Параметрические нелинейные модели теории катастроф в методах статистической обработки данных эксперимента

Глухова, Светлана Ивановна

Параметрические нелинейные модели теории катастроф в методах статистической обработки данных эксперимента тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Глухова, Светлана Ивановна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Параметрические нелинейные модели теории катастроф в методах статистической обработки данных эксперимента»

Автореферат диссертации на тему "Параметрические нелинейные модели теории катастроф в методах статистической обработки данных эксперимента"

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На »ранах рукописи

РГй Оа

ГЛУХОВА Светлана Ивановна

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ В МЕТОДАХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТА

(01.04.03 - Радиофизика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук профессор Д.С. ЛУКИН

Научный консультант -

кандидат физико-математических наук

Е.А. Палкин

Москва- 2000

Работа выполнена на кафедре физико-математических проблем волновых процессов Московского физико-технического института.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Д.С.ЛУКИН

Научный консультант:

кандидат физико-математических наук, Е.А. ПАЛКИН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ИРЭ РАН A.C. ДМИТРИЕВ;

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики атмосферы (физический факультет МГУ) А.Г. БОЛОГДИН

Ведущая организация - Московский институт радиотехники, электроники

и автоматики (кафедра прикладной математики)

заседании специализировг >63.91.02 в Московском физико-

техническом институте по адресу: Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский переулок, 9.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке МФТИ.

Автореферат разослан "2М "MCJi-T(¡^ 2000 года.

Ученый секретарь Диссертационного Совета кандидат физико-математических наук, доцент

Защита состоится

2000 года в часов на

С.М. КОРШУНОВ

<f Yf-?, РЗ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ

Для решения задач, связанных с анализом данных при наличии случайных воздействий, математиками и другими исследователями (биологами, психологами, экономистами и т. д.) за последние двести лет был выработан мощный и гибкий арсенал методов, называемых в совокупности математической статисткой (а также прикладной статистикой или анализом данных). Эти методы позволяют выявлять закономерности на фоне случайностей, делать обоснованными выводы и прогнозы, давать оценки вероятностей их выполнения или невыполнения. В настоящее время математическая статистика претендует на роль математического языка экспериментатора. Статистические методы занимают некоторое среднее место между полной (а потому недостижимой) объективностью и чисто субъективной оценкой на глаз, причем при правильном применении статистических методов и добросовестности субъективной оценки обычно не возникает противоречия между этими двумя подходами.

В подавляющим большинстве экспериментов важным пломенто'»: предварительного анализа данных является проверка соотзутствия результатов измерения закону нормального распределения. Это тем более важно, что все параметрические критерии, применяемые в регрессионном и дискриминантом анализах, являются очень чувствительными к отклонениям от предположения о нормальности. В реальности отклонения распределений статистических данных от нормального встречается довольно часто. Особый интерес представляют данные, которые можно описать, исходя лишь из предположения о наличии нескольких равновесных состояний объекта исследования. В связи с этим, большой перспективой для статистической обработки таких данных является применение мультимодальных законов распределения и использование математических моделей теории катастроф.

которых зависит от среднего уровня корреляций между слагаемыми. Новым направлением в исследовании мультимодальных распределений является предложенный в работах Л. Кобба метод, базирующийся на использовании в качестве эталонных распределений функций, применяемых для описания типичных многомодальных состояний в теории катастроф. Методы теории катастроф позволяют изучить топологию таких распределений, выявить условия смены мод, получать оценки по математическому ожиданию с устраненной аномалией дисперсии, возникающей при использовании классических распределений.

Применение таких методов в статистических исследованиях сложных объектов было предложено как одно из основных направлений уже в классических работах Р. Тома. Однако дальнейшее развитие прикладных методов теории катастроф более концентрировалось на качественных сторонах статистического анализа многомодальных распределений.

Теория катастроф предлагает развитый математический аппарат исследования физических систем. Но она не может заменить собой этап построения модели объекта или явления. Многочисленные попытки механического применения канонических форм катастроф для описания слабо формализуемых процессов не дали положительного результата и даже в какой-то степени способствовали дискредитации самой теории. Тем не менее, в последнее время наблюдается рост внимания к тем возможностям, которые предоставляет эта область математики. В первую очередь это связано с появлением методик проверки адекватности, различных моделей катастроф, описываемым с их помощью явлениям.

Практика показывает, что для успешного применения аппарата теории катастроф в интересах статистической обработки данных исследователь должен решить следующие задачи:

1. обосновать выбор модели катастрофы (тип особенности);

2. оценить параметры модели в исследуемом диапазоне случайных величин;

3. оценить области применимости и достоверности построенного распределения.

Настоящее исследование посвящено разработке алгоритмов анализа данных, основанных на интеграции методов математической статистики и

математических методов теории катастроф, учитывающих сложный нелинейный характер изучаемых явлений и как следствие - множественность равновесных состояний изучаемого объекта.

ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ явилась разработка методов статистической обработки данных с использованием нелинейных параметрических моделей кас-поидных катастроф, исследование их характеристик, количественного и качественного соответствия этих моделей сложным объектам экспериментальных исследований.

ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ, решенные в ходе выполнения работы таковы:

1. Разработка методов оценки параметров статистических моделей катастроф каспоидного типа в исследуемом диапазоне случайных величин.

2. Разработка методов проверки гипотезы о наличии распределения заданного типа ¡саспоидной катастрофы.

3. Разработка программного комплекса, позволяющего накапливать даниь.е с учетом экспертных знаний об исследуемом явлении.

4. Создание программного комплекса для исследования статистических данных с помощью предложенных методик.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА работы заключается в следующем.

1. Предложены статистические методы обработки данных с использованием математических моделей теории катастроф:

» метод моментов,

• метод максимального правдоподобия,

результатом которых является построение вероятностной модели сложного объекта, обладающего свойствами мультимодальности.

2. Разработаны критерии статистической проверки гипотезы о бимодальном распределении типа катастрофы "сборки".

3. Разработана технология обработки данных, имеющих выраженный многомодальный характер распределения.

4. Предложен метод тестирования программ построения коэффициентов статистических моделей катастроф на основе аналитических моделей.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РАБОТЫ состоит в

1. Создании аналитически и экспериментально обоснованного способа построения систем обработки данных, имеющих многомодальный характер распределений.

2. Использовании разработанных методов в анализе медицинских данных, что позволило выполнить оценку достоверности выделения клинических признаков, определяющих тяжесть заболевания, развитие осложнений и оценить исход заболевания.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ:

1. Метод моментов для обработки данных, который является адекватным для анализа статистических распределений, имеющих выраженный /¿-модальный характер.

