Теория и применение методов диффузионной аппроксимации и инвариантов в исследовании и построении моделей стохастических динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

'^■О О'З ^

^ Академия наук Украины

Ордена Трудового Красного Знаменз'Институт математики

На правах рукописи

ДУБКО Валерий Алекоеевич

теория И ПЖ.ГЕШШЗ «етодш ди&т/зиокпой аппроксимации и ¡¡кзаряаьтоб в ксс,"1дсейш

и построении иодегеП стохастических дтмжхх

систем

01.01.05 - теория вероятностей и

математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора фпзшео-ыатематнчеоких наук

Киев 1992

Работа выполнена в Институте математики АН Украины

Официальные оппоненты: член-корреспондент АН Украины, ' профессор ЩРЕНКО М.И.,

доктор физико-математических наук, профессор ДАЛЕЦКИЙ Ю.Л.,

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ШШВ Ю.В.

Ведущая организация - Институт прикладной математики и механики АН Украины /г. Донецк/.

Залргаа диссертации состоится Ш<гт>Г<5и 1992 г.

в /0 —- часов на заседании специализированном совета Д 016»50.01 при Институте математики АН Украины по адресу: 253501 Киев 4, ГСП, ул.Репина,3.

С диссертацией монно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан

пШ " 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

ГУСАК Д.В.

„._„•"' I ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

"ЧИЯ I

Актуальность теми.. Основанием для Привлечения при моделировании данамичеоких систем ( ДС ) теоретико-вероятностных представлений олужит понимание того, что лабая реальная система лишь о определении,а допущениями мозет раооматриватьоя как изолированная и подчиненная строго детерминированным законам. Особый интерес представляют ДЗ, неопределенность в функционировании которых внооитая случайными воздействиями, влйяняа которых нельзя ачктать малыми, При исследовании таких систем -б&льшев значение приобретает описание на основе моделей отображающих возможные реализации еволации ДР. Зффектнанце метода для осуществления такого моделирования предоставляет теория стохастических дифференциальных уравнений ( СД7 ), основы которой были заложены И.И.Гихманом и К.Ито. Уровень современной теории СДУ определяется вкладом многих авторов, и о достаточной полнотой, в коцтекагй направлений исследований данной работы* отражен в книге Й.И.Гихмйна й й.В.Скорохода "Стохаотичеокий Дифференциальные уравнений й их приложения" (Киеы Наук, думка 11963).

Решения СДУ, функционалы от них, как сЛвйувт Из рабо! яо теории ОДУ* обладают рядом особенностей» обусловленных спецификой мйтематеаких объектов, входлидас в ОДУ (наЬриглэр, овоЛствайй виНеровсКого процесса а уравнениях 1!то) и олужащйх задачам Моделирования нвопредаяэннооти воздействия на ДЗ, взаимодействий в ДО. Поэтому непосредственно перенасыть выводы и методы классической теории ДО на моделируемые ДЗ на основе СДУ в общем случай Нельзя. Даже при внешнем Ьодобии проблем, требуется проводить специальные исследований.

Указанное замечание относигйя й к методам 1еор!Ш аппрокси-Ма1ли решений ОДУ. К исследуемым в диссертаций задачам од асимптотическом поведении медленной составляющей Иц (Ы реизйия

СДУ Йто с коэффициентами, зависящими от малого параметра & ■ при Стремлении вго к нули.

Одним пз основных вопросов теории является установление. требований к Исходной системе СДУ» при выполнении которых когда & О , мояет рассматриваться как марковский процесс согласованный с решением С^) "предельного" уравнения;

где ЫЧН1^ - Евкторкйй вшшровский процесс, й.1-) и ' -йеслучайнн$ вайторныа мгричные функции,

Геаработкй а№оритмО£< позволяющих находить коэффициенты уравнений (I), во киогем» помимо «шото математических йроблеы^ й«шулнруе»(1я прикладными йвда«1амй4 Наиболее иавеатной аз нйх являвмя осйовная НрыЗлвма броуновской диффузит Содержание ёюй еада^й ваиллчаё^ея £ обосйс)ва1ш возможностей Пёрехода к опиоанйз ЕС)Лойай«Л ®М) Ш А* броуновской частицы ура£-НейиеМ Ш I оонбвнйгшо! ка МодёйЙ ее динамикй< например) уравнений Лштевейа»

И* ( * ^ * ¿¿с*), (2)

с1я

где 1Н - масса частицы, * £ -¡Д - стоксово трение,

е? - внешнее поле сил, а (45 - случайный процесс, отобразивший воздействия частиц окружения, и, во многих случаях, может быть аппроксимирован винеровским.

Решение этого вопроса ватмо и потому, что позволяет вскрыть физический смиол коэффициентов феноменологической законов диффузии исходя из более полных моделей динамики (2) (см.гл.Ш).

