Оценки устойчивости стохастических моделей систем взаимодействующих частиц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Обзор основных результатов по оценкам устойчивости марковских процессов и моделированию систем взаимодействующих частиц.

1.1. Неравенства доя возмущенных марковских процессов.

1.2. Оценки устойчивости стационарных распределений конечных цепей Маркова с дискретным временем.

1.3. Модели химических и молекулярнобиологических систем

Глава 2. Оценки устойчивости конечных однородных цепей Маркова с непрерывным временем.

2.1. Устойчивость на конечном интервале времени.

2.2. Устойчивость на бесконечном интервале времени.

2.3. Предельная устойчивость . л

Глава 3. Связь устойчивости цепей Маркова с их характеристиками

3.1. Устойчивость и элементы инфинитезимальной матрицы.

3.2. Устойчивость и собственные значения инфинитезимальной матрицы.

3.3. Частные случаи диагонализуемой инфинитезимальной матрицы

3.4. Сингулярно возмущенные цепи Маркова.

Глава 4. Исследование стохастических моделей химических реакций

4.1. Марковские модели образования и распада бинарных комплексов

4.2. Общие альтернирующие процессы восстановления.

4.3. Моделирование молекулярных систем с использованием альтернирующих процессов восстановления.

4.4. Исследование точности оценок устойчивости цепей Маркова

Рассматриваемые в диссертационной работе системы взаимодействующих частиц являются подклассом дискретных систем со стохастическим характером эволюции, определяемым случайными процессами взаимодействия элементов этих систем между собой и с окружающей средой. Использование для элемента систем этого подкласса названия «частица» обусловлено спецификой элементов и процессов их взаимодействия. Несмотря на различие физической природы, происхождения и масштабов систем взаимодействующих частиц, существенным является то, что используемые для исследования этих систем математические модели основаны на результатах теории вероятностей и теории случайных процессов. Значительный вклад в разработку и анализ стохастических моделей систем взаимодействующих частиц внесли отечественные ученые: А. Н. Колмогоров, Н. Н. Боголюбов, Б. А. Севастьянов, М. А. Леонтович, Р. Л. Добрушин, В. А. Ватутин, В. П. Чистяков. Среди зарубежных ученых необходимо отметить существенный вклад в развитие этого научного направления таких ученых, как А. Реньи, Т. Харрис, П. Уиттл, Т. Куртц, К. В. Гардинер, Н. Г. Ван Кампен, Я. Тот.

Весьма эффективными математическими моделями систем этого класса являются цепи Маркова с непрерывным временем, в частности, конечные однородные цепи Маркова, важным свойством которых является то, что их поведение полностью определяется инфинитезимальными матрицами и начальными распределениями. При использовании цепей Маркова в качестве моделей, как правило, возникает и требует решения общая для математического моделирования проблема оценки влияния на характеристики моделей точности значений задаваемых параметров моделей. Эта проблема приобретает особую важность в случаях, когда задана необходимая точность определения характеристик моделей, а значения параметров моделей формируются на основе экспериментальных данных и имеют определенную погрешность. С другой стороны, задавая в модельной цепи Маркова значения некоторых параметров очень малыми или, наоборот, очень большими, можно рассматривать модельную цепь как возмущенную по отношению к другой цепи Маркова, имеющей, возможно, более простую структуру. Поэтому проблема получения оценок чувствительности характеристик цепей Маркова к возмущениям является актуальной, и ее решение не только представляет теоретический интерес, но и имеет практическое значение для исследования дискретных стохастических систем методами математического моделирования при использовании в качестве моделей цепей Маркова. Решению задач оценки устойчивости стохастических моделей посвящены работы таких ученых как В. М. Золотарев, В. В. Калашников, В. В. Анисимов, Н. В. Карташов, П. Швейцер, К. Мейер, С. Киркланд, Ю. Сенета.

В основу диссертации положены результаты научных исследований, выполненных автором в Саратовском государственном университете. Часть включенных в диссертацию результатов получена автором в качестве соисполнителя НИР по включенной в план НИР СГУ теме «Разработка и применение фундаментальных методов исследования задач математического анализа, дифференциальных уравнений, дискретной математики, теории упругости и газодинамики» (шифр «Интеграл», гос. per. № 0120002986).

