Динамический хаос в системах с потенциалом Леннарда-Джонса тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

кАЗАБСКИИ ордена ленина и ордена трудового красного знамени государственный университет

На правах рукописи ОВЧИННИКОВ Марат Николаевич

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС В СИСТЕМАХ С ПОТЕНЦИАЛОМ ЛЕННАРДА-ДЖОНСА

01. 04. 02. - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата ({изико-математаческих наук

казань - 1993

Работа выполнена в Казанском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

проф. Аминов Л. К. Научный консультант : кандидат физико-математических наук Скребнев Е А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, проф. Берим Г. 0. кандидат физико-математических наук, доц. Татарский Д. А.

Ведущая организация: Казанский физико-технический институт.

Защита состоится " Ы^^оЛ 1993г. в (* часов на заседании специализированного Совета Д. 053.29.02 при Казанском государственном университете имени Е И. Ульянова-Ленина (420008,Казань, ул. Ленина,18).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке университета.

Автореферат разослан" 1993г.

Ученый секретарь специализированного Совета

доктор физико-математических

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время внимание многих исследо-¡ателей привлекают проблемы детерминированного хаоса. Основы гаотической динамики были заложены работами А. Пуанкаре, Е. Хоп-

Е Крылова. Начиная же с работ А. Колмогорова, В. Арнольда , 3. Мозера(см. обзор [1]), вычислительных экспериментов Хенона I Хейлеса [2], возник огромный интерес- к изучению поведения шлинейных динамических систем. Оказалось, что большинство фи-шческих систем способны в той или иной мере проявлять хаоти-геские свойства. Представляет интерес как поиск таких систем, так и выяснение условий, при которых системы ведут себя подобие образом , исследование свойств самого хаоса, выявление гниверсальности в переходе к хаотическому поведению.

Хаос обнаружен в весьма простых системах , описываемых детерминированными уравнениями. В таких системах наблюдается ¡ильная зависимость решений от начальных условий, в результате 1его возникает непредсказуемость их поведения на достаточно Зольших временах. . Первопричиной хаотического поведения нели-íeйныx систем является их свойство экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в фазовом пространстве.

Хаотическая динамика имеет множество приложений: турбу-1ентность,лазеры, химические реакции, плазма, биологические ¿одели. Хаос в механических , системах, например, затрудняет тредсказание времени работоспособности или анализ старения материала.

Развитию новых идей в понимании нелинейной динамики в шачительной степени способствовало появление компьютеров,и вычислительный эксперимент стал неотъемлемой частью исследова-шй хаотического поведения динамических систем. Хаос наблюдается и в диссипативных и в консервативных системах. В последнем ;лучае хаотическое поведение часто называют стохастичностью.

Новизна темы предопределяет существование большого числа ^решенных задач и возможность появления новых направлений ис-гледований в этой области. Очевидный интерес представляет изу-

чение поведения динамических систем частиц .взаимодействие между которыми описывается потенциалами,являющимися аппроксимациями реальных потенциалов межмолекулярных взаимодействий. I данной работе рассмотрены вопросы возникновения стохастичност! в одномерных и двумерных системах с потенциалом Леннарда-Джонса, а также с потенциалами Тоды, Морза и Бакингема.

Существование стохастического поведения в системах с малым числом частиц привело ряд исследователей к идее описат! процесс теплопроводности, непосредственно изучая молекуляр-но-динамическое поведение без использования макроскопически) уравнений. Однако при этом не рассматривался процесс распространения по системе области стохастического поведения. На наг взгляд, представляет несомненный интерес изучение перемещенш по системе такой области и оценка скорости распространеню границы хаос-порядок при числе частиц достаточно большом дл$ того , чтобы имитировать хотя бы приближенно поведение реальных физических систем.

. Фундаментальное значение имеет проблема описания необратимого поведения динамических систем на основе обратимых уравнений движения. В настоящее время разрешение этой проблемы связывается с исследованием стохастичности динамических систем. Среди различных подходов к данной проблеме заслуживает внимания исследование поведения динамических систем путем использования операции обращения времени и введения малой неточности ] состояния системы.

