Параметрические задачи субоптимального управления гиперболическими системами с фазовыми ограничениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ГАВРИЛОВ Владимир Сергеевич

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ СУБОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

Специальность: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород 2004

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им. Н И Лобачевского

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Сумин М.И.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Баландин Д.В. Доктор физико-математических наук, профессор Тонкое Б.Л.

Ведущая организация:

Институт математики и механики Уральского Отделения РАН

го совета Д212.166.06 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Нижегородском государственном университете им. Н И.Лобачевского по адресу: 603950, Нижний Новгород, пр-т Гагарина, 23, корп.2, конференц-зал

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ИНГУ.

«23 11 2004г. в час.

%о

Защита состоится

заседании диссертационно-

Учёный секретарь кандидат физнко-мат доцент_

В И.Лукьянов

Д212.166.06,

Общая характеристика работы.

Диссертация посвящена развитию теории параметрических задач субоптимального управления гиперболическими системами с поточечными фазовыми ограничениями (ПФО). Иными словами, в ней рассматриваются задачи оптимизации, зависящие от параметров. В этих задачах в качестве основного (искомого) элемента теории рассматривается минимизирующая последовательность (МП) допустимых управлений.

Актуальность темы.

К задачам оптимального управления с ПФО в течение вот уже сорока лет проявляется большой интерес. Их изучение началось с задач оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследованиями в этом направлении занимались Арутюнов А.В., Асеев СМ., Благодатских В.И., Васильев Ф.П., Гамкрелидзе Р.В., Дмитрук А.В, Ду-бовицкий А.Я., Иоффе А.Д., Матвеев А.С., Милютин А.А., Никольский М.С., Плотников В.И., Сумин М.И., Тихомиров В.М., Тонкое Е.Л., Якубович В.А., Clarke F.H., Vinter R.B. и др..

Активное изучение задач оптимизации распределёнными системами с ПФО началось более двадцати лет назад. По-видимому, первыми в этом направлении были работы1. С этого момента наблюдается устойчивый интерес к задачам указанного направления. Более того, в последние годы этот интерес заметно усилился. Различные результаты для оптимизационных распределённых задач с ПФО получены в работах таких авторов, как Васильев О.В., Дыхта ВА., Матвеев А.С., Новоженов М.М., Плотников В.И., Сумин М.И., Якубович ВА., Abergel F., Bergounioux M., Bonnans J.F., Casas E., Li X., Mackenroth U., Mordukhovich B.S., Raymond J.-P., Temam R., Yong J., Zidani H., и др.. Большинство работ этого направления посвящено задачам оптимизации систем, описываемых эллиптическими и параболическими уравнениями. В то же время, задачам оптимального управления гиперболическими системами с ПФО уделено существенно 2

меньше внимания и можно, по-видимому, утверждать, что их интенсивное изучение только начинается. Заметно меньшая изученность оптимизационных задач с ПФО для гиперболических уравнений связана в значительной

"Новоженов М.М., Плотников В.И. Обобщенное правило множителей Лагранжа для распределенных систем с фазовыми ограничениями // Дифференц. ур-ния. 1982. Т.18. №4. C.584-592.

Mackenroth U. Convex parabolic boundary control problems with pointwise state constraints // J. Math. Anal, and Applic. 1982. V.87. P.256-277.

2[C0] Сумин М.И. Математическая теория субоптимального управления распределенными системами. Дисс— докт. физ.-мат. наук. Нижний Новгород: Нижегородский гос. ун-т, 2000.

[В1] Условия экстремума и конструктивные методы решения в задачах оптимизации гиперболических систем. // Ред. Васильев О.В. Новосибирск: Наука, 1993.

WJ] White L.W. Control of hyperbolic problem with pointwise stress constraints // JOTA. 1983. V.41. No.2. P.359-369.

(WAI White L.W. Distributed control of a hyperbolic system with control and stress constraints // J. Math. Anal, and Appl. 1985. V.106. No.l. P.41-53.

[MR1] Mordukhovich B.S., Raymond J.-P. Dirichlet boundary control of hyperbolic equations in the presence of state constraints // Appl. Math. Optim. 2004. V.49. P.145-157.

[MR2] Mordukhovich B.S., Raymond J.-P. Neumann hnillllllllj mntrfll nf ЬуцГтМ1г_гдпМГТТ with pointwise state constraints // SIAM J. Control Optim. (to НАЦИОНАЛЬНАЯ i

J БИБЛИОТЕКА j

степени с отсутствием у их решений свойств регулярности, характерных для решений параболических и эллиптических уравнений3 Данная особенность решений гиперболических уравнений послужила одной из причин изучения в настоящей диссертационной работе возможностей преодоления этих трудностей на основе предложенного в работах4, [СО] так называемого двухпараметрического способа варьирования управления, существенно опирающегося на понятие повторного предельного перехода и классические дифференциальные свойства обобщенно дифференцируемых (в смысле Соболева С Л ) функций Важно отметить также, что основная направленность работ, посвященных изучению задач оптимального управления распределенными системами с ПФО, состоит в получении лишь необходимых условий Значительно меньшее внимание было уделено таким классическим вопросам теории оптимизации, как вопросы субоптимальности, регулярности, нормальности, дифференциальных свойств функции значений и т п 5, [СО] Всем этим вопросам применительно к задачам оптимизации гиперболических систем в настоящей работе уделяется центральное внимание

В качестве "искомого элемента" теории в диссертационной работе рассматриваются не оптимальные управления (классические или обобщенные), а минимизирующие последовательности обычных (измеримых по Лебегу) управлений, в роли которых выступают так называемые минимизирующие приближенные решения (МПР) в смысле Варги Дж 6, те МП, удовлетворяющие ограничениям лишь "в пределе" Это говорит о том, что выбранное в диссертации направление исследования является составной частью исследований по теории субоптимального управления распределенными системами, устойчивый интерес к которой наблюдается на протяжении, по крайней мере, последних двадцати лет За это время различный вклад в развитие этой теории был внесен такими математиками, как Плотников В И , Сумин М И , Barbu V , Fattorini Н О , Frankowska Н , Mordukhovich В S и др Отметим, что использование понятия МПР является выгодным, в частности, потому, что а) МПР всегда существует, b) позволяет записывать все результаты в терминах расширенной задачи , [В2], если такое расширение возможно, с) адекватно теории численных методов, d) удобно с прикладной (инженерной) точки зрения (подробности см, например, в монографии [В2])

Важность и актуальность развития теории субоптимального управления распределенными системами объясняется тем, что, в общей нелинейной си-

3См , например, замечание 1 2 на с 155 монографии "Лионе Ж Л Управление сингулярными рас предоленными системами М Наука, 1987 "

4[С1| Сумин М И Задачи оптимального управления сосредоточенными и распределенными системами с дифференцируемыми и недифференцируемыми функционалами и функциями, задающими системы, Дис канд физ матем наук, 1983, Горький Г Г У

Су мин МИ О первой вариации в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами//Дифференц уравнения 1991 Т 27 № 12 С 2179-2181

5[С2| Sumin М I Optimal control of elliptic equation with state constraint maximum principle for mmimi/mg sequence, regularity, normality, sensitivity // Control and Cybernetics 2000 V 29 No 2 P 449472

|СЗ|Сумин М И Субоптимальное управление полулинейным эллиптическим уравнением с фазовым ограничением и граничным управлением//Дифференц уравнения 2001 Т 37 №2 С 260-275

6|В2| Варга Дж Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями М 7 Наука, 1977

7[Г| Гамкрелидзе Р В Основы оптимального управления - Тбилиси Изд во Тбил ун та, 1977

туации распределенных систем и, в частности, гиперболических, имеются простые примеры оптимизационных задач [СО], [И], в которых не существует классических оптимальных управлений, и которые не могут быть расширены в каком-либо естественном смысле (Гамкрелидзе Р.В., Варга Дж., Филиппов А.Ф., Янг Л.). Одновременно можно утверждать, что такая ситуация характерна, по сути дела, для задач оптимального управления, связанных со всеми нелинейными распределенными системами. Подобные примеры говорят о том, что естественным выходом из этой ситуации является использование МП в качестве основного элемента теории8. Приведем для иллюстрации пример [С0], [И], [16] задачи с ПФО для двумерной задачи Гурса- Дарбу.

Пример 1. Пусть имеется задана

*1ху = (¿1» + 1)«(х, у), ггху = 21 -и2(х, у),^ г(0, у) = ф, 0) = 0;

Можно показать, что в этой задаче не существует измеримого по Лебегу оптимального управления и что значение задачи равно —1. Т.к.

* = 6К0 - 1)^2,

то можно заметить, что последовательность

У*(х,у) = | х 6 (а- ь)> У 6 Я 1=1'3>-■■•2{-1;

х е (¥• й)' У € 11- •'•,«;» = 1,2,...,

является минимизирующей последовательностью, и для нее выполняется предельное соотношение /о(и') —> _ 1, I 00, в то время как для последовательности

«<(*, у) = | +}' У е (ж' 1 € Е°- Я 3=1-3>- ■ ■

у е и)'1 е Ч» 3=2,4,... ,2х; г = 1,2,...,

указанное предельное соотношение не выполняется. Можно утверждать также, что первая из отмеченных последовательностей удовлетворяет принципу максимума для минимизирующих приближенных решений [10], [11], [16], а вторая — нет. В то же время, обе эти последовательности управлений, как нетрудно видеть, сходятся в слабой норме | • |,„ (см. [Г], [В2]) к одному и тому же обобщенному управлению и(х,у) = ^(^-1+^+1) (здесь 5„ — мера Дирака, сосредоточенная в точке V € Я). Итак, подчеркнем, что в данном примере разные последовательности управлений сходятся к одному и тому же обобщенному управлению, но одна из них

я Заметим, в частности, что на важность развития теории суботимального управления указывается в монографии Гурмана В.И. "Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука, 1985"; более того, на важность дальнейшего развития теории субоптимального управления было указано в решении международного симпозиума "Обобщённые решения в задачах управления (СЗСР-2002)", проходившем в Переславле-Залессхом с 27 по 31 августа 2002г.. Отметим также, что в самое последнее время некоторые частные результаты в теории субоптимального управления распределенными системами были получены в работах Серовайского С.Я. (см., например, Серовайский С.Я. Нижнее пополнение и расширение экстремальных задач // Изв. вузов. Математика. 2003. Л/о 5. С.30-41.).

является м.п.р. и идентифицируется с помощью принципа максимума, а другая таковой не является.

