Параметрические задачи оптимального управления с приближенно известными исходными данными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ФРОЛАГИНА Елена Владимировна

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПРИБЛИЖЕННО ИЗВЕСТНЫМИ ИСХОДНЫМИ ДАННЫМИ

Специальность: 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2008

003461058

Работа выполнена в аспирантуре Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского и в Нижегородском государственном техническом университете им. Р.Е. Алексеева

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук, профессор М.И. Сумин Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Д.В. Баландин

Кандидат физико-математических наук, доцент М.М. Потапов

Ведущая организация — Институт математики и механики Уральского Отделения РАН

Защита диссертации состоится _________ 2009 г.

в____час. на заседании диссертационного совета Д 212.166.06 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Нижегородском государственном университете по адресу: 603950, Нижний Новгород, пр.Гагарина, 23, корп.2, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.

С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского http://www.unn.ru

Автореферат разослан "__________ 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.166.06, кандидат физи^о-Аатематинеских наук, доцент МЛ/М» ¿Уп В.И.Лукьянов

Общая характеристика диссертации

Диссертация посвящена развитию математической теории оптимального управления для задач с ограничениями, содержащими аддитивно входящие в них параметры, и с исходными данными, то есть функциями, задающими "правые части" дифференциальных уравнений, интегранты и терминальные слагаемые функционалов, известными лишь приближенно.

Актуальность темы. Хорошо известно, что центральный результат математической теории оптимального управления - принцип максимума Понтрягина явился результатом потребностей сугубо прикладных исследований1. За время, прошедшее после его открытия, теория необходимых условий оптимальности и, прежде всего, теория самого принципа максимума получили громадное развитие.

Однако в абсолютном большинстве работ, посвященных теории необходимых и достаточных условий в оптимальном управлении, рассматривались задачи, исходные данные которых подразумевались априори заданными и точно известными. Из громадного числа работ, посвященных теории необходимых и достаточных условий можно указать лишь несколько работ, в которых при анализе этих условий в задачах оптимального управления так или иначе учитывалась возможность приближенного задания входных данных. К их числу можно отнести, пожалуй, лишь работы М.И. Сумина2 .

В то же время, представляется, что развитие теории необходимых и достаточных условий в направлении учета приближенно известных исходных данных столь же естественно, что и развитие методов решения задач оптимизации и оптимального управления3, теории некорректных задач4. Это обусловлено, во-первых, потребностями многочисленных приложений, неизбежно приводящих к необходимости учета приближенно известных исходных данных (исходные данные могут содержать поставляемые экспериментом функции, физические константы и т.п.), во-вторых, тем, что при анализе алгоритмов решения задач оптимизации и оптимального управления самую существенную роль играют именно необходимые и достаточные условия оптимальности, и, в-третьих, тем, что, с общей точки зрения, задачи оптимального управления представляют собой тот класс математических задач, в котором неустойчивость по возмущению исходных данных не является патологическим событием.

'Гамкрелидее Р.В. Математические работы Л.С. Понтрягина // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Труды Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (Москва, 31 августа-6 сентября 1998 г.). Том I. Оптимальное управление. 1998. T.G0. С. 5-23.

2[С1] Сумин М.И. Оптимальное управление системами с приближенно известными исходными данными // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т.27. //о2. С. 163-177.

[С2] Сумин М.И. Математическая теория субоптимального управления распределенными системами: Диссертация ... доктора физ.-мат. наук. Н.Новгород: ННГУ, 2000.

3[В1| Васильев Ф.П. Метены оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

'Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач, М.: Наука, 1986.

Возникающие в этой ситуации при изучении необходимых и достаточных условий трудности связаны, прежде всего, с тем обстоятельством, что само понятие классического оптимального управления в случае приближенно известных данных в значительной степени "теряет смысл", так как в "возмущенной" задаче оптимального элемента может и не существовать, а в случае его существования не вполне понятно какое "отношение" оно имеет к исходному оптимальному управлению невозмущенной задачи. Рассмотрим в этой связи три простейших иллюстративных примера.

Пример 1. Пусть имеется задача минимизации с ограничением типа равенства

J (x(t) + u(t))dt min, х(1) = 1, где я;(£) - решение задачи Коши

х = u{t), х(0) = 0, t 6 [0,1], u(t) е [-1,1].

Легко видеть, что в этой задаче оптимальное управление uo(t) = 1. Оно может быть идентифицировано с помощью принципа максимума. Так как единица принадлежит границе области достижимости в рассматриваемой задаче, то это же управление можно трактовать как экстремальное управление {см., например,5) и идентифицировать с помощью принципа максимума для экстремальных управлений. Рассмотрим возмущенную задачу

+ u{i))dt -* min, z(l) = 1 + <5, S > 0.

Очевидно, множество классических допустимых управлений в возмущенной задаче пусто. По этой причине понятие классического оптимального управления теряет для нее смысл при любом сколь угодно малом 6 > 0.

Пример 2. Рассмотрим хорошо известную (см., например, [В1]) задачу

£(x2(t) - u2(t))dt -* min, jf1 x2{t)dt = 0,

где x(t) - решение той же задачи Коши, что и в предыдущем примере, и так oice u(t) € [—1,1]. Оптимальное управление здесь uo(t) = 0, а нижняя грань задачи равна нулю. Пусть возмущенная задача имеет вид

J^(x2(t) — u2(t))dt —* min, J\2{t)dt = 6, 5>0.

Можно показать, что оптимальное управление в возмущенной задаче при всех достаточно малых 6 > 0 существует и имеет вид функции, принимающей значения ±1 с учащающимися переключениями при 6 —► 0. При этом очевидно,

5 Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

что такие управления не сходятся в метрике Ьр при любом р £ [1, +оо] к оптимальному в невозмущенной задаче. Более того, как известно (см., например, [В1]), нижняя грань возмущенной задачи стремится к значению —1, которое не совпадает с нижней гранью исходной задачи.

Пример 3. Рассмотрим обратную задачу финального наблюдения для уравнения теплопроводности по восстановлению начального возмущения, эквивалентную задаче оптимального управления

Единственным допустимым и оптимальным (классическим) управлением в этой задаче является v(x) — О, О < х < 1. Рассмотрим возмущенную задачу

где р € ¿^(0,1) - не равная нулю функция, имеющая разрывы первого рода на интервале (0,1). Очевидно, поскольку функция р разрывная, то в силу "загла-женности" решений начально-краевой задачи, множество понимаемых классическим образом допустимых управлений в возмущенной задаче пусто.