Целью диссертационной работы является получение оценок устойчивости марковских моделей систем взаимодействующих частиц и исследование связи устойчивости с характеристиками моделей.

В качестве иллюстрации аспектов практического приложения полученных оценок устойчивости моделей в диссертации рассмотрены известные модели процесса образования и распада бинарных комплексов, являющегося довольно распространенным типом химических реакций. Выбор в качестве примера этих моделей обусловлен тем, что прогресс в понимании природы микромира в последние десятилетия, появление инструментальных средств исследования химических процессов на молекулярном уровне привели к необходимости при моделировании химических систем учитывать дискретную структуру вещества и случайный характер молекулярных взаимодействий. Поскольку в основе процессов, протекающих в живых организмах, лежат химические реакции, стохастические модели систем взаимодействующих частиц находят применение в биохимии и молекулярной биологии. В частности, показано, что в такой важнейшей области молекулярной биологии, как моделирование генетических сетей, учет случайного характера молекулярных взаимодействий существенно необходим. Другим примером биомолекулярных систем со стохастическим характером эволюции являются ионные каналы.

Основными задачами, решаемыми в диссертации, являются следующие.

1. Получение оценок устойчивости к возмущениям инфинитезимальной матрицы и начального распределения для распределений конечных однородных цепей Маркова с непрерывным временем.

2. Исследование связи устойчивости цепей Маркова с их характеристиками.

3. Применение полученных результатов для исследования конкретных систем взаимодействующих частиц.

При исследовании использовались методы и результаты теории вероятностей, теории случайных процессов, теории цепей Маркова с дискретным и непрерывным временем, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории матриц.

Основными результатами диссертации являются следующие.

1. Получены оценки устойчивости к возмущениям инфинитезимальной матрицы и начального распределения для распределений конечных однородных цепей Маркова с непрерывным временем.

2. Исследована связь устойчивости цепей Маркова с их характеристиками.

3. Проведен анализ некоторых стохастических моделей химических реакций как возмущенных цепей Маркова.

Постановка задач, методы решения и полученные результаты являются новыми.

Практическая значимость результатов состоит в возможности их использования для исследования устойчивости моделей конкретных реальных систем, когда в качестве моделей используются конечные однородные цепи Маркова с непрерывным временем. Примеры систем, эффективными моделями которых являются цепи Маркова, достаточно часто встречаются в физике, химии, биологии, теории массового обслуживания.

Результаты диссертации опубликованы в работах [28-35]. Результаты докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теории вероятностей и математического моделирования Саратовского государственного университета, на Международной конференции студентов и аспирантов по 5 фундаментальным наукам «Ломоносов» (Москва, 2000), Первом и Втором Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Петрозаводск, 2000; Самара, 2001), представлены и обсуждались на Восьмой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Йошкар-Ола, 2001).

Результаты диссертационной работы получены автором самостоятельно.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем диссертации - 109 страниц. Диссертация содержит 5 таблиц. Список литературы включает 93 наименования.

Заключение

В работе исследуется устойчивость стохастических моделей систем взаимодействующих частиц. Целью работы является получение оценок устойчивости таких моделей, а также исследование связи устойчивости с характеристиками стохастических моделей. При решении поставленных задач используются методы теории вероятностей, теории случайных процессов, теории цепей Маркова, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории матриц. В качестве моделей систем взаимодействующих частиц используются конечные однородные цепи Маркова с непрерывным временем. В работе получены следующие основные результаты.

1. Получены равномерные на конечном и бесконечном интервалах времени оценки расстояния по вариации между распределениями возмущенной и невозмущенной конечных однородных цепей Маркова с непрерывным временем. Показано, что данные оценки имеют большую общность и точность по сравнению с известными оценками.

2. Для конечной однородной цепи Маркова с непрерывным временем, имеющей единственное стационарное распределение, получен ряд оценок предельной устойчивости, различающихся по точности и требуемому объему вычислений.

