассматривается математическая модель для оценки эффективности одного сценария экономического роста применительно к России.

Отметим, что во многих работах, использующих аппарат математического программирования, налоги рассматриваются как экзогенные параметры и поэтому влияние различных схем налогообложения на поведение инвестора исследовано недостаточно. Отметим также, что при подобном подходе получить алгоритмы поиска оптимальных стратегий функционирования удается только для специальных классов систем с иерархией в управлении.

Исследования динамических моделей поведения инвестора с помощью аппарата дифференциальных уравнений и вариационного исчисления начаты с пионерских работ Ф. Рамсея и Г. Хотелинга [76, 82] (см. также [35]). Для многих математиков модель Ф. Рамсея стала основой для дальнейших исследований (см. например, [5, 16, 42, 50, 84]). Вершиной этих результатов является теорема о магистрали в потреблении, которая утверждает близость траекторий оптимального роста к специальной траектории сбалансированного роста, на которой поддерживается максимальный уровень полезности потребления на душу населения. Весь продукт Y(t) распределяется между потреблением C(t) и накоплением I(t) (инвестициями). Больший объем накопления в настоящем периоде обеспечивает больший выпуск продукта в последующих периодах, обуславливая более высокий уровень потребления в будущем, однако за счет меньшего потребления в настоящем. При альтернативном подходе можно больше потребить в настоящее время за счет меньшего потребления в будущем. В каждый период времени осуществляется выбор между этими альтернативами с целью получения максимизации полезности потребления одного индивидуума. Эти рассуждения характеризуют наиболее распространенный подход к понятию правила оптимального накопления.

Развитие аппарата оптимального управления и постулирование принципа максимума Понтрягина [14, 15, 56] способствовали получению качественно новых результатов в исследовании динамических моделей поведения инвестора [1, 2], [5], [29, 33], [45,46], [48], [50, 61, 65, 71], [83], [85]. Большой вклад в эти исследования внесла школа математиков, основателем которой является В. JI. Макаров. В работах В. А. Васильева, Н. П. Дементьева, А. М. Рубинова и др. получены важные результаты в области экономической динамики [20, 21, 39, 40, 70].

В частности, в работе [40] исследовалась модель экономической динамики с учетом потребления в явном виде, дано определение общей технологической модели экономической динамики, общей модели экономической динамики и ее связь с технологическими моделями.

Одним из итоговых результатов в этой области является так называемое золотое правило накопления [81, 83]. Рассматривается производственная функция Y = F{K, L) — С + I, где Y — доход (валовой выпуск), С — потребление, / — инвестиции, L,K — объемы труда и капитала, соответственно. Золотое правило гласит, что инвестиции в основные фонды должны равняться доходу, получаемому от капитала [5]. Отметим также работы Р. Солоу [84, 85], в которых в линейной дифференциальной форме связаны изменение величины фондов с износом капитала.

Заметим, что в большинстве работ, использующих методы оптимального управления так же как и в исследованиях, базирующихся на аппарате математического программирования, рассматриваются только вогнутые производственные функции. Требование вогнутости довольно естественно, но не отражает ряда существующих в экономике реалий. Поэтому важно исследовать новые классы возмущенных производственных функций. Дж. М. Кейнс писал [32]: "Весьма возможно, что [нео]классическая теория представляет собой картину того, как мы хотели бы, чтобы общество функционировало. Но предполагать, что оно и в самом деле так функционирует, значит оставлять без внимания действительные трудности".

Воздействие помех в виде налогов на цепочку сбережения-инвестиции является одной из центральных задач в проблеме оптимизации подобной иерархической системы. В долгосрочном аспекте рост сбережений сказывается на накоплении капитала и темпах экономического роста.

Из математических исследований проблемы налогообложения отметим работы [11,43, 63, 64, 73, 79]. Начиная с работ А. Лаффера, П. К. Ро-бертса и Дж. Ваницки [77, 78, 87], делается попытка поиска "оптимальной" ставки налогообложения [6], [12, 17, 44, 52].

Более четверти века назад американский экономист Артур Лаффер предложил свою кривую, которая изображает зависимость налоговых поступлений в бюджет от размера относительной совокупной налоговой нагрузки р = у, то есть доли налоговых поступлений Р в ВВП, равному Y. Согласно этой кривой, на начальном этапе по мере повышения налоговой нагрузки растут и налоговые доходы, но после определенной точки точки Лаффера"), где эти доходы достигают максимума, они начинают сокращаться.