2. Метод моментов для анализа квазиунимодальных статистических распределений, имеющих сильное отлчие от нормального распределения вследствие внутренней многомодальное™ исследуемого процесса или объекта.

3. Метод оценки достоверности моделей каспоидных катастроф, являющийся основой для статистического анализа данных с многомодальным характером распределения на основе теории катастроф.

4. Комплекс вычислительных программ для обработки и хранения данных, основанный на экспертных знаниях об исследуемом объекте, который позволяет проверять гипотезы о достоверности связи зависимых параметров.

5. Методика тестирования программ построения моделей катастроф в статистическом анализе случайных данных, являющегося необходимым этапом для последующего их внедрения в практику статистического анализа.

РЕАЛИЗАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ

Основные положения диссертации докладывались на всеармейской научно-практической конференции «Здоровье военнослужащих и статистические методы его изучения» (ноябрь 1999 года, Военно-медицинская академия), на научно-практической «Возможности и перспективы агрессивной, инвазивной терапии и пластической реконструктивной хирургии» (ГВКГ им. акад. H.H. Бурденко, декабрь 1999 года).

Созданная система анализа и хранения данных с 1998 года внедрена в практику математической обработки данных исследований врачей-ученых Главного военного клинического госпиталя имени академика H.H. Бурденко.

По теме диссертации опубликовано 11 статей в центральных журналах и сборниках научных работ.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Первая глава посвящена обзору литературы и анализу применения методов многомерной статистики в обработке экспериментальных данных. В качестве примера рассматриваются данные клинической практики. Во второй главе дано подробное описание разработанных методов построения статистических моделей с использованием математического аппарата теории катастроф. Третья глава включает анализ результатоз работы про грамм построения моделей катастрофы сборки .методом моментов и методом максимального правдоподобия при использовании как аналитических моделей, так и данных эксперимента.

В ходе выполнения работы был разработан комплекс вычисли тельных программ, описание которых находятся в тексте главы 3. Программный комплекс содержит:

1. программы сбора экспериментальных данных,

2. программы построения модели катастрофы сборки методом моментов,

3. программы построения модели катастрофы сборки методом максимального правдоподобия.

Текст диссертации изложен на 110 страницах, включает 10 таблиц, 20 рисунков, 4 страницы указателя литературы. Библиографический указатель содержит 54 работы, из них 41 на русском и 13 на иностранных языках.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются основные проблемы, приводится структура изложения материала.

В первой главе дается анализ основных методов многомерной статистики:

• метода главных компонент,

• факторного анализа,

• кластерного анализа,

• дискриминантного анализа,

• регрессионного анализа.

Рассматриваются основные возможности этих методов, ограничения и перспективы их использования при построении статистических моделей многомодальных распределений.

В основе данных методов лежит статистический анализ корреляционной матрицы, позволяющий осуществить системный подход к рассматриваемым явлениям. Так, обработка данных с применением факторного и кластерного анализов позволяет объединять признаки в группы, идентичные понятию моды или состояния. В медицинской практике эти группы определяют «синдром» заболевания, по ним проводят группировку больных, выявляют связи между признаками и на их основе строят новые гипотезы о причинах выявленных зависимостей. На этапе прогностического заключения могут использоваться регрессионный и дискриминантный анализы.

Методы статистической обработки позволяют установить форму и степень связи между изучаемыми явлениями, но они не могут выявить внутренний механизм установления связей. Выявление конкретного содержания процессов, посредством которых эта связь осуществляется и которыми она определяется, является предметом специального всестороннего качественного анализа. Наиболее перспективным для выводов качественного характера об исследуемых объектах при построении соответствующих моделей представляется объединение положений и подходов теории катастроф с использованием известных методов многомерной статистики. Следует подчеркнуть, что теория катастроф никоим образом не подменяет собой математическую статистику. Каждый из перечисленных разделов математики имеет свою область применения и свои задачи. Теория катастроф позволя-

ет обосновать возможный вид семейства функций распределения случайной величины и провести подробный анализ качественного поведения такого семейства. Математическая статистика обладает развитым аппаратом определения параметров предложенного распределения, исходя из существующей выборки, вычисления доверительных интервалов найденных параметров и проверки достоверности выдвинутых гипотез. Поэтому наилучших результатов можно достигнуть только при совместном применении этих двух разделов математики.

Во второй главе диссертации рассматриваются методы оценки параметров моделей каспоидных катастроф в исследуемом диапазоне случайных величин: метод моментов и метод максимального правдоподобия.

Исходным пунктом построения статистической модели является параметрическое семейство функций /(х\у), задающее одномерную условную плотность вероятности К-модального вида, положение и значение локальных максимумов и минимумов, для которого зависит от параметров у. При работе над диссертацией в качестве моделей многомодальных одномерных статистических распределений были выбраны особенности каегю-идного типа Л~к_,, обеспечивающие выполнение необходимых требований для функции распределения.

Предполагается, что существует (хотя бы в рамках математической модели) значение параметра у --- ус, при котором все экстремальные точки функции /(х\у) сливаются, образуя (2К - 1) - вырожденную критическую точку х,.(ус). Эта особая критическая точка имеется очевидно и у функции Ф(х,у) = !п(/(х\у)). Согласно основной теореме теории катастроф, в некоторой окрестности {и, ® и) внутренних переменных х и внешних переменных у, содержащих точку (хс,у,), существует невырожденное преобразование переменных х:

х = х(1 у), (1.1)

такое что

Ф(х(£ У), У) = + 9(у). (1.2)

Здесь Fr (£,Л(у)) - универсальная деформация особого ростка параметрического семейства функции для вырожденной критической точке кас-поидного типа А~к_,, 0(у) - функция, не зависящая от £

Fa (Л Л) = (1-3)

XeR^K > 2.

Выбор индекса каспоидной особенности (2ЛГ - 1) определяется наличием К максимумов плотности распределения вероятности, а знак «-» -тем, что функция плотности распределения вероятности должна убывать при Л' -> ±00, —> ±со).

Функция распределения условной вероятности

С(х'\у) = \f(x\y)dx (1.4)

для плотности f(x\y) с использованием преобразования (1.1) может быть приведена к виду:

2 К-2 дО

g(x\?) = 1,„ол (1.5)

если преобразование (1.1) удается продолжить на все множество Rx. Здесь

Gt^(l;'X(y)) = \cxp(FA J¿;,Ím ~ (1-6)

каноническая функция распределения, отвечающая катастрофе ; и X - функции переменных х' и у. В статистических задачах локальное преобразование (1.1) за пределы области \UX ® часто может быть продолжено любой подходящей функцией, если только указанная область содержит все локальные экстремумы исследуемого распределения. Вклад случайных величин, выходящих за пределы этой ограниченной области, в мультимодальных распределениях как правило пренебрежимо мал.

