Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Р Г Б С!\ 2 2 АПР та

На правах рукописи

АЗАРНОВА ТАТЬЯНА ВАСИЛЬЕВНА.

ОЦЕНКИ ЭЛЕМЕНТОВ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ 1 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Специальность 01.01.01. - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 1996

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Баскаков А.Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Курбатов В.Г. кандидат физико-математических наук, доцент Блатов И.А.

Ведущая организация:-Кубанский государственный университет

Защита состоится 14 мая 1996 г. в 15.20. час на заседании диссертационного совета К 063.48.09. по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл., I, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета .

Автореферат разослан " ^ " 1995 г>

Ученый секретарь диссертационного

совета К 063.48.09

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность гены- Основные результаты данной диссертацион-гой работы допускают две параллельных интерпретации . В каждой из мтерпретаций данные результаты имеют самостоятельную историю эазвигия и являются самостоятельным источником приложений.С точки Фения, более связанной с внутренними методами исследования . порученные результаты представляют собой некоторые обобщения извес-'ной теоремы Винера об абсолютно сходящихся рядах Фурье . Речь [дет о наполненности в алгебре End х <алгебра линейных ограничении операторов, действующих в бесконечномерном комплексном бана-:овом пространстве х > некоторых классов линейных ограниченных >перагоров. ряд Фурье которых . рассматриваемый как ряд Фурье не-соторой сильно непрерывной периодической операторозначной функции >Д!ШП * end х в точке t=o. имеет определенную скорость абсолютной ¡ходимости. Классификация осуществляется на основе оценок скорости сходимости ряда Фурье, выраженных в терминах некоторых весовых зункций а: 2П * Ш+. Наполненность доказывается путем получения сонкретных оценок для коэффициентов Фурье обратного оператора.выраженных в терминах числа обусловленности оператора и в терминах гесовых функций, определяющих класс операторов . Методы получения сонкретных оценок являются обобщением и развитием методов получе-ия асимптотических и конкретных оценок, разработанных в работах Заскакова А-Г.. Асимптотические оценки получаются путем исполь-ювания теории банаховых алгебр < в частности, теорем Аллана и зохнера - Филлипса) и с успехом применяются к разнообразным клас-:ам операторов.Например, для оценок скорости абсолютной сходимости ряда в представлении разностных операторов, действующих в ■ (<з.Е) ( 13 - локально компактная абелева группа, е - сепарабель-юе банахово пространство )

(Аф)(д) = *£ а ( g )(pt ) ( »n € L^f G.End Е ).

Для получения конкретных оценок в данной работе теория банановых алгебр не используется.

Особенно наглядно значение конкретных оценок проявляется с точки зрения второй - матричной интерпретации полученных в работе результатов. Вводя матрицу оператора, как некоторую функцию из

sxs в End x < s - счетное подмножество из 2П) и устанавливая взаимосвязь между оценками коэффициентов Фурье оператора и оценками элементов матрицы оператора, все полученные результаты можно рассматривать, как оценки скорости убивания внедиагональннх элементов матрицы.-Конкретный , а не асимптотический характер оценок скорости убывания внедиагональных элементов обратных матриц играет существенную роль в вычислительной математике. Применение конкретных оценок к вопросам, связанным с модификациями итерационных алгоритмов вычислительной математики можно найти в работах С.А.Сандера, Р. Конкуса, Г.Н. Голуба, Г. Мэуранта, Елатова И.А., с. Демко, В. Мосса. П. Смита .

Б работах Курбатова В.Г. рассматривается щшложение асимптотических оценок элементов обратных матриц к теории интегральных операторов.Они касаются доказательства наполненности в пространствах l< б,е ) ( е - локально компактная абвлева группа, е - конечномерное пространство > подалгебр операторов вида в = Ai +• « (>, где й - интегральный оператор с определенным типом убывания "внедиагональных" элементов ядра.В данной работе исследуется распространение этих методов на новые классы интегральных операторов. причем в результате получаются конкретные оценки для ядер интегральной части обратного оператора.

