Параметрический метод расчета свободно-конвективного теплообмена на вертикальных неизотермических поверхностях и его применение к решению сопряженных задач свободной конвенции тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

Глава I. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ НА ВЕРТИКАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ.

1.1. Автомодельные задачи свободно-конвективного теплообмена.

1.2. Методы исследования неавтомодельных задач.

1.3. Сопряженные задачи свободно-конвективного теплообмена.

Глава 2. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ.

2.1. Уравнения свободно-конвективного пограничного слоя.

2.2. Применение анализа размерностей к исследованию свободно-конвективного теплообмена.

2.3. Универсальные уравнения свободно-конвективного пограничного слоя при граничных условиях I рода.

2.4. Универсальные уравнения свободно-конвективного пограничного слоя при граничных условиях II рода.

Глава 3. РЕШЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СВОБОДНО-КОНВЕКТИВНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ.

3.1. Локально-однопараметрическое приближение универсальных уравнений.

3.2. Однопараметрическое приближение универсальных уравнений.

3.3. Локально-двухпараметрическое приближение универсальных уравнений.

3.4. Примеры расчета свободно-конвективного теплообмена параметрическим методом.

Глава 4. СОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ СВОБОДНО-КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА НА ТОНКОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛАСТИНЕ.

4.1. Применение анализа размерностей к исследованию сопряженных задач.

4.2. Уравнения сопряженной задачи.

4.3. Результаты решения сопряженных задач. вывода.

Основные направления экономического и социального развития СССР на 1981 - 1985 годы и на период до 1990 года", принятые на ХХУТ съезде КПСС, ставят задачу повышения в оптимальных пределах единичных мощностей машин и оборудования при одновременном уменьшении их габаритов, металлоемкости, энергопотребления и снижения стоимости на единицу конечного полезного эффекта С1]. Поскольку возможности выполнения этих требований во многом определяются тепловыми режимами агрегатов, становится необходимым применение при проектировании возможно более точных методов расчета теплообмена.

Многие элементы энергетического и особенно электроэнергетического оборудования находятся в условиях, когда отвод тепла с их поверхности осуществляется путем свободной конвекции. Между тем, методы расчета свободно-конвективного теплообмена разработаны для частных случаев граничных условий. При произвольных граничных условиях используется ряд приближенных корреляционных зависимостей или интегральные методы, не обладающие достаточной точностью и общностью.

Следует отметить, что при рассмотрении тепловых режимов проводящих элементов электроэнергетического оборудования, нагрев которых осуществляется за счет выделения в их толще джоулева тепла, приходится рассматривать задачи в сопряженной постановке, одновременно решая уравнения свободной конвекции и теплопроводности. Однако в настоящее время не существует методов приближенного расчета сопряженных задач, обладающих достаточной точностью. В то же время непосредственное решение их на ЭВМ практически невозможно, т.к. сложный нелинейный характер уравнений, принадлежащих к двум различным типам - параболическому и эллиптическому - приводит к неприемлемым затратам машинного времени.

Целью настоящей работы является:

- получение универсальных уравнений свободно-конвективного пограничного слоя;

- решение универсальных уравнений и определение вспомогательных зависимостей для расчета теплоотдачи;

- иллюстрация возможностей предлагаемого метода на основе решения отдельных задач свободно-конвективного пограничного слоя;

- применение метода к решению сопряженных задач свободной конвекции.

Для расчета свободно-конвективного пограничного слоя в работе применен метод обобщенного подобия (или параметрический метод) Л.Г.Лойцянского С2], который является наиболее точным и общим из существующих приближенных методов расчета пограничных слоев С3,4*5]. При этом особое внимание уделяется правильному выбору масштабов явления, как способу обеспечения быстрой сходимости универсальных разложений. Поскольку получаемые традиционным путем универсальные уравнения в этом случае оказываются сложными и плохо поддаются численно^ интегрированию, предлагается новая последовательность преобразований, приводящая к уравнениям более простой структуры при сохранении высокой скорости сходимости универсальных разложений. В результате впервые получены универсальные уравнения свободной конвекции с двумя независимыми масштабами и упрощенной структурой коэффициентов и их численные решения.

С помощью параметрического метода проводится расчет ряда задач, которые ранее были решены численными методами или исследованы экспериментально. Сравнение показывает высокую точность полученных результатов.