В том случае, когда нормировочные функции ls0.lKj,le в разложении (1.5) квазипостоянны и lsll »lg,rlt,j = 1, 2, .... 2К - 2, исходная статистическая задача для случайной величины х' с функцией распределения (1.4) может быть сведена к "эталонной задаче" с функцией распределения (1.6).

Тогда множество наиболее вероятных значений ¿п связано с параметрами у соотношением

?К-2

d!FA (1;МУУ)

~ -2Ц1К-' i- ZjAg'rrO, (1.7)

: - 2К(2К - 1)С ' + ti(i - Wfí! •■■ о • (1-8)

Уравнение (1.7) определяет (2К - 2>мерное множество катастрофы М в пространстве Rí ®R¿K~! и, соответственно, m-мерное множество в пространстве Л' Причем условие (1.8) выделяет на этом множестве под-ад ножестволокальных максимумов функции плотности распределения вероятности, отвечающие отдельным модам с„ мупьтимодального распределения.

При построении стандартной одномерней статистической модели линейной регрессии существует одна зависимая переменная х и произвольное число независимых переменных у = fy,,у,,..„у,„). Уравнение, описывающее модель множественной линейной регрессии, можно определить следующим образом:

*(у) = Ь, + £ь,у, + е. (1.11)

i-i

где b¡ - коэффициенты частной (линейной) зависимости х от у, (i - I, 2, ..., т); s - случайная величина, распределенная по нормальному закону с нулевым средним и неизвестной дисперсией. Регрессионная модель (1.11) имеет от + 2 степени свободы.

По аналогии с линейной регрессионной моделью (1.11), в диссертационной работе использована статистическая модель каспоидной катастрофы Л,к_1 с линейной аппроксимацией зависимости внешних параметров X, от у:

A, =a¡ +1», +£, J = ¡, .... 2К-2 (1.12)

и линейной аппроксимацией преобразования (1.3):

S = (x-№ (1-13)

r = y„ + !>,>', +S, (1.14)

где p = const > 0, e , ц - случайные величины, распределенные по нормальному закону с нулевым средним и неизвестной дисперсией.

Статистическая задача для модели каспоидной катастрофы Л~к_, состоит в следующем: оценить коэффициенты 2К - 2 внешних параметров Xt

в (1.12), параметра у (1.14) и нормировочный множитель Д исходя из выборки, состоящей из статистических результатов "одновременного" наблюдения зависимой величины х(у) и т независимых переменных (у,,у-......у,J. Такая статистическая модель имеет (2К - 1)(т + 1) + 1 степеней свободы.

Для определения параметров универсальной деформации (1.3), функции 0(у) и параметров преобразования (1.1) в статистической модели (1,12)-(1.14) был использован метод моментов, распространенный на общий случай каспоидной катастрофы Лж . Система уравнений для определения величин а, у, [3 по заданной статистике внутренних (х) и внешних (>•) переменных строилась на основе следующей леммы:

Лемма. Пусть f(x) - функция плотности вероятности случайной величины л*, и пусть

D(x)=--~ln f(x). (1.15)

Тогда для любого полинома рп(х) степени п математическое ожидание

функции pn(x)D(x) равно математическому ожиданию функции — pj'x)\

ctx

M\pn(x)D(x) J =

L dx

(1.16)

Применительно к случайной переменной £ качестве полиномов р„(<$) были выбраны такие, которые имеют минимальные порядки и определяют линейно независимые функции Сл в правой части (1.16) и, соот-

IК /,п

ветственно, системы (1.18), т.е. мономы по £ порядков п = 0, 1, 2, ..., 2К-1 и

мономы, содержащие линейную зависимость по у1 (или Л) порядков и - О,

1, 2, ..., 2К - 2:

р„: 1, £ ..., у, _ у, ¿, у, ..., у, (1.17)

/ - 1, 2, ..., т.

Для нахождения параметров модели (1.12)-(1.14) на основе (1.15) была получена следующая система (2К - 1)(т 1) + 1 нелинейных уравнений:

М\0(ф] = О

щаш = I

о, (-юЛ)

С,

---- (2К-1) 4-'■""-—

М[у;В(ф] - о м[у,Фа)\ =>7

о. (Чоод;

ЩУ,40(£)} =

С. (+™,Л)

где

./■■г

Э(У. дй,

а, = —^ = —= Л 2, ...,2ЛГ - 2. (1.20)

32'; ЭА„

Константа /7 вычисляется из условия нормировки.

Левые часта уравнений системы (1.18) могут быть определены при известной статистике зависимой величины х для фиксированных внешних переменных у,. Однако, фактически любая статистика будет содержать лишь единичную реализацию величины х при заданной реализации параметров у,. Поэтому в уравнениях системы следует провести вычисление левых частей при известном взаимном распределении зависимой случайной величины х и независимых случайных параметров у,. Характер этих статистических данных определяет две качественно различных ситуации для решения системы (1.18).

а) Квазиунимодальное распределение статистических данных.

В этом случае функция f(x\y) имеет вырожденное унимодальное распределение, существенно отличное от нормального или имеющее тенденцию к многомодальное™, например, в силу какой-либо дополнительной информации об объекте исследования. Количество мод (индекс К) в этом случае может быть оценено только априорно на основе каких-либо косвенных данных. Однако, если такая информация имеется и К определено, можно построить эталонные if-модальные распределения методом моментов по данной ста1истике с использованием системы (1.18).

б) К-модальное распределение статистических данных.

Пусть теперь функция f(x\y) имеет имеет К явно выраженных локальных максимумов, которые можно отождествить с К нормально распределенными модами. При этом предполагаем, что эти К мод могут быть включены в единое if-модальное распределение, отвечающее канонической функции катастрофы А1К_Г В этом случае

G(x'\y) = tGk(x\y)Sk, (1.21)

где Gt(x'\y) - функция распределения /c-сй моды (предполагается нормальное распределение) с известными параметрами хк (среднее значение) и et (дисперсия) и

5Х=/- (1.22)

к--!

