Переходные явления для вещественнозначных цепей Маркова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕНКИ А СИБИРСКОЕ ОТОЕНрт." ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи УДК .'519.217

КСПШЮВ Дмитрий Алексеевич

ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ДНЯ ВЕИ[ЕСТВГШ03НАЧ!ШХ ЦЕПЕи МАРКОВА

Специальность: 01.01.05 - тоория вероятностей н математическая статистика

Автореферат

д/зсертпдии на соискании ученой степени кандидата физи^о-математичеошх наук

Нпног.н^ирск -

Работа выполнена в Институте математики СО АН СССР

Научный руководитель: член-корр. АН СССР, доктор физико-математических наук, профессор А.А.Боровков

Официальные оппоненты: докгор физико-математических наук,

профессор В.М.Щуренков

кандидат'физико-математических наук доцент С.Г.Фосс

Ьедущая организация: Ташкентский государственной университет

Защита состоится " * 1990 г. в _ часов на

заседании специалипрованного Совета К 002.23.01 в Институте математики 00 АН СССР (630090, Новосибярск-'О, Университетский проспега, 4, Институт математики СО АН СССР).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института матем^ики СО АН СССР.

Автореферат разослан " "_ 1990 г.

Ученый секретарь-Специализированного совета кандидат физико-матеч. наук

t^j /'(^ Васильев

ОБЩАЯ .ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темы. В раооте изучаются яиле-нил, названные переходными, возникающие при изучении стационарных. вещественнозначных эргодических цепей Маркова, близких г известном смысле к неэргодическим и имеющим траектории, уходящие на бесконечность. При таком 1.лдходе удается построить приближения для стационарного распределения ц^-пей.

Пугтъ последовательно гь (по £ ) однородных

вещественнозначных цепей Маркова (поп. ). Основным объектом изучения в работе является инвариантная мера л. , соответствующая цепи {Хп!} • ^сли Цепи {Х^ } при Е->0 являются эргодическими, то речь идет, стало быть, об асимптотичоском поведении стационарного распределения цепей при Ь + О .

Мы предполагаем, что цепь {Х^'} при £>0 имеет единственную инвариантную меру. Это будет иметь место автоматически, если выполнены условия эргодичности цепей {Х^}, включающие в себя наличие "сноса" цепи в сторону некоторого компакта и условие перемешивания типа Дуба - Дёблина. В этом случае шее"' место сходимость по зариг щи распределения случайных величин

г у(£>1 ¿-б}, \ 1

(Ап./к л (• ) и единственность меры Л ( ) .

Найти стационарное распределение ЗХ.^ в явном виде в общем случае невозможно. Это удается .• тшь в очень немногих частных случаях. Однако, если рассматривать цепи, близкие в известном смысле к неэргодическим, то удается получить собирательные предельные теоремы о стационарном распределении (^ри некоторых условиях регулярности), позволяйте строить приближения для этих распределений.

Цель работы - построение приближений для стационарного распределения нагруженных (со средним сносом в -паленных точках, близким к нулю) вещественнозначных цепе" Маркова; провидение полной классификации переходных явлений для нагруженных цепе*' Марков .

Методика исследования. Основная методика исследования - это прямой математический анализ иссль/.-

ешх объектов, использование метода пробных функций (функций Ляпунова) и различных теорем о слабой сходимости распределений.

Научная н о л и з н а. Научные результаты, включенные в диссертацию, являются новыми, доказаны и получены автором самостоятельно.

Теоретическое и практическое значение. Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут применяться к описанию поведения ряда систем кассового обслуживания, находящихся в нагруженном состоянии.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на У Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике в 1989 году, на семинаре но теории вероятностей и математической статистике в Институте математики СО АН СССР.

II у б л и к а ц и н„ Постановки задач, основные результаты и частично доказательства содержатся в работах [Ц]-[14]. Работы являются совместными с А»А.Еоровковым и

Г.Файслем (Франция). При этом результаты, вошедшие в диссертационную работу, получены автором лично.