На защиту выносятся:

- способ получения системы универсальных уравнений свободно-конвективного пограничного слоя;

- результаты решения универсальных уравнений;

- метод расчета сопряженных задач свободно-конвективного теплообмена;

- результаты расчета сопряженных задач.

В первой главе диссертации приводится обзор существующих методов расчета свободно-конвективного пограничного слоя. Рассмотрены решения автомодельных задач и методы расчета неавтомодельных течений. Дана характеристика работ, посвященных исследованиям сопряженных задач.

Во второй главе дается описание параметрического метода расчета свободно-конвективного пограничного слоя. Уравнения пограничного слоя получены на основе применения метода асимптотических разложений. Описан традиционный путь построения универсальных уравнений, приводящий к интегро-дифференциальной системе. Получена также иная форма системы универсальных уравнений, которая не включает в себя интегральных соотношений.

В третьей главе содержится описание процессов численного решения универсальных уравнений в локально-однопараметрическом, однопараметрическом и локально-двухпараметрическом приближениях. Решение проводилось с использованием неявной четырехточечной разностной схемы. Дано описание основных особенностей алгоритмов решений.

В этой же главе приводятся результаты расчета ряда конкретных задач свободно-конвективного теплообмена и сопоставление их с результатами имеющихся в литературе и дополнительно проведенных численных расчетов. Сопоставление показывает высокую скорость сходимости метода, так что для расчетов можно использовать однопараметрическое приближение, обеспечивающее достаточную точность.

В четвертой главе дается формулировка сопряженной задачи свободно-конвективного теплообмена на тонкой вертикальной теплопроводной пластине. Основные критерии подобия получены при помощи векторного анализа размерностей. Для решения используются результаты однопараметрического расчета универсальных уравнений. Благодаря простоте и эффективности предложенного алгоритма решения получены в значительно более широком диапазоне изменения определяющих критериев, чем это делалось до сих пор.

В приложении приведены таблицы результатов расчетов.

Описанный в диссертации метод может быть использован для расчета конвективной теплоотдачи неизотермических элементов теплоэнергетического, электроэнергетического и радиоэлектронного оборудования. Полученные зависимости решений сопряженных задач от определяющих параметров позволяют рассчитывать теплоотдачу элементов оребрения теплоотдающих поверхностей, деталей высокотемпературной арматуры, а также тепловые режимы элементов мощных электрораспределительных устройств, электроотопительных систем и других электрических аппаратов. Предложенный метод может также использоваться для расчета полей скорости и температуры в элементах различных устройств, в частности, оптических приборов.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ безразмерный коэффициент трения, формпараметры, V

С Г - число Грасгофа, масштабы поперечной координаты,

1м - длина пластины,

ГП - параметр автомодельной задачи при граничных условиях I рода,

П - параметр автомодельной задачи при граничных условиях II рода,

- критерий сопряженности,

Мг - параметр радиационного теплообмена в сопряженной задаче,

- число Нуссельта,

- число Прандтля, й - поток тепла на стенке, гиг

Т - абсолютная температура,

- параметр радиационного теплообмена в сопряженной задаче. II, Ц- масштабы продольной скорости,

X - продольная координата, у - поперечная координата,

V >

X - коэффициент теплоотдачи,

Ь - коэффициент объемного расширения, р - "главная функция" Гертлера,

У - толщина пластины,

Г] - безразмерная поперечная координата, б - избыточная температура,

6 - безразмерная температура, М

- масштабные коэффициенты,

X - коэффициент теплопроводности,

М=Кг/1.

V - коэффициент кинематической вязкости, ^ - продольная переменная Гертлера,

- плотность жидкости, цг- напряжение трения на стенке, Ф - безразмерная функция тока,

Х^ОгсЦУАх, ф - функция тока.

Индексы:

Ж - жидкость,

Ы" - стенка,

X - локальные значения,

- средние значения.

Штрихом везде обозначается производная по X , точкой -производная по Г| . Звездочкой обозначены величины, относящиеся к задаче с граничными условиями II рода.

