Параметрическое исследование решений и построение алгоритмов и программ расчета некоторых обобщенных задач о распаде произвольного разрыва

Белов, Виктор Михайлович

Параметрическое исследование решений и построение алгоритмов и программ расчета некоторых обобщенных задач о распаде произвольного разрыва тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Белов, Виктор Михайлович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Томск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Параметрическое исследование решений и построение алгоритмов и программ расчета некоторых обобщенных задач о распаде произвольного разрыва»

Автореферат диссертации на тему "Параметрическое исследование решений и построение алгоритмов и программ расчета некоторых обобщенных задач о распаде произвольного разрыва"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ И ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММ РАСЧЕТА НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕННЫХ ЗАДАЧ О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА

Специальность 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

На правах рукописи

Белов Виктор Михай.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2006

Работа выполнена в обособленном структурном подразделении «Научно-исследовательский институт прикладной математики и механики Томского государственного университета» и на кафедре теоретической механики Томского государственного университета

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник Жаровцев Владимир Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Бубенчиков Алексей Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Ткаченко Алексей Степанович

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной

механики СО РАН

Защита состоится 15 декабря 2006 года в часов на заседании

диссертационного совета Д 212.267.13 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, ауд. 407, корпус №10 (НИИ ПММ).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 34а.

Автореферат разослан « » ноября 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук

Ф. Христенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема расчета параметров газа на внутренних и внешних границах расчетных областей является одной из самых важных проблем в вычислительной газовой динамике. Граничные условия варьируются достаточно широко в зависимости от типа решаемых задач, поэтому вряд ли можно предложить метод, пригодный для всех случаев. Ниже рассматривается подход, приемлемый для расчета параметров газа на внутренних границах высокоскоростных легкогазовых установок. Потребность в исследовании процессов и явлений, происходящих при высокоскоростном (свыше 3 км/с) полете и ударе, возникла и постоянно поддерживается в результате интенсивного развития космической техники. Поскольку прямые эксперименты на космических объектах чрезвычайно дороги и не всегда возможны, были разработаны средства высокоскоростного метания, базирующиеся на различных физических принципах. Так, например, при метании взрывом тело ускоряется продуктами детонации взрывчатых веществ, в электродинамических контактных ускорителях на тело действует сила Лоренца, в легкогазовых установках (ЛГУ) метаемый элемент разгоняется предварительно сжатым легким газом (водородом, гелием). Преимущество последнего способа метания состоит в том, что он позволяет придать метаемому телу заданной массы и формы ускорение в заданном направлении.

В настоящее время большое внимание уделяется разработке нетрадиционных легкогазовых установок, позволяющих улучшать их эксплуатационные качества в тех или иных аспектах. Чтобы исключить разрушение метаемого тела при больших сдвиговых напряжениях, Л. В. Комаровским был сформулирован принцип свободного метания, при котором метаемое тело в процессе разгона не соприкасается со стенками канала. Для ускорения процесса выстрела предложены легкогазовые системы с перетоком продуктов сгорания из пороховой камеры в камеру высокого давления. Ь-, Т-, П- и Ш-образные ЛГУ предложены для непосредственного вывода в ближний космос капсул с грузами, которые могут выдержать большие ускорения. Конструкция этих установок (отражённая в аббревиатуре) позволяет существенно уменьшить их габариты.

высокоскоростного метания в легкогазовых системах. Поэтому работы, связанные с математическим моделированием процессов выстрела из ЛГУ, а также с теоретическим обоснованием и построением алгоритмов и программ расчета внутрибаллистических параметров как внутри, так и на границах расчетных областей, являются актуальными. К аналогичным постановкам задач приводит исследование поведения сильных одиночных возмущений в системах каналов сложной конфигурации (системы пневмоавтоматики, импульсные аэродинамические трубы, двигатели внутреннего сгорания, шахтные системы и т. п.)

Каждая нетрадиционная ЛГУ, как объект математического моделирования, представляет собой систему каналов постоянного и переменного сечения, в которых движутся газы, поршень и метаемое тело. В отличие от классических легкогазовых систем в этих каналах имеются особенности типа скачков площади поперечного сечения, препятствий, не полностью перекрывающих каналы, узлов разветвлений и соединений, как параллельных каналов, так и под углом, а также узлов поворота и разворота газа. В газовой динамике по аналогии с гидравликой особенности подобного типа часто называются местными сопротивлениями (МС). В некоторой окрестности каждого МС поток газа испытывает заметное пространственное воздействие. Конечно, высокоскоростные потоки газа в таких каналах можно рассчитывать, привлекая для всей области расчета или для некоторой ее части нестационарные уравнения газовой динамики с двумя или тремя пространственными координатами. Однако проведение неодномерных расчетов не всегда оправдано, поскольку требует привлечения большого объема вычислительных ресурсов. Поскольку во всех легкогазовых системах продольные длины каналов существенно превосходят их поперечные размеры, для расчёта течений в ЛГУ может быть предложен альтернативный подход, при котором зоны, содержащие МС, заменяются поверхностями разрыва параметров потока, а вне этих зон течение считается одномерным. Таким образом, поверхности разрыва в квазиодномерной модели играют роль внутренних границ расчётных областей. Параметры газа на внутренних границах могут быть найдены из решения обобщённой задачи о распаде произвольного разрыва на соответствующем местном сопротивлении (РПР МС). Задача РПР МС — это задача Коши для одномерных уравнений газовой динамики с плоскими волнами, когда постоянные начальные данные имеют одну точку разрыва первого рода и в этой точке выполняются соотношения, моделирующие местное сопротивление. В каждой такой задаче появляется зависимость решения от входных параметров, характеризующих вид МС, и возникает необходимость отыскания области допустимых значений этих параметров, в которой решение задачи РПР МС существует и является единственным.

Необходимо также учесть, что алгоритмы расчёта течения газа в легкогазовых системах должны быть рассчитаны на широкий диапазон

изменения скоростей и быть замкнутыми по отношению ко всему диапазону изменения начальных данных. Эта цель достигается, если замкнут по отношению к начальным данным алгоритм РПР МС. Поэтому для каждого типа МС должна быть разработана такая конструкция алгоритма РПР МС, которая позволяет рассчитать граничные условия в соответствующих разностных задачах для произвольных начальных данных параметров газового потока. Таким образом, актуальность темы диссертационной работы конкретизируется в необходимости исследования проблемы существования и единственности решения задачи РПР для различных типов МС и конструирования алгоритмов решения обобщённых задач РПР, обеспечивающих эффективность в упомянутом выше смысле схем расчёта граничных условий в задачах высокоскоростного метания.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является теоретическое обоснование и построение алгоритмов и программ расчета параметров газа на внутренних границах, моделирующих в системах каналов сложной конфигурации местные сопротивления и предназначенных в первую очередь для решения специфических задач внутренней баллистики. Задачи исследования в соответствии с заявленной выше актуальностью основных направлений исследования формулируются следующим образом.

1. Построение замкнутого алгоритма решения задачи о распаде произвольного разрыва для характерных типов местных сопротивлений. В частности, решены задачи:

— о распаде произвольного разрыва на скачке площади поперечного сечения для газа Дюпре. В том числе случае исследуется решение задачи РПР для газа Дюпре при отсутствии МС.

— о распаде произвольного разрыва на перфорированной перегородке;

— о распаде произвольного разрыва на проницаемой поверхности;

— о разделении потоков;

— о смешении потоков;

— о распаде произвольного разрыва в каналах, стыкующихся под углом друг к другу;

— о распаде произвольного разрыва в произвольном тройнике.

2. Исследование проблемы существования и единственности решения задач, перечисленных в п.1.

3. Исследование параметрической структуры соотношений на разрыве с целью формулирования условий возникновения возможных конфигураций и режимов течения газа.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования диссертационной работы являются математические модели течений газа в нетрадиционных легкогазовых ускорителях. Предметом исследования —

решения некоторых обобщенных задач о распаде произвольного разрыва, моделирующих в нетрадиционных ЛГУ местные сопротивления.

Методы исследования и фактический материал. Методологической основой исследования является разработка параметрической структуры решения обобщённой задачи о распаде произвольного разрыва для характерных типов местных сопротивлений. В основе решения задачи РПР МС лежит метод (р,и) -диаграмм. Фактическим материалом являются результаты экспериментальных исследований и расчётные данные задач других авторов.

Достоверность. Полученные решения обобщенных задач о распаде произвольного разрыва являются точными решениями задач Коши для одномерных уравнений газовой динамики с разрывными кусочно-постоянными начальными данными и заданными поверхностями разрывов. Достоверность расчётов подтверждается сравнением с имеющимися экспериментальными данными.

Научная новизна работы заключается в следующем. Впервые в полном объёме (выполнение законов сохранения массы, импульса и энергии, а также закона неубывания энтропии на поверхности разрыва, доказательство существования и единственности решения для всех физически допустимых значений входных параметров) решены следующие задачи обобщённого распада произвольного разрыва: на скачке площади поперечного сечения, в узле стыковки трёх параллельных каналов, на локальном препятствии, в узле стыковки под произвольным углом двух и трёх каналов, в узлах стыковки Ь-,Т-,П- и Ш-образных каналов.

Теоретическая значимость полученных результатов. В

диссертационной работе впервые приведены параметрические решения ряда задач Коши для уравнений газовой динамики, описывающих плоские одномерные течения с разрывными начальными данными. Эти решения при фиксированных значениях входных параметров могут быть получены с любой заданной степенью точности. В то же время разумный произвол в определении входных параметров соответствующих задач РПР МС позволяет использовать эти решения в качестве граничных условий на внутренних границах расчетных областей плоских одномерных течений. Предложенный в работе способ конструирования параметрической структуры решения обобщённых задач РПР позволяет детально исследовать его наиболее существенные свойства: существование и единственность решения, возможность его доопределения, условия возникновения возможных конфигураций заданного типа.

Значимость работы для практики. Разработанные алгоритмы и программы решения обобщённых задач о распаде произвольного разрыва могут быть использованы для нахождения параметров газа на внутренних границах расчётных областей в нетрадиционных легкогазовых баллистических установках, а также в подобных системах каналов сложной геометрии (системы пневмоавтоматики, импульсные аэродинамические трубы, двигатели внутреннего сгорания, шахтные системы и т. п.). Данные алгоритмы и программы были положены в основу методики расчёта параметров газа в узлах стыковки газосборной сети газовых месторождений в условиях Западной Сибири. Алгоритмы удовлетворяют специфическим требованиям, предъявляемым к решениям рассматриваемого класса задач.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Разработка параметрической структуры решения задач Коши для уравнений газовой динамики, описывающих плоские одномерные течения с разрывными начальными данными.

2. Исследование проблемы существования и единственности решения обобщённой задачи РПР МС для характерных типов местных сопротивлений.

3. Исследование зависимости условий возникновения различных типов конфигураций от начальных условий и входных параметров задачи.

4. Обобщение в ряде случаев результатов на случай газа Дюпре.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на 6 конференциях:

1. Международная научная конференция «Всесибирские чтения по математике и механике» (Томск, 1997).

2. Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование процессов в синергетических системах» (Улан-Удэ, 1999).

3. Международная научно-практическая конференция «Вторые Окуневские чтения» (Санкт-Петербург, 2000).

4. Вторая Всероссийская научная конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» ( Томск, 2000).

5. Вторая научная конференция Волжского регионального центра РА РАН«Современные методы проектирования и отработки ракетно-артиллерийского вооружения» (Саров, 2001).

