Оценки свойства фату для функции из классов типа Харди-Соболева тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ОДЕССКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ; И.И.МЕЧНИКОВА

На правах рукописи

ВОЛНЯКОВ ПАВЕЛ МИХАЙЛОВИЧ

ОЦЕНКИ СВиИСТВА ФАТУ ДЛЯ ФУНКЦИЯ ИЗ 1ШАССОВ ТИПА ХАРДИ - СОБОЛЕВА

(01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Одесса - 1992

Работа выполнена на кафэдре математического анализа Одесского государственного университета им. И.И.Мечникова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Гусейвоз Е.Г. кандидат физико-математических наук, доцент Крякин Ю.в.

Ведущая организация - Институт математики АН Украины.

Защита состоится " Лч ы-сбс^У_

1993 г. в часов на заседании специализированного

совета К 0S5.2-1.10 при Одесском Ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. И.И.Мечникова.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Одесского государственного университета им. И.И.Мечникова.

Автореферат разослал " Л1 " 1дд2 г

Ученый секретарь специализированного совета К 065.24.10 ,

доктор физ.-..шт. наук 1V ^ ~ ~ Кротов В.Г.

" " ' > ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

I

Актуальность темы. -3 работе изучается гр&чичнсо поведение функций, на производные которых налагаются ограничения типа - некасательная максимальная функция принадлежа 1?~ пространствам.

Условия такого рода определяют так называемый "тент-пространства", которые появились сравнительно недавно в рамках дей-, ■ онтельной теории пространств харди в работе Р.КоЯф-манэ, И.Мейера и Е.Стейна (1935 г.). '

Возникшая в первой четверти нашего века теория пространств харди первоначально развивалась в рамках теории функций одной комплексной переменной. За последние двадцать-лет лицо теории значительно изменилось'благодаря новым мощным действительным методам, начиная с работ Д.Буркхолдерз, Р.Ганди, М.Силверстейна (1971 г.), Ч.Феффзрманз и Е.Стейнэ (1972 г.) и Р.Койфманэ (1955). Б настоящее время действительная теория классов харди является бурно развивающейся областью современного анализа, имепщей многочисленные и глубокие связи с друг/ми областями математики - функциональным анализом, теорией вероятностей, теорией уравнений с частными производными.

Одной из характерных черт теории пространств харчи является наличие у функций из а тих пространств пределов вдоль некоторого семейства областей подхода к границе (свойство Фату). Наши основные задачи сеязсны с этим свойством. Проблемы, изучаемые в данной работе, примыкают к исследованиям' о характере улучшения с&ойстаэ Фату при налички огрз-

- а -

ничений типа гладкости ( А.Нагель, У.Рудин, Дж. Шапиро, Е.Стейн, П.Ахерн, Б.Г.Кротов ). Наши методы не связаны со csoP.GTEai.iii типа аналитичность, гармоничность и т.п., что позволяет использовать их в качественной теории уравнений с частными производными.

После знаменитой работы А.Кальдерона (1977 г.) об интеграле Коши на липшицевых кривых и ее дальнейшего развития в работах Р.Койфмзна, Л.Макинтоша, И.Мейерз, Г.Давида, Д.Курпе, Т.Ыурзи и других значительно активизировалось изучение разрешимости краевых задач для уравнений в частных производных б С1 и липшицевых сЗластях (Е.Фейбс, м.Джодеит, н.Ривьер, Б.Дальберг, Е.Кешг, 1".Берхота, Р.Браун и др.). Методы используемые мама для изучения свойства Фату гладких функций, позволяют получать точное описание граничного поведения решений краевой задачи 1Ьй:лз;:а для уравнения теплопроводности в лютшицевом цилиндре. Дчл оллиптических краевых задач в липшицевых областях подобные вопросы изучались ранее В.Г.Кротовым.

Цель работы.

1. Изучение свойства Фату функций в полупространстве кп*(0,а).при ограничениях на производные по пространственным переменным.

2. Исследование граничного поведения решения начально--краевс.З задачи Неймана для уравнения теплопроводное-™ в ляп-шицеьом цилиндре.

3. Исследование граничного, поведения дробных интегралов на тент-пространстьах Ф;1 лций б единичном шаре комплексного еаклвдоьа :;ространстаз Л

Общая методика исследования.

Исследований прводится методами действительной теории пространств харди. Систематически используются различные максимальные функции к оценки для них. Для построения примеров, демонстрирующих точность полученных результатов, применяется разновидность метода сгущения особенностей и свойства параболических потенциалов.

Ноучная,,нсйпзне.

Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. ОСНОВНЫМИ ИЗ НИХ ЯБЛЯ.ЭТСЯ:

- списание свойства ©зту для функций а полупространстве с ограничениями на производные по пространственным переменным;

- описание граничного поведения решений начально-краевой задачи Неймана для уравнения теплопроводности в лкпта-цевом цилиндре;

- описание граничного поведения одного класса дробных кнтегрзлоа для функций а единичном шаре в

Все результаты являются точными а своих терминах и не допускают усиления.

Приложения.

Б диссертации имеэтея приложения основного метода к краевым задачам для параболического уравнения а негладкой облает1.!. Дальнейшие приложения могут быть связаны с другими задачами '.еор-/п пространств* харди, а так:::э с качественной теорией урйзасжЯ с частными производными.

Осиойяаэ ризятхяи ?у.ххряг&А даяэдаэгяйсь ка семи-

- А -

наре по теории функций Одесского государственного университета ( руководитель - проф. Э.А.Стороженко ), на семинаре чл.-корр. АН Украины В.К.Дзядыка б Институте математики АН Украины. Кроме того, но результатам работы автор выстилал с докладами на Всесопзной школе по теории приближения функций (1939 г., г. Луцк ), на Всесоюзной школе по теории функций ( 1991 г., к Одесса ).

Публикации.

Основные результата диссертации опубликованы в работах автора 11-31.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех параграфов. Список литературы содержит 30 наименований. Объем диссертации - 60 страниц.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении описаны постановки задач, приведены основные результаты и указаны связи с исследованиями других авторов.

В первом параграфе изучается граничное поведение функ-' ций, заданных в полупространстве пгп к к+, некасательные максимальные функции от частных производных которых принадлежат различи™ пространствам 1.р на границе полупространства.

Пусть для £ > О, X е Еп

Г<ХЫ(ХМ) = Еп*(0,1): шах|ХГХ^| <Ь >,

Г£(Х)=((ХМ) « й х(0,1): тах|Х{-Х|| 1 < г }..

Области Г и Г£ порождают понятия Г и Гс -пределов и максимальные операторы;

Н(и)(Х)= зир{|и(Х'Л)|г (ХМ) £ КХ/>,

Н£(и)(Х)= зир<1и(Х,1м: (Х'Д) а ГсСО>.

Теорема 1. Пусть о < р1 рп < 1 и я = (с1 ,...,г:п)-набор ччсел, удовлетворяющих условиям:

1

2£, г 1-р,, 1=1.....п,

Тогда для любой функции и, такой, что и « С(ПП*(0.1)>, Н(и) е Х.Р°<ЙП), р0>0,

(1)

(Й)

справедлива оценка

тез{ХеПп: II (и)(Х) > Л> « С 2 (Л-1 )Р'

£ 1=1 ° Л1 Р1

для люби-о л > О и постоянна С, не зависящей от и и л. Если дополнительно и имеет Г-прэдел п.в. на к", то она имеет п.в. на кп и Г, -предел.

Заметим, что условие р, Й...5 рп не является сущест-

венным, если оно не выполняется, то следует только соответствующим образом переупорядочить переменные Х^

В частном случае, когда и - гармоническая функция и. Pj =...= рп = р, су =...= cn = 1- В , ато утверждение доказано в работе Нагеля и Стейна 1', методы которой существенно используют свойство гармоничности и.

Для функций U е Кротов В.Г.2> установил существова-

ние Г,-предела п.в. на к11, когда = ... = sn = 1- при условии

(U> N^g-У-) £ tP(Kn), Р > о.

В первом параграфе мы показываем также, что утверждение теоремы 1 является точным.

Георема 2. Для лабого набора £ = (£1.....£п) положительных чисел, не удовлетворяющего условиям (1), найдется функция U, удовлетворяющая условиям (2), такая, что и п.в. на йп имеет Г-предел, но п.в. на .к" не имеет Г -предела.

Во втором параграфе диссертации изучается граничное поведение решения начально - краевой задачи Неймана для уравнения теплопроводности в липшицеьом цилиндре. Методы,

Kagel A,. Stein Е,М. On certain maximal functions and apprcrch regions // Adv. in Math,-<901,-V. 54. fl 1. -P. вЗ-106.

Кротов Ь.Г. Сдг. ли для максимальных операторов, связанных с граничным поведением и их приложения // Труды Мат. ин-та АН CCCP.-19S9.-T. 190.-С. IP-12Ö.

развитые в первом параграфе, позволят- весьма точно описывать граничное поведение решения зтсй задачи. Подчеркнем, что нашей целью является изучение граничного поведения решения краевой задачи, а не исследование условий ее разрешимости.

