Оценки погрешности приближенных решений уравнений первого рода в равномерной метрике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

0 ^ V.' РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи ХРОМОВА Галина Владимировна

ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА В РАВНОМЕРНОЙ МЕТРИКЕ

01.01.01 - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ЕКАТЕРИНБУРГ - 1998

Работа выполнена на кафедре математической физики и вычислительной математики механико-математического факультета Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В. В. Арестов

доктор физико-математических наук, профессор Ф.П.Васильев

доктор физико-математических наук, профессор А. П. Терехин

Ведущая организация: Научно-исследовательский

Вычислительный центр Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Защита состоится ■ 1998 года в 10 часов на заседании

диссертационного совета Д 002.07.02 при Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ГСП-384, ул. С. Ковалевской, 16, ИММ УрО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО

РАН.

Автореферат разослан 1998 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук М. Бадков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность ткяьг. Предмет исследовании. Теория аркйлижешшх методов некорректно посгаазенных задач ведет свое начало от известных г-îôot А. Н. Тихонова, M M. Лаврентьева, В. К. Иванова. Эта работы пссзузндн мощным толчком к бгрному разаетгпо этой теории, которая к ^зстсзяпгму времени при»г~.гш з достаточно стройную систему и наложена а многочисленных статьях н монографиях. Ограшзлимся гдесь указанием следующих авторов; A. JL Агеев, О. Ni. Алифанов. В. В. Арестов, А. 5. Бакупьгасхпй, Ф. П. Васильев, В. В. Васин. В. А. Винокуров, А. В. Гончарский, A. fL Гребешп'ков, А.. М. Денисса, А. С. Леонов, И. В. Мельникова, В. А. Морозов, В, Г. Романов, В. Н- Страхов, В. П. Танана. Ю. И. Худак, А. Г. Ягола. Т>. L. Fhiffips, J, N. Franklin. ..

Миогте некорректна поставленные задачи приводят s уравнению первого pas:

= (1) . ' где ->Х.), Л',,^, — банахова пространства, J~' существует,

по веогражчеа.

Пусть пара {и,/} удовлетворяет сравнению (I), но элемент / задан его ¿-чтрнбпкжентпш fs: |fs—f\ S «У. Ес-тн {Т-} (а>0 — параметр) —

жхоггорое семеГгстьо ограниченных операторов, определенных на. всем пространства X,. действующих m X. в Xt, к -экое, что —О

при с—>0, а а — а{5) выбрано так, что ¿нЗ^у;^ ^ пря то

семейство T^j,} будет давать метод иртадаженнош решения (или метод регу.тгркхшнн) уравяевнж ( 1X так как j T^Jbrs - и J _ -> 0 при S -> 0. Параметр я называется гирз-метром регулзридаини.

Неослабевающий интерес к уравнениям первого рода поддерживается их

приложениями в технике, физике, геофизике, астрофизике и других областях.

Одним из актуальных направлений теории уравнений первого рода является

теория оценок погрешности приближенных решений. В этой теории объектами

t

исследования являются величины:.

' = (2)

и

&(5,Ta,M) = supiTJs-u\\Xi: иеМ, (3)

где А/ - некоторый кла'сс из А',, на котором сходимость, ||Г0Ли-к|д, О

выполняется равномерно для всех и е M.

Величина Д(S,Tn,ïï) называется погрешностью метода Ta(S) в точке;

величина Ыо ,Та11),М) - погрешностью метода Та(1) на классе М.

Метод Tà{5) называется оптимальным на классе М, щспи для любого 5

тт^,м) = ы{тт,му. TeW},

где fil — множество всех операторов, действующих из Х2ь Хг

Метод Ti(5) будем называть оптимальным по порядку на классе М, если

существует константа К, независящая от S, что при Ù < <5 < выполняется

\

оценка:

Д М)< К inf {Д (¿>, Т, М): Те

При исследовании оценки погрешности того или иного метода возникает

естественный вопрос: какова величина порядка по 5 в этой оценке? Как

правило, при ответе на этот вопрос указывается величина порядка при оценке

сверху. Что касается величины оптимального порядка, то здесь для уравнений

1 рода результаты известны лишь в немногие случаях для гильбертовых

Z- 9 < Ю

пространств (А.Б. Бакушинский, В.А. Морозов, В.Н. Страхов), а в близкой к

рассматриваемой здесь задаче — задаче восстановления значений

неограниченного оператора — в частных случаях есть результаты и для банаховых пространств (В.В. Арестовав.Н. Габушин^

Вышеизложенное является основанием для вывода об актуальности темы данной работы.

Цель работы заключается в исследовании следующих вопросоа.

1) Получение оценок:

С,ф(д) < inf A(S, Та> М) < C2ip(S) (4)

а

где <р(5) — некоторые известные функции, такие, что <р{3) —> 0 при 6 —> 0, 8 С, > О, С2 > 0 не зависят от ¿>;

2) Указание конкретной зависимости а = а(3) такой, что для Д(<5, Ta{S), М) имеет место оценка (4) с той же функцией <р{д).