Равенство (1.5) при условии (1.21) предполагает, что и функция 6'Ь1 и ее производные могут быть представлены в виде суммы вкладов эстремальных точек (точнее локальных максимумов) канонической плотности вероятности, число которых также равно К. Проведя соответствующие разложения этих функций и сравнивая затем левые и правые части (1.5) по отдельным модам, приходим «системе равенств:

С,(х\у)дк - ,Х)1к, к - 1, 2, .,., К. (1.23)

Здесь /" - суммарный коэффициент к-ой нормальной моды в переразложении правой часта (1.5).

Метод моментов, примененный для каждой моды, гдз в качестве функции О(д) используется величина

а в качестве функции ¡¡н мономы 1, £ у/, приводит к новой системе уравнений для определения параметров модели (1.12)-(1.14):

йк(х>) -- ЛШ = (1-25)

= ^ (А), (1.26)

М к[у,(41(у))}= О, (1.27)

1с - 1, 2,..., К, (' = 1,2,.,.,/п.

В формулах (1.25)-(1.27) индекс к при вычислении моментов указывает на то, что усреднение ведется только по к-ой моде в соответствии с разложением (1.24). Число уравнений (1.26), (1.27) 2К+Кт меньше числа искомых параметров. "Неполнота" системы (1.25)- (1.27) обусловлена тем, что среди (2К-1) критических точек канонической функции распределения имеется К-1 точек локальных минимумов, которые в рассматриваемой /^-модальной ситуации оказываются информационно незначимыми. Необходимое дополнение системы (1.25)- (1.27) дает статистика параметров у,. Взяв в

качестве монома рп = на основе леммы и условия (1.22) получаем систему из (К-1)т соотношений:

М.

УЛ

а-и

5, =М,

У6-

(1.28)

к = 1,2.....К.

В качестве примера использования метода моментов в работе исследуется решение уравнений для бимодального распределения (К ~ 2) статистической модели катастрофы Л] (катастрофы сборки).

Метод моментов имеет ряд недостатков. В частности он дает только точечную оценку и не позволяет произвести интервальную оценку неизвестных параметров. Кроме того, для каждого набора независимых переменных (у,,у,, ..., у,,,) необходимо иметь несколько значений зависимой величины

Ф„( х)

х(у) для вычисления соответствующей статистики М

. Поэтому для

решения поставленных в работе задач наряду с методом моментов во второй главе рассмотрены возможности применения метода максимального правдоподобия.

Функция правдоподобия для рассматриваемой задачи определяется выражением вида:

Г(х'(у'),у") --= t[f(Ay').

)>[ (i = 1, 2, .... т) - выборка объемах (I = 1, 2, L) из генеральной совокупности независимых переменных - компонент вектора у. Каждому набору компонент вектора / при фиксированном / соответствует значение зависимой переменной х (у1) с теоретической (2К - /^-параметрической функцией распределения вида (1.7), которое также входит в выборку данных.

Оценкой максимального правдоподобия параметров 1 является такое его значение, для которого

Р(х' (у'), у') = тахР(х' Су'), у'). (1.29)

Л.Г

Особенности практической реализации метода максимального правдоподобии рассмотрены для модели катастрофы сборки. В этом случае в соответствии с (1.12)-(1.14) плотность условной вероятности имеет вид

f(x\y) - ехр (0 + f 1/2 Х2? - 1/4 /Г Л

где

С - .V - у, Л, - а'„ + ¿«'.у,, X, -- и,; t- £а2у,, у = у„ + £>,v.

<-/ ii' , i

Практически удобно использовать логарифм функции правдоподобия Р= 1н(ЦЛ„Я.г,г,0)) = lntlf(x'\y') - ¿0, !-

-■г +

+ J/2fa; +£ау!Хх'-ув-2гУ,/ -

„I ;W

- l/4ß(x' -у„-£гУ,У-i- i

Параметры а,', а], у,, (7 = 0, ..., /я,) находятся из решения системы нелинейных уравнений:

а? . дР п дР . дР

-- = 0. --- = 0,-----0,1^0, ...,т, — -0.

да да' ду, dß

Для нахождения частных решений данной системы была разработана комплексная вычислительная программа. На первом этапе решения использовался метод градиентного спуска, в котором в качестве начального приближения для вектора параметров р = (l,,Ä2,y,ß) выбирались следующие значения искомых параметров:// 0,у = у,щеу - вектор коэффициен-

I т

тов линейной регрессии типа (1.11), X, = О, X, = -уа-~£y,y')J-

i-i ,-1

Отметим, что градиентный метод хорошо работает лишь на первых шагах поиска максимума. Поэтому на втором этапе использовался метод Ньютона. Переход к этому методу происходит в тот момент, когда все собственные числа матрицы Гесса рассматриваемой системы становятся одного знака, что означает что функция Р становится знакоопределенной.

Скорость сходимости метода Ньютона достаточно высока, но и она резко падает в окрестности критической точки функции максимального правдоподобия. Поэтому на третьем, заключительном этапе используется метод покоординатного спуска.

Помимо методов расчета параметров моделей многомодальных распределений, необходимо указать критерии, которые позволили бы с известной степенью точности утверждать, что выбранная модель подходит для совокупности рассматриваемых данных.

Для проверки гипотезы модели катастрофы в диссертации предлагается использовать два критерия.

Первый критерий осносан на использовании статистического критерия согласия (Пирсона) по отношению к модели линейной регрессии. Значение параметра £ определяется формулой:

£ = ~2(1п(Р,) - 1п(Р,)), где /. [7/

Р0 - ГТЛ-схр (~В(х' ~у„) ~ значение функции макси-

J--] \( ТЕ

мального правдоподобия для линейной регрессии, В = и~/2,

Р, - значение функции максимального правдоподобия для рассматриваемой многомодальной плотности распределения для модели катастрофы Азкч.

Второй критерий состоит з проверке на адекватность модели катастрофы л~к_,. Соответствующий критерий - односторонний/-критерий, который вычисляется с использованием асимптотической дисперсии :

I — ,где

У<Р-Ли

Р, - значение ¡-го параметра;

- оценка асимптотической дисперсии ¡-го параметра.

В качестве У(р,) выбирается /-ый диагональный элемент обратной матрицы Гесса для натурального логарифма функции максимального правдоподобия.

Полученные таким образом асимтотические оценки используются для вычисления асимтотических ^статистик, с целью проверки гипотезы о равенстве нулю соответствующего коэффициента распределения.

Модель многомодального распределения принималась удовлетворительной, если оба критерия одновременно давали положительный результат.

В третьей главе диссертации проводится исследование эффективности разработанных методов обработки статистических данных на основе построения аналитической модели, соответствующей бимодальному распределению типа катастрофы «сборки».

