Оценки минимальной нормы операторов продолжения для пространств Соболева тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Горбунов Александр Львович

Оценки минимальной нормы операторов продолжения для пространств Соболева

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В. И. Буренков

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Г. С. Балашова

доктор физико-математических наук, профессор Г. Г. Магарил-Ильяев

Ведущая организация:

Математический институт им. В. А. Стеклова РАН Защита диссертации состоится «10» «июня» 2004 г. в «153*» часов

на заседании диссертационного совета К 212.203.04 при Российском университете дружбы народов

по адресу: Москва, ул. Орджоникидзе, д.З, ауд. 495А.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов (117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.6)

Автореферат разослан« »«_»2004 г.

Учёный секретарь Диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Данная диссетрация относится к теории пространства Соболева, которые играют важную роль в современном анализе и его приложениях.

В диссертации рассматриваются операторы продолжения

Т ■.W'p{Q)-*W,f{R"),

действующие в пространстве Соболева W^ii"), rpk 'rtJeN, 1 £ р £ -Ко, il С R" -открытое множество класса lip 1, состоящем из измеримых функций f, для которых имеет смысл и конечна норма

а = (а,.....а,) - мулътииндекс, а, е / = 1.....п, |<*] = «,+••• + £*„, С/ = £)"' ■■•О"'/ -

обобщённая производная функции f.

Существование ограниченного оператора продолжения Т: —> ОсС,

обеспечивает унаследование пространством ¡У^ (О) ряда свойств от пространства ^(й), что может быть с успехом использовано, когда П - сложная область. Операторы продолжения для пространств Соболева используются в многочисленных приложениях к исследованию решений дифференциальных уравнений в частных производных, получению оценок постоянных в различных неравенствах, изучению вопросов вложений функциональных пространств и численного анализа.

Подробное изложение теории пространств Соболева имеется в книгах Соболева С. Л., Бесова О.В., Ильина В.П. и Никольского СМ. а также Стейна И.М. Результаты изучения различных направлений задачи о продолжении функций из пространств Соболева можно найти в работах Кудрявцева Л.Д., Никольского СМ., Буренкова В.И., Стейна И.М., Бесова О.В., Ильина В.П., Голъдштейна В.М., Решетняка Ю.Г., Водопьянова С.К., Калябина ГА

Задача о продолжении функций класса ЖДО),где 1 £/>й+ао,для некоторой

ограниченной области на множество П, с Л". О с О,, с сохранением класса состоит в отыскании оператора (по возможности линейного) для которого справедливо неравенство

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ| БИБЛИОТЕКА Gfletepty ОЭ

IIIIUltM 1

где постоянная С,(7\/,0,П,) зависит от способа продолжения (т.е. конструкции оператора 7*), показателя гладкости /, областей Пи П,, п, р и не зависит от /

Вопрос о продолжении функций изучался во многих направлениях, и о нём накоплена обширная литература.

В работе Хестинса М.Р. указан сравнительно простой приём продолжения функций класса С' (12) при йП е С'. В.М. Бабич и СМ. Никольский распространили приём Хестинса на классы Ж'г (р) при том же предположении: ЗЯеС'. В работах Кальдерона А.П. и Стеши И.М. решалась задача о продолжении функций при дС1 е Цр\.

Для отдельных значений параметров известны необходимые и достаточные условия продолжения например, если п = 1, р = 1 и/ = 1, такие условия для односвязных областей получены Водопьяновым С К., Гольдштейном В. М., Латфулиным Т.Г.

Простейшим из известных способов продолжения является продолжение по Хестенсу, Например, для областей в виде подграфика гладкой функции

где т £ /, а4 и ¿>„ > 0 удовлетворяют системе уравнений

Метод Хестенса применим для пространств (П) ,1йрй , но получаемый при этом оператор зависит от порядка дифференцирования /.

Оператор продолжения (3) был модифицирован Сили Р.Т., и результирующий оператор уж( не зависит от порядка дифференцирования /. Для О = {(7,1,):хе Л"', х„ > о} оператор Сили задается следующей системой

где ф е С" (К), ф(1) = 1 при 0 < t й 1; ф{1) = 0 при 42. Числа о, и bt <0 так подобраны, чтобы выполнялись условия

ZMW'<+o0- г=1,2... ,

Эти сравнительно простые конструкции не годятся дня О е Ыр1.

Более сложные конструкции операторов продолжения были получены в работах Буренкова В.И., Стейна И.М. и Митягина Б.М. Эти операторы нашли широкое применение при получении оценок норм операторов продолжения.

Общая методика исследования

В работе использованы идеи и классические подходы теории пространств функций с обобщенными производными, заложенные в работах Соболева С Л., Никольского СМ., Бесова О. В., Буренкова В. И., Мазьи В. Г., Рететняка и др. Существенным образом используются идеи, конструкции и методы получения двусторонних оценок операторов продолжения, разработанные Буренковым В. И., Стейном И. М., Сили Р. Т.,' Купцовым Н. П., Балашовой Г. С, Митягиным Б. М., Калябиным ГА и др.

Доказательство оценок для операторов продолжения,, зависящих от порядка дифференцирования, проводится на основе разработанного в данной диссертации аппарата оценок норм производных для специального класса ядер усреднений, входящих в интегральное представление функций.

Двустороння оценка минимальной нормы операторов продолжения для пространств Соболева в одномерном случае выводится применением схемы Хестенса, результата Буренкова В. И. о точных постоянных в неравенствах для норм промежуточных производных на конечном интервале, и неравенства Колмогорова - Стейна.

Для многомерного случая доказывается лемма об оценке производных от элементов разбиения единицы, выводятся оценки сверху кратности и других параметров покрытия открытого множества, удовлетворяющего условию конуса ограниченными областями звёздными относительно шара. В результате, в диссертации получена двусторонняя оценка точной постоянной для Ьр - нормы промежуточной производной.

Дл - специальной липшицовой области доказывается оценка сверху минимальной нормы операторов продолжения. Доказательство опирается на полученные в данной диссертации оценки усреднений со сдвигами для ядер с моментами, равными нулю.

Оценка сверху минимальной нормы операторов продолжения для пространств Соболева, не зависящих от порядка дифференцирования, выводится с использованием методов продолжения, предложенных Стейном И. М., Балашовой Г. С, Митягиным Б.М.

Цель работы

1. Получить точные двусторонние оценки минимальной нормы операторов

продолжения для пространств Соболева и выяснить порядок роста минимальной нормы оператора при стремлении параметра гладкости к бесконечности.

2. Получить точные двусторонние оценки постоянной в неравенстве для Ьг - нормы промежуточной производной.

3. Получить оценки сверху минимальной нормы операторов продолжения для пространств Соболева, не зависящих от порядка дифференцирования.

Научная новизна

В диссертации получены следующие новые результаты.

1. В одномерном случае, для О = {а,6) получена двусторонняя оценка минимальной нормы операторов продолжения, точная как по порядку гладкости /, так и по длине интервала (а,Ь). .

2. Получены в некотором смысле неулучшаемые оценки производных ядер усреднения класса С"(Л") с определёнными специальными свойствами.

3. Получены точные оценки для ядер интегральных операторов, входящих в интегральное представление функции через производные порядка /.

4. Получены точные оценки производных элементов специального разбиения единицы для подграфика липшицевой функции.

5. Получена оценка точной постоянной в неравенстве для Ьг - нормы промежуточной производной, точная по порядку гладкости /.

6. В многомерном случае доказала теорема о точной, по порядку гладкости /, оценке наименьшей нормы операторов продолжения для пространств Соболева для липшицевых областей.

7. В одномерном случае выводится оценка сверху наименьшей нормы операторов продолжения для пространств Соболева, не зависящих от порядка диференцирования.

Теоретическая значимость

Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут применяться в теории функциональных пространств, теории дифференциальных уравнений в частных производных, разработке методов численного анализа и других вопросах.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались неоднократно, по мере их получения, на семинаре по функциональным пространствам Российского Университета Дружбы Народов (руководители: профессор Буренков В И. и профессор Гольдман М. Л), на XVI-ой школе по теории операторов в функциональных пространствах (Нижний Новгород, 1991 г.), на XXIX-й научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Российского Университета Дружбы Народов (Москва, 1993), на семинаре по математическому анализу в Уэльсском университете (руководители: профессор Д Эванс и профессор В. И Буренков), Кардифф, 1995 г., а также на конференции по математическому анализу и его приложениям, посвященной 60-летию профессора Л И. Хедберга, в г. Линчепинг, 1996 г.