Особенности теорий стохастических уравнений проявляются и при рассмотрении традиционных вопросов обыкновенных дифференциальных уравненийг Теории первых интегралов и интегральных инвариантов чгл.П). Эти вопросы тесно переплетаются о оформляющимся в настоящее время новым направлением в теории случайных процессов.- стохастической дифференциальной геометрией ( см. работу: Ю.Л.Далецкий* Я.ЙвБалапольская.Стохастическая дифференциальная геометрия^ - Кией1Еища шк», 1989, И ссылки в ней), с исследованием возможностей Перенесения принципов аналитической механики на теории стохастических систем.

Отметим, что интерес к Их изучению обусловлен и вполне практическими задачами о сохранении жизненно ватаых покаэате -

лей оперших систем, т.е. систем, у которых обмен потоками о окружением соизмерил с циркулирующей! внутри самой система, в условиях нестабильности к неопределенности воздействий.

Разработкой этих п других смеяннх вопросов, а также о применением теоретических доследований к решения конкретных задач и связано содержание диссертации.

Цель работ. Разработка и обоснование методов построения СД7, обеспечиваниях возможность диЖузионнсЙ аппроксимации медленных составляющих решений исходно!! сиатемн СДУ{ разработка методов Нормирования теории интегральных инвариантов и на их осново подходов к исследованию задач сгохаотичеокой механики, теории первых интегралов для СДУ} исследование зопросоз и задач, связанных о применением теоретически выводов к конкретным математическим проблемам и задачам естествознания.

Методика послеловяния. В работе попользуются соврбменныэ методы теории вероятности, теории случайных процессов, стохастических дифференциальных уравнений, математического анализа, алгебры н дифференциальной геометрии.

Для задач, в которых главным япляетоя получение ОДУ, решо-:ше которых будет диффузионной аппроксимацией для медленной составляющей решения исходной системы, используется теория мартингалов.

При исследованы! вопросов формирования теории аналитической стохастической механики, построения уравнений для функционалов и структур индуцированных решением исходной СДУ используются методы исчисления Ито, з связи о исследованиями решений зависящее от параметров,представления из теории Др.

При исследовании лилейных систем СДУ используются метода матричной алгебры. <

При исследовании конкретных проблем, помимо методов развиваемых в диссертационной работа, используются принципа формирования фекоменологичеехмх моделей ( подход Еанжевена), согласования шкродинамичоских свойств с макрохарактеристикаш слочшой СИСГСМ1! подсистем.

ШЮШ^кЖШ^ЗШЬ Основными научншц результатами являются следуйте:

I. Устлновлены ограничения на начальные условия и коэ:55и-цнептп ОДУ, |.ря которых р?лчоняа7 составляющая решения ОДУ мозех

быть аппроксимирована диффузионным процессом.Для класса моделей не рассматривавшихся ранее построены алгоритмы индуцирующие ОДУ, решение которых является аппроксимирующим медленной составляющей, на основе коэффициентов исходной системы и с коэффициен-тши зависящими только от 1 и аппроксимирующих переменных.

2. Оставаясь в рамках теории СДУ Ито .получены уравнения для стохаотичеоких гамальтоновых систем, на основе геометрических структур конфигурационных многообразий индуцированных решениями оистемы СДУ, Исследованы условия сохранения интегральных функционалов, имеющих аналоги в классической механике, построены ОДУ для ядер интегральных инвариантов и на их основе произведено построение уравнений для прямых, обратных и просто первых (Дубко, 1370) интегралов оиотемы ОДУ.

3* Изучены условия существования первых интегралов системы СДУ. Для линейных систем СДУ произведено полное исследование условий существования первых интегралов полилинейной формы. Исследованы вопросы построения класса СДУ, обладающих заданным наборам первых интегралов^ расширении системы СДУ до стохастической гамильтоновой.

4. Проведение точки зрения изложенных подходов и на основании полученных теорем,анализ примеров о использованием представления о первых интегралах. Для конкретных моделей динамики броуновской частицы в неоднородной среда, формулируется подход к оценке близости траектории броуновской чаегчци с решением соответствующим феноменологическому уравнению, 2-му закону Фдка. Для конкретных значений физических параметров получена оценка временного интервала,на котором эти оценки заведомо не будут превышать ошибки эксперимента.

• Анал! ;руется модель ансамбля стохастических систем при когерентных случайных воздействиях и указываются примеры систем, где эти кокет могут найти применение.

Апробадая работы. Результаты диссертации докладывались на оемпнарах по теории вероятностей в 1.11У, Математическом институте АН СССР пм.Е.А.Стеклова (Ленинградское отделение), Институте математики и кибернетики Литвы, Институте математика АН УССР, Институте теоретической физики АН усср; на международных конференциях: у Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике, I Всемирном конгрес-

се общества (.<ат.;адагзской статистики и теории вероятностей им.Еерйулли, У1 Советоко-Япшшксм симпозиуме по тоорпи вероятностей и математической статистика (г.Киев)) школах-оеминарах. "Методы функционального анализа в задачах математической физики", 2-оЛ Дальневосточной школе "Зизика и химия твердого тела" ДВО АН СССР, П Всесоюзной ¡'„'коле-семинаре "Диффузия и деуект" УрО All СССР и других.