Как уже отмечено выше, в диссертации рассматриваются задачи субоптимального управления гиперболическими системами с параметром. Этот параметр является функциональным, принадлежит классу непрерывных функций и аддитивно входит в ПФO задачи. Аналогичные задачи для эллиптических и параболических уравнений рассматривались ранее в работах Сумина M.^ [С2], [СЗ], [CO]. Изучение параметрических задач, в соответствии с общей идеологией метода возмущений9 , даёт возможность рассматривать соответствующие функции (функционалы) значений как функции параметра и, основываясь на их специфических дифференциальных свойствах, получать информацию "в целом" о семействе и, как следствие, во многих важных частных случаях о каждой конкретной задаче отдельно.

Oтметим, что эффективное изучение параметрических задач оптимального управления нелинейными распределенными системами, по сути дела, невозможно без использования понятия MnP, ещё и потому, что порождаемая именно таким понятием Mn функция значений в самой общей ситуации является полунепрерывной снизу10. Данное обстоятельство позволяет применить к исследованию оптимизационных задач аппарат негладкого анализа, а именно, анализа нормалей (проксимальных нормалей, нормалей Фреше) к замкнутым множествам в банаховых пространствах и обобщённого дифференцирования негладких (полунепрерывных снизу) функций в банаховых пространствах (см., например, работы11 ). В данной диссертации существенно используется именно понятие нормали Фреше, а также субдифференциала в смысле работ [Ml], [M2]. Заметим, что эти субдифференциалы представляют собой более тонкие конструкции по сравнению с субдифференциалами в смысле Кларка12.

Все работы, посвященные изучению задач оптимального управления распределенными системами с ПФO, можно условно разделить на две группы. В работах первой группы, к которой относится большинство работ указанного направления, ПФO рассматривается как "единый объект" - операторное ограничение в каком-либо подходящем классе функций. В работах второй группы [С2], [СЗ], опирающихся на идею работы13, ПФO трактуется как бесчисленное множество функциональных ограничений. Такая трактовка ПФO позволяет, с помощью вариационного принципа Экланда14, аппрок-

9См,, например, С.263 книги "Алексеев В^., Тихомиров ВЖ., Фомин С.В. Oптимальнoе управление. M,: Наука, 1979".

10Заметим, что функция значений, порождаемая классическим понятием M^ элементы которой удо-илетноряют ограничениям в точном смысле, таким свойством, вообще говоря, не обладает.

11[K] Кларк Ф. Oптимизация и негладкий, анализ. M.: Наука, 1988.

BS] Borwein J.M., Strojwas H.M. Proximal analysis and boundaries of closed sets in Banach space, part I: theory // Can. J. Math. 1986. V.38. No.2. P.431-452; Part II: Applications // Can. J. Math. 1987. V.39. No.2. P.428-472.

[Ml] Moрд;ухoвич Б Ш. Mетoд;ы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. M.: Наука, 1988.

|M2] Mordukhovich B.S., Shao Y. Nonsmooth sequential analysis in asplund spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1996. V.346. No.4. P.1235-1280.

12Тихомиров В^. Выпуклый анализ // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1987. Т.14. С.5-101.

13[С4] Сумин M.^ O минимизирующих последовательностях в задачах оптимального управления при ограниченных фазовых координатах // Дифференц. уравнения. 1986. Т.22. № 10. С.1719-1731.

14[Е| Ekeland I. On the Variational Principle // J. Math. Anal. Appl. 1974. V.47. No2. P.324-353.

симировать задачу с ПФО последовательностью задач, в каждой из которых число функциональных ограничений конечно, с последующим предельным переходом в семействе необходимых условий (суб)оптимальности при стремлении числа функциональных ограничений к бесконечности. Выгода такого подхода основывается на использовании преимуществ аппроксимирующих задач с ограничениями в конечномерных пространствах, и заключается в получении результатов по более широкому спектру классических оптимизационных вопросов в исходных задачах с ПФО (регулярность, нормальность, чувствительность, численные алгоритмы), нежели при первом подходе, трактующем ПФО как сугубо операторное ограничение. Данная диссертационная работа принадлежит ко второй из двух указанных групп работ.

Цель диссертационной работы.

Цель работы состоит в построении теории субоптимального управления гиперболическими системами с ПФО, включающей в себя следующие основные моменты: необходимые и достаточные условия на МП; условия нормальности и регулярности; дифференциальные свойства функции значений; численный алгоритм решения задач оптимального управления с ПФО.

Методы исследования.

В работе использованы методы теории оптимального управления, функционального анализа, негладкого анализа, теории функций действительного переменного, теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Научная новизна и основные результаты.

Автором получены следующие новые результаты:

1) Предложена абстрактная схема исследования параметрических задач (суб)оптимального управления с ПФО. Эта абстрактная схема является модификацией предложенной Суминым М.И. в работах15, [СО] общей схемы исследования параметрических задач субоптимального управления системами с распределёнными параметрами, нацеленной именно на оптимизационные задачи с ПФО в пространстве непрерывных функций. Эффективность предложенной модификации продемонстрирована на параметрических задачах (суб)оптимального управления для гиперболического уравнения дивергентного вида и системы Гурса-Дарбу.

|В[С5] Сумин М.И. Субоптимальное управление распределёнными системами // Вестник Нижеюродского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия "Математическое моделирование и оптимальное управление", I: Абстрактная задача минимизации с операторным ограничением в гильбертовом пространстве, 1998, 2(19), С.152-165.; П. Параболическое уравнение, операторное ограничение, граничное управление, 1999,1(20), С.138-153.

2) На основе указанных выше абстрактных результатов получены необходимые и достаточные условия на элементы МПР (в частности, необходимые и достаточные условия оптимальности) в задачах оптимального управления гиперболическим уравнением дивергентного вида и системой Гурса-Дарбу с ПФО в пространствах непрерывных функций. С целью получения необходимых условий (суб)оптимальности в оптимизационных задачах для гиперболических уравнений дивергентного вида применен новый для этого класса задач тип так называемого двухпа-раметрического варьирования функционалов [С1], [СО], основанный на идее повторного предельного перехода и позволяющий получать необходимые условия (суб)оптимальности при естественных для гиперболических уравнений условиях на исходные данные. Получены различные результаты, связанные с аппроксимацией задач с ПФО задачами с конечным числом функциональных ограничений, а также со свойствами регулярности, нормальности, чувствительности задач оптимального управления гиперболическими уравнениями с ПФО.

3) Как приложение абстрактных результатов, разработан численный алгоритм решения линейно-выпуклых задач оптимального управления с ПФО. Данный алгоритм основан на аппроксимации исходной задачи с ПФО задачами, в каждой из которых число функциональных ограничений конечно, и применении для решения каждой аппроксимирующей задачи метода точного недифференцируемого штрафа. Для предложенного метода получены оценки степени близости как по функционалу, так и по ограничениям, определяемые лишь "внутренними свойствами" управляемой системы и её исходными данными.

Степень обоснования результатов диссертации.

Все научные положения и выводы диссертационной работы строго математически обоснованы. Результаты, полученные в диссертации, хорошо согласуются с работами других авторов в области математической теории оптимального управления распределёнными системами, как отечественных, так и зарубежных.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть применены в теории оптимального управления: 1) при теоретическом исследовании многих сложных конкретных задач с различного рода функциональными и операторными ограничениями; 2) при численном решении различных задач оптимального управления гиперболическими системами на основе предложенного численного алгоритма.

Результаты диссертации явились составной частью результатов работы, выполнявшейся при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) и Конкурсного центра фундаментально-

го естествознания (КЦФЕ) Минобразования РФ при Санкт-Петербургском госуниверситете:

1998-2000 г.г. - грант РФФИ (проект №98-01-00793), тема'Теория субоптимального управления распределенными системами: минимизирующие последовательности, операторные ограничения, граничные управления, численные методы" (рук. проф. Сумин М.И.);

2001-2003 г.г. - грант РФФИ (проект № 01-01-00979), тема "Оптимальное управление вольтерровыми функциональными уравнениями: теория и приложения" (рук. проф. Сумин В.И.);

2003-2004 г.г. - грант КЦФЕ (проект №Е02-1.0-173), тема "Субоптимальное управление распределенными системами: операторные ограничения, граничные управления, численные алгоритмы, регуляризация, обратные задачи" (рук. проф. Сумин М.И.);

2004-2006 г.г. - грант РФФИ (проект №04-01-004б0), тема "Субоптимальное управление распределенными системами с операторными ограничениями и граничными управлениями: теория и алгоритмы" (рук. проф. Сумин М.И.)16.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на симпозиуме "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках", посвященном 80-летию Красносельского М.А. (Воронеж, 2000); на IV, V, VI Нижегородских сессиях молодых учёных (Саров, 1999, 2000, 2001); на XI, XII, XIII, XIV, XV весенних воронежских школах "Понтрягинские чтения", (Воронеж, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004); XXIII Конференции молодых учёных механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова М.В.(Москва, 2001); международной молодёжной научной школе-конференции "Лобачевские чтения—2002", Казань, 2002.

По теме диссертации неоднократно делались доклады на семинаре по математической теории оптимального управления (рук. проф. Сумин В.И., проф. Сумин М.И., 1999-2004). Результаты диссертации докладывались также на семинаре в Московском государственном университете (рук. д.ф.-м.н. Антипин А.С., проф. Васильев Ф.П., доц. Потапов М.М., 2003); на семинаре в Удмуртском государственном университете (рук. проф. Тон-ков Е.Л., 2003).

Публикации.

Основные результаты диссертации отражены в шестнадцати публикациях, список которых дан в конце автореферата. Общее научное руководство исследованиями в течение всего времени работы над диссертацией осуществлялось Суминым М.И.. Доказательство всех результатов в совместных с научным руководителем работах принадлежит диссертанту.

16Результаты диссертации вошли в отчеты о НИР по указанным грантам.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, 4 глав и списка литературы. Содержание изложено на 162 страницах, включая список литературы из 155 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обсуждается актуальность темы диссертации и кратко излагается содержание работы.

В первой главе диссертации, состоящей из трёх разделов, изучается абстрактная задача минимизации с аддитивно зависящим от параметра ограничением типа неравенства, рассматриваемым во множестве непрерывных на компактном метрическом пространстве Р функций17. Аксиоматика задачи нацелена на изучение задач оптимального управления с ПФО и на получение в них результатов, связанных с необходимыми и достаточными условиями на МПР, а также со свойствами регулярности, нормальности, чувствительности этих задач и на построение численных методов их решения. Указанная аксиоматика является модификацией аксиоматики работ [С5], [СО]. Она развивает на абстрактном уровне метод получения необходимых условий на элементы МП работы [С4], основанный на аппроксимации исходной задачи с ПФО задачами, в каждой из которых число функциональных ограничений конечно, и вариационном принципе Экланда [Е].

