Задача об оптимальном портфеле в условиях нестационарного рынка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

На правах рукппмг.ц

\ Зинкопский Станислав Анатольевич

ЗАДАЧА ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ПОРТФЕЛЕ П УСЛОВИЯХ НЕСТАЦИОНАРНОГО РЫНКА ^

СЪ^ , "

Снрииалт.ность 01.01.11 — системпый анализ и

автоматическое управление

Автореферат лиссер-тацни па соискание учепой стекши кандидата технически* паук

Санкт-Петербург — 1995

Работа выполнена на кафедре "Механика и процессы управления" Санкт-Петербургского государственного технического университета

Научный руководитель - доктор технических паук,

профессор А.А.Первозванский

Официальные оппоиенты — доктор технических наук,

- профессор Ы.О.Вильчевский

— кандидат технических наук, А.В.Щалагин

Ведущая организация — СПбГУ, факультет экономики

Защита состоится "___"___________199_ г. б____на

заседании диссертационного Совета()63.38.07 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 195251. С.Петербург, ул. Политехническая, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГТУ. Автореферат разослан "______".__..............1994 г.

Попов С.(

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Появление и быстрое разпитис россий-кого фондового рынка п последние годы делает актуальной зада-¡у его исследования и анализа оптимального поведения инвесто-а на этом рьнке, решение задачи об оптимальном управлении ортфелем (совокупностью инвестиций) инвестора.

Рассматриваемая в диссертации проблема относится к классу адач о принятии решения в условиях неопределенности. При татнстическом анализе данных и оптимизации в сфере финалов и экономики, приходится сталкиваться с действием разно-бразных и многочисленных факторов, влияющих на ситуацию а рынке. Среди этих факторов есть и такие трудно формали-уемые как, например, принятие решения человеком в конкрет-ой ситуации. Принятие же определенного решения, например, эректором предприятия или правительством государства моем существенным образом изменить положение дел. Поэтому сякий инвестор на фондовом рынке стоит перед лицом множе-гпа неопределенностей, связанных с многочисленными эконо-ическими, политическими, социальными событиями (причем тдельной проблемой является определение того какие из них вляются ключевыми в данный момент для данного фондово-э инструмента), а следовательно, и результат его деятельности ля него случаен в той или иной степени. Тем не менее, случай-ость эта может быть, в какой-то мере, количественно описана. Ъгда становится возможным принимать осмысленные решения, [оэтому необходим системный анализ ситуации па рынке для ринятия решения о распределении капитала.

Задача о нахождении оптимальной структуры распределения апитала по набору ценных бумаг была впервые строго поставле-а Г. Марковичем еще в 50-е годы этого века. Она опиралась на гкую математическую характеристику доходности ценпой бу-аги как ее эффективность. Мерой риска инвестора у Марко-ица служила дисперсия Задача формировалась как задача ква-ратичного программирования в рамках ряда предположений зойственных так называемому "равновесному" стационарному ынку. Основные предположения, положенные в основу класси-еского подхода следующие:

) Стациопарность поведения случайных величин на фондовом

рынке. 2). Некоррелированность последовательных значений случайных величин при сколь угодно малом шаге дискретности.

Задачей об оптимальном портфеле и припиши решений на финансово-фондовом рынке занималось целей за Марковицем мпо го авторов, среди которых Цж.Тобпн, М. Грубер и И.Элтон, а из более современных А. Перольд, 13. . Г. Сжего, Т. Кария и другие. В отечественной литературе публикаций на эту тему нет, за единственным, пожалуй, исключением - книги Первоз-панского A.A. и Первозванской Т.П. "Фондовый рынок: расчет и риск."

Из последних работ по этой теме становится очевидным, что существует необходимость в переосмыслении вида функции полезности инвестора и переформировании задачи об оптимальном портфеле в условиях нестационарного npoi визируемого поведения эффективное?ей и указании методов статистической верификации выбранной вероятностной модели их поведения.

