Оценки ядра резольвенты семиэллиптического оператора тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.95

АВЕТИСЯН ПАРИЕВ СЕРГЕЕВИЧ

ОЦЕНКИ ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ СЕШЭЛЛШТЙЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА

.01.01.02 - Дифференциальны. -.-ния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ереван - 1992

Работа выполнена в Ереванском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор КАЗАРЯН Г.Г.

Официальные оппоненты: член-корреспондент АН Республики

Армения, профессор, доктор физико-математических наук НЕРСЕСЯН А.Б.

кандидат физико-математических наук, доцент ДАВТЯН A.A.

Ведущая организация - Государственны! инженерные

университет Армеюи

Защита состоится "12" Nvgg-vcM993 г. в AS час. на заседании специализированного совета К 055.01.12 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ереванском'государственном университете по адресу: 375049, Ереван, ул. А.Манукяна, I.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванского государственного университета.

Автореферат разослан " 199J>. г.

Ученый секретарь специализированного совета

Т.Н.Арутюнян

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТЬКА РАБОТЫ

' . Актуальность темы. В теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают вопросы построения и описания е.- 'Зств фундаментальных решений. Построение фундаментального решения и его оценки являются мощным инструментом в исследовании различных свойств эллиптических, семиэллиптиче-ских (и других более общих классов) операторов, в частности, оценки фундаментальных решений по существу применяются при изучении гладкости решении уравнений, при изучении краевых задач с помощью интегральных уравнений, в спектральной теории граничных задач.

В ряде вопросов, связанных с изучением свойств резольвенты семиэллиптических (в частности эллиптических) операторов таких, как установление возможности представления резольвенты в форме интегрального оператора, оценки ядра резольвенты, оценка нормы резольвенты в различных функциональных пространствах, 1 имеюпу« разнообразные применения в спектральной теории (построение комплексных степеней, асимптотика спектральной функции, определение экспоненты таких операторов), возникает необходимость построения и изучения свойств'фундаментальных решений семиэллиптических уравнений с параметром. Последние представляют также самостоятельный интерес.

В диссертационной работе с помощью метода Е.Леви^ проводится построение и изучаются свойства фундаментальных решений одного класса:семиэллиптических,операторов с комплексным параметром. В частности, установлена возможность представления резольвенты равномерно семиэллиптического оператора в форме интегрального оператора для больших по модулю значений параметра, лежащих вне некоторого угла комплексной плоскости. Получены оценки ядра резольвенты, а также оценка нормы резольвенты в определенных анизотропных пространствах Гельдера. Полученные результаты могут быть применены в спектральной теории семиэллиптических операторов.

1 леви Ь.а. J линейных эллиптических уравнениях в частных производных. - Успехи математических кау:;, 1940» вып.в, с.249-292.

Цель работы. I. Построение и изучение свойств фундаментального решения оператора «XI"*" PfoD) • гДе pt^jD) ~ равномерно семиэллкптический оператор с действительными коэффициентами, ограниченными на всем Р'ги удовлетворяющими анизотропному условию Гельдера, Д - комплексный параметр.

2. Исследование вопроса однозначной и коэрцитивной разрешимости в анизотропных пространствах Гельдера уравнения

Аксхн Н

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и представляют новые возможности исследования свойств фундаментальных решений регулярных*" операторов с параметром.

Методика исследования. Систематически используются методы математического анализа, методы оценок интегралов типа потенциала, а также операторные методы. При построении фундаментального решения мы пользуемся классическим методом Е.леви^.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение -l спектральной теории семиэллиптических операторов при исследовании гладкости решений семиэллиптических и регулярных уравнений с параметром.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по дифференциальным и интегральным уравнениям в Математическом институте АН Республики Армения, на научном семинаре, посвященном памяти Р.А.Александряна (Ереван, 1991) и неоднократно на семинаре пс функциональным и численным методам исследования гипоэллиптических уравнений в Ереванском государственном университете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти статьях, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на восемь параграфов. Объем работы - 129 страниц, библиография содержит 89 названий.

2 Никольский С.М. Первая краевая задача для одного общего линейного уравнения. - ДАН СССР, 1962, т.144,1? 4,, с.767-769.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

• Во введении дан краткий обзор литературы по изучаемой теме и приведены формулировки основных результатов.

В § I главы I содержатся обозначения, определения, доказываются вспомогательные утверждения.

Пусть ^ - евклидово пространство точек ¡Хц)

с вещественными координатами, множество (г -мерных

мультииндексов, т.е. векторов оС—(о^,■-•,оС(г).с целыми неотрицательными компонентами. Через ^ (р^) обозначим пространство Л.Шварца быстро убывающих функций.

Пусть Ал -(Ш^...¿гп^)— вектор с натуральными компонентами, /¿-(^1,...,/1п) , где /г^1//«* (и«!,...^) Если X , , ¿>0 , то положим

А Чг

I К = 1

к! Л.

1/

к« д.

* Х IX.

Определение 1.1.1. Обозначим через

пространство функций А?"' на К". , имеющих непрерывные ограниченные производные для всех , (^-у*-) , с нормой

Ш ^р .

