Продолжение дифференцируемых функций из областей с нерегулярной границей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

V

АКАДЕМИЯ НАУК СССР Ч), СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах ружяшся

V

\ Ситников Валерий Николаевич

ПРОДОЛЖЕНИЕ д№ЕРЕндавдмых ФУНКЦИЙ КЗ ОБЯАСТЖ С НЕРЕГУЛЯРНОЙ ГРАНИЦЕЙ

01.01.01 - математический аналлз

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосяйярск-1990

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете и Тюменском инженерно-строительном институте.

Научный руководитель: - доктор фяаияонаате; тяческях

наук, профессор В.М.Гольдн2ейн

Официальные оппоненты: — доктор физико-математических

наук,профессор Ь.М.Киклюков, кандидат физико-математических взук,доцейт Л.Г.Гуров

Ведущая организация: - Университет Дружбы Народов им.

Паиряса Дуыуюба г .¡Москва

Защита состоятся " С " СХ^уУ«/_1990 г.

в /6 часов на заседании.Специализированного совете по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук К 002.23.02 в Институте математики СО АН СССР по адресу: 630090 Новосибирск - 90, Универ-ситьжский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

' Автореферат разослан " <?? " _1990 года

Ученый секретарь Специализированного с

к.ф.-м.н. / В.В.Иванов

Ьещая ХАРАКТЕГАСТ/Ш РАБОТЫ

т.Актуальность текы. и диссертации изучаются операторы

функций пространств Соболева из нерегулярных об-ластек, т.е. таких, из которых продолжение в то же пространство Соболева во всем невозможно.

Рассматриваются операторы продолжения, сохраняйте обобщенную гладкс 2тъ. При этом для продолжения возможны два случая: I) продолженная функция суммируема во воем в меньшей степени, чем в исходной области, 2) продолженная футсция' принадлежит Еесовому пространству Соболева. Оператор ры продолжения из нерегулярных областей с сохранением гладкости до работы ] не учались. В диссертационной работе особое внимание уделяется .изучению операторов продолжения из областей квазяизокетрическя эквивалент: :х областям с '¡тп-каш"и Гребнями". Указанные операторы продолжения строятся в явной виде, исследуются оценки на "ухудшение" степени суммируемости и скорость роста для вссоекх функций, доказывается, что полученные оценки неулучЕаеггн.

Цель работа. Основной целью диссертационной работы является изучение операторов продолжения, функций пространств Соболева из нерегулярных областей с сохранением обобщенной гладкости, а также изучение оценок на "ухудшение" степени суммируемости, неизбежное при продолжении.

Научная новизна и практическая ценность. Результаты диссертаций являются новьад. Работа носит теоретически?! хз~ рактер и её культа ты и мето; могут найти применение при изучении пространств Соболева, операторов продолжения я вложения, змене переменных.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на ХП, ХШ, Х1У Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (Тамбов 1987, Куйбышев 1988, Новгород 1989); на семинаре по геометрии и анализу под руководством академика Ю.Г.Решетняка в ИМ СО АН СССР ; на семинаре по функциональным пространствам под руководством профессора В.И.Буренкова в УДН, г.Москва; на Всесоюзной кои-

ференция по геометрия я анализу, Новосибирск 19Ь9 г.

Публикации. Основные'результаты диссертации опубляко- • ваны в работах [I ] - [5] ."

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит' иа введения, трех глав и библиографии. Работа содержит страниц ма'ликолисного текста, 6 рисунков и список литературы из -54 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

3 работе рассматриваются задачи, связанные с продолжением функций с сохранением их дифференциальных свойств.Вопросы такого характера постоянно возникают в целом ряде задач, когда ь:ы хотим перенести результаты, известные для банаховых пространств функций во всем Ч,^ , на некоторое подашокестЕО £ .