вывода

1. Уравнения свободно-конвективного пограничного слоя приводятся к универсальному виду, не зависящему от конкретного распределения температуры стенки, путем перехода к системе независимых переменных (формпараметров), являющихся комбинациями масштабов скорости и толщины пограничного слоя. Каждая конкретная задача описывается подмножеством решения универсальных уравнений, для выделения которого достаточно решить обыкновенное дифференциальное уравнение, определяющее зависимости формпараметров от координаты для конкретного случая.

2. Скорость сходимости универсальных разложений зависит от вида используемых масштабов. Они должны являться функционалами решений уравнений свободно-конвективного пограничного слоя. Определение масштабов, как функционалов распределения граничных условий с помощью формул, обобщающих автомодельные зависимости, снижает точность метода.

3. При использовании одних и тех же масштабов универсальным уравнениям можно придавать разную форму за счет преобразования поперечной координаты. Это позволяет использовать такую форму универсальных уравнений, которая более удобна для численного решения.

4. Использование однопараметрического приближения позволяет достичь хорошей точности расчетов, достаточной для приложений. В большинстве случаев приближенные результаты практически совпадают с точными решениями. В окрестности точки инверсии теплоотдачи универсальные разложения являются полусходящимися и при использовании однопараметрического приближения возникает погрешность в несколько процентов.

Применение локально-однопараметрического приближения возможно только при возрастании температуры стенки по высоте пластины. В остальных случаях его использование приводит к значительным погрешностям.

5. Основным определяющим критерием подобия в сопряженных задачах является А^ . При малых значениях этого критерия температура пластины за счет теплопроводности в ней выравнивается и постоянна по высоте, что позволяет проводить расчет теплообмена без учета сопряжения.

6. При подогреве пластины снизу при значительных /Ус в верхней части существует участок, где коэффициент теплоотдачи отрицателен и конвективный поток тепла направлен от воздуха к пластине. Суммарная теплоотдача при этом может оставаться положительной за счет излучения. Влияние излучения приводит к усилению неоднородности распределения температуры по высоте пластины.

7. В пластине, обогреваемой за счет внутреннего тепловыплотность теплового потока на поверхности постоянна. Размеры этого участка возрастают с М и приводит к снижению неоднородности распределения температуры по высоте пластины. деления, при значительных формируется участок, где

Влияние излучения заметно

1. Основные направления экономического и социального развития СССР на 1981 - 1985 годы и на период до 1990 года.-М.: Политиздат, 1981.

2. Лойцянский Л.Г. Универсальные уравнения теории ламинарного пограничного слоя и параметрические методы их интегрирования.- Тр. ЛПИ, 1967, № 280, с. 5 26.

3. Сальников В.Н. Обобщение универсального уравнения теории ламинарного пограничного слоя Л.Г.Лойцянского.- Pull, del'Inst.math.Nouvelle serie,v.ßc27\ 1972,p. 105116.

4. Soljnikov V. flcontribution to universal solutions oí the boundary loyer theory.-Teor. i prim, mehaniko,b.í|J9?i>s.1M-165.

5. Николова Д.А. Относно пресмятането на параметрите на ла-минарен граничен слой и вискозното съпротивление по рота-ционни тела при надлъжно обтичане,- Висш инст. машиностр., мех., електр. селск. стоп. Науч. тр., т.21, сер. II, с.93 96.

6. Oberbeck ft. liber die Wärmeleitung der ítussigkei-ten bei Berucksichtunq der Strömungen infolge von TemperaturdiJferenzen.- Ann. Phys». Chem.,b.6JN6,1879, s.2?t-292.7. ßoussinesq 1 Theorie cmalitique de la chaleur.

7. Pûris,Cûtheir-Viftûrs, 1905, t. 2, 75врр.

8. Kuiken H.K. Boundary layer conditions in tree convection.- 1 £nq. MathI968,v. 2, w 1, p. 95-105.

9. Le Fevre £.3. Laminar^ free convection from a vertical plane surface.-In: IX-th Int. Congress Appt. Mech., Brussels, 1956, v. 16S-17A.

10. Sparrow £.M., Gregg .L. Laminar iree convection from a vertical plate with uniform surface heat flux. —

11. Trans. ASME, 1956,v.7S,n2, p. 435-Ц0.

12. Мартыненко О.Г., Соковишин Ю.А. Свободно-конвективный теплообмен на вертикальной поверхности (граничные условия II рода).- Мы.: Наука и техника, 1977. 216 с.