Основныерезультатыдиссертации опубликованы вработах[1], [2], [3], [4].

Содержание работы

Введение

Во введении дан краткий обзор истории исследования вопроса теории операторов продолжения, примеры известных конструкций операторов и работ, где содержатся центральные результаты об оценках норм операторов продолжения для пространства Соболева. В введении также кратко излагается содержание диссертации и приведены основные определения, используемые в тексте.

Предметом изучения в работе являются оценки минимальной нормы операторов продолжения

действующих в пространстве Соболева W'p (й), где n.leN, Mpi -к», il с R" - открытое множество класса Up 1, состоящем из измеримых функций /, для которых имеет смысл и конечна норма

П) Мг;(П>=8Д,(П,+Мч(П)'

где

1/1Ц(о, = 1Мм01< м-

а = (в,,...,а.)- мультииндекс, а, е^,, / = 1,...,я, |а| = а, +••• + £!., D°f = D°' •••£>*■ / -

обобщённая производная функции f.

Определение 131. ОткрытоемножествХ! с R" имеет границу класса Lip 1, если существуют числа £>0, М > 0, seNu открытые параллелУj = l,...,s, что

выполняются следующиеусловия:

1) 5Q с Ui^), • (G)c ={xeG: p(x,dG)>s], p(x,dG) - расстояние от точки х до

У-1

множества^.j,

2) существует преобразований.у, (у = являющееся суперпозициейповоротов и отражений такое, что

1 Здесь и далее в автореферате использована та же нумерация определений, лемм и теорем, что и в диссертации: первая цифра означает главу, вторая - порядковый номер утверждения в соответствующей главе

Глава 1

Глава 1 состоит из семи разделов и посвящена выводу оценок производных финитных функций со специальным свойствами, оценок элементов интегрального предствления функций, оценок производных элементов разбиения единицы, двусторонней оценки точной постоянной в неравенстве д ля Ьр - нормы промежуточной производной. На основе

вышеупомянутых результатов доказыается двусторонняя оценка минимальной нормы операторов продолжения для пространств Соболева с нормой в виде (1), точной по порядку гладкости /.

В одномерном случае для А = (а,Ь) в параграфе 3 приводится двусторонняя оценка минимальной нормы операторов продолжений точная как по порядку гладкости I, так и по длине интервала (а, Ь).

Теорема 13. Существуют такиечисла С, >0, С2 > 0, что длялюбых 1 е N, \ < р < +оо, — «> i а < Ь < +со справедливонеравенство

Рассмотрим области fie R" вида CÎ = {хе Л", х = (х,,...,*„_,): *„ < где функция <р удовлетворяет условию Липшица, т.е. существует число М > О такое, что

В многомерном случае для оценки сверху выбирается оператор продолжения, построенный в работе Буренкова В.И.

(7Л(*)= i/„(*) \f(x -I" z,x.~ A2- z,)a>(z)dz, xeR"\Sl,

fix).

ieil

где / elC^fl), SleLipl, -специально построенное разбиение единицы,

соответствующее некоторому покрытию множества R" \ П, са - ядро усреднения, ортогональное (в смысле L) полиномам степени не выше /, а А - некоторые числа, зависящие от чисел M и и.

Требуемая оценка получается, если известны оценки производных вспомогательных функции i//m, й> и имеется оценка постоянной в Lp - неравенстве для промежуточной производной. Этому посвящены параграфы 1,2,4,5 и 6 главы I.

Теорема 1.1. а) Существует число С, >0, идлялюбых п, 1 е N, существует функция ш е С"(Л"), удовлетворяющиеследующимусловиям:-

1) supple В,,

2) jw(x)dx = 1,

б) Для функции о е. С" {Я" удовлетворяющей условиям 1) - 3), нельзя подобрать числа С4 >0и а <1, такие чтобы для любвгФ! выполнялосьусловие 4')УаеЛГ: |а|</

В используемой конструкции оператора продолжения ключевую роль играют ядра усреднения, ортогональные полиномам. Оценке их производных посвящена следующая теорема:

Теорема 1.2. а) Существует число С, > 0,и длялюбых и, / е Ы, существует функция а) е С"(Л"), удовлетворяющиеследующимусловиям:

3) <о{х) > 0, xeR",

4)VaeAr„":

|D"J <.2 "o-'C,1'1"/1"1,

1) suppa» с <xe R",

2) f©(x)<fc = l, ir1

3) VaeN¡: (tr¡S/

fa>(x)x'dx = О, где x" = x°l ■•■x"\ ir

4)VaeAT„": |a|s/

4') привыполненииусловий 1)-3)6оценке, приведённой в 4), показатель степени I также нельзя заменить на где а < I.

Параграф 2 посвящен оценкам ядер входящих в интегральное представление функций, с помощью которого подынтегральная функция в определении оператора продолжения разлагается в степенной ряд.

Пусть -to<4j <bt <-ко, / = !,...,я, П( = {*еЛ': aj<Xj<bJt / = l,...,í} и П = П„.

Лемма 1.1. Для любой функции ^еС(П), D[f е С(П),...,^/ е С(П), 1 существуют многочлен Р е ¿„ (П х П) степени не выше 1-1 по каждой переменной и функции Q, £ ¿„(П, хП,), = 1,...,п, удовлетворяющиеусловиям •

с некоторой абсолютной посто£цно&> такойчтоимеетместопредставление /(т)= + ¿ .....,*.)</£, .

В параграфе 4 строится разбиение единицы и даются оценки производных порядка не выше / от элементов разбиения единицы.

Положим С7 = Д*Ш = {хе Л", x„><p(x)}kG.={x(¡G, 2"""' <х„-<р{х)£2"}, msZ.

Лемма 1.7. Существует число Ct >0, и длялюбых я, / е. N существует последовательность неотрицательных функций у/т 6 С" (Л* ), те Z (зависящихот т, я, I, <р), удовлетворяющие следующимусловиям

» V1 / ч I1'

2) 9 вирр ц/ш,

причем кратность покрытия к(15ирр ^'„}„г) = 2,

В оценках нормы оператора продолжения сверху также используется неравенство для промежуточной производной

с точной постоянной С (п,р,р,1,р).

В параграфе 5 главы I получена оценка точной постоянной в этом неравенстве точная по порядку гладкости /.

Определение 1.1. Открытое множество £1с Я" удовлетворяетусловию конуса (спараметрами г>0иЛ>0), если суи<рствует такой конус

что для любого хеП существует конус КгсС1 с вершиной в точке х, конгруентнып конусу К.

Теорема 1.4. Для любых пеИ, г,И>0 существует число такое, что для любого

открытого множества С! С. Я", удовлетворяющего условию конуса с параметрами г. И, для любых

/еЛГ, /?е Щ <1, 1

С" (О, р. ру/,/?)< С, (и, г. А)' !М.

Если кроме тогомножество 12 ограничено и имеет диаметр 0, то существует такое число что справедливо двустороннее неравенство

(С, («, 0))'2 С' (О, р, р, /, уЗ) 2 (С, («, г, Л)У /"I.

В параграфе 6 доказываются оценки сверху нормы оператора продолжения, построенного в работах Буренкова В. И. Основной результат содержится в параграфе 7.

Переход от специальных липшицевых областей к общим ограниченным открытым множествам П с липшицевой границей основан на построении специальной последовательности открытых множеств , у = таких что П з По сА, с ••• с С2,,

где С!"это 6- окрестность множества Д, а <У зависит только от с, М и л. Далее строится

последовательность операторов продолжения функций из множества в Пу,и

требуемый оператор продолжения задаётся в виде /? = /?,•••/?,.

Теорема 1.5.¿Хлялюбого ограниченного открытогомножеств£1 сграницейклассаЫр 1 существуют числаЗ = ¿(О) >0 и С,(П) > 0, такие что для любых I е N, 1<р< +со

^¿,(£»->¿,,(0'), Л: »'„(П)->»>'„(О*),

причём

Основной результат формулируется в следующей теореме.

Теорема 1.6.1) Для любого ограниченного открытого множеств/Ш сграницейкласса 11р 1 существуют числа С|0(О) > О, СМ(С}) > 0 такие, что длялюбых I е N, 1 < р 5 -и»

2) Если П = хеЛ""1, —<о<х„< р(х)}. где <р удовлетворяет условиюЛипшица, то

сущеуствует такоёСп (П) > 0, что длялюбых I £ N, \< рй +°о

Получение оценки снизу основано на применении неравенства Колмогорова-Стейна, оценки снизу точной постоянной С'(П,р,р,1,/3) в неравенстве (5), доказанной в теореме 1.4., и на следующем утверждении.