До последнего времени не установлено преимущество одной из двух основных форм налогообложения: плоской шкалы или прогрессивного налога. Для того, чтобы определить какая из этих форм предпочтительней для развития экономики, необходимо подробное изучение влияния каждой из них на поведение инвесторов. Считается, что найти налоговую ставку, удовлетворяющую сразу всем субъектам экономики, задача невыполнимая. В заключение обзора заметим, что модель, в которой ставка налога на доход линейно возрастает в зависимости от величины дохода, достаточно адекватно отражает прогрессивную схему налогообложения.

Целью данной работы является сравнительный анализ параметров функционирования иерархической системы государство-инвестор-производство при различных формах налогообложения и разных видах производственной функции, доказательство теорем о магистральном поведении инвестора и рациональном поведении государства. Отметим, что всюду в работе под терминами предприятие и инвестор будем понимать одно и то же, чтобы подчеркнуть, что интересующая нас задача предприятия заключается в нахождении оптимальной стратегии инвестирования.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертационной работы.

В первой главе изучаются модели поведения инвестора в случае вогнутой производственной функции при различных схемах налогообложения: едином пропорциональном налоге, прогрессивном налоге и прогрессивном налоге с постоянной скоростью изменения ставки налогообложения. Для того, чтобы определить, какая из схем налогообложения наиболее адекватно отражает экономическую ситуацию, необходимо получение для каждой из них соответствующих правил накопления.

Заключение

В заключение приведем основные результаты, полученные в работе.

1. Установлена независимость оптимальной структуры управления иерархической системой от схемы налогообложения. Исследовано поведение инвестора при различных схемах налогообложения и вогнутой производственной функции, получены новые правила накопления для рассмотренных схем.

2. Доказана магистральная теорема, позволяющая определить оптимальное значение доли инвестиций в случае единого пропорционального налога.

3. Исследовано поведение инвестора при возмущении функции производства. Показано, что даже слабые возмущения могут потребовать значительных дополнительных затрат на инвестиции для устойчивости производственного процесса.

4. Для аддитивной модели возмущения производственной функции получено правило накопления и доказана теорема о магистрали, определяющая оптимальное значение доли инвестиций. Заметим, что даже в случае возмущенной производственной функции, не являющейся неоклассической (f"(k) может менять знак), т.е. квазинеоклассической, получена аналогичная структура управления, что и в невозмущенном случае.

5. Доказана магистральная теорема об оптимальном значении доли инвестиций для нижнего уровня управления в двухуровневой задаче при прогрессивном налогообложении.

6. Приведены примеры для плоской и прогрессивной шкал налогообложения, показывающие, что существуют ситуации, для которых в двухуровневой задаче оптимизации налоговой ставки существует нетривиальное оптимальное решение.

Практическая ценность данной работы состоит в возможности использования полученных результатов для разработки научных основ формирования бюджетов при различных условиях экономического состояния государства. г

1. Александров В. М. Итерационный метод вычисления оптимального по быстродействию управления квазилинейными системами // Сибирский журнал вычислительной математики, 2003. Т. 6, № 3. С. 227-248.

2. Аллен Р. Математическая экономия. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1963.

3. Анциз С. М., Донское И. В., Маршак В. Д., Чупин В. Г. Оптимизация системных решений в распределенных базах данных. Н-ск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990.

4. Анциз С. М., Макаров В. Л., Маршак В. Д., Фефелов В. Ф. Математическое обеспечение перспективного отраслевого планирования. Н-ск: Наука, 1979.

5. Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.

6. Валацкий Е. В. Инвариантность фискальных точек Лаффера // Мировая экономика и международные отношения, 2003. № 6. С. 62-71.

7. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

8. Булавский В. А. Об одном алгорифме решения транспортной задачи // Оптимальное планирование, 1964. Вып. 2. С. 41-49.

9. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

10. Вирченко М. И., Рапопорт Э. О. О влиянии земельного налога на стимулы производства // Сибирский вестник селькохозяйственной науки, 1997. № 1-2. С. 103-108.

