Оценка устойчивости процессов упругого деформирования при стохастических условиях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

1 1 НОИ 1338

На правах рукописи

ЯКУБОВИЧ МАКСИМ ВИТАЛЬЕВИЧ

УДК 539.3

ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ ПРОЦЕССОВ УПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПРИ СТОХАСТИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тала

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь - 1996

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Пермского государственного технического университета.

Научные руководители - доктор физико-математических

наук, профессор П.В.Трусов кандидат технических наук, доцент М.Б.Гитман

Официальные оппоненты -доктор физико-математических

наук, профессор А.Р.Абдуллаев

доктор физико-математических наук, ст.научн.сотр. А.А.Рогоеой

Ведущая организация - Пермский государственный

университет

. ^ Защита диссертации состоится «?/» 1996 г. в

«>О» часов на заседании диссертационного совета Д003.60.01 в конференц-зале Института механики сплошных сред по адресу: 614061, Пермь, ул. Академика Королева, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенных

печатью, просим направлять по адресу: 614061, Пермь, ул.

Академика Королева, Д.1, ученому секретарю диссертационного совета.

Автореферат разослан «^-Ь» оЯХ&лЬрчЯ 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н., ст.научн.сотр.

И.К.Березин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕ РИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Возможность реализации ряда современных технологических процессов, связанных со значительным формоизменением тонкостенных элементов и большими пластическими деформациями, во многом определяется условиями устойчивого протекания процесса деформирования. С другой стороны, существуют новые прогрессивные технологии, использующие явление потери устойчивости. Формоизменение, использующее явление выпучивания, лежит в основе некоторых технологий, ориентированных на получение тонкостенных изделий сложной формы.

Основы современной теории устойчивости " были сформулированиы Л.Эйлером, Ж.Лагранжем, А.А.Ляпуновым. Дальнейшее развитие теории можно увидеть в работах зарубежных ученых: В.Будянского, В.Т.Койтера,

Ж.Хатчинсона, Е.Хопфа и отечественных ученых: В.Г.Зубчанинова, А.А.Ильюшина, А.С.Вольмира,

Э.И.Григолюка, Я.М.Григоренко, В.С.Гудрамовича и др.

Процессы деформирования различных конструкций в реальных условиях протекают, как правило, в условиях неопределенности (случайности) как начальных параметров, так и параметров процесса. В то же время отклонение этих параметров от требуемых значений может оказывать существенное влияние на устойчивость протекания процесса деформирования материала. В связи с этим возникает необходимость построения математических моделей процессов деформирования с учетом стохастического распределения начальных параметров и параметров процесса и анализ устойчивости процессов деформирования на основе таких моделей. Последнее, обусловливает актуальность постановки задачи стохастической устойчивости- и формулировки критериев устойчивости в стохастическом случае. Одному из вариантов решения данной проблемы посвящена настоящая работа.

Цель» работы является постановка задачи стохастической устойчивости процессов деформирования материалов, а также исследование послекритической стадии процесса деформирования и анализ влияния на него стохастического разброса параметров.

Для достижения этой цели необходимо решение следующих задач:

1. Классификация параметров, влияющих на устойчивость процесса.

2. Формулировка понятия устойчивости в стохастическом смысле.

3.Математическая постановка задачи устойчивости в стохастическом случае.

4. Построение эффективных алгоритмов решения задачи устойчивости и закритического деформирования в детерминированной и стохастической постановках.

5.Решение тестовых и прикладных задач, анализ результатов.

Научная новизна. Сформулировано определение устойчивости процессов деформирования при стохастическом разбросе параметров. Разработаны эффективные

вычислительные алгоритмы для решения задачи устойчивости и закритического деформирования в детерминированном и стохастическом случаях.

Практическая значимость, достоверность результатов. Результаты работы использованы для решения прикладных задач. Разработаны пакеты прикладных программ, реализующих предложенные алгоритмы. Достоверность результатов работы следует из сравнения с результатами других авторов.