13. Мартыненко О.Г., Соковишин Ю.А. Свободно-конвективный теплообмен: Справочник.- Мн.: Наука и техника, 1982.400 е.

14. Churchill S.W.,0fcoeH. ft correlation for free convection from a vertical pfate.-Trans. А5МЕ.Д Heat

15. Transfer, 1973, v.95с, n4, p. 540- 547.

16. FujiiT.,Fujiif1. The dependence of focaf Nussett number of Prandtt number in the case of free convection afonq Q verticat surface with uniform heat ftux.- Int.. Heat and Mass Transfer, 1976,v. 19,n^p. 121122.

17. F'mston M. Free convection past a verticat ptate.

18. Z/IMP, 1956,b.7,N6,s. 527-529.is. Foote }R. fln asimptotic method for free convection • past a verticat plate. ZAMP, 1958, b.9,N 1,s. 64-67.

19. Niuman F., PoMhausen K. Remarks on the paper by M.Finston „Free convection past a verticof ptate

20. Z/INP, 195&,b. 6,n1,s. 67-69.

21. Sparrow E.M., Gregg IL. Simitar sotutions ior free convection from a nonisothermat verticat ptate.-Trans.flSME,195aiv.80lN2lp. 379-386.

22. Gebhart Brüttendorf . Viskous dissipation in externat naturat convection ffows.-].FCuid Mech.,1969, v. 38, pt.1, p. 97-107.

23. Tran N.N. Sur ta convection natureffe taminaire Qutour d'une placjue en incompressible.-C.r. Acad.

24. Sei., 1972, t. 275A, N 21,p. 1123-1126.23. yang K.T. Possibte similarity solutions for taminar free convection on verticat ptates and cylinders.-Trans. A SHE, v. 82 E, 1960, n 2, p. 230- 236.

25. Squire H.ß.-lrv.«Modern developments in jfuid dynamics M, Oxford, 193S,v. 2, p.63&- 6^3.

26. Ид А.Дж. Свободная конвекция.- В кн.: Успехи теплопередачи.- М.: Мир, 1970, с. 9 80.

27. Chand 1 ,Vir D. NaturaC convection heat transfer from verticat ptates and cylinders.-CEW.Chem. Eng. Wortd,1979, v. XIV, n 10, p. 61-68.

28. Sugawara S.,Michiyoshi I. Studies of surface heat transmission 64 natural convection on a ftat ptate

29. Trans. 3SMEJ951,v.17,n62, p. 109-121.

30. Fujli T. Mathematical anatisis of heat transfer from a verticat ffat ptate 6y taminar free convection.-Butt. DSMEJ959,v.2,n?, p.365-369.

31. Kao T.T.^Domoto C.R.,Etrod H.G.,>. Free convection Qtonq a non-isothermal verticat flat plate.-Trans.flSME.,1 Heat Transfer. 1977, v. 99 с, n 1, p. 72-7ъ.

32. Vedhanayagam M.,flttenkirch R.Д.,Eichhorn R. A transformation of the boundary foyer equations for free convection past a verticat ftat ptate with arbitrary Blowing and watt temperature variations.-Int.1 Heat and Mass Transfer, ЮвО.у.гЗ^р.Ю&б-ИМ.

33. Nath C. Nonsimitarity solutions of a class of free convection proBlems- Proc. tnd./lcad. Sei., 1976, v.1. AA,N3,p.m-123.

34. KqoT.T. LocotCy nonsimiEar soCutions for Caminar free convection adjacent to a verticaE watt- Trans.

35. ASME,lHeat Transfer, 1976,v.9Sc,m2,p.321-322.

36. CörtEerH. A new series for the catcutation of steady taminar boundary tayer fEows.-1 Math.Mech., 1957, v.6,/v1, p.1-66.

37. Kqo T.,ECrod H.G.,Dr. Laminar shear-stress pattern for nonsimiEar incompressibEe boundary Eayers.

38. A1AA 3ourn.,19?4,v. 12, n 10, p. 1401-1408.

39. Kao T.T. Laminar free convection with suction or bfowinq atong a verticat surface.- AIChE Journ., 1982,v. 28,/v2,p.338-340.