6. Международная конференция по математике и механике (Томск, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-14]. При выполнении работ [4-14], опубликованных совместно с научным руководителем и другими соавторами, В. М. Белов принимал

участие в постановке задачи, разработке численных алгоритмов, обсуждении полученных результатов, подготовке и представлении статей и докладов на конференциях. Им выполнены теоретическое обоснование (доказательство существования и единственности решения обобщённой задачи РПР MC) и программная реализация разработанных численных алгоритмов, проведены расчёты тестовых задач и значительный цикл вычислительных экспериментов. Кроме того, Беловым В. М. в [8] проведена серия расчётов, а также сравнение и анализ полученных результатов с экспериментальными данными.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх разделов, заключения, списка использованной литературы. Общий объём диссертации 153 страницы, в ней содержится 81 рисунок, 3 таблицы, список литературы включает 115 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируются актуальность работы, цель и задачи исследования, научная новизна работы, теоретическая и практическая значимость результатов работы. Проведён обзор исследований отечественных и зарубежных авторов, посвящённых проблеме описания течения газа в каналах с местными сопротивлениями. Рассмотрены в хронологическом порядке работы основоположников теории распада произвольного разрыва Б. Римана, Н. В. Кочина, Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица и более поздние работы Б. Л. Рождественского и Н. Н. Яненко, С. К. Годунова, Л. В. Овсянникова и ряда других авторов, в которых исследуются те или иные аспекты классической задачи РПР. Отмечено, что задача РПР СПС впервые поставлена и решена В. Г. Дуловым, а позднее независимо — И.К. Яушевым. Более поздние работы этих авторов и их сотрудников А. П. Черешнева, С. В. Павлова привели к появлению теории обобщенных задач о распаде произвольного разрыва. В работах И.К. Яушева и С. В. Павлова, А. Н. Крайко с сотрудниками и ряда других авторов рассматриваются различные подходы к решению задачи РПР, обусловленные выбором скалярной формы уравнения импульса и отражающие конкретные методологические аспекты поставленной проблемы. В работе А. С. Фатова решение задачи РПР СПС конструируется в области допустимых значений параметров, а реакция уступа предполагается неизвестной функцией числа Маха набегающего потока. Отмечен также альтернативный подход к определению интегральных характеристик потока в зонах локального воздействия в работе Ю. А. Дубравина. В данной работе привлекается гипотеза о независимости коэффициента восстановления давления от любых

геометрических воздействий на поток, которая позволяет расширить область применения квазиодномерного подхода при описании течений газа в каналах сложной геометрии. В монографии А. Ф. Сидорова, В. П. Шапеева и Н. Н. Яненко решение задачи РПР при отсутствии автомодельных решений у неоднородны^ систем уравнений гиперболического типа предложено искать в классе ДП-решений.

В представленной диссертационной работе сформулированы общие методологические принципы исследования в виде требований к модели РПР МС, что отражает авторский подход к решению поставленных в работе задач. Задачи диссертационной работы сформулированы в виде трёх ключевых проблем, общих для всех рассмотренных в работе моделей РПР, а именно: определение области допустимых значений входных параметров задачи РПР МС, доопределение решения в том случае, когда при заданных фиксированных входных значениях параметров МС задача не имеет решения, а также исследование условий возникновения возможных конфигураций и режимов течения газа в зависимости от значений входных параметров. Исследование каждой модели РПР в контексте решения этих проблем по сути составляет содержание работы и структурно объединяет все её разделы.

В первом разделе на примере задачи РПР СПС для газа Дюпре рассмотрены принципиальные аспекты моделирования течения газа в окрестности МС и предложена схема РПР СПС, которая служит основой алгоритмов более сложных моделей, рассматриваемых в последующих разделах. Структура соотношений на СПС задаётся таким образом, чтобы модель РПР СПС содержала характеристики наиболее существенных аспектов решения задачи, таких, как проблема существования и единственности решения, условия возникновения различных режимов и т. п. Этим требованиям удаётся удовлетворить, если соотношения на СПС задавать с параметрическим произволом в уравнении импульса. Произвол (в определённых границах) в задании параметров-констант, определяющих вид реакции р' уступа на поток, выражает неизвестную функциональную зависимость величины р' от параметров потока слева и справа от СПС. Интегральные законы сохранения массы, импульса и энергии без учёта в первом приближении вязкости и теплопроводности и при отсутствии объёмных источников энергии в пространстве записываются в виде

<^{зрсЬс — 5риЖ) = 0, (1)

^рисЬс — я(р + ргР~ — р')Ж =0 , (2)

<^хр(е + и2/2)Лх-[хри(е + 1/2/2+р/р)]Ж = 0 . (3)

Г5],Л'<Л: , ' ,„

Здесь полагаем по определению ^(.т,/) = < _ , р = р (■*" .0 = /? (дг ,/) . В

> Л'

этих формулах и ниже используются стандартные обозначения: ?/-

скорость, р— давление, р- плотность, М — и/с (с =ур(р(\—ар)) ) — число Маха, а— коволюм, у— отношение удельных теплоемкостей, е — удельная внутренняя энергия газа. Интегральные уравнения (1)-(3) приводят к конечным соотношениям

5] ркик=52Р11Ц, (4)

2 2 Ч(Рк = +Р/"/ ) + (5)

*1Ркик(ек+Рк/Рк+и1/2) = *2Р1и1(е1+Р1/Р1+^/2)- (6)

В (4)-(6) "1" и "2" - соответственно индексы площадей большего (широкой части) и меньшего (узкой части) поперечных сечений канала, к и / — индексы прилегающих к СПС зон постоянного течения в широкой и узкой частях канала соответственно, Rs=p'(s\—s2) — параметрическая составляющая уравнения импульса и, следовательно, системы соотношений на разрыве в целом. Величина р' в последнем равенстве представляет собой усредненную реакцию единицы площади стенки уступа на поток и изменяется в пределах, естественных с точки зрения физической интерпретации.

Процесс перетока газа из широкой части канала в узкую будем называть истечением, из узкой части в широкую - втеканием. Положительным считается направление истечения. С учётом введенных обозначений конкретная конфигурация, возникающая при РПР, может быть представлена как последовательность символов, например, ЯВЯТИ , (Л,5)77?(/?,5), где К — волна разрежения (ВР), — ударная волна (УВ), Т - контактный разрыв (КР), В - СПС. Зоны постоянного течения обозначены цифрами 1, 2, 3, 4, 5 (рис. 1, а, б).

ВР КР

УВ

1 !

ВР КР У В ВР ~I

Рис. 1, а. Схема волновых процессов при втекании (вариант)

ВР

КР УВ

УВ

ВР КР У В

Рис. 1, б. Схема волновых процессов при истечении (вариант) Реакция потока на уступ при втекании задается формулой р' = ср$,

Р4"А

О < с < 1, а при истечении р'= /74 + Ср —0<Ср <2. Величины Ср и с являются параметрами задачи.

Система соотношений (4)-(6) на скачке площади сечения, разрешенная относительно параметров газа слева от СПС, имеет вид (А = 4,1 = 5)

ра{ 1 - а) + (уст + сс)М52±уП5

«4 =--и 5,

(у + \)аМ$

/За(\ —а) + у(а-сс)М<2 + у43

Р4=~-—-^-2---Р5

(у + \)аА(1-а)

(у + \)М52

Р4 =-^-7=Р5 .

Р(у(\ -а) + (уст + а)М5 ±>/£>

{у + \уЛ5

М42 = 1

/За(1 — а) + у(сг-а)М$2 +у-Л) '

(7)

(8)

(9) (Ю)

где

а = (0 "< а < 1),сг = 51 /53. £> = /Ш54 + + С, Л = (<т - а )2,

В = 2(\- а)а/(ус а2 + (-(у +а!у)с -\ + (у + \)аIу)сг ~ -а(\-с)/у),С = /?2ст2(1 -а)2,

2 7 и верхний знак выбирается для значений А/^ ^ 1, нижний - когда М^ < 1.

Система уравнений (4)-(б), разрешенная относительно параметров газа справа от СПС, имеет вид

1-а+(асг2 + ур)М л1 ±4Ъ ,11Ч

"5=--(П)

(у + \)аМ$1

1 - а + у(р - а а2 )МА2 +уЛ5 РЧ =-:-гг-1---(12)

(у + \)<т2М22

р5=- > _ 1 -— рА, (13)

Л/52=1±--1 (14)

1-а+у(/3-аа2)М42ТууП5

- с о -

где а = ар4 (0<а < 1), р = ст-(сг-1)-^- (1 < р < сг),

Т5 = АМ* + 1Ш2 + С,

I = а 2ст4 + а (ср - 2)сг3 + (г / 4 - (/ 2 + а )С/7 + 1)сг2 + + уср(2-ср)а/2 + у2с2/4,

В =2(1-а)(-(у+1-а)а2+у(2-ср)а/2+}ср/2, С =(1 -а)2.

о —

Условие = I эквивалентно равенству 0=0. Нижний знак выбирается

2 2 2 2' для значений , а верхний знак — для значений Л/^ где

т22 =(1-а)/((у + 1-а)о-2-у(2-ср)сг/2-^;7/2±

± + 1)(о- -!)((/ +1 - 2а)сг -(/-!)-(/- а )ср )

соответственно больший и меньший корни уравнения 0=0,

причем для меньшего корня справедливо неравенство /?;2 <1.

Условие неубывания энтропии на скачке площади сечения накладывает

ограничения на область изменения величины р'. Энтропийное неравенство

с учётом (7-10) записывается в виде

о _ Ф(Л/ ^ ,<т, с, а, р, у) =

(Р<т() -5) + у(а - а )Л/| + у4Ъ){Рст{ 1 - 5) + у{ст - а )Л/? ± 4Ъ)У ^ ^

ст (1 -а

для случая втекания и с учётом (11-14)

Ф (Л/2,ст,ср ,а, р,у) = ((1 - а + /(/? - аст2 )Л/2 Т ) * х (1 - а + Д - аст2)Л/2 ± л/Бу) /((у + \)у + 1 сг2у (1 - а)г+{ Л/) > 1

для случая истечения. Анализ функциональных зависимостей Ф, Ф от входных параметров задачи показывает справедливость соотношений

5Ф < ^ аФ дс асг

с1Ф

Л/|<1,с=1 '

СФ

Л/52>1,с=1

Л/5Ыс=0*° <15>

при втекании и

£Ф > о ^Ф с?с п ' гЗсг

>0, ^

М4 </и2 .с^ =0,ог = 0 со"

Л/2 >Ш2,ся=0,«=0

<0,

ЭФ ао-

>о

Л/2 ,с„ =2,а~0

(16)

для идеального газа,

с?Ф

дФ

>0,

Г4 <т2

м;т>т$,с„= 0

с?ф = п - ®' тгг

Л/4 >т\,ер=2 <17>

для газа Дюпре при истечении. Соотношения (15)-(17) показывают, что при дозвуковом режиме перехода через СПС энтропия газа не убывает при любых допустимых значениях параметров задачи. При сверхзвуковом

режиме втекания при любых фиксированных, кроме с , значениях допустимых параметров из области допустимых значений существует единственный корень уравнения Ф = 1 и область

0<с<с°,

где при М^ 2:1 на СПС выполняется условие неубывания энтропии.

Аналогично при сверхзвуковом истечении закон неубывания энтропии выполняется только тогда, когда

с°р<ср£ 2,

где Ср является единственным корнем уравнения Ф = 1 (остальные аргументы функции Ф, кроме ср, зафиксированы). В работе показано, что в

случае выхода за пределы области допустимых значений параметров задачи, определённой условием неубывания энтропии, давление на переходе через СПС может оказаться отрицательным, что означает неразрешимость задачи в целом. Кроме того, в режиме втекания необходимо исключить такие значения параметра с , для которых (р,и) -диаграммы состояния газов не пересекаются в ситуациях, когда при РПР не образуются зоны вакуума.

Условие неубывания энтропии выражает требованиие адекватности модели РПР реальным физическим процессам, происходящим в окрестности местного сопротивления. Кроме того, оно гарантирует разрешимость соотношений на ударных волнах и волнах разрежения в конфигурациях, возникающих при РПР, поскольку является достаточным условием неотрицательности давления. Другим необходимым условием, выражающим требование корректности модели РПР в собственно математическом смысле, является разрешимость систем уравнений, связывающих параметры газа на переходе через СПС. Вообще говоря, это условие требует проверки для любого типа МС, поскольку в отличие от обычного распада разрыва в основе схемы РПР МС лежит не идеализация реального физического процесса, а его квазиодномерное приближение, в котором учёт влияния на МС осуществляется гипотетически и не может гарантировать априори существование решения задачи. Для систем уравнений (7-10), (11-14) условием разрешимости является неотрицательность подкоренных выражений £> и И . Неравенство 0>0является следствием неравенств

/)|с=0^0 и которые для газа Дюпре проверяются

непосредственно. При дозвуковом истечении 0 < А/^ < т\, следовательно, в этом случае О > 0. Для идеального газа при сг > 1 и 0<Ср <2 показана справедливость неравенства

2А - (у - 1)В - 2уС > О , (18)

которое эквивалентно соотношению

М У'ув * т х

(19)

* I *>•>

где МСУВ ~ + —(у-1)) - число Маха за фронтом

стоячей ударной волны, вычисленное по значению пп перед фронтом. Неравенство (18) означает, что сверхзвуковой переход возможен только для

т "> —

значений > т£, то есть в области, где О > 0. В случае газа Дюпре в силу

непрерывности по а уравнений (11-14) существует а® такое, что при

О < а < а ® неравенства (18), (19) также справедливы. К сожалению, значение

а® с помощью аналитических выкладок установить не удалось. Однако алгоритмически всегда возможна газодинамическая перестройка решения по а таким образом, чтобы соотношения (18), (19) не были нарушены.