11. И. Вишневский В., Липницкий Д. Оценка возможностей налогового бремени в переходной экономике // Вопросы экономики, 2000. № 2. С. 107-116.

12. Волобуев В. Кривая Лаффера — концепция и реальности политики // Мировая экономика и международные отношения, 1984. N® 11. С. 119-125.

13. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973.

14. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск: Наука и техника, 1974.

15. Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Оптимизация: теория, примеры, задачи. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

16. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

17. Гусаков С. В., Жак С. В. Оптимальные равновесные цены и точка Лаффера // Экономика и мат. методы, 1995. Т. 31, вып. 4. С. 131-138.

18. Данциг Дж. Линейное программирование, его обобщения и применения. М.: Прогресс, 1966.

19. Дементьев В. Т., Ерзин А. И., Ларин Р. М., Шамардин Ю. В. Задачи оптимизации иерархических структур. Н-ск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1996.

20. Дементьев Н. П. Модели экономического роста с классовой дифференциацией сбережений // Системное исследование экономических процессов в России. Сб. науч. тр. ИЭОПП СО РАН, 2004. С. 51-74.

21. Дементьев Н. П., Чересиз В. М. Квазистационарные решения в дифференциальных моделях экономики с медленно изменяющимися параметрами // Сибирский журнал индустриальной математики, 2002. Т. 5, №2. С. 70-93.

22. Дорин Б. Л., Шананин А. А. Теорема о магистрали для модели производственной системы при финансовых ограничениях // Математическое моделирование, 2002. Т. 14, № 7. С. 105-120.

23. Егорова Н. Е., Хачатрян С. Р. Применение дифференциальных уравнений для анализа динамики развития малых предприятий, использующих кредитно-инвестиционные ресурсы // Экономика и мат. методы, 2006. Т. 42, № 1. С. 50-67.

24. Еремин И. И. Теория линейной оптимизации. Екатеринбург: Изд-во "Екатеринбург", 1999.

25. Иванилов Ю. П., Лотов А. В. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1979.

26. Канторович Л. В. Динамическая модель оптимального планирования // Оптимальное планирование, 1967. Вып. 8. С. 3-22.

27. Канторович Л. В. Математические методы организации и планирования производства. Д.: Изд-во ЛГУ, 1939.

28. Канторович Л. В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

29. Канторович Л. В., Жиянов В. ИХованский А. Г. Принцип дифференциальной оптимизации в применении к однопродуктовойдинамической модели экономики // Сибирский мат. журнал, 1978. Т. 19, №5. С. 1053-1064.

30. Канторович Л. В., Макаров В. Л. Вопросы разработки и использования крупноагрегированной модели оптимального перспективного планирования // Оптимальное планирование, 1967. Вып. 8. С. 23-35.

31. Кардаш В. А., Рапопорт Э. О. Моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве. Н-ск: Наука, 1979.

32. Кейнс Дж. М. Избранные произведения. М.: Экономика, 1993.

33. Клейнер Г. Б. Производственные функции. Теория, методы, применение. М.: Финансы и статистика, 1986.

34. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

35. Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А. Курс вариационного исчисления. М.-Л.: ГОНТИ НКТП СССР, 1950.

36. Ларин Р. М. Введение в оптимальное управление: Учеб. пособие, ч. 2 / Новосиб. ун-т. Н-ск, 1988.

37. Ларин Р. М., Пяткин А. В. Двухуровневая задача о назначениях // Дискретный анализ и исследование операций, 2001. Серия 2, т. 8, №2. С. 42-51.

38. Ляпидевский В. Ю., Люлько Н. А., Максимова О. Д. Функциональный анализ: Учеб. пособие / Новосиб. ун-т. Н-ск, 1998.

39. Макаров В. Л., Васильев В. А., Козырев А. Н., Маракулин В. М. О некоторых проблемах и результатах современной математической экономики // Оптимизация, 1982. Вып. 30(47). С. 5-86.

40. Макаров В. Л., Рубинов А. М. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973.

41. Маслов В. П. Квазистабильная экономика и ее связь с термодинамикой сверхтекучей жидкости. Дефолт как фазовый переход нулевого рода. II // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2005. Т. 12, вып. 1. С. 3-40.

42. Митягин Б. С. Заметки по математической экономике // Успехи математических наук, 1972. Т. 27, вып. 3(165). С. 3-19.