Для обозначим через множество таких пар

/)еЫ", что для некоторого А > О и для любых / е ) выполняется неравенство

Лемма 1.6. Пусть , И -ко, (?,/?) 6 и О с Л* - открытоемножество. Тогда

норма любого оператора продолжения —♦ ^(Л*) удовлетворяет неравенству

где постоянная С'-точная постоянная в Ьр- неравенстве для промежуточной производной опредаенная в (5).

Эта лемма применяется для ц = -к» и = / — 1. Глава 2

Глава 2 посвящена операторам продолжения, не зависящим от порядка дифференцирования, для пространств Соболева.

Пусть Х- множество всех операторов продолжения Г: —» ¡У^Я"). Представляет

интерес оценка минимальной нормы операторов продолжения на множестве X' С X, состоящем из операторов продолжения Т', определённых на множестве в

конструкции которых не используется порядок гладкости, и обладающих тем свойством, что для любых натуральных т

Будем называть такие операторы операторами продолжения, не зависящими от порядка дифференцирования.

В параграфе 1 рассматривается оператор, построенный Стенном И.М. Для случая полуоси оператор Стейна имеет следующий вид

[ /м, х>о

(6) = | |/(х(1 - 2Л))р(Л)М, х < О

где - некоторая функция со следующими свойствами:

и для любого существует число такое, что

Для последовательности {Л/, положительных чисел рассмотрим класс

На основе результатов Паукшто М. В. и Рышть-Нардзевского Ч. получено следующее утверждение.

Следствие 2.1. Пусть С12 > 0, а > 0.Для того, чтобы существовала функция / 6 Ь\{Мк} такая, что для любых к е Ы„ выполнялись условия

необходимо и достаточно, чтобы а >2.

Норма оператора Стейна оценивается в следующей теореме.

Теорема 2.\.Дчя любого е б (0,1) существует число С|3(£)>0 такое, что длялюбых М р< -юо, /6JV1 справедлива оценка нормы оператора продолжения (6)

•С, ,(*)',

причем

Отметим здесь, что в работе Пукшто М В. и Рылл-Нардзевского Ч. получена следующая оценка снизу нормы оператора Стейна с полуоси на всю ось с сохранением полунормы V/'

< ¿И.;««.,..;

Теорема 2.1. позволяет использовать оператор Стейна для построения продолжении в "пространствах Соболева бесконечного порядка

IV

к.рДм н /еС-(С): <-но

Следствие 2.1 Оператор продолжения Стейна, определенный в (1), осуществляет продолжение (с ухудшением класса) функций из пространства Соболева бесконечного порядка длялюбых последовательностей^п}

Т: IV'{а„,/М}(„., -»И"{с-'/^'Ч./М}(„.

В работе Балашовой Г. С. построен ограниченный оператор продолжения А с сохранением класса для быстро убывающей последовательности {а,} (т.е. а^ На* <1, л = 0,1,...)

Из теоремы 1 следует, что имеется продолжение для любой последовательности {а,}, хотя это продолжения и с известньгм ухудшением класса.

Вопрос о возможности продолжения функций из пространства Соболева бесконечного порядка для любых последовательностей {а. } без ухудшения класса остаётся на настоящее время открытым.

Оценки доказанные в теореме 2.1. позволяют получить оценку сверху минимальной нормы операторов продолжения, независящих от порядка дифференцирования.

Теорема 2.2. Для любого 0 < V <\ существует число С,,(у) > Отакое, что справедлива оценка

В параграфе 2 главы 2 рассмотрен оператор продолжения, предложенный Митягиным Б. М. и основанный на продолжении бесконечно дифференцируемых функций через продолжение полиномов Чебышева. Митягин Б. М. продолжал полиномы Чебышева с отрезка [-1,1] на отрезок [-2,2] при помощи специальным образом построенной функции такой, что

Функция у(1,а) является решением задачи о построении функции ф 6 С""([0,1])по известным следам, т.е. такой, что

Мы рассматриваем оператор продолжения функции У е С7">([—1,1]) в отрезок [-2,2], который задаётся формулой М/ = •7,, где Тщ-другое продолжение полинома Чебышева Т„, выполненное по методу Балашовой Г. С.

Для пространств С'([~М]) оценка нормы оператора такого продолжения формулируется в следующих теоремах:

Теорема 2.3. а) Для любого а > 1 суирствует число Сц >0 такое, что

6) Длялюбого а>1 существует число С„ >0 такое, чтодлялюбого I б

Теорема2.4.Длялюбого /?>3 существует число С20 >0 такое, что для 2< р<+оо илюбых 1еЫ

Автор искренне благодарен своему научному руководителю В. И. Буренкову за постоянное внимание и поддержку в работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Буренков В. И., Горбунов А. Л...Точные оценки для минимальных норм операторов продолжения для пространств Соболева// Доклады Академии Наук СССР 330, 1993. С. 680-682.

2. Буренков В. И., Горбунов А. Л. Точные оценки для минимальных норм операторов продолжения для пространств Соболева// Известия Российской Академии Наук 61,1997. С1-44.

3. Буренков В. И., А. Л. Горбунов А. Л. XV/ школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов, Нижний Новгород, 1991. - С. 29

4. Горбунов А. Л. ХХГХ научная конференция факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов. Тезисы докладов, Москва, 1993. - С. 41.

ГОРБУНОВ Александр Львович (Россия) Оценки минимальной нормы операторов продолжения для пространств

Соболева

В диссертации изучаются оценки минимальной нормы операторов продолжения

действующих в пространстве Соболева {Р^(12),тде п,1еЫ, IS рй+со, Qcz R" • открытое множество класса Lip 1.

Для специальной липшицовой области получены точные двусторонние оценки минимальной нормы операторов продолжения для пространств Соболева и выяснен порядок роста минимальной нормы оператора при стремлении параметра гладкости / к бесконечности. В одномерном случае для i2 = (а,Ь) доказана двусторонняя оценка минимальной нормы операторов продолжения, точная как по порядку гладкости /, так и по длине интервала (а, Ь).

В диссертации также выводятся оценки сверху минимальной нормы операторов продолжения для пространства Соболева, не зависящих от порядка дифференцирования.

GORBUNOV Alexander L. (Russia) Bounds for the minimum norms of extension operators for Sobolev spaces.

The thesis is concerned with bounds^for^the minimum norm of extension operators

for Sobolev spaces Q), where n,l eN, \<p<+co,ncR"is a domain with a boundary of Lipschitz class.

The case of special Lipschitz domains is considered, and two-sided bounds are • obtained for the minimum norm of extension operators that are exact with respect to the smoothness parameter /. When fl = {a,b), we give a proof of two-sided bounds of the minimal norm of extension operators that are exact with respect to both the smoothness parameter / as well as the length of the interval (a,b).

Upper estimates of the minimal norm of extension operators for Sobolev spaces are given when the operators do not depend on the smoothness parameter /.

Подписано в печать ¿^/¿"/Формат 60x84/16. Тираж/^¿?экз. Усл. печ. л. .Заказ ¿/О-/

Типография Издательства РУДН 117923, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3

vis - 7 4 О 3

Введение

Глава 1. Точные оценки минимальной нормы операторов 21 продолжения пространств Соболева

§1. Теоремы об оценках производных финитных функций

1.1. Неотрицательные ядра усреднений, 21 функции типа "шапочки"

1.2. Ядра усреднений, ортогональные полиномам

§2. Интегральное представление

§3. Двусторонняя оценка минимальной нормы операторов 28 продолжения в одномерном случае

3.1. Оценка сверху

3.2. Оценка снизу

§4. Разбиение единицы

§5. Двусторонняя оценка точной постоянной в неравенстве 40 для Lp - нормы промежуточной производной

§6. Оценка сверху минимальной нормы операторов продолжения 47 для специальной липшицевой области

6.1. Оценки усреднений со сдвигами для ядер с 47 моментами равными нулю

6.2. Оценки Lp - нормы производных продолженной функции

§7. Двусторонняя оценка минимальной нормы операторов 56 продолжения для открытых множеств с границей класса Lip

Глава 2. Оценка сверху минимальной нормы операторов продолжения,61 не зависящих от порядка дифференцирования, для пространств Соболева

§1. Оператор Стейна

§2. Оператор Митягина

Данная диссертация относится к теории пространств Соболева, кото--рые играют важную роль в современном анализе и его приложениях. В диссертации рассматриваются операторы продолжения действующие в пространстве Соболева ft), где n,te N, 1 <р< +оо, Пей" - открытое множество класса Lip 1, состоящем из измеримых функций /, для которых имеет смысл и конечна норма

1) 11/11^(П)=11/1к,(П, + 11/НЧ(П), где

Н/И-*(о> = £ Р?аЛмп>а = (аи.,ап) - мультииндекс, c*i е Na, i - l,.,n, |а| = <*!+••• + <*„, Daf = £>f • • • / - обобщённая производная функции /.

