Пространства дифференцируемых функций и квазиконформные отображения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Основные обозначения

ГЛАВА. I. НЕЛИНЕЙНАЯ ЖКОСТЬ

§ I. Емкость,индуцированная линейным положительным оператором.

§ 2. Вариационная емкость.

§ 3. Емкость в пространствах Соболева

§ 4. Плотность экстремальных функций в пространствах Wp . Устранимые особенности

ГЛАВА П. ОПЕРАТОР ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРШ

§ I. Замена переменной в интеграле

§ 2. Теорема о структурном изоморфизме.

§ 3. Дифференциальные формы на липшицевых многообразиях

§ 4. Интегрирование дифференциальных форм

§ 5. 0 теореме де Рама для липшицевых многообразий

ГЛАВА Ш. ПРОДОЛЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

§ I. Условие с диаметром дуги

§ 2. Необходимые условия продолжения для полунормированных пространств

§ 3. Необходимые условия продолжения для пространств Соболева

§ 4. Необходимые условия продолжения для пространств

Никольского-Бесова

§ 5. Достаточные условия продолжения.

Настоящая работа посвящена изучению взаимосвязи между пространствами дифференцируемых функций (в первую очередь пространствами Соболева), геометрическими классами отображений (квазиконформными и квазиизометрическими) и нелинейной ёмкостью. Нелинейная ёмкость выступает в основном как технический инструмент, позволяющий формулировать геометрически функционально-аналитические свойства и наоборот. Такой подход к теории пространств дифференцируемых функций приводит к кругу вопросов, который естественно называть геометрическими вопросами теории пространств дифференцируемых функций.

В первой главе вводится в рассмотрение и изучается нелинейная ёмкость, связанная о положительным оператором и вариационная ёмкость. Получены необходимые для дальнейшего изучения оценки ёмкости в пространствах Соболева. В терминах ёмкости полностью описаны множества устранимых особен/ / ■ ноет ей для пространств Wp , квазиконформных и квазиизометрических отображений.

Во второй главе получено полное описание замен переменных, сохраняющих классы Соболева с первыми обобщёнными производными, вводятся в рассмотрение классы дифференциальных форм на лшшпщевых многообразиях, аналогичные функциональным классам Соболева. Для этих классов форм получен аналог теоремы вложения в пространстве непрерывных функций, теорема Стокса, теорема де Рама .

В третьей главе метод нелинейной ёмкости и техника геометрических классов отображений используются для изучения вопроса о продолжении классов дифференцируемых функций через границу области определения при сохранении дифференциальных свойств функций. Выделен класс областей (области удовлетворяющие условию с диаметром дуги), в которых выполнены необходимые условия продолжения. В плоскости, в ряде случаев, получены необходимые и достаточные условия продолжения.

I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЗДОВШЯ

Теория пространств Соболева и близких к ним классов дифференцируемых функций имеет в настоящее время широкое поле приложений в разнообразных вопросах теории функций, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и многих других разделах современной математики.

Квазиконформные отображения локально принадлежат классу И//? и поэтому при их изучении применимы методы теории пространств Соболева, Однако связь между классами Соболева с одной стороны и квазиконформными и близким; к ним классом квазиизометрических отображений носит более глубокий характер. Квазиконформные гомеоморфизмы представляют из себя полное описание замен переменных, сохраняющих классы г). - локально-суммируемых в области G" С /? ^ функций, имеющих первые обобщенные производные, суммируемые в степени /7. . При р ФЛ полное описание замен переменных, сохраняющих классы или задается квазиизометрическими отображениями. В дальнейшем будет уточнено в каком смысле описание замен переменных является полным. Отметим только, что такая жёсткая связь между классами функций и классами отображений должна проявить себя в широком круге вопросов. Инструментом, связывающим (в техническом смысле) геометрические классы отображений и классы Соболева, является нелинейная ёмкость. При помощи нелинейной ёмкости и геометрических классов отображений удаётся исследовать, кроме вопроса о замене переменной, вопросы об условиях продолжения функций с сохранением класса через границу области определения (в плоскости мы приходим к необходимым и достаточным условиям), вопрос об устранимых особенностях для классов Соболева, построить на лшшшцевых многообразиях классы дифференциальных форм, в определенном смысле аналогичные классам функций Соболева, и получить для дифференциальных форм аналог теорем вложения И/о в пространство непрерывных функций. Разработанная техника достаточно универсальна и может бить применена, кроме классов Соболева, к другим классам функций, дифференцируемых в обобщенном смысле. В качестве примера приводятся приложения этой техники для классов Никольского-Бесова.

Предлагаемый метод исследования пространств дифференцируемых функций, основанный на использовании геометрических классов отображений и связанных с ними специфических ёмкостных оценок, является новым. Кроме результатов, касающихся пространств дифференцируемых функций получены новые результаты в теории квазиконформных и квазиизометрических отображений, вытекающие из связи этих классов отображений с изучаемыми классами функций.

Квазиконформные и квазиизометрические отображения являются не только полезным инструментом исследования-классов дифференцируемых функций, но и представляют;(особенно в: рамках хорошо развитой плоской теории) удобный язык для изучения свойств этих классов функций. Например: условие Альфорса на границу плоской области, - множества, липшицевы многообразия. Нелинейная ёмкость во всем рассматриваемом круге вопросов используется как промежуточный язык одинаково удобный для истолкования свойств классов функций и классов отображений. Однако, надо иметь ввиду, что свойства, записанные при помощи ёмкости, часто допускают непосредственно геометрическое толкование (например, для необходимых условий продолжения).

Каждому из пространств дифференцируемых функций соответствует своя ёмкость. Естественно отклассифицировать свойства нелинейной ёмкости, выделив сначала ее общие свойства, и, постепенно детализируя их, добраться до свойств индивидуально характеризующих пространство. Поэтому изучение ёмкости должно начинаться с абстрактного представления о ёмкости, связанной с пространством функций.

Дальнейшее изложение материала требует привлечения предварительно понятий нелинейной ёмкости и нелинейной вариационной ёмкости.

2. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ ШВЫ I

Глава начинается с построения понятия нелинейной ёмкости, связанной с положительным оператором Т , действующим из IpfU) в Л/ Л?с СУ) » где L/^-ft^ - область, \/ с: ft^ - измеримое множество. Это понятие используется для характеризации множеств точек плотности в смысле Лебега функций из , более тонкой, чем в теории пространств Ар , и для получения на языке ёмкости теорем о сходимости (аналоги теорем Егорова, Лузина и т.п.). В этих и в ряде близких вопросов ёмкость играет ройь, аналогичную роли меры для пространств суммируемых функций'* мкость совпадает с мерой, если Т - тоадес таенный оператор) . Примерами классов функций, полученных из при помощи действия положительного оператора являются классы Лиу-вилля (в частности, классы Соболева в /? ), классы и т.д. Предлагаемая точка зрения на ёмкость восходит к работам Ю.Г.Решетняка/"66/ , В.Г.Мазьи, В.П .Жавина/47/, М.Г. Мейерса/104,105/ , в которых рассматривалась ёмкость, связанная со специальными типами интегральных операторов.