43. Мовшович С. М. Моделирование влияния налогов на долговременный экономический рост // Экономика и мат. методы, 1998. Т. 34, вып. 1. С. 5-17.

44. Мовшович С. М., Соколовский Л. Е. Выпуск, налоги и кривая Лаффера // Экономика и мат. методы, 1994. Т. 30, вып. 3. С. 129-141.

45. Модильяни Ф. Жизненный цикл, личные сбережения и богатство нации // Нобелевские лауреаты по экономике: взгляд из России. Спб.: Гуманистика, 2003. С. 435-467.

46. Москаленко А. И. Оптимальное управление моделями экономической динамики. Н-ск: Наука. Сибирское предприятие РАН, 1999.

47. My лен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Мир, 1985.

48. Накоряков В. Е., Гасенко В. Г. Кинетическая модель инфляции // Экономика и мат. методы, 2004. Т. 40, № 1. С. 129-134.

49. Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.

50. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.

51. Нуреев Р. Теории развития: неоклассические модели становления рыночной экономики // Вопросы экономики, 2000. № 5. С. 145-158.

52. Папава В. Г. Лафферов эффект с последействием // Мировая экономика и международные отношения, 2001. Л® 7. С. 34-39.

53. Первозванский А. А., Первозванская Т. Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: Инфра-М, 1994.

54. Петров А. А., Поспелов И. Г., Шананин А. А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996.

55. Петров А. А., Шананин А. А. Математическая модель для оценки эффективности одного сценария экономического роста // Математическое моделирование, 2002. Т. 14, № 7. С. 27-52.

56. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.

57. Проблемы программно-целевого планирования и управления / Поспелов Г. С., Вен В. Л., Солодов В. М. и др. М.: Наука, 1981.

58. Российский статистический ежегодник: Статистический сборник / Госкомстат России. Москва. 2000.

59. Рубинштейн Г. Ш. О решении задач линейного программирования большого объема //Оптимальное планирование, 1964. Вып. 2. С. 3-22.

60. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976.

61. Рыженков А. В. Модели циклического роста. Н-ск: ИЭОПП СО РАН, 2003.

62. Словарь по кибернетике./Под ред. В.М. Глушкова. Киев: Главная редакция УСЭ, 1979.

63. Смирнов А. Налогообложение: модели оптимизации // Экономист, 1998. №2. С. 68-76.

64. Соколовский Л. Е. Подоходный налог и экономическое поведение // Экономика и мат. методы, 1989. Т. 25, вып. 4. С. 623-632.

65. Сотсков А. И. О состоятельности (во времени) оптимальных фискально-монетарных политик и задаче Фелпса // Экономика и математические методы, 2004. Т. 40, № 1. С. 35-49.

66. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1958.

67. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1992.

68. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 1998.

69. Шмырев В. И. Алгорифм решения одного класса задач линейного программирования большого объема // Оптимальное планирование, 1968. Вып. И. С. 88-116.

70. Шмырев В. И. Нахождение равновесия в одном классе моделей производства-обмена // Дискретный анализ и исследование операций, 2003. Серия 2, т. 10, № 1. С. 65-91.

71. Экланд И. Элементы математической экономики. М.: Мир, 1983.

72. Ben-Ayed ОBlair Ch. Е. Computational difficulties of bilevel linear programming // Operations Research, 1990. Vol. 38. P. 556-560.

73. Chua D. The consept of cost of capital: marginal effective tax rate of investment 11 Tax Policy Handbook, 1994.

74. Dorfman R., Samuelson P. A., Solow R. M. Linear Programming and Economic Analysis. N. Y., Toronto, London: McGraw-Hill Book Сотр., Inc., 1958.

75. Frontiers of development economics: the future in perspective / eds. Meier G., Stiglits J. A co-publication of the Word Bank and Oxford University Press. United States, 2002.

76. Hotelling H. The economics of exhaustible resources // J. of Political Economy, 1931. Vol. 39, № 2, Apr. P. 137-175.

77. Laffer А. В., Miles M. A. International economics in a integrated world. Glenview, 1982.

78. Laffer А. ВSeymour J. P. The economics of the tax revolt: a reader. New York, 1979.

79. Lemieux Th., Fortin В., Frechette P. The effect of taxes on labor supply' in the undeground economy // The American Economic Review, 1994. Vol. 84, № 1, March. P. 231-254.

