Оценки скорости сходимости в функциональных предельных теоремах для сумм случайного числа слагаемых и их примененя в задачах массового обслуживания тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Основные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . 4 Введение.

ГЛАВА I. СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ В ПРИНЦИПЕ ИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ СУШ СЛУЧАЙНОГО ЧИСЛА.

СЛАГАЕМЫХ В СХИМЕ СЕРИЙ.

§ 1,1. Равномерные оценки для распределений в разнораспределенном случае • • • • •

§ 1.2. Оценки для Д - расстояний в разно-. распределенном случае

§ 1.3. Одинаково распределенный случай

§ 1.4. Оценки для процесса восстановления. •

ГЛАВА II. СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ В ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ . (ФЦПТ) ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ,ЗАДАВАЕМЫХ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ.МАССОВОГО

ОБСЛУЖИВАНИЯ

§ 2.I.Скорость сходимости в ФЦПТ для различных характеристик системы массового. обслуживания &1[(г

§ 2.2. Система массового обслуживания М|6-[1 с групповыми поступлениями. ФЦПТ и оценки скорости сходимости для аддитивных характеристик ••••.••••

§ 2.3. Смешанные моменты периода занятости, интеграла от длины очереди и числа обслуженных требований за один период занятости системы массового обслуживания с групповыми поступлениями и их асимптотическое.поведение.в.критическом! режиме • ••••••••.••••••

§ 2.4. ФЦПТ для числа обслуженных и потерянных требований системы массового обслуживания, м1нши в схеме серий и оценки скорости сходимости • ••••••••••••

ГЛАВА III. ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ В ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ЗАКОНЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ (ФЗБЧ) . да РЕГЕНЕРИРУЩИХ ПРОЦЕССОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К РАЗЛИЧНЫМ СИСТЕМАМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

§ 3.1. Оценки скорости сходимости в ФЗБЧ для последовательности регенерирующих.про- . цессов

§ 3.2. Оценки скорости сходимости в ФЗБЧ для . различных характеристик системы массового обслуживания

§ 3.3. Оценки скорости сходимости в ФЗБЧ для некоторых характеристик системы массо- . вого обслуживания М ((г\ 1 с группо . выш поступлениями

§ 3.4. ФЗБЧ для числа обслуженных и потерянных требований системы массового обслуживания в схеме серий и оценки скорости сходимости

Предельные теоремы типа принципа инвариантности или так называемые функциональные центральные предельные теоремы являются одной из наиболее содержательных частей современной теории вероятностей. Одной из первых в этом направлении была работа Донскера [50"] , в которой получен результат эквивалент

Этот результат свое дальнейшее обобщение на разнораспределенный случай в схеме серий получил в работах Ю.В.Прохорова [25},

Символ => здесь и всюду далее означает выполнение следующих двух условий:

I) ХЛАЛ =>N/^(40,+€[0,1] присею т.е. конечномерные распределения случайных процессов

IV» слабо сходятся к конечномерным распределениям винеровского процесса

2) ный тому, что если последовательность независи гле

А.В .Скорохода и А.А.Боровкова .

При применении на практике предельных теорем важно знать погрешность, которая возникает при замене точных распределений их асимптотическими аналогами. Для этого надо уметь оценивать скорость сходимости к предельным распределениям. Оценка скорости сходимости обычно весьма сложная задача, требующая привлечения тонких аналитических методов и, как правило, наложения более жестких ограничений на свойства исходных распределений. .

Первая и достаточно точная оценка в принципе инвариантности была получена Ю.В.Прохоровым £25*1 *

Эта оценка улучшалась в случае одинаково распределенных величин Розенкранцем [б1~\ и Хейде [54^ . В 1973 г. А.А.Боровков [ill доказал, что при 2, £ Ъ

С.А.Утев [48^ показал справедливость этого неравенства при

• Отметим, что во всех перечисленных выше результатах использовался либо метод одного вероятностного пространства Прохорова [251 , либо метод Скорохода [.371 • в г, Я.Комлошем, П,Майором и Г.Тушнадь ^59*1 предложен более тонкий метод одного вероятностного пространства, который позволяет оценку (I) в случае последовательности независимых одинаково 1

I) распределенных величин улучшить:

Ь-2 гп: 7 ^ для некоторого эС > О .