Анализ рассмотренных примеров, число которых можно неограниченно увеличивать, говорит о естественности и полезности рассмотрения в качестве "основного" элемента теории не классического оптимального управления, а минимизирующей последовательности допустимых управлений, что и делается в настоящей диссертации. Одновременно, в качестве минимизирующей последовательности для изучаемого класса задач принимается не классическая минимизирующая последовательность, элементы которой удовлетворяют ограничениям задачи в точном смысле, а так называемое минимизирующее приближенное решение в смысле Дж. Варги6. Как известно, элементы этих обобщенных минимизирующих последовательностей удовлетворяют ограничениям задачи лишь в пределе. Заметим при этом, что в примерах 1, 3 при 6 > 0 в возмущенной задаче классических минимизирующих последовательностей просто не существует, а в примере 2 при тех

6|В2] Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.

же <5 > 0 они "никак не связаны" с классическим оптимальным управлением в невозмущенной задаче7.

Отметим, что использование понятия неклассической минимизирующей последовательности - минимизирующего приближенного решения в смысле Дж. Варги является адекватным с точки зрения развития содержательной теории указанных задач оптимального управления. Применение минимизирующих приближенных решений, которые ниже будем называть для удобства просто минимизирующими последовательностями, позволяет с единых позиций рассматривать как задачи, для которых их возмущенные аналоги не имеют классических решений (примеры 1,3), так и задачи с разрешимыми в классическом смысле возмущениями (пример 2). Использование минимизирующих в указанном смысле последовательностей оправдано также и потому, что они всегда существуют, удобны с прикладной (инженерной) точки зрения (подробности см., например, в [В2]), несут в себе регуляризирующее начало, и, по сути дела, именно они существенно и используются в теории численных методов оптимального управления, в теории регуляризации некорректных задач8. Подчеркнем одновременно, что одним из основных источников возникновения неклассических минимизирующих последовательностей является конечно-разностная аппроксимация задач оптимального управления с ограничениями.

Использование понятия минимизирующей последовательности в качестве основного приводит к необходимости получения для них необходимых и достаточных условий. Одновременно оказывается естественным вести речь и об их регуляри-зирующих свойствах, а также о регуляризирующих свойствах самого принципа максимума Понтрягина и выделении характерных для задач оптимального управления трех соответствующих уровней регуляризации. Первый из них связан с понятием так называемого регуляризованного принципа максимума для минимизирующих последовательностей, второй - с построением минимизирующих последовательностей в линейно-выпуклых по фазовой переменной задачах и третий, характерный для классической теории регуляризации, - с построением сходящихся по аргументу минимизирующих последовательностей. Отметим, что вопрос о регуляризирующих свойствах принципа максимума Понтрягина возможно рассматривать лишь тогда, когда основным в теории является именно понятие минимизирующей последовательности. По этой причине ранее регуляризирующие свойства принципа максимума Понтрягина никем не рассматривались.

Как уже отмечено выше, в диссертации рассматриваются не "отдельные" за-

7Строго говоря, имеется теснейшая связь этих последовательностей с обобщенными в смысле Р.В. Гамкрелид-зе оптимальными управлениями. В частности, получаемые в работе необходимые условия для минимизирующих последовательностей могут быть "замкнуты" и переписаны в терминах обобщенных оптимальных управлений.

*В частности, отметим здесь, что вырабатываемые в теории некорректных задач по методу невязки (см., например, (В1)) сходящиеся к нормальным решениям уравнений первого рода вида Аг = и последовательности элементов являются ни чем иным, как минимизирующими приближенными решениями в соответствующих задачах минимизации функционалов типа квадрата нормы при ограничении типа равенства [| Аг — и||2 — 0.

дачи оптимального управления с приближенно известными исходными данными, а так называемые параметрические задачи, то есть, другими словами, семейства задач, зависящих от параметров, которые могут быть как конечномерными, так и бесконечномерными. Эти параметры аддитивно входят в ограничения задачи. Изучение параметрических задач, в соответствии с общей идеологией метода возмущений9, дает возможность рассматривать соответствующие функции (функционалы) значений как функции параметра и, основываясь на их специфических дифференциальных свойствах, получать информацию "в целом" о семействе, и, как следствие, во многих важных частных случаях о каждой конкретной задаче отдельно. Одним из таких важных вопросов в случае приближенно известных данных, является, например, вопрос об устойчивости значения задачи. Наличие такого параметра позволяет охарактеризовать также при определенных условиях на исходные данные множество тех задач, в которых можно заведомо пользоваться классическим понятием оптимального управления, несмотря на погрешности в исходных данных. Одновременно изучение параметрических задач позволяет утверждать, что не являются патологическими и задачи, в которых единственно оправданным при неточно известных исходных данных является понятие минимизирующей последовательности.

Отметим, что эффективное изучение параметрических задач оптимального управления, в том числе и с приближенно известными исходными данными, по сути дела, невозможно без использования понятия обобщенной минимизирующей последовательности, еще и потому, что порождаемая именно таким понятием функция значений задачи в самой общей ситуации является полунепрерывной снизу10. Данное обстоятельство позволяет применить к исследованию оптимизационных задач развитый в последние десятилетия аппарат негладкого (нелинейного) анализа, а именно, анализа нормалей (проксимальных нормалей) к замкнутым множествам и обобщенного дифференцирования негладких (полунепрерывных снизу) функций в банаховых пространствах (см., например,11).

Подытоживая сказанное выше, можно утверждать, что теория необходимых и достаточных условий для задач оптимального управления с приближенно известными исходными данными как в случае "индивидуальной", так и параметрической постановки, к настоящему времени практически не развита. В то же время, с учетом сказанного выше, представляется, что развитие теории необходимых и достаточных условий для задач оптимального управления с приближенно известными

"Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

"Заметим, что функция значений, порождаемая классическим понятиен минимизирующей последовательности таким свойством, вообще говоря, не обладает.

"[KJ Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988.

[L] Loewen P.D. Optimal control via nonsmooth analysis. CRM Proceedings and Lecture Notes. V.2. Amer. Math. Soc., Providence, RI,1993.

[M{ Mordukhovich B.S. Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic Theory; II: Applications, Springer, Berlin, 200G.

исходными данными несомненно является актуальной задачей. Подчеркнем при этом, что такая теория неизбежно приобретает определенные черты, свойственные теории методов решения некорректных задач, и, более того, оказывается полезной при исследовании этих методов.

Цель диссертационной работы. Цель диссертационного исследования состоит в разработке теории параметрических задач оптимального управления с приближенно известными исходными данными, заключающейся в исследовании, в первую очередь, вопросов указанной теории, связанных с необходимыми и достаточными условиями на минимизирующие последовательности, с регуляризи-рующими свойствами минимизирующих последовательностей и самого принципа максимума Понтрягина.

Методы исследования. В диссертации использованы методы оптимизации, оптимального управления, негладкого анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными, функционального анализа и теории функций действительного переменного.