В работе показано, что при фиксированном значении параметров в задании реакции уступа на поток условия возникновения конфигурации с промежуточным скачком площади сечения для идеального газа оказываются выполненными на некотором подмножестве начальных данных при втекании и не выполняются при истечении. Исследована зависимость типа конфигурации от величины скачка площади поперечного сечения. Рассмотрена специфика так называемых "запертых" режимов истечения, при которых скорость газа за СПС при истечении равна скорости звука. Получены ограничения на входные параметры задачи при звуковом

2у[у(у-1) + (7 + 1)^у2-1] истечении. Показано, что величина <х о =---^-

4/ ~ (у + 1)

является точной верхней границей значений СПС, при которых возможно сверхзвуковое истечение газа.

Для варианта схемы С. К. Годунова, учитывающего изменение скачка поперечного сечения, показано, что явное решение в волне разрежения может быть получено только для идеального газа. В случае газа Дюпре значение р плотности в волне разрежения отыскивается с помощью метода Ньютона, при этом обоснован способ выбора начального приближения.

Второй раздел посвящен конструированию моделей,. являющихся . прямым обобщением либо модификацией модели РПР СПС и содержащих

такой же либо меньший набор входных параметров. Первый тип моделей представлен системой параллельных каналов и перфорированной перегородкой, второй - проницаемой поверхностью.

Решение задачи о разделении потоков в параллельных каналах строится в области допустимых значений входных параметров. Условное разделение основного канала на два вдоль его осевой линии позволяет свести эту задачу к двум последовательным задачам РПР СПС при выполнении условия совпадения значений давления и скорости для каждой из задач РПР СПС в основном канале. Если при фиксированных значениях входных параметров задачи данное условие не выполняется, решение задачи предлагается доопределить. Это достигается посредством расширения области допустимых значений входных параметров за счет изменения параметров-констант либо площади поперечного сечения потока в одном из разветвлений в результате предполагаемого отрыва потока от стенок канала. Установлен немонотонный характер траектории опорных точек (/?,и) -диаграмм газов при изменении вспомогательного сечения в основном канале, и введены ограничения на область изменения величины указанного сечения, которые однозначно определяют решение задачи разделения потоков.

Решение задача о смешении потоков в параллельных каналах также отыскивается в области допустимых значений параметров. Поиск решения осуществляется в два этапа. Сначала отыскивается такое разбиение основного канала на два, при котором значения давления и скорости в каждом из этих каналов совпадают. Затем потоки массы, импульса и энергии в основном канале рассчитываются с применением процедуры осреднения.

В случае, когда МС представляет собой локальное препятствие (ЛП), рассмотрены два варианта модели РПР. В первом случае ЛП в виде перфорированной перегородки заменяется двумя последовательными скачками площади сечения с «проходным» сечением, равным сумме площадей отверстий перегородки. В качестве значений параметров потока по обе стороны перегородки берутся последовательные решения задач РПР СПС для случаев истечения и втекания. Здесь необходимо отметить следующие особенности. Сравнение данной модели с моделью РПР на перфорированной перегородке (ПП) с изоэнропическим истечением показывает, что в последнем случае среднее давление на уступе оказывается меньше, чем давление в широкой части канала. При относительно небольших значениях числа Маха слева от перегородки получено хорошее согласование результатов расчётов по изоэнропической модели истечения с экспериментальными данными. Отсюда можно сделать вывод, что модель РПР ПП не может быть представлена линейной последовательностью моделей РПР СПС при истечении и втекании, а приобретает новые качества. Наиболее приемлемой физической интерпретацией модели течения газа в переходной области является отрыв потока газа от стенок канала слева от линии разрыва. С математической точки зрения это обстоятельство

трактуется как необходимость расширения области допустимых значений параметра Ср за счёт уменьшения её нижней границы до значения

Ср=-21у. Выбор нижней границы обусловлен требованием

вещественности корней дискриминанта в формулах перехода при истечении, выражающем необходимсть сохранения специфики «запертых» режимов истечения.

Для второго типа модели РПР ЛП переходная зона, содержащая ЛП, заменяется поверхностью разрыва (проницаемой поверхностью), а реакция МС в этом случае пропорциональна величине скоростного напора. Показано, что энтропийное неравенство выполнено для любых наборов входных параметров, а ограничения на область допустимых значений параметров обусловлены требованием совместности системы квадратных уравнений на разрыве. На рис. 2 результаты расчётов по первой модели представлены

м с =1.6 -О-О о

/ А/ г=0.71, с =-0.67

с =6.0

/ • е=0.5, с'=-1.4

Р,

Рис. 2. Зависимость числа Маха в зоне слева от перегородки от нтенсивности

падающей ударной волны

сплошной линией без маркировки, по второй — линией с квадратиками, данные эксперимента для различных степеней поджатия е — м а изображены соответственно треугольниками и точками.

Сравнение двух типов моделей РПР ЛП показывает, что первая модель точнее описывает течение газа в переходной области. Это объясняется её большей информативностью по сравнению со второй моделью, которая, однако, более проста в реализации.

В третьем разделе задача РПР СПС обобщается на случай каналов, стыкующихся друг к другу под произвольным углом, а задачи о разделении и смешении потоков в параллельных каналах обобщаются для произвольного тройника. Решения этих задач для частного случая стыковки под прямым углом используются при расчете параметров газа в узле стыковки баллистического и поршневых стволов Ь-, Т-, П- и Ш-образных легкогазовых установок нетрадиционного типа. Решение задачи РПР для двух плоских стыкующихся под углом каналов и в общем случае плоского тройника конструируется на основе тех же подходов, что и в рассмотренных выше случаях. Для двух возможных вариантов стыковки каналов под острым и тупым углом соответственно указаны значения параметров, в окрестности которых решение задачи существует и единственно. В случае плоского тройника расчет РПР осуществляется для произвольных начальных значений параметров потока.

Алгоритм расчета параметров газа в узле стыковки баллистического и поршневых стволов Ь- и Т-образных легкогазовых установок, предназначенных для непосредственного вывода в космос метаемых тел, можно рассматривать как частный случай описанных выше алгоритмов. В Т-образной установке два одинаковых поршневых ствола с общей осью состыкованы под прямым углом с баллистическим стволом. Процесс выстрела происходит так, что поршни движутся симметрично относительно баллистического ствола. Хотя конструкция установки существенно отличается от классической легкогазовой системы, для описания течения легкого газа в каждом из стволов вполне применима схема, использованная в предыдущих разделах. Системы каналов Ь- и Т-образного типов представлены на рис. 3, 4 соответственно.

Рис.3. Ь-образная система каналов

Рис. 4. Т-образная система каналов

Алгоритм РПР модели легкогазовой установки L-образного типа обобщен для П- и Ш-образных легкогазовых установок. В П-образной ЛГУ оси баллистического и поршневого стволов параллельны друг другу, что позволяет существенно уменьшить общую длину установки. Так же, как и в схемах предыдущих разделов, выделяется участок локальной неодномерности (переходная область), в которой происходит двукратное скачкообразное изменение площади поперечного сечения, а поток газа разворачивается на 180°. Расчет параметров газа в узле стыковки поршневых и баллистических стволов сводится, таким образом, к решению задачи РПР в П-образной системе каналов( рис. 5).

А к 1 ►и ►14 п А к 1

ж* S383 К ез ►К ►К S3 ж I ■ ■ *г я 2" ) X

Рис. 5. Ш-образная система каналов

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ

Настоящая диссертационная работа представляет собой итог исследований автора, посвященных рассмотрению наиболее существенных аспектов задачи о распаде произвольного разрыва в каналах сложной конфигурации. Объединяющая идея работы - построение максимально «прозрачной» математической модели распада произвольного разрыва в зонах с местными сопротивлениями. Основные результаты работы резюмируются следующим образом.

1. В качестве граничных условий расчетных областей в каналах, содержащих местные сопротивления, предложено использовать значения параметров потока в зонах постоянного течения, возникающих слева и справа от МС в результате распада произвольного разрыва. Такой выбор обуславливается следующими факторами: асимптотика в реальных процессах устанавливается мгновенно; линейные размеры местного сопротивления пренебрежимо малы в сравнении с протяженностью расчетных областей; решение задачи РПР МС может быть получено с любой степенью точности; алгоритм РПР МС относительно прост в реализации.

2. Исследование параметрической структуры соотношений на разрыве позволяет установить границы изменения входных параметров задачи, в которых решение задачи РПР СПС существует, единственно и удовлетворяет на линии разрыва законам сохранения массы, импульса, энергии, а также условию неубывания энтропии.

3. Возможный произвол в изменении параметров с и Ср может быть

использован для согласования с любой дополнительной информацией (данные эксперимента, расчетные данные аналогичных задач, возможная функциональная зависимость реакции уступа от параметров потока и т. п). При этом следует отметить, что зависимость реакции МС от параметров потока и геометрических характеристик МС в имеющейся литературе для широкого диапазона скоростей изучена недостаточно полно, поэтому акцент делается на изучении свойств возникающего в результате РПР течения для произвольной константной зависимости реакции потока на уступ. Построение конкретной функциональной зависимости указанного типа требует дополнительного привлечения информации и выходит за рамки данной работы.

4. Анализ соотношений на разрыве позволяет указать такие свойства решения задачи РПР МС, как зависимость типа конфигурации от входных параметров сг, с и Ср, возможность появления конфигурации с

промежуточным СПС, положительность дискриминанта в формулах перехода при втекании и знакопеременность при истечении, т. е.

возможности появления "запертых" режимов течения, возможность получения отрицательных значений давления при выходе за границы области допустимых значений параметров, ограничения при звуковом истечении и др.

5. Значительная часть полученных результатов обобщена для газа Дюпре. В тех случаях, когда такое обобщение не удалось получить аналитически, было проведено численное тестирование алгоритма РПР. Для используемых в расчетах значение коволюма а качественных различий в характере возникающего течения идеального газа и газа Дюпре не обнаружено, тем не менее в последнем случае существенно усложнялись теоретические выкладки для задачи РПР СПС, а в зоне волны разрежения расчет параметров потока мог быть осуществлен только с помощью итерационного процесса.

6. Построение замкнутого алгоритма решения задачи РПР МС требует, вообще говоря, привлечения всех возможных ресурсов задачи т.е. параметров су,с,ср,сх с целью доопределения (при необходимости) её решения.

7. Сравнение расчетных данных с экспериментом при моделировании РПР на перфорированной перегородке показывает, что для течений с относительно небольшими значениями числа Маха изоэнтропическая модель истечения в наибольшей степени согласуется с данными эксперимента. Привлечение модели РПР на скачке площади поперечного сечения требует расширения области допустимых значений входных параметров задачи РПР СПС. Найдена нижняя граница изменения параметра Ср, для которой

запирание потока происходит при любой степени поджатая, т.е. влияние перегородки оказывается существенным, если только противодавление справа невелико. Найдены ограничения на область изменения параметра сх в определении реакции р' в случае, когда локальное препятствие моделируется одной поверхностью разрыва (проницаемой поверхностью). Сравнение двух способов моделирования показывает, что модель с двумя СПС лучше согласуется с данными эксперимента, в то время как модель проницаемой поверхности более проста в реализации.

8. Найдены ограничения на входные параметры задачи, при которых существует и является единственным решение задачи РПР в узле стыковке двух каналов под произвольным углом, удовлетворяющее законам сохранения массы, импульса, энергии и условию неубывания энтропии. При этом следует отметить, что в модели РПР для произвольного тройника, в отличие от модели РПР для параллельных каналов, решение задачи существует и единственно для любых начальных значений параметров газов, т. к. возможны любые направления потоков в каналах системы.

9. Получено решение задачи РПР для случая стыковки каналов под прямым углом и на его основе сконструированы алгоритмы расчета параметров течения газа в окрестности узла стыковки поршневого и баллистического

стволов легкогазовых установок нетрадиционного типа, а именно Ь-,Т-,П- и Ш-образных ЛГУ.