Немного об истории вопроса. Понятие ёмкости возникло в теории потенциала в связи с изучением овойств гармонических функций и аналитических функций одной комплексной переменной (см., например /II/ ). В рамках конструкции, излагаемой ниже, классический случай соответствует случаю прог странств . Нелинейная ёмкость, связанная с бесселевым потенциалом, введена почти одновременно в работах Ю.Г.Решетняка /65/ и tt.r.Мейерса [ 104/ . Систематическому изучению функций, представших бесселевыми потенциалами,посвящены работы Н.Ароншайна и К.Т.Смита [ 83/ , /84/ . В этих работах подробно изучаются множества нулевой Р)-ёмкости (в терминологии нелинейной ёмкости) и указываются их приложения к исследованию свойств бесселевых потенциалов.

Вскоре после работ Ю.Г.Решетняка и М.Г.Мейерса появилась работа В.Г.Мазьи, В.П.Хавина/"47/, где теория нелинейной ёмкости строитоя практически по той же схеме на базе потенциала ьРис са

В связи с понятием нелинейной ёмкости отметим также работу Б.Фюгледе/ 927 , в которой введено понятие р - модуля семейства мер.1^ Пусть^^^ измеримое пространство,

Являющееся обобщением понятия модуля семейства кривых (см. например [I ]). где£ 6 - кольцо, ГП некоторая фиксированная мера, на <£ . Пусть дано семейство £ неотрицательных мер, определенных на множестве ^ . Функция ^О^ определенная в X называется допустимой относительно семейства мер £ , если ) ) ^ / для всех J^^ £ • Точная нижняя граница величины на множестве всех допустимых относительно семейотва мер £ функций 'f называется р. - модулем семейства мер £ . Пусть Т неотрицательный оператор вида ти(к у) и «/jmWJ

А/ /у/ / ж£сХ , Полагая для Х&£ Ac S f/Ah 1К(Х,</)Л?(С/У) А получим семейство мер. Для случая, когда

X - область в /? ГП - мера Лебега, модуль этого семейства совпадает с ( - ёмкостью множества £ . Определение (Т} Р ) - ёмкости приведено ниже.

В общем случае понятие

Т,р)- ёмкости к понятию Р~ модуля семейства мер не сводится.

Разнообразные приложения техники связанной с нелинейной ёмкостью в теории функций и дифференциальных уравнениях можно найти в монографиях В.Г.Мазьи /507 » /51J. В частности, в этих монографиях подробно исследована связь между емкостью и существованием операторов вложения в пространства С и ^р и указаны ситуации, когда на языке емкости можно получить необходимые и достаточные условия вложения.

Определение I. Пусть U - область в $, У - измеримое множество ъ ff^. Непрерывный линейный оператор Т:Lp(U) -+L<f {ос(у)назовём положительным, если а) для всякой функции почти всвду; ^ б) если ряд ZUrft) Up)^- ^р(^) сходится всюду К функции m ц -^p(u) , ТО ряд 2? TUm

-г m сходится всюду к функции ш ^

Определение 2. Функция feipCu) называется допустимой для множества £^ I/ и положительного оператора

Т: L /t toe (И,есш ( )(Х ) & / Я™ всех

Определение ( Тр ) - ёмкости. Точная нижняя граница MJttlpfU) } взятая на множестве всех допустимых для множества £ и оператора Т функций, называется (^Р J «ёмкостью. Обозначение - Capj~ tр(

Пространство ]а/(Т} 'р, I/) .В множестве У) ~ введем норму

Показано, что/'Тр) - емкость является внешней мерой и обобщенной ёмкостью в смысле Брело/"10 ] (при необременительных ограничениях на оператор Т ). Основной целью являются аналоги теорем Егорова и Лузина. Приведем в качестве примера теорему Лузина для

-емкости.

ТЕОРЕМА. I (1.6 гл. I), Предположим, что оператор Т: L,р(U) /ос (!/) является С - оператором. Пусть W(T}Py) . Тода для всякого найдется открытое множество I/ такое, что OopTpf/-/ и функция^" непрерывна на множестве |/\ // .

Замечание. Оператор Т называется С -оператором, если он переводит любую неотрицательную непрерывную функцию в непрерывную. В случае отказа от этого требования теорема сохраняется, но множество М не обязано быть открытым.

Бели 7" является бесселевым потенциалом, то из этой теоремы мы^получаем теорему Ю.Г.Решеткяка /"66 /. Для пространств Зр'р (дл) результат не был известен. Если Г-тоящественный оператор, то теорема превращается в классическую теорему Лузина. Ёмкостная характеристика является более тонкой, чем мера. Например, для пространств Лиувилля при n-Kip <п множество ёмкости ноль имеет /-меру Хаусдорфа ноль и из теоремы 1.6 следует, что функция V непрерывна на почти всех сферах.

Понятие (7^р) -ёмкости приспособлено для изучения локального поведения функций классов U/(J/J . Для изучения граничного поведения лучше приспособлено понятие вариационной ёмкости (аналог понятия )- проводимости в смысле В.Г.Мазьи /"48 7). Для пространств вариационная ёмкость изучалась D. Г. Решетняком /"66] .

Рассмотрим линейные подпространства £(£.) пространства измеримых в области и функций являющиеся одновременно полунормированными - пространствами.

Определение вариационной ёмкости. Функция tfefC?) называется допустимой для пары множеств fa, если L/(x) для всех X из некоторой окрестности множества и С/(Хв некоторой окрестности Имеются в виду окрестности множеств в (г , т.е. такие открытые подмножества (j , замыкание которых содержит, соответственно F$ ж Fj .

Замечание. Определение отличается от традиционного, так как обычно предполагается в окрестности /у .

Но, в рамках предлагаемой в этой главе общей конструкции, технически более удобным является приведенное выше определение.

Во втором параграфе изучаются основные свойства вариационной ёмкости и ее связь с (Т Р) - ёмкостью для пространств ]/\/(TP, У) «В частности, показано, что для широкого класса пространств множества ёмкости ноль и вариационной ёмкости ноль одни и те же. В этот класс попадают все изучаемые далее типы функциональных пространств. При необременительных ограничениях получены двусторонние неравенства между (Т) Р) - ёмкостью и вариационной ёмкостью. В целом параграф носит служебный характер.

В третьем параграфе получены все необходимые для дальнейшего изложения оценки ёмкости в пространствах Соболева и изучается возможность сужения класса допустимых функций при вычислении ёмкости для пространств Соболева. Более детально изучается связь мезду различными типами ёмкости. В целом параграф носит служебный характер.

В последнем (четвертом) параграфе изучаются множества устранимых особенностей для пространств U/pfft J , где /" о /7 '

О - область в Р . Предварительно получена, представляющая самостоятельный интерес теорема о представлении произвольной функции из YiSpffr) в виде ряда из экстремальных функций для вариационной ёмкости пар компактов.

Функция называется 'экстремальной для пары замкнутых в области G" множеств Л? ^у ^ & если

Напомним, что

AW это пространство локально-суммируемых функций, имеющих обобщенные производные до порядка ^ включительно, для которых ограничена полунорма

Uu/kp =w\£pa = 1 WD и\\Ld(&).

1 ] \jl\-2 г

Вариационную ёмкость в пространстве /лр((Т) мы будем обозначать через Ср ffqf/J?),

Сначала попытаемся провести аналогию с пространствами Всякая функция из Apfe) может быть представлена в виде суммы ряда из ступенчатых функций, имеющих непересекающиеся носители. Это представление неоднозначно, но сказывается полезным в техническом смысле, так как ступенчатые функции являются "простейшими" из суммируемых функций. С другой стороны, характеристические функции являются экстремальными для (Тр J - емкости, ассоциированной с тождественным оператором

Г-ApfffJ^Apfir).