Сквозь все постановки задачи сохраняется проблема большой размерности задачи, т.к. общее число финансово - фондовых инструментов рынка (акций, фьючерсных контрактов, кредитных соглашении и проч.) очень велико и может достигать тысяч единиц. В то же время учет нестационарностп рынка не позволяет пользоваться сколько-нибудь достаточными но длительности (для_ надежной оценки параметров модели) временными рядами. В результате возникает необходимость разработки подходов, позволяющих справиться с этой трудностью. Один из них — декомпозиция задачи на блоки.

Представляется также необходимым разработать программное обеспечение, которое позволяло бы численно решать поставленную задачу на основе статистической обработки согласно принятой вероятностной модели поведения эффективностей и реализации определенного численного алгоритма решения задачи математического программирования - задачи о формировании оптимального портфеля.

Наконец, представляет иптерес. исследование свойств решения задачи и, в частности, специфический вопрос: о наличии асимптотического стремления решения задачи об оптимальном портфеле, включающем только "рисковые" цепные бумаги (см. Гл.1, Гл.З) к решению задачи о портфеле, включающем векото-

ую "безрисковую'' ценную бумагу. Этот анализ представляет нтерес в связи с вопросом о применимости в "неидеальном" лучае выводов о свойствах оптимального портфеля, сделанных 'обином.

Цель работы состоит в применении классического анализа Мар-овица для решения задачи об оптимальном портфеле ценных умаг на Российском рынке, в разработке нового подхода к онти-(изации портфеля ценных бумаг в условиях нестационарного ынка, исследовании асимптотических и декомпозиционных сво-ств решения этой задачи, разработке программного обеспе-ения по статистическому анализу данных фондового рынка и птимпзации портфеля ценных бумаг.

Методы исследования, использованные п диссертации, связа-ы с теорией статистического и регрессионного анализа времен-ых рядов, методами их прогнозирования, методами решения адач квадратичного программирования, аналитическими мето-;ами исследования асимптотических и декомпозиционных сво-ств решения этих задач.

Научная нопизна работы состоит п том, что предложена новая гетодика оптимизации портфеля составленного из различных пшансово- фондовых инструментов в условиях нестационарного и.шка. Доказано асимптотическое стремление решения задачи ,1аркоппца (с "малорисковой" инвестицией в составе портфеля) решению задачи Тобина. Предложен практически полезный лгоритм блочной декомпозиции и оптимизации портфеля, при-юнимый как для классической так и для предложенной в дис-ертации формулировке задачи.

Практическая ценность. Разработанное автором программное беспечепие по статистическому анализу и оптимизации на фоп-(овом рынке было включено в пакет программ Б А О Г 2.5, который ¡рименялсл в расчетах оптимального портфеля для ТФВ "С.-1етербург", используется рядом банков (Промстройбанк, Сиб-оргбанк, Гутабапк (Москва) и др. ). Пакет был задействован (ля подготовки материалов к печати в "Финансовом вестнике" азеты "С.-Петербургские ведомости", а также в расчетах и ис-ледованиях проводимых группой "Информетат", под рукооод-твом проф. А.Л. Первозванского.

/ 5

Основные положения выносимые на защиту.

1. Применение классического анализа Марковица для решения задачи об оптимальном портфеле цепных бумаг на Российском рынке.

2. Новый подход к оптимизации портфеля ценных бумаг в условиях нестационарного рынка, основанный на прогнозировании эффективностей цепных бумаг и на отличном от классического понятии риска инвестора и его функции полезности.

3. Доказательство асимптотических свойств решения задачи об оптимальном портфеле в ее различны , постановках при наличии "малорисковой" инвестиции в составе портфеля (верное как для классической формулировки задачи так и для предложенного п этой работе).

4. Доказательство декомпозиционных свойств задачи об оптимальном портфеле. Практически ценный алгоритм блочной оптимизации в задачах большой размерности.