В п. 1.1 приводится используемый во всех дальнейших построениях первой главы результат о необходимых условиях субоптимальности для функционала типа максимума от конечного числа функционалов оптимального управления традиционного вида.

В п. 1.2 рассматривается абстрактная параметрическая задача, причем в качестве "искомого" элемента выступает МПР в смысле Варги Дж. [В2]. Здесь приводится постановка абстрактной задачи и формулируется абстрактная аксиоматика. Кроме того, для этой абстрактной задачи получены необходимые условия (суб)оптимальности, т.е. необходимые условия на МПР. Приведём упрощённую постановку рассматриваемой задачи.

Пусть V — полное метрическое пространство, Р — компактное метрическое пространство, 1\ : D —Ь С(Р) — равномерно непрерывный оператор. Рассматривается параметрическая задача оптимизации

/о(и) inf, и е V, 1\(и) 6 M + q, q S С(Р) — параметр, (Д,)

где — множество всех непрерывных неположительных на Р функций

Введём обозна{8УйеР : /х(и)(р) ~я(р)<£, р& Р}, £ > 0,

17 ЗДЕСЬ приводится упрощенная формулировка задачи, в которой присутствует лишь скалярное ПФО.

и определим величину ß(q) = ß+o(q) = lim ߣ(q), где

s > IО

ߣ(q) = {inU0(u), 2)^0; +00, Ц = Щ, e> 0, qeC(P).

Функцию (функционал) ß : C{P) —> ÜU {+00} принято называть функцией значений задачи (Ад). Очевидно, что' ß[q) < ßo{q) V9 £ С(Р), где ßo : С(Р) —tR классическая функция значений. Предполагая, что ßfa) < +00, определим минимизирующую последовательность (МП) в задаче (Aq) — минимизирующее приближённое решение (МПР) в смысле Варги Дж. [В2] — как последовательность управлений И* 6 5,1 = 1,2,..., удовлетворяющих соотношениям

для некоторых последовательностей неотрицательных чисел 5', £', г = 1,2,..., ¿\ е' 0, i ->• 00.

Основные моменты предлагаемой аксиоматики, являющейся модификацией аксиоматики работ [С5], [С0], в упрощённом виде могут быть кратко охарактеризованы следующим образом.

а) Аксиома существования первых вариаций функционалов Iq И Л(0(р) для любого управления

б) Аксиома "линейности" первых вариаций по параметрам варьирования.

в) Аксиома предкомпактности в С(Р) образа оператора 1\.

г) Аксиомы предельных переходов, обеспечивающие при выводе необходимых условий возможность предельного перехода в семействах первых вариаций функционалов и /i(')(p) при условии сходимости управлений в метрике пространства , а также при стремлении количества ограничений в аппроксимирующих задачах к бесконечности.

В п. 1.3 изучаются свойства функции значений задачи (.А9). Здесь на абстрактном уровне вводятся понятия регулярности и нормальности этой задачи. Далее здесь выводятся необходимые и достаточные условия регулярности и нормальности, исследуются дифференциальные свойства функции значений.

Приведём постановку аппроксимирующей задачи. Пусть Pjt — {P*'J : j = 1, lh} С Р есть конечная 1 /¿-сеть метрического компакта Р. Рассмотрим последовательность семейств оптимизационных задач, зависящих от конечномерного векторного параметра £ й1*, g* = (д*,... ,</£)],аппрок-симирующих исходное семейство

1о{и) inf, uev, ikl{u)eMk + qk.

Здесь Мк = {ук = (уки...,у1) G : # < 0, j = Щ, /f(u) = (IkAu)...../**(«)), fr (и) = h(u)(^).

Как и в случае задачи (Л,), МПР в смысле [В2] в задаче (А*ь) называется последовательность управлений и' Е V, i = 1,2,..., такая, что выполняются соотношения

где ^ 1 * ' _

а функция значений : Кк -> R U {+оо} аппроксимирующей задачи определена формулами (]k(qk) ее /3kt+0(qk) = дт /^(д*) < Рк,о{чк),

Справедлива следующая аппроксимационная

Лемма 1. Пусть (3(q) < +оо, q G С(Р). Тогдасуществуетпоследо-вательность векторов ф £ R?k, к = 1,2,..., такая, что pk(qK) /?(?); к —► оо. В качестве такой последовательности может быть взята последовательность qk = (qk,..., qft), g* = q(pk'3), j = 1, lk, k = 1,2,____

На основе аппроксимационной леммы 1 в п.1.3 последовательно получены представления для субдифференциалов в смысле работы [М2] функций значений аппроксимирующих задач в терминах множителей Лагранжа (точнее, в терминах предельных точек последовательностей множителей Лагранжа), а также результаты, связанные с различными необходимыми и достаточными условиями регулярности и нормальности.

Вторая глава посвящена задаче (суб)оптимального управления однородной первой краевой задачей Дирихле для линейного гиперболического уравнения дивергентного вида с функциональными и с поточечными фазовыми ограничениями. Задачи с ПФО для линейных и полулинейных гиперболических уравнений дивергентного вида, аналогичные рассматриваемым в этой главе, изучались в работах таких авторов, как Mordukhovich B.S., Raymond J.-P. [MR1], [MR2].

Глава состоит из шести разделов. П.2.1 посвящен формулировке изучаемой задачи. Приведём её постановку и некоторые основные результаты. Пусть U С Я"1 — компакт, V С R выпуклый компакт, П С Д" ограниченная область, S = dQ, ST = S х (О, Г), Qj s fix (0,Т), V = {тг = (u.v) : тг G î>i^î>2}, Т>х = {и е L™{Qt) ■ u{x,t) € U п.в. в QT},

Рассматривается параметрическая задача оптимизации вида (Д,), в которой Р = [О, Т], а целевой функционал Iq и оператор ПФО /j задаются формулами18

/о(тг) = JG(x,z[ir\(x,T),v(x))dx, /i(7r)(r) = J$(x,r,2[7r](x,r),t;(i))dx, _п__n

"Здесь приводится упрощённая постановка задачи, в которой отсутствуют функциональные ограничения, а целевой функционал является терминальным.

где z[w\ - соответствующее паре управлений 7Г G 2? обобщенное решение из класса W^q{Qt) первой краевой задачи для гиперболического уравнения с дивергентной главной частью и с однородным граничным условием Дирихле19

г(ж,0) = <р{х), 2¡(i,0) = v(x), iGÍ), z(x,t) = 0, (x,t) 6 St-

Исходные данные этой задачи, которую мы далее будем называть задачей (Pq), удовлетворяют традиционным для теории оптимального управления условиям.

В п.2.2 собраны необходимые для получения основных результатов вспомогательные результаты, связанные со свойствами решений управляемой краевой задачи, а также свойствами решений сопряжённых уравнений, отвечающих как целевому функционалу, так и оператору ПФО. Далее здесь приводятся подробный подсчёт первых вариаций функционалов аппроксимирующей задачи при так называемом двухпараметрическом варьировании управления [С1], [СО] и проверка выполнимости всех абстрактных аксиом главы 1.

Важно отметить, что в последнее время во многих зарубежных работах, посвященных получению необходимых условий оптимальности в задачах оптимального управления распределёнными системами с ПФО (см., например, работы [MR2],20), и, в частности, гиперболическими (см. [MR2]), применяется так называемое диффузное варьирование, предложенное в рабо-тах21. В отличие от всех этих работ, в диссертации, как уже говорилось выше, используется двухпараметрическое многоточечное игольчатое варьирование [С1], [С0], являющееся модификацией классического игольчатого варьирования. Необходимость такой модификации для гиперболических систем с обобщёнными решениями из пространств Соболева обусловлена, как уже отмечалось выше, отсутствием свойств регулярности решений таких систем, характерных для эллиптических и параболических уравнений. Эта модификация предложена в работах Сумина М.И. [С1], [СО], основана на идее повторного предельного перехода и использует классический результат о функциях из пространств Соболева, заключающийся в том, что дифференциальные свойства таких функций вдоль направлений, по которым имеются обобщённые производные, "лучше", чем свойства функций по совокупности аргументов (см., например, С.344 книги22). Применение в диссертации аппроксимационного подхода к задаче с ПФО, а также использование данного метода варьирования управлений позволило получить здесь результаты по более широкому спектру классических вопросов оптимизации по сравнению с работами [MR1], [MR21.

"(Л) Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

2nJ.P.Raymond, H.Zidani. Pontryagin'a principle for state constrained control problems governed by parabolic equations with unbounded controls // SIAM J.Control Optim. 1998. V.36. No6.1853-1879.

"X.J. Li. Vector-valued measure and necessary conditions for the optimal control problems of linear systems // J.Math Res. Exposition. 1981. V.l. P.51-56.

Y.Yao. Vector measure and maximum principle of distributed parameter systems // Sei. Sínica Ser. 1983. V.26. P.102-112.

"Смирнов B.H. Курс высшей математики. Т.5., М.: ГИФМЛ, 1959.

П.п.2.3 и 2.4 посвящены расшифровке абстрактных условий (суб)опти-мальности из главы 1 применительно к рассматриваемой в главе 2 задаче оптимизации. Приведём, например, необходимые условия для МПР, которые естественно назвать принципом максимума для МПР. Эти условия в случае существования оптимальной пары управлений преобразуются в классический принцип максимума.

Теорема 1. Пусть тг* = (и1, v') 6 V, i = 1,2,..- МПР в задаче (Р,). Тогда найдутся последовательность чисел 7* > 0, г = 1,2,..., Y О, г ^ оо, последовательность чисел Aq > 0, и последовательность неотрицательных мер Радона /х' € М(Р)23, г = 1,2,..., такие, что

aj + 1и1 = 1, / (ли(р) - q(p))Àdp) > -7\ тг' g 2?, (1) р

I [тах Я(х, t, ф1](х, t), и', Л^, t))- (2)

Qt "

Н(х, t, г[ж*](х, t),u\x,t),7)[тг\ А^, /i'](x, <))] dxdt < f, max{ /п(-A'V„G(x, *И(х, T), t/(x)) + A'0> {¿](x, 0))(i(x) - ¿(x)) dx-

t ,

-1 dr) J V„<ï>(x, г, г[тг'](х, г), и'(х))(5(х) - г/(х)) cfx } < f. о n '

Здесь H(x,t,z,u,t]) = i/[/(x,i,ti)-a(x,i,ti)z], (x,<) 6 Qt, и eU, z,t] e R, ц e M(P), a T)[ir', A'j/x'J € №20(Qt) — обобщённое решение сопряжённой начально-краевой задачи

д

Titt—g^(aij(x, t)riX})+a{x, *У(х, ¿))tj = -УгФ(х, г, гИ(х, т), v\x))nl(dT),

г)(х,Т) = О, ^(х.Т^АЗД*.*.^^*)). ^ = 0.