Естественно считать экстремальные функции для емкости пар компактов "простейшими" в пространстве, порождающем эту емкость и попытаться получить представление любой функции рассматриваемого класса в виде ряда из "простейших". Неизвестно насколько далеко аналогия с ) может быть продолжена, но для пространств и h/pW она оказывается верной.

Аналогии со-шкалой

4о(е) при изучении множеств-устранимых особенностей не наблюдается, так как пространство

Lp(гт)т реагирует на изменение области определения на множество, имеющее меру ноль, а мера ноль jsjta/TpJ -емкости, ассоциированной с тождественным оператором - это ёмкость ноль. Для пространств - при р большем размерности области множеств (JJp) -емкости ноль просто не существует. Это следует из предложения 3.10 главы I, показывающего, что в этом случае/V^/?/ -емкость точки больше нуля. В то же время любая функция пространства продолжается до функции из класса Wp(6(0) /)) » т.е. точка является устранимой особенностью для любого из классов И/@ . Возможность продолжения очевидным образом следует из теоремы о совпадении классов !Мр ъАСЬр . йюсостное описание множеств устранимых особенностей используется в главе 2 при изучении устранимых особенностей для квазиконформных и квазиизометрических гомеоморфизмов. Приведем результаты.

Определение. Множество & имеет гладкую границу в и , если

Inи д£П&

- гладкое многообразие.

Обозначим через £xtplЪ) множество экстремальных функций пар (fq £/) связных компактов из , имеющих гладкие границы в fr

ТЕОРЖА 2 (4.10 гл. I). Существует счётная совокупность функций таких, что для любой функции L/^^pf &) и любого ^ ^^ существует представление в виде ^ для которого схз >

Определение. Области и III (li С назовем

Р) - эквивалентными, если оператор ограничения изоморфизмом векторных пространств Apf&iJ и Apf&j)

Определение. Замкнутое относительно области S" множество £ называется А^Ср- множеством, если для любой пары связных компактов

ТЕОРША 3 (4.12 гл. I). Для того, чтобы области и (jZ были/"/ PJ - эквивалентными, необходимо й достаточно, чтобы множество было А/Ср - множеством в & .

Теорема сохраняет силу и для

В качестве следствия этой теоремы и теоремы о структурном изоморфизме, приводимой ниже, в главе 2 доказана теорема об устранимых особенностях для классов отображений. ^ ТЕОРЕМА 4 (2.6, 2.8 гл. 2). Пусть & - область в /? , £- //Ср - множество. Тогда любой квазиконформный Шри р = П ), квазиизометрический (при р Ф /7 ) гомеоморфизм if: /j \Е ~~** /Р^ продолжается до квазиконформного (при р-П), квазиизометрического (при Р Ф О ) гомеоморфизм ^ п/1 ш Lf: 6" л 1 без увеличения коэффициента искажения.

Задача об описании множеств устранимых особенностей для квазиконформных отображений восходит к работе Л.Альфор-са и А.Бьерлинга /82] . В этой работе описание множеств устранимых особенностей производится в терминах модулей семейств кривых. Учитывая результат работы Й.Хассе [96] о совпадении р - модулей и р -емкостей и используя нашу терминологию, результат работы Л.Альфорса и А.Бьерлинга [82] утверждает об устранимости МСг множеств (в терминологии Л.Альфорса и А.Бьерлинга Л/ЕЮ - множеств) для плоских квазиконформных гомеоморфизмов. Этот же класс множеств является устранимым для аналитических функций класса АО [82] . В случае размерности n>Z для класса, аналогичного А Ю , устранимых множеств меньше, чем для квазиконформ

I 1 ных гомеоморфизмов и для пространств Ln (см. работу Л.Хедберга [97] ). Известные результаты об устранимых особенностях для квазиконформных отображений [82] , [53] следуют из этой теоремы при р~п . Результат был известен для случая р - /г , Е - компакт (в эквивалентной формулировке на языке модулей семейств кривых \z\ ).

Результаты § 4 получены совместно с С.К.Водопьяновым

Г7] •

2. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ ГЛАВЫ 2 Приведем предварительно два эквивалентных определения квазиконформных и квазиизометрических отображений. Вместо термина квазиизометрическое отображение в ряде случаев будет использоваться термин Липшицев изоморфизм.

Определение. Гомеоморфизм у-'Ь называется квазиконформным, если существует такое число Q7 d , что для всякой точки х & Gr справедливо неравенство

4и,р 14>(х) - ) turn г

О \<f(X)-4>(4)\ fy-xl = Z

Наименьшее L/Jtf /из чисел Q , для которых справедливо неравенство, называется метрическим коэффициентом квазиконформности гомеоморфизма у.

Опреде ление. Гомеоморфизм Lf: tj-^tf^ называется квазиизометрическим, если существует такое число^ , что для всякой точки справедливы неравенства а, ммм^преЬа

Наименьшее чисел Ск , для которого справедливы неравенства, называется коэффициентом квазиизометрич-ности гомеоморфизма ^ . Название квазиизометрия не является общепринятым. Другие встречающиеся в литературе названия этого класса отображений: Билипшицевы гомеоморфизмы, липеоморфизмы, липшицевы изоморфизмы.

Определение. Гомеоморфизм Cf-'О( области в ft ) называется квазиконформным, если для любой пары связных компактов Pj^ & справедливо неравенство ffctfo, ь, № СпМЦ m№ctfof<,6) с постоянной Ф не зависящей от выбора пары (// J . Наименьшая из таких постоянных называется емкостным коэффициентом искажения квазиконформного гомеоморфизма с/

Это определение эквивалентно метрическому.

Если в неравенстве заменить/'-емкость на/^Р) -емкость прир мы получим емкостное определение квазиизометрических гомеоморфизмов/~93 ]. При любых р^/7 класс отображений получается один и тот же. Емкостные коэффициенты искажения KpfС/]щж разных не совпадают.

Теорема о плотности экстремальных функций (теорема 3) заставляет считать правдоподобным предположение: всякое отображение, для которого ёмкость квазиинвариант на, должно сохранять классы Ар [б)} 1л/р{б) . Этот факт верен и является сравнительно простым. Более интересно, что получающееся описание замен переменных, сохраняющих классы AftfAsJ^ Wp [(j) является полным. Перед формулировкой результата сделаем несколько замечаний.

Измеримую функцию L/: Аг будем называть положительной ), если С/fx) почти всюду и существует множество положительной меры, на котором /J . Отношение > задаёт в частичный порядок, превращающий эти пространства в К -линеалы. Если отображение I/ области б в область б таково, что для любой функции суперпозиция то с отображением ассоциирован оператор ^ ¥ , строящийся по правилу = . Этот оператор сохраняет порядок в Поэтому естественным языком для описания классов отображений^ сохраняющих полуупорядоченные пространства (К- линеалы)^ является язык операторов, сохраняющих порядок. ^ ^

Определение. Изоморфизм А^/^/векторных пространств Apf(jf) и Ар [б J назовем структурным изоморфизмом, если выполнены следующие условия:

I) /

2) Cf*(?/J >0 тогда и только тогда, когда- V >А7 •

Определение. Структурный изоморфизм назовем О - непрерывным, если lf*(Vm) о почти всюду в области б тогда и только тогда, когда V/r? почти всюду в области б .

ТЕОРЕМА. 5 (2.4 гл. 2). Пусть f*:L* —* , , Р rliplCr), р&К. структурный изоморфизм (о- непрерывный при ). Тогда существует единственный квазиизометрический при р > п и квазиконформный при р = п гомеоморфизм у: 0- Rn такой, что для всех V- €. Lp (Сг) и области Сг' и ip(6r) Ы,р) - эквивалентны.