3) Выяснение вопроса об оптимальности метода Ta(ö>.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории уравнений первого рода, теории приближения функций , а также теории обыкновенных дифференциальных операторов. Именно, задача получения оценок для величины &(ö,TafS), М) увязывается с решением известной в теории приближений задачи Колмогорова-Никольского, а при решении последней задачи используется метод интегральных представлений. При исследовании метода регуляризации Тихонова для интегральных уравнений и изучении асимптотического поведения указанной величины использовались асимптотические методы теории дифференциальных уравнений. Вопрос об оптимальности порядков по <5, полученных в оценке (4), решался путём привлечения фактов из теории уравнений 1-го рода.

Научная новизна и практическая значимость. Основные результаты диссертации являются новыми.

1. Разработан метод получения оценок погрешности приближенного решения уравнения ff) С указанием величины порядка по 6 в случге, когда

А", = C^fa.b], Х- =1-,|а,Ь], },} = Ж\а,Ь)= {и еН^а.Ь]:;^ < i, riiî-Та> TDA —шггеградъныс операторы, ïr,r[a„è]— пространство Соболева,

2. Получены оценки погрешности ira классах огтшальпыг по -

L

порядку, в случаях, когда

а) А —оператор вложения «в 0''[е,63 в (уравнение 1-го рода с таким простейшим оператором, по-вкдимому. рассматршгаетсг впервые);

б) А — интегральный оператор, ялром которого является функция Грана линейного обыкновенного дифференциального опера гора;

в) Л — интегральный оператор с разрывным ка Д!Г^тонелн ядром.

При этом в случаях б) и в) исследуется метод регуляркзацш Тнхокогза; в случае а) — метод Тихонова, метод частных сумм рада Фурье н метод Sa<s), построенный на базе оператора Стеклова.

3. В случае, когда в уравнении (1) Л — оператор вдоженнн ш С*'* в (т.е. вдет речь о решен:;»' задача восстановлен!'^ функций, заданных с погрешностью), получены новые, методы pervaspiôaicïH на базе оператора Стеклова,

4. На основании нро'вд£шщх пссдедовангш подучено пр:пожешкГ г задаче прибл^екш непрерывных функций с помощью резольвент лущенных -дифференциальных операторов.

5. Найден метод и полнено решение обратной 1эд2*ш дяя дпкешшго

дифференциального урашешъ:, с оценкамг? погрешности, явззаояцашеа

• >

оптимальными îîu порядку на етзссах А/Т[й,/>].

6. Получены нэамг н:.тегральпи; преагтзвлсша функций га пространства Сбоодсаа, -в том 'шсх.с, уччгтыьзцощж £Ейжгс«шь2г isa î-uk краевые услоаиа.

7. В случае, когда Ка — интегральный оператор, ядро которого Ка(х,£) имеет непрерывные по х производные до г —1-го порядка включительно, получены формулы для величин

и е Mí[a,b]} (5)

ff>

(JCap— интегральные операторы, с ядрами р Ка (х,д), Ка й = К.я ),

выражающие тп: величины через указанные ядра

Теоретическая в практическая значимость. Работа носит

теоретический характер. Результаты её могут быть использованы в теории

уравнений 1-го рода, теории приближения функций, теории обратных задач

математической физики. Кроме того, результаты, полученные в работе,' в

частности, в задаче восстановления фу кций (оценки погрешности,

необходимые н достаточные условия согласования a = a(S), конкретные

формулы этого согласованна) могут найти непосредственное примените при ,

решении практических задач.

Апросапия работы. Результаты диссертации докладывались: на Саратовских зимних школах по теории функций и приближений (19Е2, ] 984, 1986, 1988, 1990, 1992, 1994, 1996). на Всесоюзном сем шире по некорректно поставленным задачам (Caparea, i 955), На Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики" (Алма-Ата, 1989), на -Меисдународной конференции "Некорректно пос - аБленные задачи в естественных науках" (Москва, - 1991), на конференциях "Обратные и некорректно поставленные задача" (Москва, 1995, 1996, 1998), на Всесоюзной школе со теории операторов в функциональных пространствах (Миасс, 1986), на Воронежских школах по теории функций (Воронеж, 1991, 1993), на Международной летней научной школе по теории функций (Миасс, 1998), на Международных конференциях ассоциации "Жешшпш-математики" (Москва, 1993, 1994, Воронеж. 1995, Волгоград, 1996, Ростоз-на-Дону, 1997), на научных конференциях Саратовского университета (1991, 1997), s Московском университете на семинаре д. ф.-м. н.,-проф. Ф. ГГ. Васильева, з Научно-исследовДтельском Вычислительном центре МГУ на семинаре д. ф.-м. н., проф.

В. А. Морозова, на семинаре по теории приближений д. ф.-м. н., проф. Ю. Субботина в ИММ УрО РАН (Екатеринбург, 1998).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура к объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 10 параграфов. Нумерация параграфов своя в каждой главе. Нумерация теорем и лемм в каждой главе - своя, двойная; первая цифра обозначает номер . параграфа, вторая - номер теоремы или леммы. В автореферате сохранена нумерация теорем и лемм, под которой они присутствуют в диссертации. Объем диссертации 237 страниц машинописного текста.

"Список литературы содержит 91 наименование.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность1 темы диссертации, дается постановка задач, приводится краткое описание содержания работы.