Публикации. ооноБШв результаты диссертации излсхоны в работах [I- 25].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глаз я списка цитируемой литературы,насчитывающей 100 наименований, и полный объем работы - 248 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖИЕ РАБОТЫ

Ео введении очерчено место проводимых исследований в контексте современного состояния понимания проблем,выносимых па защиту. Излагается краткое содержание диссерташш и подчеркнуты основные моменты взаимосвязи математических исследований о прикладными вопросами.

Б дальнейшем по ¡шдексам, встречающаяся дважды» за йсюшче-Ниом,гдо это условие снимается, ведется суммирование.

Нумерация формул непрерыгнпя. TeopfeMH и леМмы нумеруются так х:е,как и в реферируемой работе,

В глава I иоследуеТся предельное поведение медленной составляющей Для различных классов скотом стохастических ди&ферзйциаль-ных уравнений Ито,

В § I рассмотрена система СДУ вида

Ä«fyalt) ьC-Ai^ltlit^jjftl+JPi^tMJjiU+Ji^tJilMttJi (3) ¿a^ttJsCt^ttJjtJ^itWt + ^tÄgttUtW* + JrUa^t) dwül

Относительно коэффициентов предполагается выполнимость следующих услоп:!; & .

I. cfitjÄ^ и ifcjt)- непрерывны по

^ , удовлетворяют условия Липшица по переменной X с независящей ог 4 постоянной и ограничены.( &G J\Kf LJ. );

и С С й • 11 - ограничены вместе со своими про-' народными ( С, £ 1 ipti'jjiip)?

ЗЛкгци сви^) ЗЛ^И 0 (На;*) * 1 * ЭЙ. *

3. Сущеотвует такое 2>0 , что V ¿~е

4. аг^й^йса?» ^(О^со), ¿¿¿|усШ

В п.1.1 ■ приводится ряд вспомогательная утверждений, основными из которых являются слз дующие леммы.

Лемма 1.2. Ее ж выполнены требования 01 ь то Найдется такое й' , что У £

ОШ, е Сс,гл.

Л е м м а . 1.5. При выполнении требований 01 а) ^ ли «+ ~ Сои и 0 С 4 1/г ¿Й*

- ЛСО С & 1£Л) + О (Й Л Ц& ) 3 * е*р {-¿лгЗ} в) + 0^)1* а ё-'оСЛ"2) 4-0 С А),

где МС'ЯИ^^^-^АС-)?).

Б п.1.2 доказывается основная теорема данного параграфа п одна из основных всей первой главы

Теорема 1.1. Пусть ^¿Ы - решена

:ке системы сто-

хастических дифференциальных уравнений (3). Если выполнены условия (к. , то тогда процесс сходится в среднем квадратическом к диффузионному процессу а1&) , уравнение которого имеет

4л ft) я fl р ía(íbt>£Íw

"et о '

где

-i

aot^¡t) » (dUit)^ es-i) + +

+ P. fcC*jt)b. ÍOcajfU , +0. ¿Сх^)ч

С* tí»* £ '¿j С*

* (CísjtU [ iAí«-,n} bjtWVj *

«íe*f> [-aAU*«)} BfcC*itï). da j. P0U>t}¡= ÚcajíJA^Uji) Bí«>*)

Начиная с § 2 исследуется асимптотическое поведение решения ti) для система стохастических уравнений о нелинейной зависимостью коэффициентов от быстрой компоненты

A^gttlâi-Acabjftîitî^lMdt te£Wítj fljtaty ft»dií +

e£«¿tt)a + f^itgfcH fl^Cfity ttjjijdit

+ fix It) i wCt), (4)

где QjíiV- скалярные функции от &.

Относительно векторных и матричнозначных функций в (4) предполагаем Еиподиаинкля следуюпз'е условия tf :

i. ^^feíjP^;^' -

'непрерывны по t , удошетноргат условии Лппппца по совокупности

переменных (й»1р с независяще;! от t постоянной и ограничены. 2. Выполнены условия 614) ( § I).

Доказывается, что при указанных ограничениях справедливыми остаются выводы лемм 1.2- 1.5 , установленное в п.1.1.

Вопрос о выборе класса систем вида (4) репается на основе анализа решений для билинейной по модели

(п.2.2) с !|Р|| ВО, б/ С¿^ОД^й.Доказанная теорема 1.2 устанавливает, что при ^Й) * вклад связанный

с билинейными слагаемыми по в продельных урав-

нениях, решение которых аппроксимирует Я^М ПРП ¿10 в среднеквадратическом, появляются ненулевые слагаемые с коэффициентами зависящими от и не зависящими от й при •<• Такой вклад 'отсутствует . Е п.2*3 доказаны одни из основных вспомогательных утверзде-иий гл.2.

Л е м м а 2.3. При ограничениях £У существует такое й' , что V & ** 3' процесс Д^СИ допускает представление

V 1 со^ги

t * асо) 4-

й 0 ^ 3 «л.