80. Miller M. H., Modigliani F. Dividend policy, growth and valuation of shares // J. of Business, 1961. Vol. 34. P. 411-433.

81. Phelps E. S. Golden rules of economic growth. N. Y.: Norton and Сотр. 1966.

82. Ramsey F. P. A mathematical theory of savings // Economic J., 1928. Vol. 38. P. 543-559.

83. Samuelson P. А. к catenary turnpike theorem involving consumption and the Golden rule // The American Economic Review, 1965. Vol. 55, № 3. P. 486-496.

84. Solow R. Investment and technical progress // Math. Meth. in the Soc. Sci., 1960. Vol. 104. P. 89-96.

85. Solow R. M. Neoclassical growth theory // Handbook of Macroeconomics, 1999. Vol. IB. Ch. 9 / eds. Taylor J. В., Woodford M. — Amsterdam a. o.: Elsevier.

86. Tobin D. Liquidity preference as behavior toward risk // Rev. of Econ. Studies, 1958. Vol. 25, № 1. P. 65-86.

87. Wanniski J. Taxes, revenues and the "Laffer curve" // The Public Interest, Winter 1978. P. 3-16.

88. Трубачева A. E. Поведение инвестора при различных формах налогообложения // Материалы XXXIX международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика, НГУ, 2001. С. 57-58.

89. Трубачева А. Е. Поведение инвестора при различных формах налогообложения // Материалы международной конференции молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике. Новосибирск, 2001. С. 18-19.

90. Трубачева А. Е. Новые модели поведения инвестора при различных формах налогообложения // Материалы XL международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика, НГУ, 2002. С. 193-194.

91. Трубачева А. Е. О развитии экономики при некоторых формах налогообложения // Материалы всероссийской конференции DAOR'02. Новосибирск, 2002. С. 197.

92. Трубачева А. Е. Возмущенно вогнутые производственные функции // Материалы международной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск, 2002. С. 79.

93. Трубачева А. Е. О некоторых моделях возмущенной производственной функции // Материалы XLI международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика, НГУ, 2003. С. 95.

94. Трубачева А. Е. Эффект от возмущения производственной функции в модели Рамсея // Материалы всероссийской конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения". Омск, Омский филиал Института математики им. С. J1. Соболева СО РАН, 2003. С. 161.

95. Трубачева А. Е. Теорема о магистрали в случае возмущенных производственных функций // Материалы IV всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Красноярск, 2003. С. 76-77;

96. Трубачева А. Е.Об одном примере возмущения экономической динамики // Материалы XLII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика, НГУ, 2004. С. 120-121.

97. Трубачева А. Е. Новые модели поведения инвестора при различных формах налогообложения // Труды XLII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". НГУ, 2004. С. 176-180.

98. Трубачева А. Е. Математический анализ последствий возмущения производственных функций // Материалы всероссийской конференции DAOR'04. Новосибирск, 2004. С. 214.

99. Трубачева А. Е. Влияние возмущения производственной функции на поведение инвестора // Сибирский журнал индустриальной математики. Том VII, № 3(19). Июль-сентябрь, 2004. С. 156-169.

100. Трубачева А. Е. Об одной модели прогрессивного налогообложения // Материалы XLIII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика, НГУ, 2005. С. 125-126.

101. Трубачева А. Е. Исследование поведения инвестора при различных схемах налогообложения и разных видах производственной функции — Новосибирск, 2005. — 40 с. — (Препринт/РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 153).

102. Трубачева А. Е. О поведении инвестора при линейно возрастающей ставке налогообложения — Новосибирск, 2005. — 44 с. — (Препринт/РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 156).

103. Трубачева А. Е. Аддитивная модель возмущения производственной функции // Материалы VI всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых). Кемерово, 2005. С. 53.

104. Трубачева А. Е. Исследование двух уровней управления сложной экономической системы — Новосибирск, 2006. — 36 с. — (Препринт/РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 168).

105. Трубачева А. В. Об особенностях оптимальной стратегии верхнего уровня управления в некоторой двухуровневой задаче j j Материалы III всероссийской конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения". Омск, 2006. С. 474.