10. Совокупный анализ утверждений пп. 1-9 позволяет сделать вывод: обобщённая модель РПР МС, представленная в работе, применима для расчета течений газа в окрестности МС в широком диапазоне начальных скоростей потока. Представленные типы моделей вполне отвечают потребностям практических задач газодинамики, возникающих при исследовании высокоскоростных процессов и могут быть использованы, в частности, при математическом моделировании и проектировании легкогазовых установок.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Белов В. М. Учет второго закона термодинамики в задании

параметрической структуры решения задачи о распаде произвольного разрыва на скачке площади поперечного сечения // Аэрогазодинамика. -Томск: Изд-во ТГУ, 1992. - С. 38-44.

2. Белов В. М. Сравнительный анализ параметрической структуры решения

задачи о распаде произвольного разрыва на перфорированной перегородке // Международная конф. по матем. и мех. Томск. 16-18 сентября 2003: Тез. докл. - Томск, 2003. - С. 84.

3. Белов В. М. Об одном алгоритме расчета параметров газа в системах

каналов, стыкующихся под углом друг к другу // Международная конф. по матем. и мех. Томск. 16-18 сентября 2003: Тез. докл. — Томск, 2003. -С. 85.

4. Белов В. М., Жаровцев В. В. Применение одной разностной схемы для

интегрирования одномерных газодинамических уравнений в переменных Эйлера // Аэрогазодинамика. — Томск: Изд-во ТГУ, 1987. — С. 14-18.

5. Белов В. М., Жаровцев В. В. Некоторые особенности численной

реализации на ЭВМ задачи о распаде произвольного разрыва в случае газа Дюпре // Аэрогазодинамика. - Томск: Изд-во ТГУ, 1987. - С. 3-6.

6. Белов В. М., Жаровцев В. В. Ограничения на входные параметры задачи

о распаде произвольного разрыва на скачке площади поперечного сечения при звуковом истечении // Аэродинамика нестационарных процессов, - Томск: Изд-во ТГУ, 1988.- С. 16-20.

7. Белов В. М., Жаровцев В. В. Об одном алгоритме решения задачи о

распаде произвольного разрыва на скачке площади поперечного сечения // Рук. Деп. в ВИНИТИ, № 3678-В89 от 06.06.89. - 19 с.

8. Белов В. М., Жаровцев В. В. К решению задачи о распаде произвольного

разрыва на перфорированной перегородке // Известия высших учебных заведений: Физика. — 2006. - № 6. Приложение. - С. 28-31.

9. Белов В. М.. Жаровцев В. В. К вопросу о существовании

решения задачи распада разрыва в разветвляющихся параллельных каналах /V Аэрогазодинамика нестационарных процессов. — Томск: Изд-во ТГУ, 1992. — С. 38-42. Ю.Белов В. М., Жаровцев В. В. Моделирование течений газа в трубе с локальным препятствием // Математическое моделирование процессов в синергетических системах. — Улан-Удэ—Томск: Изд-во ТГУ, 1999. — С. 132-136.

11. Белов В. М., Жаровцев В. В. Расчет параметров газа в узлах стыковки

поршневых и баллистических стволов ГЦ Ь и Т-образных легкогазовых установок // Материалы докладов Международной научно-практической конференции «Вторые Окуневские чтения». — Ч. 1. Баллистика, СПб.: БГТУ. 2000. - С. 56-60.

12. Белов В. М., Жаровцев В. В. Задача о распаде произвольного разрыва в

каналах с разворотом газа // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Докл. Второй Всеросс. науч. конф. 6-8 июня 2000. - Томск, 2000. - С. 143-144.

13. Белов В. М., Жаровцев В. В. О расчете параметров газа в узлах стыковки

поршневых и баллистических стволов некоторых легкогазовых систем // Современные методы проектирования и отработки ракетно-артиллерийского вооружения. - Саров: РФЯЦ— ВНИИЭФ, 2003. — С. 106112.

14. Белов В. М., Жаровцев В. В., Комаровский Л. В. Газодинамический расчет

двухступенчатой баллистической установки диафрагменного типа // Избранные доклады международной конференции «Всесибирские чтения по математике и механике». — Т. 2. Механика, Ч. 1. — Томск: Изд-во ТГУ. 1997.-С. 30-36.

Подписано к печати 01.11.2006 г. Тираж 110 экз. Кол—во стр. 22. Заказ № 91-06 Бумага офсетная. Формат 60 X 84/16. Печать RISO. Отпечатано в типографии ООО «РауШ мбХ» Лицензия Серия ПД № 12-0092 от 03.05.2001г. 634034. г. Томск, ул. Усова 7. ком. 052. тел. (3822) 56-44-54

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Белов, Виктор Михайлович

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА НА СКАЧКЕ ПЛОЩАДИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ.

1.1. Построение решения задачи РПР СПС для газа Дюпре в области физически допустимых значений входных параметров.

1.1.1. Выбор типа и определение параметров модели РПР СПС.

1.1.2. Втекание.

1.1.3. Истечение.

1.2. Ограничения на входные параметры задачи РПР СПС для идеального газа при звуковом истечении.

1.3. О некоторых аспектах численной реализации варианта схемы С.К. Годунова для квазиодномерных уравнений в случае газа Дюпре.

Выводы.

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА В УЗЛЕ СТЫКОВКИ ТРЕХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КАНАЛОВ И НА ЛОКАЛЬНОМ ПРЕПЯТСТВИИ.

2.1. Разделение потоков в узле стыковки трех параллельных каналов.

2.2. Смешение потоков в узле стыковки трех параллельных каналов.

2.3. Два типа моделей РПР для трубы с локальным препятствием.

Выводы.

3. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ГАЗОВ В СИСТЕМАХ РАЗВЕТВЛЕННЫХ КАНАЛОВ.

3.1. Распад произвольного разрыва в узле стыковки под произвольным углом двух и трех каналов.

3.2. Распад произвольного разрыва в узлах стыковки L- и Т-образных каналов.

3.3. Распад произвольного разрыва в узлах стыковки П- и Ш-образных каналов.

Выводы.

Введение диссертация по механике, на тему "Параметрическое исследование решений и построение алгоритмов и программ расчета некоторых обобщенных задач о распаде произвольного разрыва"

Проблема расчета параметров газа на внутренних и внешних границах расчетных областей является одной из самых важных проблем в вычислительной газовой динамике. Граничные условия варьируются достаточно широко в зависимости от типа решаемых задач, поэтому вряд ли можно предложить метод, пригодный для всех случаев. Ниже рассматривается подход, приемлемый для расчета параметров газа на внутренних границах высокоскоростных легкогазовых установок. Потребность в исследовании процессов и явлений, происходящих при высокоскоростном (свыше 3 км/с) полете и ударе, возникла и постоянно поддерживается в результате интенсивного развития космической техники. Поскольку прямые эксперименты на космических объектах чрезвычайно дороги и не всегда возможны, были разработаны средства высокоскоростного метания, то есть установки и устройства, позволяющие разгонять твердые тела (элементы) до высоких скоростей в лабораторных и полигонных условиях. Разные средства высокоскоростного метания базируются на различных физических принципах. Так, например, при метании взрывом тело ускоряется продуктами детонации взрывчатых веществ [83, 84, 66, 64, 85], в легкогазовых установках метаемый элемент разгоняется предварительно сжатым легким газом (водородом, гелием) [82, 87, 19, 40], а в электродинамических контактных ускорителях на тело действует сила Лоренца [114]. Среди средств высокоскоростного метания легкогазовые установки (ЛГУ) занимают особое место, поскольку предназначены для метания тел заданной массы и формы в заданном направлении. Первая ЛГУ была разработана в США [103] в 1948 году и, судя по входным параметрам, предназначалась в качестве альтернативы существующим в то время артиллерийским системам. Однако в силу ряда причин она не смогла составить серьезную конкуренцию артиллерийским пушкам. К концу пятидесятых годов XX века легкогазовые установки оказались востребованными, и с тех пор Соединенные Штаты Америки являются мировым лидером в области высокоскоростного метания из легкогазовых систем. Серьезным конкурентом США в этой области с начала 60-х годов прошлого века был только Советский Союз. В настоящее время ЛГУ, кроме Соединенных Штатов Америки, разрабатываются и используются при проведении экспериментов в Канаде, ФРГ, Франции, Израиле, Китае, Японии и в некоторых научных организациях России, в том числе в ГНИ прикладной математики и механики (г. Томск) и в ВНИИ экспериментальной физики (г. Саров).

Классические легкогазовые установки состоят из имеющих общую ось симметрии пороховой камеры, поршневого и баллистического стволов, которые сопряжены между собой коническими переходниками. Пороховая камера ограничена неподвижной стенкой, а баллистический ствол вакуумирован. Объем поршневого ствола между метаемым телом и поршнем заполняется легким (рабочим) газом. После инициирования заряда в пороховой камере поршень под действием образующихся газов приходит в движение и начинает сжимать рабочий газ, который затем ускоряет метаемый элемент.

Одновременно с экспериментальной отработкой классических легкогазовых систем шел поиск новых схем метания из ЛГУ. Так в [22] предложена схема центрированного подгона метаемого тела. Чтобы исключить разрушение метаемого тела при больших сдвиговых напряжениях, в [48-51] сформулирован принцип свободного метания (метаемое тело в процессе разгона не должно соприкасаться со стенками канала), а в [58, 59] предложены легкогазовые системы с перетоком продуктов сгорания из пороховой камеры в камеру высокого давления. В Ливерморской национальной лаборатории (США) разработан проект использования легкогазовых систем для непосредственного вывода в ближний космос капсул с грузами, которые могут выдержать большие ускорения. Для этого в [99] предложены L-образная, а в [37] Т- образная легкогазовые системы. Для уменьшения общей длины ЛГУ сотрудниками Балтийского государственного технического университета (г. Санкт-Петербург) предложена П-образная, а в [13] Ш-образная легкогазовые установки. Из перечисленных новых (нетрадиционных) схем ЛГУ были реализованы в металле только L- и П-образные легкогазовые системы.

Высокая стоимость изготовления и эксплуатации легкогазовых систем требует тщательной предварительной теоретической проработки баллистических схем метания и математического сопровождения экспериментов. Такой теоретический анализ проводится в настоящее время с помощью компьютерных программ, позволяющих рассчитать внутрибаллистические характеристики выстрела из ЛГУ. Компьютерные программы реализуют конкретные алгоритмы решения систем уравнений в частных производных с краевыми условиями, которые моделируют процессы высокоскоростного метания в легкогазовых системах. Поэтому работы, связанные с математическим моделированием процессов выстрела из ЛГУ, а также с теоретическим обоснованием и построением алгоритмов и программ расчета внутрибаллистических параметров как внутри, так и на границах расчетных областей, являются актуальными.

К середине 70-х годов прошлого века в Советском Союзе и США были созданы компьютерные программы расчета выстрела из классических ЛГУ, учитывающие его основные особенности, в частности, волновые процессы в легком и пороховых газах, силы сопротивления поршню и снаряду при их движении по поршневому и баллистическому стволам, силы сопротивления деформации материала поршня при его движении в коническом переходнике [35, 39, 36, 76, 45]. К настоящему времени при расчете предельных режимов выстрела из ЛГУ учитывается взаимодействие потока легкого газа со стенками поршневого и баллистического стволов (теплоотдача стенкам, плавление и унос материала стенок, засорение рабочего газов), реальные термодинамические свойства легкого газа, сжимаемость материала поршня [17, 101, 87, 88, 38].

Частные точные и оригинальные численные алгоритмы решения задач о метании свободного тела, а также расчеты одноступенчатых баллистических установок как со свободным метаемым элементом, так и со скачком площади поперечного сечения представлены в [48, 51, 36, 60, 61, 81, 58, 59,42,43, 53-56, 67, 33]. Параметрические расчеты П-образных легкогазовых систем и ЛГУ с перетоком продуктов сгорания из пороховой камеры в камеру высокого давления проводились Л.С. Нарежневым и Ю.Ф. Христенко. В [24] разработан пакет программ для расчета течения газа в каналах, содержащих характерные типы местных сопротивлений.