Апробация работы. Работа докладывалась на 5-и конференциях:

• Математическое моделирование и оптимизация технологических процессов и конструкций. Уральская региональная научная конференция. Пермь - 1991;

• Математическое моделирование систем и явлений. Межрегиональная научно-техническая конференция. Пермь -1993;

• Математическое моделирование систем и процессов. Межрегиональная научно-техническая конференция. Пермь -1994;

• Математическое моделирование систем и процессов. Всероссийская научно-техническая конференция. Пермь -1995;

• XIII Сессия международной школы «Модели механики сплошной среды». Санкт-Петербург - 1995;

а также на научных семинарах кафедры математического моделирования, кафедры теоретической механики и кафедры МКМК ПГТУ.

Публикации. Результаты работы содержатся в 8 публикациях.

Структура и об^ам работы. Работа состоит из введения, трех глав и заключения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи работы и изложено основное содержание работы по главам.

В парзой гшаво рассматриваются вопросы исследования устойчивости и послекритичаской стадии процессов деформирования при стохастических условиях.

, Предлагается следующая классификация источников стохастичности:

• начальные, несовершенства, которые в свою очередь можно разделить на несовершенства формы и размеров конструкции и несовершенства физико-механических характеристик материала;

• несовершенства условий закрепления;

• возмущения параметров процесса: к этой группе относятся возмущения амплитудных значений и характера приложения нагрузки.

Во всех случаях под несовершенствами или возмущениями понимается отклонение соответствующего параметра от заданного значения.

Рассмотрим определение устойчивости в стохастическом смысле.

Будем полагать, что исследуемый процесс деформирования может быть описан системой уравнений вида:

х = Ах+/, 4еУ

хад,4)=х0(4)г4еУ , (1)

где х~х((,4) - вектор параметров процесса, 1 2

х еН^' ([0,<п)хУ); - известная вектор-функция,

характеризующая внешние воздействия, х V); А -

оператор, характеризующий рассматриваемый процесс, А: ^2'3([0,со) хУ)-+ Цг3([0,<я)х V) ; х0 и х - известные функции, определяющие начальные и граничные условия

2 *

соответственно, хд (У)г леХ^.

Наряду с невозмущенным процессом, который

характеризуется оператором А, правой частью /, начальными

и краевыми условиями хд и * соответственно, рассмотрим

возмущенный процесс, характеризуемый оператором А , » »

правой частью / , начальными и краевыми условиями Хд и х .

Чтобы сформулировать определение устойчивости, введем вероятностные пространства.

Обозначим (П^^Р) - вероятностное пространство для начальных условий. Элементарное событие ае О] будем отождествлять с начальными условиями задачи (1) (при конкретном задании функции Хд(0) в детерминированном 2

смысле, т.е. а>еЯг2(У).

Введем метрику в (О^Т^Р):

°>1>а>2 е Аг: Ра11(е>1,е>2)=р<\\е>1 ~ &2\^(у)< К¡) .

Аналогично введем вероятностные пространства для граничных условий: (£2 2,Р2,Р), гДе элементарное событие 06 Л2 будем отождествлять с граничными условиями задачи (1) в детерминированном смысле, т.е. <¡>£¿2' с метрикой

а1,а2 : р^(а1,т2)='Р(\е>1 < к2>>

для правых частей:' где элементарное событие

будем отождествлять с правой частью задачи (1) в детерминированном смысле, т.е. <о £1У2(У) • с метрикой

а1,а>2 6%: р^ (а>1,а>3) = Р(\т1 - о3\\„,](у}<К3)'>

1 2

для оператора задачи: пусть Ь(1У2' ([О,¡х>)хУ)) пространство операторов:

А еЦЦг^ЦО,™) х V)): }Г^2(/0,оо) хУ)-> Ф2([0,*>) х V) ;