Наряду с приложениями к интегральным операторам, в работе получены приложения конкретных оценок элементов обратных матриц к теории функций и к спектральной теории линейных ограниченных самосопряженных операторов, действующих в пространстве l (£2) < Q -замкнутая область ненулевой меры в Еп ).

Из вышеизложенного вытекает актуальность вопросов, рассмот -ренных в диссертации.

Надь работы.Изучение подалгебр алгебры End х , выделенных на основе оценок скорости абсолютной сходимости рядов Фурье операторов из этих подалгебр или, с точки зрения матричной интерпретации на основе скорости убывания внедиагональннх элементов матриц операторов. Доказательство наполненности этих подалгебр путем получения конкретных оценок элементов обратных матриц , выраженных в терминах числа обусловленности оператора и в терминах весовых функций, определяющих подалгебру операторов. Доказательство, методами. базирувдемися на конкретных оценках элементов обратных матриц, следующих фактов из теории интегральных операторов,спек-

■ральной теории линейных операторов и теории функций

- НаПОЛНеННОСТИ В алгебрах End L (G,E)(0 < р <®, i < q <а> ,

i - локально компактная абелева группа, е - конечномерное прост-ннство ) некоторых подалгебр операторов вида в = м + а (Х^о), \це а - интегральный оператор с определенным типом убывания "вне-деагональных" элементов ядра)

- теоремы об оценках убывания коэффициентов Фурье (относите-;ьно некоторого ортонормированного базиса ) собственных функций, )твечающих изолированному простому собственному значению линейных ограниченных самосопряженных операторов из End l2(Q) < Q -замкнутая область ненулевой меры в 1R" >;

- теоремы об оценках спектральных компонент для некоторых слассов непрерывных ограниченных на DP функций ( некоторый аналог :еоремы Винера об абсолютно сходящихся рядах Фурье ).

Методика исследования. В работе используются методы комплексного анализа, функционального анализа,теории обобщенных функций, функционального исчисления линейных операторов, теории интеграль-1ых операторов.

галученные е диссертации результаты являются нозыш. Диссертация юсит теоретический характер. Ее результаты и методы могут найти трименение в теории линейных операторов, теории функций и в методах вычислений.

Апробатгия шйсны. Результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах ( 1994,1995 г. ) , на и международной конференции кенщин-матемагиков (Пущино,1994 г.), на :п международной конференции заенщин-математиков<Воронеж 199э г.), та международном научном конгрессе студентов, аспирантов и молодых /чеыш •• Молодежь и наука - m тысячелетие " ( Москва , январь .996 г. ), на семинаре проф. Азизова Т.Я. в институте математики ЗГУ , на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Кубанского государственного университета < рук. проф. Цалюк З.Б. ), на семи-гарах проф. Баскакова А.Г. в ВГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы с 1-5]. Совместных работ нет.

Структура и объем jafioifl- Диссертация содержит И7 страниц машинописного текста и состоит из введения , двух глав и списка жтературы, включающего 63 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана краткая историческая справка по рассматриваемому кругу вопросов, проводится обзор полученных результатов ) их сравнение с другими работами, приведено краткое содержание работы.

Объектом исследования первой главы являются линейные огра • ниченнне операторы из банаховой алгебры End х.в рассмотрение вводится некоторая дизъюнктная система проекторов У» { р s i e s ]

( s - счетное подмножество из 1п ) и сильно непрерывное изометрическое периодическое представление рi 0?" * End х

p<t»i - Eeivk,t)P « .где t 6 0?\ ei(k't) = e 11 n n .

k£S k

Используя введенную систему проекторов и представление р , изло -жение свойств изучаемых линейных ограниченных операторов А€ End х и выражение полученных результатов осуществляется в двух формах:

1. в форме свойств абсолютной суммируемости ряда Фурье оператора а, как ряда Фурье некоторой непрерывной периодической операторез-

начной функции Ф^« К" * End х , ф <t) = р(t>AP(-t) в точке t=0

ФДС t) ~ £ Akei(k,t) (S = {к е Zn:3 i„J € S, к = i-jj) ? kes1

2. в форме матричного представления оператора а , когда в качестве матрицы рассматривается некоторая функция As sxs ^ End х ,

А = ( ) = ( PjAPj > ( if -i € s ) .