Эксперименты показывают, что при взаимодействии ударной волны с МС течение, возникающее после распада ее начального фронта, существенно неодномерное. Однако в некоторой окрестности МС устанавливается квазистационарное течение, а вне ее у вновь образованных волн поперечные возмущения за их фронтами затухают [63, 90, 100, 102, 104-113, 115]. Поэтому при описании течений газа в каналах с местными сопротивлениями возможна следующая схематизация. С помощью сечений выделяется участок (зона) локального воздействия. Вне зоны течение считается одномерным, а разделяемые этим участком потоки связываются между собой соотношениями на некоторой искусственно вводимой поверхности разрыва (в ряде случаев вводятся две поверхности разрыва). При этом интегральное влияние разрыва (разрывов) на поток должно быть эквивалентно воздействию на поток выделенной зоны. Кроме этого упростить математические модели позволяют следующие обстоятельства. В первом приближении легкий и пороховые газы можно полагать невязкими и нетеплопроводными, а теплоотдачу газов стенкам стволов не учитывать. Таким образом, при выбранном подходе процессы в нетрадиционных ЛГУ описываются квазиодномерными уравнениями газовой динамики и газодинамическими уравнениями внутренней баллистики в приближении Эйлера в ряде подобластей, каждая из которых ограничена либо двумя внутренними, либо одной внутренней и одной внешней границами. Внешней границей может быть либо неподвижная стенка пороховой камеры, либо левая сторона метаемого тела или правый конец баллистического ствола, а внутренней - левая или правая сторона поверхности разрыва, моделирующего соответствующее местное сопротивление. На поверхностях разрывов выполняются энтропийное неравенство, а также законы сохранения массы и энергии. В законе сохранения импульса учитываются его потери на МС, которые зависят от вида местного сопротивления. В каждой подобласти вводится в общем случае неравномерная по времени и по пространственной координате разностная сетка. В начальный момент времени значения скорости, давления и плотности газа в узлах этой сетки известны. Для определения параметров газа в следующий момент времени, как правило, привлекаются явные, однородные конечно-разностные схемы, аппроксимирующие исходную для данной подобласти систему уравнений в частных производных [21, 46, 5, 101, 34]. Расчеты обычно проводятся с общим для всех подобластей шагом по времени, выбираемым из условия устойчивости разностных уравнений. Чтобы замкнуть алгоритм расчета, на каждом шаге по времени необходимо определить параметры газа на внешних и внутренних границах каждой подобласти. После этого процесс расчета повторяется. Особые сложности возникают при определении параметров газа на внутренних границах. Цель диссертационной работы - теоретически обосновать и построить алгоритмы и программы расчета параметров газа на внутренних границах, моделирующих в нетрадиционных ЛГУ местные сопротивления. Она достигается следующим образом. Поверхность разрыва, соответствующую конкретному МС, располагают на границе подобластей между соседними узлами разностной сетки. Тогда параметры газа на поверхности можно определить, решив задачу об обобщенном распаде произвольного разрыва, который возникает при взаимодействии двух масс газа, находящегося в соседних ячейках. Полученное решение справедливо в течение шага по времени. Заметим, что при расчете легкогазовых систем можно считать, что для легких и пороховых газов справедливо уравнение состояния Дюпре [47, 57, 79].

Специфика течений газов в ЛГУ предъявляет вполне определенные требования к решениям задач обобщенного РПР:

- адекватность решений задач обобщенного РПР реальным физическим процессам, происходящим в переходной области;

- существование и единственность решений задач обобщенного РПР для всех физически допустимых значений входных параметров;

- простота в реализации алгоритмов решения обобщенных задач РПР. Удовлетворить в максимальной степени всем перечисленным выше требованиям вряд ли возможно, поэтому приоритет отдавался первым двум. Соблюдение первого требования означает верифицируемость законов сохранения массы, импульса и полной энергии а также условия неубывания энтропии на линии разрыва. В алгоритме следует также предусмотреть возможность согласования результатов численных расчетов с имеющимися экспериментальными результатами, либо расчетными данными задач в более строгой постановке. Такое согласование достигается за счет разумной схематизации РПР, отражающей существенные физические аспекты рассматриваемого процесса и в то же время содержащей неопределенность (параметрические соотношения) в задании характеристик МС, которая не может быть снята без привлечения дополнительной информации извне. Второе требование означает возможность доказательства существования и единственности решений задач обобщенного РПР во всей области определения её входных параметров. То есть предварительно должно быть исследовано качественное поведение решений соответствующих задач для всего диапазона значений входных параметров, и при необходимости предусмотрена возможность доопределения решений там, где они не существуют. Третье из перечисленных требований предполагает «экономичность» алгоритма в смысле максимально возможного сбережения ресурсов (машинных, логических и т. п.).

Построение алгоритмов решения обобщенных задач РПР для некоторых типов МС в контексте перечисленных выше требований и составляет новизну результатов данной работы. Основная идея решения состоит в том, что члены, учитывающие потери импульса на соответствующих МС, задаются с константным произволом. Впервые параметрический способ задания реакции потока на уступ для скачка площади поперечного сечения канала был предложен в работе [29]. Дальнейшее развитие этого подхода в настоящей работе позволило сконструировать алгоритмы РПР для ряда характерных типов МС, полностью удовлетворяющим первым двум упомянутым выше требованиям. Особо следует отметить, что с методологических позиций в работе реализован один из возможных подходов к решению обобщенных задач РПР, который, по мнению автора, позволяет с наибольшей полнотой и конкретностью осветить важнейшие аспекты этих решений. Получить аналогичные результаты на основе иных подходов, например, [95, 97, 23], либо не удается, либо представляется проблематичным.

Практическая применимость работы состоит в том, что предложенные в ней обобщенные алгоритмы РПР могут быть использованы при расчете течений газа в каналовом приближении в системах труб постоянного и переменного сечения с такими местными сопротивлениями как скачки площади поперечного сечения, препятствия, не полностью перекрывающие трубу, узлы разветвлений и соединений как параллельных труб, так и под углом друг к другу, а также узлы поворотов и разворотов газа.

К настоящему времени решения классической задачи РПР построены для достаточно широких классов уравнений состояния. Так для изотермического газа задача РПР как основная модельная задача для описания разрывных течений была рассмотрена ещё в позапрошлом веке Б. Риманом [77]. В [62] Н. В. Кочи-ным был рассмотрен случай политропного газа, а в [65] JI. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем проведено качественное исследование задачи РПР для нормального газа. В более поздних работах [68, 78, 91] приведено решение классической задачи РПР для нормального газа, причем в [68, 78] доказываются существование и единственность решения, а также приводятся формулы для расчета параметров течения. В [91] рассмотрен алгоритм решения задачи РПР для сред с двучленным уравнением состояния. В [1] решение задачи РПР получено для произвольного выпуклого уравнения состояния, удовлетворяющего условиям Бете-Вейля. При этом авторами отмечено, что нарушение условия выпуклости может повлечь неединственность решения. Алгоритм, предложенный в [92], при тех же ограничениях на уравнение состояния, что ив [1], требует меньшего объема вычислительных ресурсов. Использование условия выпуклости позволяет свести расчет распада разрыва к последовательному интегрированию систем дифференциальных уравнений для определения давления и плотности на контактном разрыве с учетом монотонной зависимости разности давлений на КР от шага интегрирования. В [93] для выпуклых уравнений состояния значения газодинамических параметров вблизи точки распада разрыва рассчитываются с помощью разложений соответствующих функций в ряды. Такой подход позволяет рассчитать газодинамические функции на линии t = const для всех возможных конфигураций распада разрыва. При отсутствии автомодельных решений у неоднородных систем уравнений гиперболического типа решение задачи РПР в [80] предложено искать в классе ДП-решений.

Можно выделить два основных аспекта практического использования решений классической задачи РПР. Первый - при получении решений некоторых задач газовой динамики о взаимодействии сильных разрывов, например [78, 89], второй - при построении ряда разностных схем для численного интегрирования газодинамических уравнений и при расчете граничных параметров газа, например, [21,91,46, 32, 101].

В работах [63, 90, 100, 102, 104-113, 115] проведено детальное исследование волновых процессов в каналах переменного сечения. На основе изучения экспериментальных данных были установлены закономерности, подтверждающие гипотезу о квазиодномерном характере течения в окрестности изменения поперечного сечения канала. Эти исследования подготовили почву для обобщения классической задачи РПР на случай канала со скачком площади поперечного сечения. Впервые задача РПР СПС поставлена и решена В.Г. Дуловым [29], а позднее независимо - И.К. Яушевым [95]. Более поздние работы этих авторов и их сотрудников привели к появлению теории обобщенных задач о распаде произвольного разрыва [31].

Для дозвуковых течений идеального газа в [16] приведен алгоритм расчета течения в окрестности скачка площади сечения, основанный на предположении об изоэнтропичности течения в этой зоне. Показано хорошее совпадение численного решения с аналитическим и данными эксперимента. В [86] решение задачи РПР СПС конструируется в области допустимых значений параметров. Реакция R уступа предполагается функцией числа Маха набегающего потока. В [18] для описания нестационарного движения идеального газа в системе каналов используется понятие сеточного графа, узлы которого содержат МС. Для определения параметров течения в узлах графа используются интегральные законы сохранения и соотношения на характеристиках.

В рассмотренных выше моделях квазиодномерных течений влияние МС на поток учитывается посредством привлечения дополнительной информации, полученной гипотетически или из эксперимента. Возможен иной подход к определению интегральных характеристик потока в зонах локального воздействия. В [25, 26] для замыкания системы уравнений, связывающих параметры газа в переходной области, привлекается гипотеза о независимости коэффициента восстановления давления от любых геометрических воздействий на поток. В [25] приведены результаты расчета весового коэффициента среднего давления рр для адиабатических течений идеальной сжимаемой жидкости и несжимаемых течений газа в канале с внезапным расширением. В последнем случае с доверительной вероятностью, большей 0.95 и удовлетворительной погрешностью показано совпадение расчетного и опытного значений <рр. Сформулированная в

25, 26] гипотеза позволяет расширить область применения квазиодномерного подхода при описании течений газа в каналах сложной геометрии.

В цитируемых выше работах решение задачи РПР получено для различных типов конфигурации переходной области. В [16] рассматривается процесс дозвукового истечения из широкой части канала в узкую. Выбор соотношений на СПС обуславливается предположением об изоэнтропичности течения. В [23] исследуется процесс распада произвольного разрыва на перфорированной перегородке, возникающий при "нормальном" падении на нее ударной волны. Перетекание газа через перегородку трактуется в модели как поджатие газа в минимальном сечении перегородки, которое происходит изоэнтропически, с последующим его расширением. В [29, 95, 30, 86] алгоритм решения задачи РПР СПС рассчитан на достаточно широкий диапазон начальных данных, включающих как дозвуковые, так и сверхзвуковые течения.

Соотношения на разрыве в этих работах (кроме [16] и, при сужении потока, в [23]) выражают законы сохранения массы, импульса и энергии. Для стыковки произвольной геометрической конфигурации в [31] качестве одного из возможных вариантов реакцию МС на поток предлагается учитывать с помощью коэффициента местного сопротивления (KMC). В этом случае используется соотношение, выражающее зависимость разности полных давлений от величины KMC.

В цитируемых различия в подходах разных авторов формально обуславливаются выбором скалярной формы уравнения импульса. Фактически же эти различия отражают конкретные методологические аспекты поставленной проблемы и подходов авторов к её решению. Дополнительным доводом в пользу выбора конкретной модели служат, как правило, результаты экспериментальных исследований либо расчетные данные аналогичных задач.

В случае скачка площади поперечного сечения реакция уступа на поток в [95, 96, 98, 86, 23, 29-31, 8] характеризуется силой лобового сопротивления R = ;/(£] - S2), где iSj и S2- площади поперечного сечения соответственно для широкой и узкой частей канала, а величина р' представляет собой среднее значение давления на уступе. В соответствии с терминологией [95] движение газа из широкой части канала в узкую будем называть истечением, а в обратном направлении - втеканием. В [95] р' полагается равным давлению в широкой части канала для любого из указанных направлений. Система уравнений на разрыве оказывается при этом однозначно разрешимой относительно параметров за скачком (по направлению движения), так как число уравнений в этом случае совпадает с числом неизвестных.

Более сложная зависимость величины р' от параметров потока на скачке площади сечения представлена в [30]. Для процесса истечения величина р' задается в виде р' = р0+ сpp{)iiQ /2, 0 <<2, а для процесса втекания в виде р' -ср}, 0<с <1, где ср и с - параметры, индексы "0" и "1" соответствуют значениям параметров в широкой и узкой части. При этом допустимыми считаются только те значения параметров потока, которые удовлетворяют условию неубывания энтропии при переходе через СПС.