Исследованию перечисленных выше вопросов и посвящена данная дассвртащюннан работа

Делью работы являлось изучение стохастического поведения : системах с малым числом частиц, исследование распространена области стохастического поведения в системах с потенциало! Леннарда-Джонса и оценка скорости распространения такой области, выяснение связи между стохастичностыо и необратимостью ] поведении динамических систем. ■

Научная новизна и практическая ценность диссертационной работ) заключается в следующем: обнаружено существование стохастич-

яоети в системах с потенциалами Леннарда-Джонса, Морза, Бакингема, состоящих всего из 3 частиц. Выявлено,что область стохастического поведения распространяется по системе со скоростью значительно меньшей скорости звука. Показано, что в лен-1ард-джонсовской системе при энергиях, соответствующих стохастическому поведению,наблюдается необратимое поведение при внесении в состояние системы малой неточности. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семи-гарах кафедры теоретической физики и - кафедры радиоэлектроники физического факультета КГУ, на итоговых конференциях КГУ за 1989 и 1990 года

1убликации. По теме диссертации опубликовано 5 работ. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения , 1етырех глав, заключения и приложения. Общий объем работы - 95 гтраниц , в том числе 30 рисунков и библиография -70 наймено-заний.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность выбранной темы и сратко излагается содержание диссертации,формулируются основ-ше результаты, выносимые на защиту.

В первой главе , носящей обзорный характер,, рас с (.ют ре ны )бщие вопросы стохастического поведения динамических сис-■ем,критерии хаотического поведения, КАМ-теорема,связь динами-юских и статистических свойств систем,вопросы обратимости и [еобратимости в динамических системах, приведены примеры вы-мслительных-экспериментов с простыми физическими системами. ¡о второй главе рассмотрены вопросы возникновения динамическо-о хаоса в системах с потенциалом Леннарда-Дгаонса

Изучалось поведение системы из трех частиц,связанных по-енциалом(1) в одномерном случае и при учете взаимодействия лижайших соседей. '

В потенциале (1) положим Е-1,<?-2 . Массы частиц положим

равными единице (т=1). Тогда функция Гамильтона рассматривав мой системы из 3 частиц запишется в виде:

н - Шг + Нъ-к-Къ- «

Для того, чтобы установить существование или отсутствие расхс димости траекторий,первоначально исходящих из близлежащих т< чек фазового пространства, исследовались решения уравнений Г< мильтона с различными наборами начальных условий Ч;(0),Р;(0; Численное интегрирование уравнений проводилось методом Ру1 ге-Кутты 4-го порядка. Шаг по времени выбирался равными 10"

Поведение системы изучалось нами при различных значения ее полной энергии Е.

Результаты вычислительных экспериментов показывают, чт начиная с некоторых значений Е,траектории исследуемой систем выходящие в начальный момент из близлежащих точек, быстро "т< ряют" друг друга в фазовом пространстве, что свидетельствует появлении в этих условиях локальной неустойчивости, и, к следствие, динамического хаоса.

Оказалось,что поведение систем из 5 и 7 частиц и вид рас ходимости траекторий имеют такой же характер, как и в систе из 3 частиц. Отметим, что расходимости фазовых траекторий исследованных нами случаях возникают тогда, когда кинетическ энергия, приходящаяся на одну степень свободы в системе , ст новится порядка нескольких процентов от глубины потенциальн ямы в потенциале Леннарда-Джонса. Это соответствует результат работыСЗ].

Известно, что в гамильтоновой системе с N степенями свс •боды, совершающей финитное движение,траектории лежат на И-ме ных торах, а само движение носит условно-периодический хара тер. В переменных действие-угол при полном наборе интeгpa^ движения торы являются инвариантными. В случае, когда число у тегралов движения меньше "Ы, часть инвариантных торов оказьц ется разрушенной, что означает существование в системе стохс тичности. Используя линейное ортогональное преобразова* координат ■и импульсов, трехчастичную задачу можно евеетч

Р2

0.79

0.25

-0.25

-0.75

Р.

1.50

050

-0.50

-1.50

............ \

: ?

••••••••

......

-1Л0 -1.4в

-1!«......-1.'и '

л':"' ;Л *

р2

1.00 и

• ; 1 } : -ООО

. Ч .........../

-1.00

р3 1.50

0.50

.......