5. Программное обеспечение, включенное в пакет прикладных программ БАОГ 2.5 (статистический анализ и оптимизация на финансово-фондовом рынке ) позволяющее решать задачу статистической обработки данных и последующей оптимизации портфеля цепных бумаг.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на научных семинарах Санкт-Петербургского государственного технического университета.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 4 печатных работах.

Структура и объем диссертации. Работа содержит введение, пять глав, заключение, список литературы, включающий 41 наименование, приложение. Текст диссертации изложен на 120 страницах машинописного текста и содержит 11 рисунков и 8 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко описывается к какой области принадлежит рассматриваемая задача и ставятся основные задачи работы.

Первая глава носит шюдпыи характер. Дано краткое описание основных видов ценных бумаг: акций, облигаций, фьючерсов, О! циопоп.

нарушении предположений, которые являются основополагага 1цнми п тео1)ии "'равновесного" стационарного ршка. Оказы вается, что на деле последовательные значения эффективности денных бумаг являются коррелированными, а средние харак теристикп математического ожидания и дисперсии "плывут" течением времени. Отсюда становится ясным, что применяв мыс обычно статистические модели поведения эффектшшостей предполагающие за ними шшеровские свойства не всегда при менимы. В главе приводится результаты статистического ана лнза эффективностей некоторых ценных бумаг и динамики курс; доллара США (поданным собранным о <,..шдовом рынке Россш в базе данных пакета программ SAOF 2 5), которые доказываю: нестационарность Российского фондового [¡ынка и, значит, под тверждают необходимость выбора иных, более адекватных моде лей поведения эффектшшостей, чем стационарные, с постоянный математическим ожиданием и белошумной ошибкой. Кроме того, по второй главе дан краткий обзор сделанных на настоящее время попыток использовать такие модели для описания поведения временных рядов эффективное сей. Появившиеся в последнее время новые постановки (например в работе Карпа) хотя и отличаются ориентацией на попытку прогнозировать поведение эффектшшостей как-то более сложно, чем просто путем оценки средней эффективности за интервал времени, но, однако, предполагают стационарность их поведения.

В последнем параграфе вирой главы формулирз'ются основные задачи решение которы í представляется важным для развития теории оптимального портфели, а также для успешного применегия на ее практике в условиях нестационарного рынка и при большой размерности решаемых задач.

Основным содержанием главы третьей является формулировка задачи об оптимальном распределении капитала на фондовом рынке, ориентированная па "активное" поведение инвестора — постоянную перестройку структуры портфеля на основе краткосрочного прогнозирования эффективностей по предыстории. Такая "активная" тактика инвестора имеет смысл-только если оказывается адекпатной некоторая модель поведения эффективностей отличная от стационарной непрогнозируемой модели (которая делает обоснованной только "пассивную" схему пове-

В ней описываются основные необходимые для дальнейшего ^ шализа понятия, такие как эффективность ценной бумаги, портфель ценных бумаг, функция полезности инвестора и.т.д. О осуждается вопрос о том что может служить количественной мерой даска инвестора, достоинства и недостатки классически прння-:ого примене1шя в качестве этой меры дисперсии эффективно-ти. Функция полезности инвестора для случая стационарных [епрогнозируемых рядов записывается следующим образом:

С = Л/{г} - о !>{/ }, ' (1)

де М{г} — математическое ожидание эффективности; £>{'} — дисперсия, п —, параметр склонности инвестора к риску.