Пусть число Ъ выбрано так, что О <~%-Ьг0< 1 Определение 1.1.2. Обозначим через <£г,п — С*т(ЕС) пространство непрерывных ограниченных на Я,'1 функций V" , для которых конечна норма

- б -

/пСЬ^т л а гцт, пп *

Определение 1.1.3, Обозначим через (С — /

пространство функций , для которых конечна норма

V-: С" фи ^ ^

Пусть Р ~ Н- -однородный линейный

дифференциальный оператор с постоянными действительными коэффициентами и .'0^ ^г*6 - отвечающий ему -

однородный характеристический многочлен, т.е. такой, что

.привсех ¿>0 , . Будем пред-

полагать, что оператор Р (0) (многочлен ) явля-

ется семиэллиптическим (полуэллиптическим), т.е. 0 .

если ОФ , не умаляя общности, далее будем считать,

что Р°(фО , НЯ'Чо! • Пусть ^оС(0,Т) • Положим

где С ~ множество комплексных чисел.

Отметим, что если А6-Л > то X"* Р^^О при всех .

Рассмотрим уравнение с параметром

Лад+РЧоЖиЧ^-Ц^ ш

В § 2 главы I проводится построение и исследуются свойства фундаментального решения оператора

А1+РКЮ.

Основным

результатом этого параграфа является

Теорема 1.2.1. Пусть £ » А^ А. Тогда уравнение (I) однозначно разрешимо в ^ . Для оператора СМ/*" Р°(^)3 справедливо интегральное представление

и(х; хмхь-РШ (2)

Кгг

где

£(*; X)

- фундаментальное решение оператора

лтм

со следующими свойствами:

1°. - суммируемая, бесконечно дифференцируемая

при 2=!= О функция.

при 2Ф 0 .

3°. Если Ы.<£.Ь1 о и , то справед-

ливы оценки

2

1-

- ,|Л| <Х<о), (3)

п. X

л.

ме ^ ' - (МиГШ^Ш (к-о), (4)

а ^

Vиe (5)

4

где постоянные М—{"Ц^о^о)^

Пусть ОС1 .Х^сЯ фиксированы. Через обозначим фундаментальное решение уравнения

)=х

с "замороженными" коэффициентами в точке лН 2.)

Имеет место следующая

Лемма 1.2.1. Пусть ДС.А, . Тогда справедливы оценки:

-а^АГчги]

К-1,

Л

- в -

с постоянными М>0 , с!>0 , не зависящими от^^К"" » X1

И Хе А .

Оценки (3)-(5) позволяют в § 1.3 установить коэрцитивную разрешимость уравнения (I) в анизотропных пространствах Гель-дера,

Пусть , Хо>0 . Положим

Справедлива

Теорема 1.3.1. Существует такое Л</0 , что при

ХсА

и для всякой функции

уравнение (I) имеет единственное решение » задаваемое формулой

где А) - фундаментальное решение оператора »

причем справедлива оценка ,

с положительной константой , не зависящей от ^ и X •

Вторая глава диссертации посвящена построению и исследованию свойств функции X) - ядра резольвенты семиэллип-тического оператора с переменными коэффициентами, удовлетворяющими равномерному анизотропному условию Гельдера в ^ .

Пусть -

линейный дифференциальный оператор с действительными коэффициентами <1*. , С СШ(ЯЛ) , относительно которого предполагаем, что он является равномерно семиэллиптическим в ^^ , т.е. существует число <5>0 такое, что при всех

Здесь и далее число £ выбрано так, что 0< 2/77о <£ 1 , Рассмотрим уравнение

Хжх) + Р(х,С)гкч=('(а'), (6)

где (сСПЛ.ХеЛ,.

В I главы 2 проводится построение фундаментального решения оператора Л1+ Р(Х>[>) . Функция ищется в виде

КГ

где У} А] - фундаментальное решение оператора

Х1-|- с "замороженными" в точке Я"" коэффици-

ентами, а функция /Т^^'Л) выбирается так, чтобы ТС(х^Х) при Л14Ч. удовлетворяло уравнению

Функция , в свою очередь, должна удовлетворять

интегральному уравнению

.«

Здесь

Доказывается, что при достаточно большом Ао~7 О и всех Х£-_Л.0интегРальное уравнение (8) решается по методу последовательных приближений, и его решение Г выражается в виде ряда

(9)

где

Далее изучаются свойства функции Р , определенной формулой (9), ив частности в § 2.2-доказывается

Теорема 2.2.1. Пусть 2с1, а?2 ; Е1 , 2г - произвольные, но фиксированные точки из В-"" • Тогда при достаточно большом О и всех справедливы оценки:

б

Мой

с положительными константами п и ц »не зависящими от X

В § 2 главы П устанавливается формула дифференцирования для объемного потенциала с ядром

( ие^о ' (Ь^ 4 1 1 и плотностью С£т(Кг) . Положим Из оценок (3)-(5) следует, что при ^С N0 , Справедлива следующая* т

Теорема 2.2.2. Пусть «¿<£.|\|о такое, что Тогда

верна формула

X)=У* ; (1)-

*ч

ВТ-

Основныа результатом главы П является следующее предложение, доказанное в § 2.3. .. . , ^

Теорема 2.3.1. Пусть , Л0-Л0 ЧТЧо,/.