Дадим следующие два естественных определения.

Определение 1. Последовательность 7Г* € D, г = 1,2,..., называется стационарной в задаче (Р5), если найдутся последовательность чисел 7* > 0, î = 1,2,7* ->• 0, i 00, и ограниченная последовательность пар (Aj), fi') Ç Rx М(Р), t = 1,2,..., такие, что выполнены второе из соотношений (1) и неравенства (2), а все предельные точки последовательности пар (А{„ fi') € R х М(Р), г = 1,2,..., (в *-слабом смысле для второй компоненты) отличны от нуля.

Определение 2. Стационарную в задаче (Рч) последовательность ж' € V, i = 1,2,..., назовём нормальной (регулярной, анормальной), если все (существуют, не существуют) предельные точки соответствующей ей последовательности чисел Aq, t = 1,2,..., не равны (не равные, не равные) нулю. Будем говорить, что задача (Pq) — нормальна, если для любой

"Здесь м(р) — множество всех мер Радона на компакте р.

стационарной последовательности все предельные точки каждой отвечающей ей последовательности А'0, г = 1,2,..., не равны нулю. Задачу (Pq) назовём регулярной, если существует такая стационарная последовательность, для которой имеется хотя бы одна соответствующая ей последовательность Ар, г = 1,2,..., имеющая ненулевые предельные точки. Наконец, задачу (Рч) назовём анормальной, если для любой стационарной последовательности все соответствующие ей последовательности Ад, г = 1,2,..., имеют лишь нулевые предельные точки.

Далее также получены условия, при которых принцип максимума теоремы 1 является критерием для МПР.

Теорема 2. Пусть задача (Pq) - линейно-выпукла, т.е. функция G выпукла по (z,v) при п.в. х £ fi; функция Ф выпукла по (z,v) при п.в. х Е U и всех т £ [О, Т]. Тогда если задача (Pq) регулярна, то принцип максимума является необходимым и достаточным условием для МПР.

В п.п.2.5, 2.6 получены результаты, обобщающие классические условия Слейтера и линейности из математического программирования.

Лемма 2. (Условие Слейтера) Пусть задача (Pq) линейно-выпукла, и найдётся пара щ = (и0, г»о) £ Т>, такая, что ¡¡(щ) (р) < q(p), Vp £ P. Тогда задача (Рч) — нормальна.

Лемма 3. (Условие линейности) Если в задаче (Pq) функции G, Ф, имеют eudG(x,z,v) = G1(x)^ + G2(2;)i; + G3(i), Ф(х,г,г,у) = Ф1(х,т)г + Ф2(г, r)ti + т), коэффициент а краевой задачи не зависит от и, а также, кроме того, в задаче (Pq) существует последовательность ж' £ 7* 0, г -У оо, неявляющаяся стационарной, то задача (Pq) — нормальна.

Здесь же, применительно к рассматриваемой задаче оптимизации, расшифрованы абстрактные результаты главы 1, связанные с аппроксимацией исходной задачи с ПФО задачами с конечным числом функциональных ограничений, различные результаты, связанные с необходимыми и достаточными условиями регулярности и нормальности задач, с дифференциальными свойствами функции значений (чувствительность). Выделим здесь, например, следующие результаты.

Лемма 4. Если задача (Pq) нормальна, то /5(g) = fio(<l), где flo(<l) — классическая функция значений.

Следующая лемма важна, в частности, с точки зрения конструирования численных алгоритмов для решения задач с ПФО.

Лемма 5. Если задача (Pq) нормальна, то ее функция значений [1 лип-шицева в окрестности точки q € С(Р).

В известном смысле справедлив и обратный результат.

Лемма 6. Пусть функция /3 липшицева в окрестности тачки q £ С(Р). Тогда в задаче (Р^) для ecexcf из этой окрестности существуют регулярные МПР. \

Наконец, следующая лемма говорит о том, что регулярных задач,достаточно много".

Лемма 7. Для любой точки q £ dom /3 и любой непрерывной положительной функции £ € С{Р), для почти всех точек q1 на луче =

Ь > 0} для всех МПР в задаче (Р^) найдутся ненулевые предельные точки соответствующей последовательности множителей Лагранжа Ад, I — 1,2,..., т.е. для любой указанной функции £ свойство регулярности задачи является свойством общего положения на луче

В завершение данной главы подробно анализируется иллюстративный пример конкретной задачи (Р() для дивергентного гиперболического уравнения.

Третья глава диссертации посвящена изучению задачи (суб)оптималь-ного управления системой Гурса-Дарбу с ПФО. Ранее похожие по постановке задачи с ПФО для системы Гурса-Дарбу рассматривались, причём лишь с точки зрения получения классических необходимых условий оптимальности, в работах таких авторов, как Бокмельдер Е.П., Васильев О.В., Дыхта В А. [В1].

Структура этой главы в целом аналогична структуре главы 2. П.3.1 посвящен формулировке изучаемой задачи.

Пусть и С Я"1 — компакт, П а [0, а] х [0, 6], где а, Ь > 0 — фиксированные числа, V = {« € : и(х,у) € и при п.в. (х, у) € П}.

Рассматривается параметрическая задача оптимизации вида (Л9), в которой Р = П, а целевой функционал То и оператор ПФО задаются формулами24

Ми) = ЕФОфхр.-.й)), Ь(ч){х,у) = ъ{х,у,г[и)(х,у)), [х,у] 6 П.

Здесь (¿¡¡, у,-) € П, г = 1, I, — фиксированный набор точек, а г[и](х, у) £ Д", (х, у) € П, — соответствующее управлению и 6 Т) абсолютно-непрерывное решение краевой задачи для нелинейного гиперболического уравнения:

= ¡(х,у,г,2х,гу,и{х,у)), г(х,0) = ^(х), г{0,у) = (р2{х), (х,у)еП.

Считается при этом, что для рассматриваемой задачи выполнены традиционные в теории оптимального управления условия на исходные данные задачи.

В п.3.2 собраны необходимые для дальнейшего вспомогательные результаты. Более точно, здесь приводятся результаты, связанные со свойствами абсолютно-непрерывных решений управляемой краевой задачи, а также результаты, связанные со свойствами решений сопряжённых уравнений, отвечающих как целевому функционалу, так и оператору ПФО. Далее здесь приводится подробный подсчёт первых вариаций и проверка применимости абстрактной аксиоматики главы 1.

В этой главе для подсчёта первых вариаций функционалов используется классическое многоточечное игольчатое варьирование управления. Укажем одновременно здесь на принципиальную трудность применения в данной существенно нелинейной задаче (нелинейность по ) упомянутого

выше диффузного варьирования, опирающегося существенным образом на свойства компактности решений или их производных, которые не имеют

"Здесь приводится упрощённая формулировка, в которой отсутствуют функциональные ограничения, а целевой функционал является терминальным.

места в рассматриваемой задаче (множества {^[и] : и Е V} С Ьр(П), {2у[и] : и € V} С £/р(П), не компактны в сильной топологии Ьр(П), 1 < Р — оо)

В то же время, используемый в диссертации аппроксимационный подход в совокупности с классическим методом многоточечного игольчатого варьирования, позволяет получать в рассматриваемой задаче необходимые условия (суб)оптимальности, условия регулярности и нормальности, а также результаты, связанные с дифференциальными свойствами функции значений.

П.3.3 и 3.4 посвящены расшифровке абстрактных условий (суб)опти-мальности из главы 1 применительно к рассматриваемой в главе 3 задаче оптимизации. В п.3.5 получены результаты, связанные с достаточными условиями субоптимальности, регулярности и нормальности. Наконец, в п.3.6, применительно к рассматриваемой задаче оптимизации, расшифрованы абстрактные результаты главы 1, связанные с аппроксимацией исходной задачи с ПФО задачами с конечным числом функциональных ограничений.

Все результаты данной главы во многом аналогичны соответствующим результатам, полученным во второй главе для задачи (суб)оптимального управления гиперболическим уравнением дивергентного вида, и поэтому в данном кратком обзоре результатов диссертации опускаются. В завершение третьей главы приводится подробное решение иллюстративного примера 1, заключающееся в построении минимизирующей последовательности на основе принципа максимума для МПР.

Наконец, последняя, четвёртая, глава диссертации, состоящая из двух разделов, посвящена численному методу решения задач оптимизации для рассматриваемых систем с ПФО.

В п.4.1 рассматривается случай "линейно-выпуклой" задачи (Aq) из главы 1, и для этого частного случая конструируется численный метод её решения. Иными словами, рассматривается случай, когда множество допустимых управлений V является выпуклым замкнутым ограниченным подмножеством некоторого гильбертова пространства О/целевой функционал /о является сильно выпуклым на и; а функционалы Д (•)(?), р 6 Р,~ выпуклы на и при всех р Е Р. Кроме того, на функционал /о : Н Д и оператор , а также на их производные Фреше накладывается

требование локальной липшицевости по управлению.

В п.4.2 предложенный метод конкретизируется для управляемого гиперболического уравнения дивергентного вида с однородным краевым условием Дирихле. Показывается, что наличие нормали Фреше к надграфи-ку конечномерной функции значений в каждой аппроксимирующей задаче позволяет организовать алгоритм её решения типа метода точного недиф-ференцируемого штрафа. Для предложенного метода выводятся оценки степени близости по функционалу, по управлению, и по ограничениям, определяемые лишь "внутренними" свойствами управляемой системы и её исходными данными.

Публикации по теме диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих 16 работах:

[1] Гаврилов B.C. Параметрическая задача оптимального управления на классе обобщённых управлений. В кн. "Четвёртая Нижегородская сессия молодых учёных (математические и гуманитарные науки). Тезисы докладов. (7-14 сентября 1999г.)", 2000 - Нижний Новгород: Нижегородский гуманитарный центр, С.61-62.