Обратно, всякий квазиизометрический (при р> п ) и квазиконформный (при р = п. ) гомеоморфизм индуцирует линейный ограниченный оператор у *: Lp (&') Lp(6-) по правилу & = г* о <f .

Замечание. При рФн теорема сохраняет силу для пространств Wp . При р - п прямое утверждение сохраняет силу, обратное верно при условии, что в каждой из областей

Теорема 5 получена совместно с С.К.Водопьяновым £l6j,[l8j.

При р<п теорему удается доказать только при предварительном требовании непрерывности отображения у? , индуцирующего оператор у * .

Основную трудность представляет доказательство непрерывности, восстановленного по оператору у* отображения.В связи с этим потребовалось построить аналог степени отображения для разрывных отображений класса L п » доказать для них теорему о замене переменной в интеграле и получить достаточные условия непрерывности. Все только что перечисленные результаты вошли в первый параграф второй главы. Доказательство теоремы о структурном изоморфизме представляет собой содержание второго параграфа. Отметим, что близкие вопросы с привлечением техники банаховых алгебр изучались для алгебр Ройдена в работах М.Накаи [106*] и ЛС.Льюиса [юг] .

Алгебра Ройдена - это совокупность ограниченных непрерывных функций . Алгебраические операции в - обычное сложение и умножение функций.Алгебра A^of/j) рассматривается с нормой

1ШИнр(й) - )

Алгебраическая изоморфность алгебр (у - области евклидова пространства) влечет существование квазиконформного при р - Г) и квазиизометрического при < р < П гомеоморфизма Для Р; О -2 этот результат принадлежит М.Накаи/" 106J на случай /<Р^ /7 Л? 2он обобщен Л.С.Льюисом. Случай не поддается исследованию методом работ [ 106/, [ 102 7 , так как алгебра ffjoftrJnри не позволяет отличать внутренние точки области Р от граничных (в ком-пактификации). Простейший пример - шар и шар с выколотым центром, на которых алгебры при Р -> /? совпадают.

Для случая р ?/7 результат (указанный выше) следует из теоремы о структурном изоморфизме при следующем уточнении: области S и 4^2"Уне обязаны сошадать, а должны быть )Р)- эквивалентны.

Теорема о структурном изоморфизме позволяет определить

I / классы функций И/р}еос на произвольном липшицевом многообразии. Более того она утверждает, что на более широком классе многообразий пространства Й//? определены быть не могут. Естественно, что любые классы функций инвариантные при липшицевых изоморфизмах (квазиизометриях), могут быть определены на липшицевых многообразиях. Такими классами являются, например, классы при

В третьем и четвертом параграфах второй главы строятся KjiaGOK дифференциальных форм, инвариантные при квазиизометрических отображениях и совпадающие для форм степени ноль с пространствами Соболева Wp на липшицевых многообразиях. Побудительным мотивом для такого построения явилась теорема СулЛивана о существовании единственной липши-цевой структуры на топологическом многообразии (размерности ПФ4- ). jL

Рассматриваемые классы Wpq, P^J fy образованы формами, коэффициенты которых принадлежат пространству bp а коэффициенты дифференциала - пространству jLq, . При класс Wpq, совпадает с классом бемольных форм Уитни/ 78У. Инвариантность классов Wpq, относительно липшицевых замен координат позволяет определить классы И/р^ на произвольном липшицевом многообразии. Когомо-логии дифференциального комплекса (/W/p)pj с/ J на многообразии М канонически изоморфны когомологиям многообразия М с вещественными коэффициентами (аналог теоремы де Р&ма) (теоремы 5.4, 5.4* гл. 2).

Справедливо неравенство, дапцее оценку интеграла формы по симплексу через объем этого симплекса и норму формы в h/p ^ (пункт 4.1 гл. 2). Это неравенство, продолжающее на случай дифференциальных форм известное неравенство Соболева для функций, позволяет построить теорию интегрирования форм из при больших р и ^ . При этом аналогом теоремы вложения Соболева оказывается утверждение о непрерывной зависимости интеграла от области интегрирования.

Гладкие дифференциальные формы образуют плотное множество в при. Взли Се)£\лАр^М в£1А/ъ% то COAeeWtp , где ^ - fo * % v/mxWfi f//i &' ft j чи «к* /aJAS/i у^СШдъх i/ffh.i и 'd^&j^c/oJA&Sf-V^AGfe теорема 3.// г/7. 2.).

Определение. Липшицево отображение If: М-* У , V^tf™ называется ^ -отображением, если для любого открытого Аа ^ где постоянная С не зависит от выбора множества Д

Пусть - произвольное липшицево отображение К - мерного симплекса / в область Допустим, что отображение 7 может быть продолжено до некоторого ■€ - отображения какой-нибудь окрестности симплекса Т . Тог ^ v да при О у/Т) + -г, £ ?/7? определен интеграл f-fOJ Этот интеграл не зависит от выбора продолжения/ г. Положим f -т

Непрерывность интеграла ^СО по 0J и ^ установлена в следующей теореме: . j

ТЕОРЖА 6 (4.6 гл. 2). Цусть/У - компактное/f -мерное ориентированное липшицево многообразие, /1/-/1 -мерное липшицево многообразие, j-.' Нх/?^ А/ - липшицево отображение, /f - компакт в ft . Тогда прирр/7^/7)-^/ Q выполнены следующие утверждения: а) для каждой формы cj> е. (А/) непрерывна по -t е К ™ (*) ~ f в) линейный оператор ^^ определенный равенством р^^оь (W) функция /*> fw j непрерывен.

При к ~ О утверждение в) представляет собой один из вариантов теоремы вложения Соболева.

ТЕОРЕМА. СТОКСА (4.9 гл. 2). Пусть М компактное (к+i) -мерное ориентированное лишпицево многообразие, ЭМ -его край, N п - мерное лишпицево многообразие, ^ М — - лшшшцево отображение, рт> п + 2. , > п-+ Л }

Сохраняет силу для этого класса форм и теорема о замене переменной (теорема 5.8 гл. 2).

Каждый элемент h к - мерной группы сингулярных гомологии ю - мерного липшицева многообразия М может быть задан сингулярным циклом z , все симплексы которого лип-шицевы. По теореме де-Рама каждой замкнутой дифференциальной форме и е вас соответствует элемент группы когомологий 3 . Для p>n-*-d справедливо равенство jсо = < C^lj h > z

Результаты о дифференциальных формах получены совместно 'с В.И.Кузьминовым, И.А.Шведовым [2д] , [30~] ). К е ^р,%>,е<>с . Тогда

ИдИ *

4. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ ГЛАВЫ 3

Приведем кратко основные этапы изучения вопроса о продолжении функций классов Соболева и классов Никольского-Бесова через границу области определения.

Для областей с достаточно гладкой границей теорема о продолжении установлена В.М.Бабичем/"3/и CiM.Никольским /"55-56] , для областей удовлетворяющих сильному условию ' конуса в работах А.П.Калвдерона /88/ , О.В.Бесова [5, 6/, О.В.Бесова и В.П.Ильина/ l] , для областей класса l*ipf-В.Й.Буренкова/14, 15] . УходЙ немного в сторону от пространств Соболева, напомним, что в работе Ю.Д.Бураго и В.Г. Мазьи tol , в которой были получены необходимые и достаточные условия продолжения для функций класса в У- , эти условия сформулированы в терминах изопериметрического неравенства. Широкий клас£ областей, для которых верна теорема о продолжении изучен П.А.Шварцманом/80, 81/и П. Джонсом/100К подробному описанию этого класса мы вернемся позднее.