40. Kuiken H.K. GeneraE series soEution for free convection past a non-isothermal verticat fEat pEate

41. AppC. Sei. Res., 1969, v. 20,/v 2-3,p. 205- 215.

42. Wa T.y. NumericaE soEution of naturaE convection ffow past a non-isothermaE verticaE pfate.-Appf.Sei. Res., 19?8 v.33,/v 5-6, p.519-543.

43. Kundu K.M. An anatisis on free convection fEow from a verticaE pEate with qeneratized waEE temperature distri6ution.- AppE. Math.ModeEEinq, 1981,v.5fiv2, p.122-126.

44. Keffeher М.,Уапд K.T. A Gortter-type series /ог familiar free convection ofong Q non-Lsothermaf verticaC pfdte.-auort.lMech.flppt.Math.al972lv.25,pt.4fp M?rW.

45. Meena B.K^Nath C. Nonsimifar faminar free convection ffow afong a non-isothermaf verticaf piate.

46. Trans. ASME, 19?й, v. 100 с, л/1, p. 165-165.41. 4onq D.^eng D.R.,De Witt K.l Laminar free convection from a verticaf pfate with nonuniform surface conditions-Numer.Heat Transfer, 19&2, v. 5, /v 2,p. 165"184.

47. Chao B.T.}Fagbenfe R.O. On Clerk's method of cafcu-Cotion Boundary foyer transfer.-Int. 3. Heat and Mass Transfer, 19?A,v. 17, /v2,p.223-240.

48. Золотов H.JI. Метод обобщенного подобия в задачах свободной конвекции с произвольным распределением температуры или теплового потока на вертикальной стенке.- Изв. АН СССР, МЖГ, 1980, № 3, с. 167 170.

49. Золотов H.JI. Двухпараметрическое решение задачи о свободной конвекции, вблизи вертикальной неизотермической пластины.- Изв. АН СССР, МЖГ, 1980, № 5, с. 190 192.

50. Золотов Н.Л. Метод обобщенного подобия в задачах свободной конвекции вблизи вертикальной стенки с произвольным распределением температуры или теплового потока на ее поверхности: Автореф. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Л., 1980.- 12 с.

51. Пискунов В.Н., Соковишин Ю.А., Степанов В.Ф. Свободная конвекция около пластинки с экспоненциально убывающей температурой на поверхности.- ШЖ, 1970, т. 19, № 2, с.202 205.

52. Satton S. В. A study ol free convection from a verticaC ptate with sinusoidat temperature distribution-Д1/1A Poper,/v 71-9&&.-8pp.

53. Капинос B.M., Слитенко А.Ф., Воловельский И.JI. Влияние температурного градиента на теплообмен при ламинарной свободной конвекции у вертикальной стенки.- ШК, 1974, т. 26, № 3, с. 411 419.

54. Гдалевич Л.Б., Фертман В.Е. Сопряженные задачи естественной конвекции.- ШЖ, 1977, т. 33, с. 539 547.

55. Лыков A.B. Тепломассообмен: Справочник. 2 изд. М.: Энергия, 1978.- 480 с.

56. Лыков A.B., Берковский Б.М. Конвекция и тепловые волны.-М.: Энергия, 1973.- 336 с.

57. KeCEeher М.,Уапд К.Т. A steady conjugate heat transfer probfem with conduction cind free convection.-Appf.

58. Sei. ResJ96?fv.17livzi-5ip.2^9-269.

59. Miyamoto fl.jSumikawa IjAkijoshil.NakamuraT. Effects oj axiat heat conduction in a verticaC Jfat pfate on iree convection heat transfer.-lnt. J. Heat and Mass Transfer, 19*0,* 25, w 11, p. 1545— 1553.

60. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел.- М.: Наука, 1964. 487 с.

61. Butt. Kochi Techn. CoCC., I9ä1,n 19, p. 2.5-52.

62. Zinnes Д.Е. The coupCing of conduction with tdmirmr na-turat convection from Q vertical ffat pCate with arBit гагу surface heatinq.-Trans.ASME., J.Heat Transfer, 1970, v.92e,/v3, p.528-535.