3. Установлена связь между устойчивостью конечной однородной цепи Маркова с непрерывным временем, числом ее состояний, скоростью сходимости к стационарному распределению и устойчивостью собственных значений инфинитезимальной матрицы.

4. Получены равномерные на бесконечном интервале времени оценки скорости сходимости для сингулярно возмущенных цепей Маркова с использованием полученных оценок устойчивости распределения цепи Маркова к возмущениям.

5. Проведен анализ квадратичной и линейной стохастических моделей процесса образования и распада бинарных комплексов. Показано, что линейная и квадратичная модели являются соответственно регулярно возмущенной и невозмущенной цепями Маркова. Получены оценки близости распределений этих цепей.

6. Построена стохастическая модель систем взаимодействующих частиц, являющаяся обобщением процесса Прандивилля. Для этой модели получены выражения для вероятностей состояний и доказан функциональный закон больших чисел. Предложен способ применения данной модели для моделирования химических реакций с непрерывным распределением констант скорости.

Полученные в работе результаты являются новыми и могут быть использованы при решении задач анализа устойчивости стохастических систем, математическими моделями которых являются конечные однородные цепи Маркова с непрерывным временем.

Выражаю глубокую благодарность научному руководителю профессору В. П. Михайлову за руководство ходом исследований и консультации, а также искренне благодарю сотрудников кафедры теории вероятностей и математического моделирования Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского за ценные замечания, сделанные при обсуждении результатов на научных семинарах кафедры.

1. Албертс Б., Брей Д., Льюис Дж. и др. Молекулярная биология клетки /Пер. с англ. М.: Мир, 1994. Т. 2. 539 с.

2. Анисимов В. В. Оценки отклонений переходных характеристик неоднородных марковских процессов // Украинский математический журнал. 1988. Т. 40. № 6. С. 699-704.

3. Анисимов В. В. Случайные процессы с дискретной компонентой. Предельные теоремы. Киев: Вища школа. Изд-во при Киев, ун-те, 1988. 184 с.

4. Анисимов В. В., Таиров М. Ф. Оценки сближения переходных характеристик марковских цепей // Тез. докл. IV Между нар. конф. по теории вероятностей и мат. статистике. Вильнюс, 1985. Т. 1. С. 28-29.

5. Бартлетт М. С. Введение в теорию случайных процессов /Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1958. 384 с.

6. Ю. П. Бибиков. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк, 1991. 303 с.

7. Ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии /Пер. с англ. М.: Высш. шк., 1990. 376 с.

8. Варфоломеев С. Д., Гуревич К. Г. Биокинетика: практический курс. М.: ФАИР-ПРЕСС, 1999. 720 с.

9. Васильева А. Б., Бутузов В. А. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. 106 с.

10. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.319 с.

11. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

12. Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках /Пер. с англ. М.:Мир, 1986. 528 с.

13. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические методы в теории надежности. М.: Наука, 1965. 524 с.

14. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. /Пер. с англ. М.: Мир, 1999. 548 с.

15. Гуревич К. Г. Вероятностное описание системы «рецептор-л иганд» // Биофизика. 1999. Т. 44. Вып. 6. С. 1022-1026.

16. Гуревич К. Г., Варфоломеев С. Д. Вероятностное описание лиганд-рецепторного взаимодействия. Оценка достоверности событий с малыми и сверхмалыми дозами. I. Кинетика лиганд-рецепторного взаимодействия // Биохимия. 1999. Т. 64. Вып. 9. С. 1233-1244.

17. Гуревич К. Г., Матвеев В. Ф. Уравнение Бейли для производящей функции однородного марковского процесса и его применение // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8. Вып. 1. С. 42-51.

18. Жакод Ж., Ширяев А. Н. Предельные теоремы для случайных процессов /Пер. с англ. М.: Физматлит, 1994. Т. 1. 544 с.

19. Карташов Н. В. Неравенства в теоремах эргодичности и устойчивости цепей Маркова с общим фазовым пространством. I // Теория вероятностей и ее применения. 1985. Т. 30. Вып. 2. С. 230-240.