На систему проекторов Р накладываются требования , позволяющие утверждать для каждого оператора а € End х!

1. представление коэффициентов Фурье Ак в виде сильно и безусловно сходящегося ряда Ак = Z p^j i

i-J=k

2. сходимость по Чезари ряда а ~ £ а^

;1

к

к€3,

3. ¡A J = sup I Р.АР, 1 ДЛЯ к € S . К i- j=k 1 J

Эти требования, в часности, позволяют обосновать корректность оп-

ределения оператора своей матрицей Л = = (^ру е sj.

Операторы а^ , с точки зрения матричного представления, имеют отличную от нуля лишь "и - ю диагональ".совпадающую с "к - й диагональю" оператора а.

В данной диссертационной работе рассматриваются только one -раторы, для которых ряд Фурье абсолютно сходится.

В заключении § i главы i иллюстрируется матричное представление линейных ограниченных операторов относительно дизъюнктной системы проекторов на примере матриц операторов, действующих в

пространствах l ( ) ( а. < q < ton о с р < оз! Q - замкнутая

область в К" . е - конечномерное пространство ) . В данном случае система проекторов выбирается так , что операторные блоки матрицы

^u = piapj можно Рассматривать , как некоторые операторы i

<СО.Пг\Е) ■*■ L ( [ О , 11n, Е ) , причем |А ь - !а lEnd ь .

pq q

Исследуемые классы операторов вводятся з §2 главы i.В качестве критерия принадлежности операторов к классам выдвигаются оп-

7>П

ределенные свойства функции 2 - -ч

d'.fk) = sup | ft, . II ДЛЯ к € S. И d ( к ) = О ДЛЯ к (ES. А i-J=k lj 1 А 1

Ндя классов операторов вводятся обозначени £nd1 х, £nda x.End^ х, •rid^ х,EndQ х, подчеркивая тем самым , что они являются линейными тодпространстЕами пространства fnd х .

L. End , X = { А € End X ! £ d , (k) < со 1 1 iJ А

S

?. Endft X = { й с End X ! £ dк)<Х( к ) < ® ,

к es. ♦

где функция а; 1п * - неубывающий субъэкспонекциальный вес, зависящий от |Н = |k 11+ |kg |+...+ |knl , удовлетворяющий усло-ЛОВИЯМ:

In Шк)

а) а(к.) > 1; б) а(к , + к0) С ОСС к .) <Х< к „) s В) lim------= о 1.

12 1с

|к|+® |к |

End D X = f А £ End X: sup d.(k)ß(k) < со , Р А

k£S1

где ßt Zn ■> - ЕесоЕая функция, удовлетворяющая условиям:

- в -

J In J3(k>

al Г ----------- < 03 ! 6) i in .................= <->;

^n 0<k) Ikl-Ki |k|

1 1

в> £ ...........< c< 0 )--для некоторой c( 0 ) > о ь

j€2h pt.j >fl(k-J > P(k)

Ikl |kl" |kJ

4. End X ■ { ft £ End Xsdtki-wM f1*1 = M f . . . f n

J n л I 11

для некоторых м^гка) , f e (o,n, ( i=i'7n) >.

k Ф -e, k

5. End X = { A € End X: d,(k) = О ДЛЯ k Ф e , k Js в

О A

t e = ( i.....i ) , отношение (i) является отношением частичного

порядка на множестве Iй, для которого ш < п, если m < n v i ).

В подпространствах End1 х„ Enda х, End g х корректно вводятся следующие нормы:

|ftl1 » £<Vk> s ^ йдСОШк) : iftllp = с<Р) sup dA(k)P(k)

k€S k£S 1 lies

и,доказывается теорема об алгебраическом статусе рассматриваемых классов операторов.

ТЕОРЕМА 1.2. Пространства End.) X, Enda X, Endp X, End у X замкнуты относительно операции умножения операторов. т.е. являются подалгебрами алгебры End х.