г.. *

—' м

•• * ««г

ТТТТТТТТТТТТТТТТТТГГП -1.50

• • I

. 'а '. "г

- »*. . л

А

-1:70 -1ло -1.'«о -но -ив - ¡.'га''' -¡.'ю'''' - ¡л'''' -1.'<о'''' -1 л

Рис. 1. Отображения Пуанкаре при различных значениях энергии. Совокупности звездочек, треугольников и квадратиков соответствуют различным вариантам начальных условий, а) Е-0.16 б) Е-0. 49 в) Е-0.64 г) Е-0. 81

двухчастичной, а функция Гамильтона запишется в виде

н - НрЛВП* ыШм1Гг<Н-11Т,г1-

I I ' I

где р. , р^ , ягможно рассматривать как импульсы и координаты новых частиц.

Система уравнений движения решалась для гамильтониана(З) с

различными начальными условиями (0)(0) ( штрихи для удобства далее убраны). Мы рассматривали совокупности точек в фазовом пространстве второй частицы, получаемые при выполнении для первой условий =0,р, >0, что соответствует отображению Пуанкаре на плоскость(q2, р2). Такие совокупности точек изучались при различных значениях полной энергии системы Е. (рис. 1.)

Таким образом, результаты вычислительных экспериментов показывают, что с ростом энергии инвариантные торы разрушаются и в системе возникает стохастическое поведение.

Шли исследованы также отображения Пуанкаре в системах с потенциалами Бакингема и Морва. Оказалось , что в системах с этими потенциалами , начиная с некоторых значений энергии также наблюдается разрушение инвариантных торов и возникновение стохастичности.

Для установления возможности существования расходимости траекторий и, соответственно, динамического хаоса в двумерной системе с потенциалом Леннарда-Джонса мы рассмотрели поведение системы из 16 частиц на плоскости,. связанных потенциалом (1). Система представляла собой квадратную решетку. Учитывалось взаимодействие лишь ближайших соседей. -

Мы наблюдали за изменением во времени расстояний между координатами системы в фазовом пространстве и провели расчеты максимальных показателей Ляпунова (для этой системы при различных значениях энергии в ней(рис. 3 кривая 4). Ыы видим, что если энергия. Е^ приходящаяся на одну степень свободы, превышает 0.05, можно заведомо говорить о существовании хаоса

V

В третьей главе рассмотрены вопросы распространения области стохастического поведения в двумерных системах с потенциалом Леннарда-Джонса.

Отметим, что в условиях стохастического поведения становится возможным изучать распространение тепла в системах, состоящих из очень малого числа частиц С4].

На наш взгляд, представляет интерес изучить распространение области стохастического поведения при числе частиц доста-

точно большом для того , чтобы имитировать,хотя бы приближенно, поведение реальных физических ' систем. С ростом энергии в системе постепенно разрушаются все инвариантные торы и , начиная с некоторого значения Е0, можно считать, что все торы разрушились и поведение системы носит стохастический характер. В дальнейшем мы будем называть любую энергию, превышающую Е^, энергией хаоса и обозначать Е^. Целесообразно рассмотреть распространение энергии Е^ вдоль системы , после создания такой энергии в одной из ее частей, тогда как в другой части системы в начальный момент Е<Е0 и движение имеет регулярный характер. Поскольку в одномерных системах наблюдение распространения области хаотического поведения затруднено по причине распространения возмущений в виде звукоподобных импульсов, мы рассмотрели случай двумерной системы.

Для изучения процесса распространения области стохастического поведения в двумерной системе с потенциалом Леннар-да-Джонса мы использовали следующую модель. Две подсистемы размерами частиц каждая были с трех сторон окружены непроницаемыми стенками, а четвертой - соприкасались друг с другом. Стенки представляли собой частицы, идентичные исследуемым. Частицы подсистемы 2 пр»Л-0 покоились, а в подсистеме 1 уровень начальной энергии задавался таким, чтобы обеспечивалась стохастичность в поведении обеих подсистем при перераспределении энергии в процессе взаимодействия. Полный импульс подсистем был равен 0.

После приведения подсистем в соприкосновение начинался процесс перераспределения энергии. Мы вычисляли значения кинетической энергии частиц каждого из N столбцов решетки покоящихся первоначально частиц вдоль направления распространения возмущений( оси х) и сравнивали ее с уровнем Т0 ( Еа /2 ). На начальном этапе перераспределения энергии мевду подсистемами наблюдается распространение возмущений в виде звукоподобных импульсов, однако на больших временах характер движения изменяется.

Результаты исследований, для системы из 400 частиц показа-

Рис.2. Распределение энергии в системе из 400 частиц.