Научная новизна и основные результаты. В диссертации получены новые для оптимального управления теоретические результаты, имеющие, в частности и прикладное значение. Автором получены следующие новые результаты:

1. Предложена ориентированная на задачи оптимального управления абстрактная схема исследования задачи оптимизации на полном метрическом пространстве функционала с аддитивно зависящим от параметра ограничением типа включения в выпуклое замкнутое множество гильбертова пространства. Показана применимость предложенной схемы к конкретным задачам оптимального управления с приближенно известными исходными данными.

2. На основе указанных абстрактных результатов получены необходимые и достаточные условия для минимизирующих последовательностей в параметрической задаче оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений с приближенно известными исходными данными. Исследованы регуляризирующие свойства минимизирующих последовательностей и принципа максимума Понтрягина. Получены различные необходимые и достаточные условия регулярности, нормальности, условия устойчивости значений параметрических задач с приближенными данными.

3. Получены необходимые и достаточные условия для минимизирующих последовательностей в параметрической задаче оптимального управления в случае третьей краевой задачи для дивергентного параболического уравнения с приближенно известными исходными данными, исследованы их регуляризирующие свойства.

Степень обоснования результатов диссертации. Все научные положения и выводы диссертационной работы строго математически обоснованы. Результаты, полученные в диссертации, хорошо согласуются с работами других авторов

как отечественных, так и зарубежных.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть применены в теории оптимального управления: 1) при теоретическом исследовании многих сложных конкретных задач; 2) при конструировании численных алгоритмов решения задач оптимального управления.

Результаты диссертации явились составной частью результатов работы, выполнявшейся при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) и Конкурсного центра фундаментального естествознания (КЦФЕ) Минобразования РФ при Санкт-Петербургском госуниверситете:

2003 - 2004 г.г. - грант КЦФЕ (Л/о госрегистрации 01.2.00311910, проект Л/ЬЕ02-1.0-173), тема "Субоптимальное управление распределенными системами: операторные ограничения, граничные управления, численные алгоритмы, регуляризация, обратные задачи" (руководитель проф. Сумин М.И.);

2004 - 2006 г.г. - грант РФФИ (проект Л/о04-01-00460), тема "Субоптимальное управление распределенными системами: операторные ограничения, граничные управления, численные алгоритмы, регуляризация, обратные задачи" (руководитель проф. Сумин М.И.);

2007 - 2009 г.г. - грант РФФИ (проект^07-01-00495), тема 'Теория и алгоритмы оптимизации управляемых систем: субоптимизация, возмущения, двойственность, регуляризация, обратные задачи, вольтерровы уравнения." (руководители проф. Сумин В.И., проф. Сумин М.И.)12.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на IX, X , XI, XII Нижегородских сессиях молодых ученых (Саров, 2004, 2005; Семенов, 2006, 2007)13; на XVI, XVII, XVIII весенних воронежских математических школах "Понтрягинские чтения" (Воронеж, 2005, 2006, 2007); на седьмой всероссийской конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Н.Новгород, 2005); на международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2005, 2006, 2007); на итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства" в Нижегородском госуниверситете (Н.Новгород, 2007).

По теме диссертации неоднократно делались доклады на семинаре по математической теории оптимального управления (руководители проф. Сумин В.И., проф. Сумин М.И., 2008 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в семнадцати научных публикациях [1] — [17], указанных в конце автореферата. В том числе три статьи из них [5], [13], [14] опубликованы в журналах, входящих в список ВАК изданий, рекомендуемых для публикации результатов диссертаций. Общее научное

12Результаты диссертации вошли в отчеты о НИР по указанным грантам.

13 На X и XII сессиях доклады были отмечены дипломами соответственно третьей и первой степени.

руководство исследованиями в течение всего времени работы над диссертацией осуществлялось научным руководителем Суминым М.И. В опубликованных совместно с научным руководителем работах Сумину М.И. принадлежат постановка задачи и идеи доказательств основных результатов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3-х глав (главы I, II, III) и списка литературы. Содержание изложено на 143 страницах, включая список литературы из 93 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении обсуждается актуальность темы диссертации и кратко излагается содержание работы.

В первой главе диссертации, состоящей из трех разделов, изучается абстрактная задача оптимизации

I0{w) inf, /i(iu) е М + q, w е V, q е Н, (1)

где V - полное метрическое пространство с метрикой d(-, •), элементы которого называются управлениями, Н - гильбертово пространство, М С К - выпуклое замкнутое множество, Ig : Т> —► R1 - непрерывный функционал, I\ : V —» 7i -непрерывный оператор (непрерывный векторный функционал), q бН- параметр.

Аксиоматика задачи нацелена на изучение задач оптимального управления с ограничением типа включения и на получение в них результатов, связанных с необходимыми и достаточными условиями на минимизирующие последовательности, а также со свойствами регулярности таких задач. Указанная аксиоматика является упрощенным и модифицированным вариантом абстрактной аксиоматики М.И. Сумина [С2]. В отличие от аксиоматики [С2], целевое пространство здесь предполагается лишь гильбертовым, и отсутствуют аксиомы, обеспечивающие получение абстрактных классических необходимых условий оптимальности, которые в соответствии с этой схемой предполагается получать в каждой конкретной задаче на основе соответствующего предельного перехода. Это позволило существенно упростить абстрактную аксиоматику без существенного ущерба при получении результатов в конкретных параметрических задачах. Все абстрактные результаты формулируются в терминах минимизирующих последовательностей.

В п.1.1 приводится используемый во всех дальнейших построениях первой главы результат (теорема 1.1.1) о необходимых условиях субоптимальности для функционала типа максимума от конечного числа функционалов с некоторым набором традиционных для теории оптимизации свойств.

Далее, в п.1.2 и п.1.3 рассматривается абстрактная параметрическая задача (1), причем в качестве "искомого" элемента теории выступает минимизирующая последовательность в смысле Дж.Варги [В2]. Здесь приводится постановка абстрактной задачи, формулируется абстрактная аксиоматика, доказываются необ-

ходимые условия для минимизирующих последовательностей в двух принципиально разных случаях (теоремы 1.2.1, 1.3.3). В п.1.2 предполагается, что в задаче (1) целевое множество М. является множеством конечной коразмерности, а в п.1.3 - нет. Так же в п.1.3 устанавливается связь необходимых условий с множителями Лагранжа и приводится представление в терминах множителей Лагранжа (точнее, в терминах слабых предельных точек последовательностей множителей Лагранжа) для предельных субградиентов в смысле [L] (теорема 1.3.6), (в основе определения которых лежит понятие проксимальной нормали [К], [L], [Mj), функции значений задачи (1).