Обсуждается эффект диверсификации риска инвестора при рас-[ределепии капитала по набору ценных бумаг. Дается описайте классических постановок задачи об оптимальном портфеле (енных бумаг в том виде как они появились впервые в работах Ларковица и Тобина. Описаны некоторые необходимые в даль-[ейшем свойства оптимального решения, в том числе акценти->уется внимание г.а принципиальном различии в свойствах двух •ешений - решения задачи при наличии'"безрисковой" инвести-рии в составе портфеля (формулировка Тобина) и без таковой формулировка Марковица). Приводятся зависимости средней ффективности портфеля от ее дисперсии (или среднеквадратично отклонения) для множества оптимальных портфелей. Так-ке описаны статистические проблемы встречающиеся при оцен-:е элемептов матрицы ковариаций и методы борьбы с ними -ведение той или иной факторной модели поведения эффектив-остей. В частности, приводится наиболее распространенная ета-модель, опирающаяся на использование так называемого фактора рынка".

В начале второй главы приведены некоторые результаты чи-ленных расчетов по оптимизации портфеля банковских акции : ряда других фондовых инструментов проведенных на основе нализа данных собранных по Российскому фондовому рынку. 1ано обоснование того факта, что схема оптимизации предпосевная Марковицем ориентирована на "пассивного" инвестора, ринимающего долгосрочные решения и не предпринимающего астой перестройки структуры своего портфеля.

Далее, в втой главе приведены факты, свидетельствующие о

(СНИя).

В случае нестационарного рынка перед инвестором в каждый гомент времени стоит новая задача об оптимальном портфеле. 1риходиться ориентироваться на саму эффективность и дина-шку ее в<? времени, а не на ее средние показатели. Если в лассической моде- ли дисперсия эффективности характеризо-ала вероятные отклонения от своего рода прогноза - матема-ического ожидания этой эффективности, то в условиях неста-;ионарного рынка и предлагаемой новой постановки собственно олебательность эффективности, разброс ее абсолютных значе-:ий перестает бьИь мерой риска инвестора. Хорошая прогно-ируемость (что конечно зависит и от выбранной модели и от рироды поведения временного ряда) означает малую степень иска. Идеально прогнозируемая эффективность тогда является безрисковой" ценной бумагой. А мерой риска ( мерой вероят-г.гх отклонений истинного значения от прогнозируемой величи-ы) может служить средняя дисперсия ошибки прогноза, оценка оторой может быть получена после статистической верифика-,ии модели поведения эффективпостей путем анализа ее рядов шибок прогноза на предыстории.

Функция полезности инвестора записывается в данной поста-овке следующим образом:

и = г-аП{ф)-г}1 ;• = ;■('„,/). (2)

де »*(/„. t) — прогноз эффективности в момент /„ на момент t.

Постановка задачи в таком случае оказывается математически кпивалентной классической задаче Марковица — т.е. задачей вадратичпого программирования. Оценке подлежат столбец рогнозов эффективностей ценных бумаг, включенных в порт-1ель и матрица ковариаций рядоп бшибок прогноза. Задача формулируется так (при отсутствии "безрисковой" ц.б.);

тт{ат\гса/атI = 1, атП = /1, ва > /г} (3)

п

де о — искомый вектор структуры портфеля, V, — матрица ко-ариаций ошибок прогнозов, Я — столбец прогнозов эффектип-остей, /I — желаемый уровепь эффективности портфеля, I ---дипичный столбец.

Также в третьей главе обсуждаются некоторые субоптимальные процедуры оптимизации портфели, рассмотрена математическая постановка задачи с учетом так называемого сиреда (разницы Цен продан;и и покупки).

В качестве информации У, используемой для моделирования и прогнозирования поведения эффективном ой может служить информация о торгах, имевших место до сих нор с ценными бумагами, как интересующими нас (включенными в портфель) так, может быть, и других; информация об общем состоянии финансового рынка и экономики в целом. В чтстностц, здесь может использоваться такой показатель как потребительский индекс, динамика депозитной ставки, прочая информация. Таким образом, в прогнозе отражается поведение в прошлом совокупности случайных нестационарных процессов на рынке, которые полагаются линейно связанными с нестационарными временными рядами эффективностей.

