Ослабление корреляций в системах с импульсным воздействием и динамическая теория распада кластера тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

на правах рукописи

ЧИЧИГШШ ОЛЬГА АЛЕКСАНДРОВНА

Ослабление корреляций в системах с импульсным воздействием и динамическая теория распада кластера

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1997

Работа выполнена на физическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук, профессор Р. Л. Стратонович Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Ю. Л. Климонтович, доктор физ.-мат. наук, профессор Ю. А. Кравцов

Ведущая организация: Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского

Защита состоится "4?С?'¿^¿З^й?.199:? года в часов на заседании диссертационного совета К.053.05.18 физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова по адресу. 199899, Москва, МГУ, физический факультет, Центральная физическая аудитория им. Р. В. Хохлова.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан 'сЙ£".Сг?Й<2?...1997?года.Ученый секретарь

диссертационного совета К.053.05.18 доктор физ.-мат. наук

П. А. Поляков

Общая характеристка работы

Актуальность темы

Изучение случайных процессов привело к возникновению двух важных разделов современной физики: теории динамического хаоса, связывающей случайность поведения системы с внутренней неустойчивостью ее динамики, и теории открытых систем, в которых эта случайность обеспечивается внешними шумовыми воздействиями. Это разделение является, однако, несколько условным. Аналитические методы исследования случайных процессов применимы только для решения сравнительно простых задач, например, для описания систем с малым числом степеней свободы в случае динамического хаоса или открытых систем, воздействие на которые сводится к дельта-коррелированным шумам. Все это приводит к необходимости развития, во-первых, новых аналитических методов для вычисления корреляционных функций и оценки характерных параметров хаотических систем, и, во-вторых, методов исследования возможности применения существующих подходов (особенно здесь следует отметить теорию марковских процессов). Решению обеих этих задач и посвящена данная работа.

Следует отметить, что современное развитие компьютерной техники привело к некоторой переоценке возможностей численного эксперимента. При описании систем с динамической неустойчивостью даже очень малые шумы дискретизации могут приводить к качественно иной картине. Таким образом, важность разработки именно аналитических методов возрастает в связи с необходимостью оценки правильности результатов численного эксперимента.

С точки зрения практических приложений, интерес к этой проблеме связан с возможностью определения статистических характеристик системы, например, времени распада кластера или затухания корреляций, по ее динамическим параметрам, и наоборот.

Цели диссертационной работы

1) Развитие аналитических методов исследования динамических систем, проявляющих хаотические свойства, на примере ряда моделей: осциллятора Неймарка с отрицательным трением, нестабильного кластера, квантовой броуновской частицы.

2) Компьютерное моделирование указанных систем для проверки теоретических предсказаний.

3) Анализ возможности единого подхода как к открытым системам, так и к системам с динамическим хаосом при исследовании применимости марковского подхода.

Научная новизна

Научная новизна работы состоит в том, что в ней впервые предложен метод "марковской дискретизации" для вычисления корреляционной функции непрерывного случайного процесса путем подбора "марковского разбиения" области значений случайной величины и сведения процесса к дискретному.

Вопреки существующим представлениям, показана неприменимость теории квантовых марковских процессов для описания квазиклассических открытых систем.

Впервые разработана и аналитически исследована чисто динамическая модель распада кластера, демонстрирующая возникновение в результате динамического хаоса не только необратимости, но и марковского характера поведения системы. Введено универсальное понятие критерия марковости.

Научная и практическая ценность

Научная ценность работы определяется развитыми в ней

аналитическими методами исследования простейших физических систем с хаотическим поведением и применением этих методов для доказательства невозможности описания квантового броуновского движения с помощью марковской теории и для построения чисто динамической модели распада кластера.

Практическая же значимость работы определяется тем, что указанная модель позволяет вычислять время жизни кластера или молекулы в слабо нестабильном состоянии по известному потенциалу взаимодействия между атомами, например, в случае кластеров инертных газов.

Защищаемые положения

1) Для расчета корреляционной функции хаотического процесса в осцилляторе с отрицательным трением применим метод, основанный на подборе соответствующего марковского отображения скорости.

2) Марковский подход неприменим для описания движения квантовой броуновской частицы как в стационарном, так и в нестационарном случаях.