И-номер столбца Чертой отмечен уровень энергии Е для столбца

а) 1)1-5 2) Ъ-Ю 3) Ъ-20 4) ^-30 5) Ь-40 Е > Е0

б) 1)Ъ-2 2) Ъ-5 3) Ъ-10 4) Ь=20 5) Ь=30 6) 1-40. Е < Е0

ны на рис. 2. Для определенности можно принять значение кинети-• ческой энергии Т4, соответствующее стохастическому поведению за 0.025 в соответствии с результатами [3] и данными рис. 3. В нашем случае для столбца это значение энергии равно 1.0 . Из рис. 2а мы видим, что такое значение энергии распространяется по системе со скоростью не более 0.1 в используемых нами единицах измерения. Эта скорость по крайней мере на два порядка меньше скорости звука для данной системы 4 которая имеет порядок 10 . Отметим, что в рассматриваемой задаче характеристическое время порядка единицы и за время Ъ~10 первоначально близкие в фазовом пространстве траектории успевают разойтись на значительное расстояние . В то же время выравнивания.энергии между подсистемами при Ь-Ю еще не наблюдается . В случае же малых энергий( рис. 26) за достаточно короткий промежуток

времени происходит значительное перераспределение энергии между подсистемами, фи этом характер перераспределения существенно отличается от случая высоких энергий.

Аналогичные результаты получены и для систем из 128 и 300 частиц.

Выполненные нами вычислительные эксперименты показали, что в двумерной Леннард-Дшнсовской системе при Е> Е0 возникают условия для образования области стохастического поведения. Скорость распространения такой области в рассматриваемой системе оказывается на два порядка меньше скорости распространения звукоподобных импульсов, фи этом процесс перераспределения энергии в случае регулярного поведения системы, когда Е<<Ео,

качественно отличается от случая хаотического поведения. Характер распространения области стохастического поведения позволяет интерпретировать ее медленнее распространенно, как распространение "тепловой зоны".

Далее мы . рассматривали поведение системы из 400 частиц, которая была заключена в ящик с непроницаемыми стенками. Система состояла из двух подсистем. В первой подсистеме (из 100 частиц ) в начальный момент времени частицы двигались , во второй -покоились. После приведения подсистем в соприкосновение начинался процесс перераспределения энергии. Мы вычисляли долю энергии ( d ), перешедшей из первой подсистемы во вторую за фиксированное время наблюдения ( t-Ю ). Процесс рассматривался при различных значения энергии ( в перерасчете на энергию Et, приходящуюся на одну степень свободы). 1£ы видим (рис. 3 кривая 3), что при низких энергиях (Е << Е0 ),когда поведение системы мозшо представить как поведение системы связанных слабонелинейных осцилляторов , доля перераспределенной энергии за время t-Ю примерно одинакова для всех значений энергии Е . фи повышении энергии ( Е-0.02-0.05 ) наблюдается некоторое увеличение доли перераспределенной энергии , а затем резкое уменьшение.

Аналогичная картина наблюдается и в системе из 150 частиц :ри времени наблюдения t-Ю и соотношении числа частиц в под-

ig E,

Рис. 3. Зависимость доли энергии (d) подсистемы 1, перешедшей в подсистему 2 за время Ъ=5,от энергии Е,в системе. 1) система из 150 частиц, 2) система из 150 частиц, 3) система из 400 частиц, 4) максимальный показатель Ляпунова/

системах 1:4 (рис.3 кривая 1), и для той же системы при времени наблюдения t>5 и соотношении числа частиц 3:2 (рис.3 кривая 2).

Для сравнения на рис. 3(кривая 4) приведены значения максимальных показателей Ляпунова в двумерной леннард-джонсовской системе. Мы видим .что наблюдается резкое уменьшение доли перераспределенной энергии именно тогда , когда в системе-возникает стохастичность.

В этой же главе описаны вычислительные эксперименты по обращению времени. Проблема описания необратимого поведения динамических систем на основе обратимых уравнений движения имеет фундаментальное значение. Вычислительные эксперименты по обращению времени позволяют непосредственно изучать связь ди-

намического хаоса и необратимости в эволюции физических систем.

В данной работе мы исследовали динамику двумерной консервативной системы частиц, взаимодействующих посредством потенциала Леннарда-Джонса .рассматривая состояния системы до и после проведения операции обращения времени.