Подробное изложение теории пространств Соболева имеется в книгах [29], [41], [4]. Результаты изучения различных направлений задачи о продолжении функций из пространств Соболева можно найти в [21], [7], [41], [4], [17].

Рассмотрим задачу о продолжении функций класса W*, где 1 < р < +оо, £ € N0, из некоторой конечной области ft на множество fti с Rn, ft С fti, с сохранением класса. Задача состоит в отыскании оператора (по возможности линейного) Т: Wf(fl) W^(fii), (Т/)(х) = f(x), х € ft, для которого справедливо неравенство

2) НГ/Цигдп.) < CxiTJ.Q,ftOII/Hw^), где постоянная Ci(T,l,(l,Cli) - зависит от способа продолжения (т.е. конструкции оператора Т), показателя гладкости t, областей ft и fti.

Вопросу о продолжении функций посвящена обширная литература. Упомянем некоторые центральные работы этого направления.

В статье Хестинса [33] указан сравнительно простой прием продолжения функций класса C'(ft) для дП е С1. В.М. Бабич [1] и С.М. Никольский распространили прием Хестинса на классы W£{Q) при том же предположении 3ft е С1. В работах Кальдерона [35] и Стейна [41] решалась задача о продолжении функций при 3ft е Lipl. При отдельных специальных значениях параметров известны необходимые и достаточные условия продолжения, например при п = 2,р = 2 и I = 1, такие условия для односвязных областей получены Водопьяновым С.К., Гольдштейном В.М., Латфули-ным Т.Г. [15].

Простейшим из известных способов продолжения является продолжение по Хестенсу [33]. Приведем здесь пример конструкции оператора Хестенса для областей 5ft 6 С1.

Л*), хеп

3) (Г/)(®) = < Еак/(х,хп-Ьк(хп-ф(х)), x€Rn\Q, к=1 где тп>е,ак и Ьк удовлетворяют системе уравнений

1 4=1

Условия на числа а*, позволяют склеить функции / и Tf и их производные до порядка / -1 включительно. Поэтому Т/е

Метод Хестенса применим для пространств Wp(ft), 1 < р < +оо. Получаемый при этом оператор зависит от порядка дифференцирования.

Оператор продолжения (3) был модифицирован Сили [40] и результирующий оператор уже не зависит от порядка дифференцирования I. Пусть П = {(х,х„): х € Rn~l,xn > 0}. Оператор задаётся следующей системой

Г fix), х е П = < -g5 акф(ЬкХп)1(£г ькХп)г х е Rn\Cit ( к—О где ф € = 1 при 0 < t < i;0(t) = 0, при « > 2. Числа afc и Ьк так подобраны, чтобы выполнялись условия оо

6jt < о, ^^|ajfc(|bjfc|r < +оо,г = 0,1,2,., о оо yi|ofc|(bfc)r = 1, г = 0,1,2,.; Иш Ьк = -оо. t^o *->+0°

Лалее в данной работе для получения оценок норм операторов продолжения широко используются операторы продолжения, построенные в работах Буренкова В.И. [7], Стейна И.М. [41] и Митягина Б.М. [26].

Предметом исследования настоящей диссертации является оценка минимальной нормы операторов продолжения Г, для пространств

4) inf ||Г|| = inf sup

T:W*m^WtilP) T-.W'(0)-*W'(R") /6VVp<(fi) 11/11 ^'(П)

Ф О

В главе I выводится двусторонняя оценка нормы операторов продолжения минимальной среди норм всех операторов продолжения. Глава II содержит оценки сверху минимальной нормы операторов продолжения, где ин-финум берётся по множеству операторов продолжения не зависящих от порядка дифференцирования.

Первый цикл работ по оценкам минимальных норм операторов продолжения для пространств Соболева появился 1978-79х годах в работах Мих-лина С.Г. В [24] исследуется минимальная норма оператора продолжения с дополнительным условием равенства нулю продолженной функции на границе объемлющего множества f2t о о , - , 11Г«11^(0,) К = К[Е,р, и, ill) = inf sup -г—r—--.

Пг) ueW'{il) IMIn^fi)

Михлиным был найден подход к вычислению значений наименьшей постоянной оператора продолжения Т для случал продолжения функций иб fi), где ft - ограниченная область из Rn, с границей представляющая собой многообразие класса С(0,1). От продолженной функции в [24] требуется, чтобы выполнялось условие (Tf)(x) = 0,х б дЛДсШ, т.е. оператор Т удовлетворяет условию supp(Tu) с fii, где П с fii с Rn - ограниченная область.

Положим fi* = ПДП.Г = ЗП,Г* = = ЗП*\Г, и предположим Г* е С(ол). Обозначим через Sp(u,Г) множество следов функции и и ее производных до порядка I -1 включительно на Г. Следом "порядка 1-1 функции и на Г" будем называть Sp(u,T).

Продолжение функции и за область П можно осуществить следующим образом: (Ти)(х) = 0, при х е ЛП\ПЬ а при х е П* выберем любую функцию класса удовлетворяющую краевым условиям

Sp{Tu, Г) = Sp{u, Г); Sp(Tu, Г*) = 0.

Как следует из [4] такая функция существует. Норму оператора продолжения можно сделать наименьшей, если потребовать чтобы функция Ти была из w£(fl) и имела в наименьшую норму. Можно доказать(см. [24]), что такая функция существует, а также существует функция и0, реализующая МИНИМУМ НОРМЫ |М|и^(П)

Пусть Т = Т{fi.fti) - оператор, продолжения, сопоставляющий функции u е w£(Sl) функцию Ти € i), след которой на Г совпадает со следом функции и, а на Г* равен нулю, и которая реализует минимум нормы НГиИи^п-)* Норма оператора Т равна к = а(£,Р,ПМ = ЦТ^П^Циг^а^игг^) =

ЦГи||иг«(П1) г = sup - = 1+ sup -тр-j-- .

U€W'{CI) ||«||ИГДП) L uew'{ii) llullw'tn-) J

Обозначим через 5 множество следов Sp(u,T),u е а через и0 функцию из Wjf(fi) такую, что Sp(u0,Г) = Sp(u,Г) и ||u0||w<(n) =min. В новых обозначениях вышеприведенную формулу можно записать следующим образом: кр = fl + su = Гц. ^Psrtm.neslMlw^n-n

L Sp(u,r)es Нио||^<(П) -I L infSp(u„,r)€S ||«о||и^(П) J

При p = 2, если за норму принять

IMI 2^(П) = iiuiii2(n) + £ HJ>e«iiia(0,, а|=/ определение функций иа,щ сводится к решению уравнения

A)ev+v = 0; с краевыми условиями

Dau|r = £>°ix|r,0<H<*-l, для функции и0, и для функции uj кроме того еще и условиями

Dav\l = 0,0<|а| <f-l. 5

При продолжении с шара радиуса 1 в шар радиуса Ь (т.е. T-.WfiBi) Wj{Bb), Bi,Bb с Rn), имеется формула постоянной продолжения

2 1 I Ш ЫЪ)к»+1( 1) + к„(Ь)1ц+1(1) где - функции Бесселя.

Из оценок для продолжения с шара можно вывести оценки для норм операторов продолжения со звездных областей. Если <7„ = {х: д < аф(в)}, где ф функция класса W^ в некоторой двусторонней окрестности единичной сферы 5 = {х: \х\ = 1}. Здесь д = ||х||,0 =

Для случая, когда Gi есть правильный к-угольник на двумерной плоскости, Михлиным подсчитана минимальная оценка точной постоянной оператора продолжения Е: Wj{Gi) W£(R2) k 3 4 5 6 boo 68,29 10,78 6,41 2,70

Для круга единичного радиуса Вх из [25] известно значение наименьшей постоянной продолжения во все пространство R2 Т : Wj[Bi) Wj(R2). Постоянная выражается формулой и равна Код = 2.05.