[2] Гаврилов B.C., Сумин М.И. Принцип максимума для минимизирующей последовательности в задаче оптимального управления системой Гурса-Дарбу с поточечными фазовыми ограничениями типа неравенства. В кн. 'Воронежская весенняя математическая школа. Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XI. Тезисы докладов школы", 2000 - Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та, С.37.

[3] Гаврилов B.C. Принцип максимума в задаче оптимального управления системой Гурса-Дарбу с поточечными фазовыми ограничениями. В кн. "Пятая Нижегородская сессия молодых учёных (математические науки). Тезисы докладов. (18-23 сентября 2000г.)", 2000 - Нижний Новгород: Нижегородский гуманитарный центр, С.9-10.

[4] Гаврилов B.C., Сумин М.И. Принцип максимума в задаче оптимального управления системой Гурса-Дарбу с поточечными фазовыми ограничениями типа неравенства. В кн. 'Тезисы докладов на симпозиуме. Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках, посвященном 80-летию Красносельского", 2000 - Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та, С.56.

[5] Гаврилов B.C. Принцип максимума в задаче оптимального управления системой Гурса-Дарбу с функциональными и с поточечными фазовыми ограничениями. В кн. "Шестая Нижегородская сессия молодых учёных (математические науки). Тезисы докладов. (13-17 мая 2001г.)", 2001 - Нижний Новгород: Нижегородский гуманитарный центр, С.27-28.

[6] Гаврилов B.C., Сумин М.И. Параметрическая задача субоптимального управления системой Гурса-Дарбу с функциональными ограничениями. В кн. "Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XII. Тезисы докладов школы", 2001 - Воронеж, Изд-во Воронежского ун-та, С.48.

[7] Гаврилов B.C. Задача оптимального управления системой Гурса-Дарбу с поточечными фазовыми ограничениями. Труды XXIII Конференции молодых учёных механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. - М.: Изд-во Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2002.

[8] Гаврилов B.C., Сумин М.И. Параметрическая задача оптимального управления системой Гурса-Дарбу с поточечным фазовым ограничением. В кн. "Современные методы в теории краевых задач. Понтрягин-ские чтения - XIII. Тезисы докладов школы", 2002, - Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та, С.34

[9] Гаврилов B.C. Параметрическая задача оптимального управления системой Гурса-Дарбу с фазовым ограничением. В кн. " Лобачевские чтения - 2002". Тезисы докладов, 2002, Казань: Изд-во Казанского унта, С.13-14.

[10] Гаврилов B.C., Сумин М.И. Оптимальное управление системами Гурса-Дарбу с поточечными фазовыми ограничениями I: принцип максимума Понтрягина // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия "Математическое моделирование и оптимальное управление", 2002,1(25), С. 175-183.

[И] Гаврилов B.C., Сумин М.И. Оптимальное управление системами Гурса-Дарбу с поточечными фазовыми ограничениями II: минимизирующие последовательности, параметрическая оптимизация // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия "Математическое моделирование и оптимальное управление", 2003, 1(26), С.126-137.

[12] Гаврилов B.C., Сумин М.И. Параметрическая задача оптимального управления гиперболической системой дивергентного вида с фазовыми ограничениями. В кн. "Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XIV. Тезисы докладов школы", 2003, - Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та, С.37-38.

[13] Гаврилов B.C. Параметрическая оптимизация нелинейных систем Гурса- Дарбу с фазовыми ограничениями: нормали Фреше, аппроксимация, численный алгоритм решения. В кн. "Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава, докторантов, аспирантов, магистрантов и студентов. Архитектура и строительство - 2003.", 2004, Нижний Новгород: ННГАСУ, С.68-69.

[14] Гаврилов B.C., Сумин М.И. Параметрическая оптимизация для гиперболического уравнения дивергентного вида с фазовым ограничением В кн. "Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинскне чтения - XV. Тезисы докладов школы", 2004,- Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та, С.54-55.

[15] Гаврилов B.C. О двух формах сопряжённого уравнения для операторного ограничения в задаче оптимального управления системой Гурса-Дарбу с поточечным фазовым ограничением // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия "Математика", 2001. т.1(2). С.28-37.

[16] Гаврилов B.C., Сумин М.И. Параметрическая оптимизация нелинейных систем Гурса-Дарбу с фазовыми ограничениями // Журнал вы-числ. матем. и матем. физ. 2004. т.44. №6. С. 1002-1022.

Подписано в печать 22.11.04. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. п. л. 1. Заказ № 1478. Тираж 100 экз. Типография Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского. Лиц. ПД № 18-0099 от 4.05.01. 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37

112582 7

Сокращения, обозначения, нумерация

Введение

Глава 1 Абстрактная теория.

1.1 Необходимые условия на субоптимальные элементы для функционала типа максимума.

1.2 Абстрактная параметрическая задача оптимизации.

1.2.1 Постановка задачи. Минимизирующие приближённые решения.

1.2.2 Аксиоматика.

1.2.3 Необходимые условия на элементы МПР.

1.2.4 Необходимые условия оптимальности.

1.3 Функция значений и её свойства.

1.3.1 Полунепрерывность снизу функции значений.

1.3.2 Аппроксимация задачи с функциональными и с поточечными фазовыми ограничениями. Субдифференциалы функции значений аппроксимирующей задачи.

Глава 2 Задача субоптимального управления линейным гиперболическим уравнением дивергентного вида с однородным краевым условием Дирихле.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Вспомогательные результаты.

2.2.1 Основное уравнение и метрическое пространство управлений.

2.2.2 Сопряжённые уравнения для целевого функционала и функциональных ограничений.

2.2.3 Сопряжённые уравнения для оператора поточечных фазовых ограничений.

2.2.4 Подсчёт первых вариаций и проверка выполнения абстрактной аксиоматики.

2.3 Необходимые условия на элементы МПР.

2.4 Необходимые условия оптимальности.

2.5 Достаточные условия на элементы МПР и условия нормальности.

2.6 Аппроксимация задачи с функциональными и с поточечными фазовыми ограничениями.

Нормали Фреше, субдифференциалы функции значений аппроксимирующей задачи.

2.7 Иллюстративный пример.

Глава 3 Задача субоптимального управления системой Гурса—Дарбу.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Вспомогательные результаты.

3.2.1 Основное уравнение и метрическое пространство управлений.

3.2.2 Сопряжённые уравнения для целевого функционала.

3.2.3 Сопряжённые уравнения для оператора поточечных фазовых ограничений.

3.2.4 Подсчёт первых вариаций и проверка выполнения абстрактной аксиоматики.

3.3 Необходимые условия на элементы МПР.

3.4 Необходимые условия оптимальности.

3.5 Достаточные условия на элементы МПР и условия нормальности.

3.6 Аппроксимация задачи с функциональными и с поточечными фазовыми ограничениями.

Нормали Фреше, субдифференциалы функции значений аппроксимирующей задачи.

3.7 Иллюстративный пример.

Глава 4 Численный алгоритм для решения задач с ПФО.

4.1 Абстрактная теория.

4.1.1 Постановка абстрактной задачи с поточечными фазовыми ограничениями.

4.1.2 Аппроксимирующая задача.

4.1.3 Набросок численного метода в абстрактном случае.

4.2 Набросок численного метода решения задачи оптимального управления гиперболическим уравнением дивергентного вида с однородным краевым условием Дирихле.

4.2.1 Постановка задачи с поточечными фазовыми ограничениями.

4.2.2 Постановка аппроксимирующей задачи.

4.2.3 Основное уравнение и гильбертово пространство управлений.14о

4.2.4 Представления приращений.

4.2.5 Подсчёт градиентов.

4.2.6 Набросок численного метода.

Общая характеристика диссертации Диссертация посвящена развитию теории параметрических задач субоптимального управления гиперболическими системами с поточечными фазовыми ограничениями (ПФО). Иными словами, в ней рассматриваются задачи оптимизации, зависящие от параметров. В этих задачах в качестве основного (искомого) элемента теории рассматривается минимизирующая последовательность (МП) допустимых управлений.

Актуальность темы. К задачам оптимального управления с ПФО в течение вот уже сорока лет проявляется большой интерес. Их изучение началось с задач оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Различный вклад в исследования в этом направлении внесли Арутюнов А.В., Асеев С.М., Благодатских В.И., Васильев Ф.П., Гамкрелидзе Р.В., Дмитрук А.В, Дубо-вицкий А.Я., Иоффе А.Д., Матвеев А.С., Милютин А.А., Никольский М.С., Плотников В.И., Сумин М.И., Тихомиров В.М., Тонков E.J1., Якубович В.А., Clarke F.H., Vinter R.B. и др.

Активное изучение задач оптимизации распределёнными системами с ПФО началось более двадцати лет назад. По-видимому, первыми в этом направлении были работы [68, 134]. С этого момента наблюдается устойчивый интерес к задачам указанного направления. Более того, в последние годы этот интерес заметно усилился. Различные результаты для оптимизационных распределённых задач с ПФО получены в работах таких авторов, как Васильев О.В., Дыхта В.А., Матвеев А.С., Новоже-нов М.М., Плотников В.И., Сумин М.И., Якубович В.А., Abergel F., Bergounioux М., Bonnans J.F., Casas Е., Li X., Mackenroth U., Mordukhovich B.S., Raymond J.-P., Temam R., Yong J., Zidani H., и др. Ярко выраженное большинство работ этого направления посвящено задачам оптимизации систем, описываемых эллиптическими и параболическими уравнениями. В то же время, задачам оптимального управления гиперболическими системами с ПФО уделено существенно меньше внимания ([154,155, 113,109,137,138]), и можно, по-видимому, утверждать, что их интенсивное изучение только начинается. Заметно меньшая изученность оптимизационных задач с ПФО для гиперболических уравнений связана в значительной степени с отсутствием у их решений свойств регулярности, характерных для решений параболических и эллиптических уравнений (см., например, замечание 1.2 на с.155 монографии [59]). Данная особенность решений гиперболических уравнений послужила одной из причин изучения в настоящей диссертационной работе возможностей преодоления этих трудностей на основе предложенного в работах [98, 102, 103, 109] так называемого двухпараметрического способа варьирования управления, существенно опирающегося на понятие повторного предельного перехода и классические дифференциальные свойства обобщённо дифференцируемых (в смысле Соболева C.JI.) функций. Важно отметить также, что основная направленность работ, посвященных изучению задач оптимального управления распределёнными системами с ПФО, состоит в получении лишь необходимых условий. Значительно меньшее внимание было уделено таким классическим вопросам теории оптимизации, как вопросы субоптимальности, регулярности, нормальности, дифференциальных свойств функции значений, построения численных алгоритмов для решения указанного класса задач оптимального управления, и т.п. [150,110,109]. Всем этим вопросам применительно к задачам оптимизации гиперболических систем в настоящей работе уделяется центральное внимание.