В момент времени Ь-0 все частицы имели одинаковую потенциальную энергию, кинетическая энергия частиц подсистемы 2 была равна нулю, тогда как кинетическая' энергия частиц подсистемы 1 варьировалась.

В момент времени Ь-Т значения импульсов всех частиц менялись на противоположные по знаку (р^—р;), что соответствует эперации обращения времени. В этот гаэ момент времени изменялись и абсолютные значения импульсов 20 выбранных частиц(по 10 в каждой из подсистем) на малую величину £. Это соответствует

"ТТЛЛ гжчлгмп» п»гптл1Л1 п Лппг>пли пплятпгцтт^л п Л «гг>-

иСГрОСГЫТЬ^Г А. рСАОГЫ ирпх! Опил^/пия и ^иоииига рЪДАА^Л и

лежащую точку, и вводит малую неопределенность в состояние системы в момент Ь-Т. Мы сравнивали состояния системы в симметричные моменты времени Ь и Ч при различных начальных значениях энергии Е в системе.

В случае малых энергий ( Е-0.02746) в процессе перекачки энергии из подсистемы 1 в подсистему 2 первоначальная "ступенька" кинетической энергии расплывается по всей системе. Эперация обращения времени проводилась в момент Т-84. В этот те момент вводилась неточность в значения импульсов 20 частиц. Величина неточности была порядка 10* от абсолютного значения лмпульсов частиц. Продолжая наблюдать за эволюцией системы, мы сравнивали ее состояния в соответствующие моменты до и после эбращения времени. Оказалось,что сравниваемые состояния практически совпадают, включая начальное и конечное. "Ступенька" восстанавливается.

При больших значениях энергии ( Е-68.65) таю® наблюдается перераспределение энергии между подсистемами. В момент времени Т-84 проводилась операция обращения времени и вводилась неточность порядка 10 от абсолютного значения импульсов тех же

частиц. Таким образом, величина неточности относительно значений импульсов частиц во втором случае оказывается на порядок меньше, чем в первом.

Поведение систем с потенциалом Леннарда-Джонса, рассматриваемое с точки зрения существования или отсутствия необратимости, при наличии малой неточности зависит от уровня энергии. Оказалось, что при малых значениях энергии состояния системы в симметричные относительно обращения времени моменты практически совпадают, то есть,система ведет себя обратимым образом. Однако при больших, значениях Е поведение системы при введении неточности приобретает качественно иной, необратимый характер. Соответствующие состояния системы до и после обращения времени остаются близкими лишь на временах Ъ~1-4, на больших же временах они достаточно быстро забывают друг о друге.

Вычислительные эксперименты помогают понять " роль неточности в развитии системы и' наряду с опытами по эволюции реальных физических систем в условиях, эквивалентных обращению времени, должны внести свой вклад в решение проблемы необратимости,

В четвертой главе исследован эффект эха гашения в системах с потенциалами Леннарда-Джонса,Тоды и Морза

С помощью эха гашения были получены конкретные результаты по определению плотности состояний нормальных мод, нахождению самих нормальных мод и анализу ангармонических эффектов в многочастичных системах взаимодействующих частиц[53. При проведении вычислительных экспериментов по эху гашения в динамической системе взаимодействующих частиц в момент времени 1-0 движение частиц гасится т.е. мгновенно останавливаются все частицы. Затем они высвобождаются с нулевыми скоростями, при этом полная энергия системы уменьшается на величину, равную кинетической энергии до гашения. Через промежуток времени ^ операция повторяется и спустя время Ц после второго гашения наблюдается "неожиданное" падение кинетической энергии, что и называют эхом гашенияТрис. 4а).

Выполненные нами исследования поведения цепочки с потенциалом Леннарда-Джонса показали , что с ростом энергии системы (рис. 46) и при увеличении промежутка времени между гашениями (рис. 4в) эхо исчезает. Энергия, при которой наблюдается исчезновение эха гашения , соответствует наличию динамического хаоса в системе. С нашей точки зрения, естественно рассматривать исчезновение эха гашения как одно из проявлений стохастичнос-ти, а сам эффект-как один из методов изучения этого явления.

Представляет' интерес изучить эффект эхо. гашения и в системе с потенциалом Тоды. Это связано с тем , что , в отличие от системы с потенциалом Леннарда-Джонса, цепочка Тоды представляет собой модель интегрируемой нелинейной динамической системы.