Первоначальная идея продолжения, использующая теорему о структурном изоморфизме была очень проста: пусть F -+-/?П квазиконформный гомеоморфизм, & - какая-нибудь стандартная область в /? , например, шар. Построим оператор продолжения & следуя диаграмме

Здесь rjry структурные изоморфизмы пространств функций, индуцированные квазиконформными отображениями If и tf ^ 8 - любой из известных операторов продолжения.

Для пространств Lp(\Vp ) можно использовать квазиизомет , рии. Возникает класс областей более широкий, чем Lipf Это области, границами которых являются, соответственно, квазиконформные и яипшицевы многообразия. Однако, даже в плоскости при Р?2 , мы не получаем необходимых и достаточных условий продолжения. Примеры квазиконформных кривых, локально нигде не спрямляемых^ /9/ показывают, что необходимые и достаточные условия продолжения должны носить геометрический или может быть ёмкостной характер.

Условие с диаметром дуги. Область б^/Р удовлетворяет условию с диаметром дуги, если для каждой пары точек выполнено неравенство постоянной С не зависящей от выбора пары

Здесь это минимум диаметров гладких кривых, соединяющих точки X ж У ъб- .

Открытое множество б удовлетворяет двустороннему условию с диаметром дуги, если оно само и каждая связная компонента множества Unt(Ф? \6j~ б удовлетворяют условию с диаметром дуги.

Пусть плоская ограниченная односвязная область б , границей которой является жорданова кривая У , удовлетворяет двустороннему условию с диаметром дуги. Тогда граница области является квазиокружностью, т.е. образом окружности-при квазиконформном отображении плоскости на себя.

Если область 6^fP удовлетворяет двустороннему условию с диаметром дуги, то д6\ дв* имеет топологическую размерность не выше, чем Л-2

Пример шара QfO, /Jc/p с выкинутым отрезком на оси иксов показывает, что топологическая размерность П-2 Для dtjAdtj в области, удовлетворяющей двустороннему условию с диаметром дуги, реализуется.

Более того, если выкинуть из шара любое относительно замкнутое множество размерности П-2 , то полученная область удовлетворяет двустороннему условию с диаметром дуги. Это легко следует из того, что П-2 - мерное множество не разбивает никакой шар на две овязные компоненты.

Необходимые условия продолжения легко формулируются на языке ёмкости.

ТЕОРЕМА. 7 (2.1 гл. 3). Пусть & область в №, P((jj /^Р^/полунормированные пространства функций. Если существует ограниченный оператор продолжения то для всякой пары замкнутых множеств справедливо неравенство

Саръ (Fa, F{) О).

Это ёмкостное условие приводит в ряде случаев к условию с диаметром дуги. Во втором параграфе сформулированы условия на полунормированные пространства и поведение связанной с ними ёмкости, при которых условие с диаметром дуги является необходимым условием продолжения. Приведем следствия этого результата для пространств Соболева.

ТВОЕШк 8 (2.8 гл. 3, 3.1 гл. 3). Пусть О" - область в R . Если существует оператор продолжения при , то область^ удовлетворяет условию с диаметром дуги. ^

Теорема сохраняет силу для пространств Wj при fp ЪЛ ? если область & ограничена. ТЕОРМА. 9 (2.12 гл. 3). Пусть б. область в /? , для которой существует ограниченный оператор продолжения

B'.Wflfa}— w/(/?nJ при

Тогда для любых двух точек %} \Х о справедливо неравенство damfwO)* А(Яо)\*-У где постоянная Ж) зависит только от /7, ™

Вид вычислен

Afa)=(,'H8\\(l+P-Ro р-П

Где постоянные А, р не зависят от Яо »

В плоских областях получены необходимые условия продолжения для всего спектра пространств Соболева. ^ ТЕ0РША 10 (3.4 гл. 3). Пусть 6" - область в ft . Предположим, что существует оператор продолжения в4(й)-4(*% *****

Тогда каждая связная компонента множества удовлетворяет условию с диаметром дуги.

Qtjn-t-[fi\<r)

Заметим, что при замыкания связных компонент множества (f не пересекаются и среди них есть только одна неограниченная связная компонента. Теорема верна для пространствWpf&)} в ограниченных областях.

ТЕОРША. // (3.8 гл. 3). Цусть для области существуют два ограниченных оператора продолжения /

Тогда: I) граница /7 ^ любой связной компоненты W; множества G - /? является квазиокружностью или квазипрямой ^, если П - неограничена; ^

2) при этом кривые /7 не пересекаются меаду собой в ft

3) в области (г - /? множество является нигде не связным, А) О" - локально связна в && .

Замечание. В случае s 2 теорема верна при предположении о существовании только одного оператора продолжения. g

Для пространств w верен близкий результат. ТЕ0РБМА // (3.12 гл. 3). Пусть для области &сп существуют два оператора продолжения

•^т.е. образом прямой при квазиконформном отображении плоскости на себя. и

Тогда: I) границы /i dWi связных компонент множества (l =/? \б =UU/i попарно не пересекаются ъ ft и каждая из них является квазиокружностью или квазипрямой (для неограниченных компонент П ); 2) для границ // и Fj различных неограниченных связных компонент к/; и Wj имеет место неравенство f(n nB(Os Ro)t rj[}B(Oi Ц? £

Зцесь M - постоянная,зависящая от//0l//)//@iH)£JP & J 3) в области множество нигде не связно. ^

Теорема верна для пространств в ограниченных областях.

В последнем параграфе третьей главы приводится метод продолжения для конечносвязных плоских областей, основанный на теореме о структурном изоморфизме и результатах о строении квазиокружностей и квазипрямых /l ].

Сравнивая эти результаты с необходимыми условиями продолжения мы получаем в ряде случаев необходимые и достаточные условия (при / ).

ТЕОРЕМА. /'2 (5.3 гл. 3). Для того, чтобы существовали ограниченные операторы продолжения b :La ft?) % * ^ из ограниченной конечносвязной области & необходимо и достаточно, чтобы область удовлетворяла двустороннему условию с диаметром дуги.

При р - 2 достаточно существования одного оператора продолжения, чтобы теорема была верна.

Из работы П.А.Шварцмана (/ 81/, фактически доказано в/80/ ), в которой получены достаточные условия продолжения при произвольном £ , следует что теорема верна не толь/ / / / ко для - Lp , но и для Lp в той же формулировке. При

- / рассматриваемый в работе метод продолжения обладает тем достоинством, что с его помощью легко получаются сравнительно точные оценки нормы оператора продолжения. Заметим также, что полученные в работе П.А.Шварцмана достаточные условия не совпадают в пространстве с условием с диаметром дуги. При р / 2 В.Г.Мазья построил пример [ 52 ], показывающий, что двустороннее условие с диаметром дуги не является необходимым, если хотя бы один из операторов &/ и й не существует.

Теорема 12 сохраняет силу для пространств WrfG) точно в той же формулировке.

В этом случае достаточные условия при ^~ / ( для ), а при f< / для Bptp получены методом квазиконформных отображений (так же как и для ). При произвольном 6 следуют из уже цитированной работы П.А.Швар-щана или из работы П.Джонса /"Ю0/ для U//((г).