где Вш ^¿г)^ мы

а коэффициенты @ С-) и ^Р(-) определяются соотношениями

о

д *

С й ^

(б)

». .¿сяр {«л^«} ^ ^ ш^-о). ¿л. ^

^ tejflttJjg.it )*с

Л з м м а 2.4. Семейство мер, отвечающее процессам и^Ш олабокомпактно.

В § 3 наследуется специальный вид уравнений (I): случай ортогональности случайных Еоздейетгий к бистрой компоненте Вынесение в отдельный параграф получаемых выводов вызвано тем, что эта модель используется в гл.З при анализе асимптотнчеоко-го поведения и ПОЗЕОляет показать, что

отличия в продельных уравнениях при разных модельных оплсе-1шкх реального броуновского дЕи:::ешш, тесно связанны о проявлением первых интегралов для некоторых систем этого класса, Кроме того, для рассматриваемых снотем не требуется нахождения стационарного распределения по компонента ^ для построения коэффициентов продельного уравнения. Однако сходимость Л^СО при к продольному диффузионному процессу устанавливается

как слабая.

Параграф 4 посвящен нсследовашсз асимптотического поведения иедленкоД составляющей в общей случае нелинейной зависи-

мости уравнений от с в 4 { I Такой

выбор 4 & ^^ 1}а1 связан с выводами п.2.1, Б п.4.1 прово-

дятся необходимые оценки и доказательства возможности усреднения по времени, при построении коэффициентов предельного уравнения для в предполо .«нии что 3 такпо к и 'а>0\

Е п.4.2доказывается основная теорема 1.1 данной главы I .для случая нелинейной зависимости коэффициентов уравнения (4) от Ц. &)6

с еэ ¿шал'Чи м

Теорема 4.3. Пусть коэффициенты уравнения (4) удовлетворяют требованиям И и ограничения!,! Й)Э?» Тогда последовательность процессов явяязщасся решзнием ( 5 ) при &40-слабо сходится к решенша яй) системы

л а) в ^ 1в«> 11 + Рв£а!«). со) ^ л с ¡31 а

где ^ И) - Щд-норшЦ шнорошзй! процесс, СО, ^ СО определяются соотношениями 0

К

где >P<î ftjjCjtiyvtî имеют соответственно функцио-

нальный вид (6), a iflÇ {¿ifS- инвариантная мера оргодического процесса ^ Л определяемого уравнением

при фиксированных Л и t «

В § б исследуются возможности расширения класса стохастических систем, допускающих перенос выводов лемм 2.3, 2.4 и

использование основных моментов доказательств применявшихся при установлении основных утверждений в § I - § 4. Например, в п.5.1 , рассмотрен специальный вид уравнений (4) с 6û!)--{i, 1,1,i]

1 it 1 гдей,4и>04 fij, aiJl i WjiOS Л , „Ht "

W^it) в Л - независимые винеровские процессы, и выпол-

нены у слови- . Для . и в дащюм случае £ эргода-

ческое распределение

Теор'ема 5.1. Пусть выполнены требования сf} 5)3.) и существуют пределы

S % Jl*ixipt) *я.tdyi - S)[*ii)t

£IÛ

(а л. ¿¿ч)

¿Но а ^ 4 « о »

где (Я^С^Э- инвариантная мера для процесса . Тогда

последовательность процессов слабо сходится к решению

диффузионного уравнения

ti4.Lt) а адСдеКЬ^ЗЛНй/л^^Ым +

где х&1й) * а-СО).

В п.5.1 исследуется воз:ло;шость расширения класса стохастических уравнений на пркмере модели ( 4 ) с коэффициентами,зависящими только от параметра 5,при снятии в условиях^':)ГРаничзниос'111 коэффициентов при й Ас! .Показано, что такая возможность существует . Приведены конкретные соотношения мезду коэффициентами, позволяйте при любом & аппроксимировать ) диффу-

зионны.1 процессом ,но у™е являщегося решением уравнения

с коэффициентами зависящими от «5 .

В главе 2 введение элементов случайных конфигурационных многообразий, порожденных решениями системы стохастических уравнений, осуществляется также, как это делается в теории динамических детерминированных систем. Б основу этих построений положены метода замены переменных в № -кратных интегралах, вполне в духе классического математического анализа ( § I - § 2).

Пусть £йСЙ)) - решение уравнений

лс*-аса), 1* , Ь/й,

где ы СЯ - т. -мерный винеровский процесс, - скалярный параметр, а относительно коэффициентов уравнения предполэлзнл, что они непрерывны и ограничены вместо со своими первыми производными по £ по совокупности переменных Этих условий достаточно дшя существования случайных величин

(7)

л.'ц. Я10) +й) - «(о))

Ф Ш* и.гл. -7-»

" ч I Л I

и

которые могут быть найдены как решения системы стохастических уравнений

V'1"

Опираясь на это уравнение дая элементов якобиана преобразования, как и в математическом анализе, мояем выполнить ^замену переменных - перепад от переменных й1£») к «.[¿¿а Со)), »отображению исходных .структур _: объема, поверхности, дуги -рстохастические. Например, «¿Г I*) *

- определяется как элемент стохастического объема:

- парапетоическое

tвí0ilT}Швmmoiii

как элемент стохастической дуги.