Структура и объем работы. Работа состоит из 9 параграфов. В первом параграфе содержится введение и формулировка десяти теорем. Параграфы 2-9 содержат доказательства теорем. ***

{с, СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

гуЩ 1 м

■ Пуст* ^л^ /а_0 последовательность (по В ) однородных, вещественнозначных цепей Маркова (по ) с переходной функцией

, , где (К - вещественная ось,

б" _ алгебра борелевсклх множеств. Основным объектом изучения в работе является инвариантная мера , соответствующая лепи[Ха} . т.е. мера, удовлетворяющая уравнению

Если цепи {Х^1} при £.>0 являются эргодическими, то речь идет, '¡тало бить, об ас..мптэтическом поведении стациоьарного ра^пре-де/чнш цепей {Х^1} при £¿0 . Везде нике предполагается, что

уравнение (1.0) при С > о имеет единственное решение. Кп;с уке отмечалось, ото будет иметь место автсмаигчески, если вкнолноны у&яошгя пргодичности цепей Л^* , включающие в себя наличие "сноса" цепи в сторону некоторого компакта (см. условие (1.6)) и условие перемешивания Дуба Дублина (см. (1.7)). В етом слу пе имеет место сходимость по вариации распределение п.,-)

;с Т/ ) и единственность ГЛ •).

НаЯтл стационарное распрзделе!ше в явном виде удается

лишь в очень немногих случаях. В обпем же случае это сделать невозможно.

Введем в рассмотрение семейство с.п. ¡¡<£)(х) , распреде-

V (с)

ление которых совпадает о распределением скачка цепи А п из состояния х :

Р{1Сс)(х)е&} х,&). (1.1)

Упомянутые условия рвгу^шряоетп связаны с нрелполокением о "погруженности" цепей Маркова X , означающим, что средни!! "снос"Х^ стремится к нуля:

ССт Е\и)(х)-0. (1.2)

£ {гО

При отом ми предполагаем, что имеет мс ,то "слабая непрерывность" переходного дггза (мп будем опускать индекс (0) у характеристик

предельной цегдг :

рЫ(х,.)'-*р(х0,-) С1.3)

при х ~> X, , £ I о для ВСЯКОГО ЗСо С; 1Я .

¡ли будем изучать асимптотическс поведение распределения

{ Ю к при некоторых моментнпх лредгго'. .пенкях относительно f , которне кзлагаптсл т:г:е. Бс.:к цепь Хп имеет шгвариантте распределение, то ото есть сада-„г, ели непробивной змяожостяЯ?"*** 'Я гт пара-

метра Е.^0 . Если цепь {Х^на имеет собственного инвариант ногораспределения (1X^1-^ 00 по вероятности при П-*«» ), то названная задача и является задачей о переходных явлениях, которые описывают асимптотическое поведение инвариантного распределения цепи и.

Работа построена таким образом, что теореш I - 9 и параграфы 2 - 8 посвящены подробному изучению переходных явлений для." цепей Маркова, принимающих значения на положительной полуоси. Это сделано потому, что изучение инвариантного распределения 1,эпей, заданных на всей действительной оси, во многом сводится к изучению их поведения на страдательной и положительной полуосях.

Итак, пусть Х^ У/О . Обозначим

Пг"(х)-Е ^(х) , Г (*) = £ (Л*))*. (1>4)

При изучении переходных явлений мы предполагаем поведение т(£'(х) ос) достаточно регулярным при , £¿0

В частности, ш предполагаем, что существует

кп('л.)-Х = IX , - Оо .< м < оо

ОС- '

0<6><°°, Хир6(х)<оо. (1.5)

х- Х л

Параметры ц. и В , х'рактеразущие асимптотическое поведение ' первых двух моментов скачков ароцесса, играют определяющую роль при классификации асимптотического поведения распределения

Я<£) . Они такие существенны дял -эргодичности цепи {Х^](см., например, [7]). Справедливо следущее утверждение. Обозначим

ТЕОРЕМА (С?]). Есди

при ОС >А ,

то ял-Р £'1Г х) <СХ1 (равномерная положительная возвратность

мноиества Со,АЗ) .