И-

Обозначим (£¡4^4,Р) - вероятностное пространство операторов, где элементарное событие савР^ будем отождествлять с оператором задачи (1) в детерминированном смысле, т.е. е> еЦЦг2'2(10,со)хУ)), с метрикой

а>1га>2 ■ Ра44(а1><»2) = Рф>1 ~ <о2\ццг^([0,т)хУ)) <

Обозначим (П,Р,Р) - вероятностное пространство решений, где элементарное событие © £Й будем отождествлять с решением задачи (1) в детерминированном

смысле, т.е. а е1У2'2([0,а>) х V), с метрикой

со1,со2 еЛ : Рп(а>1,е>2) = р(\®1 ~ «Ми^в,®^ < ^ '

Теперь понятие устойчивости в стохастическом смысле может быть определено следующим образом:

если для любых значений вероятностей Р и Р (Р ) для любого числа е>0 найдется число 5(с)> 0 такое, что при выполнении условия

(р^(х0,х"в)кР')л(р*ъ(х,х')*(р^(А,А') (2)

для любого t>^D выполняется неравенство

рЕп(>с,х*)>Р**, (2')

то невозмущенный процесс Р-устойчив.

Классическое определение устойчивости в

детерминированном смысле следует из (2)-(2'), если

принять Р =Р =1.

Рассмотрим первое неравенство в условии (2):

Так как метрика в пространстве (£3],Г],Р) является вероятностью, то можно записать

Р%1(хо>хо) = 1>

или, если расшифровать запись метрики

II Щ(У)

Последнее уравнение будет справедливым только в том случае, если событие, записанное в скобках является достоверным. Следовательно, справедливо неравенство:

рО ~ Х0 2 <<?•

II Щ(Г)

Аналогичные рассуждения можно провести для остальных неравенств в условии (2) и для неравенства (2'). Тогда определение примет вид:

если для любого числа £>0 найдется число 5(е)>0 такое, что при выполнении условия

4*-4*™ V''* о) •

для любого (>1в выполняется неравенство

/1 <е> <3'>

то невозмущенный процесс устойчив.

При исследовании устойчивости процессов

упругопластического деформирования металлов случайными чаще всего являются начальные (или граничные) условия. В этом случае случайной можно считать величину х0 (или х) . Теперь, чтобы использовать определение типа (2)-(2'), необходимо определить плотность распределения решения (случайной величины л:) через плотность распределения начальных условий р(хд) * (случайной величины х@). Воспользуемся для этого универсальным преобразованием случайных величин. - ,

Пусть из решения прямой детерминированной задачи получено решение в виде: = х(х0,...).

- Получим обратное преобразование:

хо = ¥(*>—) . .

Предположим, что зависимости х(хд) и Щ(х) удовлетворяют требованиям абсолютной непрерывности по- Хд и дс соответственно. Известно, что абсолютно непрерывную функцию можно разбить на участки монотонности. Разобьем х(хд) на участки монотонности, количество . которых обозначим через Л.' Теперь плотность распределения решения может быть записана в виде ' к , '

где ц(х) - плотность распределения решения; рХд ~ плотность распределения начальных условий; ¥х(х)~ обратное преобразование на 1-м участке монотонности;

ах

Чтобы записать определение устойчивости типа (2)-(2') для данного конкретного случая, определим следующие вероятности:

Ра, (х'о>хо) = jp(xo №0 •

g

гле G^ix.eW^V^-x^S} -,

PEq(x*,x)= \q(x)dx , В

где Ь/« х У),У - *||S е/ .

Теперь можно записать определение устойчивости типа (2)~(2') .

* ** *

Если для любых значений вероятностей Р ,Р (Р ) для любого положительного числа е найдется положительное число 5(е) такое, что при выполнении условия

J p(x0)écg^p' (3)

G

для любого t>t0 выполняется неравенство

jqfxJdxZP**, (3')

Л

то невозмущенный процесс Р-устойчив.