Пусть ^((г) -и - банаховы пространства

функций, определенных в и соответственно.Опе-

ратор Т": Р1 (&}-* Рг(В."1 будем называть ограниченны?.! ол^лтором продолжения, если

1) (т{)(*) = -Рс*) для любой функции /<? и любой

ТОЧКИ X € С ;

2) //7/, ^(/Г) /¿С-//,

где константа С не зависит от выбора функции.

В дальнейшем мы будем рассматривать только л .ейные ограниченные операторы продолжения, поэтому будем писать "оператор продолжения" подразумевая его линейность и ограниченность.

Так как продолженная функция ' на области : совпадает с исходной функцией £(*) , то естественно рассматривать задачу о распространении функций на Есе Я*' таким образом, чтобы продолженные функции принадлежали к тому же функциональному классу. Тогда оператор продолжения действует .из р(О-) в Р(Я*) . Такие операторы будем называть операторами продолжения с "сохранением" класса и обозначать

в. г (с;-, г (Я").

В настоящей работе изучается вопрос о продолжении функци;; :з пространств Соболева. Мы будем рассматривать два варианта таких пространств ¿.¿(бг/ я , харак-

теризующихся конечностью следующих полунормы

я нормы

t "

(I)

^ Здесь О - область в , i< < ^ , £ - целое,

® - обобщенная производная функция 7^*/ порядка

, ... , ^и ) , Ы I * + ■•• + .

Рассматриваются такте весовые пространства Соболева

й Ж? (о)

, для которых в формулах {'!•) я (2) но" -а в пространстве .Лебега берегся с весом

///, / = ¿г //.

Область (?с будем называть областью, принадлежащей классу 5 или регулярной областью, если для функ-ци* пространств Соболева, определенных в области С существует оператор продолжения с "сохранением" класса.

Если обметь не принадлепт классу £ £ , тогда будем называть её нерегулярной. ^

Пу ть граница Э'Сг области О ^¡Я локально является графиком непрерывной функция Х„- ^(хАгде "Л , (5с /?" • Будем говорить, что граница области удов-

летворяет некоторому условию, если этому услоаию удовлетворяет функция У (.

Вопрос о продолжений функций из пространств Соболева с "сохранением" класоа рассматривался для областей с досгаточ-

но гладко!-: границей ( С^ t С "/я для областей с границей

класса С0-1 (><£? удовлетворяет условию Липшица) многими авторами: С.Ы.Никольским, В.М.Бабичем, О.В.Е .овым и В. П.Ильиным, В.И.Буренковым, Хесгенсом, Кальдероном, Стейном и др.

Дтонс"' построил оператор продолжения с "сохранением" класса для функции из пространств OC^f (&) для (¿l S)- рав-г

П ° i N

номерных областей ;класс областей более широки1.:, чем L - ).

Однако переход от условия Лппшг а к условию Гёльдера при ослаблении условия гладкости на границу области оказался невозможным. Области класса С л О' У i . (функция У (ix) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем Л ) являются нерегулярными.

Т.к. из нерегулярных областей продолжение с "сохранением" класса невозможно, возникает вопрос: с каким наименьшим "ухудшением" гладкости и суммируемости возможно продолжение функций пространств Соболева из нерегулярных областей?

В.И.Буренковым^ был построен оператор продолжения для прос рзнств Wp из областей класса (; °> Л при

котором "ухудшение" класса заключалось в понижении гладкое-ти Т: , где (yll - целая

часть У-'i .

Нами предлагается альтернативная возможность продолжения - продолжение с сохранением гладкости. Тогда н .збежное "ухудшение" класса для функция из пространств Соболева будет заключаться в понижении суммируемости или продолжения функции будут принадлежать весомому пространству Соболева с теш не показателями суммируемости и гладкости.

* Jones РМ. Quasicanjolmai mat>pina$ and extentali -of ftcnetLpns in SoLottv £paces/ Acta

mmи - ни.-* m. - p.it-n.

m) Буренков В.И. Об одном способе продолжения дшасЬеренцитэу-емкх функций // Тр. IvüAH СССР - 1976. - T.I40. - С.27^67.