20. Карташов Н. В. Неравенства в теоремах эргодичности и устойчивости цепей Маркова с общим фазовым пространством. II // Теория вероятностей и ее применения. 1985. Т. 30. Вып. 3. С. 478-485.

21. Карташов Н. В. Сильно устойчивые цепи Маркова // Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара. М.: ВННИСИ, 1981. С. 54-59.

22. Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова /Пер. с англ. М.: Наука, 1970. 272 с.

23. Кокс Д. Р., Смит В. Теория восстановления /Пер.с англ. М.: Сов. радио, 1967. 300 с.

24. Ланкастер П. Теория матриц /Пер. с англ. М.: Наука, 1978. 280 с.

25. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. М.: Наука, 1981. 384 с.

26. Лоэв М. Теория вероятностей. /Пер. с англ. М.: Издат. ин. лит., 1962. 720 с.

27. ЛьюинБ. Гены /Пер. с англ. М.:Мир, 1987. 544 с.

28. Митрофанов А. Ю. Неравенства для возмущенных цепей Маркова // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8. Вып. 1. С. 271.

29. Митрофанов А. Ю. О стохастической модели одной химической реакции // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2000. Вып. 2. С. 75-78.

30. Митрофанов А. Ю. Стохастическая модель взаимодействия рецеп-тор-лиганд в условиях равновесия. Сарат. гос. ун-т, Саратов. 1999. 17 с. Ден. в ВИНИТИ 04.06.99 № 1781-1399.

31. Митрофанов А. Ю. Стохастическая модель реакции А+В<->АВ // Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов». М.: Изд-во МГУ. 2000. Вып. 4. С. 159.

32. Митрофанов А. Ю. Стохастическая модель химической реакции с участием трех реагентов, протекающей при избытке одного из реагентов И Обозрение прикладной и промышленной математики. 2000. Т. 7. Вып. I. С. 192-193.

33. Митрофанов А. Ю. Количественные оценки устойчивости для цепей Маркова с непрерывным временем // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8. Вып. 2. С. 792.

34. Митрофанов А. Ю. О цепях Маркова, зависящих от параметра // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2001. Вып. 3. С. 84-86.

35. Митрофанов А. Ю. Стохастические марковские модели процесса образования и распада бинарных комплексов // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. № 9. С. 101-109.

36. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973. 496 с.

37. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. /Пер. с англ. М.: Мир, 1980. 456 с.

38. Уолрэнд Дж. Введение в теорию сетей массового обслуживания. /Пер. с англ. М.: Мир, 1993. 335 с.

39. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. /Пер. с англ. М.: Мир, 1984. Т. 2. 738 с.

40. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ /Пер. с англ. М.:Мир, 1989. 655 с.

41. Чжун Кай-лай. Однородные цепи Маркова /Пер. с англ. М: Мир, 1964. 428 с.

42. Aldous D. Deterministic and stochastic models for coalescence (aggregation, coagulation): a review of the mean-field theory for probabilists // Bernoulli. 1999. Vol. 5. P. 3-48.

43. Arakelian V. В., Wild J. R., Simonian A. L. Investigation of stochastic fluctuations in the signal formation of microbiosensors // Biosensors and Bioelec-tronics. 1998. Vol. 13. P. 55-59.

44. Ball F. G., Milne R. K., Yeo G. F. Stochastic models for systems of interacting ion channels // IMA J. Math. Appl. Med. Biol. 2000. Vol. 17. P. 263-293.

45. Ball F., Yeo G. Superposition of spatially interacting aggregated continuous time Markov chains // Method. Comput. Appl. Prob. 2000. Vol. 2. No. I. P. 93-116.

46. Blumenfeld L. A., Grosberg A. Yu., Tikhonov A. N. Fluctuations and mass action law breakdown in statistical thermodynamics of small systems // J. Chem. Phys. 1991. Vol. 95. No. 10. P. 7541-7547.

47. Bruni C., Giovenco M. A., Koch G., Strom R. A dynamical model of humoral immune response // Math. Biosci. 1975. Vol. 27. P. 191- 211.