Такие определена позволяют свести интегрирование по случайным структурам к интегрированию по исходным ( начальным данным).

Теорема 3.1. Пусть случайный процесо является юиснаем системы (7) с коэффициентами, удовлетворяюпщми следующим требованиям:

I) (ЦдегО, ^С*»^) - ограничены и непрерывны по совокупности перепенных ел,!) вместе со своими производными по

л : а а а*

~ А и»«.о, Н* 7Я,

с '

тогда стохастический объем

П« " s ÏMfLrC0)i (8)

Л01

порожденный случайным процессом aCtjXCol) - инвариант, и выполнение условий4),а) является необходимым и достаточным для оох-. ранения произвольного стохастического объема.

Пусть œ.(fc) к i® i»i - случайные процессы, ди-

намика которых определяется следующей системой стохастических уравнений

da.«) = aL íx«),t)¿t + jb hitk í«ttJjt)¿wfctt), й tt jeto» \iiQ * «i+fV(o>, i*

относительно коэффициентов которых предполагается, что для них выполнены условия I) теорешЗ.1.

Введем интеграл ( интеграл Пуанкаре)

i

¿a) 0

где ClWjÇl Ittg^tfll- параметрическое задание произвольной кривой,f g (,0)iJ , •

ï e о p e .-,{ a 3.2. Необходимым и достаточным условием сохранения интеграла (9 ) при произвольном оКт^О во времени, является существование таких функций HCijt) и H. Cxjfc), что возможно представление

BHkt*it) c*it)

Эх- Эх Эх. d i+л. cf +

-]

(V

тар •1/1 и!;---йг -

А шиш --4 ь ,1*4) в- —г:—

Следотвие . Любая система стохастических уравнений для аМ * Л**» мо:кет быть расширена до стохастической га-мильтоновой в » {аН)1с гамильтонианами из класса

НС*} К ^+-

Аналоги теорем аналитической механики. Теорема 4.1. Из инвариантности интеграла Пуанкаре ( 9 ) следует инвариантность стохастического фазового объема .( 8 ).

Теорема 4.2^ Пусть .А.!*,^ и В.(*•,♦? - неслучайные функции . аеЛ . - п 1 1

универсальней интегральный инвариант ( т.е. не зависит явно от Н(л^) и Н^ , определявших стохастическую гамнль-

тонову систему , то

где lit) - интеграл Пуанкаре, К* Wrist.

Б § 5 строятся уравнения для ядер интегральных инвариантов, прямпх, обратных и первых интегралов для уравнений Ито. Устанавливается, что решение jsCijiJ уравнения

Р 3a.tajt) PCXji) , Лг "1

Г. -£-+ A JL__ ь. iajt )L tejOpiXit) Ш j

+ L э«; Td J* J J '

4 *

является ядром интегрального инварианта п. -го порядка для системы ( 7 ) ( здесь и далее в (7) полагаем Ь т.е.

$ jsixjt^UitxLrii) * J jSi^o^tsi^tijtWryj Л4" «А11

Используя это утверждение доказывается ( строится) формула Ито-Еентцеля ( п.5.1).

Б п.5.2 доказывается следующее утверждение. Теорема 5.1. Система стохастических дифференциальных ypaEHeiniit ( 7 ) обладает полной совокупностью из Ш+Х)-го ядра интегральных ннвариантой гь-го порядка; .

Опираясь на формулу IItqb § 7 устанавливается утверждение о том," что функция ■ обеспечивающая

выполнение равенства

является пртмцм первый интегралом системы стохастических дифференциальных урогнен;;;': (7 ), т.е. (с вероятностью I)

4 ^«(«»^Ш) *о.

Полное число линейно независимых интегралов Ц^я^равно а и они являются решениями уравнения

а4 * Кк Д (ь, -

- " ьс,к <*»*» §5:

где ^

' сI

Используя правила перехода к обращенному уравнению Ито от исходного —* 63 ( § 6)

в § 8 вполне аналогично строятся уравнения дая интегральных инвариантов Ц -го норядка в обратном времени ^р" IX; 5):

эа ) * Щ ¡С^^гм-^^гй^.Ь^-«^^4

и уравнение для обратных первых интегралов и."

0

иГСау&из f к 3—

¿.к - Ь

Доказательство того, что полный набор ядер £ состоит из СК+1)-го ядра, а полное число линейно независимых обратных первых интегралов - п , - вполне аналогично §52.

Определение. Неслучайную т>ег^стгечную йршдо

ц.1х,±1 назовем первым интегралом системы (7 ), если она с вероятностью I принимает постоянное значение на любой траектории решения уравнения ДЕ.С4; зависящее только от гСО}.

Теорема Яри тех тле ограничениях на коэффи-•

циенты уравнения ( 7 ), что приведены в условиях I) теоремы3Л для того, чтобы функция дифференцируемая по Ито, явля-

лась первым интегралом системы ( 7 необходимо и достаточно выполнения следующих соотношений (^¿1)!