63. Андреев A.M. Исследование свободно-конвективного теплообмена в высокотемпературной арматуре: Автореф. Дис. . канд. техн. наук.- JI., 1973.- 20 с.

64. Lock G.S.H.,Gunn 1С. Laminar free convection from a downward projecting fin-Trans.ASME, D. Heat Transfer ,1968, v.90c,/v1,p.6W0.

65. Sparrow E.M.,Acharya S. A naturat convection fin with a sofution-determined nonmonotonicaffy varying heat transfer coefficient.-Trans. ASME, . Heat Transfer,1981^.1030,^2, p. 218- 225.

66. Advany C.G.,Sukhatme S.R. AnaClsls of Q verticat rectan-quforcros*-sectioned fin fosinq heat Бц faminar free convection.- Ind.lTechnoE., 1973,v. 11,A/3,p. 105-109.

67. Андреев A.M., Пискунов B.H., Соковишин Ю.А., Юферев B.C. Сопряженная задача свободноконвективного теплообмена для вертикальной пластины при нагреве снизу.- В кн.: Термические газовые линзы и термогидродинамические световоды. Мн., 1974, с. 168 185.

68. Андреев A.M., Михайлов М.П., Рис В.В., Соковишин Ю.А. Исследование свободной конвекции на вертикальной неизотермической пластине.- Тр. ЛПИ, 1972, № 323, с. II 15.

69. Славнов В.В. Экспериментальное исследование свободной конвекции в жидкости около вертикальной, плоской, неизотермической плиты.- Сб. науч. тр. Пермского полит, института, I960, № 7, вып. I, с. 87-98.

70. Lock G.5. Н., Ко R.S. Coupfing through a watf between two frее convective sistems.- Int. J Heat and floss

71. Transfer, 1973, v. 16, wII, p. 20*7-2096.

72. Viskonta R.,Lankford D.W. Coupling of heat transfer between two naturaf convection sistems separated by a verticaf waff.-Int. 1 Heat and Mass Transfer, 1981, v.2^7, p. 1171-1177.

73. Anderson R., BejanA. Naturaf convection on both sides of a verticaf waft separating ffuids at different temperatures. -Trans. ASMEД Heat Transfer, 1980, v.102cf/v p. 630635.

74. Anderson R.,Bejan A. Heat transfer through singfe and do-ubte verticaf watts in naturaf convection:theorq and experiment- Int. 1 Heat and (lass Transfer, 1981,v.2^,/v 10, p. 1161-1620.

75. Sparrow E.M.,PrakashC. Interaction between internaf naturaf convection in an encfosure and in externaf naturaf convection boundary fager How.-Int..Heat and Mass Transfer, 1981,v. 24,n5, p.SQ5-907.

76. Raithby G.D.,Hofands K.G.T. fl qenerat method o< ob-taijninq approximate sofutions to faminar and turbufent naturaf convection probfems.- In : Advances in Heat Transfer, v. 11.-N.4., 1975, p. 265-315.

77. ChurchiEf S.W.,Chu H.H.S. Corretation equations for ta-minar and turbufent Jree convection irom a verticaf pfate.-Int..Heat and Mass Transfer, 1975^.13^11^.1323-1329.

78. Мартыненко О.Г., Березовский A.A., Соковишин Ю.А. Асимптотические методы в теории свободно-конвективного теплообмена.- Мн.: Наука и техника, 1979.- 168 с.

79. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели.- М.: Наука, 1977.- 408 с.

80. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, т.2.- М.: Физматгиз, 1963.- 728 с.

81. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике.- М.: Мир, 1972.- 274 с.

82. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.-М.: Мир, 1967.

83. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.- М.: Наука, 1978.- 736 с.

84. Новиков И.И., Боришанский В.М. Теория подобия в термодинамике и теплопередаче.- М.: Атомиздат, 1979. 184 с.

85. Кутателадзе С.С. Анализ подобия в теплофизике.- Новосибирск: Наука, 1982.- 280 с.

86. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.-М.: Наука, 1977. 440 с.

87. Хантли Г. Анализ размерностей,- М.: Мир, 1970.- 176 с.

88. Соковишин Ю.А., Мартыненко О.Г. Введение в теорию свободно-конвективного теплообмена.- Л.: ЛГУ, 1981.232 с.