Из известной двусторонней оценки для величины, определенной в (3), получение оценок вида (4) .в рассматриваемом в работе случае сводится к задаче получения асимптотически точных значений или оценок, точных по порядку с, для величин &\р\Ка, Мгг) при Ка - ТаА и | Та ||^_>с-

В главе I рассматривается уравнение (1) с оператором вложения из

.С«"! а, Ь] в Ь2[а, Ь]. Задача решения этого уравнения с приближенно заданной

- ' Ч

правой частью есть известная некорректно поставленная задача

восстановления функций в метрике пространства С^'^в, по их б-

приблшкениям в пространстве Ь2[а, Ъ]. Общая постановка этой задачи дана В.

% ^ 11

А. Морозовым. Первый параграф посвящен методу регуляризации Тихонова, в

котором и(х) е Щг [0,1], Та = , * .

Теорема 1,2. Се/иейстео операторов Каимгет вид:

в г -а

где ах, Г,——1 — ядро резольвенты дифференциального оператора Ь, а'

порождённого диффгренгтальным выражением 1у =(—+ у и краевыми условиями: з'(4)(0)= 7<*'(1) = 0, к = г,...,2г-1, со значением спектрального

з 1

параметла Л =-.

а

Пусть теперь й(х) еЖЦ-к, л], й(к\-я) = г?к)(л), *=0„..,г-1, Л" -семейство операторов, соответствуюшее методу регуляризации Тихонова в данном случае. Тогда для этого семейства справедливо утверждение теоремы 1.2 с заменой отрезка .[0, 1] на [-.т, дифференииалъного оператора £ на дифференциальный оператор Ьп: ¿пу^ (у, у(к)(-х) = у11)(я% ¿ = 0.1,.., Ъ—1.

По аналогии с (2) рассмотрим величины ¿р)(8, й) = 5ир{ '¡/б-Ци_ 2 5}, р-0, 3, .... г — 1,

где Л" - интегральный оператор с ядром -—С(х, г,—-).

а дхр а

В §2 в качестве методов регуляризации для уравнения (1) -берутся линейные методы суммирования рядов Фурье

■т

-X

где , . '

Д" - числовые коэффициенты, ¡¿(.г) - функция, полученная путем» периодического продолжения функции ~-{х), х е[—;г, л-], на всю вещественную ось.

Теорема 2.3. Для того чтобы А(5,и<П1\17)->0 приЗ—> 0, необходимо и достаточно так согласовать п ~ п(о), чтобы

71

( MS) ' лК

v J

Приводятся конкретные частные случаи этой теоремы для операторов F„, г„. ('„ (частные суммы Фурье, Фейера, Валле-Пуссена, щггеграл Валле-Пуссена - соответственно).

Далее, известные оценки для приближения периодических функшш с помошью этих операторов используются для получения конкретных формул согласования п = п{5). Для й(х) еLipvfi, ¡7(r) eWrLip¥f3, 0 </> <1, приводятся соответствующие оценки погрешности этих методов в точке (теорема 2.2), а для классов LipMp в случае оператора F, и W'LipP б случае оператора S„ на'ссновании известных теорем С. М. Никольского? эти оценки являются точными по порядку 6.

В §3 строятся методы восстаноыення функций на базе оператора Стеклова. Известно, что с помощью этого оператора можно получить приближения к функции лишь во внутренних точках отрезка. В работе приводится следующий модифицированный оператор Стеклова дающий приближения к непрерывным функциям на всем отрезке:

| Ji-iM . J Md

— ~ при х <а[а,р а\,

а. . -ЮзЛ«, к

S.u*

— при i€[afa,6-a],

I l^JMS | b

— Jt/(i>ii + - J«(r■ яри *е[Ь-а,6].

2а Д-

Теорема 3.3. Имеет место двусторонняя оценка:

где «(¿)e(jL)\

Далее рассматриваются интегральные операторы Та1 с финитными

х+а

ядрами:Таки = ¡р^-хЖфт, <рь,($) = ак(?-аг)к, к = 0,1,...,

х-а ■

ак выбираются из условия нормировки ядра.

В этом случае считаем, что X, = СЕ[д,6]-пространство непрерывных сЬункций, принимающих постоянные значения на. отрезках [а, а-+ s], [b-e,b], s>a\ Х2- С[а, Ъ] либо L¿ [а, b]. Обозначим

¿=0,1 ,...,к,т!к=так, * =1,2,...

Теорема 3.4. Для того чтобы —>0 при ¿> —> 0 для

/ = 0,1,...Д необходимо и достаточно так согласовать acó, чтобы

->0 при <5->0,

I/, если X, = С[а, 6],

2i+l V Г Г 1.1 —^—,еслиХ2-Ь2[а,Ь].

Отметим, что согласование а=а{5) не зависит от к.

3

Проведено сравнение данных методов с методом В. В. Васина, предложенным им для решения задачи восстановления функций вместе с производными.

В §4 получено интегральное представление функций из пространства

(Ь \Уг

Соболева РР2г[а,Ь] с нормой: ЦнН^ ¡[и2(х) + (и(г>(х))2]^ и формулы для

Д\р\Ка,М'г). .