В качестве „искомого элемента" теории в диссертационной работе рассматриваются не оптимальные управления (классические или обобщённые), а минимизирующие последовательности обычных (измеримых по Лебегу) управлений, в роли которых выступают так называемые минимизирующие приближенные решения (МПР) в смысле Варги Дж. [9], т.е. МП, удовлетворяющие ограничениям лишь „в пределе". Это говорит о том, что выбранное в диссертации направление исследования является составной частью исследований по теории субоптимального управления распределенными системами, устойчивый интерес к которой наблюдается на протяжении, по крайней мере, последних двадцати лет. За это время различный вклад в развитие этой теории был внесен такими математиками, как Плотников В.И., Сумин М.И., Barbu V., Fattorini Н.О., Frankowska H., Mordukhovich B.S. и др. Отметим, что использование понятия МПР является выгодным, в частности, потому, что: а) МПР всегда существует; Ь) позволяет записывать все результаты в терминах расширенной задачи ([30, 31, 9[), если такое расширение возможно; с) адекватно теории численных методов; d) удобно с прикладной (инженерной) точки зрения (подробности см., например, в монографии [9]).

Важность и актуальность развития теории субоптимального управления распределенными системами объясняется тем, что, в общей нелинейной ситуации распределенных систем и, в частности, гиперболических, имеются простые примеры оптимизационных задач [109], [15], в которых не существует классических оптимальных управлений, и которые не могут быть расширены в каком-либо естественном смысле (Гамкрелидзе Р.В., Варга Дж., Филиппов А.Ф., Янг JL). Одновременно можно утверждать, что такая ситуация характерна, по сути дела, для задач оптимального управления, связанных со всеми нелинейными распределенными системами. Заметим, в частности, что на важность развития теории суботимального управления указывается в монографии Гурмана В.И. [36]; более того, на важность дальнейшего развития теории субоптимального управления было указано в решении международного симпозиума „Обобщённые решения в задачах управления (GSCP-2002)", проходившем в Переславле-Залесском с 27 по 31 августа 2002г. Отметим также, что в самое последнее время некоторые частные результаты в теории субоптимального управления распределенными системами были получены в работах Серовайского С.Я. (см., например, [91]). Подобные примеры говорят о том, что естественным выходом из этой ситуации является использование МП в качестве основного элемента теории. В приводимом ниже примере задачах оптимального управления не существует обычного измеримого по Лебегу оптимального управления, однако задача допускает расширение в смысле Гамкрелидзе Р.В., Варги Дж.

Пример 0.1. Рассмотрим задачу оптимального управления

10(и) = ! [z2(x,t)-u2{x,t)]dxdt inf, u(x,t) € [-1,+1] п.в. eQ, Q = (0, 1)х(0, 1), JQ

Ztt ~ zxx = u(x, t), z{0, t) = z( 1, t) - 0, z(x, 0) = 0, zt(x, 0) = 0, (x, t) e Q.

Специфика такой хорошо известной конструкции функционала такова, что в этой задаче нижняя грань равна —1. Очевидно, что она не достигается ни на каком обычном управлении. Кроме того, нетрудно видеть, что последовательность и1, г — 1,2,., определяемая равенствами t € i2^, i), X e (0, 1), 2=1,3,. ,2i-l; ь € %)> x e (°> !)» 3=2,4,-• • ,2i; г = 1,2,.,

0.1) является минимизирующей и для неё выполняется предельное соотношение Iq(u1) —> —1, г оо.

В только что приведённом примере не существовало классического оптимального управления, но задача допускала расширение в смысле Варги [9]. Приведём теперь пример, говорящий о том, что расширения в каком-либо естественном смысле (Р.В.Гамкрелидзе, Дж.Варга, А.Ф.Филиппов, Л.Янг) может и не существовать. Пример 0.2. Пусть имеется задача

I0(u) = z2[u]( 1, 1) -> inf, h(u)(x, у) = -^[uKz, у) < О, (х, у)€ П = [0,1] х [0,1]; Zixy = {ziy + у), z2xy - Zi - и2(х, у), z(0, у) = z(x, 0) = 0;

2 = (zlt z2), u(x, у) E U = [-1, +1], (x, у) eU = [0, 1] x [0, 1].

Легко показать, что в этой задаче не существует измеримого по Лебегу оптимального управления и что значение задачи равно —1. Т.к. z[u](xt у) = ь f2) - 1) dfi, то можно заметить, что последовательность является минимизирующим приближенным решением и для нее выполняется предельное соотношение Io{vl) —» —1, г —> оо, в то время как для последовательности иНх v)=l+1>ye ( V * 6 1°' *>3" • ■ >2г-1; fo 3) указанное предельное соотношение не выполняется. Можно утверждать также, что первая из отмеченных последовательностей удовлетворяет принципу максимума для минимизирующих приближенных решений [15], [86] , а вторая - нет. В то же время, обе эти последовательности управлений, как нетрудно видеть, сходятся в слабой норме | • |ш (см. [9], [31]) к одному и тому же обобщенному управлению v{x,y) = ^(tf-j + Итак, подчеркнем, что в данном примере разные последовательности управлений сходятся к odnoAiy и тому же обобщенному управлению, но одна из них является МПР и идентифицируется с помощью принципа максимума, а другая таковой не является.

Как уже отмечено выше, в диссертации рассматриваются задачи субоптимального управления гиперболическими системами с параметром. Этот параметр является функциональным, принадлежит классу непрерывных функций и аддитивно входит в ПФО задачи. Аналогичные задачи для эллиптических и параболичеких уравнений рассматривались ранее в работах Сумина М.И. [150, 110, 109]. Изучение параметрических задач, в соответствии с общей идеологией метода возмущений (см., например, с.263 книги [1]), даёт возможность рассматривать соответствующие функции (функционалы) значений как функции параметра и, основываясь на их специфических дифференциальных свойствах, получать информацию „в целом" о семействе и, как следствие, во многих важных частных случаях о каждой конкретной задаче отдельно.

Отметим, что эффективное изучение параметрических задач оптимального управления нелинейными распределенными системами, по сути дела, невозможно без использования понятия МПР, ещё и потому, что порождаемая именно таким понятием МП функция значений в самой общей ситуации является полунепрерывной снизу. В то же время функция значений, порождаемая классическим понятием МП, элементы которой удовлетворяют ограничениям в точном смысле, таким свойством, вообще говоря, не обладает. Данное обстоятельство позволяет применить к исследованию оптимизационных задач аппарат негладкого анализа, а именно, анализа нормалей (проксимальных нормалей, нормалей Фреше) к замкнутым множествам в банаховых пространствах и обобщённого дифференцирования негладких (полунепрерывных снизу) функций в банаховых пространствах (см., например, [53, 118, 67, 139]). В данной диссертации существенно используется именно понятие нормали Фреше а также субдифференциалов в смысле работ [67, 139]). Заметим, что эти субдифференциалы представляют собой более тонкие конструкции по сравнению с субдифференциалами в смысле Кларка [112J.

Все работы, посвященные изучению задач оптимального управления распределенными системами с ПФО, можно условно разделить на две группы. В работах первой группы, к которой относится большинство работ указанного направления, оператор ПФО рассматривается как „единый объект" — операторное ограничение в каком-либо подходящем классе функций. В работах второй группы [150, 110], опирающихся на идею работы [100], оператор ПФО трактуется как бесчисленное множество функциональных ограничений. Такая трактовка ПФО позволяет аппроксимировать, с помощью вариационного принципа Эклаида [127], задачу с ПФО последовательностью задач, в каждой из которых число функциональных ограничений конечно, с последующим предельным переходом в семействе необходимых условий (с>б)оптимальности при стремлении числа функциональных ограничений к бесконечности. Выгода такого подхода основывается на использовании преимуществ аппроксимирующих задач с ограничениями в конечномерных пространствах, и заключается в получении результатов по более широкому спектру классических оптимизационных вопросов в исходных задачах с ПФО (регулярность, нормальность, чувствительность, числениые алгоритмы), нежели при первом подходе, трактующем ПФО как сугубо операторное ограничение. Данная диссертационная работа принадлежит ко второй из двух указанных групп работ.

Цель диссертационной работы состоит в построении теории субоптимального управления гиперболическими системами с ПФО, включающей в себя следующие основные моменты: необходимые и достаточные условия на МП; условия нормальности и регулярности; дифференциальные свойства функции значений; численный алгоритм решения задач оптимального управления с ПФО.

Методы исследования В работе использованы методы теории оптимального управления, функционального анализа, негладкого анализа, теории функций действительного переменного, теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Научная новизна и основные результаты Автором получены следующие новые результаты:

1) Предложена абстрактная схема исследования задач (суб)оптимального управления с ПФО. Эта абстрактная схема является модификацией предложенной Суминым М.И. в работах [106, 109] общей схемы исследования задач субоптимального управления системами с распределёнными параметрами, нацеленной именно на оптимизационные задачи с ПФО в пространстве непрерывных функций. Эффективность предложенной модификации продемонстрирована на задачах (суб)оптимального управления для гиперболического уравнения дивергентного вида и системы Гурса-Дарбу.

2) На основе указанных выше абстрактных результатов получены необходимые и достаточные условия на элементы МПР (в частности, необходимые и достаточные условия оптимальности) в задачах оптимального управления гиперболическим уравнением дивергентного вида и системой Гурса-Дарбу с ПФО в пространствах непрерывных функций. С целью получения необходимых условий в оптимизационных задачах для гиперболических уравнений дивергентного вида применен новый для этого класса задач тип так называемого двухпара-метрического варьирования функционалов [98, 102, 103, 109], основанный на идее повторного предельного перехода и позволяющий получать необходимые условия (суб)оптимальности при естественных для гиперболических уравнений условиях на исходные данные. Получены различные результаты, связанные с аппроксимацией задач с ПФО задачами с конечным числом функциональных ограничений, а также со свойствами регулярности, нормальности, чувствительности задач оптимального управления гиперболическими уравнениями с ПФО.