1)

2)

Эисл^) За СЙ,|) —51— + у*}*)--

а

за,

где ^ cx.il щЬ. + .

Следе гг'в и е 9.1.Если первый интеграл урав-

нения (7 ), то он одновременно является и прямым и обратным.

Т е о р е м а 9.2. Уравнения ( 7 ) с коэффициентами, принадлежащим! множеству векторных сфункций( )

е0. « а ,.. ->

а ,а Ь к,в' п,1'

* ... *

к* •

фО,

6 Го

К С 0,0

¿V 4 ч .....%

3 .

где * Р Це и,«. £« »

а относительно воех остальных функций предполагаем, что они выбираются гак, чтобы били выполнены исходные требования теоремы 3.1 ,

- образуют класс стохастических дифференпцальшх уравнений, для которых каждая из совокупности линейно независимых функций { С* ЭД^ ^АЧл-!) является первым интегралом.

Б главе 3 ( применение теории) рассмотрены определенные системы стохастических дифференциальных уравнений. Такие системы позволяют более полно осуществить исследования и получить конкретные результаты. Временно, для удобства восприятия, возвращаемся к знакам суммирования в § I.

Б § I главы 3 устанавливаются необходимые и достаточные условия существования первых интегралов для линейных уравнений

г»

* А л №¿4 4-£ (ю)

1*4

где А. и Й1- матрицы П.*IV о постояшпши компонентами._

Пусть ©(И - вектор-столбец с компонентами С- М кЗь - лшеййое подпространство над полем вещественным чисел и - линейный морфием ¿¡Ь в , ^ - инвариантное, и аннулируемое подпространство оператора З1.

Теорема Необходимым и достаточным условием

существования первого интеграла у системы ( 10 ) в линейной форме

и

и. С »¡И Л £ (II)

а л

является существование инвариантного подпространств <$ С Д матрицы , которое входит е подпространство р

При этом для всех ЁСЙ) С С П с/ГСб*. ) Санкция

1*1 к

Г19 »

ЦСЯ;« а (.X , е*р 3 2 10)1 (12)

является перЕым интегралом системы (10 ), и каядый первый интеграл еидэ (И ) представим формулой (12 ) с ЙС0)£<&. . Пусть - сиг.!метричная матрица о элементами С^^ й)^

3) = А - ^ £ В к , Ма

сЗЬ - пространство, элементы Т которого - матрицы размерности пчп- .Введем оператор ^ • ,где £ - фиксированная матрица размерности К , действующий йа элементы Т согласно соотношении

ГУ =2* Т + Г*.

Пусть

£ С4 . (13)

Теорема 1.2. Необходимым и достаточным условием существования первого интеграла у системы (10 ) в билинейной форме является существование инвариантного подпространства еЙг

оператора Рек которое входит в подпространство П с/РСГл ).

(Л 641 В)1

При этом для всех й Й П (Л3^ ^а. 1 шункцЯя

й ка

и.ехм^С^ехрк*®*?; Н^}«.) (14)

является перЕкм интегралом системы (Ю ), и каждый первый интеграл вида ( 13 ) представим формулой (14 ) о <Вав£.

Теорема 1.3» Достаточным условием существования

дам (1 (А 1 является Существование нетриви-

ального решения у для системы равейств

20 _

у у »0 £ к о )

Рассмотрим пространство «ЗЬ а элементы которого характеризуются компонентам^ П ? , ,.. ^^ 1/Г) и определим на нем оператор ( й - матрица с компонентами £1. > согласно соотношению и

Рб V « 1

1 г

где компонента 6 ц,* С С^Зовязаны с компонентами 4 и

следующим Образом\

й £ ^

В - операция симметрирования * » 'г'в' суша

всех компонент, получаемых-из доходной £ ^ при

всевозможных перестановках индексов ti^>...,tx и деленная на }

Пуст?) $ ^ --элемент из с компонентами С

Ц/ г /^Ц. -даоцорфен некоторому вектору в Днг , а

- матрица ' л^^и ^ действующей на вектор в Л11 Поэтому теорем^ и ¿»^ полностью переносятся на об-

щий случай полилинейной формы:

Л Р

ИСШ*)* ' % С Л ае. ,

где Се . ь - функции, зависящие только от ^ и снимет-ричные относительно любой перестановки индексов, если только

( 14 ) заменить утверждением в более общей записи: U. Ссс;4) аСМ^вир [-4ГЭ } 2^(0)),

где Хц - элемент из cf£ с компонентами Д а». , а - свертка по индексам £¿,...,£^1 ^

U А)= Ь 11 а. 4 -

Если ищется в форме ряда

--а Р

ttCaiija Canst + Z Ц С jt«gi,

e,.....ep-i ....... d

то эта задача распадается на задачи по отысканию полилинейных форм.

Б заключение отмечается, что переход в уравнении (Ю ) к завпсимостп и ft от £ , после введения оператора

хронологического упорядочения ■ 1' и антпхронологического X 'i позволяет перенести выводы доказанных теорем и на этот случай* Например, для линейного случая ( II )

t

inajt) =f £ A*Cr)<it^CCpJ ) j

а условия на выбор С СО) определяются соотношением:

Ь

И т.д.