Как известно, равномерная положительная возвратно.гь [°»А} при широких предположениях влечёт за иобой эргодичноот цепи . HanpHN.jp, достаточно существования веролтностпй

мери ^ , числа с >о и натурального По £ 1 таких, что

Р{Х*.веВ/Х0»х}> с-»р(в) (1>7)

для всяких Х€[о;Л] и ве В([0,А1) (см. Гэ, ю] )

^ нашем случае (на положительной полуоси) выполнение г. ш невыполнение (1.6) определяется отношением 8 . Из сформулированного выше утверждения следует, что при 1 и п^и выполнении условия (1.7) цепь Х^ будет оргодической.

Мы рассматриваем такой тип зависимости Р (эс,-) от £ , (а, .

что ип (х/ характери?'гется отрицательным сносом -с по отношению к т,(х) , так что и цепи X^ эрго-

дичны при £>0 и при выполнении условия (1.7). Более точно, мы предполагаем, что

гп.(Ч(х)--£+Р/х+° ( 'Дзс + Е), х-»<*>, ,

^ип. Ь^зс) = б, о<8<°° . л.8)

Частным случаем та"ой схемы серий является последовательность Л а. , которая задается равенс-чом Лц+| 1ла • гДе

пред-\яыше теоремы для случайного блуждания этого лда (в том числе для стационарной метрически транзитивной последователь-

нос-и ) рассмотр ны в [I - 4 , 8] (в этом случае- /•». = 0). Прежде чем формулировать теоремы, напомним общие для них

уело виг: цепи однородны, им ют п^>! £>0 единственное

инвариантное распределение и переходное ядро удовлетворяет условию непрерывности (1.3). Кроме то:э, в утверждениях, в которых не иг.у т места устойчивость и инвариантно" рг ¡лрнделзние уходит на бесконечность при £-10(п теоремах 2, "1, 6, 8-10 и

частичго в теоремах 3 и 4), предполагается, что переходное ядро удовлетворяет следующему условию: для всякого компакта Щ и существует натуральное такое, что

|р{\п ^К/Хо-Х}>0. (1.9)

О

В теоремах 1~9 цеп: Х^ принимают значения в 1К+-[о,|*>/.

ТЕОРЕМА I (устойчивость, ). Пусть шеи место

асимптотические представле.шя (1.8) и, кроме того, равномерно по "X и С. интегрируем:

(1.10)

при N . Тогда, о ели Яр-<-В и цепь (Ха} имеет единственное инвариантное распределение Я , то имеет место непрерывная згчисимость инвариантного распределения }Т(£' цепи {Х^}от параметра £ . , т.е. 31(е>=£>5С при .

ЗАМЕЧАНИЯ. Для того, чтобы в условиях теоремы I предельная цепь {Хп.}имела единственное инвариантное распределение, достатс шо, чтобы для I эё было выполнено условие (1.7). Отметил, что теорема I явля, гея следствием теоремы устойчивости 7.

В дальнейшем изучение асимптотического поведения пр.водится не в терминах самого этого распределения, а в терминах случайных величин X ' , имеющих соответствующее (ь)

распределенат 5Г . При этом символ сл^боГ сходи-

мооти распределений мы используем не только для распределений, но И'Д^я случайных величин. Например, запись X ^ X означает, что ТГ'^Я* . Кроме "ого, если речь идет о сходимости распределения последовательности случайных величин к распределению Р , то это записывается в виде Р (здесь правая ь левая час""! разнородны), так что, например, в условиях тео-

ремг I имеет ме^то ^ходимость X & К

ТЕОРЕМА 2 (сходимость к Г-расп^еделению; -6 ). Пусть

имеет место асимптотические п^ оставления (1.8), условие (1.9)

и, кроме того, с.в. равномерно по X и 6 интегрируемы:

а

(1.4)

при Л/-» оэ . Тогда, если >гц > б , то при 6.^0 имеет место сходимость

2-е X г</ё>«-гнв ,

где П' л ~ гамма-распределение с параметрами Л , ^ , ТЕОРЕМА 3 (критический случай, 2р. =-8 ). Пусть

0(Уи +&) (1.12)

при ОС-»00 , & . Кроме того, пусть выполнено условие

^ Е (1лз)

для некоторого £ >0 . Пусть . Тогда

а) если 2А+р <-8 и цепь {Х^}имеот единственное инвариантное распределение, то имеет место устойчивость инвариантного распределения, т.е. при ФО ;

б) если 2сС+£>-6 и выполнено условие (1.9), то при ¿№ имеет место сходимость

. (^М/^'^'Чисо,,]

где X/С°,О - равномерное на lO.11 распределение.