48. Bruni C., Giovenco M. A., Koch G., Strom R. Modeling of the immune response: a system approach // Theoretical Immunology. New York: Marcel Dek-ker, 1978. P. 379-414.

49. Cho G. E., Meyer C. D. Comparison of perturbation bounds for the stationary distribution of a Markov chain // Linear Algebra Appl. 2001. Vol. 335. P. 137-150.

50. Cho G. E., Meyer C. D. Markov chain sensitivity measured by mean first passage times // Linear Algebra Appl. 2000. Vol. 316. P. 21-28.

51. Courtois P. J. Decomposability: queueing and computer system applications. New York: Academic Press, 1977.196 p.

52. Courtois P. J. Error analysis in nearly-corapletely decomposable stochastic systems // Econometrica. 1975. Vol. 43. No. 4. P. 691-709.r

53. Erdi P., Toth J. Mathematical models of chemical reactions. Theory and applications of deterministic and stochastic models. Manchester: Manchester Univ. Press, 1989. 259 p.

54. Funderlic R. E., Meyer C. D. Sensitivity of the stationary distribution vector of an ergodic Markov chain // Linear Algebra Appl. 1986. Vol. 76. P. 1-17.

55. Gueron S. The steady-state distribution of coagulation-fragmentation process // J. Math. Biol. 1998. Vol. 37. P. 1-27.

56. Haviv M., Van der Heyden L. Perturbation bounds for the stationary probabilities of a finite Markov chain // Adv. Appl. Probab. 1984. Vol. 16. P. 804— 818.

57. Haviv M. On censored Markov chains, best augmentations and aggrega-tion/disaggregation procedures // Computers & Operations Research. 1999. Vol.26. P. 1125-1132.

58. Hunter J. J. A survey of generalized inverses and their use in stochastic modelling // Res. Lett. Inf. Math. Sci. 2000. Vol. 1. P. 25-36.

59. Ipsen I. C. F., Meyer C. D. Uniform stability of Markov chains // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1994. Vol. 15. P. 1061-1074.

60. Jeon L Existence of gelling solutions for coagulation-fragmentation equations // Commun. Math. Phys. 1998. Vol. 194. P. 541-567.

61. Kim S. K. Mean first passage time for a random walker and its application to chemical kinetics // J. Chem. Phys. 1958. Vol. 28. No. 6. P. 1057-1067.

62. Kirkland S. J., Neumann M., Shader B. Application of Paz's inequality to perturbation bounds for Markov chains // Linear Algebra Appl. 1998. Vol. 268. P. 183-196.

63. Kurtz T. G. Solutions of ordinary differential equations as limits of pure jump Markov processes // J. Appl. Probab. 1970. Vol. 7. P. 49-58.

64. Kurtz T. G. Limit theorems for sequences of jump Markov processes approximating ordinary differential equations // J. Appl. Probab. 1971. Vol. 8. P. 344-356.

65. Lesanovsky A. Coefficients of ergodicity generated by non-symmetrical vector norms // Czechosl. Math. J. 1990. Vol. 40. P.284-294.

66. Li Y., Yeo G. F., Milne R. K., Madsen B. W., Edeson R. O. Burst properties of a double-barrelled chloride ion channel // Math. Biosci. 2000. Vol. 166. P. 23-44.

67. Louchard G., Latouche G. Geometric bounds on iterative approximations for nearly completely decomposable Markov chains // J. Appl. Probab. 1990. Vol.27. P. 521-529.

68. Massey W. A., Whitt W. Uniform acceleration expansions for Markov chains with time-varying rates // Ann. Appl. Probab. 1998. Vol. 8, No. 4. P. 1130— 1155.

69. Meyer C. D. Sensitivity of the stationary distribution of a Markov chain // SLAM J. Matrix Anal. Appl. 1994. Vol. 15. P. 715-728.

70. Meyer C. D. The condition of a finite Markov chain and perturbation bounds for the limiting probabilities if SLAM J. Algebraic Discrete Metli. 1980. Vol. l.P. 273-283.