Задача о разделении потоков на два параллельных [98] трактуется как обобщение задачи о распаде разрыва в канале со скачком сечения. Величина р' в этом случае определяется как р' = р0и0 /2. Система уравнений для определения неизвестных за линией разрыва при определенных ограничениях на входные параметры, которые подробно рассмотрены во второй главе, оказывается замкнутой после введения вспомогательного сечения, которое условно разделяет канал, стыкующийся с двумя другими, вдоль его осевой линии. Алгоритм решения сводится к последовательному решению двух задач РПР СПС, которое в этом случае определяется однозначно. В схеме решения задачи о смешении потоков [96] также используется условное разбиение вдоль осевой линии канала, в котором происходит смешение, а величина р' в соответствующих задачах РПР СПС в зависимости от величины промежуточного сечения принимает одно из возможных значений давления слева от линии разрыва.

В случае перфорированной перегородки [23] связь между параметрами в минимальном сечении перегородки и в канале постоянного сечения при расширении потока задается также с помощью величины р', характеризующей среднее давление на перегородку справа от нее. Для режимов дозвукового перетекания, а также для режимов с "запертыми" отрывными зонами, при которых справа от перегородки значения параметров потока не зависят от волновой структуры, величина р' полагается равной давлению в минимальном сечении перегородки.

Если распределение давления по стенкам переходной области заранее неизвестно, то уравнение импульса может быть задано иным способом. В [69-75, 31] влияние МС на поток учитывается с помощью коэффициента местного сопротивления , который характеризует потери полного давления при переходе * о через МС и задается соотношением [31] рк - р1 = %к1ркик /2, где звездочкой отмечаются значения полного давления в каналах с индексами к и /, а величина полагается известной априори. В [41] исследуется зависимость KMC от геометрических характеристик МС для каждого из случаев поворота, внезапного расширения или сужения канала, а также для плоского тройника.

Необходимо учитывать, что для произвольных значений входных параметров функциональная зависимость KMC от параметров потока изучена недостаточно полно, поэтому последнее соотношение применимо только для течений газа с относительно небольшими (М = 0.03) значениями числа Маха, поскольку в этом случае, как показано в [69, 74], величина KMC слабо зависит от параметров потока. В частности, в случае стыковки двух каналов под углом а с отношением площадей поперечного сечения Р для величины KMC £;(а,/3) можно приближенно полагать [70] Р) = к(а )[1 + (1 / Р)2 ~ 2 / Р • cos а ].

Следует отметить, что исследование и выявление математических и физических закономерностей для каждой из рассматриваемых моделей распада разрыва является достаточно сложным и трудоемким процессом даже в том случае, когда газ идеальный. Для более сложного уравнения состояния (например, газа Дюпре) емкость математических выкладок существенно возрастает. Кроме того, в этом случае невозможно получить точное решение в явном виде в зоне волны разрежения, и для его отыскания в первой главе конструируется итерационный алгоритм с использованием метода касательных Ньютона.

В настоящей работе решение задачи о распаде произвольного разрыва в случае газа Дюпре отыскивается в области допустимых значений входных параметров для некоторых типов МС. Реакция R в уравнении импульса для рассматриваемого класса задач задается в виде функции, зависящей от величины среднего давления р' на стенках переходной области и геометрических параметров МС. При этом зависимость величины р от параметров потока задается с константным произволом, что позволяет варьировать величину реакции потока на МС в границах области допустимых значений параметров-констант. Система соотношений на разрыве, рассматриваемая как система квадратных уравнений относительно параметров потока в зонах, прилегающих к линии разрыва, оказывается однозначно разрешимой, и анализ важнейших свойств квазиодномерного процесса фактически сводится к исследованию соответствующих функций параметров потока с одной стороны от линии разрыва, что позволяет в ряде случаев определить границы областей допустимых значений параметров, в которых эти свойства выполняются.

В частности, в случае скачка площади поперечного сечения и проницаемой поверхности удается определить границы областей существования и единственности решения, удовлетворяющего законам сохранения массы, импульса и энергии, а также условию неубывания энтропии. Указаны также условия, при которых оказывается возможным возникновение специфических режимов течения газа, в частности, "запертых" режимов, течения с неподвижной ударной волной в переходной области.

Отметим, что выбранный способ задания соотношений на разрыве основан на использовании информации о геометрических характеристиках местных сопротивлений и дополнительных упрощающих предположений о распределении давления на стенках переходной области.

Резюмируя вышеизложенное, основные задачи диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

- о распаде произвольного разрыва на скачке площади поперечного сечения для газа Дюпре. В том числе случае исследуется решение задачи РПР для газа Дюпре при отсутствии МС как обобщение [68,91];

- о распаде произвольного разрыва на перфорированной перегородке;

- о распаде произвольного разрыва на проницаемой поверхности;

- о разделении потоков;

- о смешении потоков;

- о распаде произвольного разрыва в каналах, стыкующихся под углом друг к другу;

- о распаде произвольного разрыва в произвольном тройнике.

2. Исследование проблемы существования и единственности решения задач, перечисленных в п. 1.

Решение перечисленных задач строится в соответствии с методологическими принципами исследования, которые можно сформулировать следующим образом.

1. В качестве граничных условий расчетных областей квазиодномерных течений в каналах сложной конфигурации предложено точное решение задачи о распаде произвольного разрыва для характерных типов местных сопротивлений. Решение задачи отыскивается в области допустимых значений входных параметров.

2. Границы области допустимых значений параметров отыскиваются с помощью варьирования параметров-констант для заданного типа реакции местного сопротивления, зависящей от геометрических характеристик переходной области и величины среднего давления на ее стенках.

3. Возможный произвол в задании параметров-констант позволяет согласовать решение задач РПР с экспериментом либо с расчетными данными задач в более строгой постановке.

4. На основе проведенного исследования конструируется достаточно эффективный алгоритм расчета граничных условий расчетных областей квазиодномерных течений в каналах сложной конфигурации.

В первом разделе на примере задачи РПР СПС рассмотрены принципиальные аспекты моделирования течения газа в окрестности МС и предложена схема РПР, которая служит основой алгоритмов более сложных моделей, рассматриваемых в последующих разделах.

В 1.1 рассматривается задача РПР СПС для газа Дюпре. Требования к модели РПР СПС определяются спецификой прикладных задач, в которых эта модель используется (выше эти требования были рассмотрены детально), а тип модели РПР СПС определяется структурой соотношений на разрыве (СПС). Естественно, модель должна быть в максимальной степени информативной, т.е. содержать характеристики наиболее существенных аспектов решения задачи, таких, как проблема существования и единственности решения, условия возникновения различных режимов и т. п. Этим требованиям удаётся удовлетворить, если соотношения на СПС задавать с параметрическим произволом. Показано, что в этом случае зависимость от параметров-констант отношения энтропийных функций по обе стороны от СПС носит монотонный характер. Указан допустимый интервал изменения параметров-констант. Показано, что при фиксированном значении параметров в задании реакции уступа на поток условия возникновения конфигурации с промежуточным скачком площади сечения оказываются выполненными на некотором подмножестве начальных данных при втекании и не выполняются при истечении. Доказана совместность системы квадратных уравнений, связывающих параметры газа на разрыве, для произвольных значений начальных параметров потока. Исследована зависимость типа конфигурации от величины скачка площади поперечного сечения. Заметим, что в случае, когда реакция потока на уступ при втекании задавалась как функция параметров потока в широкой части канала [97], аналогичные результаты получить не удалось.

В 1.2 исследуется специфика так называемых "запертых" режимов истечения, при которых скорость газа за СПС при истечении равна скорости звука. Указаны условия возникновения различных режимов течения газа, в частности, ограничения на входные параметры задачи при звуковом истечении. Найдена верхняя граница значений СПС, при которых: возможно сверхзвуковое истечение газа.

В 1.3 рассматривается вариант схемы С. К. Годунова, учитывающий изменение скачка поперечного сечения. Показано, что явное решение в волне разрежения может быть получено только для идеального газа. Обоснован алгоритм выбора начального приближения при использовании метода Ньютона для нахождения значения р плотности в волне разрежения.

Второй раздел посвящен конструированию моделей, являющихся прямым обобщением либо модификацией модели РПР СПС и содержащих такой же либо меньший набор входных параметров. Первый тип моделей представлен системой параллельных каналов и перфорированной перегородкой, второй - проницаемой поверхностью.

В 2.1 решение задачи о разделении потоков в параллельных каналах, в отличие от [98], строится в области допустимых значений входных параметров. Условное разделение основного канала на два вдоль его осевой линии позволяет свести эту задачу к двум последовательным задачам РПР СПС при выполнении условия совпадения значений давления и скорости для каждой из задач РПР СПС в основном канале. Предложена модель, позволяющая расширить область допустимых значений входных параметров за счет изменения параметров-констант либо площади поперечного сечения потока в одном из разветвлений в результате предполагаемого отрыва потока от стенок канала.

В 2.2 рассматривается задача о смешении потоков в параллельных каналах. Здесь также решение отыскивается в области допустимых значений параметров. Поиск решения осуществляется в два этапа. Сначала отыскивается такое разбиение основного канала на два, при котором значения давления и скорости в каждом из этих каналов совпадают. Затем потоки массы, импульса и энергии в основном канале рассчитываются с применением процедуры осреднения.

В 2.3 с частичным обобщением для газа Дюпре исследуется задача о распаде произвольного разрыва на перфорированной перегородке. Предложено два варианта решения данной задачи. В первом случае перфорированная перегородка заменяется двумя последовательными скачками площади сечения с «проходным» сечением, равным сумме площадей отверстий перегородки. В качестве значений параметров потока по обе стороны перегородки берутся последовательные решения задач РПР СПС для случаев истечения и втекания. Для данного типа МС указана нижняя граница области допустимых значений параметра ср в задании реакции уступа на поток при истечении. Во втором случае переходная зона заменяется поверхностью разрыва (проницаемой поверхностью), а реакция МС в этом случае пропорциональна величине скоростного напора. Показано, что энтропийное неравенство выполнено для любых наборов входных параметров, а ограничения на область допустимых значений параметров обусловлены требованием совместности системы квадратных уравнений на разрыве.

В 3.1 решение задачи РПР для двух плоских стыкующихся под углом каналов и в общем случае плоского тройника конструируется на основе тех же подходов, что и в рассмотренных выше случаях. Для двух возможных вариантов стыковки каналов под острым и тупым углом соответственно указаны значения параметров, в окрестности которых решение задачи существует и единственно. В случае плоского тройника расчет РПР осуществляется в соответствии с методикой, изложенной в [69].

В 3.2 конструируется алгоритм расчета параметров газа в узле стыковки баллистического и поршневых стволов L- и Т-образных легкогазовых установок, предназначенных для непосредственного вывода в космос метаемых тел. Принципиальная схема Т-образной установки, в которой два одинаковых поршневых ствола с общей осью состыкованы под прямым углом с баллистическим стволом, предложена в работе [37]. Процесс выстрела происходит так, что поршни движутся симметрично относительно баллистического ствола. Хотя конструкция установки существенно отличается от классической легкогазовой системы, для описания течения легкого газа в каждом из стволов вполне применима схема, использованная в предыдущих разделах.

В 3.3 алгоритм РПР модели легкогазовой установки L-образного типа обобщен для П- и Ш-образных легкогазовых установок. В П-образной ЛГУ оси баллистического и поршневого стволов параллельны друг другу, что позволяет существенно уменьшить общую длину установки. Так же, как и в схемах предыдущих разделов, выделяется участок локальной неодномерности (переходная область), в которой происходит двукратное скачкообразное изменение площади поперечного сечения, а поток газа разворачивается на 180°. Расчет параметров газа в узле стыковки поршневых и баллистических стволов сводится, таким образом, к решению задачи РПР в П-образной системе каналов.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной научной конференции «Всесибирские чтения по математике и механике» (Томск, 1997), Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование процессов в синергетических системах» (Улан-Удэ, 1999), Международной научно-практической конференции «Вторые Окуневские чтения» (Санкт-Петербург, 2000), Второй Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2000), Второй научной конференции Волжского регионального центра РА РАН «Современные методы проектирования и отработки ракетно-артиллерийского вооружения» (Саров, 2001), Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003).

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [2, 6-15], тезисах и аннотациях докладов [3, 4].

Автор диссертации выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю старшему научному сотруднику к.ф.-м.н. В. В. Жаров-цеву за огромную помощь, постоянную заботу, терпение и внимание и профессору д.ф.-м.н. Л. В. Комаровскому за большую организационную поддержку при выполнении работы.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

139 Выводы

Для расчета параметров потока в узлах стыковки каналов под произвольным углом в третьей главе предложена модель распада разрыва, обобщающая результаты предыдущих разделов в следующем смысле.