3) Метод аналитического описания самопроизвольного распада кластера или молекулы на основе чисто дина-

мической модели позволяет вычислить среднее время жизни и получить кривую распада.

4) Возможно создание единых методов исследования условий применения теории марковских процессов для открытых систем и систем с динамическим хаосом.

Публикации

Основные результаты диссертационной работы изложены в 3 печатных статьях, перечень которых приведен в конце автореферата.

Содержание работы

Диссертация состоит из четырех глав, Заключения и списка литературы.

Во Введении обсуждается актуальность темы работы, формулируется ее цель, кратко охарактеризованы основные полученные результаты, их научная новизна и практическая ценность. Дана краткая аннотация к каждой главе диссертации.

В начале первой главы, представляющей собой литературный обзор, рассмотрены история развития и основные понятия теории динамического хаоса. Здесь даны опре-

деления динамической системы, фазового пространства и аттрактора; обсуждается размерность странного аттрактора. Возникновение случайного поведения системы, описываемой нестохастическими уравнениями, проиллюстрировано процессами в биллиардах. Проведено краткое обсуждение трудностей исследования квантового динамического хаоса. В качестве примера стохастической системы приведены кластеры благородных газов.

Далее проанализированы основные методы описания воздействия на систему внешних шумов на примерах броуновского движения и диффузионного преодоления потенциального барьера.

В заключение этой главы рассмотрены общие подходы к исследованию случайного поведения систем, определены понятия степени детерминизма и корреляционного интеграла.

Вторая глава посвящена исследованию динамического хаоса в одномерном осцилляторе с отрицательным трением. Благодаря этому трению, амплитуда колебаний экспоненциально увеличиваеся (в 7 раз за один период), но в момент времени, когда скорость х достигает определенной величины о > 0 и превосходит ее, маятник испытывает

Рис. 1. Траектория движепия осциллятора Неймарка в фазовом пространстве в случае аномального режима (х = у).

удар при х = О, уменьшающий скорость на /г. В фазовом пространстве движение изображается раскручивающейся спиралью со скачками вниз (рис 1). Процесс можно свести к точечному отображению на оси скоростей, т.е. отображению за полпериода колебаний осциллятора. Отображение является марковским, если отрезок, содержащий все возможные значения скорости при х = 0, можно разбить на некоторое число элементарных отрезков, каждый из которых при преобразовании целиком переходит в один или

несколько таких отрезков. Доказано также, что точки марковости расположены всюду плотно на плоскости параметров 7, Н/а и любой процесс можно приближенно описать соответствующим марковским отображением. Получена рекуррентная формула для вычисления корреляционной функции в случае наличия марковского разбиения. Вид полученных с ее помощью корреляционных функций подтвержден результатами компьютерного эксперимента.

В третьей главе рассмотрен вопрос о применимости теории квантовых марковских процессов для описания движения квантовой броуновской частицы. Результаты этой теории, основанной на применении квантового фундаментального уравнения, сравниваются с теми, которые дает флуктуационно-диссипационная теорема (или квантовая формула Найквиста). Показано, что совпадение этих результатов происходит только в классическом пределе, что и доказывает неприменимость марковского приближения. На рис. 2 представлена зависимость производной среднего квадрата смещения ¿(|Дг(£)|2)/гЙ квантовой броуновской частицы от безразмерного времени при различных значениях параметра квантовости у = ^Ь/кТ. Рисунок демонстрирует расхождение предсказаний двух теорий во всех

случаях, кроме классического.

0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05

0,00

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

ут

Рис. 2. Производпые среднего квадрата смещения при разных значениях параметра "квантовости11 у, вычисленные с помощью ФДТ (сплошные линии), а также с применением марковского подхода (штриховые линии): у = 0.5(1), у = 1(2) у = 2(3).

Можно полагать, что это является общим свойством квазиклассических систем, взаимодействующих с термостатом. Дело в том, что теория марковских процессов дает форму корреляционных функций, похожую на форму для классического случая, тогда как ФДТ приводит к более

3

сложной их форме.

К тем же выводам о неприменимости марковского приближения приводит и рассмотрение нестационарного случая скачка температуры в среде.