Для построения такой модели был предложен следующий подход. С помощью генератора случайных чисел задаются значения независимых переменных (у,,у,). Для каждой пары (у„,у2,) формируется несколько значений (М) наблюдаемой переменной х, плотность распределения которой имеет вид (1.6). Для этого область (-со,-на) возможных значений х делится на три интервала (-ю,хп.п), [хтп,хпт], (хтп,-кх>), хт^п хтах выбираются из

условия, что ¡/(4\уМ' + <еР5 > гДе еРх ~ заданное значение.

Отрезок [хш„,хтп] делится на несколько равных частей, для каждой из которых вычисляется вероятность р,- того, что хтш + (' - 1 Ь < х ± х,пщ + Иг, где / - номер интервала, И - его длина. По найденной вероятности можно рассчитать количество точек, которые попадут в /-ый интервал: = С помощью генератора случайных чисел разыгравается Л',- точек, которые лежат на отрезке [хтш \ ([ - 1)к, хтш + + ¡к]. Сформированные таким образом исходные данные использовались для тестирования методов восстановления статистической модели. С помощью метода моментов удается восстановить параметры плотности рас-

пределения, близкие к исходным данным. Таблица 1 содержит исходные значения параметров А,,Л.и значения этих параметров, полученные с помощью метода моментов. Аналогичные расчеты были проведены и методом максимального правдоподобия. Полученные результаты приведены в таблице 1.

Таблица 1,

Метод моментов Метод максимального правдоподобия

Рассчитанные данные Исходные данные Рассчитанные данные Исходные данные /-статистика

1,00 0,7 0,13 0,1 0,50

0,06 0,1 0,44 0,4 1,43

а\ -0,019 -0,1 -0,31 -0,3 -1,20

2 а Ц -0,30 -0,2 3,32 3,3 2,31

а] 0,071 0,1 -0,32 -0,3 -0,37

а] 0,84 1 -1,83 -1,8 -2,27

Го 0,28 0,2 -0,15 -0,14 -1,45

Г, - - -0,29 -0,3 -2,42

?! - - 0,036 0,04 0,37

Р 1 1 3,06 3,1 2,82

7 % - статистика 23,65

Проведенное численное исследование показало достаточную эффективность методов, а также зависимость качества восстановления параметров модели от характера распределений исходных данных, их соответствия выделенным подтипам: квазиунимодальное или многомодальное распределение.

В третьей главе также дается описание разработанных программных средств. Разработанный программный комплекс состоит из трех частей:

1. подсистемы ввода информации;

2. расчетного модуля;

3. подсистемы вывода полученных результатов.

Подсистемы ввода и вывода реализованы с помощью средств электронной таблицы Excel 7.0. Такой выбор определен большой распространенностью данного программного продукта, возможностью представления данных разного типа, простотой ввода и редактирования информации, возможностью обмена данными с различными приложениями.

Ввод первоначальной информации и вывод полученных результатов осуществляется в файл в формате электронной таблицы Excel, который содержит программные модули на языке Visual Basic и набор необходимых экранных форм. Полученные результаты заносятся на рабочий лист "Результаты". Они включают исходные значения независимых переменных, решения уравнения, задающего модель катастрофы сборки, а также коэффициенты асимметрии и бифуркации как для исходных данных, гак и рассчитанных параметров функции распределения. Кроме этого, для каждого найденного параметра катастрофы сборки выводятся:

• значение ¿-статистики,

• значение асимптотического критерия

Примеры экранных форм для программы восстановления коэффициентов многомодальной функции распределения с помощью метода максимального правдоподобия представлены на рисунках 1 и 2.

При выполнении диссертационной работы был разработан дополнительный модуль, позволяющий быстро вводить и накапливать данные в соответствии с исследуемой проблемой. Модуль создан на базе Microsoft Access и позволяет выполнять предварительную иерархическую сортировку, проверку, категоризацию, ранжирование и последующий экспорт данных в среду Microsoft Excel или Statistica с целью более глубокого анализа. Разра-

ботанный модуль представляет собой ветвящуюся структуру и основывается, прежде всего, на логическом анализе, моделирующем в какой - то мере процесс мышления самого пользователя, освобождая его от утомительного ввода множества параметров.

Рис. 1.

: 4 о.'со ~

! о/из

г—

ч е Г» оде- Ы я» _«•

и ч..;.,,,,.....J __

] -0.140 -и ЛИ

л г

I • г

> М . Д .

мово.' п.^Л!:^1 ел

ЗОН 02931 , <М407В

АМ5

.V д.ггвз /,>7г>1м'

1П. 151Ч1«?- Юв?Ч4 83 37Ю 01«ВЛ- вК15е '».ООО! 99.5128 ОЗшг. 1?.«1ЛПи

л: 1Л8 1 В5 "1Г171 П0.1А77Й 7^57 «1 «Г- ПГГ-^ 037188 в Я641.

7* -Л иЛ 74« Л.37ИП 2 1М I? 05 647.Э И 2.Э0С;!е

Ь4 1ЛС.ГЛ7 6Й047Ч- 0 35174' 3.«'^ 1?'Л-*. ».«'¿3 (вдии ай-УМг, аа '-«мита- 36. ГОЙ-1 гл <¿4! ■ 031357 г.«в1в з?.<к*эи яс.гпгт о.лв/7д

7 в А'1 0Г.?8 8* .ЮМ 0 476/3 в Ы024 7.56;;? «.№2«. ?51ЛЭГ 0,51528 0.1«Л7Г 3« 23 1Л»' М.2ЫЙ- вО.Ов!» 4.3**4.3 161311 ?2.7эзт: М.03О1 гЦ^».'!. -О.оОЗ

р -ое| 94. * 1 ^ / м. /И

.. " .■■:"' . . ; л' V- .■•.■:■

йО

Рис. 2.

■м

В заключение диссертационной работы изложены основные результаты. В качестве таковых выделены следующие.

• Дано обоснование представления функции плотности распределения случайной величины с помощью универсальной деформации катастрофы каспоидного типа.

• С использованием существующих методик (метод моментов и метод максимального правдоподобия) получены значения параметров предложенной функции распределения.

• Разработаны алгоритмы подготовки набора исходных данных с заданной функцией распределения каспоидного типа. Проведена проверка эффективности восстановления параметров исходной функции распределения для различных исходных данных.

« Разработана методика проверки гипотез о наличии распределения каспоидного вида (апробирована на примере модели катастрофы "сборки").

» Создан программный комплекс, позволяющий накапливать и обрабатывать статистические данные, имеющие характер распределения, отличный от нормального, с использованием эталонной модели теории катастроф.