•Перейдем к изложению'содержания диссертации.

В первой главе в § 1,1 л § 1.2 вводятся необходй.ае обозначения и определения. В § 1.3 доказаны георемы о про-' долженип функций пространств Соболева ¿,^ (С) со~

хранением обобщенных производных.

Для любой области О- с всегда можно указать область С' такую,что область С и G' пересекаются только по границе и что область UG'^ будет иметь достаточно гладкую границу,допускающую продолжение функций пространств Соболева с "сохранением" класса. Поэтому вопрос о продолжении во все пространство сводится к тому, каким, в некотором г-щсле наилучшим, образом можно продолжить функции пространств Соболева на область G' .

В диссертации нами рассматриваются операторы продолжения на область £ , индуцированные'отображениями , со: G' —» G , действующие по правилу

(rf)MJ ^ „

( (Аоо)Н яри X £ с',

Получены условия на отображения U) , при которых опсрато-' рн продолжения сохраг :от гладкость. ч -

Определение I (1.3.1.)^ Рассмотрим область G с R . Будем говорить, что область - С принадлежит классу если

1) области Q и G не пересекаются и имеют обЦ щий участок границы Г ■ ЭДе ~ ляпшицево многообразие;

2) почти все прямые, параллельные осям координат, пересекают Г в конечном числе _гочек,

3) область Z? CrUGf)° -регулярная.

скобках указан номер соответствующего утверждения в тексте диссертации.

Определение 2 (1.3.2). Рассмотрят область Сг^Я.^ и область Отображение и>} собудем назы-

вать отображением класса , если

1) в области О отображение и) является локальной квазиизомегрлей;

2) на общем участке границы отображение и) тождественное; р ^

3) , А*,

Определение 3 (1.3.7). Отображение и принадлежащее классу , будем называть отстранением класса ¿Щр },

если р) = / х)Г\ ¿^ (С'Л < ~.

Тсопема I (1.3.3 и 1.3.8). Рассмотрим область С с область £'<= £$(&) я отображение (ОС.- . Если отображение Ы принадлежит классу [р/ , тогда существует оператор продолжения

£ : ¿.¡{С) - /,,(£>") ;

если отображение СО принадлежит классу £ ^(р), тогда суь,~ствуег оператор продолжения

£ - г//ж/

Таким образом наш получены условия, при которых отображение и/ индуцирует оператор продолкения с "сохранением" класса.

Определение 4.(1.3.9). Рассмотрим область С4 с в я область С^ £!>(&). Отображение и*" С-'-* <?> будем называть отображением класса , если:

1) в области С' отображение и; локально является квазиязоыетрическим гомеоморфизмом;

2) на общем участке границы отображение и) тождественное; ^

3) т (ы „. Г ) /

оо

Определение 5 (1.3.13). отображение СО J принадлежащее классу 77, (р, Ч) . будем называть отображением класс« ТУУ(р,«) , если _

Л А 5/ " / х) I ^ - 00 •

Теорема 2 (1.3.9) и 1.3.14). Рассмотрим нерегулярную область область С & и отображение ^ ;

С?'-"» . Ьсли отображение о.- при' да ежи г классу Т%(п>гсц) , тогда существует оператор продолжения

если отображение ') принадлежит классу тогда

существует оператор продолжения

т - \*/1р(а) — ЪУ^(^).

Таким образом для областей с нерегулярной границей указаны условия на отображение си: С'-* С- лри которых индуцированный оператор продолжения сохраняет гладкость. Неизбежное "ухудшение" класса заключается в понижении степени суммируемости о (э ,.,о

Далее рассмотрен один из возможных альтернативных подходов к продолжениям : . нерегулярных областей - продолжения и весовые пространства Соболева.