Данная теорема не касается подпространства Endfl х. Подпространство EndQ х не является подалгеброй алгебры End х , однако для End х справедлива следующая теорема 1.3-, которая содержит результат ванный как сам по себе , так и для доказательства наполненности подалгебр End1 X, End& X, Endjj X .

ТЕОРЕМА 1.з. Если оператор а принадлежит EndQ х и обратим, то

обратный оператор а 1 принадлежит подалгебре End^. х при некотором

V (> • ■ •»Г > с Tt= 'у 1- - и имеет место оценка

А * 1+2*ЗпЭ£(А)

JA"1!, < 2»A"1S

п/ п/

У и^з^аесй) v 2*зпае(А)

п/ п/

V 1+2*зпэе(А) - V 2*зпае(А)

где зе(а) = II а 11 а-1 1 - число обусловленности оператора а.

Метод доказательства данной теоремы представляет собой ис-

следование области обратимости и ряда Лорана операторозначной функции, являющейся аналитическим расширением функции Фд:Пп-^пс1 х

Ф,(6) = Р(6)АР(е-1)

а

( Пп = < г=(г.....г ) 6 (Сп! |г | = 1. (1 = 1,п) 1 И Р<9) = £ Р ,8^ )

1 п 1 1

на множество м=<г=(г .z )€Еп:г„*. . .*т. * О }.

1 п 1 п

При n=i более точные оценки, но для более узкого класса самосопряженных положительно определенных операторов, действующих в 12 и имеющих трехдиагональнне матрицы , приведены в работах С. Демко В. Мосса, П. Смита и имеют вид

d д( И < S A"1 II та:!

Г t 1 + /эе(А))2 1 V ж(А> - 1 l'k' 1 2зе(й) J t V üftT + 1 J

Метод доказательства, аналогичный методу доказательства теоремы 1.з, используется и в следующей

ТЕОРЕМА 1.4. Если обратимый оператор а принадлежит алгебре

х и d ,<к) м, t'k' < к € s. ) , то обратный оператор

j а а |

€ End X, причем d (к) <м , у А" А"' А

А

"..-»ю. er1 s;2-С", «Л-^-4

. " л-1

А А

c-1+ïi

____., , < = п (

).

После доказательства данной теоремы в работе доказывается несколько вспомогательных утверждений ,которые позволят использовать теорему 1.з при доказательстве наполненности подалгебр Епа х, Епаа х,Епар х. Речь идет о варьировании дизъюнктной системой проекторов так, чтобы ' трехдиагональная' матрица относительно новой системы проекторов охватывала сколь угодно большое число диагоналей исходной матрицы .

Новые системы проекторов < укрупнение разбиения е диницы ) строятся по старой системе проекторов, вектору т € и сохраняют все свойства старой системы проекторов.

По правилам построения пространств Епаа х ( епй^ х) с нормой ¡А[а( |а,относительно новой системы проекторов строится прост-

ранство End х ( EndR x) с нормой |aL ( |АЦд )

и,, ш р.ш a, m Р>Л1

Доказы-

вается лемма о равенстве пространств Епаа т х = ег^ х, (Епс|£,т х = Епс1р Х|,в ЯР01*6008 доказательства леммы устанавливает ся эквивалентность норм |а|а и |а1а (

).

0 и '"'р.ш'

Закончив краткое изложение вспомогательных фактов , мы подходим к формулировке основных теорем главы i.

,ТЕОРЕМА i.s. Пусть А - обратимый оператор из алгебры End1 х.

Тогда обратный оператор а"1 лринадлешт пространству End х и для

. -11 1

нормы

s-11

имеет место следующая оценка

|А-,|1 < 2П+Д|А"1|(1)а

1&!