Приведем вариант теоремы для и/jo

ТЕОРЕМА 12' (5.4 гл. 3). Для того, чтобы существовали ограниченные операторы продолжения из ограниченной конечноевязкой области и необходимо и достаточно, чтобы область 6 удовлетворяла двустороннему условию с диаметром дуги.

В заключение автор пользуется случаем выразить свою глубокую признательность академику С.Л.Соболеву и члену-корреспонденту АН СССР Ю.Г.Решетняку, на протяжении многих лет проявлявших интерес к работе автора и оказавших значительное влияние на выбор рассмотренных в диссертации вопросов, а также за ряд ценных советов и замечаний.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Мы будем использовать следующие стандартные обозначения: ft - множество вещественных чисел, А/ - множество натуральных чисел, Ф - пустое множество, ft - П - мерное векторное пространство, X = '-J") - вектор в р п , < X, У> - скалярное произведение двух векторов X, У£ЯП /Х/-(< X, X >1 ^ - Диана вектора X £"

Пусть X произвольное множество, А - его подмножество. Тогда 1а - индикатор (в иной терминологии характеристическая функция) множества А , т.е. функция равная нулю во всех точках множества А и равная единице во всех точках множества А

В метрическом пространстве (Afl через А) обозначим расстояние от точки X до множества А , через

В) - расстояние между множествами А, через diarn(A) - диаметр множества А . Напомним, что diom(A I = уеА f(*> У) - Множество

AflZ р(Х А)</)} будем называть ^ - окрестностью множества А .

Для произвольногоподмножества А топологического пространства X символ А означает замыкание А} I/lt А множество внутренних точек А}дА - границу множества А » связное открытое множество U<zX. называется областью. Замкнутое множество/l С X называется замкнутой областью, если Int А - область и IntA - А . Юли замкнутая область И представляет собой компактное множество, то мы будем говорить, что А - компактная область.

Для ое/? П символами B(ot г J , В(о,7 J t обозначены соответственно шар, замкнутый шар и сфера радиуса Z с центром в точке Q .

Для произвольного измеримого множества А^/Р символ J^n означает его Л - мерную меру Лебега.

Пустьp&f j А А - измеримое множество в Символом LpfA J обозначается совокупность всех измеримых вещственных функций f(X) , определенных почти всщцу на А и таких, что А

Для feLp(A) полагаем: п

Пусть AJ произвольное открытое множество в АР ^% *f:U~*-/fi измеримая функция, определенная в AJ почти вскду. Тогда мы будем говорить, что 7* локально интегрируема в AJ в степени * , если ^ интегрируема в степени р на всяком компактном множестве А ^ AJ . Совокупность всех функций, локально интегрируемых ъ AJ в степени р будем обозначать через Lfi У) или, просто . Символом toc(U)) будем обозначать множество неотрицательных функциикласса

Две величины А ж О называются эквивалентными если существуют такие постоянные Ог& Звездочкой ж будем обозначать свертку обобщенных функций, a U

- преобразование Фурье обобщенной функции а .

Пусть X топологическое пространство. Предположим, что дана функция /-'X /7? , Пусть £ '(l*) множество всех /бГХ , для которых ^{Kj-О . Замыкание множества $ '(Р) обозначается через ^L/ppf'f J и называется носителем функции . Функция V/ X называется финитной, если ее носитель компактен.

Пусть . Мы будем говорить, что функция финитна в А , если финитна как функция, определенная на топологическом пространстве А . Предполагается, что А наделено топологией, индуцированной из /? *

Пусть дана функция -/■' , где Ас f?}

Функция СО: [O^J , называется модулем непрерывности J на множестве А , если U? есть неубывающая функция, при t-+0 и для любых /Г/ Xz€А выполняется неравенство ifoii-MiMvu**-**/)

Если функция А имеет модуль непрерывности

JftJxC'i* , где C-COn3ti , то говорят, что удовлетворяет условию Гёльдера с показателем и постоянной (в случае

- условию Липшица с постоянной С ).

Если у всякой точки К^А существует окрестность С/ в ^^такая, что ограничение ^ на множестве С/ПА удовлетворяет условию Гёльдера с показателем Л , то говорят, что локально удовлетворяет на А условию Гёльдера с показателем oL (условию Липшица в случае ^ * ^ ). Если множество

Ас/?" компактно и т локально удовлетворяет на А условию Гёльдера с показателем ^ , то-т^ удовлетворяет на множестве А условию Гёлъдера с показателем oi в целом.

Пусть Uс~ открытое множество и К - целое число. Символом будем обозначать совокупность всех функций ^'U-*/? , каждая из которых имеет в ^ все частные производные порядка ft , причем эти производные в Ь/ непрерывны. Совокупность всех финитных в 1>/ функций будем обозначать через Cefts)

Будем говорить, что функция fee ~{i/J ('feCo'fL/)) » если / (соответственно, feCo^J * для всех К * О,

Совокупность всех непрерывных функций (непрерывных финитных функций) обозначается через cfu] (соответственно, Cofu) ). Через будем обозначать совокупность всех функций из (соответственно, из Со (и)), каждая из которых локально удовлетворяет в U условию Гёльдера.

Далее/? - мерным мультииндексом называется вектор в ff^ координаты которого есть неотрицательные целые числа. Для мультииндекса с( 1 - ; с^п) полагаем

Ml ■ <>• ,

Если X~ fto, Xt,., W произвольный вектор в то полагаем / = * Xz \ ,, Хп П ■ ^ этой записи уславливаются выражение если оно возникает, считать равным/). Наконец, символом О и обозначается частная производная

0 С/

Пусть даны мультииндексы oil.,, } ft "' fa) ^ ^ем писать» если cti^ при каждом с ~ " • , О *

Пусть i/^ft открытое множество и Продолжим функцию ¥ на все . полагая при . Нетрудно видеть, что построенное продолжение есть функция класса сЖ) Поэтому в дальнейшем, рассматривая функции классов (&)■)№& всегда будем предпЛ полагать их определенными на всем пространстве /т ^ считая их равными нулю вне U .

Пусть А произвольное множество в ft ^. Тогда мы будем говорить, что функция : А /? принадлежит классу С* если существуют открытое множество L/ЭА и функция принадлежащая классу Сетевая, что

ТФ в ^ВД0® точке X множества А . Для произвольной непрерывной функции где Ac fi мы полагаем mnc(Arifj/(*)i.

Рассмотрим локально-интегрируемую функцию U заданную в области К"^" /? 77 . Локально-интегрируемая функция 2f , заданная в той же области;называется обобщенной частной производной порядка <^2, . ■ .^функции U , если для всякой функции ({/) справедливо равенство f UD^dx =/-/) jwdx я о

Будем обозначать обобщенную производную V тем же символом D U % не делая различия в обозначениях между обычными и обобщенными цроизводными. Будем также использовать обозначение VgU - градиент г/-го порядка функции LL Как обычно VgU представляет собой вектор, координатами которого являются все частные производные порядка ^ функции U.

Локально-суммируемая в области Uc fi функция 7 принадлежит пространству £р(У), если она имеет обобщенные производные порядка £ , суммируемые^ в степени Р . Пространство Z^o/^/ рассматривается с полунормой где Ч^Ц - градиент порядка ^ функции /У.

Функция С/) {U - область в /? ) принадлежит пространству Ур(с/), если она имеет обобщенные производные до порядка вюгочительно, суммируемые в степени/? . Пространство банахово относительно нормы е

Wi

Очевидно, что для любой области U .

Разбиение единицы. Последовательность функций определенных в области L/^P, называется разбиением единицы, если ^ .