С использованием предложенного определения рассмотрен ряд примеров и тестовых задач. Для иллюстрации рассмотрена задача об устойчивости положения равновесия шарика на дне ямы. В качестве возмущения было выбрано начальное отклонение шарика от положения равновесия, величина которого полагалась случайной. Скорость шарика в начальный момент времени принималась равной нулю. Получено аналитическое решение задачи з предположении малых начальных отклонений. Решение позволяет сделать вывод об устойчивости положения равновесия шарика, что совпадает с решением задачи, полученным на основании определения устойчивости Ляпунова.

Во второй главе рассматривается устойчивость и закритическое деформирование конструкций при

детерминированных условиях. Приведен обзор работ, посвященных анализу устойчивости в детерминированных условиях,' рассмотрены существующие критерии устойчивости и методы решения задач устойчивости.

При исследовании процессов деформирования интересным является не только устойчивость или неустойчивость процесса, но -и НДС на докритической, а в случае неустойчивости процесса - и на послекритической стадиях.

Одним из вариантов решения таких задач является подход, сформулированный Эйлером и получивший название

бифуркационного. Неустойчивость процесса деформирования в рамках этого подхода отождествляется с неединственночтью решения соответствующей системы уравнений, а критическое состояние - с точкой ветвления решения. Исследование послекритической стадии процесса деформирования в рамках такого подхода сводится к исследованию всех решений, выходящих из точки ветвления.

Однако при численном решении задач в рамках бифуркационного подхода возникает ряд вычислительных трудностей, связанных с вырожденностью линеаризованного оператора задачи в окрестности особой точки.

Одним из способов преодоления этих трудностей является введение фиктивного начального несовершенства (как правило, соответствующего ожидаемой форме потери устойчивости). Решая последовательность задач с убывающими амплитудами несовершенства, можно получить асимптотическое приближение к решению исходной задачи. Такой подход позволяет преодолеть вычислительные проблемы, но может являться источником погрешности при решении задач для материалов с памятью.

Предлагается вычислительный алгоритм, позволяющий, «обойдя» точку потери устойчивости, исследовать решение исходной задачи.

Будем полагать, что процесс может быть описан системой уравнений вида (1)

Предположим, что может быть выделен некоторый параметр р(/,4), по отношению к возмущениям которого будем исследовать устойчивость процесса. Будем называть этот параметр ведущим. Физический смысл этого параметра в каждой задаче может быть различным: внешние воздействия, начальные условия и т.д. В частном случае, когда в качестве ведущего параметра выбираются внешние воздействия, в уравнении (1) Р^ДЬ^р^ф). Вообще говоря, ведущих параметров может быть несколько. В этом случае исследуется устойчивость по отношению к каждому из них.

Идея предлагаемого алгоритма состоит в замене ведущего параметра, позволяющей преодолеть вычислительные трудности, возникающие в связи с вырожденностью линеаризованного оператора в окрестности особой точки, и исследовать как до-, так и послекритическую стадии процесса деформирования.

Перейдем к изложению предлагаемого алгоритма (Рис.1). Решая задачу (1) для любого значения мьГ можем

определить вектор д; как функцию параметра р (участок 1 на

рис.1). Пусть в некоторый момент времени / на параметр р

наложено возмущение вида р (4) = <*9(4) (участок 2 на рис.1). Решение задачи (1) в этом случае также получит некоторое возмущение. Пусть это решение может быть

записано в виде суммы невозмущенного решения и

* *

возмущения, т.е. х(р) + х(р+р).

Теперь для замены ведущего параметра необходимо выполнить следующие действия:

I

Ч_з_

Х1_

Рис.1

ту, которая будет качестве ведущего

• дополним систему уравнений (1) любым тождественно выполняющимся уравнением относительно параметра t;

• добавление в (1) нового уравнения требует формулировки дополнительного граничного условия. Сформулируем его следующим образом: выберем в области V некоторую точку Мв(40)еУ, которую будем называть характерной точкой. Выбор этой точки зависят от

конкретной решаемой задачи.