Четвертая глава посвящена построению модели самопроизвольного распада кластера или молекулы. Поскольку в случае малого числа атомов в системе применение диффузионной марковской теории оказывается необоснованным, возникает необходимость чисто динамической теории, где используются нефлуктуационные уравнения Гамильтона. Вследствие неустойчивости движения частиц в системе возникает динамический хаос, что в стабильном кластере привело бы к установлению равновесного распределения вероятностей за некоторое время сомостохастизаци Это же распределение приближенно описывает нестабильный кластер при условии, что среднее время его жизни £аи много больше причем чем лучше выполняется это неравенство, тем ближе характер распада к экспоненциальному, который предсказывает марковская теория.

Простейшей двумерной моделью, описывающей такой распад, может быть метастабильный вариант бильярда Синая. Материальная точка движется в области, очерчен-

ной квадратом, внутри которого вырезан круг. В стенках квадрата есть малое отверстие, через которое возможен выход материальной точки, означающий распад кластера. Найденное среднее время жизни такого "кластера" хорошо согласуется с результатом, полученным в компьютерном эксперименте. Кривая распада оказывается близкой к экспоненте.

0,1

0,0

0,2

0,4

Е,/е

Рис. 3. Зависимость вероятности а' распадов кластеров, состоящих из разного количества частиц (указапного числами у кривых), от эпергии, нормированной па кТ, где Т — температура

В предположении сильно упрощенного прямоугольного потенциала взаимодействия можно вычислить постоянную распада для любого N числа атомов в трехмерном кластере (рис. 3). При N оо результат принимает форму, хорошо известную из диффузионной теории достижения границ.

О 2000 4000 6000 В000 10000

т

Рис. 4. Кривые распада кластера из трех частиц, взаимодействующих по закону Ленпарда-Джонса (кривые 1 и 3) при разных значениях энергии и аппроксимирующие их экспоненты (кривые 2 и 4 соответственно)

В общем случае для нахождения постоянной распада приходится вычислять многократные интегралы, кратность

которых удается понизить до некоторого предела. Так в случае трех атомов остается тройной интеграл, который может быть вычислен на компьютере. Для кластера, состоящего из трех одинаковых атомов, взаимодействующих с потенциалом Леннарда-Джонса, найдено среднее время жизни при различных значениях энергии системы, которое согласуется с данными компьютерного эксперимента. Этот результат может быть применен для оценки погрешностей в опытах с пучками благородых газов, предполагаемых стабильными. Вид полученных кривых распада близок к экспоненциальному (рис. 4). Это показывает, что классические результаты молекулярной физики могут быть получены при рассмотрения систем с малым числом степеней свободы.

Выводы

1) При любых значениях параметров осциллятора с отрицательным трением можно рассчитать корреляционную функцию хаотического процесса в нем при помощи подбора соответствующего марковского отображения.

2) Доказана неприменимость марковского подхода для описания движения квантовой броуновской частицы как

в стационарном случае, так и в нестационарном, и проведено обобщение этого результата для всех квазиклассических систем.

3) Разработана чисто динамическая модель самопроизвольного распада кластера или молекулы, которая позволяет вычислить среднее время жизни. Показана необходимость такой модели в случае малого числа атомов и совпадение ее результатов с предсказаниями диффузи-онно-марковской теории в случае большого числа атомов.

4) Компьютерное моделирование распада кластера, состоящего из трех одинаковых атомов, взаимодействующих с потенциалом Леннарда-Джонса подтвердило результаты динамической теории. Показана возможность решения классических задач молекулярной физики путем рассмотрения малого числа частиц.

5) Проведенное исследование условий возможности применения приближения теории марковских процессов для различных физических систем показало адекват-

ность введения единого понятия параметра марковости для систем с динамическим и статистическим хаосом.

1. Публикации

1) Р.Л.Стратонович, А.А.Рузмайкина, О.А.Чичигина, Динамический хаос в осцилляторе с отрицательным трением. Аномальный режим, Изв. вузов, Радиофизика, 36, 9, с. 892- 904 (1993)

2) Р.Л.Стратонович, О.А.Чичигина, К вопросу о применимости теории квантовых марковских процессоыв к анализу броуновского движения, ЖЭТФ, 105, 1, с. 106-117 (1994)

3) Р.Л.Стратонович, О.А.Чичигина, Расчет постоянной спонтанного распада кластера из одинаковых атомов по динамической теории, ЖЭТФ, 110, 4(10), с. 12841300 (1996)