1) при всех /77

2) у всякой точки )(£L/ существует окрестность, в которой отличны от нуля лишь конечное число функций из последо; вательности {^/r?}

3) 2 при всех К^^

77-V

Разбиение единицы[УтJ подчинено открытому покрытию/ множества

Ucfi" , если для всякого /V существует )) такое, что

Хорошо известно, что для всякого открытого локально конечного покрытия существует подчиненное ему разбиение единицы.

1. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. -М.: Мир, 1969. - 132 с.

2. Асеев В.В., Сычев А.В. О множествах, устранимых для пространственных квазиконформных отображений. Сиб. матем. журн., 1974, т. 5, JS 6, с. I2I3-I227.

3. Бабич В.М. К вопросу о распространении функций. Успехи матем. наук, 1953, т. 8, Ш 2', с. III-II3.

4. Бесов О.В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения. Тр.Мат.ин-та АН СССР, 1961, т.60, с.42-81.

5. Бесов О.В. Продолжение функций из пространств ^/? и Wp . Труды матем.ин-та АН СССР, 1967, т.89, с. 517.

6. Бесов О.В. 0 коэрцитивности в неизотропном пространстве С.Л.Соболева. Мат.сб., 1967, т.73, $ 4,с.585-599.

7. Бесов О.В., Ильин В.П. Расширение класса областей в теоремах вложения. Матем.сб., 1968, т.75, № 3, с.483-595.

8. Бесов О.В.,,Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975, - 480 с.

9. Бураго Ю.Д., Мазья В.Г. Некоторые вопросы теории потенциала и теории функций для областей с нерегулярными границами. Записки научных семинаров ЛОМИ, 1967, № 3, с. 1-67.

10. Буренков В.И. Об одном способе продолжения дифференцируемых функций;. Труды матем.ин-та АН СССР, 1976,

11. Буренков В.И. О продолжении функций с сохранением полунормы. Докл. АН СССР, т.228, №4, с.779 - 782.

12. Водопьянов С.К., Голвдштейн В.М. Структурные изоморфизмы пространств W/ и квазиконформные отображения. -Сиб.матем. журн., 1975, т.17, М, с. 768-773.

13. Водопьянов С.К., Гольдштейн. В.М. Функциональные характеристики квазиизометрических отображений. Сиб.матем. журн. , 1976, т. 17, В 4, с. 768-773.

14. Водопьянов С.К., Гольдштейн В.М.-Критерий устранимости множеств для пространств Wp , квазиконформных и ква-зииэопетрических отображений. Сиб.матем.журн., 1977', т. 18, В I, с. 48-68.

15. Водопьянов С.К., Гольдштейн В.М. Квазиконформные отображения и пространства функций с первыми обобщенными производными. Сиб.матем.журн., 1967,т.17, Ж3,с.515-531.

16. Водопьянов С.К., Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. 0 геометрических свойствах функций с первыми обобщенными производными. Успехи матем.наук, 1979, т.34, № I,с. 17-62.

17. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961. - 348 с.

18. Годеман Р. Алгебраическая тополбгия и теория пучков. М.: 1961, ИЛ. - 319 с.

19. Гольдштейн В.М. Критерий продолжения функций одного мз классов Бесова для плоских областей Докл. АН СССР, 1979, т. 247, lb I, с. 18-22. ^

20. Гольдштейн В.М. Продолжение функций классов через квазиконформные границы. В кн.: Теория кубатур-ных формул и приложения функционального анализа к задачам математической физики, Новосибирск, 1979, с. 1232.

21. Гольдштейн В.М. Продолжение дифференцируемых функций с сохранением класса из плоских областей. Докл. АН СССР, 1981, т. 257, £ 2, с. 451-454.

22. Гольдштейн В.М. Необходимые условия продолжения функций классов Соболева. В кн.: Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к задачам мат. физики. Новосибирск, 1981, с. 34-48.

23. Гольдштейн В.М. Емкость и продолжение функций-с обобщенными производными. Сиб.матем.журн., 1982, т.23, № I, с.

24. Гольдштейн В.М. Продолжение функций и отображения, сохраняющие классы функций. В кн.: Теория кубатурных формул и вычислительная математика, Новосибирск, 1980, с. 149-152.

25. Гольдштейн В.М., Кузьминов В.И., Шведов И.А., Дифференциальные формы на липшицевом многообразии. Сиб. матем.журн., 1982, т. 23, № 2, с 1982, с. 16-30.

26. Гольдштейн В.М., Кузьминов В.И., Шведов И.А. Об ин^тегрировании дифференциальных форм классов И^^ . -Сиб.матем.ж., 1982, т. 23, В 5, с. 63-79.

27. Гольдштейн В.М. Continuation of differentiable functions, capacity and quasiconformal mapping. Conference on analytic functions. Blazejjewko, August 1927, 1982. Abstract, Lodz, University of Lodz, 1982, p.16-17.

28. Гольдштейн В.М. Sobolev spaces and geometric classes of mappings, ICM, Warszawa, 1982. Short communication (abstract), VTI, Section 9s Real and functional analysis, Part 2, 1983, p.7.

29. Гольдштейн В.М. Теоремы вложения, продолжения и ёмкость. Новосибирск, НГУ, 1982. - 82 с.

30. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. М.: Наука, 1983, - 284 с.

31. Ильин В.П. Некоторые неравенства в функциональных пространствах и их применение к исследованию сходимости вариационных процессов. Труды матем.ин-та АН СССР, 1953, т. 53, с. 64-127.

32. Ильин В.П., Солонников В.А. 0 некоторых свойствах дифференцируемых функций многих переменных. Труды мат ем. ин-та АН СССР, 1962, т. 66, с. 205-226.

33. Ильин В.П. Свойства некоторых классов дифференцируемых функций многих переменных, заданных в п .- мерной области. Труды матем. ин-та АН СССР, 1962,т.66, с.227

34. Ильин В.П. Интегральные представления дифференцируемых функций и их применение к вопросам продолжения функций из W^ . Сиб.матем.журн., 1970, т. II,В 2, с. 573-586.

35. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.-М.-.Наука, 1977. 742 с.

36. Кудрявцев Л.Д. Прямые и обратные теоремы вложения. -Приложения к решению вариационным методам эллиптичес-их уравнений/ Труды Матем.ин-та АН СССР, 1959,т.55, с. I-I8I.

37. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1967. - 496 с.

38. Куратовский К. Топология, т. I.- М.:Мир, 1966.-954 с.

39. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.:Наука,1964. - 576 с.

40. Лизоркин П.И. Характеристика граничных значений функций из 1лр(рП) на гиперплоскостях. Докл.АН СССР, 1963, т. 150, № 5, с. 984-986.

41. Мазья В.Г. Полигармоническая ёмкость в теории первой краевой задачи. Сиб.матем.журн., 1965, т.6, № I, с. 127-148.

42. Мазья В.Г. 0 непрерывности в граничной точке решений квазилинейных эллиптических уравнений. Вестн. ЛГУ, сер.матем., мех.,астр. 1970,т.13, вып. 3, с. 42-55.

43. Мазья В.Г., Хавин В.П. Нелинейный аналог ньютоновского потенциала и метрические свойства^-ёмкости.-Докл. АН СССР, 1970, т.194, $ 4, с. 770-773.

44. Мазья В.Г. Классы множеств и мер, связанные с теоремами вложения. В кн.: Теоремы вложения и их приложения. М.:Наука, 1970, с. 73-77.