•

Выберем из компонент вектора х использоваться в дальнейшем в параметра и определим для нее

дополнительное граничное условие в виде 1(1,¿}) = 1(1). Теперь в качестве ведущего параметра. может быть использована величина Л, а величина р будет определяться из решения расширенной задачи (1); зафиксируем величину Я((), т.е. Ц1)=соп&, />/*, а величину а уменьшим до нуля (участок 3 на рис.1). Из решения задачи (1) определим вектор параметров процесса, соответствующий послекритической стадии процесса деформирования, а из дополнительного уравнения - время, соответствующее полученному х (обозначим его /""), что позволит определить величину р = р(1 ,4) (точка 4 на рис.1);

используя в качестве ведущего параметра величину Л((), теперь можно исследовать всю послекритическую стадию деформирования: уменьшая значение Я, можно сколь угодно близко подойти к точке потери устойчивости, а

увеличивая - исследовать дальнейшее послекритическое деформирование. И в том, и в другом случае время, соответствующее новому значению Я, будет определяться из расширенной системы уравнений (1).

Таким образом, предлагаемый алгоритм позволяет исследовать с единых позиций докритическую стадию процесса деформирования, потерю устойчивости и послекритическую стадию.

Отметим особо, что изложенный алгоритм применим к материалам с памятью при условии задания малого возмущения в непосредственной близости от точки потери устойчивости, что гарантирует незначительное отклонение траектории деформирования от исходной.

Рассмотрим применение изложенного алгоритма на примере задачи об устойчивости прямолинейного стержня, нагруженного приложенной вдоль оси сжимающей силой. Известно, что равновесие стержня описывается краевой задачей

где % = ■

Е1х = —Е¥,

(4)

- полная кривизна стержня; ¥ - полный

(1 + (¥')2)3/2

прогиб стержня; Г - нагрузка; Е - модуль Юнга материала стержня; I - момент инерции поперечного сечения; £ -продольная координата; Ь - расстояние между опорами стержня. ^

Введем дополнительное предположение: будем полагать, что прямая является осью симметрии стержня. Тогда

краевая задача (4) может быть переписана следующим образом: '

Е1Х = ~Р¥,

= 0, (4')

4=1/2

' . ■

В качестве ведущего параметра выберем величину, усилия Тогда на первом этапе алгоритма (исследование докритического деформирования}, решая краевую задачу (4) при пошаговом увеличении величины /У будем определять

Г.

прогиб стержня как функцию ведущего параметра. Очевидно, что на стадии докритического деформирования решение

краевой задачи (4) будет тривиальным. При некотором *

значении F=.F' введем возмущение в виде малого попаречного усилия . Реакцией на это возмущение будет

прогиб стержня, то есть ¥=¥ *0.

Теперь для замены ведущего параметра необходимо выполнить следующие действия:

• дополним краевую задачу (4') тождественно выполняющимся уравнением — = <';

Ч

• дополнительное граничное условие сформулируем следующим образом:

%1У2 = { <5>

• будем решать расширенную краевую задачу (4') с

Л *

дополнительным граничным условием (5) при Г=7 уменьшая до нуля значение . При этом, величину Г будем определять из дополнительного уравнения. Таким образом, при = 0 получим прогиб и значение нагрузки, соответствующие псслекритическому деформированию

стержня. Теперь увеличивая величину У можно исследовать дальнейшее послекритическое деформирование, а уменьшая - приблизиться к точке потери устойчивости.