Теорема 4.1. Для■ любой функции и(х) е1У'[а,Ь] имеет место интегральное представление:

4*) = З'Ч^УЧ'М,

а

где 0(1,х) - функция Грина дифференциального оператора Ь, определенного в теореме 1.2. ' ь

Следствие. Если и{х)-произвольная функция из пространства Иг{[а,Ь], то для её производной порядка р, р = 1,2,...,г -1 справедливо интегральное

преставление: и(р)(х) = J

-fj G(t,x)u{t)+-f^ G(t,x У "(О dxpci

dt.

, Интегральные представления функций из пространства Соболева применялись в теории приближений (при решении известной задачи Колмогорова-Никольского на классах гладких функций, при оценках норм производных), в обратных задачах для дифференциальных уравнений и др.

В данной работе получено новое ише1ральное представление, приспособленное для рассматриваемых здесь классов М^\а,Ь\. Эти классы

являются естественными " для метода регуляризации Тихонова и

- С 3

рассматривались различными авторами (В. В. Васин, В. А. Морозов, J. N.

Franklin^ Иван*» г.к.(, Танана ß.a.'l.

Теоремы 4.2 н 4.3. Имеют место представления:

'-С?....., , ' „ 4

Д\»{Ka,MZ)= sup \~Ka{x,q)~-Tg(x,^a)dq--—j~-g(x,x,a) *<.1$ъ\10хг ex- дхрс^р

где Ka - интегральный оператор с ядром Ка(х,д), имеющим непрерывные

производные по х до порядка г—1 включительно,

t

-• gix,4,a)= ¡K^x,rj)G(£^)dT}-G(4,x), (7)

а

G(g,x) ~ функция Грина диффереш/иального оператора L. Обозначим:

= {и е Мг2[-л,т,г]:и(1)(-л-) = и(%т),к = 0.1....,г- 1},

и 6 МЦ-х,х]} ,1 = 0,1,...,г-1.

Теорема 4-5. Имеет место асимптотическое по а при а —> 0 представление:

> -1 21г-Гг-1

2 г

(2/+ 1/5111(2/+ 1}^ | а " + +

г У

х

2-1/

/ = 0,Ц„.,г —1.

Данная теорема дает решение задачи Колмогорова-Никольского на классах ,т] для приближающих операторов метода регуляризации

Тихонова а метрике пространства ^"[-.т.-т].

Теорема 4.6. При 5 —> 0 справедлива следующая двусторонняя оценка

погрешности метода на классе

У.Г-1УЛ

т

где А/2г) = Сг,о М

гУ

:мТ

3^42/+!)—] (2(г —/) —1) * (2/ 1) '

С г-Щ

I

а(3)= 21 + 1 -Я1, у х 2(г-/)-1

При этом оиенка (8) - оптимальная по порядку 6. Теорема 4.7. Имеет место представление:

Г1

Следствие. ММ ) = Д^А,. Ю-

Теорема 4.9. При 8 —» О справедлива двусторонняя оценка:

- Щ)< Сг.,8^1 ±Чг(3,1,Г)^ (9)

Л ^ (^ф* , 2(г-/)-1А . ' Г ам 2(г-/)-Г| .

** ^ ~ I 2/+1 Iе'-"

Сг) = ^(2/+1)^(2(г - /)-;

Дри этом оценка (9) — оптимальная по порядку 8.

Теорема 4.10. Имеет место асимптотическое по а при а -4-0

представление= + 0{аУ1).

Теорема 4.11. При 0 "справедлива двусторонняя оценка

где = .<и(6)= 0(6У<), а(6) = ё4ъ.

■ Оценка (10) оптимальная по порядку 3. В главе П рассматривается метод регуляризации Тихонова для интегральных уравнений. В этом случае оператор Ка имеет вид (6) с заменой

на \\j7i-Этот оператор является интегральным с непрерывно дифференцируемым по переменной х до порядка г-1 включительно ядром

Обозначим Ка =ЯаА, Аар, р= 0,1,...,г-1 - интегральные операторы с

др

ядрами д;(д,£), К

дхр

Лемма 2.3. Для норм операторов Яа р имеют место представления".

где g(x,¿;,a) определена в (7).

Пусть теперь в уравнении (1) А - интегральный оператор, ядро которого есть функция Грина дифференциального оператора

1у = у^+Ч1(х)у^ + ... + дт{х)у, т> 1, *,(*) еС«^'^, с краевыми условиями: .

У,(у)= 0, ;' = 1,..., т, где У,(у) - линейно независимые линейные формы относительно значений

В этом случае оператор1 Ка/1 является интегральным с ядром

Ка{х,^) = —С( —-), где 0(х,д,—— ядро резольвенты а а а.

дифференциального оператора Ь = Ы1Ь.

Все дальнейшие асимптотические представления и опешат

выполняющиеся при а —> 0, имеют место на лучах:

[ Я-- при т + г- четном,

( 0- при т + г - нечетном", ( 1Л^2м+2г

в комплексной р-плоскости, р = ^--J

Теорема. 2.1. Имеют место асимптотические по а при а —> О представления:

ЯР ЯР**" 1 1

И/ Оф,).

где Г(.г,с,——) есть фунхция Грина дифференишиъного оператора а . ■

(-1)яУ2л+2')с краевыми условиями оператора Ь.