Результаты, относящиеся к пучаю ¿оир^-б , оставленному вне рассмотрения в теореме 3, приводятся в следуг цей теореме 4. Предварительно введем обозначения дтя повторных ~ога~ифмоз

ТЕОРЕМА 4 (полная классификация критического случая, ). Пусть 1 <К <оо и

э

+ /№)'• ■•• + 6 ( £+ Ч*-*м*')'

Лх; = 6+^/£1(х)ч-...+

(1.14)

при Х->«*> > £4/0 _ Кроме того, пусть выполнено условие

(1.13). пусть 2^--6 , = , ... .го^+д^-ь.

Тогда

а) если и цель {Х^} имеет единственное

инвариантное распределение, то имеет место устойчивость инвариантного расиреде ~ения К при £-^0 ;

0) ес^и и выполнено услс зие (1.9), то при

£4-0 имеет место сходимость

^АМЕЧАНИЯ. Чтобы в теоремах 3 и 4 в случаях а) предельная цепь {Хц.}имела инвариантное'распределение, достаточно, чтобы было выполнено условие (1.7).

Следующие тзореш 5 и 6 описывают асимптотическое поведение X в регулярном случае, относящемся к единственно не рай смотренном1' значению параметра р- =;00 (случай вкл»,

чается в условия теоремы 7 (о.общение теораш I)).

ТЕОРЕМА 5 ( ). Пусть

т.(£)(х\ + + , = (1Л5)

при Х-1»»- , £¿0 , где функция удовлетворяет следу,

щкм условиям ^все сходимости и асимптотики имекя место при

¿0, (1.16)

(1.17)

.о

функции 1/Ш) и эс- вогнуты, (1.18)

оМх/Я(х))%0, (1.19)

.х-ПЫ/Ш+с, (1т20)

Пусть, кроме того, выполнены условия (1.9) и (1.11). Тогда при £10 справедливо соотношение

»■СЕХ«")-« " (1.2П

Более того, если С^О , то при ЫО

^ Л (1.22)

Если же , то условия (1.16)-(1.20) не влекут, вообще

говоря, существования функции ЧЧ6-) такой, что Е X^ —'Н" при £40 . Пусть, кроме перечисленных, выполнено услог'<е

-хгГ(х)//1(х)->сг

Тогда, если с , то при £4-0 имеет место сходимость

(1.24)

Более того, еслл 1 то при С-^О имеет место

сходимость

Если же 0^=0 , то слабой сходимости типа Х^ • ^^ при 6.4гО и при подходящей нормировке Н^) может и не быть.

¡ЧАНИН. Условиям тео

ЗАМЕЧАНИЯ. Условиям теоремы удовлетворяют, в частности, функции

А с

где

либо >Ф, О и Лое1Д , ли"о А-0 и А0<о

*) означает, что •

либо А-4 и Хс >0 . При доказательстве теореш показывается, что с нр^бходимостью имеет место неравенства -1<С <0 и равенство С-^С^-с.,).

Следукшая теорема 6 усиливает теореодг 5 в с.г7чае, когда

х~А, о<\<-1.

ТЕОРЕМА 6 (сходимость к нормальному затону, °° ).

Пусть

при х-*00 ( £40 # Тогда, если «с>0 , 0<*<1 , то в: и I \,/х

при £-40 и имеет место сходимость

где )— нормальное распределение с параметрами , £ ,

ЗАМЗЧАНИь. Если остаточнып члены в асимптотическом представлении (1.26^ имеют вид

О к'*"") „

(1.29)

при Х-»оо > , то сходимость (1.28) мокет и не иметь

ме- та.

Теор ка устойчивости 7 является обобщением теорамы I. ТЕОРЕМА 7 (устойчивость). Пусть

е^х кср [(гх^(х) + 8(е'(х;)]<0,

(1.30)

Пусть, кроме того, выполнено одно из двух условий: I) условие (1.10), либо

2) дСхдКс+х^^ (1.31)

где £ >0( с<«> , й(х,£)<со , при ОС-*«",

¿40 • тогда, если цепь имеет единственна1? инвариантное распределение, то имеет место непрерывная зависимость инвариантного распределения ЗГ^' цепи от параметра Е : при £.40 .