Применение разработанных методов является перспективным в статистических исследованиях таких областей знания, как социология, политология, экономика, медицина и биология, где существует большое количество данных, имеющих характер распределения, отличный от нормального. Актуальным является использование разработанных подходов в теории управления для моделирования конфликтных ситуаций и выработки рекомендаций по применению комплекса мер для предотвращения кризисов.

СПИСОК

научных работ, опубликованных по теме диссертации

1. Клюжев В.М., Ардашев В.М., Мамчич Н.Г., Барсов М.И., Глухова С.И., Применение методов математического моделирования в клинической практике// ВМЖ, №5, 1997.- 41-45 с.

2. Глухова С.И., Палкин Е.А., Нелинейные методы статистической обработки данных с использованием моделей катастроф// Вопросы дифракции и распрстранения электромагнитных волн: Междуведомственный сборник- М.: издательство МФТИ, 1999-32-40с.

3. Глухова С.И., Нелинейные методы статистической обработки данных// Возможности и перспективы агрессивной, инвазивной терапии и

пластической реконструктивной хирургии.: Тез. докл. науч.-практ. конф,- М.: ГВКГим. H.H. Бурденко, 1999.-217-218 с.

4. Ардашев В.М., Господаренко A.J1., Глухова С И., Врублевский О.Ю., Влияние капотена на ремоделирование левого желудочка при трансмуральном инфаркте миокарда передней локализации// Науч. конф.: Материалы- М.: ГВКГ им. Н. Н. Бурденко, декабрь 1998,- 97 с.

5. Александров A.C., Шаповалов С.Л., Милявская Т.И., Глухова С.И., Влияние автономного плавания на функциональное состояние зрительного анализатора подводников// Актуальные вопросы медицинского обеспечения полетов.: Тез. докл. конф., посвященной 60-летию кафедры авиационной и космической медицины РМАПО МЗ РФ - М.: РМАПО, 1999.-15-16 с.

6. Александров A.C., Шаповалов С.Л., Милявская Т.И., Глухова С.И., Изменение частотно-контрастной чувствительности зрительного анализатора у подводников в период автономного плавания// Актуальные вопросы медицинского обеспечения полетов.: Тез. докл. конф., посвященной 60-летию кафедры авиационной и космической медицины РМАПО МЗ РФ -М.: РМАПО, 1999,-16 с.

7. Ардашев В.Н., Глухова С.И., Зпобин С.П., Тестовый контроль знаний в оценке подготовки зрачей-терапевтов многопрофильного госпиталя// Медицинская информатика накануне 21 века.: Тез. докл. Всероссийской научной конф,- С.-П.: BMA, 1997 - 224 с.

8. Глухова С.И., Малька А.И., Ермолинский И.И., Способ прогнозирования адаптационных реакций у больных раком яичников при проведении полихимиотерапии// Рационализаторское предложение, апрель 1997г.

9. Слободин К.Э., Глухова С.И., Критерии оценки глаза с помощью ультразвукового исследования в норме//' Актуальные вопросы медицинского обеспечения полетов.: Тез. докл. конф., посвященной 70-летию основания кафедры рентгенологии и радиологии BMA - С.-П.: BMA, 1999.-132-133 с.

10. Слободин К.Э., Глухова С.И., Критерии оценки глаза с помощью ультразвукового исследования в норме// Современные возможности лучевой диагностики заболеваний и повреждений у военнослужащих.: Тез. докл. конф., посвященной 70-летию основания кафедры рентгенологии и радиологии BMA - С.-П.: BMA, 1999.-132-133 с.

11. Слободин К.Э., Глухова С.И., Современные возможности ультразвуковой диагностики заболеваний и повреждений глаз в условиях многопрофильного учреждения// Современные возможности лучевой диагностики заболеваний и повреждений у военнослужащих.: Тез. докл. конф., посвященной 70-летию основания кафедры рентгенологии и радиологии BMA - С.-П.: BMA, 1999132-133 с.

10. Слободин К.Э., Глухова С.П., Критерии оценки глаза с помощью ультразвукового исследования в норме// Современные возможности лучевой диагностики заболеваний и повреждений у военнослужащих.: Тез. докл. конф., посвященной 70-летию основания кафедры рентгенологии и радиологии BMA-С.-П.: BMA, 1999.-132-133 с.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Глухова, Светлана Ивановна

ВВЕДЕНИЕ. стр. 3

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В ОБРАБОТКЕ ДАННЫХ. стр. 6

1.1. Роль статистической обработки в анализе данных эксперимента. стр. 6

1.2. Метод главных компонент. стр.

1.3. Факторный анализ. стр. 10

1.4. Кластерный анализ. стр. 14

1.5. Дискриминантный анализ. стр. 17

1.6. Регрессионный анализ. стр. 21

1.7. Перспективы развития методов обработки данных на ЭВМ. стр. 22-

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МОДЕЛЕЙ КАСПОИДНЫХ КАТАСТРОФ.

2.1. Теория катастроф как метод статистических исследований. стр. 27

2.2. Каспоидные особенности как модели многомодальных одномерных статистических распределений. стр. 30

2.3. Метод моментов для определения параметров многомодальных распределений. стр. 37

2.4. Метод максимального правдоподобия. стр. 51

2.5. Численные методы поиска максимума функции максимального правдоподобия. стр. 55

2.6. Методы расчета параметрических интегралов от экспоненциальных функций. стр. 61

2.7. Проверка гипотезы о многомодальном распределении. стр. 65-

ГЛАВА 3. АНАЛИТИ ЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. стр. 70

3.1. Метод моментов. стр. 70

3.2. Метод максимального правдоподобия. стр. 77

3.3. Описание программного комплекса расчета параметров катастрофы "сборки". стр. 83

3.4. Программный модуль накопления и предварительной обработки данных. стр. 91

Введение диссертация по физике, на тему "Параметрические нелинейные модели теории катастроф в методах статистической обработки данных эксперимента"

Необходимо отметить, что в подавляющим большинстве экспериментов важным моментом предварительного анализа данных является проверка соответствия результатов измерения закону нормального распределения. Это тем более важно, что все параметрические критерии, применяемые в регрессионном и дискриминантом анализах, являются очень чувствительными к отклонениям от предположения о нормальности. Между тем существует значительное количество данных, либо вообще не поддающихся анализу с помощью кривой нормального распределения, либо не удовлетворяющих основным предпосылкам, необходимым для ее использования. В связи с этим, большой перспективой для статистической обработки таких данных является применение мультимодальных законов распределения и использование математических моделей теории катастроф.