Пусть о г Еп- ограниченная связная область, й ; 3. При Т е (О.со) ПОЛОЖИМ Ст - С«(0,Т), 3-г = Вх(0,Т). Для ДБ!'.НОЙ Функции г б 1Р(3Т) (по поверхностной мере ) начально-краевая зэдзча Неймана состоит в нахождении гладкой а о-«[од) функции и, удовлетворяющей условиям

л и ~ Ж = 0 в

(3)

и( К.О ) О. X г П.

д и = f п.в. на эт.

и) г 1.Р(3Т),

Здесь' д г 2 —, - оператор Лапласа в кп; д„ - дифферен-1=1 вЩ 1

цирсвгниэ в направления единичной внутренней нормали V к

Зг 7 а ^ ЭТГ"*"§х * ~ спеРатоР градиента в а"; К(-) - параболическая максимальная функция на

»(иХРД) = гир | и(У.а) | , (У.з)еГ(РД)

где р ! И, V е о, I,? в (О.Т), а ГТР.Р -область подхода

к точке (P,t), определяемая как

Г(РД) = {(Y,s): |У-Р| + |t-s|2 ■< р dist(Y.ÖD)} Л DT (р - фиксированное число).

Условие "З^и «= f" из (3) понимается в смысле

lim <vu(Y,s), v(P,t)> = f(P.t) п.б. на sr ',P.t) ~ (Y.s) * Г(Р,1)

где <•,•> - скалярное произведение в Rn.

Если граница области D липшицева (т.е., может быть локально представлена как грзфик липшицевой функции), то, как показал Браун 1\ задача (3) разрешима для любой функции f « L^Sj), где 1 < р i г.

Мч исследуем вопрос о том, вдоль каких областей решение атой краевой задачи будет иметь предел почти всюду на Sj.. 3:.«етим, что существование у решений Г-пределов п.в. на Sy установлено уяе в упомянутой работе Брауна. Мы рассмотрим вопрос о пределах по областям, более широким, чем Г. Для данных положительных с,, сг пусть

i L

re(P,t.M(Y.s): |P-Y|C' + < p üist(Y,ÖD)} П Cj,

£

rx(P.t)=((Y,s): exp(-1P-Y| ~2 )+1 t-з |2 < p dist(Y.ÖD)} П DT,

n Brown R.M. The Initial-Neumann problem for the heat equation In lipschits cylinders // Trans. Amer. Math. Soc.-i090.-V. 320.-P. 1-52.

-1

Г^РДМСУ.з): |Р-У|+ ехр(-|1-з| ) < р ШзЦУ.бБ)} П Ст.

Введенные области естественным образом порождают понятия Г , Гх и Г^-пределоа соответственно, а также максимальные функции Н£, нх, м^, Например,

Н£(и)(РЛ)= зир{|и(У,з)|; (У,з) е Г£(РД)>.

Теорема 3. Пусть I < р £ 2, Тогда для любых с1 и с2, удовлетворяющих условиям

О ? с, $ 1, О < с, 5 2, 1

1 К С4)

В1(п-1) + £, = П+1-р )

и любой функции г е решение и задачи (3) удовлетво-

ряет оценке

" : ига р

а{(?.1): ¡1£(и)(РД) > » 5 С ( ) . Л > О

( С не^зависит от л и Г ) и п.в на имеет Г£-предел.

Однако, "степенных" областей Г£ Недостаточно для описания граничного поведения решения задачи (3) когда р = 2. Указанному случаю посвящены следующие две теоремы.

Теорема 4. Для любой функции г е решение и за-

дачи (3) удовлетворяет сценке

о{(Р,1): Кь(и)(Р,1) > 5 С ( ^ )2 . Л > О

С с не зависит от £ и л ) и п.в. на Бт имеет Г^-предел.

Теорема 5. Пусть п = 3. Тогда для любой функции £ е 1.г(2т) решение и задачи (В .5) удовлетворяет оценке.

ащъ): нх(и)(р,1) > л> 5 с (Ш^)2 . Л > о

( с не зависит от с и л ) п п.в. на 3Г имеет Гх-предел.

Точность доказанных результатов устанавливается в следующих теоремах, в которых всюду й = •{ Хе кп: |х| < 1 >, Т=1, Эти теоремы покизывазт, что теоремы 3-5 точны Д55ке для областей с бесконечно гладкой границей.