С применением изложенного алгоритма решена задача об устойчивости и начальном послекритическоы деформировании цилиндрической оболочки, нагруженной гидростатическим внешним давлением. Задача решалась в предположении линейной упругости, однородности и изотропности материала с применением геометрически нелинейного варианта моментной теории тонких оболочек, учитывающего квадраты величин углов поворота. Сравнение полученных результатов с известными аналитическими решениями свидетельствуют о достаточно высокой точности алгоритма с точки зрения определения критических нагрузок и исследования послекритических состояний.

В "третьей главе анализируются результаты решения тестовых и прикладных задач.

Рассмотрена задача об устойчивости прямолинейного стержня, нагруженного действующей вдоль оси сжимающей силой Исследование проводилось в следующих

предположениях: начальная конфигурация стержня полагалась

отличной от прямолинейной, причем несовершенство формы принималось случайным; сила приложена с эксцентриситетом е; материал стержня полагался идеально упругим, однородным и изотропным. Постановка задачи устойчивости в этом случае записывалась следующим образом: для заданных значений ¥, е, для заданного числа е и заданной начальной формы стержня

я ¡¡¡с _

Уо = гдеС1 ~М(тс,5с),»= 1>»

м '

найти такие параметры закона распределения начальных несовершенств, чтобы стержень был Р-устойчив.

Результаты решения показали, что для заданного значения эксцентриситета можно получпиь такой диапазон начальных несовершенств, чтобы прямолинейная форма была устойчивой при нагрузке выше эйлеровой. Построена зависимость между величиной е и параметрами закона распределения начальных несовершенств . для заданного значения эксцентриситета при нагрузке, превышающей эйлерову.

Исследована устойчивость и послекритическая стадия деформирования цилиндрической оболочки, нагруженной гидростатическим внешним давлением, при стохастическом разбросе начальных несовершенств формы.

Рассматривается круговая цилиндрическая оболочка длины Ь, радиуса К и толщины А, нагруженная гидростатическим внешним давлением.

Задача решалась в предположении идеальной упругости, однородности и изотропности материала. Использованы соотношения моментной теории тонких оболочек, основанной на гипотезах Кирхгоффа-Лява, учитывающие квадраты величин углов поворота.

Система уравнений, описывающая деформирование оболочки, имеет вид:

в2 в2

2 2

Еп=у' + й + вгв2; Кп = 0};

к22 = о2' К]2 = 4 + ;

ЕЬ

Ти=--¡(Ец+иЕп У,

1-V

Ек

Т22 = --2<ЕЯ +

1-й

М" = „Л л/ + ^^

12(1-о ) ЕЬ?

М"=щГ^)^22+"к");

ап3

Н = ~К12; Я-СЬЕ,,; о

Т;1+8 + к1(йи + Й)+Ч1=0; 3' + Тп + к2((1п + Н') + я2 = 0; аЬ+(122-к1Ти-к3Т22 + 93=0; М'п+Й-йц-Т^-БО^О; Я' + - - - = <?,

а/ | О/ |

где в, = -к>\ в2 = -и> + к2У - углы поворота; (■)' = ——, (■) =—— -

дх1 дх2

производные по продольной и окружной координатам, соответственно; я,у - продольное и окружное перемещения; V прогиб; Еу, Кд - мембранные и изгибные деформации срединной поверхности; Тд,Мд - внутренние усилия и моменты; - перерезывающие усилия. Величины ц (г -

константы материала: Е - модуль Юнга, и - коэффициент £

Пуассона, <7=--модуль сдвига; Ча Ч.2> ~ компоненты

2(1+о)

вектора внешних.нагрузок. Для случая нагружения оболочки гидростатическим внешним давлением =Ч2 = 9, <1з = <] параметр интенсивности давления.

Задача решалась методом сеток с линеаризацией разностных уравнений на каждом шаге методом Ньютона.

Для тестирования составленных программ решена задача об осесимметричном деформировании оболочки. Из сравнения с аналитическим решением видна хорошая сходимость разностной схемы с увеличением числа узлов.

