Оценка разности частичных сумм спектральных разложений, отвечающих двумоператорам Шредингера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 он - 8 OKI 1936

Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова. Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики.

На правах рукописи.

От 517.9845

НИКОЛЬСКАЯ ЕКАТЕРИНА ИВАНОВНА

Оценка разности частичных сумм спектральных разложений, отвечающих двум операторам Шредингера

(01.01.02 - Дифференциальные уравнения)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Москва 1996г.

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

I

академик Ильин В. А. Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор М. Л. Гольдман, доктор физико-математических наук, профессор А. А. Дезин.

Ведущая организация Московский физико-технический институт.

Защита диссертации состоится *1996г. в часов $0 минут на заседании Диссертационного совета К.053.05.87 в Московском государственном университете им.

I

М.В.Ломоносова по адресу: 119899, г.Москва, Воробьевы горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. (96.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ.

Автореферат разослан ■ Ю" 1996г.

Ученый секретарь Диссеигациошфго совета, доцент хоС / ^__17 В. М. Говоров.

Общая характеристика работы.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Спектральная теория несамосопряженных дифференциальных операторов является молодым, но достаточно быстро развивающимся направлением в современной математике. После появления работ таких известных ученых, как В.А.Стеклов, Я. Д. Тамаркин, Б. М. Левитан, активно занимавшихся спектральной теорией самосопряженных дифференциальных операторов еще в первой половине нашего столетия, возник естественный интерес к возможности модификации изложенных идей и методов для несамосопряженного случая. Развитию этого направления также способствовали возникшие прикладные проблемы как. например, отыскание условий устойчивости турбулентной плазмы, расчет ядерных реакторов и многие другие.

Отметим, что одна из сложностей, возникающая при исследовании несамосопряжешшх дифференциальных операторов состоит в том, что система собственных функций не только не образует базиса, но и не является полной. Поэтому систему собственных функций приходится дополнять так называемыми присоединенными функциями. Объединение системы всех собственных функций с системой присоединенных функций данного оператора принято называть системой корневых функций.-Важнейшим этапом становления спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов является установление М. В. Келдышем факта полноты в ь2 специально построенной системы корневых функций для широкого класса краевых задач. Однако работы М.В.Келдыш не дали ответ на весьма актуальный для приложений вопрос о том, образует ли построенная система базис, по которому можно разложить произвольную функцию из некоторого класса.

Конструктивное, легко проверяемое необходимое и достаточное условие базисности в Ьр (при любом фиксированном р>1) системы собственных и присоединенных функций, отвечающей произвольному несамосопряженному обыкновенному дифференциальному оператору любого конечного порядка было установлено В. А. Ильиным.

В основе развитых В.А.Ильиным методов построения спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов лежит отказ от задания краевых условий и рассмотрение собственных и присоединенных функций дифференциальных операторов в обобщенном смысле - только в качестве регулярных решений соответствующих дифференциальных уравнений со спектральным параметром. Развитые им методы изучения спектральных разложений в биортогональный ряд по произвольной полной и минимальной в ьР системе, состоящей из понимаемых в указанном выше обобщенном смысле собственных и присоединенных функций, позволяют охватить случаи совершенно произвольных краевых условий, в том числе нелокальных, зависящих произвольным образом от спектрального параметра или, даже, без краевых условий ( как, например, в случае разложения по системе экспонент).

Результаты данной диссертации тесно связаны с проблемой равномерной равносходимости спектральных разложений с тригонометрическим рядом.

В.А.Ильиным1'были установлены конструктивные необходимые и

1.В. А.Ильин. Равносходимость с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям одномерного оператора Шредингера с комплексным потенциалом из класса ы. Дифференц. Уравнения . 1991. Г. 27. N1. С. 577-597.

достаточные условия, при выполнении которых при любом фиксированном рг1 для любой функции f(x) из класса lp[o,i) разложения этой функции в биортогоналышй ряд по корневым функциям одномерного оператора Шредингера с комплексным потенциалом из класса Li равномерно на любом компакте основного интервала (0,1) равносходятся с разложением f(x) в тригонометрический ряд Фурье, т.е. модуль разности

стремится к нулю при п->ш равномерно относительно х на произвольном компакте К интервала (0,1). А в другой работе В.А.Ильина25 тот же результат был перенесен на случай покомпонентной равносходимости с тригонометрическим рядом разложений по корневым вектор-функциям оператора Шредингера с неэрмитовым матричным потенциалом все элементы которого только суммируемы.