Приведены модельные примеры нахождения первых интегралов в полилинейной форме.

В качестве примера использования выводов рассмотрена модель типа Лаж-евена с ортогональными случайными воздействиями

к вектору состояний ЕЙ),При зависимости коэффициентов уравнения от ■) эволюция I носит неслучайный характер ( § 2.1). Так что для исследования этих процессов мо:хно использовать обычные критерии устойчивости и установить условия, при которых процесс обладает поверхностями устойчивости ( сферы) и характер вырождения ка эти поверхности при росте

В 0.2,2 демонстрируются возможности использования свойств вектора аЩ I описания как неслучайного процесса -

для построения характеристической функции переходных вероятностей процессов «Щ, * ) и

составного процесса £ ^, у И) ^ . Для случая когда процес« осуществляется на поверхности устойчивости, то приводится пример нахождения (п.2,3) характеристической функции для переходной вероятности ав яеном виде и исследуется характер ее изменения при 1! Характер изменения корреля-

тивной зависимости мезду компонентами вектора состояния а:<£) при £ —Ъ* в рассмотрен в п. 2.4,

§ 3 посвящен исследованию возможностей привлечения выводов теорем главы I к исследованию динамики броуновского движения. Б качестве исходной феноменологической модели взята модель Лашсевена

rn.ci.vCt) а -

где м.»*5- масса броуновской частицы, Л3 - текущая

координата, а УЙ) е .й1® - ео скорость; ¿С*) - коэффициент вязкости среды, а ^ Ш случайный процесс порождаемый соударениями атомов среды с частицей. Е данной модели ((:) аппроксимируется винеровским процессом мЙТе.Я'3 с независимыми компонентами. Е предположении, что температура среды постоянна, из соотношений между средней энергией частицы и с температурой среды устанавливается сг-язь меяду ¿К^З,

¿с«1 и ■ С 0 . При задании конкретных физических значений { Ч. Й1 10~°м), соответствую!1;!« реальной ерет.е гппегаш частиц.

показано, что при переходе к безразмерны.! переменным (координатам и скоростям, времени), величина соответствующая малому параметру & в уравнении при старшей производной, порядка мЮ"®, Это позволило воспользоваться выводами гл.1 и построить стохастическое уравнение для процесса аппроксимирующего

решение сС.'Ь) исходной системы. Последовательно выполненные

оценки показали, что на временном интервале сек

з 3

II 14 4 т.е. не превышает ошибку эксперимен-

та.

Уравнение; для плотно'стн броуновских частиц не взаимодействующих мелсду собой, соответствующее З-Ы) , имеет вид:

ЭоСя.;*) - я

-- = г., гн^>1, ¡г^мго,

ЗА - - * ,4я 3

где - постоянная Еольцмана.

Ото уравнение совпадает с математической формулировкой феноменологического закона диффузии для неоднородных сред -2-м законом <5:п;а.

у 4 связан с выяснением причины различий в уравнениях для диффузионной аппроксимации процесса броуновской диффузии на основе классической модели Лашсевена и модели с ортогональными случайными воздействиями ( гл.1, § 1.3). На простых моделях с постоянными коэффициентами выясняется, что это связано с тем, ■что в случае ортогональных воздействий на скорость частица при t се вектор скорости, оставаясь случайным по направлениям, по модулю приобретает постоянное значение.

В 5 5 на основе представления о когерентном случайном воздействии на ансамбль тождественных систем и введенной конструкции интегрирования'по случайному объёму (гл.2, § 2), устанавливаются условия существования равновесной плотности распределения я СaJ для него:

i у

а ,

где О.. Ся^^ и & - коэффициенты стохастического уравнения

описывающего эволюцию элементов ансамбля.

Приведенные примеры реальных систем, при описании которых необходимо введение понятия когерентного случайного воздействия, служат цеди поиска точек соприкосновения теории интегральных инвариантов стохастических систем с задачами естествознания. Показано, что дая стохастических гамильтоновых систем с ЦС&) к Нь^ 1 Д®1 которых скобки Пуассона

Б Качестве модели с нечетным числом переменных, позволяющей найти согласующейся с уоловИши' (15 ) . рассмотрена модель с ортогональными случайными воздействиями

Основные положения, диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Дубко В.А. Об усреднении для одного класса стохастических дифференциальных уравнений // Укр.мат.журн. - 1978. - 30, Л I. - С. 516-522.

2. Дубко Б.А. Предельная теорема для одного класса стохастических дифференциальных уравнений // Вероятностные расцред&ления в бесконечномерных пространства*. - Киев: Ин-т математики

АН УССР, 1978. - С. 65 - 77.

3. Дубко Б.А. Первый интеграл системы стохастических дифференциальных уравнений _ Киев, 1978. - 22 с. - (Препр./АН Украины.Нк-т математики 78.27).