ЗАМЕЧАНИЕ. В § 2 работы показано, что условия I) и 2) близки к неулучшаемым.

Теоремы 1-7 дают искомую классификацию предельного поведения инвариантного распределения цепей Маркова {.Х^ }на полупрямой при £^'0 , Они могут применяться, в частности, для описания поведения ряда систем массового обслуживания, находящихся в нагруженном состоянии.

В теоремах 8 и 9 при дополнительных минимальных условиях устанавливается схо;.дмость к Г-распределзнию с моментами, в том числе экспоненциальными, и оценивается скорость сходимости к Г-распределению. Запись Iя Р огчачает, что с.в. имеет распределение Р .

ТЕОРЕМА 8 (сходимость к Г-распределению с моментами). Пусть выполнены условия теоремы 2 и, кроме того, моменты порядка с.в. равномерно по х и £ интегрируем

ш {(^(х))^'-, $(а(х)>М}~*0 (1.32)

при . Тогда при ЫгО ,

Если, кроме того, для (^(х)^ выполнено равномерное условие Крамера ( <Р>0 )

(1,34)

то при £4-0 , "Ь < 6 имеет место сходимость экс юнен хиалъ-них моментов •

(ь35)

ТЕОРЕМА 9 (скорость сходимости к Г-распределению). Пусть г.ъ£,(х) = + е^/х1 + е1),

- 6 + 0(</х*-£) (1.36)

при X.-»00 , . Кромо того, пуоть выполнено условие

(1.9)

(1.37)

Тогда при 8 + 0 , ДО*"1 имеет местг следующая оценка равномерной нормы мекду распределением с.в. 2£ и с.в.

^о1(Р{г^Х^<х}-(Р{г<х}| Ш) (1<38)

Если ке , то при £<-0 и любом фиксирован-

ном £>0

ЗАМЕЧАНИЕ. ?.'ы лредполатаем, что неулучшаемой в теореме 9 является сценка

4

при . К>0 , И

при 6.^0 . < Р- ^ О . мы дог взываем, что существует константаСКС. °о такая, что

при произвольном р- > - 6/2. .

Теоремы 1-9 посвящены изучению переходных явлений для цепей Маркова, принимающих значения в . Достаточно подробное описание этих явлений дает нагл возможность рассмотреть цепи Маркова на .всей действительной оси. Следующая, посади.л, теорема 10 приводит краткую классификацию переходных явлений на действительной оси.

ТЕОРЕМА 10. Пусть гти|х)=+ {Ч/ос + о('/х+ %(£)) 1 + 0(1) (Ь43)

при , ею , где 4^(9 ^0 , и

тЛ^У-^П1-/^' , Л/ = &_+ о(0 (1.44)

при , & ¿0 , гда. 'У-(£) ^ О . Кроме того, пустх.

вшолнено условие (1.9) и с.в. равномерно по X и Е

интегрируемы:

(1.45)

при ^ . Пусть С. < и\

* ^0<р (1.46)'

Тогда .

I. Если гттл^СО2^1-, <О и цель {Х^} имеет единственное инвариантное распределение, то имеет место устойчи-

(9 г'

вость инвариантного распределения по параметру £ : Л" Л-при £ IО

II. Если 2.^>0 , то при

И /е)<0)-»0, (1.4?)

^VÍ^^F^^^ . (1.48)

III. Если mÍA\ (b_ + ifí-, б*.-* >0 , то имеют копт о vcyicm.ue сходимости

Ь^Ч^^ЧЧв^ (1.49)

при 6.^0 , 0 4х<оо , и

1P{2.SWE)X<£U/X(I,<0)^Í>{X-<X}( l-£f\i1+t/ML (1.50)

прл tio ,-eo<x<0 . Пусть, кроме того, о,в. равномерно по X 'и t ограничен

PU'sVULb« (I.5I)

где ¿■><L<°° . Тогда

а) если 2./u/g_ < ¿p^/g^ < и Cz < од , то имеет место сц? пса

íipr C-i'O для любого £>0 ;

б) если Zf-H/i^ < ZjWft <( и ci>0 то имеет место оценка

(1>{ х >°] = 0(4>+ (L)) (1.53)

при Lio для лг 'ого <£>0 ;

в) если гН-/в_в2-Р+/£>+ И (ХС^С^со , то мло-

кзстес предельных точек (т.е. множество частичных пределов) чи-лойс? последовательности может совпадать с

OTP-drtC.V Со, 1 ] .