3) Как приложение абстрактных результатов, разработан численный алгоритм решения линейно-выпуклых задач оптимального управления с ПФО. Данный алгоритм основан на аппроксимации исходной задачи с ПФО задачами, в каждой из которых число функциональных ограничений конечно, и применении для решения каждой аппроксимирующей задачи метода точного недифференциру-емого штрафа. Для предложенного метода получены оценки степени близости как по функционалу, так и по ограничениям, определяемые лишь „внутренними свойствами" управляемой системы и её исходными данными.

Степень обоснования результатов диссертации Все научные положения и выводы диссертационной работы строго математически обоснованы. Результаты, полученные в диссертации, хорошо согласуются с работами других авторов в области математической теории оптимального управления распределёнными системами, как отечественных, так и зарубежных.

Теоретическая и практическая ценность Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть применены в теории оптимального управления: 1) при теоретическом исследовании многих сложных конкретных задач с различного рода функциональными и операторными ограничениями; 2) при численном решении различных задач оптимального управления гиперболическими системами на основе предложенного численного алгоритма.

Результаты диссертации явились составной частью результатов работы, выполнявшейся при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) и Конкурсного центра фундаментального естествознания (КЦФЕ) Минобразования РФ при Санкт-Петербургском госуниверситете:

1998-2000 г.г. - грант РФФИ (проект №98-01-00793), тема „Теория субоптимального управления распределенными системами: минимизирующие последовательности, операторные ограничения, граничные управления, численные методы" (рук. проф. Сумин М.И.);

2001-2003 г.г. - грант РФФИ (проект №01-01-00979), тема „Оптимальное управление вольтерровыми функциональными уравнениями: теория и приложения" (рук. проф. Сумин В.И.);

2003-2004 г.г. - грант КЦФЕ (проект №Е02-1.0-173), тема „Субоптимальное управление распределенными системами: операторные ограничения, граничные управления, численные алгоритмы, регуляризация, обратные задачи" (рук. проф. Сумин М.И.);

2004-2006 г.г. - грант РФФИ (проект №04-01-00460), тема „Субоптимальное управление распределенными системами с операторными ограничениями и граничными управлениями: теория и алгоритмы" (рук. проф. Сумин М.И.).

Апробация работы Результаты диссертации докладывались и обсуждались на симпозиуме „Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках", посвященном 80-летию Красносельского (Воронеж, 2000); на IV, V, VI Нижегородских сессииях молодых учёных (Саров, 1999, 2000, 2001); на XI, XII, XIII, XIV, XV весенних воронежских школах „Понтрягинские чтения", (Воронеж, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004); XXIII Конференции молодых учёных механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2001); международной молодёжной научной школе-конференции "Лобачевские чтения—2002"', Казань, 2002.

По теме диссертации неоднократно делались доклады на семинаре по математической теории оптимального управления (рук. проф. В.И.Сумин, проф. Сумин М.И., 1999-2004). Результаты диссертации докладывались также на семинаре в Московском государственном университете (рук. д.ф.-м.н. Антипин А.С., проф. Ф.П.Васильев, доц. Потапов М.М., 2003); на семинаре в Удмуртском государственном университете (рук. проф. Тонков E.JL, 2003).

Публикации Постановки задач и общее научное руководство исследованиями принадлежат Сумину М.И. Доказательства всех теорем принадлежат диссертанту.

Структура и объём работы Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых на параграфы, а также списка литературы из 155 наименований. Объём работы 165 страниц.

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

2. Арутюнов А.В. Возмущения экстремальнх задач с ограничениями и необходимые условия оптимальности // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Математический анализ. 1989. Т.27. С.147-235.

3. Арутюнов А.В., Асеев С.М. Принцип максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями. Невырожденность и устойчивость // Докл. РАН. 1994. Т.334. №2. С.134-137.

4. Арутюнов А.В., Асеев С.М., Благодатских В.И. Необходимые условия первого порядка в задаче оптимального управления дифференциальным включением с фазовыми ограничениями // Матем. сб. 1993. Т.184. №6. С.3-32.

5. Арутюнов А.В., Благодатских В.И. Принцип максимума для дифференциальных включений с фазовыми ограничениями // Тр. МИАН СССР. 1991. Т.200. С.4-26.

6. Арутюнов А.В. Условия экстремума. Нормальные и вырожденные задачи. М.: Изд-во „Факториал", 1997.

7. Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин А.А., Чуканов С.А. Необходимое условие в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990.

8. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. М.: Радио и связь, 1987.

9. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.

10. Васильев О.В. Качественные и конструктивные методы оптимизации управляемых процессов с распределенными параметрами. Автореф. докт. дисс. Л.: ЛГУ, 1984.

11. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

12. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.

13. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Мордухович Б.Ш. Принцип е-максимума для субоптимальных управлений // Докл. АН СССР. 1983. Т.263. №3. С.525-529.

14. Гаврилов B.C. Параметрическая задача оптимального управления системой Гурса-Дарбу с фазовым ограничением. В кн. «„Лобачевские чтения -2002". Тезисы докладов», Казань: Изд-во Казанского ун-та, 2002. С.48.

15. Гаврилов B.C., Сумин М.И. Параметрическая оптимизация нелинейных систем Гурса-Дарбу с фазовыми ограничениями // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т.44. Л* 6. С.1002-1022.

16. Гаврилов B.C. О двух формах сопряжённого уравнения для операторного ограничения в задаче оптимального управления системой Гурса-Дарбу с поточечным фазовым ограничением // Вестник ННГУ „Математика" 2004. т.1(2). С.28-37.

17. Гамкрелидзе Р.В. О скользящих оптимальных режимах // Докл. АН СССР. 1962. Т. 143. №6. С. 1243-1246.

18. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1977.

19. Гамкрелидзе Р.В. Необходимые условия первого порядка и аксиоматика экстремальных задач // Труды МИАН СССР. 1971. Т.112. С.152-180.

20. Гамкрелидзе Р.В., Харатишвили Г.А. Экстремальные задачи в линейных топологических пространствах // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1969. Т.ЗЗ. .№4. С.781-839.

21. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: ИЛ, 1962.

22. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964

23. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука, 1985.

24. Данилова О.А., Матвеев А.С. Нетрадиционные условия существования оптимального управления для системы Гурса-Дарбу // Изв. РАН. сер. матем. 1998. Т.62. №5. С.79-102.

25. Дмитрук А.В., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Теорема Люстерника и теория экстремума // УМН. 1980. Т.35. Вып.6. С.11-30.

26. Дмитрук А.В. Принцип максимума для общей задачи оптимального управления с фазовыми и регулярными смешанными ограничениями // Оптимальность управляемых динамических систем. Вып.14. М.: ВНИИСИ, 1990.

27. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. Т.5. J№3. С.395-453.

28. Дубовицкий А.Я. Теоретико-функциональный аппарат общей задачи оптимального управления. Препринт ИХФ АН СССР. Черноголовка. 1975. 42 С.

29. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А, Теория принципа максимума // Методы теории экстремальных задач в экономике. М.: Наука, 1981. С.6-47.

30. Егоров А.И., Шакиров В.Н. Задача оптимального разделённого управления квазилинейной системой гиперболического типа. В кн. „Оптим. и упр. мех. сист."Л.: 1983. С.22-32.

31. Егоров Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. Т.З. JV«5. С.887-904.

32. Егоров Ю.В. Необходимые условия оптимальности в банаховых пространствах // Матем. сб. 1964. Т.64(106). УП. С.79-101.

33. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2ч. Часть I. 5-е изд. М.: Наука, 2000.

34. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2ч. Часть II. 3-е изд. М.: Наука, 2000.

35. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

36. Казимиров В.И., Плотников В.PI., Старобинец И.М. Метод вариаций для экстремальных задач общего вида. Препринт ИПФ АН СССР. 44 // ИПФ АН СССР. Горький. 1982.

37. Казимиров В.И., Плотников В.И., Старобинец И.М. Необходимое условие экстремума в гладких задачах с операторными ограничениями // Изв. вузов. Математика. 1983. Л* 8. С.21-26.

38. Казимиров В.И., Плотников В.И., Старобинец И.М. Абстрактная схема метода вариаций и необходимые условия экстремума // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985. Т.49. №1. С.141-159.

39. Келли Джон Л. Общая топология. М.: Наука, 1981.

40. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988.

41. Колмогоров А.Ф., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, изд. 6-е. М.: Наука, 1988.

42. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

43. Ладыженская О.А., Содонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

44. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

45. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир. 1972.

46. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987.

47. Матвеев А.С. К абстрактной теории оптимального управления системами с распределенными параметрами // Сиб. матем. журн. 1988. Т.29. № 1. С.94-107.

48. Матвеев А.С. Задачи оптимального управления с запаздываниями общего вида и фазовыми ограничениями // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1988. Т.52. №6. С. 1200-1229.

49. Матвеев А.С. Вариационный анализ в задачах оптимизации систем с распределенными параметрами и вектор-функции множества // Сиб. матем. журн. 1990. Т.31. №6. С.127-141.

50. Матвеев А.С., Якубович В.А. Оптимальное управление некоторыми системами с распределенными параметрами // Сиб. матем. журн. 1978. Т.19. №5. С. 11091140.

51. Матвеев А.С., Якубович В.А. Абстрактная теория оптимального управления. СПб.: Изд-во. С.-Петербургского ун-та. 1994.

52. Плотников В.И. Теория оптимизации управляемых систем (с распределенными и сосредоточенными параметрами): Диссертация . доктора физ.-матем. наук. Горький: ГГУ, 1975.

53. Плотников В.И., Старобинец И.М. Об операторных включениях в гладких задачах на экстремум // Изв. вузов. Математика 1985. Л"212. С.42-48.

54. Плотников В.И., Старобинец И.М. Фазовые включения в задачах оптимального управления // 1986. Т.22. JV« 2. С.236-247.

55. Плотников В.И., Сумин В.И. Проблемы устойчивости нелинейных систем Гурса-Дарбу // Дифференц. уравнения. 1972. T8„V°o. С.845-856.

56. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределёнными параметрами, описываемых системами Гурса-Дарбу // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т.12, Л* 1. С.61-77.

57. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация распределенных систем в лебеговом пространстве // Сиб. матем. ж. 1981. Т.22. ,4*6. С.142-161.

58. Плотников В.И., Сумин М.И. О построении минимизирующих последовательностей в задачах управления системами с распределенными параметрами // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1982. Т.22. .Y« 1.-С.49-56.

59. Плотников В.И., Сумин М.И. О построении минимизирующих последовательностей // Дифференц. уравнения 1983. Т.19. ,V,4. С.581-388.

60. Плотников В.И. Сумин М.И. Об условиях на элементы минимизирующих последовательностей задач оптимального управления //Докл. АН СССР. 1985. Т.280. №2. С.292-296.