89. Лойцянский Л.Г. Методы подобия в теории интегрирования уравнений ламинарного пограничного слоя.- В кн.: Вопросы математической физики. Л.: Наука, 1976, с. 237 -254.

90. Hayday flA.Bowtus DA, МсGrow RA Free convectionirom a verticat Wat ptate with step discontinuous surJacetemperature -Trans. ДSME, J. Heat Transier, 196?, v. 89с, л/3,р.2^-250.

91. KeCteher Г1. Free convection irom a verticat pfate with discontinuous waff temperature.-Trans. ASHE, 1 Heat Trans1.r, 197l,v.93c3/v^,p.

92. Schetz 3A,Eichhorn R. Naturaf convection with discontinious watt-temperature variations.-XRuid МесЬ.,196*|,у.18,^2,p. 167- 176.

93. Kao T.J. Laminar free convection heat transfer response atonq a verticat ftat ptate with step jump in surface temperature.-Lett. Heat and MassTransier, 1975^.2^5^.MSk2Z.

94. Кочин H.E., Лойцянский Л.Г. Об одном приближенном методе расчета ламинарного пограничного слоя.- Докл. АН СССР, т. 36, 1942, № 9, с. 278 284.

95. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы.- М.: Наука, 1977.- 440 с.

96. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Под ред. Холла Д., Уатта Дж.-М.: Мир, 1979.- 312 с.

97. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.- М.: Наука, 1978.- 590 с.

98. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы, т. 2.- М.: Наука, 1977.- 399 с.

99. Озерова Е.Ф., Симуни JI.M. Численное решение уравнений двухпараметрической теории пограничного слоя.- Тр. ЛПИ, 1970, № 313.

100. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1979.- 288 с.

101. Филиппов Ю.А. Разработка и исследование токоведущих систем многоамперных высоковольтных коммутационных аппаратов: Автореф. Дис. . канд. техн. наук.- Л.;1972.- 18 с.

102. Филиппов Ю.А., Вишневский Ю.И., Пукина В.Е., Мальчик Н.Я., Ягунд И.И. Исследование теплового режима коробчатых токопроводов с зазорами.- ЭП, сер."Аппараты высокого напряжения, трансформаторы, силовые конденсаторы", 1975, вып. II (55), с. 6 7.

103. Кумсишвили Г.Г. Исследование теплоотдачи при постоянном тепловом потоке для систем электролучистого отопления: Автореф. Дис. . канд. техн. наук.- Тбилиси,1973.- 20 с.

104. Корольков А.В., Купцова B.C., Малинин В.Г. Математическая модель и некоторые результаты численного исследования сопряженного теплообмена в сферических полостях,- Науч. тр. Моск. лесотехн. инст., 1981, № 130, с. 181 191.

105. Корольков А.В., Купцова B.C., Малинин В.Г. Численное моделирование сопряженного теплообмена в горизонтальном цилиндре, окруженном бесконечным твердым массивом.-Науч. тр. Моск. лесотехн. инст., 1981, № 130, с. 153 -166.

106. Семенов А.Г. Метод обобщенного подобия в задачах свободно-конвективного теплообмена.- Мн., 1980.- 24 с. -Рукопись представлена редкол. ®Ж. Деп. в ВИНИТИ 6 фев. 1980 г. № 687 80 Деп.

107. Соковишин Ю.А., Семенов А.Г. Метод Кочина-Лойцянского в задачах свободной конвекции.- Ш?Ж, 1980, т. 39, .Г° 4, с. 724 727.

108. Соковишин Ю.А., Калютик А.И., Семенов А.Г., Аитов Т.Н. Свободно-конвективный теплообмен вертикальной поверхности с линейным изменением потока тепла на стенке.- Изв. ВУЗов. Энергетика, 1981, № II, с. 120 122.

109. Семенов А.Г., Соковишин Ю.А. Двумерные универсальные уравнения свободноконвективного пограничного слоя.- В кн.: Прикладные задачи теории переноса.- Мн., 1981, с. 63 68.

110. Семенов А.Г. Исследование свободной конвекции на неизотермических поверхностях.- В кн.: Тезисы докладов I межвузовской научной конференции молодых ученых Ленинского района г. Кемерова.- Кемерово, 1982, с. 135 -136.