Во втором параграфе третьей главы описываются разнообразные линейные модели поведения эффективностей, т.е. рассматривается случай, когда функция прогноза определяется кат; не-которал линейная комбинация рядов выбранных из общего объема информации У/ = {у,}^! :

и I,

¡(У,) = .Ш;/|К':1) = £Х>!« -./К- (4)

1=1 1=1

Основная гипотеза состоит и предположении о стационарности самой 'модели, описывающей зависимость прогноза от имеющейся информации. Исходя из этой гипотезы модель должна быть идентифицирована по данным предыстории. Для этой цели можно использовать метод наименьших квадратов. Существенной проблемой является вопрос выбора интервала предыстории, который используется для идентификации. В силу нестационарное™ рядов этот интервал не может быть большим, в то же время для надежной идентификации необходим достаточный объем данных. Другой проблемой является выбор "глубины памяти" моде/ и, т.е. выгюр того, .сколь удаленные от текущего момента данные, предыстории рассматривать влияющими на текущее значение эффективности.

Эффективным представляется использование каких-либо ме-

одик, стабилизирующих прогноз , как, например, следование уб-оптимальной процедуре (п. 3.1), получение средневзвешен-ого прогноза, когда учитываются несколько прогнозов, сделан-ых по разным моделям (причем может быть включена и экс-ертнал оценка как один из прогнозов и др.):

I к

1=1 ¿=1

Целью третьего параграфа является продемонстрировать, что рименение предложенного подхода к оптимизации портфеля на 'оссийском рынке ценных бумаг оказывается более эффектив-ьш, нежели использование классической схемы оптимизации Яарковица.

Для иллюстрации была рассмотрена небольшая задача об опти-[альном распределении капитала между пятью выпусками ГКО государственных краткосрочных облигаций) и валютой (дол-аром США). После оптимизации анализировалась совокупная ффективность портфеля за две, истекшие с момента его форсирования недели. Далее, результаты пост-анализа для обоих хем оптимизации сравнивались в нескольких случаях. Срав-ение показывает, что для всех рассмотренных вариантов вели-:ип желаемой эффективности портфеля (выбираемой инвесто-ом) оптимизация на оспове прогноза оказывается более эффек-ивной. Однако, надо оговориться, что подобная картина на-людается пе для любой модели поведения эффективпостей. В рнном случае эта модель была выбрана следующего вида:

я I _

'''О = Х/'Л*- 1)а>> + а°; + (6)

Я=1

В четвертой главе проведен анализ асимптотических свойств 'ешения задачи об оптимальном портфеле в различных возмож-ых постановках при наличии "малорисковых" инвестиций в со» таве портфеля. Поскольку, как в классическом подходе к ворогу об оптимальном портфеле, так и в подходе, предложенном 1ля нестационарного рынка, задача формулируется с математи-геской точки зрепия как задача квадратичного программирована, то возможно провести анализ свойств решения сразу для \

обоих постановок, учитывгш лишь, что переменные носят разный физический смысл.

Анализ решений, полученных Марковицем и Тобином показывает, что свойства решения качественным образом отличаются в двух этих постановках. Отличительной особенностью постановки Тобина является введение идеализированной "безрисковой" ценной бумаги. Структура распределения капитала по "рисковым" акциям оказывается независящей от уровня желаемой эффективности портфеля. В решении же задачи несодержащей "безрисковой" инвестиции подобного >екта пет. Возникает вопрос о том, как будет происходить переход от решения типа Марковица к решению типа Тобина, если, например, дисперсия эффективности одной из "рисковых" ценных бумаг окажется малой по отношению к дисперсиям эффективностей остальных ценных бумаг, включенных в портфель. Существует ли асимптотическое стремление и если да, то какова ошибка от пренебрежения малостью дисперсии эффективности такой'"почти безрисковой" ценной бумаги?