3ní '.ЧАЛИЛ. На ограничились лишь случаями устойчивости и "хсдимост? I-распределению ввиду больного числа случаев соча-

16

тания предельного поведения инвариантного распределения на отрицательной я поло?штельной полупрямых. В силу .7"нкга III. а) мы видим, что если , то собирательны*. тзоремы

для распределения с.в. не существуют. Случаи г

нами не рассмотрены также по причине болъг^го чгела вариантов (налшмер, мокно рассмотреть случаи

Утверждения теорем I, 2 и частично теоремы 3 (случай ^ ) для цепей Маркова, принимающих неог^ицятелыше целые значена, прлучены в {ДО , II]. При этом а теорема I вм-зсто условия (1.10) предполагалось выполнимым условие (1.13). Аналоги теорем 3 и 6 (также для неотрицательных, целочисленные цепей) приведены без доказательства в (12 , 13].

Автор приносит глубокую благодарность Александпу Алексеевичу Боровкову за, предложенное направление исследований и иш-мание к работе. .

Л, и т 9 р а т у р а

1. Боровков А.А. Вероятностные процесса в теории массового обслуживания. - М.: Наука, 1972.

2. Боровков А.А. Некоторые предельные теоремы теории массового обслуживания. 1//Теория вероятностей и ее приложения.-1Э64, Т. 9, № 4, - С. 608-625.

3. Прохоров Ю.В. Переходные явления в процессах массового обслуживания//Литовский мат'ем. сборник. - 1963, т. 3, J£ I -

С. 199-206.

4. Kingrsan J,i?.G. On queues in heavy traffLc//J.R, Statist. Зое. Sor. В.- 1962, v. 24, p. 383-392.

5. Kingman J.P.O. Tha ningle oervor queue in heavy traffic// Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1961, v. 57, p. 9C2-904.

6. Lamperty J. Criteria for tho recurrence or tranuionoa of otochaatic ргосезвеа. 1 J/3. Math. Anal. Appl. •• 1960, v, 1, p. 314-330.

I, Tweodie R,L. Criteria юг classifying general Markov ohainaZ/Adv. Appl. Probab. - 1Э70, v. 8, p. 736-771.

£. Szczotka V». Lvcponontial approximation of waiting time and queue oizo for queues in heavy traffic//Adv. Appl. Prob. - 1990, v. 22, p. 230-240.

( 9. f.tL.-oya K.B., Key P Tlie limit theory of recurrent Markov ohnin8//Trana. Amer. blath. Soc. - 1978, v. 245» p. 493-501•

10. Борозков А.А. Эргодичность и устойчивость многомерных цепей Маркова/Деория Еоролт. и ее примен., 1990, т. 35, К 3, С. 543-^47.

/аЙоте автора по те:л а диссертации

II. Borovkov A.A., I'ayolle G,, Korahunov D.A. Tranoient plmnomanp. for liarkov chains and thoir applicationa//RapportB do ilocherto, IKIA, Fmnce, 1990, ?5 p.

1?. BorovUov K.A., Fnyolle G., Koruhunov D.A. Tranoient phenomena for Markov chains and their applications//Adv. Appl. P"ob,, (to ai.-ear).

13. Korahunov D.A. Transient phenomena for Markov ohaiha Б М(,кдуняроднак Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике. - Вильнпс, 1989, С. 272-273.

14. Коршунов Д.А. Переходные явления для вещественнознач-1шх цопей Ларкова//Теор1:я верояг. и ее примен., 4 с.(в печати).

Я.)дп2оано в печать 22. 10. 90 г.

Формат бумаги 30x84 I . Объем 1,15 п.л. Уч.-изд. л. I L„eiL7aT!<c. Рлрах 100 экз. С^кпз Г 315

Отпеч'таж. на ротаприкте Института математики СО A3! СССР 630090, Новосибирск - 90, Университетский проспект, 4