Недавно А.И.Саханенко ^29,301 обобщая метод Комлоша--Майора-Тушнадь на случай разнораспределенных величин X; \/>1 оценку (I) установил для любого и показал, что если для некоторого к>0

ШМ^рММ^ъч, VI, (2) то

Предположим, что неотрицательная случайная величина ^ ^ и положительный случайный процесс заданы на том же вероятностном пространстве , где определен случайный процесс С^О . Обозначим («.•«.ш^ „

VI \ ^ /

Случайные процессы вида (3) имеют важную роль в ряде при- . кладных задач теории массового обслуживания, теории надежности и математической статистики.[13,19,33^ • В частности,если Му^^ - число восстановлений, то ряд характеристик систем массового обслуживания (с.м.о.) представляются в виде (3). Поэтому изучение процессов вида (3) имеет как теоретический, так и практический интерес.

Условия справедливости принципа инвариантности для процессов вида (3) получены А.А.Боровковым,[131 , Д.С.Сильвестровым С.31) и другими авторами [51,52,62"] •

Настоящая диссертационная работы посвящена получению оценок скорости сходимости в принципе инвариантности и в Функциональном законе больших чисел для процессов вида (3) и приложениям этих оценок к предельным теоремам для случайных процессов, задаваемых в некоторых с.м.о.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. АЗДАРОВ Т.А. Исследования по математической теории массового обслуживания. Автореферат докт. диссертации. Ташкент, 1972 ^ 30 с.

2. АЗЛАРОВ Т.А., АТАКУЗИЕВ Д.А., ДЖАМИРЗАЕВ A.A. Схема . суммирования случайных величин с геометрически распределенным случайным индексом. В кн.: Предельные теоремы для случайных процессов. Ташкент, Фан, 1977, 6-21.

3. АЗЛАРОВ Т.А., ДЖАМИРЗАЕВ A.A. Равномерные оценки сходимости к предельному распределению времени жизни дублированного устройства. Изв. АН УзССР, серия физ.-мат.наук, 1971, Jfi 3, 3-8.

4. АЗЛАРОВ Т.А., ТАХИРОВ А. Предельные распределения для одноканальной системы с ограниченным числом мест ожидания. Изв. АН СССР, серия Техническая кибернетика, 1974, Ä 5, 61 - 67.

5. АЗЛАРОВ Т.А., ТУРСУНОВ Р.Т. О скорости сходимости в принципе инвариантности для случайных сумм в схеме серий. Докл. АН УзССР, 1984, JS 10, 3 5.

6. БИДЛИНГСЛИ П. Сходимость вероятностных мер. М.:Наука, 1977, 352 с.

7. БОРИСОВ И.С. О скорости сходимости распределений функционалов интегрального вида. Теория вероятн. и ее примен., 1976, т.21, Я 2, 293-308.

8. БОРИСОВ И.С. К вопросу о скорости сходимости в принципе инвариантности Донскера-Прохорова. Теория вероятн. и ее примен., 1983, т.28, Л 2, 367 - 371.

9. БОРОВКОВ A.A. Сходимость распределений функционалов от случайных процессов. Успехи мат. наук, 1972, т.27, Я I, 3 - 41.

10. БОРОВКОВ A.A. Замечание о неравенствах для сумм независимых случайных величин. Теория вероятн. и ее примен., 1972, т. 17, Jfi 3, 587 - 589.

11. БОРОВКОВ A.A. О скорости сходимости в принципе инвариантности. Теория вероятн. и ее примен., 1973, т.18, № 2, 217 - 234.

12. БОРОВКОВ A.A. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1972 , 368 с.

13. БОРОВКОВ A.A. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1980^ 384 с.

14. БОРОВКОВ A.A. Граничные задачи, принцип инвариантности, большие уклонения. Успехи мат. наук, 1983, т. 38, Ä4, 227 - 254.

15. БОРОВКОВ A.A. Некоторые предельные теоремы теории массового обслуживания. I, II Теория вероятн. и ее примен., 1964, т. 9, JH 4, 608 - 625; 1965, т. 10, Ш 3, 409 - 437.