Тогда для любой функции _(?€ и ПРИ достаточно больной

уравнение (6) имеет решение (ЯП; , задаваемое формулой

где X) - фундаментальное решение оператора

со следующими свойствами:

1°. Функция X) определена и непрерывна по сово-

купности перёменных при Х^ФЧ. вместе со своими производными

О* X) Л/Л (Ь ^ •

2°. прилгу .

3°. Пусть ¡¡¿1 + (р, а.

Тогда

(не • ¡х)

4с. ' ^

1ПС • ,

где П., , еЬ , ^ , ? (М0?о>

$ ки ~ Положительные константы.

Здесь буквами Д , 6 > В"1" обозначены величины:

д — max su-P --->

R1— vn sujp —1-:—-- .

Отметим, что фундаментальные решения нормальных эллиптических уравнений высокого порядка с большим положительным значением параметра и с коэффициентами, определенными и ограничен-. -ными на всем , были изучены в работах^где получены оценки гладкости фундаментальных решений в зависимости от гладкости коэффициентов и установлены теоремы о существовании в малом фундаментальных решений равномерно эллиптических в смысле И.Г.Петровского систем, коэффициенты которых имеют модуль непрерывности, удовлетворяющий условию Дини. Для однородного эллиптического уравнения произвольного порядка с параметром из некоторого угла комплексной плоскости, оценки фундаментального решения и ее производных приведены в работе*3, где действительные коэффициенты уравнения предполагаются ограниченными и удовлетворяют равномерному условию Гельдера во всем

Ал-

В третьей главе доказываются коэрцитивные свойства решений уравнения (6) в анизотропных пространствах Гельдера и выводится оценка нормы резольвенты семиэллиптического оператора в этих пространствах.

Основной результат главы Ш следующая

о

Матийчук М.И., Эйдельман С.Д. О фундаментальных решениях эллиптических систем. - УМЖ, 1966, т.18, Р 2, с.22-41.

^ Матийчук М.Й., Эйдельман С.Д. О дифференцируемости фундаментальных . решений эллиптических уравнений. - УШ. 1968, т.20, № 5, с.642-653.

к

Соболевский ii.ll. Резольвента эллиптического оператора с переменными коэффициентами. - Деп. в В/ЛшТл, 1980 г., К^ЗЗбЬ-ьэ ДШ.

Теорема 3.1.1. Пусть , Д = Ао) .

Тогда для любой функции -^СС^Й!")и при достаточно большом Х^ О решение 1А(х*, X) уравнения (6), заданное формулой (10), принадлежит классу , причем

(ш

с постоянной. М>0 • не зависящей от!^ .

Из доказательства оценки (II) получается следующее Следствие 3.1.1. Пусть Xх , "фиксированы и пусть

ои£.|\/о такое, что . Тогда при достаточно большом

и всех справедлива оценка

1> ах) - ъ % м *

(ВФЙ.

Положим ^О—УЬАХС^Р , где такое,

(ЬЯ^^Д- и,пусть .

Определение 3.2.1. Обозначим через С ' =с (Л/ пространство функций

-ОТ +

для которых конечна норма

^Сх-ьО^Л

л

С**« с- ^

С помощью теоремы 3.1.1 в заключение работы мы получаем теорему 3.2.1 об однозначной разрешимости уравнения (6) в пространстве ,

Теорема 3.2.1. Пусть ^(-0,%) , А-Д^ Ло) .

Тогда для любой функции и при достаточно

большом Хо^ ^ уравнение (6) имеет единственное решение XI (Л"") ' задаваемое формулой

и

а

причем

К

с константой f\>0 , не зависящей от | и \ .

Из неравенства (12) вытекает следующее

Следствие. Существует константа N>0 такая, что при таточнз большом

и всех

резольвента 3:i))J

является ограниченным оператором, действующим в пространстве С^СЯ*) • причем ^

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Г.Г.Казаряну за внимание к работе и постоянную поддержку.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Аветисян П.С. Резольвента семиэллиптического оператора с постоянными коэффициентами. - Математика, Межвуз. сб. научн. трудов. Ереван: Йзд-во ЕГУ, 1988, вып.6, с.5-16.

2. Аветисян П.С. Об оценках функции Грина одного резольвентного уравнения. - ДАН Арм.ССР, 1989, т.89, (Р 3, с.109-111.

3. Аветисян U.C. Коэрцитивная разрешимость в анизотропных пространствах Гельдера одного класса уравнений с переменной старшей частью. - Деп. в АрмШйНТИ, 26 декабря 1989 г., К? 78, Ар-89.

4. Аветисян П.С. О разрешимости одного резольвентного уравнения. - Изв. АН РА, сер. Математика, 1990, т.25, Р 6, с.594-597.

о. Аветисян П.С. О коэрцитивной разрешимости одного уравнения с параметром. - Ученые записки ЛГУ, 1990, № о (174), с.29-33.