Результаты анализа позволяют утверждать, что решение типа Тобина (см. Гл. 1) является устойчивым по отношению к мере рискованности неидеальной "безрисковой" цепной бумаги. Оказывается, что решение задачи в постановке Марковица асимптотически стремится к решению в постановке Тобина при стремлении меры риска одной из "рисковых" цепных бумаг к нулю. Получен вид поправки определяющей малую добавку к решению задачи Тобина если роль "безрисковой" ценной бумаги играет некоторая малорисковая инвестиция с дисперсией е, т.е. когда матрица ковариаций имеет следующий вид:

Г =

V е"р

£к]>Т

(7)

Асимптотический анализ показывает, что при достаточно малом г вместо многократного решения задачи параметрического программирования с матрицей ковариаций вида (7) (где параметрами являются можно ограничиться разовым решением задачи Тобина, полагая ценную бумагу с дисперсией £ "безрисковой", и лишь внести поправку а* в решение:

а*(«,/«,/),(?) ~Ь* 4 еаЦи.^р), (8)

где л — вспомогательные переменные, // — решение задачи То-бина:

ппп^Уь/'^^-^СЬ^п}, (9)

где ]? = М{П} или Т{ = П.

Кроме "ого в Главе четвертой приведено описание эффективного алгоритма, позволяющего найти решение задачи об оптимальном портфеле, формулируемой в самом общем виде как задача квадратичного программирования с ограничениями-неравенствами и ограничениями--равенствами. Особенностью алгоритм;! является использование модифицированного (^-разложения, что позволяет значительно сократить объем вычислений.

Поскольку математическая формулировка классической и предложенной п диссертации схем оптимизации совпадают, то алгоритм применим для решения обоих з.-дач. /

Этот алгоритм был положен в основу оптимизирующего блока прикладного пакета программ Ь'ЛОЕ 2.5. разработанного группой " Информстат".

В главе пятой рассматриваются вопросы декомпозиции решения задачи об оптимальном портфеле в ее различных постановках для случая блочяо-диагональной или близкой к таковой структуры матрицы ковариаций. получена оценка влияния ошибок в знании матрицы ковариаций эффективностей (или матрицы ковариаций сшибок прогноза) на решение задачи (получен конкретный вид поправки к решению), сформулировав ценный с практической точки зрения алгоритм блочной оптимизации, основанный на разбиении множества ценных бумаг па группы согласно экономическим признакам и последующей двух-уровневой оптимизации.

Вопрос декомпозиции задачи оптимизации портфеля цепных бумаг является важным, поскольку при попытке найти оптимальную структуру распределения но большому числу кандидатов мы сталкиваемся с проблемой точности статистической оценки матрицы ковариаций. В условиях нестационарного рынка эта проблема обостряется, поскольку длинные ряды предыстории использовать нельзя. Поскольку математическая формулировка задач Марковица и оптимизации на основе прогноза эффективностей оказалась одинаковой, то и результаты апал1.за на предмет декомпозиции верпы для обоих постановок.

п

Сначала рассматривается случай, когда матрица копариацш состоит из двух слабокоррелированных блоков. Оказывается что решения по блокам не зависят друг от друга ( задача раз деляется на две независимых) только в случае простейшей по становки с "безрисковой" инвестицией и при отсутствии огра ничений неравенств на компоненты вектора структуры портфе ля. Только поправка к структуре распределения капитала вну^ три блока уже зависит от характеристик ценных бумаг другогс блока и их связи с первым блоком. Однако, для более сложны? постановок удается уменьшить число оцениваемых параметре! и тем самым облегчить задачу идентификации за счет того чтс получена зависимость решения от внутри-блочных матриц кова-риаций, которые размерностью меньше, чем исходная матрица V.

Во втором параграфе заключительной главы описан эвристический алгоритм блочной оптимизации, основанный на качественном анализе рынка. Во-первых, далеко не всегда можно ожидать, что в матрице ковариаций могут быть выделены слабокоррелированные блоки. Во-вторых, разбиение совокупности ценных бумаг портфеля лишь на два блока не является достаточным при большой размерности матрицы V. Разбиение же матрицы ковариаций на большее число блоков с сохранением блочпо-диагональиой структуры полученной матрицы, очевидно, невозможно.