Главы II и III посвящены развитию теории оптимального управления в конкретных задачах оптимального управления с приближенно известными исходными данными. В каждой из них на определенном этапе доказательства необходимых условий для минимизирующих последовательностей существенным образом используются результаты абстрактных теорем первой главы.

Вторая глава диссертации состоит из трех разделов и посвящена задаче оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений с ограничениями типа равенства и неравенства с приближенно известными исходными данными и параметрами р G Rk, q € Rl

где Л(и) = (./^(и),..., ,*(и)), = (^2,1 ("), • • •, -Ми))>

Ми) = £Ъ{1,х[итМ№ + фг(х[и}(Т)), ¿ = 0,1,2,

= (-Ри^.я.и),...,X,и)), Р2{Ь,х,и) = (р2,1(г,х,и),...^2,((<,х,и)),

фг(х) = (</>1,1(х),...,^1Л.(х)), фг{х) = (02,1 (а;),...,ф2.1(х)),

х[и] - соответствующее управлению и € V абсолютно-непрерывное решение задачи Коши (а € Я" - заданный вектор)

11 С Я"1 - компакт, V = {и в £<х>(0,Т) : иЦ) € II п.в. на (0,Т)}. Правая часть управляемой системы / : [0,Т] х Д" х йт -+ Д", интегранты ^ : [0,Т] х Я™ х ВТ -» Я1, ^ : [0,Т] х Я" х Ят Я1, : [0,Т] х Я" х Ят —> Я1, функции фо : Я" —* Я1, : Я" —♦ Я1, фг : Я" —» Я1 удовлетворяют традиционным для теории оптимального управления условиям типа Каратеодори.

Обозначим через Р* = {/', Р}, ф*0, ф\, ф\, и5}, где 6 е [0,5о], ¿о > 0 -

некоторое число, наборы невозмущенных (6 = 0) и возмущенных (5 > 0) исходных данных соответственно и будем считать, что выполняются оценки

(Рр*)

Ми) -* inf, J\(u) < р, J2(u) = q, и eV,

x = f{t,x,u{t))> ®(0) = o, i 6 [0,71

(2)

\fs(t,x,u) -f(t,x,u)\ < LM6 V(i, x, и) e [0,T] xS^x SS

'Mi

|i?(i,i,tt) - Ff (t,x,u)\, IVxF?(t,x,u) - VxFf(t,x,u)\ < LM6

V(t, x, и) e [0, T\ x Sffj x Sfî, ¿ = 0,1,2,

№?(z) - </>?(*)|, №f(z) - < LMS Vx € S^f, i = 0,1,2, X(Uâ, U°) < N6,

где — {x € Л™ : |x| < M}, Lu, N > 0 - постоянные, x{A В) - расстояние в смысле Хаусдорфа между множествами А, В.

Согласно [В2], минимизирующей в задаче (Ррл) называем последовательность u'eV, г= 1,2,..., такую, что

< 0(Р, q) + р\ и1 6 р\ ci > 0, р\ а' —» 0, г —► оо,

где

Vam = {u&V: J\,j(u) < Pj + a, j = 1,..., | J2J(u) - Qj\ < a, j = 1,..., l}, PiP, q) = lim Ba(p,q) < Pa{p,q)= inf Mu),

q-»+O neD",

/За(р, q) = +oo, если 2?£7 = 0.

П.2.1 посвящен необходимым и достаточным условиям для минимизирующих последовательностей, регуляризирующим свойствам принципа максимума Понт-рягина в общей параметрической постановке задачи (Рм) при условии существования и равномерной ограниченности траекторий, отвечающих всем управлениям u6 V.

Для формулировки основных его результатов введем предварительно стандартные обозначения:

H(x,t,u,i],p 0,Ai,A2) = (T],f(t,x,u))-p0Fo{t,x,u)-

-(АьF^x,^) - (\2,F2{t,x,u)), L(x,fio, Ai, A2) s цофо(х) + (M,0i(x)) + {X2,<h(x))-Сопряженная система для задачи (Рр,?) запишется в виде (xi = х(Т))

fi=-VxH(x,t,u,ri,(iо.АьАг), г)(Т) = -V^aMT),/^, Аь А2), i€[0,T].

Ее решение обозначим через т][и, До. Ai, А2] = rj[u](t).

Решения х[и], т)[и], функционал Jo, векторные функционалы Ji, J2, множества Z?M, функцию значений /3(p,q), задачу (Pp,q), функции Я, L, соответствующие набору Р5, S G [0,¿о], будем обозначать соответственно через x5[v\, ris[n], Jq, Jf, 4, Vlr P*(p,q), Щ, Hs, L6.

Пусть <5', i = 1,2,..., есть сходящаяся к нулю последовательность положительных чисел, характеризующих ошибку задания исходных данных набора f°

в невозмущенной задаче Нас интересуют условия, которым с необходимо-

стью должны удовлетворять элементы последовательности управлений и' 6 такой, что

JoV) " /9°(Р-«) = Л4 - 0, » - оо, (3)

где а*, ¿ = 1,2,...,- некоторая сходящаяся к нулю последовательность неотрицательных чисел. Такие условия и будем называть необходимыми условиями для минимизирующих последовательностей в задаче с приближенно известными исходными данными.

Теорема 2.1.1 (Принцип максимума для минимизирующих последовательностей). [5], [13], [14]. Пусть (P{p,q) < +оо, 6' > О, 6' —> О, г оо, и последовательность управлений и' 6 г = 1,2,..., а1 > О, а' —> 0, г —> оо,

удовлетворяет предельному соотношению (3). Тогда существует ограниченная и имеющая лишь ненулевые предельные тонки последовательность множителей Лагранжа (/4, А\, Л|), /4 > 0, Aj > 0, /4 6 R1, S Rk, € R1,

(¿4, А', А'2) ф 0, > -С, j = 1,... Л (4)

такая, что

JU veus'

-Hs\xsy](t)Xu%t),Vsy}(t)j4,X\,4)dt < у1,

где 7', г* = 1,2,..., - некоторые сходящиеся к нулю последовательности неотрицательных чисел.

Замечание 2.1.1. [13], [14]. В условиях теоремы 2.1.1 последовательности 6', а1, г = 1,2,..., могут стремиться к нулю произвольным образом, а существование минимизирующей последовательности и', г = 1,2,..., для которой справедливо предельное соотношение (3) постулируется. В общей ситуации при рассогласованном стремлении к нулю последовательностей ¿', a', i — 1,2,..., такой последовательности и', г = 1,2,..., может и не существовать.

Следствием теоремы 2.1.1 являются естественные понятия стационарной и нормальной стационарной последовательностей в задаче (Рр,9) в случае приближенно известных исходных данных.