Михлин С.Г. указал на зависимость оценки постоянной в неравенстве Пуанкаре от постоянной продолжения к

-2„2 i=l где а - диаметр множества П.

Точное значение минимальной нормы оператора продолжения можно найти лишь в немногих случаях (один из подобных случаев и был рассмотрен впервые Михлиным С.Г.). Для пространств Соболева с параметрами р Ф 2, < > 1 на областях с липшицевыми границами точные вычисления существенно усложняются.

По этой причине получение двусторонних оценок минимальной нормы операторов продолжения, точных по тому или иному параметру, описывающему пространство И^(П), представляет особый интерес.

В работах Паукшто М.В., Мазьи В.Г. и Поборчего С.В., Г.А. Каля-бина получен ряд двусторонних оценок, точных по параметру, характеризующему область ft.

В [38] Паукшто М.В. доказана двусторонняя точная по параметру а оценка минимальной нормы оператора продолжения

T:W}(Va)->Wl(Bi), где Va = {(г,ц>) е R2 : 0 < г < 1,0 < <р < а},0 < а < § и на след д продолжаемой функции на множестве Гв ставится дополнительное условие д е где Г0 = dVa\dBi. Наименьшая норма оператора продолжения выражается формулой

S0U-I+ sup 1К-В.+ГЛИВ. w a \l

При a 0, справедлива следующая оценка

Суа-Ь < inf ||Г|| <C2a"i.

Константы Ci и C2 не зависят от а, Ла = Bi\Va.

Вышеупомянутое условие делает рассмотренную в [38] задачу специальным случаем продолжения.

В работе Паукшто М.В. и Рылл-Нардзевского Ч. [39] исследуется асимптотическое (по L) поведение норм операторов продолжения типа Сте-йна [41] S : Wf(R+) W%(R). Кроме фактов, описывающих общий вид и свойства операторов продолжения с полуоси на все пространство, в их работе излагается характеристика Стейновских операторов в терминах ядра.

Статья основательно опирается на разработанный Купцовым Н.П. (см. [22]) аппарат с применением последовательностей Гурвица и сведением задачи нахождения наименьшей постоянной к решению алгебраического .уравнения. Поэтому здесь будет уместно рассмотреть подробнее основные моменты этой работы.

В работе [22] Купцовым Н.П. получен общий метод вычисления наименьшей постоянной в неравенстве

5) \\fW\\L2(R+) < где 0 < к < I и П/Ниг«(Я+)

7/fc = inf

Определение 1. Двусторонняя бесконечная последовательность действительных чисел называется последовательностю Гурвица порядка I, если Lj0 = we = 1 = 0 при j Ф 0,1,.,1 и все корни многочлена оо р( А) = и„ + wi А Н-----1- шп\п = A jUj оо имеют отрицательные действительные части.

Купцовым показано, что для любого числа -у е Gtk = (0,-т—l—mr)J = it ?(/-*)-г

2,.,оо,fc = 1 существует и притом единственная последовательность

Гурвица порядка £ для которой справедливо свойство оо го, j?0,k,t, оо г о, j f. о, к, Ь, j — 0,€,

-оо I —7, j = к.

Далее, из элементов последовательности Гурвица строится симметрическая матрица Q с элементами оо qjs = В-ХГ-я-," 1 <s<j<(,

Qjt = 9«j> 1 <j<S<l

9и 912 ••• qu\

921 922 92f 9« 9« . qu)

Из свойства последовательностей Гурвица следует имеющее ключевое значение свойство, верное для / € W%(R+) llE^7(j)lli2(*+) = Ег,-1|/^||£2(я+) - (Qfo.fo), о j=o

00 где Г, = £ (-lyajj-vUj+v, v—~oo о = (/(0),/'(0),.,/(г-1)(0)).

Применяя вышеприведенное неравенство, можно показать, что имеет место двусторонняя оценка 7-. < с„2*«-*>, где c/j - постоянная в неравенстве 1 < С0(у0+^г^),у > 0,0 < р < 2,ср - не зависит от у. На самом деле величине ш соответствует уравнение detQ(7) = 0, 7 eGtk, наименьший положительный корень которого' равен Для примера, в [22] вычислены

721 = 1, 4

731 = 732 = (з - 2 у/2) .

742 - наименьший положительный корень уравнения ~у4 - 2j2 - 4у +1 = 0. Для фиксированного к верна следующая асимптотика

1 4*/2fc

6) — = )' где Ai (к) - минимальное собственное значение задачи l)kFW{t) = XF(t),

F(t)( 0) = F(t+1)(0) = • • • = F(2*1)(0) = 0 F(l) = F'( 1) = . = ^"^(l) = 0.

Возвратимся к результатам M. Паукшто и К. Рыль - Нардзевского. Введем полунормы

NUu) = |Mli2(n) + \\Dcu\\l2m - il\Dku\\lim, где 0<7<7«, Ик определено в (4).

Обозначим через c/(fc,7) норму оператора продолжения Р : W{(R+) Wf(R), для полунорм Nln

Минимальная постоянная продолжения . Nln{v\Wj{R)) является основным обьектом исследования в [38] и там же установлен общий вид оператора продолжения, норма которого, оказывается минимальной.

Теорема 1 .Оператор продолжения Р : ^'(Я^.) W%{R) удовлетворяет условию ce(k,f) = K[(k,j), 7 е [0,7/,*],0 < к < £ - 1 (т.е. реализует минимальную норму оператора) тогда и только тогда, когда для любой функции и е w£(R)

Pu)(t) = J Фи(з)р-1(и)е-шс1з, t < 0, где функция Ф„(г) е Я2(С+) = {u € L2(R) : А*|л+ = 0}, F - преобразование Фурье такова, что *u{s)[-is)'p-l(ia)ds = (D*M0), j = 0,1,— 1.

JR

Заметим здесь, что c2t{k,7) - 1 является максимальным собственным значением задачи

Q(<y)v - \UQ(y)Vv = 0, где U - диагональная матрица с элементами = (-l)i+1&,-, i,j = 1 ,.,п

Пусть Е = {Ф„ G Я2(С+) : (Pu)(t) =0, t < 0, t < 0,и е КегС}, где Р - оператор продолжения в предыдущей теореме, а

С : W&R+) Rn, Lu = u0 = (u(0),., De~lu{0)).

Если при поиске оператора продолжения, реализующего минимально возможную норму среди всех операторов продолжения, ограничиться линейными операторами, то, как это доказано в [39], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Ф„(«) = (a(s),£u) (modE), факторизуем по операторам тривиального продолжения функции и е Кег£), где a(s) = (ai(s),.,a/(s)), а<(з) е Я2(С+),г = 1,2,.,п такие, что выполняются условия

• ds R

Здесь p(iz) - многочлен степени e, корни которого принадлежат С+.

Асимптотическое поведение ct(k,7), при фиксированных к и больших t, можно получить, воспользовавшись полученной Купцовым в [30] ассим-птотикой минимальной постоянной 7ik в неравенстве для промежуточной производной на полуоси. n/(fc)iiL(*+, < + il/wli2M*+,). k = i,.,i-1.

Для любого оператора продолжения Т: W{(R) верно неравенство ll/(t)IU,(*+) < IKT/^IIm*) < \\Tf\\w'[R) <

Здесь мы воспользовались неравенством Колмогорова, при р = 2. Из элементарного неравенства следует оценка fW\\lM < 2||Г||^Чй+)

1ЛГл+ + Н/(011мя+))

Поскольку ^ - минимально возможная постоянная в неравенстве ( ), то последнее неравенство дает

27(к < ИЛ^д)-^*)

В [39] указывается на связь полученной Купцовым ассимптотики

1 4*^2* lik Xi(k)n2k 0{l2k~2), е-++оо, для фиксированных к и нормой оператора HTIIw'^+j-^^)'

В виду требования фиксированности числа ку и сложности определения Аг(Аг), данная оценка несет лишь частичную информацию об оценке снизу минимальной нормы операторов продолжения ||Г|| при больших (.

В [38] изучается множество операторов Стейна и минимальная постоянная продолжения на этом множестве.