61. Понтрягин J1.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

62. Сакс С. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949.

63. Серовайский С.Я. Нижнее пополнение и расширение экстремальных задач // Изв. вузов. Математика. 2003. >5. С 30-11.

64. Смирнов В.Н. Курс высшей математики. Т.о., М.: ГИФМЛ, 1959.

65. Срочко В.А. Условия оптимальности для одного класса систем с распределенными параметрами // Сиб. матем. журн 1976 Т.17, „Vе5. С.1108-1113.

66. Срочко В.А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления. Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1989.

67. Стейн М. Илайес. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

68. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Часть I. Вольтерровы уравнения и управляемые начально-краевые задачи. Mohoiрафия. Н Новгород: Изд-во ИНГУ, 1992.

69. Сумин М.И. Задачи оптимального управления сосредоточенными и распределенными системами с дифференцируемыми и недифференцируемыми функционалами и функциями, задающими системы, Дис.канд. физ.-матем. наук, Горький: ГГУ, 1983.

70. Сумин М.И. О достаточных условиях на элементы минимизирующих последовательностей в задачах оптимальною управления //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. Т.25. №1. С.23-31.

71. Сумин М.И. О минимизирующих последовательностях в задачах оптимального управления при ограниченных фазовых координатах // Дифференц. уравнения. 1986. Т.22. №10. С.1719-1731.

72. Сумин М.И. Оптимальное управление объектами, описываемыми квазилинейными эллиптическими уравнениями // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25. №8. С.1406-1416.

73. Сумин М.И. О первой вариации в теории оптимального управления системами с распределёнными параметрами // Дифференц. уравнения. 1991. Т.27. .№12. С.2179-2181.

74. Сумин М.И. О необходимых условиях оптимальности в задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами. В кн. „Методы прикладного функционального анализа". Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 1991. С.88-94.

75. Сумин М.И. Субоптимальное управление системами с распределенными параметрами: минимизирующие последовательности, функция значений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ 1997. Т.37. У" 1.-С.23-41.

76. Сумин М.И. Субоптимальное управление системами с распределенными параметрами: свойства нормальности, с\бградиентный двойственный метод // Журн. вычисл. матем. и магем. физ. 1997. Т37. №2. С. 162-178.

77. Сумин М.И. Субоптимальное управление по гулинейными эллиптическими уравнениями с фазовыми ограничениями, I: принцип максимума для минимизирующих последовательностей, нормальность // Изв. вузов. Математика. 2000. №6. С.33-44.

78. Сумин М.И. Субоптималыгое управление иолулинеиными эллиптическими уравнениями с фазовыми о1раничениями, II: чувствительность, типичность регулярного принципа максимума // II зв вузов Математика. 2000. №8. С.52-63.

79. Сумин М.И. Математическая теория субоптимального управления распределенными системами. Дисс . докт. физ -мат. паук. Нижний Новгород: Нижегородский гос. ун-т, 2000.

80. Сумин М.И. Субоптимальиое управление полулинейным эллиптическим уравнением с фазовым ограничением и граничным управлением // Дифференц. уравнения. 2001. Т.37. №2. С 260-275.

81. Терлецкий В.А. Вариационный принцип максимума в управляемых системах одномерных гиперболических уравнений // Известия вузов. Математика. 1999. Т.35. № 12. С.82-90

82. Тихомиров В.М. Выпуклый анализ // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1987. Т.14. С.5-101.

83. Условия экстремума и коне грукгивные методы решения в задачах оптимизации гиперболических систем. // Ред Васильев О.В. Новосибирск: Наука, 1993.

84. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах 1еории оптимального регулирования. Вестник МГУ. Сер. матем мех , 1959. JY>2. С.25-32.

85. Якубович В.А. Некоторые варианты абстрактного принципа максимума // ДАН СССР. 1976. Т.229. >4 С 816-819

86. Янг JI. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974.

87. Bergounioux М A Penalization Method for Optimal Control of Elliptic Problems with State Constraints // SIAM .1. Control Optim. 1992 V.30. No.2. P 305-323.

88. Borwein J.M., Strojwas H.M. Proximal analysis and boundaries of closed sets in Banach space, part I: theory // Can. J. Math.- 1986. V.38. No 2. P.431-452; Part II: Applications // Can. J. Math. 1987. V.39. No 2 P.428-472.

89. Casas E. Pontryagin's Principle for State-Constrained Boundary Control Problems of Semilinear Parabolic Equations // SIAM J. Control Optim. 1997. V.35. No.4. P.1297-1327.

90. Casas E., Raymond J.-P., Zidani H. Pontryagin's Principle for Local Solutions of Control Problems with Mixed Control-State Constraints // SIAM J. Control Optim. 2000. V.39. No.4. P.1182-1208

91. Choo K.G., Teo K.L., Wu Z S. On an optimal control problem involving second order hyperbolic systems with boundary contiol // Bull. Austral. Math. Soc. 1983. V.27. №1. P.139-148.

92. Clarke F.H. Maximum Principles without Differentiability // Bull. Amer. Math. Soc. V.81. №1. P.219-222.

93. Clarke F.H. The Maximum Principle under Minimal Hypotheses // SIAM J. Control Optim. V.14. Д*6. P.1078-1091.

94. Clarke F.H. A New Approach to Lagrange Multipliers // Math. Oper. Res. 1976. V.l. No.2. P.165-174.

95. Clarke F.H. Perturbed Optimal Control Problems // IEEE Trans. Automatic Control. V.AC-31. №6. P.535-542.

96. Clarke F.H., Loewen P.D. The Value Function in Optimal Control: Sensitivity, Controllability and Time-Optimahtv//SIAM J Control Optim 1986. V.24. №2. P.243-263.

97. Ekeland I. On the Variational Punciple // .1. Math. Anal. Appl. 1974. V.47. No.2. P.324-353.

98. Fattorini H.O. A Unified Theory of Necessary Conditions for Nonlinear Nonconvex Control Systems//Appl Math Optim 1987. V.15 P.141-185

99. Fattorini H.O., Frankowska H. Explicit convergence estimates for suboptimal controls I // Probl. Control and Information Theory. 1990. V.19. No 1. P.3-29; II // No.2. P.69-93. V.4. P 41-67.

100. X.J. Li. Vector-valued measure and necessary conditions for the optimal control problems of linear systems // J.Math Res Exposition. 1981. V.l. P.51-56.

101. Loewen P.D. Proximal Normal Formula m Hilbert Spaces // Nonlinear Anal. 1987. V.ll. P.979-995.

102. Loewen P.D. Optimal control via nonsmooth analysis CRM Proceedings and Lecture Notes. V.2. Amer. Math Soc., Providence, RI,1993.

103. Mackenroth U. Convex parabolic boundary control problems with pointwise state constraints // J. Math. Anal, and Applic. 1982. V.87. P 256-277

104. Mordukhovich B.S. Complete Characterization of Openness, Metric Regularity and Lipschitzian Properties of Multifunction // Trans Arner. Math. Soc. 1993. V.340. P.l-36.

105. Mordukhovich B.S. Generalized Differential Calculus for Nonsmooth and Set-Valued Mappings // J. Math Anal. Appl 1994 V.183. No 1 P 250-288.

106. Mordukhovich B.S., Raymond ,J.-P. Dirichlet boundary control of hyperbolic equations in the presence of state constraints j j Appl. Math. Optim. 2004. V.49. P.145-157.

107. Mordukhovich B.S., Raymond J.-P. Neumann boundary control of hyperbolic equations with pointwise state constraints // SIAM J. Control Optim. (to appear).

108. Mordukhovich В S , Shao Y. Nonsmooth sequential analysis in asplund spaces // Trans. Amer. Math Soc. 1996 V 346. No 4. P.1235-1280

109. Mordukhovich B.S., Shao Y. Stability of Set-Valued Mappings in Infinite Dimensions: Point Criteria and Applications // SIAM J. Control Optim. 1997. V.35. No.l. P.285-314.

110. Mordukhovich B.S., Wang В Necessary suboptimality and optimality conditions via variational principle // (to appear)

111. Mordukhovich В S., Zhang K. Existence, Approximation, and Suboptimality Conditions for Minimax Control of Heat Transfer Systems with State Constraints // Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. Marcel Dekker, New York. 1994. V.160. P.251-270.

112. Neustadt L.W. An Abstract Variational Theory with Applications to a Broad Class of Optimization Problems II, Applications // SIAM 1. Control. 1967. 5:1. P.90-137.

113. Polak E., Wardi Y.Y. A Study of Minimizing Sequences // SIAM J. Control Optim. 1984. V.25. No.4. P.599-609.

114. Raymond J.-P., Zidani H. Pontryagin's Principle for State-Constrained Control Problems Governed by Parabolic Equations with Unbounded Controls // SIAM J. Control Optim. 1998 V 36 No 6 P. 1853-1879.

115. Rockafellar R.T. Directionallv Lipschitzian Functions and Subdifferential Calculus // Proc. London Math Soc. 1979 V 39. No.3 P 331-335.

116. Rockafellar R.T. Generalized Directional Derivatives and Subgradients of Nonconvex Functions // Can J Math. 1980. V 32. P.257-280.

117. Rockafellar R.T. The Theory of Subgradients and Its Applications to Optimization. Convex and Nonconvex Functions. Berlin Heldermann. 1981.

118. Rockafellar R.T. Proximal Subgradients, Marginal Values and Augmented Lagrangians in Nonconvex Optimization // Math. Oper. Res. 1981. V.6. P.424-436.

119. Sumin M.I. Optimal Control of Semihnear Elliptic Equation with State Constraint. Maximum Principle for Minimizing Sequence, Regularity, Normality, Sensitivity // Control and Cybernetics 2000. V.29 No 2. P 449-472.

120. Thibault L. On Subdifferentials of Optimal Value Functions // SIAM J. Control Optim. 1991. V.29 P 1019-1036

121. Y.Yao. Vector measure and maximum principle of distributed parameter systems // Sci. Sinica Ser. 1983 V.26. P.102-112

122. Ward A.L. Differentiability of vector monotone functions // Proc. London Math. Soc. 1935. V.32. No 2 P.339-362

123. White L.W. Control of hyperbolic problem with pointwise stress constraints // JOTA. 1983. V.41, Na 2. P 359-369

124. White L.W. Distributed control of a hyperbolic system with control and stresb constraints//J. Math Anal and Appl 1985. V.106 №1 P.41-53.