Таким образом, при желании инвестора составить крупный портфель, включающий потенциально все множество ценных бумаг рынка как кандидатов на включение в портфель, возникает необходимость в Использовании какой-либо схемы блочной оптимизации. Общая совокупность ценных бумаг велика, но можно предложить определенные критерии по разделению их на блоки. Ценные бумаги разнородны по своей природе и эмитентам (акции банков, акции приватизированных предприятий, акции, так называемых, венчурных компаний, государственные краткосрочные облигации (ГКО), фьючерсы валютные и т.д.). Эти различия носят не только внешний характер, но отражаются на качественной картине поведения эффективпостей, на условиях работы инвестора на рынке ценных бумаг данного типа.

Вычислительные особенности задачи, а также трудности объ-

•динения "рынков" ценных бумаг разного типа приводят к не-юходимости декомпозиция всего множества кандидатов в опти-тльный портфель на блоки.

Априорно множестпо ценных бумаг разбивается па к блоков. Тоследуштцая статистическая обработка ведется поблочно, т.е. юдоли поведения эффективностей строятся для каждого бло-;а отдельно, и для каждого блока результатом идентификации 1Ыбрапной модели должно стать построение впутриблочной малицы копариаций самих эффективностей или рядов ошибок про-поза эффективностей (в зависимости от того, используется клас-:ическая схема оптимизации или схема основанная на прогнозе см. Гл.З)).

Предлагается прогнозировать величину эффективности по про-нозу поведения индекса эффективностей блока и по собственной федысторин. " '

После статистической идентификации выбранных блочных моделей, оцениваются блочные матрицы ковариаций V;.

Далее необходимо решить к задач оптимизации следующего ¡и да:

min {'ГУ'и/^'^Г^ч^Ь,}. (10)

де I — номер блока :г /ц могут быть заданы любыми (но превосходящими г).Так будет п случае наличия "безрисковой" ценной >ум.')гп. Н случае;, если хакопая отсутствует, пеобходимо решить ■ X in :>адач оптимизации вида:

min {al,Va,m/f£f=l,--,G,a,m > //,}, (11)

■де I = 1,/г, ~т = 1 ,р и ///„, пробегает с шагом (тах г; — min ?i)/p ттервал своих допустимых значений от min f; до шах г;.

В предлагаемом эвристическом блочном подходе к оптимизации портфеля ценных бумаг каждый полученный оптимальпый гортфель а] или п'т (соответствепно решении задач (10) и (11) :сть как бы новая цепная бумага, имеющая свою предысторию >ффектиппости. На этом этапе формулируется задача оптими->ацпп "верхнего уровня" - задача о нахождении оптимального юртфеля портфелей. Для регаепшг этой задачи необходимо по-тучить нрогно 1 эффективпостей всех полученных портфелей, а также оцепить Г,„ матрицу копариаций сшибок их прогпозов.

111111

к

Результатом решения задачи нахождения портфеля портфелей, является ответ на вопрос о пропорциях, в каких должен быть распределен капитал инвестора между блоками. Математическая формулировка ее для случая наличия "бсзрисковой" ценной бумаги такова:

где П" = {»"*}'=1, <7 = а I' — столбец распределения капи-

тала можду- блоками. В случае же отсутствия "безрискового" вложения задача "верхнего уровня" формулируется так:

IIIлп {/>7'Г„Ь/^{^"¡Сбй > Лб} . (13)

где П' = {/•'-}. ¡=ТТ. .¡ = Т7[,.

В приложении приводится описание прикладного пакета программ по статистическому анализу и оптимизации па финансово-фондовом рынке — БАОГ 2.о.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

X. Разработана процедура применения классической схемы оптимизации портфеля ценных бумаг на основе анализа статистики российского рынка.