Однако, при использовании рядов Фурье по системам корневых функций дифференциальных операторов наряду с вопросом о равносходимости возникает задача об оценке скорости сходимости этих рядов к рассматриваемой функции.

Проблема, поставленная в настоящей работе, была

2. В.А.Ильин. Покомпонентная равносходимость с тригонометрическим рядом разложений по корневым вектор-функциям оператора Шредингера с матричным неэрмитовым потенциалом, все элементы которого только суммируемы. Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, N11. С. 1862-1879.

п

1

<f, \fik>4>k (х) -

О

sin(IДпI(х-у)) -^--f<y)dy

решена В.Л.Ильиным и И.Ио3)для случая разложений абсолютно непрерывной функции по системам собственных функций, отвечающих двум произвольным неотрицательным самосопряженным расширениям двух операторов типа Штурма - Лиувилля с вещественными потенциалами из класса ьр при р>1. В данной диссертации этот вопрос изучен для более широкого класса задач, а именно для несамосопряженных операторов с матричными потенциалами. В часности получены оценки дл! случая принадлежности потенциала только классу ы.

• ¡стоящая работа является продолжением исследований В.А. Ильина, опубликованных в работах [1,2].

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Доказательство покомпонентной оценки разности частичных сумм разложений по корневым вектор-функциям, отвечающих двум операторам Шредингера с неэрмитовыми матричными потенциалами, для вектор-функции с монотонными компонентами.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации оценки, известные ранее для разложений абсолютно непрерывной функции по системам собственных функций отвечающих двум произвольным неотрицательным самосопряженным расширениям двух операторов типа Штурма - Лиувилля с вещественными потенциалами из класса ьР при р>1 получены для более общего случая, а именно для несамосопряженных операторов с матричными потенциалами.

'3.В. А.Ильин, И. Ио. Оценка разности частичных сумм разложений, отвечающих двум произвольным неотрицательным самосопряженным расширениям двух опералоров типа Штурма-Лиувилля, для абсолютно непрерывной функции. Дифференц уравнения. 1979. Т. 15. N7, С. 1176-1193.

ОБЩЛЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВА1ШЯ. Доказательство основных результатов базируется на методе В. А. Ильина исследования дифференциальных операторов с помощью обобщенной трактовки корневых функций.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты данной диссертации могут быть применены в теории приближения функций биортогональными рядами.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на семинаре кафедры общей математики под руководством В. А. Ильина. А.В. Бицадзе и Е. И. Моисеева.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты работы опубликованы в статьях [1-3].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и трех глав. Объем работы - 65 машинописных страшщ. Список литературы состоит из 31 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении приводится краткий обзор работ по рассматриваемой тематике и перечисляются основные результаты.

В главе 1 доказывается оценка для интегралов от корневых вектор-функций отвечающих двум операторам Шредингера с неэрмитовыми матричными потенциалами

агф

14=--- +и (х) ф

<3х2

(1)

<120

Ь\ф=--+и1(х)ф

ах2

" ' р----—

В качестве' основного интервала рассмотрим конечный интервал с=(а,Ь).

Здесь, как и в дальнейшем, под скалярным произведением двух

и-КОМПОНеНТНЫХ ВеКТОр-фунКЦИЙ £(х)={П (х) ^г(х),...,^(х)) и д(х)=(д1(х),дг(х),...,дт(х)) мы будем понимать следующее соотношение

ь

<f,g>= | ) fi<x> 9j<x> dx- (2)

a

Заметим, что скалярное произведение (2) всегда определено для двух m-компонентных вектор-функций f(x) и д(х), первая из которых принадлежит пространству ьр[а,ь] при произвольном ре[1,+со), а вторая - пространству ь!}[а,ь] при q=p/(p-i) (q=oo при р=1). Символом Lp[a,b] будем обозначать пространство т-компонентных вектор-функций f(x), для которых при фиксированном p^i существует интеграл

ь

m

Г I |f (х)|Р dx, (3)

. ¿J'1

а норму в этом пространстве определим равенством

г ь „ 1 1/Р

11£» «

Lp[a,b]

U'V

^(x)|pdx} (4)

a

Для оператора ь из (0.1) рассмотрим произвольную биортонормированную (в смысле скалярного произведения (2)) пару систем вектор-функций {0п(х)> и {0п(х)), удовлетворяющую,при фиксированном рг1 трем условиям А, т.е.