Определение 2.1.1. [5], [13]. Последовательность управлений и' 6 Х^"'» г = 1,2,..., а' —> 0, г —> оо, назовем стационарной в задаче с приближенно известнылш исходными данными, если существует ограниченная и имеющая лишь ненулевые предельные точки последовательность множителей Лагранжа (/4, A}. Aj) G R1xRkxRl, ц%0 > О, А} > 0, такая, что выполняются соотношения (4) и (5) с С, 7* —> 0, г —> оо.

J3

Определение 2.1.3. [5], [13] Стационарная последовательность управлений и' 6 V, i = 1,2,..., в задаче (Pj¡¡q) называется нормальной, если все соответствующие ей последовательности (см. определение 2.1.1) (yxó, А\, А2), i = 1,2,..., умеют предельные точки (/А),А^Лг) с компонентой fio > 0. Задача (Pp,q) называется нормальной, если все ее стационарные последовательности нормальны.

Далее в п.2.1 получены достаточные условия в задаче с приближенно известными исходными данными. Приведем ради более компактного изложения наиболее общую формулировку этих условий. С этой целью введем следующие Е-функции по формулам EFj(t,y,x,v,u) = Fj(t, у, v) - Fj(t, х, v) - VxFj(t, x, и)(y -z), Еф;{у,х) = ф,(у) - <t>j(x) - Vx<¡>j{x)(y - x), j = 0,1,2, Ef(t,y,x,v,u) = f{t, У, v) - f(t, x, v) - Vx/(í, x, u)(y - x).

Теорема 2.1.2. [5], [13], [17]. Для того, чтобы последовательность управлений иi € ty'f, S¡ > 0, а' > 0, Ó', си1 —» 0, i —> 00, удовлетворяла предельному соотношению (3), достаточно существования ограниченной последовательности наборов множителей Лагранжа

ÚMK) е я1 X Rk х R\ > о, Aj > 0, A ytjW) > -С, j = l,...,k, (6)

такой, что

{f(Hs>(ui(t),ui(t),MÍ)! AÍ, А«) - tfV(í),u(t),/4X (7)

{/0t((/hw. Efí¡(u(t), ¿m+^(^ми.^и^), u(o, «•'(*))+

(A'i, Ep¡i (u(t), u'(t))) + Ef¡í (u(t),u'(t))))dt+ ÚE^iuy) + (AÍ,Еф((иУ)) + <А',£^(иУ))} > Vu € V*/,

где С, €*, i = 1,2,..., - сходящиеся к нулю последовательности неотрицательных чисел, и выполняются условия согласования

6'/а* —► 0, (а' + С + 0Л4-0> * (8)

а также приняты для более краткой записи обозначения:

Hs(u(t),v(t),toAi,A2) н Hs(xs[u](t),t,v(t),riSM(t),»o,Ai,A2), EfS(u(t),v(t)) = Efí(x*[u](t),x6{v](t),u(t),v(t)), EF*(u{t),v{t)) = EF,(xs[u}(t),x6[v}(t),u(t),v(t)), Еф,(и,ь) = Еф*(х'[и](Т),х'[и)(Т)), j = 0,1,2.

В п.2.1 подробно обсуждаются конкретные удобные для проверки условия на исходные данные задачи (í^,), при которых выполняется неравенство (7). Естественно, эти условия теснейшим образом связаны с принципом максимума теоремы 2.1.1, а также со свойствами "линейной выпуклости" этой задачи.

Далее в п.2.1 обсуждаются регулялизирующие свойства неклассических минимизирующих последовательностей и принципа максимума Понтрягина. В частности, подробно обсуждается естественность в случае приближенно известных исходных данных выделения характерных для задач оптимального управления трех соответствующих уровней регуляризации. Первый из них связан с понятием так называемого регуляризованного принципа максимума для минимизирующих последовательностей, второй - с построением минимизирующих последовательностей в линейно-выпуклых по фазовой переменной задачах и третий, характерный для классической теории регуляризации, - с построением сходящихся по аргументу минимизирующих последовательностей.

Переходя на более конкретный язык, рассмотрим регуляризованную с параметром регуляризации а задачу вида

№ А (и) - •/?» + =

где выполняется условие согласования 5/а —+ 0. При этом оказывается , что допустимое множество = {и€Т>5: ^¿(и) < Р; + а, = 1,..., А;, |^¿(и) - < и, ] = 1,..., 1} задачи (Р£%) не пусто при условии непустоты множестваК задаче может быть применена техника, благодаря которой получена вы-

ше теорема 2.1.1. Если при этом выполняется и условие согласования <5/а —+ 0 параметра регуляризации а с величиной 6, характеризующей ошибку задания исходных данных, то оказывается справедливой следующая важная теорема, характеризующая первый уровень регуляризации для задач оптимального управления с приближенно известными исходными данными.

Теорема 2.1.3 (Регуляризованный принцип максимума для минимизирующих последовательностей). [5], [13], [14]. Пусть Р°(р, д) < +оо, <5', о.', г = 1,2,..., такие сходящиеся к нулю последовательности положительных чисел, что выполняется условие согласования 6'/а' —> 0, г = 1,2,____Тогда

существует такая последовательность и' £ г = 1,2,..., для которой вы-

полняется предельное соотношение (3). Для каждой такой последовательности существует ограниченная и имеющая лишь ненулевые предельные точки последовательность множителей Лагранжа А^), у.'й > 0, А}

> 0, /4 € Д1,

А\ € Як, € Я.1, такая, что выполняются соотношения (4), (5), в которых С» 7*1 г = 1)2,..., - некоторые сходящиеся к нулю последовательности неотрицательных чисел.

Замечание 2.1.3. [5], [13]. Принципиальное отличие теоремы 2.1.1 от ее нерегуляризованного аналога теоремы 2.1.3 состоит в том, что в теореме 2.1.3 последовательности 5', а', г = 1,2,..., стремятся к нулю уже согласованным образом (см. замечание 2.1.1). При этом существование минимизирующей по-

следовательности и', i — 1,2,..., для которой выполняется предельное соотношение (3) гарантируется. Таким образом, можно утверждать, что для теории необходимых и достаточных условий в задачах оптимального управления с приближенно известными исходными данными являются естественными условия согласования ошибки задания исходных данных с некоторыми характеризующими "аппроксимирующие задачи" параметрами (см. условия (8)).

Второй и третий уровни регуляризации связаны уже с построением непосредственно минимизирующих последовательностей или, другими словами, с решением задач типов I (сходимость по функции) и II (сходимость по аргументу) по терминологии [В1, с.11].

Далее в п.2.1 обсуждается существенность роли параметров (р, q) в задаче (Рм) с точки зрения изучения свойств регулярности, нормальности задачи, устойчивости оптимального значения по возмущению параметра. Из доказанных в работе выделим здесь, например, следующие результаты.