71. Meyer C. D. The role of the group generalized inverse in the theory of finite Markov chains // SIAM Rev. 1975. Vol. 17. P. 443^64.

72. Pollett P. K., Vassallo A. Diffusion approximations for some simple chemical reaction schemes // Adv. Appl. Probab. 1992. Vol. 24. P. 875-893.

73. Renyi A. A discussion of chemical reactions using the theory of stochastic processes // Selected papers of Alfred Renyi. 1976. Vol. 1. P. 367-380. (Translated into English from MTA Alk. Mat. Int. Kozl. 1953. Vol. 2. P. 83-101.)

74. Rosenthal J. S. Convergence rates of Markov chains // SIAM Rev. 1995. Vol. 37. P. 387-405.

75. Schweitzer P. J. Perturbation series expansion for nearly completely decomposable Markov chains // Teletraffic analysis and computer performance evaluation. Elsevier (North-Holland), 1986. P. 319-328.

76. Schweitzer P. J. Perturbation theory and finite Markov chains // J. Appl. Probab. 1968. Vol. 5. P. 401^113.

77. Seneta E. Perturbation of the stationary distribution measured by ergodic-ity coefficients//Adv. Appl. Probab. 1988. Vol. 20. P. 228-230.

78. Seneta E. Sensitivity analysis, ergodicity coefficients, and rank-one updates for finite Markov chains // Numerical solution of Markov chains. New York: Marcel Dekker, 1991. P. 121-129.

79. Seneta E. Sensitivity of finite Markov chains under perturbation // Stat. Probab. Lett. 1993. Vol. 17. P. 163-168.

80. Seneta E. Sensitivity to perturbation of the stationary distribution: some refinements // Linear Algebra Appl. 1988. Vol. 108. P. 121-126.

81. Shardlow T., Stuart A. M. A perturbation theory for ergodic Markov chains an application to numerical approximations // SIAM J. Numer. Anal. 2000. Vol. 37. No. 4. P. 1120-1137.

82. Stewart G. W. Gaussian elimination, perturbation theory and Markov chains // Linear algebra, Markov chains, and queuing models. New York: Springer, 1993. P. 59-69.

83. Stewart G. W. On the perturbation of Markov chains with nearly transient states //Numer. Math. 1993. Vol. 65. P. 135-141.

84. Stewart G. W. On the sensitivity of nearly uncoupled Markov chains // Numerical solutions of Markov chains. New York: Marcel Dekker, 1991. P. 105119.

85. Stewart G. W. On the structure of nearly uncoupled Markov chains // Mathematical computer performance and reliability. Amsterdam: Elsevier, 1984. P. 287-302.

86. Thomsen J. S. Logical relations among the principles of statistical mechanics and thermodynamics //Phys. Rev. 1953. Vol. 91. No. 5. P. 1263-1266.

87. Vantilborgh H. Aggregation with an error of C)(e2) I I J. ACM. 1985. Vol. 32. No. L P. 162-190.

88. Xue J. Blockwise perturbation theory for nearly uncoupled Markov chains and its applications // Linear Algebra Appl. 2001. Vol. 326. P. 173-191.

89. Yeo G. F., Madsen B. W. Modulatory drug action in an allosteric Markov model of ion channel behaviour: biphasic effects with access-limited binding to either a simulatory or an inhibitiry site // Biochim. Biophys. Acta. 1998. Vol. 1372. P. 37-44.

90. Yin G., Zhang Q., Badowski G. Singularly perturbed Markov chains: convergence and aggregation // J. Multivar. Anal. 2000. Vol. 72. P. 208-229.

91. Yin G., Zhang Q., Yang H., Yin K. Discrete-time dynamic systems arising from singularly perturbed Markov chains // Nonlinear Anal. 2001. Vol. 47. P. 4763-4774.

92. Zhang Q., Yin G. Markov chains with weak and strong interactions: structural properties //Nonlinear Anal. 1997. Vol. 30. P. 309-316.

93. Zheng Q. Note on the non-homogeneous Prendiville process // Math. Bio-sci. 1998. Vol. 148. P. 1-5.