Лемма 2.10. Справедливо асимптотическое по р при р—> со

представление:

1 V <ЭР 1 др 1 V- ¿ГЦ2"^' 1

«¿сг0 а охр п рА р) а>1

/7 = 0,1, ...,г-1, £,<х<1-£', а»,, -различные корни степени 2т + 2г ш 1,—

система индексов, где Ле р<ы( > 0, / = 1,2т + 2г.

Лемма 2.11. Справедливо асимптотическое по р при р—><п представление

«Г-

Отметим, что главные части в представлениях лемм 2.10 и 2.11 не зависят от х.

Приведенные утверждения являются главным моментом в получении следующих важных результатов, и доказательство их является весьма сложным.

Теорема 2.2. Имеют место асимптотические по а при а 0 точные по порядку а оценки:

р= 0,...,г-1, С=ОД. Теорема 2.3, Имеют место асимптотические ~.о а при а —> 0 оценки;

р = 0,1,..С=С(£),

■•Ос ¿¿,р]{Ка, Л Г; ) имеют вид Д'/^А'^, .Щ) с заменой 0 < х ^ 1 на е<х<.\-е. Обознзчим С*/"1' = (^""[г, 1 - г?] н рассмотрим величину

' Д,(«У,Яв, Д/2Г) = 5ир{|каЛ - и^,,:к е ЛГ2, ¡/г - < £}.

Теорема 2.4. Имеет место точная по порядку и оптимальная по порядку 8 оценка:

Щ) < , С = С(6:),

гдеа(8)=8г.

На всем отрезке [0,1] справедлива

Теорема 2.5. Имеет место двусторонняя оценка, асимптотическая по 8 при 80:

< А(А па(1у Щ) < , (11)

где а{8) = 81, С, С' — положительные постоянные.

Следствие. При г = 1 оценка (11) — точная и оптимальная по порядку.

12.

Оценка (11) при г = 1 усиливает и обобщает результаты Д. Фрамклина. В параграфе 2 результаты §1 переносятся на случай интегрального уравнения А, ядро которого А(х,г) имеет разрыв на диагонали 1-х:

А(х,х-0)-А(х,х + 0) = 1. Если ядро А(х,!) удовлетворяет условиям:

а) производные А ,(х,/), 5 = 0,1; >=1,2,3,4; Л^.Сх,/), 7 = 0,1; 5 = 1,2,, непрерывны при / < х и г > х :

б) скачки производных на диагонали / = х обладают свойствами:

ДА^ (Г) е С [0,1]; ДЛ, (г). АЛ.,, е С[0,1], . * == 0,1, '

то имеет место

Теорема 3.5. Справедлива асимптотическая по 8 при о —>0, точная по порядку и оптимальная по порядку 8 ог^енка:

где

С=С(е), а(<У)=$2. В главе Ш приводятся некоторые приложения проведённых в предыдущих главах исследований к задачам из других областей.

В §1 изучаются приближающие свойства резольвенты линейных обыкновенных дифференциальных операторов.

Пусть мы имеем обыкновенный дифференциальный оператор Ь:

£у^ум+рг(х)/"-1}+...+рп(Х)у, х е[0,1] (12)

/>,(*) еС[0,1] — вещественны,

с регулярными краевыми условиями: [/1(у)=0, 1 = 1,...,п. Разобьем краевые условия на три типа:

а) краевые условия, из которых путем линейных комбинаций можно выделить два краевых условия: ,у(0) = 0, у(1) = 0;

б) краевые условия, из которых можно выделить одно условие:

ц) все остальные краевые уеловия (очевидно, это будут условия, обязательно содержащие при любом «=1,...,и, производную какого-либо порядка функции у(х)). _

Обозначим:

Щ= {и(х) еС[0,1]: и(0) = и(1) = 0}; *

- Щ = {и(х) € С[0,1]: аи(0) + Дк(1) = 0}.

Обозначим через ,Я(Л) резольвенту оператора Ь.

Теорема 1.1. Для любой функг(ии

при краевых условиях типа а), и(х) € Ти2 ... при краевых условиях типа б), С[0,1] при краевых условиях типа в),

будет иметь место сходимость:

f- ЛЯ(Л)и-О при л сс

по любому „п-уг в комплексной А-плоскости такому, что на этом луче

,--JT Д

Re pai # О, / = 1, п, где р = л , —-<argp<—, ¿y, —различные корни

пп

степени п ta 1.

ТеоремаДля любой футарт и(х) е D(L) имеет место сходимость: {-¿^(¿>-«"»¡^-»0 при Л^ сю, р = 1,...,п-1,

где Л (Я) — интегральный оператор с ядром G^p)(x,í,A), G(x,t,Á) —ядро резольвенты.

Отметим, что в функциональном анализе известны приближающие свойства такого вида операторов. Например, если ЩЛ) = (3 — ЛЕ)'\ где В — эрмитов илп полузрмитов оперг :ор в унитарном пространстве с всюду плотной областью определения ЩВ), и при этом |Im Л|> у > 0, то на D(B) ~ЛЯ(Л)и—>и прн Л -> ой. Мы же устанавливаем этот факт для резольвенты дифференциального оператора н разномерной метрики при стремлении Л -> то по некоторым лучам в комплексной /.-плоскости. При этом сходимость обеспечивается на замыкания области определения.