Лемма 2.1.11. [5], [13]. Пусть (3(p,q) < +оо. Тогда, если задача (PPl4) нормальна, то функция Р является липшицевой в некоторой окрестности точки

(p,q)■

Теорема 2.1.7. [5], [13]. Пусть отсутствуют ограничения типа равенства, то есть (Рр,я) = (Рр), и исходные данные имеют вид f(t,x,u) = A(t)x + B(t)u, Fij(t,x,u) = Fij,i(i,x) + Fij,2(i,u), j = l,...,k, причем Fij,i(i,-)> Ф\Л') " выпуклые функции. Если существует такой элемент и0 € D, для которого Jij(u°) < pj, j — 1,..., к, то задача (РР]9) нормальна.

Теорема 2.1.8. [5], [13]. Пусть исходные данные имеют вид f(t,x,u) = A{t)x + B(t)u, Fij(t, x, и) = (Fu i(t), x) + (Fij,2(i), u), j = 1,..., k, и существует последовательность и' G г = 1,2, ...,a' —► 0, г —► oo, не являющаяся стационарной. Тогда задача (Рр,ч) нормальна.

Наконец, заключительная часть главы II (п.2.2) посвящена подробному анализу на основе полученных выше в этой главе результатов целого ряда иллюстративных примеров (в частности примеров из введения).

Третья глава диссертации полностью посвящена параметрической задаче оптимального управления для линейного параболического уравнения с дивергентной главной частью с ограничениями типа включения в выпуклое замкнутое множество гильбертова пространства. Глава состоит из двух разделов. По структуре результатов она во многом повторяет главу И. В п.3.1 рассматривается параметрическая задача вида (1) с параметром qEfl = 1>г(^)

(Ря)

h(n) = А(-) + B(-)z[n}{;T) eM + q, 7Г = (к, V) 6 V,

/„(тг) = J G(x,z[ir](x,T),v(x)) dx inf,

где М С Li(Q) выпуклое замкнутое множество, z[7г] € Ц1,0(фг) ~ соответствующее паре 7г = (и, и) слабое решение в смысле14 третьей краевой для линейного параболического уравнения с дивергентной главной частью

zt - —а,j(x, t)zXj + а(х, t, и{х, t))z + f(x, t, u(x, t)) = 0,

z(x, 0) = v(x), x eil, + a{x, t)z = w(x, t), (x, t) e ST, oAI

и приняты стандартные обозначения: U С iim, V С Rl - компакты, Qt = ii х (0, Т), S = дП, ST = {{x,t) : х е S, t в (0,Т)}, Г2 - ограниченная область в Я", V = V: х V2, V = {(u,u) = 7Г : тг eViX V2), Vi = {u € Ax>(<2r) : u(x,t)-G U п.в. на Qr}, V2 = {«6 Ьоо(^) : v(x) е V п.в. на П}.

Исходные данные задачи (Рд) удовлетворяют традиционным для теории оптимального управления условиям и считаем их заданными приближенно в том же смысле, что и в случае задачи (Рр,;) главы II. Оценки отклонения возмущенных от невозмущенных исходных данных в задаче (Рч) также аналогичны оценкам, которые выписаны в случае задачи управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Прежде всего, в п.3.1 собраны необходимые для получения основных результатов вспомогательные результаты. Далее здесь приводится подробный подсчет первых вариаций функционалов задачи с целыо дальнейшего использования при проверке на определенном этапе выполнимости всех абстрактных аксиом главы 1.

Доказательство необходимых условий для задачи (Pq) проводится в двух, принципиально различных случаях. Первый принцип максимума для минимизирующих последовательностей (теорема 3.1.1) доказывается при одном важном дополнительном условии на целевое множество A4, а именно при предположении его конечной коразмерности, которое в условиях постановки задачи (Рч) равносильно, по сути дела, существованию внутренней точки множества Л4. При этом выполнение в случае бесконечномерного целевого пространстваW при любом значении параметра q, при котором задача имеет смысл, принципа максимума для минимизирующей последовательности (в частности, традиционного принципа максимума для оптимальной пары в конкретных задачах), аналогичного тому, который имеет место в случае конечномерного Н для произвольной минимизирующей последовательности, гарантируется.

Отказавшись от весьма сильного в случае бесконечномерного пространства W условия конечной коразмерности множества М., например, если положим М. = {0}, можно, тем не менее, утверждать, что произвольная минимизирующая последовательность в исходной задаче (Ря) удовлетворяет соотношениям, аналогичным

14Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцеэа H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

доказанным соотношениям первого абстрактного принципа максимума (в случае, когда М содержит внутреннюю точку), если функция значений задачи обладает некоторыми дополнительными дифференциальными свойствами. Естественно, этот результат, вообще говоря, уже не будет верен для любой точки д. В то же время он сохранит свою силу (теорема 3.1.2) для всех точек д из некоторого плотного множества, содержащегося во множестве всех тех д, для которых задача (Ря) имеет смысл (ее нижняя грань конечна). Помимо необходимых условий, значительное место в п.3.1 отводится формулировке и доказательству достаточных условий (теоремы 3.1.3, 3.1.4). Далее значительное внимание уделено результатам, связанным с регуляризирующими свойствами минимизирующих последовательностей и принципа максимума Понтрягина (теорема 3.1.5). Подчеркнем, что в случае, когда целевое множество М не является множеством конечной коразмерности, полученный здесь принцип максимума для минимизирующих последовательностей (теорема 3.1.2) имеет одно существенное отличие от своего аналога (теорема 3.1.1) в случае, когда Л4 есть множество конечной коразмерности (в частности, в случае конечномерных ограничений). Это отличие заключается в том, что принцип максимума теоремы 3.1.2 может вырождаться "в пределе" в силу зануления всех слабых предельных точек соответствующих последовательностей множителей Лагранжа. Таким образом, указанное выше отличие можно трактовать как дополнительный регуляризирующий эффект, свойственный принципу максимума для минимизирующих последовательностей. Иллюстрирующие это обстоятельство примеры конкретных задач (Рч) с целевыми множествами, не являющимися множествами конечной коразмерности, рассмотрены в п.3.2. В то же время, в этом случае, несмотря на вырожденность "в пределе", необходимые условия для минимизирующих последовательностей теоремы 3.1.2 могут быть выписаны в любой задаче (Рч) указанного вида с целью идентификации в ней минимизирующей последовательности. Наконец, в завершение п.3.1 приводятся результаты, связанные с наличием параметра д, исследованию свойств принципа максимума в задаче (Рч) в зависимости от дифференциальных свойств ее функции значений. В заключение третьей главы в п.3.2 подробно рассматриваются иллюстративные примеры. В частности, здесь обсуждается возможность применения принципа максимума для минимизирующих последовательностей при решении некорректной обратной задачи финального наблюдения примера 3 из введения.