Теорема 6. Пусть у: [о,он) -[о,се) - неубывающая Функция, такая, что ^ о при г ( о. Тогда для любого 1 < р й 2 и , , удовлетаоряищих условии (4) теоремы 3, существует функция г с 1.Р(5Т), такая, что решение задачи (3) не имеет п.в. на 5_ предела ни по областям

о •

I 1

{(У.з).- р(|Р-У|)|Р-У|С1 + |1-з|Сг < р сЦзЦУ.дО», ни по областям

1

{(У.з): 1Р-У[£1 + ¥;(|1-з!)|1.-з|С2 < р й1г1(У,дй)>.

Теоремз 7. Пусть у: [0,ш) - [о,сс) -кеубывзшцая функция,такая, что у{т) * о при г ю. Тогда существует функция г е такая, что решение задачи (3) с этой г

п.в. на не имеет предела по областям

<(У.з): |Р-У1 | Ь-з|)ахр(-11-з)} < р Шз1(У,00)>.

- и -

Теорема 5. Пусть 41: [О.<о) - [О.») -неубывапщая функция, такая, что у(т) » о при г 1 о. Пусть, также, п=з. Тогда существует функция I е ^(З^.), такая, что решение задачи (3) с этой { п.в. на не имеет предела по областям

£

<(У.з): ^(|Р-У|)ахр(-]Р-У|"2)+|1,-з|2> < р сНзЦУ.ЗО)}.

Метод, использованный при'доказательстве сходимости в теоремах 3-5, работает и в других ситуациях. В параграфе 3 ми рассматриваем вопрос о граничном поведении дробных интегралов на тент-пространствах, ассоциированных с пространствами харди голоморфных функций в единичном шаре комплексного евклидова пространства сп.

Пусть п 5 1, в" - единичный шар в сп, о - нсрмирован-ная поверхностная мера пэ йзп. Если а - функция на £зп, то поломим

!в5п ( ^ !й1р )р. о < Р < ^ Р оз"

Введем области подхода к точке с е Взп и связашые с ними максимальные функции.

П(С) = { ГС е впг 11-<С.С.*>| < 1-г >.

11(0 = зир{|Г(г)].- г в Вп>.

Пространство ггр(нп) состоит из комплекснозначных функций {

на в", для которых конечна величина ш _ в Обыч-

ай р

нее пространство Харди нрсвп), о < р < », совпадает с множеством всех голоморфных в га" функций, принадлежащих хр(эп).

1

Пусть еще I„f(z) - — I Un f(sz) ds. Г(а) 0

o

ííPoa") = la(JCp(Bn)>. Hp№n) - подпространство в Jfp(Bn), состоящее из функций f « хр(вп) , для которых

lira If-f 5 _ _ = 0, где f..(z) = f(rz). г-1- г W1)

о о

И, наконец, н£(пзп) = I^CJ¿p(oan}}.

U и

Вопрос о граничном поведении функций из соболевских

пространств г;Р(Еп) изучался б работах В.Г.Кротсва1', где,

в частности, было доказано, что при ар «= п каадая функция о

из i;P(snJ почти всэду на $вп имеет предел вдоль областей

' JbE

0^(0 - < гС С в"; |1-<С,С>| < (ln J^) п >. п

Оставался открытым вопрос, верно ли то se самое для фучг.ций из более широкого класса ;;Р(вп).

Мы показываем, что имеет место следующее утверждение.

и Кротов В.Г. О граничном поведении дробных интегралов голоморфных функций в единичном шаре в сп // Известия вузов. Математика.-198б.-н 4.-С. 73-75. Кротов В.Г. Точнзя оценка граничного поведения функций

О

из классов Харди - Соболева нр(вп) в критическом случае ар = п. // Докл. АН СССР. Мзтематика.-1991. -Т. 319.-И 1.-С. 42-45.

Теорема 9. Пусть ар = п иг« 3£р(вп). Тогда 1аг

почта вспду кэ бз" имеет предел вдоль областей П^.

п

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕЗ,® ДИССЕРТАЦИИ )

1. Волняков П.М. Граничное поведение функция с производными из тент-пространств // Теория приближения функций

(Тр. Луцкой школы по теории функций, Луцк, 3 -10 сент. 1969 г.). Луцк.: 1959. - С. 65.

2. Волняков П.и. Граничное поведение функций с производными из тент-пространств / Одес.Ун-т. - Одесса. 1991. - 19 с.

- Деп.- В Укр.НИИНТИ. 02.07.91, 935. - У к. 91.

3. Волняков П.М..Граничное поведение решений краевой задачи Неймана для уравнения теплопроводности в липчглцевсм цилиндре / Одес.Ун-т. - Одесса, 1991. - 23 с. - Деп. в Укр. Н:::*НТ!5. 02.07.91,- » 934. - УК. 91.

Зал згз - {¿о