16. БОРОВКОВ К.А. 0 скорости сходимости в принципе инвариантности для обобщенных процессов восстановления. Теория вероятн . и ее примен., 1982, т.27, Jf 3, 434 - 442.

17. ВИСКОВ О.В. О времени ожидания в смешанной системе массового обслуживания. Труды Математического институтаим. В.А.Стеклова, т. 71, М.: Наука, 1964, 26 34.

18. ГНЕЩЕНКО Б.В. и другие. Приоритетные системы массового обслуживания. 1973, МГУ, 448 с.

19. ГНВДЕНК0 Б.В., БЕЛЯЕВ Ю.К., СОЛОВЬЕВ А.Д. Математические метода в теории надежности. М.: Наука, 1982. 524 с.

20. ГИХМАН И.И., СКОРОХОД A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977, 568 с.

21. ИСМАМОВ А.И. О распределении периода занятости одной модели массового обслуживания. Докл. АН УзССР, 1970, JS 5, 3-4.

22. КОКС Д., ШИТ В. Теория восстановления. М.: Советское радир, 1967, 300 с.

23. ЛОЭВ М. Теория вероятностей. М.: ИЛ., 1962 , 720 с.

24. НАГАЕВ C.B., ФУК Д.Х. Вероятностные неравенства для сумм независимых случайных величин. Теория вероятн. и ее примен., 1971, т. 16, Я 4, 660 - 675.

25. ПРОХОРОВ Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. I, Ш 2, 177-238.

26. ПРОХОРОВ Ю.В. Переходные явления в процессах массового обслуживания. Лит. мат. сб., 1963, т. 3, JS I, 199-206.

27. САХАНЕНКО А.И. О скорости сходимости в принципе инвариантности. Докл. АН СССР, т. 219, Jä 5, 1076 - 1078^19174.

28. САХАНЕНКО А.И. Об оценках скорости сходимости в принципе инвариантности. В кн.: Предельные теоремы теории вероятностей и смежные вопросы. Новосибирск, Наука, 1982, 72-77.

29. САХАНЕНКО А.И. Скорость сходимости в принципе инвариантности для разнораспределенных величин с экспоненциальными моментами. В кн.: Предельные теоремы для сумм случайных величин. Новосибирск: Наука, 1984, 4-50.

30. САХАНЕНКО А.И. Об оценках в принципе инвариантности. Теория вероятн. и ее примен., 1984, т.29, $ 3, 609 - 610.

31. СИЛЬВЕСТРОВ Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных Функций. Киев: Вища школа, 1974 , 329 с.

32. СИЛЬВЕСТРОВ Д.С. Полумарковские процессы с дискретным множеством состояний. М.: Сов. радио, 1980, 272 с.

33. СИЛЬВЕСТРОВ Д.С., МИРЗАХМЗДОВ М.А., ТУРСУНОВ Г.Т. Асимптотический анализ статистик со случайным объемом выборки. В кн.: Случайные процессы и математическая статистика. Ташкент.: Фан, 1983, 188 - 193.

34. СИЛЬВЕСТРОВ Д.С., ТУРСУНОВ Г.Т. Некоторые предельные теоремы для систем массового обслуживания • Докл. АН УзССР, 1976, В 6, 10 12.

35. СИРАЖДИНОВ С.Х., АЗЛАРОВ Т.А. Предельные теоремы для некоторых характеристик систем • Изв. АН УзССР, серия физ.-мат.наук, 1972, 16 6, 24 - 29.

36. СКОРОХОД A.B. Предельные теоремы для случайных процессов. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. I, JS 3, 289 - 319.

37. СКОРОХОД A.B. Исследования по теории случайных процессов. Киев: КГУ, 1961, 216 с.

38. СКОРОХОД A.B. Об одном представлении случайных величин. Теория вероятн. и ее примен., 1976, т.21, В 3, 645 - 648.

39. СКОРОХОД A.B., СЛАБОДЕНКК А.П. Предельные теоремы для случайных блужданий. Киев.: Наукова думка, 1970, 304 с.