Публикации по теме диссертации

[1] Трушина Е.В. Параметрическая задача оптимального управления с негладкой динамикой. В кн. 'IX Нижегородская сессия молодых ученых (математические науки). Тезисы докладов. (23-27 мая, 2004г.)", 2004 - Н.Новгород: Изд. Гладкова О.В., С.35-36.

[2] Трушина Е.В. Задача оптимального управления с приближенно известными исходными данными. В кн. "X Нижегородская сессия молодых ученых (математические науки). Тезисы докладов. (15-19 мая, 2005г.)", 2005 Н.Новгород: Изд. Гладкова О.В., С.26-27.

[3] Сумин М.И., Трушина Е.В. Оптимизация систем с приближенно известными исходными данными. В кн. "Воронежская весенняя математическая школа. Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XVI. Тезисы докладов школы", 2005, Воронеж: Изд-во ВГУ. С.151.

[4] Трушина Е.В. Оптимальное управление системами обыкновенных дифференциальных уравнений с приближенно известными исходными данными. В кн. "VII Всероссийская конференция. Нелинейные колебания механических систем. Тезисы докладов. (19-22 мая, 2005 г.)", 2005 - Н.Новгород: Изд-во ННГУ., С.207-209.

[5] Сумин М.И., Трушина Е.В. Параметрическая задача оптимизации систем с приближенно известными исходными данными // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия "Математика", 2006. Вып.1(4), С.114-128.

[6] Трушина Е.В. Оптимизация систем с приближенно известными исходными данными. В кн. 'Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Том 31. Лобачевские чтения - 2005. Материалы IV молодежной научной школы-конференции. (16-18 декабря, 2005 г.)", 2005 - Казань: Изд-во Казанского матем. общества, С. 156-157.

[7] Трушина Е.В. Параметрическая задача оптимизации систем с приближенно известными исходными данными. В кн. "XI Нижегородская сессия молодых ученых (математические науки). Тезисы докладов. (22-25 мая, 2006г.)", 2006

- Н.Новгород: Изд. Гладкова О.В., С.17-18.

[8] Трушина Е.В. Регуляризирующие свойства принципа максимума Понтря-гина для систем с приближенно известными исходными данными. В кн. 'Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Том 34. Лобачевские чтения

- 2006. Материалы V молодежной научной школы-конференции. (28 ноября - 2 декабря, 2006 г.)", 2006 - Казань: Изд-во Казанского математического общества, С.204-206.

[9| Сумин М.И., Трушина Е.В. Параметрическая задача оптимального управления системами с приближенно известными исходными данными. В кн. "Воронежская весенняя математическая школа. Современные методы в теории

краевых задач. Понтрягинские чтения - XVII. Тезисы докладов школы", 2006, Воронеж: Изд-во ВГУ. С.176-177.

[10] Сумин М.И., Трушина Е.В. Минимизирующие последовательности в оптимальном управлении с приближенно известными исходными данными. В кн. "Современные методы теории функций и смежные проблемы. Воронежская зимняя математическая школа. Тезисы докладов школы", 2007, Воронеж: Изд-во ВГУ. С.214-215.

[11] Сумин М.И., Трушина Е.В. Минимизирующие последовательности в оптимальном управлении с приближенно известными исходными данными. В кн. "Воронежская весенняя математическая школа. Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XVIII. Тезисы докладов школы", 2007, Воронеж: Изд-во ВГУ. С.159-160.

[12] Трушина Е.В. Минимизирующие последовательности в задачах оптимального управления с приближенно известными исходными данными. В кн. "XII Нижегородская сессия молодых ученых (математические науки). Тезисы докладов. (23-26 мая, 2007г.)", 2007 - Н.Новгород: Изд. Гладкова О.В., С.17-18.

[13] Сумин М.И., Трушина Е.В. Минимизирующие последовательности в оптимальном управлении с приближенно известными исходными данными и регу-ляризирующие свойства принципа максимума // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т.48. Л/о2. С. 220-236.

[14] Сумин М.И., Трушина Е.В. О регуляризирующих свойствах принципа максимума Понтрягина // Изв. вузов. Математика. 2008. Л/Ь1. С. 03-77.

[15] Сумин М.И., Трушина Е.В. К вопросу о регуляризирующих свойствах принципа максимума. Труды итоговой конференции учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства". Н.Новгород. Изд-во ННГУ, 2007. С.363-365.

[16] Трушина Е.В. Оптимальное управление распределенными системами с приближенно известными исходными данными. В кн. 'Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Том 36. Лобачевские чтения - 2007. Материалы VI молодежной научной школы-конференции. (16-19 декабря, 2007 г.)", 2007 -Казань: Изд-во Казанского математического общества, С.224-226.

[17] Трушина Е.В. О регуляризирующих свойствах принципа максимума Понтрягина для распределенных систем // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2008. Л/о1. С.81-87.

Подписано в печать 12.01.2009. Формат 60 х 84 '/|6. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 120 экз. Заказ 23.

Нижегородский государственный технический университет им. P.E. Алексеева. Типография НГТУ. 603950, г. Нижний Новгород, ул. Минина, 24.

1. Алексеев В.M., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

2. Арутюнов A.B. Условия экстремума. Нормальные и вырожденные задачи. М.: Изд-во "Факториал", 1997.

3. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.

4. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1974.

5. Васильев Ф.П., Ишмухамстов А.З., Потапов М.М., Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления, М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.

6. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

7. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

8. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

9. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Мордухович Б.Ш. Принцип ^максимума для субоптимальных управлений // Докл. АН СССР. 1983. Т.263. Л/оЗ. С.525-529.

10. Дмитрук A.B. Принцип максимума для общей задачи оптимального управления с фазовыми и регулярными смешанными ограничениями // Оптимальность управляемых динамических систем. Вып.14. М.: ВНИИСИ, 1990.

11. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. Т.5. Л/оЗ. С.395-453.

12. Егоров Ю.В. Необходимые условия оптимальности в банаховых пространствах // Матем. сб. 1964. Т.64(106). Л/ol. С.79-101.

13. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988.

14. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилииейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

15. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

16. Максимов В.И. О динамическом моделировании неизвестных возмущений в параболических вариационных неравенствах // Прикл. матем. и мех. 1988. Т.52. Л/о5. С.743-750.

17. Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерых систем. Екатеринбург: УрО РАН, 2000.

18. Максимов В.И. Позиционное моделирование неограниченных управлений для нелинейных распределенных систем с диссипацией // Автоматика и телемеханика. 1988. Л/о4. С.22-30.

19. Матвеев A.C. К абстрактной теории оптимального управления системами с распределенными параметрами // Сиб. матем. журн., 1988. Т.29. №1. С.94-107.