Для исследования деформирования оболочки при стохастическом разбросе начальных несовершенств принималось, что начальный прогиб имеет форму

п>0 = ^С^м^^хт^—, где С1 ~Л'(тс,8с). Результаты решения

X»

представлены на рис. 2. Показана зависимость максимального прогиба оболочки от интенсивности внешнего давления, представляющая собой область фазового

пространства, ограниченную сверху решением

детерминированной задачи без несовершенств.

Рис.2

1 -детерминированная задача без несовершенств;

2-стохастическая задача: М(тах}У)

3 -стохастическая задача:

М(тах1Г) ± ЩтахПг) Задача устойчивости оболочки формулировалась следующим образом: для заданных значений у, е и заданного вида начального прогиба подобрать такие параметры закона распределения начального прогиба, чтобы деформирование оболочки было Р-устойчивым.

Результаты решения приведены на рис. 3,4. Построена

зависимость между величиной е и параметрами закона

распределения начального прогиба для различных значений интенсивности давления. Следует отметить, что при

давлении, превышающем критическое значение, полученное из

решения детерминированной задачи, деформирование оболочки не является Р-устойчивым.

Выводы по работе.

1.Сформулировано определение устойчивости" процессов деформирования при стохастическом разбросе параметров.

2.Построен эффективный вычислительный алгоритм решения задачи до- и послекритического деформирования для детерминированного случая.

3. Построенный алгоритм обобщен для стохастического случая.

4. Построен алгоритм оценки устойчивости для стохастического случая.

5.Решен ряд тестовых задач.

6.Получены результаты для оболочки, нагруженной гидростатическим внешним давлением.

Список публикаций

1.Д.В.Цыбин, М.В.Якубович. Упругопластическая устойчивость цилиндрической трубы, нагруженной внешним давлением/ Математическое моделирование и оптимизация технологических процессов и конструкций // Тезисы докладов Уральской региональной научной конференции. Пермь - 1991, с. 18-19.

2.М.В.Якубович. Методика решения задачи устойчивости и закритического деформирования тонкостенных оболочечных конструкций/ Математическое моделирование систем и явлений // Тезисы докладов Межрегиональной научно-технической конференции. Пермь - 1993. с. 96-97.

3.А.К.Федосеев, М.В.Якубович. Численное построение уравнений ветвления в задачах исследования устойчивости и послекритического деформирования тонкостенных конструкций/ Математическое моделирование систем и процессов // Тезисы докладов Межрегиональной научно-технической конференции. Пермь - 1994, с. 31-32.

4.М.В.Якубович, М.Б.Гитман. Устойчивость процессов упругопластического деформирования при стохастическом распределении исходных параметров/ Математическое моделирование систем и процессов // Тезисы докладов

Всероссийской научно-технической конференции. Пермь -1995, с. 55.

5.М.В.Якубович. Методика решения задачи устойчивости и закритического деформирования тонкостенных оболочечных конструкций/ Математическое моделирование систем и явлений. Межвузовский сборник научных трудов. Самара, 1995.- С. 106-113.

6.М.В.Якубович. Об одном алгоритме решения задачи устойчивости и закритического деформирования тонкостенных оболочечных конструкций/ Вестник ПГТУ. Механика. №2, 1995,- С. 11Э-127.

7.М.Б.Гитман, М.В.Якубович. К вопросу об устойчивости процессов деформирования при стохастическом распределении начальных параметров/ Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. №1, 1996.- С. 6166.

Б.Гитман М.Б., Трусов П.В., Якубович М.В. Исследование устойчивости сжатого стержня при стохастическом распределении начальных параметров/Труды XIII Международной конференции по моделям механики сплошной среды.// С.П-б ун-т, 1996. С. 180-188.

Сдано в печать 19.08.96 г. Формат 60x84/16. Объем I уч.-изд.л. Тираж 100. Заказ 1048. .Ротапринт ПГТУ.