Определение 6 (1.3.15). Рассмотрим область бсД* и область С?'б £&(<*) . Отображение : будем назы-

вать отображением класса , если:

1) в обретя (*' отображение и> локально является квазиизометрическим гомеоморфизмом;

2) на общем участке границы отображение со тождественное;

3) в области существует функция такая,что % ГЧД /Э(»,*)Г\

Определение 7 (1.3.18). Отображение , принадлежа-

щее классу (Р = Я) > бУдем называть отображением класса

{/>,<?) , если Нг(ь>,р/)* -¡Э^Г*^6')Ц<*<>.

Теорема 3 (1.3.16 и 1.3.19). Рассмотрим нерегулярную • область область Сь и отображение ь) ,

со: б?'-*<? . Если отображение и> принадлежит классу

, тогда существует оператор продолжения

Г: и). (С) — (Я"};

если отображение и принадлежит классу .тогда

существует оператор продолжения

Т: (в*).

Перейдем к списанию второй главк диссертации, содержание которой составляют разданные приложения результатов.полученных в первой главе.

В § 2.Г рассматриваются операторы продолжения функций-пространств Соболева для плоских областей класса У,. , т.е. таких которые квазиизометрическим гомеоморфизмом можно отобразить на область с нулевым углом порядка * , - у , Сл = / л- е- : ¿пс* ) 0<,тя<.£ } . Граница

областей класса I/, удовлетворяет условию Гельдера с пока: 'елем , О- « С"1' * . и. следовательно, является нерегулярной.

Основной результат параграфа сформулирован в следующей

Теореме 4 (2.1.8). Пусть О - область класса и р > (£*-*)/£ . Тогда для любого ? , удовлетворяющего неравенству £<<%< л) существуют операторы лподолкения

Г: ¿(С) '

Т: I ' ,

причем оценка на показатель суммируемости ? неулучшаема .

Здесь я далее под неулучшаемостью оценок на показатель суммируемости ^ подразумевается го, что продолженные функция не могут быть суммируемы в большей степени. Вопрос о равенстве ^ предельному значению остается открытым.

В § 2.2 плоский результат § 2.1 обобщается на Л-- мерный случай.

Определение 8 (2.2). Будем говорить, что область принадлежит классу V } , ••• > ^„.^ » *), если

её квазяизометрическим гомеоморфизмом можно отобразить на

область С Я": 0< х. * ** ¿ЧГ/Г2 ^ *<<хя< 1 ]

Для областей класса ^ в явном виде построены операторы продолжения функций пространств Соболева, сохраняющие обобщенную гладкость:

Т.к. граница области класса V— является нерегулярной, то продолженные функции суммируемы в меньшей степени ? г удовлетворяющей неравенству ¿ ^ 9 < п р /¡Щ , причем с помощью емкостной техники показано, что при подученная оценка на о неулучшаема.

/ц и-? £

■г ' о

г// , «л > , принадлежит классу , где

... г •>., . Граница кругового пика ^ удовлетворяет условию Гёльдера с показателем X л /^ . Поэтому оценка на показатель суммируемости при продолжении из кругового пика, < ? < и-р /С{ +(< :}•<** , может определяться показателем А .

Если же мы рассмотрим неравномерный круговой пик

Р~ -/хе /?* ? о<хп<{] ^

то он принадлежит классу V.. ? ,а

его граница удовлетворяет условию Гёльдера с показателем

= / д.:я/ 4 я, } . Однако оценка на показатель суммируемости ? продолженных функций зависит уже не от Л , а от '7! ' с ¡г Ь /'? 1.

Таким образом построенная нами характеристика областей с помощью классов ) является бол. тонкой, чем ха-

рактеристика границы в терминах гельдеровости.

В §'2.3 рассматривается вопрос о продолжении функций просгрансгв Соболева из областей с нулевым гребнем

« х (о, i) ) являющихся одним из модельных примеров областей в теории квазиконформных отображений.