Определение 2. Оператор Р называется оператором продолжения типа Стейна, если

Pu)(t) = !u{t)> t>0 (mm - \{Bu)(-t), t< о, оо где (Bu)(t) = f K(t,x)u(x)dx, K(t,.) e {Mk} для почти ecext € R+ и удовлет-o воряет условиям

1. для любого г > 0, из и 6 L2(R+),suppu с [0,г] следует suppP с [0,а-1г],

2. (Pq)(t) = q{t), teR для любого полинома Q(t)

3. PSa = SaP для любого а > 0, где (Sau)(x) = и(ах).

Минимальная норма операторов продолжения типа Стейна оценивается снизу в [38] более точно.

Для с*(0,1) (т.е. случая продолжения с сохранением полунормы Т : wi{R+) R), см. определение (7)) - минимальная норма операторов продолжения типа Стейна оценивается снизу как

IM5+*'OI<c£(0,i), SeR где 1п|Л:/(£ + if)| ~ + t - + £ - t£|, I +00,£ > 0 равномерно по принадлежащей любому компактному подмножеству в R.

В [39] получено необходимое и достаточное условие принадлежности оператора продолжения Р классу Стейна. Более того, там показано, что сг(0,1) = ||В/||, где Бе: w£(R+) w£(R+) оператор с ядром Харди оо

Bt)(t)= J K(t,x){l)lu(x)dx, где

Ги)(0 = u+(f) + t > 0.

Мазья В.Г. и Поборчий С.В. [23] вычислили двусторонние оценки минимальной нормы операторов продолжения

T:W'(Sle)-+W;(Bt), где С1е = {х 6 Rn : j € fi}, П — ограниченная Липшицева область в Rn, BgDft, ее (0, е < в < +оо- Норма в пространстве W*(fle) выбирается в виде отличном от (1), а именно, она содержит Lp - нормы всех производных до порядка £ включительно: ii/iiw) = Е н^лцчп.)

0<|с.|</

В [23] доказано, что e-'min {g*,!}, если lp>n,

8) inf ||Г|| ~ e~ * min {q*,|loge iV1}, если £p = nt где знак ~ в выражении А~ В означает существование констант С3 и С4, зависящих только от п, р, £, П и не зависящих от е и д таких, что верно двустороннее неравенство С3В < А < С4В.

Естественным развитием этого направления изучения оценок норм операторов продолжения в пространствах Соболева является работа А. Ка-лябина [36], где доказан следующй результат.

Теорема 2.Для любого выпуклого множества G с R2,1 < р < +оо такого, что 6(G) < 1 справедливы неравенства tp(G) < CptS-^pW)' 11 где rp(G) := sup{inf{||F||w2) : F(z) = f(x), x € G) : Ш^ЦО) = 1}, f<52-", l<p<2, 7PW = < ln"1(2<J), p — 2

11, 2 < p < +oo.

Когда 6{G) > 1 (или для неограниченных G) tp{G) ~ sj(G), где S,(G) означает инфинум площадей пересечений G с дисками Bi(x) радиуса 1 с центром в некоторой точке х е G.

Результаты диссертации Настоящая работа посвящена получению оценок минимальной нормы операторов продолжения для пространств Соболева, с целью выяснения порядка роста нормы оператора при стремлении параметра гладкости С к нулю.

В первой главе получены двусторонние оценки минимальной нормы операторов продолжения для пространств Соболева с нормой в виде (1), точной по порядку гладкости I.

В одномерном случае для ft = (а, Ъ) в параграфе 3 приводится двусторонняя оценка минимальной нормы операторов продолжения, точная как по порядку гладкости I, так и по длине интервала (а, 6).

Теорема 1.3.1 Существуют такие числа С3 >0, > 0, что для любых I е N, 1<р< +оо, -оо < о < Ь < +оо справедливо неравенство

О)

Ci (1 +-"Т-х I ^ inf Pll ^ СП 1 +-—7—г" ] •

Пусть для х g Rn х = (xb.,i„i). Мы будем рассматривать области Пс Rn вида

10) U = {х е Rn : хп < <р(х)}, где функция <р удовлетворяет условию Липшица, т.е. существует число М > О такое, что

11) Их) - Ш| < М|х - у\, х, у € Rn~l.

В многомерном случае, для оценки сверху выбирается оператор продолжения, построенный в работе [7] Буренкова В.И. г/w. «ей

12) (Г/)(х) = I "g фт{х) J /(f 2~mz,xn - A2-mzn)u(z)dz х 6 Я"\Й, m=m0 Я" где / € € Lipl, специально построенное разбиение единицы, соответствующее некоторому покрытию множества Rn\&, w - ядро усреднения, ортогональное (в смысле Ь2) полиномам степени не выше I, а та,А -некоторые числа, зависящие от множества П.

1 здесь и далее в нумерации лемм и теорем первая цифра означает главу, вторая - порядковый номер утверждения в соответствующей главе.

Требуемая оценка получается если известны Lp - оценки производных вспомогательных функций фт,и и имеется оценка постоянной в Lp - неравенстве для промежуточной производной. Этому посвящены параграфы 1, 2, 4, 5 и 6 главы I.

В параграфе 1 вычисляются в некотором смысле неулучшаемые оценки производных порядка не выше I функций из класса C^°(Rn) с определёнными специальными свойстами. В частности там получены оценки производных неотрицательных ядер усреднения, и функций типа "шапочки"

Теорема 1.1. а) Существует число С5 > 0 и для любых n,i е N, существует функция и е С7~(Л"), удовлетворяющие следующим условиям:

1) supp ucBi,

2) / w(z)dx = 1, я,

3) w(x) >0, Rn,

4) Va € JV„n : |a| < I

13) IP'MIU*-) < 2nu-lC5|a|"flal, где v„ = л-? (Г(= +l))-1 - объём единичного шара в Rn. б) Для функции и б C™(Rn), удовлетворяющей условиям 1) - 3), нельзя подобрать числа С6 > 0 и а < 1 такие, чтобы для любого I е N выполнялось условие

4') VaeNf: |a| < I

И)

В конструкции оператора продолжения (12), ключевое значение играют ядра усреднения, ортогональные полиномам. Оценке их производных посвящена следующая теорема

Теорема 1.2. а) Существует число С7 > О, и для любых n,t € N существует функция ш е С~(ЯП), удовлетворяющие следующим условиям:

1) supp и С {х £ Rn : § < Xi < l,i = l,.,n},

2) / U(x)dx = 1,

Rn

3) Va 6 N£ : |a| < f w(x) x°dx = 0, д„ где xa = xf1. ,

4) Va € N? : \a\ < I

15) . < C<n№.

Параграф 2 посвящён оценкам ядер, входящих в интегральное представление функций, с помощью которого подынтегральная функция в определении оператора продолжения разлагается в степенной ряд.

Пусть оо < aj < bj < -foo, j = 1 ,.,п, Пi = {x e R* : aj < xj < bjtj = 1, — ,*}, П = ПП.

Лемма 1.1. Для любой функции f е С(П),£>(/ е С{U),.,DlnJ е С(П), t е N, существуют многочлен Р е £оо(П х П) степени не выше 1-1 по каждой переменной и функции Qi е £оо(П* х i = 1 ,.,п, удовлетворяющие условиям

16) | Р(ц < С[п t[(bj - а;Г\ i=1

17) |Qi(zi,.,xi;elf.f&)l <с(пе~е (^-«i)'"1. с некоторой абсолютной постоянной Сg > 0, такие, что имеет место представление

18) Дх)= [ P(x,t)f(QdZ+

J п 5Z / Qi(xi,.,Xi^i.Zi)(Dtif)tiu--.,Zi,xi+1,.,xn)dt1.dZi. sr^n,

В параграфе 4 строится разбиение единицы, и даются оценки производных порядка не выше t от элементов разбиения единицы. В нём описывается конструкция специального разбиения единицы и приводятся оценки производных от элементов разбиения единицы. Положим G = Rn \ Cl = {х е Rn, х„ > <р(х)} и

19) Gm = {х € G, 2~m~l <хп- ip(x) < 2~т }, т € Z.

Лемма 1.7. Существует число Св > 0 и для любых п, I е N существует последовательность неотрицательных функций фт е С°°(ЯП), m е Z (зависящих от т, п, £, <р), удовлетворяющие следующим условиям

Г1 х е G

Ла. оо

2) G = и supp фт, тп=—оо причём кратность покрытия «({supp ^m}m6Z) = 2,

3) Gm С supp Vm С G'm С Gm—i U Cm U Gm+1 , c; = {i€ <?, (1 - 2-4) < xn - 4>{x) < 2m(l + 2"4).