40. СТАРЦЕВ А.Н. Некоторые результаты, связанные с принципом инвариантности. В кн.: Вероятностные процессы и математическая статистика. Ташкент: Фан,: 1978, 146 - 151.41« ТАКАЧ Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов. М.: Наука, 1971, 264 с.

41. ТУРСУНОВ Г.Т., ТУРСУНОВ Р.Т. Предельные теоремы длянекоторых процессов системы массового обслуживания H\S"\l с групповыми поступлениями. В кн.: Предельные теоремы для вероятностных распределений. Ташкент: Фан, 1985.

42. ТУРСУНОВ Р.Т. Оценка скорости сходимости в функциональном законе больших чисел для некоторых характеристик систем массового обслуживания ЩбД\. . Докл. АН УзССР, 1984, .№8,3-4.

43. ТУРСУНОВ Р.Т. Скорость сходимости в предельных теоремах для некоторых систем массового обслуживания. Рукопись Деп. в ВИНИТИ 05.10.84, - 7150-84 Деп, 22 с.

44. ТУРСУНОВ Р.Т. Предельные теоремы для некоторых случайных процессов связанных с системой массового обслуживанияШт • В кн.: Асимптотические задачи для вероятностных распределений. Ташкент: Фан, 1984, 138 - 148.

45. ТУРСУНОВ Р.Т. Об оценке скорости сходимости в функциональной центральной предельной теореме для случайных сумм. Изв. АН УзССР, серия физ.-мат. наук, 1985, № 4.

46. УТЕВ С.А. Замечание о скорости сходимости в принципе инвариантности. Сиб. мат. журн., 1981, т. 22, J8 5, 206-209.

47. Bahr BW von, Esseen C.G. Ihequalities for the r~tk moment of random variables, ~ Ann, Math.Statist.,1965, 1, 2.99-303.

48. Guiasu S. On the asumptotic distribution of the sequences of random variables with random indices. Ann. Math. Statist., 1971, v. 42, 6, 2018 - 2028.

49. Harrison J.M. The heavy traffic approximation for single server queues in series. « J. Appl. Prob., 1973, v. 10, 3, 613 629.

50. Heyde G.C. On extended rate of convergence results for the invariance principle. Ann. Math. Statist., 1969, v. 40, 6, 2178-2179.

51. Iglehart D.L. Functional limit theorems for the queue GT\Or\i. in light traffic. Adv. Appl. Prob., 1971, 3, 269 - 281.

52. Iglehart D.L, Weak convergence in queueig theory. -adv. Appl, Prob., 1973, 5, 570 594.57» Iglehart D.I., Whitt W. Multiple channal queues in heavy traffic.1. Adv. Appl. Prob., 1970, 2, 150 - 177.

53. Kennedy D.P. Rates of convergence for queues in heavy traffic. Adv. Appl. Prob., 1972-, v. 4, 2, 357-391.

54. Komlos J., Major P., Tusnady G. An approximation of partial sums of independent RV « s and sample DP. 1t 2. -Z. Wahr. verw. Gebiete, 1975, v. 32* 1, 111 - 133; 1976, v. 34, 1, 33 - 58.

55. Kyprianob E. The virtual waiting time of thequeue in heavy traffie. Adv. Appl. Prob., 197t, 3, 249-268.

56. Rosenkrantz W.A» On rates convergence for the invariance principle. ~ Trans. Amer. Mat. Soc., 19 6T, 129,542 552.

57. Sreehari M. An invariance principle for random partial sums. Sankhya. Indian J. Statist. ser.A», 1968, v. 30 , 4, 433 - 442.

58. Sreehari M., Rao P. Rate of convergence in the invariance principle for random sums. Sankhya. Indian.J. Statist., 1-982, ser. Af v. 44, 144 ~ 1-52.

59. Strassen V» The exiatence of probability measures with given marginals. Ann. Math. Statist., 1965, v. 36, 2, 423 - 439.

60. Whitt W. Complements to heavy traffic limit theorems for the Grl\&\l queue. J. Appl. Prob., 1972, 9, 185-191.

61. Whitt W. Embedded renewal processes in the queue. J. Appl. Prob., 1972, 9, 650 658.