Для пространств / 1 и в явном виде построены

операторы продолжения, сохраняющие гладкость. Найдена неу-лучшаемая оценка сверху на показатель суммируемости я совпадающая с результатом теоремы 4.

Сравнив неулучиаемые оценки на показатель суммируемости ^ для обобщенного лика 6гд с Д л / V г- (М. ) ±) и душ гребня , получим, что хотя обе области имеют гёльдерову особенность одного и того же порядка , ! 'с' г вдоль только одной переменной, но обобщенный пик допускает продолжение с меньшей потерей суммируемости, чём гребень , т.к. особенности имеют различную ко-размерность.

Далее в параграфе рассматриваются обобщенные пикогреб-

ни с.Я* ... ~~ мерный

' ■ - к

вектор, О-1:" с& - обобщенный пик.

Для указанного типа областей построены операторы продолжения о сохранением" гладкооти и указаны неулучшаемые оценки на показатель суммируемости у : ^

± <. <? < к р / (к- 7- г

В § 2.4 построены в явном виде операторы продолжения внутрь плоского нулевого угла О^ и внутрь нулевого гребня 2), - бг^х (ох I) . Доказано, что продолженные функции суммируемы в степени ^ , удовлетворяющей неравенству i < 1 с /(Я ■*■ .

Если для плоских областей <5 и о.'"' отображение J и): (*■'-* £ , принадлежит классу г ), тогда для опе-

раторов продолжения функций из пространств / * ,индуцированных по формуле (3) отображением , и обратным к нему иГ* ' Сг —>(£'■, выполняется условие двойственности.

Лемма 5 (2.4.11). Пу ть <* - плоская область, <£б£$(&) и отображение со • £ ' ' & принадлежит классу (г> Ч ) •

Тогда обратное отображение 6 принадлежит классу !

г Г') , где р', <}' - числа, сопряженные с числами

Р 'А а ( 1/р + % ±/ч * 1/а: =1} Л СУШ гву-ют операторы продолжения

ти ■ ¿^ (я']

и Ти., : I -> ' (Я1).

Таким образом отображение с*) индуцирует продолжение из нулевого угла , то обратное отображение со'л индуцирует продолжение внутрь (хы .

В § 2.5 изучается вопрос о продолжении из областей с нулевым пиком внутрь 2>_ = % (о /■ \ сГ-

Если я . тогда-область 2>г является

} - равномерной и, следовательно, существует оператор продолжения с "сохранением" класса ,/Г: ^

Если же ^ ^; . тогда - будем называть областью с

' «у вi

неравномерным пиком внутрь.

В настоящей работе с помощью емкостных оценок доказано, что для функций пространств УГ; (X)-, определенных в области /У-; *! *! * г г не существует оператор продолжения, сохраняющий обобщенные производные, суммируемые в степени большей, чем р / . (г. - <,, >

Другими словами, продолжение внутрь неравномерного пя-. ка с "сохранением" класса невозможно, а для продолжения о сохранением обобщенной гладкости указана оценка сверху на "ухудшение" степени суммируемости ^

В этом же параграфе на основаш:" теоремы 2 построены оператор продолжения внутрь неравномерного пика Т ' V г )получена оценка на показатель сушируемос-

ТИ С • __

¿¿.ал + -с/г)),

Далее в § 2.6. на основе теоремы ? Т.3.16 и 1.3.19) и определений (6 (1.3.15) и 7 (1.3.18) поо^оены операторы продолжения в весовые пространства Соболева и

из областей определенных в §§ 2.1-2.4. Указаны точные'оценки на скосрость роста / весовой функции Для нулевого пика 4 из определения 8 ( 2.2) а для обобщенного пикогребня ' т из § 2.3

с>,•;//».

С.К.Вододышоеым и В.Ы.Гольдштейном ' показано, что КЕазиизометрический гомеоморфизм ¡Ц" индуцирует

структурный . -изоморфизм * пространств )

по правилу ^ V*/)бс) ~ '^Н*) > т.е. квазиизомегрическая эквивалентность областей гарантирует замену переменных, не выводящую из класса .