1) для любого номера п=1,2,... каждая компонента и

вектор-функций Фп(х) и Ф"(х) соответственно, абсолютно непрерывны вместе с первыми производными на сегменте [а,Ь], причем вектор-функции (0п(х)) и {^"(х)) для некоторого комплексного числа лп почти всюду на [а,Ь] удовлетворяют векторным уравнениям:

Ъфп=\пфп-впф"-1, (5)

*

(6)

в которых ь* формально сопряженный к ь дифференциальный оператор, имеющий вид:

* «а2

ь =-- (*). (7)

ах2

где символом и*(х) обозначена сопряженная к и(х) матрица, бп- число, равное нулю или единице ( в последнем случае дополнительно требуется выполненио равонства лп=ап-1), причем б 1 =0;

2) тот корень квадратный дп из комплексного числа Лп, для которого Яецп^о, удовлетворяет двум неравенствам-.

|1шдп|5С (для всех номеров п), (8)

I ^ Са (9)

(для всех вещественных ^о) ;

3) система 1Фп(х)) замкнута и минимальна в ь™ [а,Ь] при фиксированном рг1. •

Аналогично рассмотрим произвольную биортонормированную

А

пару систем вектор-функций {^"(х)} и (х)>, удовлетворяющую условиям А для оператора ы из (0.1) при том же р.

Л_е_м_м_а_1^ Пусть потенциалы и(х) и и1(х) операторов (1) представляют собой произвольные, вообще говоря, неэрмитовы матрицы размера шхт с комплекснозначными элементами из пространства Ь1[а,Ь], пары систем вектор-функций (|Ап(х)), {^п(х)>

л

и (5»п(х)), (5>п(х) удовлетворяют трем условиям А при некотором фиксированном для операторов ь и ы соответственно. Тогда, если для любого компакта Ко интервала [а,Ь] существует постоянная с(Ко), обеспечивающая справедливость для всех номеров п неравенств

1||И1ьв(Ко)10ПИьи<в)*с<Ко>' (Ю)

Р ч

А

Н*П|1ь-(Ко)ИгП|1ь"(в)^С{Ко)'

Р ч

в которых ч=р/(р-1) (ч=°° при р=1),то, при всех достаточно больших и и для любых 3=1,2,...,т справедлива следующая оценка:

и Д—■ И*"«

х2

Ь"

xi

(у) ау

(12)

где а£х1^х2^ь, к- любой компакт интервала в.

Несмотря на то, что данная оценка в нашем случае является вспомогательной, доказательство этой леммы вынесено в отдельную главу. Причиной тому является самостоятельный интерес, который представляет данный результат. В самом деле, нами фактически доказано, что для любого неотрицательного вещественного числа ^ в условиях леммы выполняется оценка:

с

£

И

ts |»Jn I St+1

)_ ИЛ1

Lm(K) X!

Ь"(У) *У =0 [4-],

(13)

этот результат является точным по порядку.

Заметим, что как следует из работы В. А. Ильина (см. сноску на гр. 3), условия (Ю) и (il) являются необходимыми и достаточными гая обеспечения покомпонентной равносходимости разложения любой жтор-функции f(x) из пространства ь™[а,ь],при рга, в биортого-альный ряд по системе {Фп{х)) с разложением в тригонометрический ад Фурье этой функции на любом компакте интервала (a,b). А )этому условия (0.12) и (0.13) обеспечивают и покомпонентную jbhoсходимость разложений любой вектор-функции f(x) из класса ™[а,Ь] по системам (^"(х)) и {?п(х)}соответственно.