Исследование поведения такой системы проводилось нами при различных значениях начальной кинетической энергии Т0 и различных промежутках времени ЬА между гашениями. Оказалось, что с ростом Т0 относительная глубина эха хотя и уменьшается, однако остается достаточно большой и при таких значениях Т„ , при которых в нашей задаче амплитуды колебаний частиц становятся порядка расстояния между ними.

Увеличение интервала между гашениями не приводило к заметному ослаблению эффекта Эти результаты можно интерпретировать как одно из проявлений регулярности поведения системы. Таким образом, нелинейность в системе , приводящая к стохас-тичности поведения на наш взгляд, является причиной исчезновения эффекта памяти-эха гашения.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Перечислим основные положения, выносимые на' защиту:

1. Методом вычислительного эксперимента обнаружено существование стохастического поведения в системах из трех частиц , связанных потенциалами Леннарда-Джонса, Морза , Бакингема. Исследования проведены методом отображений Пуанкаре и посредс-

твом наблюдения расходимостей в фазовом пространстве первоначально близлежащих траекторий.

2. Вычислены максимальные показатели Ляпунова в двумерной системе с потенциалом Леннарда-Джонса при различных энергиях в системе и показано, что в двумерных системах стохастич-ность возникает, когда энергия системы, приходящаяся на одну степень свободы, становится порядка нескольких процентов от глубины потенциальной ямы .

3. Выявлено, что скорость распространения области стохастического поведения (зоны хаоса) в системах с исследуемым потенциалом значительно (по крайней мере на два порядка) меньше скорости звука в системе.

4. Исследовано перераспределение энергии между двумя подсистемами частиц с потенциалом Леннарда-Джонса . Выявлено, что относительная доля энергии, перетекающей из "горячей" системы в "холодную", значительно уменьшается с ростом максимального показателя Ляпунова, т. е. с развитием локальной неустойчивости.

5. Обнаружено,что малая неточность,вводимая в состояния системы в условиях обращения времени , приводит к необратимому поведению системы при энергиях, соответствующих стохастическому поведению.

6. Показано существование явления эха гашения в одномерных системах с потенциалами Тоды и Леннарда-Джонса и трехмерных системах с потенциалом Мэрза. Сделан вывод об исчезновении эха при возникновении стохаетичности.

Цитированная литература

1. Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука.

1984,- 271с.

2. Henon М. , Heiles С. The Applicability of the Third Integral of the Motion: Some Numerical Results.- Astron J.1964,v. 69, p. 73-79.

3. Casartelli M. , Diana E. , Galgani L. , Scotti Ä. Numerical Computations on a Stochastic Parameter Related to the Kolmogorov Entropy. -Phys. Rev. A, 1976, v. 13,p. 1921-1923.

4. Casati G., Ford J., Vivaldi F., Visscher W. H. One-dimentional Classical Many-Body System Having a Normal Thermal Conductivity. -Phys. Rev. Lett. ,1984, v. 52,p. 1861-1864.

5. Gres.t G.S. .,Nagel S. R. ,Rahman A. Quench Echoes in Molecular Dynamics-A New Phonon Spectroscopy.-Solid State Comm. 1980, 36, p. 875-885.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих

работах:

1.Овчинников M. Е , Скребнев В. А. Стохастичность в системах с потенциалом Леннарда-Джонса при малом числе частиц. - Письма в ЖЭТФ.1991, т. 54, вып. 7, с. 410-413.

2. Овчинников M. Е .Скребнев В. А. Распространение области стохастического поведения в двумерных системах с потенциалом Леннарда-Джонса Казан, ун-т. Казань, 1991,13с. .Библиография 6 наим. -Деп. в ВИНИТИ 06.05.91, N 1834 В91.

3. Овчинников M. Е , Скребнев RA. О скорости распространения области стохастического поведения в двумерных системах с потенциалом Леннарда-Джонса,- Украинский физический журнал, 1992, N8, с. 1276-1279.

4. Овчинников M. Е 0 скорости перераспределения энергии в двумерных системах с потенциалом Леннарда-Джонса -Известия вузов. Физика. , 1992, N6, с. 124-125.

5. Овчинников M. Е Эхо гашения в системе с потенциалом Тоды. -ФГТ, 1991, т. 33,N9, с. 2755-2756.