П>сть-к(х)еПу[0,1], п>2г. Рассмотрим оператор 1 = 11, где L — дифференциальный оператор порядка п — 2г к такой, что. краевые условия оператора L регулярны. Этот оператор является обобщением дифференциального оператора, соответствующего методу' регуляризации Тихонова для зравнення (I) с оператором вложения.

Теорема 1.4. Справедливы оценки, асимптотические по Л при Я —> со:

где величины, стоящиес правой части, зависят от £.

Пусть функция it(x) е (F2'[0,1] задана -с погрешностью в метрике пространства F, где Уесть ¿¡[0,1] либо С[0,1].

Теорема 1.5. Если параметр Л согласован с погрешностью 8 так, что , , [Г* для Y =£,[0,1],

а*. г=срл

то справедливы асимптотические по 8 при 8 —» 0 оценки:

= P = 0,l,...,r-1 (13)

{(^r-^-lX^-ir1 для Y = С7[0,1], а правые части оценок зависят от £.

Следствие. При Y = /^[0,1] оценки (13) являются точными по порядку и оптимальными по порядку на классах Aij[0,l].

В §2 рассматривается обратная задача для обыкновенного ' дифференциального уравнения,

Пусть мы Имеем дифференциальный оператор L, определенный в (12), с произвол! чымн краевыми условиями. Пусть нам известны коэффициенты р,(х) 'и приближения и-0с) к решению у(х) уравнения fy -/, - y\iY < S, где Y = L,[0,1] либо "С[0,1]-. Требуется по у s (х) найти приближения к правой Части /(х) в равномерной метрике.

Такая задача для дифференциального оператора общего вида, но с

» Г

распадающимися краевыми условиями, рассматривалась А. М. Денисовым. Здесь поставленная задача решена в предположении, что у(х) <?iF2"+I[0,1].

Предварительно получены следующие интегральные представления, учитывающие краевые условия оператора/,.

Теорема 2.L Для любой функции у(х) <е DL г> Щ'"*'* справедливы интегральные представления:

о

где — функция Грина дифференциального оператора Ь'0Ь0Ь0 + Е,

1у = -у"', у'(0) = у'О) = 0, ¿о - дифференциальный оператор с краевыми условиями оператора .Ь, содержащий в дифференциальном выражении лишь старшую производную.

Приближенное решение обратной задачи строится с помощью оператора -ЛЖЛ), где -резольвента оператора Ь"^!^.

Теорема 2.2. При Л -» =о по лучу такому, что Гч.с р О), ф 0, / = 1,... ,2п + 2, справедливы оценки, асимптотические по Л:

\-ЛКр(?.)у-у{р}\с = ОЦЯ ^

Ulp + T^n + 4)-1 для 7 = [0,1], ^ ^=Ь(2Л + 2Г для У=С[0,1],

Яр(Л) - интегральные операторы с ядрами Г\'р)(х,Г,/.)| где Г(х,1,Л) - ядро резольвенты.

Теорема 23. Для функции fs{x) = / v5, где v, = v{ xtsvvSA =-ЩЛ)уг, f.<T2 для Y = 1^ [0,1 j, •

[s M для T = qo,i],

справедлива асимптотическая no S при S —> 0 оценка".

Н'Л-/11с=0(^). (14)

где

(2п + 2)л для Г= ¿-,[0,1], (2л + 1)4 для Г=±С[0,1].

Следствие. Оценка (14) в случае У = ¿,[0,1] является оптимальной по порядку на классе М'2[а,Ь].

Параграф 3 посвящен приложению интегральных представлений, полученных в работе, для вычисления величин:

Д^О-) = зир{Ц«<"(*)!1с: «(*) е¿/>,¿1} р=0,1,-,г-1

где Щ[а, 6]={и(х) е М'2 [о, 6], и,{и)~ 0, / = 1»..,,/}, С/, (а) - линейно

независимые формы относительно значений х), ¿ = 0,...,г-1„ в точках а

и 6. • . ,

Теорема 3.1. Справедливы представления:

где - функция Грина оператора X, 6(с,х) — функция Грина оператора

= = ЦО>)=0}, причем, у"~*\х) абсолютно непрерывна, ум

Следствие 1. Если В, - оператор вложения из в С~1'(а,й], то

Следствие 2. Если [<.!,/>] а то для имеют место

*

представления',

г

ЗГОО 1 ' м

г— ч етиог,

К

* + 2 Ке 21 Л2'"'0 - в8** У11 \ г- «четкое, Д? =

ыз

Основные результаты работы опуодцковани а следующих работах.*

1. Хромова Г. В. О задаче восстановления производной // В сб. "Вопросы "точности н эффективности вычислительных алгоритмов". Труды

симпозиума. Ккез. 1969. Вып. 5. С. 146-153.

2. Хромова Г; В. О регуляризации ннтегрзльных уравнений первого рода с ядром Грина//Изв. вузов. Математика. 1972. Т. 8 (123). С. 94-104.