4) V а € N? : |а| < I (20) \{Da*m){x)\ < [C9n(l + M)2ml]]a\ x 6 Rn.

В оценках нормы оператора сверху мы также используем неравенство для промежуточной производной

21) И^/Нмп) < c'({i,p,ptej)\\f\\w<(n) с точной постоянной С*(Г1,р,р,£0).

В параграфе 5 главы / получена оценка точной постоянной в неравенстве для Lp - нормы промежуточной производной, точная по порядку гладкости е.

Оценку постоянной С'(0.,р,р,1,р) сверху (а в случае, когда ft - ограниченное множество и снизу) даёт

Теорема 1.4. Для любых п е N, r,h > 0 существует число Сю{п,т,Н) > 0 такое, что для любого открытого множества ft с Rn, удовлетворяющего условию конуса с параметрами г, Л, для любых С е N, 0 е N„ : |/?| < (, 1 <р < +оо

•г

22) C-(n,p,p,e,P)<C10(n,r,h)eiW .

Если, кроме того, множество ft ограничено и имеет диаметр V, то существует такое число Сц(п,Р) > 0, что справедливо двустороннее неравенство

23) Сц < С-{П,р,р,е,/3) < С10(71,г,Л)<^1.

В параграфе 6 доказываются оценки сверху нормы оператора продолжения, построенного Буренковым В.И. в [7], [12].

Основной результат главы содержится в параграфе 7. "Двусторонняя оценка минимальной нормы операторов продолжения для открытых множеств с границей класса Lip 1"

Определение 1.3. Открытое множество ft с Rn имеет границу класса Lip 1, если существуют числа е > О, М > 0, s е N и открытые параллелепипеды Vj, j = l,.,s, такие, что выполняются следующие условия:

1) дПс{Ж)е, i=1

2) существует преобразование A j (j = l,.,s), являющееся суперпозицией поворотов и отражений, такое, что

Л (Vj) = {х € Rn : a-ij < х< < bijti = 1,. ,n}, где —оо < a.ij < bij < +оо , i = 1,., п, j = 1,., s и

A,(ft П Vj) ={i£ Rn : x £ V/, anj < x„ < <Pj(x)}, где Vj* = {x e Rn~l ■ aij < Xj < bijt i = l,., n - 1} , причём

I<Pj(£) - I < M \x - y\, x,ye Vj', anj + e < щ(х) < bn, -£, x€ V/ 3) если Vj n Vk n ft = 0 , mo Vj n Vk = 0.

Пусть ft имеет границу класса Lip 1 с параметрами s, М, е. В работе [11] строится последовательность открытых множеств ft,- , j = таких, что ft = Г10 с fti С • • • С ft, , причём существует такое 8, зависящее только от е, М и п, что ft, э ft', и набор параллелепипедов Wj с j = l,.,n, обладающих следующими свойствами.

Множество ft,- \ с ;

Aj{Uj) = (i € Д" : Ci,- < ari < t = 1.n}, где Oij < Cij < dij < bij, i = 1,., n - 1, (если aty = -oo , TO dj > -oo ; если bij = +oo , то d^ < +oo ); множество A j (Vj л ftj) имеет вид

Aj(Vj Л Qj) = {x e Rn : <Xj <b{j , i = 1,.,n - 1, anj <x„ < <pj (x)}, где функция <pj удовлетворяет условию Липшица с постоянной Mj = М( 1 + +2>-'), anj + Ej < < bnj - ejt х е Vj', где Ej = e(f - 2'-'~3).

Это, в частности, означает, что множества ft, имеют границу класса Lip 1 с параметрами Ejf Mj и параллелепипедами Ui,.,U,.

Сам факт, что с множеств, имеющих границу липшицевого класса, оператором (12) можно продолжать фунцкии из пространства Соболева с сохранением класса в некоторую окрестность множества ft доказан в [11]. Новым моментом в следующей теореме являются оценки (25) для нормы оператора продолжения.

Теорема 1.5. Для любого ограниченного множества П с Rn с границей класса Lip 1 существуют 5 = J(ft) > 0 и C^ip.) > 0 такие, что для любых leN, 1 <р< +оо

24) Я : МП) LpW), R : «/'(П) wfa') , причём

25) ПДНмоммо') ^ Ci2(ft)', J(n') < CnW ■

Основной результат главы сформулирован теореме 1.6.

Теорема 1.6. 1) Для любого ограниченного открытого множества ft с границей класса Lip 1 существуют числа Ci3(ft) > 0 и <7u(ft) > 0 такие, что для любых I 6 N, 1 < р < +оо

26) С13№'е'< inf ||Г|| <С14{П)1£г.

2) Если П = {х б Rn : х б Rn —оо < хп < <р(х)}, где <р удовлетворяет условию Липшица, то существует такое Ci5(Cl) > 0, что для любых i£N, 1 <р< +оо

27) 1< inf ||Т|| < С15(П)г.

Принцип получения оценки снизу основан на неравенстве Колмогоро-ва-Стейна и оценке снизу постоянной в Lp - неравенстве для промежуточной производной, доказанной в теореме 1.4. Идея продолжения выделена в отдельную лемму.

Лемма 1.6. Пусть £,п е N,1 < р < +оо ,(q,0) € Mt>n,p uficff1 - открытое множество. Тогда норма любого оператора продолжения Т: И^(П) Wf(Rn) удовлетворяет неравенству гоя\ ити > с„п С* №,Р,я,1,0)

28) > sup . где постоянная С* определена в (21).

В главе II рассматриваются операторы продолжения, не зависящие от порядка дифференцирования, для пространств Соболева, и для них получена оценка сверху минимальной нормы операторов продолжения, не зависящих от порядка дифференцирования.

Пусть X - множество всех операторов продолжения Т : W'(Q) W£(Rn). В предыдущей главе получена двусторонняя оценка минимальной нормы по всем операторам Т е X.

Представляет интерес оценка минимальной нормы на множестве X' с X, операторов продолжения для пространств Соболева состоящем из операторов продолжения Т таких, что оператор Т определен на более узком множестве n+^W™^) и обладает тем свойством, что для любых натуральных 771

Т : W™(Rn).

Будем называть такие операторы операторами продолжения не зависящими от порядка дифференцирования.

Известно несколько конструкций операторов продолжения, не зависящих от порядка дифференцирования (см. [26], [40], [41]). В главе II мы приводим некоторые из них и оцениваем их нормы для одномерного случая.

В параграфе 1 рассматривается оператор, построенный Стейном в [41].

Для любой функции / g W*(R+), любого I е N оператор Стейна Т : W%{R+) ->■ W^R) имеет вид

Г /(*) xeR+,

29) = I Т/(х(1 - 2\))ip(X)d\, х < 0. где ф - некоторая функция со следующими свойствами оо Г+ОО

V>(A)dA = l, у \kip(\)d\ = 0,k = 1,2,., и для любого Я £ N существует А{Я) > 0 такое, что

31) |А^(А)|<Л(Л0, JV = 0,1.

Для последовательности положительных чисел рассмотрим класс оо

Cl{Mk} = {feL2(R+): J t2k\f(t)\dt < Ml к = 0,1,.}. о

Введем также класс Л2{М*} функций /, аналитичных в C\R+, для которых верно неравенство оо+гу +oo+iy sup / |u(x + it/)|2|x + ij/|2*dx + sup / |u(x + iy)|2|x + iy\2kdx < Mk. у€Д+ J ye.R- J oo+iy —oo+iy

Пользуясь результатом работы [39], мы выводим важное следствие об оценке функции из класса С% {Мк}, все моменты которой на полуоси равны нулю.

Следствие 2.1. Пусть Ci6 > 0,а > 0. Для того, чтобы существовала функция ф € С^{Мк} такая, что для любых k £ Na выполнялись условия оо

J t^(t)dt = 0 о и оо t2k№)\2dty <с*6как, о необходимо и достаточно, чтобы а > 2.

Норма оператора Стейна оценивается в следующей теореме

Теорема 2.1. Для любого е е (0,1) существует число Си{е) > 0 такое, что для любых 1 < р < +оо,I е N0 справедлива оценка нормы оператора продолжения (1)

32) \\T\\w;{R+)^wHR) < е{2+е)1С17(еУ, причем

33) ||(Т/)(<)||Хр(л) < р(0,+оо) •

Отметим здесь, что в [39] получена оценка снизу (см. формулу (6)) |1Л1«</<(0,+оо)-+и/£(Я)

Из результатов вышеприведенной теоремы и замечания следует, что норма оператора продолжения Стейна, вычисленная в терминах полунормы oip в одномерном случае растёт быстрее, чем С[9 при I +оо. Из теоремы 2.1 вытекает

Для пространств Се результат оценки нормы оператора такого продолжения формулируется в теормах ниже.