В § 3.1 третьей главы рассматриваются замены переменных в квазиизометрически неэквивалентных областях "сохраняющие" класс или не выводящие из шкалы пространств Соболева.

Если отображение С принадлежит классам £Ь,(р)

или ¿'¡¡//^»У из определений 2 и 3 без условия 2) (тождественность на общем участие границы областей С? и О ' , которой может и не быть)ь тогда индуцированная отображением

О) замена переменных будет с "сохранением" соответствующего пространства Соболева.

Если отображение о* С удовлетворяет условиям определений 4 и Г тля классов отображений 77. (р)^/и 7~1|7(р,^) также без условия 2), тогда отображение и) индуцирует замену переменных в функциях из пространств Соболева

В качестве примеров рассмотрены замены переменных при переходах от нулевых ликов С- к конусам и обратно.

В § 3.2 исследуются операторы вложения пространств Соболева для нерегулярных областей класса Р- .¡смат-риваемых в § 1.3.^ Для таких областей доказано, что при Сц< й пространство (£) вложено в (£ ) для любого Я ,

■ 'у1" .............. / ■ . .1 .....

Водопьянов С.К.,Гольда Лн В.М. Критерий.устранимости множеств для пространст квазиконформных и квазяизометричес-кях отображений. -Сио.мат.журн.-1977.-Т.18.Н. - С.48-68. •

Удовлетворяющего неравенству $ £ п^/(п- ), а при

1->д пространство ^^^вложено в С**^/» ГД0 р

Для стандартного'пика С-^с^Д? с помощью теоремы замене переменных § 3.1 доказаны следующие вложения:

1)пРи

2) при /> > п С %), о< >. ' 1-

причем указанные вложения неулучшаемы.

Далее в § 3.3 рассмотрены операторы продолжения из областей квазиизомегрячески эквивалентных нулевому пику С..' с сохранением обобщенных производных произвольного порядка.

И в заключении в § 3.3. построены операторы продолжения функций пространств Соболева из областей классов и <£> , сохраняющие обобщенные производные произвольного порядка .

и получены оценки на показатель суммируемости *

ир /(и! + />(£-.<)} ,

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору В.М.Гольдштей-ну за постановку задач и постоянную помощь в работе, а так же А.С.Романову за многочисленные советы и полез. .>е обсуждение полученных результатов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-5 .Из совместно опубликованных работ с научным руководителем профессором В.М.Гольдштейном в диссертации используются только принадлежащие автору результаты.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

I. Гольдшгейн В.М., Ситников В.Н. О продолжении функций класса через гёльдеровы границы. - В кн.: Теоремы вло-

кения;й"йх приложения (Тр.семинара С.Л.Соболева). Новосибирск. - 1982, Н. - С. 31-43. • •

2. Гольдшгейн В.М., Ситников В.Н; 0 продолжении функций через границу области определения. - В кн.: Применение функционального анализа к уравнениям с частными производными (Тр.семинара С.Л.Соболева). Новосибирск. - 1983, № 2. -С.38-51. ,

3. Ситников В.Н. Продолжение функций класса с сохранением обобщенной производной. - В кн.: Функциональный ■ анализ я магматическая физика (Тр.семинара С.Л.Соболева). Новосибирск. - 1987. - С.92-110. • •

4. Ситников В.Н. Продолжение функций класса С.Л.Соболева через гёлъдерову границу с сохранением гладкости // Тез. докл. ХП школы по теории операторов-в функциональных пространствах, Тамбов, сентябрь 1987 г. - Тамбов, 1987.- К 2 -С.75.

5. Ситников В.Н. О продолжении дифференцируемых функций из облагай с гёльдеровыми особенностями // Тез. докл. Всесоюзной конференции по геометрии и анализу,Новосибирск, ноябрь 1989. - Новосибирск, 1989. - С.76.