3. Хромова Г. В. 05 одном способе нахоздения приближенных решений операторных уравнений I рода И Дифференц. уравнении и вычисл. матем. Мезззуз. кауч. сб. Саратов: нзд-во Сарат. ун-та. 1973. Вып. 3. С. 53-79.

4. Хромова Г. В. О задаче восстановления функций // Дифференц. уравнения н ьычисл. кзтеы. Межвуз. науч. с5. Орчтот: нзд-во Сарат. уп-та. 1975. Вшх. 5. Ч. iL С. 60-76.

5. Хромова Г. В. Задача восстановления н уравнения I рода // Дифферент!, уравнения п вычисл. матем. Межвуз. науч. сб. Саратов: гад-во Сарат. унта. 1976. В ып. 6. Ч. L С. ЕЗ-87.

6. Гурьянок Хромова Г. В. О влиянии погрешности исходных данных па сптзжшвазие годографов сейсмических воли // Дифференц. уравнения п 1:;>гп;сл. матем. Межвуз. науч. сб. Саратоз: изд-во Сарат. ун-та. 1976. Вып. 6.4.1. С. 75-33.

7. Хромова Г. В. О задаче, восстановления функций, заданных с Есгргпксетк-а П 2L вычисл. мзт. и натем. физики. 1977. Т. 17. Tis 5. С. 1161-1171.

8. Хромова Г. В. Об опенке погреншосп! задачи восстановления непрерывных фликиий // Методы решения некорректных задач и их прязахешга. Труды всесоюзной пзхолы-семииара. Новосибирск. 1932. С. ' 265-266.

9. Хрсмсвз Г. В. О дЕфферепцнровашш функций, заданных с погрешностью // Дкффсренц. уравнения а бычисд. istoj. Межвуз. науч. сб. Саратов: кзд-"э Страт, ун-та. 19S4. Вып. б. С. 53-5S.

10. Хромова Г. В. Об оценке погрешности при сглаживании функций с помощью интегральных операторов с 8 -образными ядрами // Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. Труды Всесоюзной школы-семинара по некорректно поставленным задачам (23-30 июня 1985 г.) Саратов. 1985. С. 146-147.

11. Хромова Г. В. О задаче восстановления функций, заданных с погрешностью // Теория функций и приближений. Труды 2-ой Сарат. зим. школы (24 янв. - 5 февр. 1984 г.) Межвуз. науч. сб.: изд-во Сарат. ун-та. 1986. 4.3. С. 129-131.

12. Хромова Г. В. Оптимальные по порядку методы восстановления функций // В сб. "Численный анализ: методы и алгоритмы". Москва: изд-во Моск. ун-та. 1986. С. 94-99.

13. Хромова Г. В. Сглаживание функций и интегральных уравнений I рода // Теория функций и приближений. Труды 3-ей Сарат. зимней школы (27 янв. - 7 февр. 1986 г.) Межвуз. науч. сб.: изд-во Сарат. ун-та. 1988. Ч. 3. С. 77-78. '

14. Хромова Г. В. О приближении непрерывных периодических функций с. помощью интегральных операторов // Теория функций и приближений. Труды 4-ой Сарат. зимней школы. Межвуз. науч. сб." изд-во Сарат: ун-та.

, 1990.4.3. С. 109-111. .

15. Хромова Г. В. Об одном интегральном представлении функций //

Математика и ее приложения. Межвуз. науч. сб. Саратов: изд-во Сарат. ун> i-

та. 1991. Вып. 2. С. 69-70. '

—

16. Хромова Г. В. Об оценках погрешностей приближенных решений инте. ральных уравнений I рода П Вестник Моск. ун-та. Серия 15. 1990. № 2. С. 19-23. .

17. Хромова Г. В., Пономарева Е. Н. О приближениях линейными методами суммирования рядов Фурье на некотором классе функций // Дифференц.

уравнения и теория функций. Межвуз. науч. сб. Саратов: изд-во Сарат. унта. 1991. Вып. 9. С. 46-49.

18. Хромова Г. В. Об оценке погрешности метода регуляризации Тихонова для интегральных уравнений с ядром Грина // Вестник Моск. ун-та. Серия 15. 1992. №4. С. 22-27. :

19. Хромова Г. В.. О скорости сходимости приближений функций на некоторых компактных классах и задаче восстановления функций // Вестник Моск. ун-та. Серия 15.1993. № 1. С. 13-18.

20. Хромова Г. В. О неулучшаемых оценках погрешностей приближений к решениям и производным от решений интегральных уравнений

1-го рода // Вестник Моск. ун-та. Серия 15. 1994. № 4. С. 3-10.

21. Kromova G. V. On the estimation of error of approximate solution in regularization methods. // Труды международного конгресса ассоциации "Женщины математики" (Москва-Лущино, 30 мая-3 июня 1994). Изд. Нижегородского ун-та. 1994. Вып. 1 С.66-68.

22. Хрс.мова Г. В. О приближающих свойствах резольвент линейных дифферешшадьных операторов. // Теория функций и приближений. Труды 7-ой Саратовской зимней школы 30 янв. -4 февр. 1994 г. ).' Межвуз. Науч. сб. Изд-во Сарат. ун-та. 1995. ч.2., С. 68-71.

23. Хромова Г. В. Приближающие свойства резольвент дифференциальных операторов в задаче приближения функций и их производных. // Ж.