Вторая глава целиком посвящена доказательству теоремы 1. ш произвольной вектор-функции f(x), все компоненты (торой принадлежат классу l™ [а,Ь], составим векторные ютичные суммы двух биортогональных разложений

дальнейшем для каждого 1=1,2,...,т мы будем рассматривать ;)-ые мпоненты векторных частичных сумм (14).

|Дп|<Ц

(14)

йц

\Цп\<.Ц

8^(х,1Г) = ^ <1?,0п>^(х).

Т_в_о_р_е_м_а_1^ Пусть г(х) произвольная т-компонентная вектор-функция, каждая компонента которой монотонна на замкнутом конечном интервале 5=[а,Ь], потенциалы и(х) и ш(х) операторов (1) представляют собой произвольные, вообще говоря, неэрмитовы матрицы размера шхт с комплекснозначными элементами из пространства ы[а,Ь], пары систем вектор-функций {^п(х)), {^п(х)} и

А

{^"(х)),{^"(х)}удовлетворяют трем условиям А при некотором фиксированном рг1 для операторов ьи ы соответственно. Тогда, если для любого компакта Ко интервала [а,Ь] существует постоянная с(Ко), обеспечивающая справедливость для всех номеров п неравенств (10) и (11),то, при всех достаточно больших ц, для разности ;)-ых компонент векторных частичных сумм (15), для всех 3=1,2,...т, справедлива оценка '

0 [ ^ ) , (16)

равномерная по х на любом компакте интервала [а,Ь].

Для доказательства Теоремы 1 сперва устанавливаются вспомогательные оценки.

Введем вектор-функции

е.)(х,У,и)=) ¿"(У),

| Мп|

|Дп|5Д

пи вместо оператора с матричным потенциалом рассматривать одномер-й оператор, а этот случай укладывается в наши рассуждения если пожить т=1, то функции 0(х,у,ц) и ё(х,у,ц) есть споктралышо якции операторов ь и соответственно.

Для разности этих вектор-функций, при условии, что все компонен-матричного потенциала являются только суммируемыми функциями, пучен следующий результат.

Л_§_м_м_а_2^ Если выполнены условия теоремы 1, то для вектор-жций, определенных в (0.18), при всех достаточно больших ц, для

5ых j=l/2,...,т, справедливы оценки

с

J (Х/У/Д)~0.) (х«У»Д) ]<*У

а Ь

| [О.) (х,у,

д)-0j(х,у,и)]ау

■ 0(^1,

(18)

(19)

зномерные по х на любом компакте интервала с. (а^с^ь) В главе 3 результаты, полученные в теореме 1 уточняются для

'чая р>1. А именно, доказана

Т_е_о_р_е_м_а_2. Если в условиях теоремы 1 потенциалы и(х) и ,х) состоят из элементов пространства ьр[а,ь], при некотором р>1, при выполнении условий (10) и (11), при всех достаточно больших для любых ;)=1,2,...,т справедлива оценка

¿J(x,f)-Sj(x.f)= 0 [ ~ ), (20)

равномерная по x на любом компакте интервала (а,ь). Оценка, полученная в Теореме 2, является точной по порядку.

Отдельным разделом в диссертации вынесены некоторые ценные добавления, замечания и примеры.

Указанные теоремы 1 и 2 являются основными результатами диссертации.

Автор хотел бы выразить глубокую благодарность В. А. Ильину за постановку задачи и руководство работой.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1.E.И.Никольская. Оценка разности частичных сумм разложений по корневым функциям, отвечающих двум одномерным операторам Шредингера с комплекснозначными потенциалами из класса Li, для абсолютно непрерывной функции. Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, n4. С. 598-612.

2. Е. И. Никольская. Оценка разности частичных сумм разложений

I

абсолютно непрерывной функции, отвечающих двум одномерным операторам Шредингера с комплекснозначными потенциалами из класса lp при р>1. Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, N1. С. 118-127.

3. Е. И. Никольская. Покомпонентная оценка разности частичных сумм разложений по корневым вектор-функциям, отвечающих двум операторам Шредингера снеэрмитовыми матричными потенциалами, для вектор-функций с монотонными компонентами. Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, n1. С. 60-69.