20. Мшпотин A.A. Обтцие схемы получения необходимых условий экстремума и задачи оптимального управления // УМЫ. 1970. Т.25. Вып.5(155). С.110-116.

21. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988.

22. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

23. Повоженов М.М., Сумин В.И., Сумин М.И. Методы оптимального управления системами математической физики. Горький: Изд-во ГГУ, 1986.

24. Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988.

25. Обен Ж -П., Эклапд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988.

26. Плотников В.И. Об одной задаче оптимального управления стационарными системами с распределенными параметрами // ДАН СССР. 1966. Т.170. Áfo'2. С.290-293.

27. Плотников В.И. О сходимости конечномерных приближений (в задаче об оптимальном нагреве неоднородного тела произвольной формы) // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т.8. Л/ol. С.136-157.

28. Плотников В.И. Необходимые условия оптимальности для управляемых систем общего вида // ДАН СССР. 1971. Т. 199. Яо2. С.275-278.

29. Плотников В.И. Необходимые и достаточные условия оптимальности и условия единственности оптимизирующих функций для управляемых систем общего вида // Изв. АН СССР, сер. матем. 1972. Т.36. Л/ЬЗ. С.652-679.

30. Плотников В.И. Теоремы единственности, существования и априорные свойства обобщенных решений // Докл. АН СССР. 1965. Т.165. Л/Ъ1. С.33-35.

31. Плотников В.И. Энергетическое неравенство и свойство переопределенности системы собственных функций // Известия АН СССР. Сер. матем. 1968. Т.32. Л/°4. С.743-755.

32. Потапов М.М. Аппроксимация экстремальных задач в математической физике (гиперболическии уравнения). М.: Изд-во МГУ, 1985.

33. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том V. М.: ГИФМЛ, 1959.

34. Срочко В.А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления. Изд. Иркутского ун-та. 1989.

35. Стейн М.И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

36. Сумин В.И. Об устойчивости существования глобального решения первой краевой задачи для управляемого параболического уравнения // Дифференц. ур-ния. 1986. Т.22. Л/Ь9. С.1587-1595.

37. Сумин М.И. Субоптимальное управление системами с распределенными параметрами: минимизирующие последовательности, функция значений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т.37. Л/Ь1. С.23-41.

38. Сумин М.И. Субоптимальпое управление системами с распределенными параметрами: свойства нормальности, субградиентный двойственный метод // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т.37. ЛГо2. С.162-178.

39. Сумин М.И. О достаточных условиях на элементы минимизирующих последовательностей в задачах оптимального управления //Ж. вычисл. матем. и матем. фпз. 1985. Т.25. А/Ь1. С.23-31.

40. Сумин М.И. Оптимальное управление объектами, описываемыми квазилинейными эллиптическими уравнениями // Дифференц. ур-ния. 1989. Т.25. Л/08. С. 14061416.

41. Сумин М.И. О первой вариации в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами // Дифференц. ур-ния. 1991. Т.27. Л/о 12. С.2179-2181.

42. Сумин М.И. Математическая теория субоптимального управления распределенными системами. Диссертация. доктора физ.-мат. паук, Н.Новгород: Нижегородский государственный университет, 2000.

43. Сумин М.И. Субоптимальное управление полулинейными эллиптическими уравнениями с фазовыми ограничениями, I: принцип максимума для минимизирующих последовательностей, нормальность // Известия ВУЗов, Математика. 2000. Л/об. С.33-44.

44. Сумин М.И. Субоптимальное управление полулинейными эллиптическими уравнениями с фазовыми ограничениями, II: чувствительность, типичность регулярного принципа максимума // Известия ВУЗов, Математика. 2000. А/Ь8. С.52-63.

45. Сумин М.И. Регуляризованный градиентный двойственный метод решения обратной задачи финального наблюдения для параболического уравнения //Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 2004. Т.44. Л/о11. С.2001-2019.

46. Сумин М.И., Трушина Е.В. О регуляризирующих свойствах принципа максимума Понтрягина // Изв. вузов. Математика. 2008. Áfol. С. 63-77.

47. Сумин М.И., Трушина Е.В. К вопросу о регуляризирующих свойствах принципа максимума. Труды итоговой научной конференции учебно-научного пнновацион- -ного комплекса "Модели, методы и программные средства". Н. Новгород. Из-во ННГУ, 2007. С.363-365.

48. Трушина Е.В. Задача оптимального управления с приближенно известными исходными данными. В кн. "Десятая Нижегородская сессия молодых учцных (математические науки). Тезисы докладов. (15-19 мая, 2005г.)", 2005 Нижний Новгород: Изд. Гладкова О.В., С.26-27.

49. Трушина Е.В. О рсгуляризирующих свойствах принципа максимума Понтрягина для распределенных систем // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2008. А/о]. С.81-87.

50. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999.

51. Эклапд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.

52. Якубович В.А. Некоторые варианты абстрактного принципа максимума // ДАН СССР. 1976. Т.229. А/о4. С.816-819.

53. Borwein J.M., Strojwas II.М. Proximal Analysis and Boundaries of Closed Sets in Banach Space, Park I: Theory // Can. J. Math. 1986. V.38. No.2. P.431-452; Part II: Applications // Can. J. Math. 1987. V.39. No.2. P.428-472.

54. Casas E., Raymond J.-P., Zidani H. Pontryagin's Principle for Local Solutions of Control Problems with Mixed Control-State Constraints // SIAM J. Control Optim. 2000. V.39. No.4. P.1182-1208.

55. Clarke F.II. Generalized Gradients and Applications // Trans. Amer. Math. Soc. 1975. V.205. P.247-262.

56. Clarke F.H. A New Approach to Lagrange Multipliers // Math. Oper. Res. 1976. V.l. No.2. P.165-174.

57. Ekeland I. On the Variational Principle //J. Math. Anal. Appl. 1974. V.47. No.2. P.324-353.89| FaUoiini H.O. A Unified Theory of Necessary Conditions, for Nonlinear Nonconvex Control Systems // Appl. Math. Optim. 1987. V.15. P.141-185.

58. Loewen P.D. Proximal Normal Formula in Hilbert Spaces // Nonlinear Anal. 1987. V.ll. P.979-995.

59. Loewen P.D. Optimal control via nonsmooth analysis. CRM Proceedings and Lecture Notes. V.2. Amer. Math. Soc., Providence, RI,1993.

60. McLinden M. An Application of Ekeland's Theorem to Minimax Problems // Nonlinear Anal. Th. Meth. Appl. 1982, V.6. P. 189-196.

61. Rockafellar R.T. The Theory of Subgradients and Its Applications to Optimization. Convex and Nonconvex Functions. Berlin: Heldermann 1981.