45. Мазья В.Г., Хавин В.П. Нелинейная теория потенциала.-Успехи матем. наук, 1972, т.27, № 6, с.66-138.

46. Мазья В.Г. Einbettungssatze fur Sobolewsche Raume. Teil 1.6 Teubner Texte zur Math.,Leipzig, 1979.196S.

47. Мазья В.Г. Einbettungssatze fur Sobolewsche Raume. Teilll.-Teubner-Texte zur Math.,Leipzig,1980.- 220 S.

48. Мазья В.Г. 0 продолжении функций из пространств Соболева.- Записки научных семинаров ЛОМИ, 198I, №1,с.231-236.

49. Миклюков В.М. Об устранимых особенностях квазиконформных отображений в пространстве. Докл. АН СССР, 1969, т. 188, Ш 3, с. 525-527.

50. Мостов Г.Д. Квазиконформные отображения и жесткость гиперболических пространственных форм. Сб.пер. "Математика", 1972, T.I6, № 5, с.105-157.

51. Никольский С.М. К вопросу о решении полигармонического уравнения вариационным методам. ДАН СССР, 1953,т.88, № 3, с. 409-411.

52. Никольский С.М. О продолжении функций многих переменных с сохранением дифференциальных свойств. Мат.сб., 1956, т.40, с. 244-268.

53. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М. :Наука, 1976. -180 с.58. де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. М.: ИЛ., 1956. - 478 с.

54. Неваннлинна Р. Однозначные аналитические функции. -М.: ГТТИ, 1947. 388 с.

55. Решетняк Ю.Г. Некоторые геометрические свойства функций и отображений с обобщенными производными. Сиб. матем.журн., 1966, т.7, №4, с. 886-919.

56. Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Сиб.матем.журн., 1967, т.8, № 3, с. 629-658.

57. Решетняк Ю.Г. Обобщенные производные и дифференцируе-мость почти всюду. Матем. сб., 1968, т.75, с.323-334.

58. Решетняк Ю.Г. Оценки для некоторых дифференциальных операторов с конечномерным ядром. Сиб.матем.журн., 1970, т. II, В 2, с. 414-428.

59. Решетняк Ю.Г. Об оценке устойчивости в теореме Лиувил-ля о конформных отображениях многомерных пространств. Сиб.матем.журн., 1970, т.II, № 5, с. II2I-II39. .

60. Решетняк Ю.Г. Некоторые интегральные представления дифференцируемых функций. Сиб.матем.журн., 1971, т.12, № 2, с. 420-432.

61. Решетняк Ю.Г. О понятии емкости в теории функций с обобщенными производными. Сиб.матем.журн., 1969, т. 10, $5, с. II09-II38.

62. Решетняк Ю.Г. Устойчивость в теореме Лиувилля о конформных отображениях для областей с негладкой границей. Сиб.матем.журн., 1976, т.17, № 2, с. 361-369.

63. Решетняк Ю.Г. Интегральные представления дифференцируемых функций в областях.с негладкой границей. -Сиб. матем. журн., 1980, т. 21, №6, с. I08-II6.

64. Степанов В.В. Sur les condition de 1,'existence de la differentielle totale. Матем.сб., 1924, Т.30, С. 487-489.

65. Сакс Р.С. Теория интеграла. М. :ИЛ.Д949. - 494 с.

66. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973, - 342 с.

67. Соболев С.Л. 0 некоторых оценках, относящихся к семействам функций, имеющих производные, интегрируемые с квадратом. Докл. АН СССР, 1936, т.I,f7, с. 267-270.

68. Соболев С.Л. Об одной краевой задаче для полигармонических уравнений. Матем.сб., 1937, В 2,с. 465-499.

69. Соболев СД.06 одной теореме функционального анализа.- Матем.сб., 1938, т.4, №3, с. 471-497.

70. Соболев С.Л.Об одной теореме функционального анализа.- Докл. АН СССР, 1938, т. 20, с. 5-10.

71. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.:1950, Новосибирск, 1962. -Z 56 с.

72. Солнцев Ю.К. Об оценке смешанной производной в bpf&).- Труды матем. ин-та им. В.А.Стеклова, 1961,т.64, с. 221-238.

73. Уитни X. Геометрическая теория интегрирования. М.: ИЛ., I960, - 534 с.

74. Успенский С.В. 0 теоремах вложения для весовых классов.- Труды Матем. ин-та АН СССР, 1961, т.60, с.282-303.

75. Шварцман П.А. Теорема продолжения для одного класса пространств, определяемых локальными приближениями.-В кн.: Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль, 1978, № 2, с. 215-242.

76. Шварцман П.А. Локальные приближения функций и теоремы продолжения. Деп. в ВИНИТИ 1983, № 2025-83 Деп.30 с.

77. Ahlfors L., Beurling A, Conformal invariants and function theoretic null-sets. Acta Math., 1950, v.83,p. 100-129.

78. Aronszajn H., Smith К. T., Theory of Bessel potentials, Part I. Ann. de 1'Inst.Fourier, 1961, v.11, p.385-475

79. Aronszajn П., Puad Mulla, Szeptycki P., On spaces of potentials connected with T? classes. Ann, de l'Inst, Fourier, 1963, v.13, p.211-306.

80. Calderon A.P. On the differentiability of absolutely continuous functions. Riv.mat.Univ.Parma, 1951, Ho 2, p.203-213.

81. Calderon A.P., Zygmund A. Local properties of solution of elliptic partial differential equations. Studia Math., 1961, v.20, p.171-225.

82. Calderon A.P., Zygmund A. On the differentiality of functions which are bounded variation in Tonelli's sense. Rev.Univ.mat.Argentina, 1962, ITo 20, p.102-121.

83. Calderon A,P. Lebesgue space of differentiable function, Conf, on Partial Differential Equations. Univ. California, 1966, p,14-18.

84. Calderon C.P., Lewis J.E. On the differentiability of functions of several real variables. Illinois J. Math., 1976, v.20, Ho 3, p.532-542.

85. Deny J., Lions T.L. Les espaces du type de Beppo Levi.-Ann.Inst.Fourier, 1955, Ho 5, p.305-370.

86. Fleming W.H. Functions with generalized gradient and generalized surfaces. Ann.di Matem.pura ed appl., 1957, t.44, c.93-104.

87. Hedberg Ъ. 3), Removable singularities and condenser capacities. Arlciv math., 1974, v. 12, Ho 1, p. 181-201.98, John F,, Rotation and strain, Coram.pure and appl. math,, 1961, Mo 4, p.391-414.

88. Meyers M,G, Л theory of capacities for potentials of functions in Lebesgue classes, Mat.Scand., 1970, v,26, p.255-292.

89. Meyers M.G. Continuity of Bessel potential. Israel J.Math,, 1972, v.11, p.271-282.106. bTakai M. Algebraic criterion on quasiconformal equivalence of Riemannian surfaces. Nagoya Math.J,, 1960, v.16, p.157-184.

90. Nirenberg L. Topics in nonlinear functional analysis. -Hew YorksHew York University, 1974. 250 p.

91. Rickman S. Characterization of quasiconformal arcs. -Ann.Acad,Sci.Fenn,, 1966, AI 395, p.1-12,

92. Tukia P., Vaisala J, Quasiconformal extension from dimension n to n+lJ Ann, of Math., 1982, v,115, Ho 2, p.331-348,

93. Vaisala J, 0?wo new characterizations for quasiconfor-mality. Ann.Acad.Sci.Fenn., Ser. A1, 1965, Ко 362, p.1-12.