Теорема 2.3. Существует число С21 > 0 такое, что норма оператора М : C2t+2[— 1,1] -> С'[-2,2] оценивается следующим образом

1|М||с««[-1дЬс<[я] < Cl2llat, а > 1

Теорема 2.4. Существует число С22 > 0 такое, что для 2 < р < +оо, любых te N справедливо неравенство

-*wt(R) - Сю?01» где Р > 3.

Основные результы диссертации опубликованы в работах [13], [14], [18] [статья принята в печать Известиями РАН] и докладывались неоднократно по мере их получения на семинаре по функциональным пространствам Российского университета дружбы народов (руководители: профессор В.И. Буренков и профессор М.Л. Гольдман), на XVI-ой школе по теории операторов в функциональных пространствах (Нижний Новгород, 1991 г.), на XXIX-YL научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, 1993) и на семинаре по математическому анализу в Уэльсском университете (руководители: профессора Д. Эванс и В.И. Буренков), Кардиф, 1995, а также на конференции по математическому анализу и его приложениям, посвящённой 60-летию Л.И. Хедберга, в г. Линкёпинг.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору В.И. Буренкову, за постановку задачи, внимательное отношение и помощь в работе.

1. Бабич В.М., К вопросу о распространении функций. Успехи мат. наук, 1953, том 8, N2 (54), с. 111-113.

2. Балашова Г.С., О теоремах продолжения в пространствах бесконечно дифференцируемых функций. Матем. сборник, 1982, том 118, N 3, с. 371-385.

3. Балашова Г.С., О продолжении бесконечно дифференцируемых функций. Известия АН СССР, серия математическая, 1987, том 51, N6, с. 12921308.

4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М., Интегральные представления функций и теоремы вложения. М: Наука, 1975, 408 с.

5. Буренков В.И., Формула Тейлора и интегральные представления Соболева. Труды МИАН СССР, 1974, том 131, с. 33-38.

6. Буренков В.И., О продолжении функций с сохранением и ухудшением дифференциальных свойств, Доклады АН СССР, 1975, том 224, N 2, с. 269-272.

7. Буренков В.И., Об одном способе продолжения дифференцируемых функций. Труды МИАН СССР, 1976, том 140, с. 27-67.

8. Буренков В.И., Файн Б.Л., О продолжении функций из анизотропных классов с сохранением класса.Труды МИАН СССР, 1979, том 150,с. 52-66.

9. Буренков В.И., О точных постоянных в неравенствах для норм промежуточных производных на конечном интервале. Труды МИАН СССР, .1980, том 156, с. 23-29.

10. Буренков В.И., IX школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов, Тернополь, 1984, с. 19-20.

11. Буренков В.И., О продолжении функции с сохранением полунормы. Труды МИАН СССР, 1985, том 172, с. 81-95.

12. Буренков В.И., О точных постоянных в неравенствах для норм промежуточных производных на конечном интервале. II. Труды МИАН СССР, 1986, том 173, с. 38 49.

13. Буренков В.И., Горбунов А.Л., XVI школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов, Нижний Новгород, 1991, с. 29.

14. Буренков В.И., Горбунов А.Л., Двусторонняя оценка минимальной нормы оператора продолжения для пространств Соболева. Доклады РАН, 1993, том 330, N6, с. 680-682.

15. Водопьянов С.К., Гольдштейн В.М., Латфулин Т.Г. Критерий продолжения функций класса L\ из неограниченных плоских областей. Сибирский математический журнал, 1979, том 20, N 2, с. 416-419.

16. Глушко В.П. Об областях, звездных относительно шара. Доклады АН СССР, 144, 1962, с. 1215-1216.

17. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г., Введение в теорию функций с обобщёнными производными и квазиконформные отображения. М.: Наука, 1983, с. 284.

18. Горбунов А.Л., XXIX научная конференция факультета физико-математических и естественных наук Российского Университета дружбы народов. Тезисы докладов, М., 1993, с. 41.

19. Кудрявцев Л.Д., К вопросу о полиномиальных следах. Труды Мат. Института АН СССР, 1983, том 161, с. 149-157.

20. Кудрявцев Л.Д., О вариационном методе отыскания обобщённых решений дифференциальных уравнений в функциональных пространствах со степенным весом. Дифференциальные уравнения, 1983, том 19, N 10, с. 1723-1740.

21. Кудрявцев Л.Д., Никольский С.М., Пространства дифференцируемых функций многих переменных и теоремы вложения. Итоги науки и техники ВИНИТИ. Математический анализ, 1988, том 26, с. 1-157.

22. Купцов Н.П., Колмогоровские оценки производных в пространствах Li0,+оо. Труды Мат. Института Стеклова, 1975, том 138.

23. Мазья В.Г., Поборчий С.В., О продолжении функций из пространств Соболева во внешность и внутрь малой области. Вестник ЛГУ, 1984, N 7.

24. Михлин С.Г., Об эквивалентных нормах в соболевских пространствах и о норме оператора продолжения. Сибирский математический журнал, 1978, том XIX, N5, с. 1141-1153.

25. Михлин С.Г.,. О наименьшей постоянной продолжения функций Соболевских классов. Записки научных семинаров ЛОМИ, 1979, том 90, с. 150-185.

26. Митягин Б.М., Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах. Успехи матем. наук, 1964, том 16, N 4, с. 63-132.

27. Никольский С.М., К вопросу о неравенствах между частными производными. Труды МИАН СССР, 1961, том 61, с. 147-164.

28. Решетняк Ю.Г., Некоторые интегральные представления дифференцируемых функций. Сиб. Матем. Ж., 12, 1971, с. 420-432.

29. Соболев С.Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике. 1-е изд., Л.: ЛГУ, 1950, 2-е изд., Новосибирск, НГУ, 1962, 3-е изд., М.: Наука, 1988, 333 с.

30. Слободецкий Л.Н., Обобщенные пространства С.Л. Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. Уч. зап. Ленинградского пед. ин-та им. Герцена, 1958, N 197, с. 54-112.

31. Файн Б.Л., О продолжении функций с бесконечного цилиндра с ухудшением класса. Труды МИАН СССР, 1970, том 140, с. 277-284.

32. Яковлев Г.Н., О следах функций из пространства W* на кусочно-гладких поверхностях. Мат. сб., 1967, том 74, N 4, с. 526-543.

33. Hestens M.R., Extensions of the range of a differentiable function. Duke Math. J., 1941, 8, p. 183-192.

34. Jones P.W., Quasiconformal mappings and. extendability of functions in Sobolev spaces. Univ. of Chicago, Prepr., 1980, p. 44.

35. Kalderon A.P., Lebesgues spaces of differentiable functions and distributions. Proc. Symp. Pure Math., 1961, vol. 4, p. 33-49.

36. Kalyabin G.A., The least norm estimates for certain extension operators from convex plane domains. Prepint, 1996.

37. Michlin S.G., Konstanten in einigen Ungleichungen. Teubner-texte zur Mate-matik, Band 35, Leipzig, 1981.

38. Paukszto M.V. On the assymptotic behaviour of the best constant of the extension of functions from the angle. Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences, 1982, vol. 30, N 1-2, p. 79-83.

39. Paukszto M.V., Ryll-Nardzewski C., On the Stein Type Extension Operators. Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences, 1982, vol. XXX, N 7-8.

40. Seeley R.T., Extensions of C°° functions defined in a half space. Proc. Amer. Math. Soc., 15, 1964, p. 625-626.

41. Stein E.M., Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton: Princeton University Press, 1970, 337 p. (Пер. на рус. яз.: Стейн И.М., Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций . М.: Мир, 1973, 342 е.).

42. Whitney Н., Analytic extensions of differentiable functions defined in closed sets. Trans. Amer. Math. Soc., 36, 1934, p. 63-89.

43. Polya G., Szego G., Aufgabe und Lehrsaetze aus der Analysis. Springer Verlag, 1964

44. Mandelbrot S., Les series adjoint. La regularization de sequences. Des applications, Paris, 1955.