Мультимодальные распределения имеют тесную связь с распределениями нормированных сумм зависимых случайных величин: согласно центральной предельной теореме такие распределения в пределе представляют собой взвешенные нормальные распределения, количество мод которых, вообще говоря, зависит от среднего уровня корреляций между слагаемыми. Методы теории катастроф позволяют изучить топологию таких распределений, выявить моменты смены мод, получать оценки по математическому ожиданию с устраненной аномалией дисперсии.

В связи с последним отметим, что использование средних величин во многих исследованиях требует определенной осторожности - должен быть соответствующий контроль дисперсии оцениваемых по среднему случайных величин, так как возможна аномалия дисперсии. Это служит указанием на то, что "классические" оценки по среднему значению нуждаются в серьезной корректировке. И причина тому - проявление мультимодальности (чаще бимодальности) распределения.

Методы математической статистики позволяют установить форму и степень связи между изучаемыми явлениями, но они плохо пригодны для выявления внутренних, скрытых механизмов установления связей. Поэтому для выводов качественного характера об исследуемых объектах представляется наиболее перспективным применение методов теории катастроф для построения соответствующих моделей на основе имеющихся статистических данных.

В то же время ни в коей мере не следует переоценивать роль и значение закономерностей, полученных при использовании статистических программ, целиком полагаясь на их "бесстрастность" и объективность. Человеческий фактор пронизывает насквозь всю автоматическую систематизацию данных. Выбор наиболее существенных характеристик осуществляется разными исследователями по-разному, поскольку выбранные характеристики, описывающие объект исследования, несут на себе субъективизм исследователя, т. е. его знание исследуемого объекта, его догадки и гипотезы. Кроме этого, субъективизм проявляется в предпочтении исследователем определенных статистических приемов анализа, выборе определенные критерии значимости и т. п. Но с научной точки зрения нельзя основывать любое утверждение на анализе каким - то одним, излюбленным методом, независимо от того, что показывает критерий. Подтверждение всегда необходимо искать как в независимом повторении результатов эксперимента. Поэтому так важно обеспечить исследование адекватными математическими и вычислительными методами. Разработка новых ме тодов анализа; основанных на интеграции методов математической статистики и математических моделей теории катастроф, учитывающих нелинейный характер изучаемых явлений, является предметом настоящего исследования. Диссертация посвящена разработке методов статистической обработки данных с использованием нелинейных параметрических моделей каспоидных катастроф, исследование их характеристик, количественного и качественного соответствия этих моделей сложным объектам экспериментальных исследований. Так использование разработанных методов в анализе медицинских данных позволяет выполнить оценку достоверности выделения клинических признаков, определяющих тяжесть заболевания, развитие осложнений и оценить исход заболевания.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

Выход

Отметим, что градиентный метод хорошо работает лишь на первых этапах поиска максимума. Поэтому на втором шаге используется метод Ньютона. Итерационная схема Ньютона записывается следующим образом: р/(+! = р/с + Як(р/С -рк), где рк является решением системы линейных уравнений Hess pk ~ Hess рк д2р эр

Hess = -1— , i, j = 1, ., Sk+4 - матрица Гесса для функции максимального правдоподобия в к-ой точке, вектор первых производных от функции максимального дР др правдоподобия в к-ой точке.

Параметр Хк лежит в пределах 0 .1и определяется из условия: кШ = тах/к(Л),

0:-,Л<] fkß) = Р(рк + h(Pk -Рк))

Матрица Гессе может быть рассчитана как численно, так и аналитически (см. таблицу 2.2).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении, рассмотрим основные результаты, полученные в данной работе.

Отправной точкой проведенных исследований явилась классификационная теорема Тома. Это позволило ограничить семейство функций плотности распределения наблюдаемых величин их каноническими формами в окрестности критической точки. В частности, стандартное нормальное распределение является примером функции, имеющей морсовскую особую точку в начале координат. При работе над диссертацией в качестве моделей многомодальных одномерных статистических распределений были выбраны особенности каспоидного типа

А~2к1 . Следует отметить, что связь между независимыми и зависимыми опытными данными исследуется с использованием либо детерминистского, либо стохастического подходов. В первом случае каноническая форма функции катастрофы используется для непосредственного описания связи между исходными данными. Во втором случае в виде канонической формы записывается условная плотность вероятности распределения наблюдаемой величины. В данной работе был развит вероятностный подход и получены следующие результаты.

• С использованием существующих методик (метод моментов и метод максимального правдоподобия) получены значения параметров предложенной функции распределения. Отмечено, системы уравнений метода максимального правдоподобия имеют как правило несколько решений и потому могут использоваться лишь для уточнения параметров модели. Первичная оценка их значений может быть найдена методом моментов.

• Разработана методика проверки гипотез о наличии распределения каспоидного вида (аппробирована на примере модели катастрофы "сборки").

• Создан программный комплекс, позволяющий накапливать и обрабатывать статистические данные, имеющие характер распределения, отличный от нормального, с использованием эталонной модели теории катастроф.

Таким образом, данная работа позволила решить в рамках теории катастроф две типичные задачи статистической обработки:

1. оценить параметры моделей многомодальных распределений на примере модели катастрофы сборки;

2. оценить достоверность построенного распределения.

В данной работе многомодальное распределение априорно задается через универсальную деформацию, отвечающую особенностям каспоидного характера

А~к,. Поэтому в перспективе развития данных методов лежит решение задачи о корректном выборе модели катастрофы (типа особенности).

Методы, разработанные в ходе настоящего исследования могут быть использованы для прогностических целей, проверки гипотез относительно выделения достоверно значимых признаков, определяющих, например, степень тяжести заболевания, признаков, влияющих на исход заболевания, развитие тех или иных осложнений, поиска оптимальной тактики лечения.

Актуальным является использование разработанных подходов в теории управления для моделирования конфликтных ситуаций и выработки рекомендаций по применению комплекса мер для предотвращения кризисов.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Глухова, Светлана Ивановна, Москва

1. Айвазян С. А., Бухштабер В. М., Енюков И. С., Мешалкин JI. Д. Прикладная статистика.// М.: Финансы и статистика, 1989.-607 с.

2. Айвазян С. А., Бухштабер В. М., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика. Классификация и снижение размерности.// М.: Финансы и статистика, 1989.-607 с.

3. Айвазян С.А., Бажева З.И., Староверов О.В. Классификация многомерных наблюдений.//М.: Наука, 1974. 416 с.

4. Александров В.В., Шнейдеров B.C. Обработка медико-биологических данных на ЭВМ.// М. Медицина, 1984. 160 с.