2. Предложен новый подход к оптимизации портфеля ценных бумаг, основанный на построении прогнозирующей модели поведения эффективностей в условиях их нестационарного .предсказуемого поведения. Прогноз эффективностей оказывает-

и „ „

ся составной частью решения задачи для активного инвестора. Для эффективного прогнозирования необходимо использовать не только собственную предысторию бумаги, по и усредненные, общеэкономические показатели, а также поведение схожих с данпой ценной бумагой бумаг (по срокам выпуска и др.). Эффективным представляется использование каких-либо методик, стабилизирующих прогноз , как, например, следование субоптимальной процедуре (п. 3.1), получение средневзвешенного прогноза, когда*учитываются несколько прогнозов, сделанных по разным моделям. ,

3. Проведены численные расчеты, которые позволяют сделать вывод об адекватности применения предложенной схемы оптимизации на российском фондовом рынке.

4. Проведен анализ декомпозиционных свойств решения задачи об оптимальном портфеле в ее различных постановках для :лучая блочно-диагональной или близкой к таковой структуры матрицы ковариаций. Получена оценка влияния ошибок в зна-нга матрицы ковариаций эффективпостей (или матрицы ковари-1ЦИЙ ошибок прогноза) на решение задачи.

5. Сформулирован алгоритм блочной оптимизации, оснований на разбиении множества ценных бумаг на группы согласпо жономическим признакам и последующей диух-уровневой оптимизации. На нижнем (нервом) уровне решается совокупность за-1;ач на выделенных подмножествах (блоках), а затем, на верхнем уровне, решается координирующая задача о нахождении "портфеля портфелей", т.е. о распределении капитала между блоками.

6. Проведен анализ асимптотических свойств решения задачи >б оптимальном портфеле в различный возможных постановках |ри наличии "малорисковых" инвестиций в составе портфеля, 'езулг.таты анализа позволяют утперждать, что решение типа Гобина (см. Гл.1) является устойчивым по отношению к мере шскованности неидеальной "безрисковой" ценной бумаги. Ока-ыпается, что решение задачи в постановке Марковица асимптотически стремится к решению в постановке Тобина при стрем-юшш мерг.! риска одной из "рисковых" ценных бумаг к пулю. 1олучеп ии^г». поправки к решению.

7. Разработано программное обеспечение, включенное в пасет прикладных программ ЗЛОЕ 2.5 (статистический анализ и ттимизация на финансово-фондовом рынке), позволяющее ре-пать задачу статистической обработки данных и последующей нггнмнзпции портфеля ценных бумаг.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Зинковский С.А., П с р и о з в а ш: к н й A.A. Управление портфеле», ценных бумаг на основе прогноза, Механика и процессы управления, Сборник научных трудов СПбГТУ, N 448, 1994.

2. Зинковский С.А. Асимптотический анализ решения зада чи оптимизации портфеля ценных бумаг, Механика и процесс!, управления, Сборник научных трудов СПбГТУ, N 446.

3. Зинковский С.А. Декомпозиция решения в задаче оптимизации портфеля ценных бумаг, Механика и процессы управления Сборник научных трудов СПбГТУ, X 447.

4. Зинковский С.А. , Первозванская Т.Н., Первозванский А.А, Задача об оптимальном портфеле ценных бумаг при наличиг мало- рисковых инвестиций, Вестник СПбУ, Сер. 5, вып.4., 1993.

5. Зинковский С.А. Обзор эффективностей банковских акций за 1-ое полугодие 1993 г., С.-Петербургские ведомости, Июль 1993. С. Зинковский С.А. Обзор эффективностей банковских акции за 2-ое полугодие 1993 г., С.-Петербургские ведомости, Январь 1994.

7. Зинковский С.А. Обзор эффективностей банковских акций па 1-ое полугодие 1994 г., С.-Петербургские ведомости, Июль 1994.