1. Для расчета течений газов в узле стыковке двух каналов под произвольным углом в 3.1 предложена модель РПР, аналогичная рассмотренной в 1.1, в которой скалярное уравнение импульса получается из векторного посредством проектирования соответствующих векторных величин на одну из продольных осей стыкующихся каналов. Таким образом, в задаче появляется дополнительный параметр - угол в.

2. Найдены ограничения на входные параметры задачи, при которых решение задачи РПР, удовлетворяющее законам сохранения массы, импульса, энергии и условию неубывания энтропии, существует и единственно. При этом следует отметить, что в модели РПР для произвольного тройника, в отличие от модели РПР для параллельных каналов, решение задачи существует и единственно для любых начальных значений параметров газов, т. к. возможны любые направления потоков в каналах системы.

3. Свойства модели РПР, рассмотренные в гл. 1, сохраняются для малых углов ж в. Для углов в, близких к — и тупых углов возможен только дозвуковой режим течения, определяемый в 3.1 как "втекание". Показано также, что с увеличением угла стыковки каналов дискриминант в формулах перехода при втекании становится знакопеременным, что означает возможность возникновения "запертых" режимов течения газа.

4. Получено решение задачи РПР для случая стыковки каналов под прямым углом и на его основе сконструированы алгоритмы расчета параметров течения газа в окрестности узла стыковки поршневого и баллистического стволов легкогазовых установок нетрадиционного типа, а именно Ь-,Т-,П- и Ш-образных ЛГУ.

Показано, что для модели РПР, рассмотренной в 3.3 (канал с разворотом), скорость течения газа в переходной области всегда меньше скорости звука, а течение газа за переходной областью всегда звуковое.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа представляет собой итог исследований автора, посвященных рассмотрению наиболее существенных аспектов задачи о распаде произвольного разрыва в каналах сложной конфигурации. Объединяющая идея работы - построение максимально «прозрачной» математической модели распада произвольного разрыва в зонах с местными сопротивлениями. В схеме РПР должны быть верифицируемы соотношения, выражающие основные законы газовой динамики, определена область существования и единственности решения и установлена зависимость характера течения от входных параметров задачи. Для каждого из рассмотренных типов местных сопротивлений указан алгоритм, позволяющий за конечное число шагов получить решение соответствующей задачи РПР, при этом одним из наиболее существенных требований к алгоритму РПР является его замкнутость по отношению ко всей области изменения начальных параметров потока. Возможность соблюдения этих требований является определяющим аргументом в пользу выбора одной из возможных альтернатив как при конструировании модели в целом, так и её отдельных ключевых этапов.

Следует особо отметить, что потребность в проведении подобного рода исследований в значительной степени обусловлена запросами задач, возникающих при математическом моделировании и проектировании легкогазовых установок. Специфика предложенных в данной работе к рассмотрению моделей отвечает постановкам задач этого класса.

Автором были разработаны численные алгоритмы решения задачи РПР для каждого из рассмотренных типов МС. К сожалению, в отечественной и зарубежной литературе автору не удалось отыскать источники, в которых проблема изучения течений газов в окрестности МС была бы отражена с необходимой полнотой в экспериментальных исследованиях, поэтому сравнения с экспериментом в работе приведены весьма в ограниченном объеме. Тем не менее предложенные в данной работе к рассмотрению алгоритмы РПР могут служить основой для конструирования моделей, в которых влияние МС может быть задано более полно с учетом дополнительной информации о его характеристиках.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Белов, Виктор Михайлович, Томск

1. Алалыкин Г. Б., Годунов С. К., Киреева И. Л., Плинер Л. А. Решение одномерных задач газовой динамики в подвижных сетках. М.: Наука, 1970. -112 с.

2. Белов В. М. Учет второго закона термодинамики в задании параметрической структуры решения задачи о распаде произвольного разрыва на скачке площади поперечного сечения // Аэрогазодинамика. -Томск: Изд-во ТГУ, 1992. С. 38-44.

3. Белов В. М. Сравнительный анализ параметрической структуры решения задачи о распаде произвольного разрыва на перфорированной перегородке // Международная конф. по матем. и мех. Томск. 16-18 сентября 2003: Тез. докл. Томск, 2003. - С. 84.

4. Белов В. М. Об одном алгоритме расчета параметров газа в системах каналов, стыкующихся под углом друг к другу // Международная конф. по матем. и мех. Томск. 16-18 сентября 2003: Тез. докл. Томск, 2003. - С. 85.

5. Белов В. М., Жаровцев В. В. Применение одной разностной схемы для интегрирования одномерных газодинамических уравнений в переменных Эйлера// Аэрогазодинамика. Томск: Изд-во ТГУ, 1987. - С. 14-18.

6. Белов В. М., Жаровцев В. В. Некоторые особенности численной реализации на ЭВМ задачи о распаде произвольного разрыва в случае газа Дюпре // Аэрогазодинамика. Томск: Изд-во ТГУ, 1987. - С. 3-6.

7. Белов В. М., Жаровцев В. В. Ограничения на входные параметры задачи о распаде произвольного разрыва на скачке площади поперечного сечения при звуковом истечении // Аэродинамика нестационарных процессов. Томск: Изд-во ТГУ, 1988,- С. 16-20.

8. Белов В. М., Жаровцев В. В. Об одном алгоритме решения задачи о распаде произвольного разрыва на скачке площади поперечного сечения // Рук. Деп. в ВИНИТИ, № 3678-В89 от 06.06.89. 19 с.

9. Белов В. М., Жаровцев В. В. К решению задачи о распаде произвольного разрыва на перфорированной перегородке // Известия высших учебных заведений: Физика. 2006. - № 6. Приложение. - С. 28-31.

10. Ю.Белов В. М., Жаровцев В. В. К вопросу о существовании решения задачи распада разрыва в разветвляющихся параллельных каналах // Аэрогазодинамика нестационарных процессов. Томск: Изд-во ТГУ, 1992. - С. 38-42.

11. Белов В. М., Жаровцев В. В. Моделирование течений газа в трубе с локальным препятствием // Математическое моделирование процессов в синергетических системах. Улан-Удэ-Томск: Изд-во ТГУ, 1999. - С. 132136.

12. Белов В. М., Жаровцев В. В. Задача о распаде произвольного разрыва в каналах с разворотом газа // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Докл. Второй Всеросс. науч. конф. 6-8 июня 2000. -Томск, 2000.-С. 143-144.

13. Бубенчиков А. М., Комаровский Л. В., Харламов С. Н. Математические модели течения и теплообмена во внутренних задачах динамики вязкого газа. Томск: Изд-во ТГУ, 1993. - 184 с.

14. Воеводин А. Ф., Сафин Р. И. Алгоритмы численного расчета течения газа в системе труб с учетом местных сопротивлений // Числ. мет. мех. сплошной среды. Новосибирск: Изд-ие ВЦ СО АН СССР, 1981. - Т. 12, № 1,- С. 2029.

15. Высокоскоростные ударные явления / Под ред. В. Н. Николаевского. М.: Мир, 1973.-534 с.

16. Глазунов А. А., Ткаченко А. С., Иванов В. А. Численное исследование течений в соплах Лаваля сложной формы // Газовая динамика. Томск: Изд-во ТГУ, 1987,- С. 38-44.

17. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики // Мат. Сборник. 1959. - № 4. - С. 271-306.

18. Горохов М. С., Комаровский Л. В. Центрированный подгон модели в легкогазовой баллистической установке // В сб.: Труды СФТИ. Москва: Изд-во «Машиностроение», 1967. - Вып № 55. - С. 12-15.

19. Гринь В. Т., Крайко А. Н., Миллер Л. Г. К распаду произвольного разрыва на перфорированной перегородке // ПМТФ. 1981. - № 3. - С. 95-103.

20. Дерюгин Ю. Н., Казакова И. Ф., Прошин Н. Н. и др. Пакет программ расчета газодинамических течений в трубах переменного сечения // ВАНТ. Методика и программы численного решения задач математической физики. 1988.-Вып. 1.-С. 65-69.

21. Дубравин Ю. А. О связи гидродинамических параметров в зонах локальных воздействий на поток // ПМТФ. - 1989. № 3. -С. 60-69.

22. Дубравин Ю. А. Условия в узлах одномерных течений жидкостей и газов // Международная конференция «Всесибирские чтения по математике и механике». Томск. 17-20 июня 1997: Тез. докл. Т. 2, Механика. - Томск, 2003.-С. 141-142.

23. Дубровская JI. И, Ким А. В., Комаровский JI. В. О взаимодействии двумерного нестационарного течения газа со свободным цилиндрическим телом в канале // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. -1981. № 2. -С. 180-184.

24. Дубровская JL И., Комаровский JI. В. Осесимметричное нестационарное обтекание преград в цилиндрической трубе // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1978. -№ 4. - С. 81-86.

25. Дулов В. Г. Распад произвольного разрыва параметров газа на скачке площади сечения // Вестник ЛГУ. Математика, механика и астрономия. -1958. № 19. - Вып. 4. - С. 76-99.

26. Дулов В. Г., Лукьянов Г. А. Газодинамика процессов истечения. -Новосибирск: Наука, 1984.-234 с.

27. Дулов В. Г., Павлов С. В., Яушев И. К. Обобщенная задача о распаде разрыва и её приложения. Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1985. - 28 с. (Препринт / ИТПМ. - № 10-85).

28. Ершов С. В. Обобщение метода Годунова Колгана для расчета нестационарных решений газовой динамики сечения // Рук. Деп. в ВИНИТИ, № 4830-В86 от 16.06.86. - 20 с.

29. Ефремов В. В., Жолобов В. В. Об одном точном решении задачи Лагранжа, когда в области течения происходит смешение или разделение потоков газа // Газовая динамика. Томск: Изд-во ТГУ, 1984. - С. 88-94.

30. Жаровцев В. В. Явные схемы с неотрицательной аппроксимацией на минимальном сеточном шаблоне для одномерных уравнений газовой динамики // Вычислительная гидродинамика. Томск: Изд-во ТГУ, 1999. -С. 84-89.

31. Жаровцев В. В., Комаровский Л. В. Численное решение задачи об ускорении свободного тела газовым потоком // Материалы пятой научной конференции по математике и механике. Томск, 1975. - С. 7-8.

32. Жаровцев В. В., Комаровский Л. В., Погорелов Е. И. Математическое моделирование и оптимальное проектирование легкогазовых установок. -Томск: Изд-во ТГУ, 1989.-254 с.

33. Жаровцев В. В., Тимофеев Д. А. Расчет легкогазовых установок с газожидкостным поршнем // В сб.: Фундаментальные и прикладные исследования современной механики. Томск: Изд-во ТГУ, 2004. - С. 95-96.

34. Зинченко Ю. К., Панков В. Н. Реализация на ЭВМ метода характеристик при решении одномерных нестационарных задач газовой динамики. // В сб.: Труды НИИ ПММ. Томск: Изд-во ТГУ, 1976. - Т. 7. - С. 72-79.

35. Златин Н. А., Красильщиков А. П., Мишин Г. И., Попов Н. Н. Баллистические установки и их применение в экспериментальных исследованиях. М.: Наука, 1974. - 344 с.

36. Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. М. Л: Госэнергоиздат, 1960. - 464 с.

37. Ильницкий А. В. Начальная стадия ускорения свободного тела газовым потоком // Аэрогазодинамика быстропротекающих процессов. Томск: Изд-во ТГУ, 1979.- С. 27-34.

38. Ильницкий А. В. Ускорение свободных тел газовым потоком // Аэрогазодинамика нестационарных процессов. Томск: Изд-во ТГУ, 1988. - С. 47-55.

39. Касимов В. 3., Хоменко Ю. П., Ушакова О. В. Численное моделирование внутрибаллистических процессов в легкогазовой пушке // ПМТФ. 2003. -Т.44, № 5. - С. 1-10.

40. Кейбл А. Ускорители для метания со сверхвысокими скоростями // В кн.: Высокоскоростные ударные явления. М.: Мир, 1973. - С. 13-28.

41. Колган В. П. Применение принципа минимальных значений производной в построении конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики. В сб.: Ученые записки ЦАГИ. - 1974. - Т. 3, № 6. - С. 68-77.

42. Комаровский JI. В. Уравнение состояния газа и замыкающее уравнение при газодинамическом расчете легкогазовых баллистических установок // В сб.: Труды СФТИ. Москва: Изд-во «Машиностроение», 1969. - Вып. № 59. - С. 36-50.