1

У г, "/

/l+4*3n3S(A) V 4*3

ае(А)

п/ п/

/ 1+2*з"ае(А) + V 2*zn,

эе< А)

п/ . п/

V 1+2*зпэе(А) Y 2*з зе<А)

п/ п/

V 1+4*зпае<А) - / 4*зп;

[ае(А)

где Фа!®+ * 1 функция вида ФА<*> = ">inf П к±е 2п!<рд(ю , ко-

торая строится ПО функции <PAs2n + Ш+и{0>„ф (к

о

Z

J€S1 Гз>к+е

d . ( i ) ■ А

В заключении данной теоремы приводится пример оценки нормы Ia-1^ для оператора а , принадлежащего одновременно подалгебре End ^ х и подалгебре End^ х с конкретной весоБой функцией р.

Завершает главу i теорема \.ь. Для ее формулировки введем обозначение

сию

а = sup--.

k€Zn Ot( mk+j )

e,k> e -m+eiJ-ijn-e

ТЕОРЕМА i.6. Если обратимый оператор а е End^ х, то обратный оператор а"1 € End^ х, причем справедлива следующая оценка!

SS

- l.t -

Ja 1lR í в sup 0<к>

п

1-

Если обратимый оператор а е End,x х' а Функция а

удовлетворяет условию iim <xn(m)=o, го а-1 е End х и имеет место

следующая оценка:

«л -1

с н £ а<ю

L Г l+4*3n3e(A)

Величины в,н зависят только от Ца ||а"11 и соответствущих весовых функций аир-

Результаты, изложенные в теоремах 1.2-1.0 находят актуальные триложения. Речь идет не только о использовании конечных результатов, но и о возможных модификациях метода получения оценок в случае, если в условиях конкретных пространств на матрицы операторов 13 расматриваемых подалгебр накладываюся новые требования, связан-ше со спецификой пространств и нужно следить за выполнением этих гребований у обратного оператора. В параграфа i главы 11 рассматривается пример такой адаптации для подалгебр операторов, дейст-

зующих в пространствах l с í7,e ) ( о < р < ш , 1 < q <. m >.

PQ

!сследуются операторы вида в = Xi+л,( Л е (С, Л,?© ),где а - интег^ ральный оператор

(A«){t) = I К (t, s) >: (в) d s,

ь

Q

адром которого к г К" х ffi" + end е является измеримая функция , удовлетворяющая оценке |к( t,s> lBnd < r(t-s) (<t,s) е ) для «которой скалярной функции г € l (IR", 0?). Классификация операторов такого типа будет осуществляться на основе свойств функции г.

Относительно дизъюнктной системы проекторов из алгебры :nd l , свойства которой упоминались при иллюстрации матричного представления операторов, рассматриваемые интегральные операторы относятся к подалгебре End^ для V p,q и .кроме того, их матрицы обладают следующими дополнительными свойствами:

1+4*зпае<А>

1 . a sL* L ; 2. £ d ] ( к ) < cd , ^ kÉS,

где dк > = sup IU1;Jlb при к € S ^И ci^co< к ) = О при к I S^ i-j=k 1 ^

з. функцией , оценивающей ядро, является функция

r(t) = max d^U) ДЛЯ t=s+k k £ S , s€CO,l]n И r(t)=0 ИНЭЧ6. 1 63 kCi <k+e

В работах Курбатова В. Г. доказано , что множество рассматриваемых операторов в = Ai + а , ( А. € С ) образует наполненную подалгебру в алгебре End1 l . Эту подалгебру мы обозначаем в работе End^œ и вводим в ней норму

IBIJ*- IUI + А I]®- IM + £ d^k).

k6S1

В алгебре Endj03 l выделяется несколько классов операторов.

1. Endl™ L = { В iEnd^L : £ d ] Ф( к) <Х( к ) < го > .

ОС pq 1 pq и А

k£S1

Для операторов данного класса оценивающая ядро функция г,такова, что функция r(t)cpm принадлежит l ( Ш", К ) для любой функции ф удовлетворяющей при некоторых <= >с2 € Ш+ следующему неравенству

С1<Х<к) .-5 ф( к +1) й с Ot(k) V к € 2n, t € CO,2Tn.