Дубко Б.А. Понижение порядка системы стохастических дифференциальных уравнений с малым параметром // Теория вероятностей и ее применение. - 1?7?- - 24, Я 3. - С.610-611. Дубко З.А. Пошпкение порядка системы стохастических длфперсн-

пдальнкх уравнений с малым параметром при старшей производной//' Теория случайных процессов. - ISSO-Ji ß. - С. 35-41.

6. Дубко Е.А. Интегрирование по начальным данным и интегральный инвариант Пуанкаре и уравнение Гамильтона для диффузионных процессов // Укр.мат.яурн. - 1981. - G3, .'5 G. - С. 802-801.

7i. Дубко Е.А. Понижение порядка системы стохастических дифференциальных уравнений и некоторые модели .явлений диффузий // Вероятностный бесконечномерный анализ. - Киев: Ин-т математики АН УССР, ICSI. - С. 39-44.

8. Дубко В.А. Интегральный инвариант для одного класса систем стохастических дифференциальных уравнений // Докл. АН УССР, Сер.А. --I9S4.-;.; I. - С. 18-21.

9. Дубко Е.А. Ансамбль стохастических систем подверженных когерентным случайным воздействия.! // Теория вероятностей и ее

применение. - 1984. - 29, вып.З,- C.6I0-6II.

10.Дубко Е.А. Законы сохранишя для старших систем // Еероят-ностные методы в биологии. - Киев: Нп-г [.^тематики АН УССР, 1985. - С. 48-55.

11.Дубко 2.А. Интегральные инварианты и первые интегралы системы стохастических дифф.ер 011151 ачьных уравнений // Тезисы докла-дов^семнрного конгресса по теории вероятностен и математической статистике им.Еернулли.- М.:Наука,1986гТ.2.•- С.678.

12.Дубко В.Л. Анализ асимптотического поведения решений системы стохастических дифференциальных уравнений и некоторые модели явления диффузии // Труды школы-семинара ДЗО АН СССР: Физика и химия твердого тела. T.I. - Благовещенск: Амур KHII ДВО АН СССР, I9G8. - С. 17-19.

13.Дубко В.А. Алгоритм построения уравнений для диффузионного процесса аппроксимирующего медленную составляющую решения системы стохастических дифференциальных уравнений // Там яе.-С. 15—16.

14.Дубко Е.А. Подаифовашге диффузио1Шых процессов в сильно коррелированных случайных полях // Там же. - С. 10-11.

15.Дубко Б.А. Предельные уравнения для аппроксимирующих процессов медленных составляющих решений уравнений Ито // Деп.сб. рукописей .0 6. - М.: ЕПНИТИ, 1989. - 65 с.

16.Дубко Б.А. Стохастическая аппроксимация,первые интегралы и и некоторые модели явления диффузии // Доп.сб. тр. ^ 6. -

И.,НИШ, 1989. - 46 с.

17. Дубко Б.Л. Диффузия в неоднородных анизотропных средах: математические обоснования феноменологических законов // Всесоюзная школа "Диффузия и дефекты"; Тез.докл. - Свердловск:

НО УРО АН СССР, 1989. -С.26-27.

18. Дубко Б.А. О моделировании открытых систем // Ш Советско-Китайскай симпозиум по геологии и экологии бассейна реки Амур. Тез.докл. - Благовещенск? Амур 1ШИ ДЭД ЛН СССР, 1289.-Т.З (I). - С. 57-59.

19. Дубко Б.А. Уравнения для ядер интегральных инвариантов П.-го порядка и первых интегралов уравнений Ито в // Стохастический анализ и его применение. - Киев: Ин-т математики

АН УССР, 1969. - С. 44—18.

20. Дубко В.А. Вопросы теории и применения стохастических дифференциальных уравнений. - Владивосток: Изд-во ДБО АН СССР, 1989. - 185 о.

21. Дубко В.А, Стохастические процессы и их место в курсе теоретической физика // Об.докладов, посвящешшн 80-летию со дня рождения члена-ЬорреопондеЬта АН СССР, лауреата Государственной премий СССР Г.А.Смоленцвва; - Благовещенск:Изд-

во ЕГШ1, 1990. - С. 64-68.

22. Дубко В.А.О диффузионной аппроксимации медленной составляющей решения системы стохастических диффзренвдальных уравнении //

Теория вероятностей и ее применение. - 1990. - 35, № 3. -С.560-666.

23. Дубко Б.А,, Агарков Р.Б., Ееселовский м.Е. О механизме запоминания // Еионика. - 1990. - 24, - С. 102-105.

24. Дубко Б.А. Предельные теоремы о переходе к диффузиошюму описанию медленных составляющих решений уравнений Ито . -Киев, 1991. - 56 с. -(Пренр./АН Украины .Ин-т математики; 91.41).

25. Дубко В.А. Стохастические дифференциальные уравнения

согласованные с условиями инвариантности. Для заданных функционалов // П Советско-япойский симйоз.по теории вероятностей и мат.статистике| КИёй» 6-10 аиг,19Э1 г* 4 ?ез.докл.-кп-ев;Ин-т математики АН Украины, 1991. - ОдБЭ.