43. Комаровский JI. В. О движении свободного тела в трубе под действием сжатого газа // В сб.: Труды НИИ ПММ. Томск: Изд-во ТГУ, 1973. - Вып. 2.-С. 97-102.

44. Комаровский Л. В. О одном аналитическом решении задачи о метании свободного тела газовым потоком // В сб.: Труды НИИ ПММ. Томск: Изд-во ТГУ, 1974. - Т. 4. - С. 133-136.

45. Комаровский Л. В. Аналитическое решении задачи о метании свободного тела сжатым газом // В сб.: Труды НИИ ПММ. Томск: Изд-во ТГУ, 1974. -Т. 7.-С. 133-136.

46. Комаровский JI. В. Метание свободных тел газовым потоком // Числ. мет. мех. сплошной среды. Новосибирск, 1976. - Т. 7, № 3. - С. 74-86.

47. Комаровский Л. В., Белов В. М., Жаровцев В. В. Расчет параметров газа в узле стыковки трех параллельных каналов различных диаметров // Математическое моделирование процессов в синергетических системах. -Улан-Удэ-Томск: Изд-во ТГУ, 1999. С. 144-146.

48. Комаровский JI. В., Новгородцев Н. А., Хоменко Ю. П. Численное решение задачи о метании свободного тела газовым потоком // Аэрогазодинамика быстропротекающих процессов. Томск: Изд-во ТГУ, 1982. - С. 10-16.

49. Комаровский Л. В., Новгородцев Н. А., Хоменко Ю. П. Решение задачи Лагранжа с учетом времени открытия диафрагмы и тепловыделения // Вопросы нестационарной газовой динамики. Томск: Изд-во ТГУ, 1983. -С. 94-98.

50. Комаровский Л. В., Новгородцев Н. А., Хоменко Ю. П. Влияние времени открытия диафрагмы на движение свободного тела в пусковой трубе // Аэрогазодинамика нестационарных процессов. Томск: Изд-во ТГУ, 1983. - С. 61-65.

51. Комаровский Л. В., Синяев С. В. Аналитические аппроксимации реальных уравнений состояния водорода и гелия в широкой области изменения термодинамических величин // Газовая динамика. Томск: Изд-во ТГУ, 1977,- С. 71-82.

52. Комаровский Л. В., Христенко Ю. Ф. О движении поршня, имеющего сквозное отверстие, в трубе под действием сжатого газа // В сб.: Труды НИИ ПММ. Томск: Изд-во ТГУ, 1973. - Т. 3. - С. 104-109.

53. Комаровский Л. В., Христенко Ю. Ф. Численное решение задачи о движении поршня, имеющего отверстия, под действием давления неадиабатически расширяющегося газа // В сб.: Труды НИИ ПММ. Томск: Изд-во ТГУ, 1974. - Т. 5. - С. 98-102.

54. Косточко Ю. П. Взаимодействие ударных волн с проницаемой поверхностью // В сб.: Труды НИИ ПММ. Томск: Изд-во ТГУ, 1974. - С. 106-112.

55. Косточко Ю. П. Течение идеального газа через проницаемую поверхность // В сб.: Труды НИИ ИММ. Томск: Изд-во ТГУ, 1974. - С. 113-120.

56. Кочин Н. Е. К теории разрывов жидкости // В кн.: Кочин Н. Е. Собрание сочинений. М.: 1948. - Т. 2. - С. 5-42.

57. Кэхейн А., Уоррен В., Гриффит В. Г., Марино А. Теоретическое и экспериментальное изучение распространения волн конечной амплитуды в каналах переменного сечения // Механика: Сб. переводов. 1955. - № 4. - С. 12-38.

58. Лаврентьев М. А., Титов В. М., Фадеенко Ю. И. и др. Исследование соударений твердых тел в космическом диапазоне скоростей. // В кн: Фундаментальные исследования. Физ.-мат. и техн. науки. Новосибирск, 1977.-С. 255-258.

59. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М.: Гостехтеоретиздат, 1953. -788 с.

60. Мержиевский Л. А., Титов В. М. Пробивание пластин при высокоскоростном ударе. // ПМТФ. 1975. - № 5. -С. 102-110.

61. Нарежнев Л. С. Численное решение некоторых обобщений задачи Лагранжа // Аэрогазодинамика- Томск: Изд-во ТГУ, 1979. С. 77-80.

62. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981. -368 с.

63. Павлов С. В. Алгоритм решения задач о распаде произвольного разрыва для разветвленных каналов и модульная структура программы // В кн.: Модульный анализ. Сб. научных трудов. Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР.- 1978.-С. 62-72.

64. Павлов С. В. К задаче о распаде произвольного разрыва в каналах с местными сопротивлениями // Числ. мет. мех. сплошной среды. Б. и., Новосибирск, 1978.- №3.- С. 119-127.

65. Павлов С. В. Расчет нестационарных газодинамических течений в сложных системах каналов с местными сопротивлениями и разветвлениями на основемодульного принципа // Числ. мет. мех. сплошной среды. Б. и., Новосибирск, 1981. -№ 5.с. 85-97.

66. Павлов С. В. О методе (р,и)-диаграмм для движений газа с дополнительными разрывами // В кн.: Численное моделирование в динамике жидкости. Сб. научных трудов. Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1983. -С. 60-72.

67. Павлов С. В., Яушев И. К. Распад произвольного разрыва в канале с поворотом // Изв. СО АН СССР. Техн. науки. 1976. - № 8, вып. 2. - С. 2328.

68. Павлов С. В., Яушев И. К. Задача о распаде произвольного разрыва параметров газа в разветвленных каналах // В кн.: Численный анализ. Сб. научных трудов. Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1978. - С. 75-82.

69. Павлов С. В., Яушев И. К. Сопоставление одномерных моделей течений в разветвленных каналах с экспериментальными данными // ПМТФ. 1984. -№ 2. - С. 42-44.

70. Пилюгин Н. Н., Чернявский С. Ю. Расчет газодинамических параметров двухступенчатой газовой баллистической установки с деформируемым поршнем // Механика жидкости и газа. 1976. - № 1. - С. 69-75.

71. Риман Б. О распространении плоских волн конечной амплитуды // В кн.: Риман Б. Сочинения. М., Гостехиздат, 1948. - С. 376-395.

72. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1968. - 592 с.

73. Серебряков М. Е. Внутренняя баллистика ствольных систем и пороховых ракет. М.: Оборонгиз, 1962. - 703 с.

74. Сидоров А. Ф., Шапеев В. П., Яненко Н. Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Изд-во «Наука», Сибирское отделение, 1984. - 272 с.

75. Синяев С. В. Приближенные условия на свободном теле, ускоряемом газовым потоком в трубе // Аэрогазодинамика нестационарных процессов. -Томск: Изд-во ТГУ, 1988. С. 101-106.

76. Техника гиперзвуковых исследований / Под ред. Г. Ф. Бураго. М.: Мир, 1964.-524 с.

77. Титов В. М., Фадеенко Ю. И., Титова Н. С. Разгон твердых тел кумулятивным взрывом. // Докл. АН СССР, 1968 .- Т. 180, № 5. С. 10511052.

78. Титов В. М., Швецов Г. А. Лабораторные методы высокоскоростного метания твердых тел взрывом. // ФГВ, 1970. Т. 6, № 3. - С. 401-404.

79. Урушкин В. П., Горшков Н. Н., Титов В. М. Методика имитации в лабораторных условиях удара каменных метеоритов. // ФГВ, 1977. Т. 13, № З.-С. 439-442.

80. Физика быстропротекающих процессов. Т. 2 / Под ред. К. Фольрата, Г. Томера, Н. А. Златина. М.: Мир, 1971.-252 с.

81. Хоменко Ю. П., Ищенко А. Н., Касимов В. 3. Математическое моделирование внутрибаллистических процессов в ствольных системах // Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. 256 с.

82. Черный Г. Г. Газовая динамика. -М.: Наука, 1988.-424 с.

83. Честер У. Распространение ударных волн в каналах переменного поперечного сечения // В сб.: Проблемы механики. М., ИЛ, 1963. - Вып. 4. С. 100-127.

84. Численное решение многомерных задач газовой динамики. / Под ред. С.К. Годунова. М.: Наука, 1976. - 400 с.

85. Шустов Ю. М. Расчет распада разрыва для произвольных уравнений состояния // Числ. мет. мех. сплошной среды. Новосибирск: Изд-ие ВЦ СО АН СССР, 1978.-Т. 9, №4,-С. 131-138.

86. Шустов Ю. М. Расчет одномерных газодинамических величин в окрестности точки распада разрыва для произвольных уравнений состояния

87. Числ. мет. мех. сплошной среды. Новосибирск: Изд-ие ВЦ СО АН СССР, 1983.-Т. 14, №5,-С. 158-163.

88. Яушев И. К. О численном расчете нестационарных течений газа в одномерном приближении в каналах со скачком площади сечения // Изв. СО АН СССР. Техн. науки. 1967. - № 8, вып. 2. - С. 39-48.

89. Яушев И. К. Распад произвольного разрыва в канале со скачком площади сечения // Изв. СО АН СССР. Техн. науки. 1967. - № 8, вып. 2. - С. 109120.

90. Яушев И. К. Распад произвольного в разветвленных каналах // Числ. мет. мех. сплошной среды. Б. и., Новосибирск, 1972. - № 3. - С. 92-107.

91. Яушев И. К. К анализу одного семейства решений задачи о распаде произвольного разрыва на скачке площади сечения // В кн.: Численные методы в механике жидкости и газа. Сб. научных трудов. Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1980. - С. 140-147.

92. Яушев И. К., Черешнев А. П. К задаче о распаде разрыва в разветвленных каналах // Числ. мет. мех. сплошной среды. Б. и., Новосибирск, 1971. - №2. -С. 93-103.

93. Aviation Week and Space Technology. 1990. - Vol.133, N4. - P. 78-79.

94. Bewman J. E., Niblett G. B. F. The passage of a plane shock wave through a wire gauze. Proc. Phys. Soc., 1955. - Vol. 68, pt. 12, № 432 B.

95. Bogdanoff D. W. CFD Modelling of Bore Erosion in Two-Stage Light Gas Guns. NASA TM - 112 236, August 1998. - 35 p.

96. Chisnell R. F. The motion of a shock wave in a channel with application to cylindrical and spherical shock waves // J. Fluid Mech. 1957. - Vol. 2. - P. 286298.

97. Corie W. D., Hume W. High-Velosity light-gas-gun. J. Appl. Phys., 1957.-V. 28.-P. 892-894.

98. Dadone A. and Pandolfi M. Interaction of traveling shock waves with orifices inside ducts. International Jornal of Mechanics Sciences, V.13, 1, 1-17 (1971).

99. Dain С. G., Hodgson J. P. Generation of weak shock waves in a shock tube. Aeronaut. Quarterly, 1974. - Vol. 25, pt. 2.

100. Dekker В. E., Male D. H. Unsteady flow in a branched duct. Proc. Inst. Mech. Eng., 1967-1968. - Vol. 182, pt 3H.

101. Dosanjh D.S. Some comments on "A theoretical and experimental study of shock-tube flows". JAS, 1955. - Vol. 22, № 11.

102. Franks W. J., Hall J. G. Collision of plane shock waves with wire screens. -JAS, 1957.-Vol. 24, № 12.

103. Glass I. I., Patterson G. N. A theoretical and experimental study of shock-tube flows. JAS, 1955. - Vol. 22, № 2.

104. Kahane A., Warren W.R. et.al. A theoretical and experimental study of finite amplitude wave interaction with channels of varying area. JAS, 1954, vol. 21, № 8. Рус. пер. - Сб. пер. Механика, 1955, № 4.

105. Kawamura R., Kawada H. A study of the attenuation of shock waves due to obstacles in the passage. J. Phys. Soc. Japan, 1957. - Vol. 12, № 11.

106. Oppenheim A. K., Urtiew P. A., Laderman A. J. Vector polar method for the evaluation of wave interaction processes // Archivum Budowy Maszin. 1964. -t. 11, №3.-S. 441-495.

107. Oppenheim A. K., Urtiew P. A., Stern R. A. Pecularity of shock impingement of area convergence // Phys. Fluids. 1959. - Vol. 2, № 4. - P. 427431.

108. Rashleigh S. C., Marshall R. A. Electromagnetic acceleration of microparticles to high velosities // J. Appl. Phys. 1978. -V. 49. - P. 2540-2542.

109. Rudinger G. Passage of shock waves through ducts of variable cross section // Phys. Fluids. 1960. - Vol. 3, № 3/ - P. 449-455.