2. End!" L = { В £ End^ L : sup d^(k)P(k) < со}.

P PQ 1 pq A

' k€S1

В данном случае функция r<t)<jxt) принадлежит L^f В?\ К ) для любой Функции <р, удовлетворяющей при некоторых е сле-

дующему неравенству

С^(к) < <p<k + t> c£ß(k) V к е 2n„ t € t-i,inn

Епа^Ц - {В € Епй,1а1 : а^к) < М . ГЫ=Мй Г,^ ■ • • Г^" X pq 1 РО. А А А 1 П

для к € в и некоторых мд-М(А), Т± € (0,1),( 1=Г7п) :

Ядро для операторов 'данного класса удовлетворяет следующему

неравенству ||к< t,s> lK dE< R г'* s' ( (t,e) e ß x n , r < oo ),

End = { В €End]®L = О для

0 pq 1 pq A

V ф -e, V. к ф в , к > в }.

Функция г, оценивающая ядро операторов из данного класса

r(t-e) = О ДЛЯ ( t-a 2е ИЛИ t-s < -2е ).

Каждый из рассматриваемых классов является линейным юдпространством пространства End}®!- . В подпространствах

ind^05 Lpq „ Endp" L ВВОДЯТСЯ СЛвДуШИв НОРМЫ:

|в II = |Х| + Е d2m(k)a(k); |в|1®- |Х| + с(0> SUP d|e(k)P(k).

. 1оз

I ДЛЯ End ' L , End L , End„ L , Endo L . Erid^ L ДОКЭЗЫ-0 pq' 1 pq pq P pq T PI

заются некоторые аналоги теорем i-з, i.4, i.6.

ТЕОРЕМ 11.4. Если оператор в = Хи-а < X * о ) принадлежит indLpq и обратим в алгебре End}00 , то обратный оператор Г1= 1/х I + с принадлежит подалгебре е^^-03 Lpq с dc<X'(k) ^ "с^с*'

1.....fn ] ' V У

три некотором V = Тс = < V

У 1+2*3"ж(В)

:де ае(В) = I в Ц^05 || в-1 11^- число обусловленности оператора в

з алгебре епй^03 ь .

ТЕОРЕМА ix. 5. Если обратимый оператор в=Хи-а<Х?*о)

тринадлежит алгебре и «^ю < МА Г|к' < к е ) „

го обратный оператор в-1 = 1/Х1 + с е |-р4 5 пРичем

в"1

с с

- с = _____п [_L_],.

ТЕОРЕМА 11.6. Если оператор в = Xi +■ а с End^® l ( X ^ о >

- 1.4 -

обратим в алгебре End]® i , то обратный оператор в-1 = i/\ i + с

принадлежит ^nä1^ , причем справедлива следующая оценка

U/A.|+4c(ß) |B_1 i' sup ß(k) k€S

1+4*зпае(В)

Если обратимый оператор в = Ад + а е end^® , а функция

удовлетворяет условию ал(т)«0 , ТО В-1 » 1/А I +• С € Endlc0

и и рс

и имеет место следующая оценка:

|i/Ä.H|B-1|]e Z шю

Величины м, н зависят только от соответствующих весовых функций аир.

Эта теорема завершает параграф i главы п. В параграфе 2 главк и получены оценки коэффициентов Фурье относительно ортонормировакного базиса е ( i е s , s - счетное подмножество из > для собственных функций, отвечающих простому изолированному собственному значению самосопряженного оператора , действующего в гильбертовом пространстве l (О и принадлежащего ОДНОЙ ИЗ соответствующих подалгебр enda l_2( Q ) , endß l2( П ),

End^. Lg(Q) .

Основные результат данной главы сосредоточены в следующих двух утверждениях

ТЕОРЕМА u.a. Пусть 1Q - изолированная точка спектра ö<a) оператора а, являющаяся простым собственным значением, а <р и ф собственные функции операторов а и а*, отвечающие собственным значениям Ä.Q и Х0 соответсвенно, причем ( ф, ф ) = i , тогда функция : 2П ♦ К+ вида d ф (k) « sup I р±ф i t р* ф 1 ( i,J е s >

удовлетворяет одному из следующих свойств: 1. Г, d ф < к) Ott к ) < оо. если A €EndaL2(

kes

sup

kes

2. sup d ф ф ( к) ß< к ) < ш , если А € EndßLgt Q )¡

.а . <ю < м г , м о . = к. I | г1к |

аср,ф ^ 'о <о ' "о ' 'о * о 1 тогг топп '

у € (0,1), если а 6 елс1р 1_2< п ) .