5. Амосов А. А. и др. Вычислительные методы решения инженерных задач. Нелинейные уравнения и системы. М., 1991.-235 с.

6. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. А. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994.

7. Ардашев В.Н., Яковлев Г.М, Булычев А.Б. Методы оценки различных вариантов течения ишемической болезни сердца.// Международные медицинские обзоры, 1993, №4.-С.16-17.

8. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990.

9. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ.// Мир, 1982. 488 с.

10. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Т. М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

11. П.Болшев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики.// М.: Наука, 1983.-416 с.

12. Большев Л. Н., Смиронов Н. В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.

13. Боровиков В. П., Боровиков И. П. STATISTICA Статистический анализ и обработка данных в среде Windows. - М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1997.-608 с.

14. Бочаров П. П., Печенкин А. В.Теория вероятностей. Математическая статистика. М.: Гардарика, 1998. - 328 с.

15. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. -М: Наука, 1988.-549 с.

16. Власов В.В. Эффективность диагности-ческих исследований. // М.: Медицина, 1988.- 256 с.

17. Воловой B.JI. и др. О непрямом определении максимального потребления кислорода.// Клинич. Медицина, 1984. Т.62, № 3 - С.115-119.

18. Волынский Ю.Д., Курочкина А.И. О месте многомерной статистики в клинико -физиологических исследованиях.// Кардиология, 1980. Т.20, № 5 - С. 88 - 91.

19. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир, 1984. - 285 с.

20. Глухова С.И., Нелинейные методы статистической обработки данных// Возможности и перспективы агрессивной, инвазивной терапии и пластической реконструктивной хирургии.: Тез. докл. науч.-практ. конф- М.: ГВКГ им. H.H. Бурденко, 1999,-217-218 с.

21. Глухова С.И., Палкин Е.А., Нелинейные методы статистической обработки данных с использованием моделей катастроф// Вопросы дифракции и распрстранения электромагнитных волн: Междуведомственный сборник- М.: издательство МФТИ, 1999,- 32-40 с.

22. Демиденко Е. 3. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1981.-302 с.

23. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Финансы статистика, 1986.

24. Дронов И.Ф., Ипатов Е.Б., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Табулирование дифракционных интегралов. // Сб. Распространение радиоволн в ионосфере / М„ ИЗМИРАНСССР. 1978. С.57-63.

25. Дюк В.А. Компьютерная психодиагностика.// СП.: Братство, 1994.-364 с.

26. Дюран Б. Кластерный анализ: Пер. с англ.// М: Статистика, 1977. 128 с.

27. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. // М.: Финансы и статистика, 1996. 368 с.

28. Ипатов Е.Б., Крюковский A.C., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Краевые катастрофы и асимптотики. / Доклады АНСССР. 1986. г.291. N4. С.823-827.

29. Ипатов Е.Б., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Распространение электромагнитных волн в ближнем и дальнем космосе. Специальные функции волновых катастроф (свойства и методы расчета). Учебное пособие. М., МФТИ. 1988. 60с.

30. Ипатов Е.Б., Лукин Д.С., Палкин Е.А. Численные методы расчета специальных функций волновых катастроф. /Журнал вычислительной математики и математической физики. 1985. т.25. N2. С.224 236.

31. Клюжев В.М., Ардашев В.М., Мамчич Н.Г., Барсов М.И., Глухова С.И., Применение методов математического моделирования в клинической практике// ВМЖ, №5, 1997.-41-45 с.

32. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. 8-е изд. - М: Физматгиз, 1963.

33. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1979.

34. Лукин Д.С., Ипатов Е.Б., Палкин Е.А. Алгоритм численного расчета специальных функций типа быстро осциллирующих интегралов. // Сб. Вопросы дифракции электромагнитных волн / М., МФТИ. 1982. С.21-35.

35. Поляков JI.E. Статистические методы исследования в медицине и здравоохранении.// М.: Медицина, 1971. 200 с.

36. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения.// М.: Мир, 1980. 608 с.

37. Розова Н.К., Мешалкин Л.Д. Математическая оценка программ реа-билитации.// Кардиология, 1975. Т. 15, № 9 - с.11 - 83

38. Тюрин Ю. Н., Макаров А. А. Анализ данных на компьютере. М.: ИНФРА - М, Финансы и статистика, 1995. - 384 с.

39. Халфен Э.Ш. Кардиологический центр с дистанционным и автома-тическим наблюдением за больными.// М.: Медицина, 1980. 189 с.

40. Чеботарева Н.М. Хирургическое лечение внутримозговых кровоизлияний, обусловленных артериальной гипертензией.// М.: Медицина, 1984. 176 с.

41. Bates, D. М., & Watts, D. G. Nonlinear regression analysis and its applications. New York: Wiley, 1988.

42. Cobb L. Parameter estimation for the cusp catastrophe model.// Behavioral Science, 1981, v. 26.

43. Cobb L., Koppstein P., Chen N. H. Estimation and moment recursion relations for multimodal exponential distributions // Journal of the American Statistical Association, 1983, v. 78, P. 124-130.

44. Cobb L., Zacs S. Applications of Catastrophe theory for statistical modeling in biosciences.// JASA, 1985, vol. 80, № 392, p. 793 802.

45. Fararo T. An introduction to catastrophes.// Behavioral Science, 1978, 23, p. 291-317.

46. Forges F. Et all. Prognostic factors of metastatic renal carcinoma: a multivariate analysis.// Seminars in surgical oncology, 1988, vol. 4, № 3. p. 149 - 154.

47. Giii, A. Nonlinear multivariate analysis. Department of Data Theory, The University of Leiden. The Netherlands, 1981.

48. Lu Y. Singularity theory and an introduction to catastrophe theory. New York:1101. Springer-Verlag, 1976.

49. Oliva T.A., Desarbo W.S., Day D.L., &Jedidi K. GEMCAT: A General multivariate methodology for estimating catastrophe models // Behaviorial Science, 1987. v. 32.

50. Overall J.E., Williams C.M. Models for medical diagnosis.// Behavioral Science, 1961, vol.6, №2, -p. 134 146

51. Seber, G. A. F., & Wild, C. J. Nonlinear regression. New York: Wiley, 1989.

52. Thom R. Structural stability and morphogenesis: An outline of a general theory. Reading, MA: Benjamin.

53. Vander Poel H. C., Mulders P.F., Oosterhof C.O., Schaafeman H.E. at all. Prognostic value of karyometric and clinical characteristics in renal all carcinoma.// Cancer, 1993, vol. 72, № 9. -p. 2667 2674.