■ вычисл. мат. и матем. физики. 1998. Т. 38 № 7. С. 1036-1043.

24. Хромова Г. В. О верхних гранях норм функций и их производных. // Вестник Моск. ун-та. Серия 15.1998. № 2. С. 45-47. .

25. Хромова Г. В. Об обратной -адаче для обыкновенного дифференциального уравнения. //Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. Вып. 2. С. 709-716.

26. Хромова Г. В. О восстановлении непрерывных периодических функций. // Сб. "Всесоюзный симпозиум по теории приближения функций* . Тезисы докладов. Уфа. 1987. С. 172-173.

27. Хромова Г. В. Об оценках погрешностей приближённых решений интегральных .уравнений 1-го рода. // Сб. "Условно корректные задачи математической физики * . Тезисы докладов Всесоюзные конференции. Алма-Ата. 1989. С. 93.

28. Хромова Г. В. Об оценках погрешностей приближённых решений в методах регуляризации. И Сб. "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" . Тезисы докладов международной конференции. Москва, 19-25 авг. 1991 г. изд-во ИПМ им. М. В. Кеддыша АНСССР. 1991. С. 270.

29. Хромоаа Г. В. О скорости сходимости приближений периодических функций на некоторых компактных классах к задаче восстажшдених функций. // Сб. "Теория функций. Дифферента урашекнн. в матем. моделировании." Тезисы Докладов Воронежской зимней школы. Иал-во Воронеж, ун-та, 1993. С. 68-71.

30. Хромова Г. В, Об оценках в равномерной метрике погрешностей приближённых решений уравнений 1-го' рода.- // Тезисы ■ докл. Конференции российской ассоциации "Жещтга-магамэтнкн*. Москва-Суздаль 1993. М. 1993 С. 54, '

31. Хромова Г. В О приближениях к непрерывным функциям н метода регуляризации. // Со, "Обратные н некорректно поставленные задачи*. 'Гансы докл. конфернщш. Москва. 1995: С. 54.

32. Хром >ца Г. В. О с корост*: сходимости приближенных решений уравнений Ьго рода и приближающих свойствах резольвент лннеиных-диффсрец'лнанытх операюроа, И Сб. "Функциональные пространства, теории црцближеннП, келши'йиый анадда," Тезисы докл. Мекаушрод. ьааА« Swni. M. Никольского. Москва. 199?. СЛ°1.

33. Хромова Г. В. Приближающие свойств резольвент дифференциального оператора и некорректные задачи. // Сб. "Современные проблемы теории функций и их приложения." Тезисы докл. 8-ой Саратовск. зимней школы. Саратов. 1996. С. 119.

34. Хромова Г. В. О приближении функций и их производных с помощью резольвент линейных дифференциальных операторов. Сб. "Математика, Моделирование. Экология". Тезисы докл. IV межд. конфер. "Жещин-математиков". Волгоград. 1996. С. 130-131.

35. Kromova G. V. The resolvent of f linear differential operator and ill-posed problems. Сб. "Обратные и некорректно поставленные задачи". Тезисы докл. межд. конфер. Москва. 1996. С. 95.

36. Хромова Г. В. О приближениях к решениям краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. // Сб. "Современные проблемы теории функций и их приложения." Тезисы докл. 9-ой Саратовск. зимней школы. 26 янв.-1февр. 1998 г. Изд-во Сарат. ун-та. 1997. С. 163.

37. Хромова Г. В. О методе регуляризации Тихонова для интегрального уравнения с разрывным ядром. // Сб «Обратные и некорректные задачи». Тезисы докл. конференции. 1998г. Москва. Изд-во Моск. ун-та. С. 87.

Цитированная литература.

1. Арестов В. В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора // Матем. заметки. 1977. Т. 22. № 2. С. 231-243.

2. Бакушинский А. Б. Оптимальные и квазиоптимальные методы решения линейных задач, порожденные регуляризирующими алгоритмами // Изв. вузов. Математика. 1978. № 11. С. 6-10.

3. Васин В. В. Регуляризация задачи численного дифференцирования // Математические записки. Свердловск: изд-во УрГу. 1969. Т. 7. № 2. С. 2932.

4. Габушин В. Н. Оптимальные методы вычисления значений оператора Uz, если х задано с погрешностью. Дифференцирование функций, определенных с ошибкой // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1980. Т. 145. С. 63-78.

5. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1994. 206 с.

6. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука. 1978.206 с.

7. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука. 1987.423 с.

8. Морозов В. А. О восстановлении функций методом регуляризации // Ж. вычисл. мат. и матем. физики. 1967. Т. 7. № 4. С. 874-879.

9. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука. 1987.240 с.

10. Страхов В.Н. О методах приближенного решения линейных условно-корректных задач.//ДАН СССР.1971. Т. 196. № 4. С. 786-788.

11. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т. 153. № 1. С. 49-52.

12. By Joel N. Franklin. On Tikhonov's method for Ill-Posed Problems // Mathematics of Computation. 1974. V. 28. № 128. P. 889-907.

Заказ 66. Тираж 100. Объем 2 п.л. Подписано к печати 3. 09.1998г. Типография издательства С ГУ.