СЛЕДСТВИЕ пл. Если оператор а в условиях теоремы и.а са-эсопряжен, тогда для величины <аф ф(ю - ф.<к> < ф = ф ) в усло-

иях 1-з данной теоремы выполнено равенство

= I

де ах = ( <р,е ) - коэффициенты Фурье собственной функции

оператора а относительно базиса в < I е 5 >.

Материал, изложенный в параграфе з главы и представляет со-ой обобщение на некоторые классы непрерывных ограниченных функ-ий известной теоремы Винера об абсолютно сходящихся рядах урье. Вместо критерия абсолютной сходимости ряда , составленного з коэффициентов Фурье периодической функции, здесь для непрерыв-ых ограниченных функций ср рассматриваются различные свойства бывания ( в частности, свойство интегрируемости с некоторым субъ-

кспоненциальным весом) функции а¡К11 * 3? вида с1 (X) - 1 лф 1 ,

де ^ - семейство функций, удовлетворяющих следующим свойствам

> « 1, 2) вирр С В ( Л, 1 / 2) » { [ ? 1Х-У1 < 1/2 >.

В случае сужения на множество периодических периода 2% функ-

ий ф: Ш"* (С С рядом Фурье ФИ)« £ <рке1(к'*фунКЦИЯ <Л ( X) При

кб2п

юбом значении X из множества мк = -с А € к Х± «э^+1 и=1,п)>

ает следующую оценку коэффициентов Фурье ^ ( < шах (Фт! -

т€2П,т€Мк

Некоторые предварительные рассуждения с привлечением оценок лементов обратных матриц для обратимых операторов из подалгебр

пия Кп) ,Епс1 р 1__< В?1), позволяют доказать следующую

ос н р г у г.

еорему.

ТЕОРЕМА II.9. Пусть для функции <р € ССс К") ( inf |ф<и | > О )

- ló -

выполнено одно из следующих условий:

1) J d (A.Hl+iA!)q dX < <0 ДЛЯ некоторого q > n;

шп

2) sup (1+ 1X1) q < <*> ДЛЯ некоторого q > nj XtK"

3) ь (\) < M для некоторой постоянной н И f € (0,11 .

Тогда для функции фи> = i/<p<t> выполнены соответствующие условия относительно функции с1ф < к) « II -^»ф !•

Автор глубоко благодарен научному руководителю профессору Баскакову А.Г. за постановку задач и постоянную помощь в работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Азарнова Т. В. Об условиях обратимости операторов в различных пространствах // Тез. докл. зимней Воронежской математической школы,га января-з февраля 1994.-Воронеж ,1994.- с. 16. Азарнова Т. В. Оценки элементов обратных матриц < многомерный вариант) // Тез. докл. зимней Воронежской математической ако-лы "Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики",25 января - 1 февраля 1995 г.Воронеж, 1995.- с.в.

Азарнова Т. В. Матричные метода оценки ядер обратных операторов для некоторых классов интегральных операторов //Тез. докл. п ¡-международной конференции кенвдн - математиков , 29 мая -2 ИЮНЯ 1995.-Воронеж, 1995.- с.49.

Азарнова Т. В. Оценки спектральных компонент для некоторых классов непрерывных ограниченных функций / Воронеж, ун-т. -В0Р0Не5К, 1995 .-21с . - Деп. Б ВИНИТИ 29.01.96, N 318-В96 . Азарнова Т. В. Матричные методы оценки ядер обратных операторов для некоторых классов интегральных операторов и Тр. ассоциации " Женщины-математики1' / пх - международная конференция женщин-математиков. -1996.- Вып. 1.- с. 14 - 18.

Заказ 139 от JjjSi. /996 г. Тир. 152.. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ.