Расчет коэффициентов вязкости и диффузии ряда индивидуальных газов (H2,N2,O2,O,CO,N,NO) и бинарных газовых смесей (N2-O2,O-CO,N-NO) в области высоких температур на основе центрального потенциала тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ТАКСЕИТОВ РИНАТ РЕВОВИЧ

РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЯЗКОСТИ И ДИФФУЗИИ РЯДА ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ГАЗОВ (Н2, N2, Ог, О, СО, N. N0) И БИНАРНЫХ ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ (Ыг-СЬ, О-СО, N-N0) В ОБЛАСТИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР НА ОСНОВЕ ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Казань 2005

Работа выполнена на кафедре высшей математики Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Игнатьев В.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Клоков В.В.

кандидат технических наук,

профессор Черенков А.С.

Ведущая организация - ИММ КНЦ РАН

Р 2 /О Лэ

Защита диссертации состоится > - ' • 2005 г. в на засе-

дании диссертационного совета ^ •10 Казанского государст-

венного технического университета им. А.Н. Туполева по адресу: г.Казань, ул. К.Маркса, 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан ^ • ^ • 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совнта кандидат технических наук ^

А.Г. Каримова

¿m

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Несомненным фактом, характеризующим развитие естественных наук во второй половине XX и начале XXI века, является все возрастающая роль, которую играет вычислительная техника. В то же время, для адекватного описания поведения исследуемой системы, требуется знание значений основных параметров, определяющих это поведение. Однако не всегда эти значения можно непосредственно получить из эксперимента, так как даже само проведение эксперимента в требуемых условиях часто бывает невозможно. В подобных случаях для получения значений параметров используются различные оценочные методы: от интерполяции (и даже экстраполяции) до не совсем обоснованных предположений.

Одними из таких параметров являются кинетические коэффициенты - в частности коэффициенты вязкости и диффузии - характеризующие процессы переноса в газах. Знание их значений требуется при решении задач, связанных с газовой динамикой. Такие задачи характерны для аэродинамики, химической технологии, астрофизики и некоторых областей прикладной физики, где исследуются течения ионизованных газов. Надежным инструментом для получения значений кинетических коэффициентов является строгая кинетическая теория, первые шаги в построении которой были сделаны Максвеллом и Больцманом еще на рубеже XIX-XX веков.

Основы строгой математической теории газовых смесей, заложенные еще в начале XX века С. Чепменом и Т. Каулингом, были затем развиты в работах Дж. Гиршфельдера, Ч. Кертисса, Р. Берда, Дж. Ферцигера, Г. Капера. В 50-60-е годы проблема вычисления коэффициентов переноса нашла отражение в серии статей И. Мейсона, JI. Мончика, Р. Манна, Ф. Смита, С. Саксены и других авторов. В нашей стране в разное время этой проблемой занимались C.B. Жлук-тов, И.А. Соколова, Г.А. Тирский, А.Ф. Колесников, С.А. Васильевский, E.B. Ca муйлов, H.H. Цителаури и другие.

Формулы строгой кинетической теории газов для коэффициентов переноса позволяют получить эти коэффициенты в виде отношения определителей порядка N-п, где N - число компонентов смеси, и - порядок разложения по полиномам Сонина. Элементы определителей выражаются через трехкратные интегралы (так называемые бинарные интегралы столкновений), точный расчет которых так же имеет ряд особенностей, требующих подбора численных методик. Отправной точкой здесь является вид потенциала межмолекулярного взаимодействия, который и определяет характер температурной зависимости коэффициентов переноса. Задача точного расчета подобного потенциала может быть решена только в рамках квантово - механических представлений. По настоящее время эта задача была приближенно решена лишь для простейших систем: атома гелия и молекулы водорода. Согласно этим расчетам, ветвь отталкивания такого потенциала должна описываться экспоненциальной функцией, степень которой прямо пропорциональна межмолекулярному расстоянию. Ветвь притяжения соответствует диполь - дипольному взаимодействию и обратно пропорциональна шестой степени расстояния. Переходная же область

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ j БИБЛИОТЕКА ]

яякш

"*.....■ J»

(область "сшивания" двух ветвей) исследована очень мало. Поэтому значительное практическое распространение получили различные полуэмпирические потенциалы: точечного центра отталкивания, Сазерленда, типа Леннарда - Джонса, Морзе, Бакингема и др. Одним из потенциалов, нашедших наибольшее применение, является потенциал Леннарда - Джонса (12 - 6), довольно реалистично описывающий как ветвь притяжения, так и ветвь отталкивания. Применение этого потенциала позволяет довольно точно описать температурную зависимость коэффициентов переноса в области низких температур (до 1000 К). Однако с повышением температуры точность этого описания резко падает. В современных же энергоустановках температура рабочего тела может достигать 5000 К и более. При этих температурах основной вклад в переносные свойства газовых смесей вносит переходная область потенциала взаимодействия и примыкающая к ней область ветви отталкивания.

В настоящей работе для описания высокотемпературных свойств газов был предложен потенциал типа Леннарда - Джонса (8 - 6), ветвь отталкивания которого для ряда реальных газов более адекватно описывает данные, полученные из экспериментов по рассеянию атомарных и молекулярных пучков. Эти эксперименты позволяют получить наиболее точную и надежную информацию о потенциале взаимодействия при высоких температурах, так как регистрируют сам эффект столкновения частиц. Использование потенциала типа Леннарда -Джонса (8 - 6) позволило значительно лучше согласовать значения коэффициентов переноса с экспериментальными данными в широком диапазоне определяющих параметров работы тепловых двигателей и энергоустановок.

Таким образом, адекватное описание переносных свойств газовых смесей при высоких температурах требует подбора и адаптации численных методов для расчета кинетических коэффициентов на основе достаточно простого (что важно в свете дальнейшего практического использования) потенциала межмолекулярного взаимодействия.

В связи с вышеизложенным целью настоящей работы является:

— адаптация численных методов вычисления кратных интегралов для расчета бинарных интегралов столкновений при заданном центральном потенциале межмолекулярного взаимодействия;

— получение силовых параметров потенциала типа Леннарда-Джонса (8 - 6) для некоторых реальных газов в области высоких температур (2000...5000 К и выше);

— создание комплекса программ для расчета переносных характеристик газовых смесей из первых принципов.

Конкретными задачами исследования являлись:

1. Разработка численных методов для расчета в рамках теории Чепмена-Энскога с необходимой точностью бинарных интегралов столкновений при заданном двухпараметрическом центральном потенциале взаимодействия между частицами газа, имеющем как ветвь притяжения, так и ветвь отталкивания.

2. Исследование влияния на точность вычислений аппроксимации подынтегральных выражений кубическими сплайнами.

>1 \ 2 } V «а«» ■

.» ,1- -Л

3. Разработка численных методов для решения плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

4. Создание комплекса программ для расчета переносных характеристик многокомпонентных газов.

5. Табулирование бинарных интегралов столкновений для потенциалов Леннарда-Джонса (12-6), Морзе и потенциала типа Леннарда-Джонса (8-6).

6. Использование полученных численных методов и комплекса программ для расчета коэффициента вязкости смеси инертных газов 1^1е-Аг—Не, и коэффициентов диффузии бинарных смесей N6-116, Аг-Не и Ые-Аг при давлении р=1,01 105 Па.

7. Получение силовых параметров потенциала типа Леннарда-Джонса (8-6) для газов Н2, 02, N. N0,0, СО.

8. Расчет высокотемпературных коэффициентов вязкости и диффузии индивидуальных газов N2, Ог, О, СО, Ы, N0, а так же коэффициентов диффузии бинарных газовых смесей N2 - Ог, О - СО и N - N0 при давлении р=1,01 105 Па и сравнение их с данными, полученными из экспериментов.

Научная новизна работы. Осуществлена адаптация численных методов (в частности, широко используется интерполяция сплайнами) к расчету бинарных интегралов столкновений. Создан алгоритм расчета переносных свойств газовых смесей в широком диапазоне температур и давлений для любого вида двухпараметрического центрального потенциала взаимодействия между частицами смеси. По)1учены силовые параметры потенциала типа Леннарда - Джонса (8 - 6) для ряда индивидуальных газов (Н2, N2, 02, Ы, N0, О, СО), которые могут являться как высокотемпературными продуктами сгорания современных топливных смесей, так и результатами реакции этих продуктов сгорания с теплозащитными материалами соплового блока.. На основе полученных результатов произведен расчет и сравнение с экспериментом коэффициентов вязкости и диффузии указанных индивидуальных газов и газовых смесей в диапазоне температур 2000... 10000 К при давлении р= 1,01 105 Па.

Практическая ценность. Разработанные в диссертации численные методы и комплекс программ позволяют решать широкий круг задач, связанных с численным моделированием физико - химических процессов в современных энергоустановках и тепловых двигателях без обращения к эксперименту.

Достоверность результатов обеспечивается:

— математической строгостью постановок и методов решения задач;

— удовлетворительным согласованием полученных результатов с теоретическими и экспериментальными данными, опубликованными ранее другими авторами.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались на II Республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов (Казань, 1996 г.), I Международной конференции "Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении" (Казань, 1997 г.), Юбилейной научной

и научно-методической конференции "Актуальные проблемы научных исследований и высшего профессионального образования" (Казань, 1997 г.), Республиканской научной конференции "Проблемы энергетики" (Казань, 1997 г.), VIII Четаевской международной научной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2002 г.), научных семинарах кафедры высшей математики КГТУ им. А.Н.Туполева (Казань, 1998 - 2005 г.г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ, список которых приводится в конце автореферата. ^

Личный вклад автора. Основные идеи, разработки и результаты, изложенные в диссертации, полностью принадлежат автору. В диссертации используются также результаты научных работ, выполненных в соавторстве с Игнатьевым В.Н. В этих работах соискателю принадлежат: программная реализация разработанных автором алгоритмов и методов расчета переносных свойств реагирующих продуктов сгорания ракетных топлив, формирование исходной информации для выпочнения расчетов, выполнение расчетных работ, анализ полученных результатов, формирование выводов и рекомендаций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, трех приложений, списка литературы, включающего 113 наименований и содержит 22 таблицы и 31 рисунок. Общий объем диссертации составляет 161 страницу машинописного текста.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Численные методы и комплекс программ для вычисления коэффициентов переноса из первых принципов;

2.Результаты расчета силовых параметров потенциала типа Леннарда -Джонса (8 - 6);

3. Результаты расчета значений коэффициентов вязкости и диффузии индивидуальных газов N2, Ог, О, СО, N. N0 и коэффициентов диффузии бинарных газовых смесей N2 - О2, О - СО и N - N0 в диапазоне температур 2000... 10000 К.

Содержание работы

Во введении обсуждается актуальность темы диссертации, формулируются цели и задачи, описывается структура работы.

Раздел 1.1 первой главы посвящен обзору результатов, полученных разными авторами по тематике диссертации к настоящему времени. Кратко изложено об истоках молекулярно-кинетической теории газовых смесей, являющейся основой для вычисления коэффициентов переноса в данной работе.

Рассмотрены также два важных раздела кинетической теории, а именно исследование потоков ионизованных газов и изучение динамики сильно разреженного газа. Упомянут такой объект кинетической теории, как физика плазмы, охватывающий чрезвычайно широкий диапазон явлений.

Анализируются методы получения приближенного решения уравнения Больцмана разложением в ряд функции распределения - методы Гильберта,

Чепмена и Энскога. Показано преимущество метода Энскога в сравнении с первыми двумя. Далее кратко излагаются и обосновываются основные постулаты метода Энскога.

Как уже упоминалось ранее, для получения коэффициентов переноса многокомпонентной газовой смеси необходим предварительный расчет соответствующих бинарных интегралов столкновений, которые, в свою очередь, зависят от вида потенциала взаимодействия между частицами газа. В связи с этим в разделе 1.2 первой главы приводятся различные виды центрально-симметричных модельных потенциалов.

В разделе 1.3 приведены некоторые опубликованные сведения о потенциалах взаимодействия и сечениях рассеяния нейтральных и заряженных частиц, а так же соответствующие выражения для бинарных интегралов столкновений.

В разделе 1.4 обсуждаются недостатки полученных ранее различными авторами приближенных формул для вычисления коэффициентов переноса (например формула Уилки для вязкости, формула Мейсона и Саксены для теплопроводности и др.), а так же численных методов для расчета бинарных интегралов столкновений.

Во второй главе в разделах 2.1 - 2.2 приводятся конкретные выражения для вычисления коэффициентов вязкости и диффузии. В рамках классической кинетической теории метод Чепмена-Энскога позволяет в любом приближении получить кинетические коэффициенты газовой смеси путем решения систем линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которых представляют собой линейные комбинации П-интегралов (бинарных интегралов столкновений).

В частности, коэффициент вязкости смеси, содержащей К компонентов, определяется выражением:

где к - постоянная Больцмана, Т - темцература, п; - плотность числа частиц /го сорта, N - плотность числа частиц смеси, п - порядок приближения в разложении по полиномам Сонина. Коэффициенты находятся из решения следующей системы линейных алгебраических уравнений для неизвестных

»•••' и1,я-1 •

¡ = 1,...,К; р = 0,...,П-К (2)

где би - символ Кронекера. Коэффициенты Н™ выражаются через парциальные интегральные скобки, и могут быть записаны в виде линейной комбинации О-интегралов.

Далее, в разделе 2.3 описываются численные методы расчета С2-интегралов, которые в безразмерных переменных имеют следующий вид:

2ят., ч /

H-fr

Г

Qlj4g')dg\ (3)

где функция Q{, 'j\g ) - среднее сечение рассеяния:

0o(g') = - cos1 xtJ{b',g')]b-db-, (4)

0

X,j{b',g') - угол рассеяния одной частицы в потенциальном поле другой. В

случае, если взаимодействие между молекулами описывается центральным потенциалом, он равен:

dr/r1

i^m

(5)

Здесь функция (Ре//(.г)~ <Р (? ) Н--^— - эффективный потенциал

г

взаимодействия двух частиц. Нижний предел интеграла г'т - расстояние наибольшего сближения двух сталкивающихся частиц (точка поворота), является наибольшим корнем уравнения:

= (6)

Численный расчет трехкратного интеграла является сложной задачей даже в том случае, если поведение подынтегральной функции хорошо известно. В нашем случае имеют место следующие особенности в поведении подынтегральной функции:

1) сингулярность подынтегрального выражения при г=гт в формуле для угла рассеяния (5);

2) быстрые осцилляции подынтегрального выражения в (4), обусловленные явлением "орбитального" движения частиц друг около друга при определенном значении прицельного параметра - в случае, если в расчетах учитывается притяжение между частицами.

Наиболее сложным для вычислений является случай орбитального движения частиц друг около друга. Такое движение имеет место при некотором критическом значении прицельного параметра Ь* =Ь*0. При параметрах Ъ", близких к Ьо, угол рассеяния хч(Ь*,£*) принимает большие отрицательные

значения, что приводит к быстрым осцилляциям в подынтегральном выражении формулы (4). Такое поведение имеет место из-за наличия у функции

горба, максимум которого стремится к величине д'2 при Ь* —> Ь'а. На рис.1 показано поведение функции <р"е// (>"*) при различных значениях параметра Ь' и фиксированном значении g'.

<Ре//(г*)

Рис.1

На рис. 2 приведен вид кривой 1-соз;}^*,Ь*) при <(^*2)с. При Ъ' —> видны быстрые осцилляции этой функции.

1—сое х 1 ~

Рис.2

Для определения верхнего предела (£*г)с> выше которого <р',//(г') имеет монотонно убывающий вид (точка перегиба), решается следующая система из трех уравнений:

<р",М)=°> <р"!Мь)=0, (7)

| имеет лишь

Как видно из рис.1, при g'2 < )с и ¿>, < Ь0, уравнение (6) ]

один корень, лежащий левее значения г'0. При я'* <{$'2)с и Ь2>Ь0 уравнение (6) может иметь от одного до трех корней, однако искомый наибольший корень всегда лежит правее значения гЦ. В этом случае перед использованием

метода Ньютона проводилось пошаговое исследование функции ?>*//(/**) правее точки Го с целью нахождения значения корня, достаточно близкого к искомому для обеспечения сходимости метода касательных.

При g'2 > (g"2 )с уравнение (6) всегда имеет только один корень, который легко определяется методом касательных Ньютона.

При вычислении интеграла в формуле (5) для угла рассеяния была использована квадратурная формула Чебышева (см. например Крылов В.И., "Приближенное вычисление интегралов", 1967). При этом была сделана сле-

. 2 г /

дующая замена переменных г = у j, и в подынтегральном выражении

выделен весовой множитель (1 -12) 2. В результате выражение для угла рассеяния приобрело следующий вид:

л. iá> " -y/l_a'

Z,j(b,g)*x-тггХ ! . L.,( (8)

i'—

где а, = cosí

Данный метод позволяет уже при N=32 получить точность вычислений в 7 значащих цифрах.

Однако вблизи критического значения прицельного параметра b¡ точность формул Эрмита резко падает. Поэтому в области [о.956д, число точек разбиения в зависимости от близости к задавалось в пределах от 64 до 1024, что позволило получить точность также в 7 значащих цифрах.

При вычислении сечения рассеяния в формуле (4) была сделана замена

переменной z-b¡2. Тогда:

Q¡'/(g) »x<rtj)\i - eos' ■ W

o

При g'2 <(g*2)c область интегрирования была разбита на две части: О, j и , co^J. В области [о, 6„2J для подынтегральной функции была использована интерполяция кубическими сплайнами. Известно (см. например Марчук Г.И., "Методы вычислительной математики", 1977), что если аппроксимируемая функция задается в узлах сетки с некоторой погрешностью, то интерполяция сплайном позволяет в какой-то степени сгладить эти погрешности и тем самым даже уточнить результат. В процессе вычислений отрезок интегрирования был разбит на М частей. Внутри каждого элемента разбиения функция

интерполировалась полиномом третьей степени. Результатом является квадратурная формула вида:

J/(*)A» \g(x)dx

/,+/,-,--g-{ j

(10)

24 ^ < 2

-»-I -«-• v У

Для вычисления ю ,•, i = 1,...... М -1, использовался метод прямой и обратной прогонки.

В процессе численного интегрирования отрезок j^O, 60'2J был разбит на

два: |o,0.95!>j j и |o.956j ,bf j для более тщательного учета области сильных осцилляций подынтегральной функции. На каждом из них строился сплайн при М=400, что оказалось достаточным для получения точности в б значащих цифр.

На интервале подынтегральная функция плавно уменьшается,

стремясь к нулю при Ь" -> <ю. Поэтому на этом участке используется квадратурная формула Гаусса-Ляпгера (Крылов В.И., Шульгина А.Т., "Справочная книга по численному интегрированию", 1966), позволяющая при числе узлов N=32 получить точность в 6 - 7 значащих цифрах:

V(l - cos'z(g',b'))db * ib,wy (l - cos' x), (11) I

где bi = ba + j/, yt и W,- абсциссы и веса квадратурной формулы, X> вычисляется для Ь, при фиксированном g'.

При g'1 > (g'2 )с на интервале [0,оо) подынтегральная функция осциллирует один-два раза, после чего плавно стремится к нулю при Ь* —><ю. Поэтому на участке этих осцилляций использовалась формула (10), а на остальном интервале была использована квадратурная формула Гаусса-Ляггера.

При расчете интеграла столкновений в соответствии с формулой (3), была

сделана замена переменной у = ——, тогда:

Т

/ \Уг еТ'

2 к m

и

Jexp(- y)y'*'Qij>(yT')d У-

(12)

Для численного расчета интеграла в (12) так же была использована квадратурная формула Гаусса-Ляггера:

П^(Г-) »

/ т. £1

2 я m

ч J

Zw^rQj'HyJ').

(13)

Приведенные численные методы были реализованы на ПЭВМ. Точность вычисления бинарных интегралов столкновений составила по крайней мере 5 значащих цифр.

Третья глава посвящена методу численного решения СЛАУ и состоит из четырех разделов. В первом разделе обосновывается выбор метода Гаусса для решения СЛАУ. Анализируется устойчивость решения относительно погрешностей элементов матрицы.

Для оценки обусловленности матрицы системы линейных уравнений используется число обусловленности:

cond(A)r= || А || • || А"11|, где || А || и || А"' || - нормы матриц А и А"'.

Чем больше число обусловленности cond(А), тем ниже обусловленность матрицы.

В данной работе для численного решения системы линейных алгебраических уравнений была разработана программа, состоящая из двух подпрограмм: MATRIX и SOLVE. Подпрограмма MATRIX оперирует только с матрицей системы. При этом выполняется только та часть метода исключения Гаусса, которая зависит от вида этой матрицы. Также сохраняются множители и ведущие элементы. На следующем этапе подпрограмма SOLVE использует эти результаты для получения решения в случае произвольной правой части.

Подпрограмма MATRIX оценивает число обусловленности матрицы cond{А) следующим образом:

■ «IUI

a»nrf(A)«max|a,gj^j , (14)

где у и г - векторы, определяемые подпрограммой, такие, что:

М 8

Данная оценка почти всегда отличается от действительной обусловленности не более чем в п раз, т.е. почти для всех матриц выполняется условие:

CQ"rf(A) i COND <, cond(А) (15)

п

Программа SOLVE использует результаты работы подпрограммы MATRIX для получения решения при произвольной правой части.

В конце раздела приводится подробное описание подпрограмм MATRIX и SOLVE.

В разделах 3.2-3.3 подробно рассматриваются СЛАУ соответственно для коэффициентов диффузии и вязкости в первом, втором и третьем порядках в разложении по полиномам Сонина. Приведены все необходимые выражения для коэффициентов этих систем через бинарные интегралы столкновений.

В четвертой главе в разделах 4.1, 4.2 проводится подробный анализ хода вычислений на примере потенциалов Леннарда-Джонса и Морзе.

Для потенциала Леннарда-Джонса система уравнений (7) на точку перегиба может быть решена аналитически )с =0 8, ((ё'Ь')!)с «2.4624). Формула для угла рассеяния (8) позволяет уже при N=32 получить точность в 6 - 7 значащих цифрах. Однако при малых к при значениях Ь*, близких к Ь1, точность этой формулы падает. Для повышения точности расчета угла рассеяния в этих областях число узлов N квадратурной формулы Гаусса-Чебышева увеличивается в интервале 64-1024 в зависимости от близости Ь' к £>о. Процесс вычисления угла рассеяния иллюстрируется в табл.1.

Таблица 1. Значение величины 1 - сопри §*2=0.004448, Ьо*М8.237077 и различном числе узлов разбиения квадратуры Чебышева в зависимости от близости Ь* к Ьр*:_

N

ь*2 16 32 64 128 256 512 1024

0.5 Ьо*' 1.76763-Ю-4 2.65342 Ю-4 2.52692 10'' 2.52694-Ю"4 2.52694-Ю-4

0.8 V 1 316776 0 977441 0 999151 0.999285 0.999285

0.95 Ьо*' 0.527743 1.987399 1.990648 1.986818 1.986792 1 986792

0.99 Ьо*2 0 025731 1 867455 1.106918 0.727981 0.691903 0.691833 0 691833

При вычислении сечения рассеяния основные трудности возникали при значениях g'2 < (д*2 , когда имел место эффект «орбитального» движения частиц друг около друга. Для более тщательного учета области быстрых осцилля-

ций подынтегральной функции отрезок 0, Ь'а j был разбит на две части:

[о,0.95б*2] и [о.9560'2,60'2]. На каждом из них число узлов квадратурной формулы (10) бралось равным М=Л00. Точность вычислений интегралов:

/ = "]' [1 - сое'} [\-cos'

о о«»;1

при разных значениях g'2 и количестве узлов М формулы (10), иллюстрируется в табл.2 (интеграл Г) и табл.3 (интеграл 7).

М

50 100 200 400

0.0063 5 542862 5.544792 5.544843 5.544844

0 071 2 462446 2.462702 2.462738 2 462739

0.7985 1.011387 1 011481 1 011495 1 011497

Таблица 3. Значения интеграла У при разных значениях в*2 и количестве узлов М формулы (10).

М

В" 50 100 200 400

0 0063 0.552866 0 554803 0 556637 0 556668

0 071 0 250997 0.251004 0.251170 0.251174

0.7985 0.113120 0 113277 0.113298 0.113299

На интервале

Ь\ подынтегральная функция плавно уменьшается,

стремясь к нулю при Ь' оо. Использование квадратурной формулы Гаус-са-Ляггера позволяет получить точность в 6 - 7 значащих цифрах.

При g'2 > ]c подынтефальная функция осциллирует один-два раза. На участке этих осцилляции также была использована интерполяция кубическими сплайнами с числом узлов М=400. На остальном интервале (где функция плавно уменьшается с ростом аргумента) использовалась формула Гаус-са-Ляггера.

Подынтегральная функция в выражении (3) - плавно меняющаяся функция, стремящаяся к нулю при g"2 —»оо. Поэтому здесь также эффективна формула Гаусса-Ляггера (И), позволяющая при N= 32 получить точность в 6 значащих цифрах.

При табулировании бинарные интегралы столкновений нормируют к значениям бинарных интегралов для модели твердых сфер - ,, то есть табулируют величину Q'"''1 = —-—'-!——, которая зависит только от приведенной

k°L

температуры Т' = .

Таблица этой величины, рассчитанной в зависимости от Т'для потенциала Леннарда-Джонса (12-6), приводится в приложении I диссертации.

Сравнительный анализ полученных результатов с ранее опубликованными расчетами других авторов показал, что более тщательный учет поведения подынтегральных функций, произведенный в настоящей работе, приводит к некоторому увеличению значений бинарных интегралов столкновений при низких температурах. Сравнение полученных результатов с результатами работы (Monchick L., Mason Е.А. J. Chem. Phys. 1961. v.35. P.1676) приводятся в табл.4.

Таблица 4. Сравнение расчета величины П'1'1' 17") выполненного в настоящей работе, с ранее опубли-

кованными результатами.

7» 0 1 04 0.6 1 0 1.6 1 8 20 ]

Hdcr работа 40119 2 3174 1 8800 1.4420 1.1688 1.1181 1.0763

Др работа 4 0079 2 3144 1.8767 I 4398 1.1679 1 1166 1 0753 1

При вычислении бинарных интефалов столкновений для потенциала Морзе были использованы численные методы, аналогичные методикам, примененным для потенциала Леннарда-Джонса. Качественно поведение этих потенциальных функций ничем не отличается: обе потенциальные кривые имеют как составляющую притяжения, так и составляющую отталкивания, а, следовательно, и потенциальную яму. Отличие состоит в экспоненциальном характере роста и убывания ветвей потенциала Морзе, в отличие от степенного - в случае потенциала Леннарда-Джонса. Также необходимо отметить, что потенциал Морзе нельзя применять при кТ>(р(0), так как кривая не обращается в бесконечность при г->0. Кроме этого, систему уравнений (7) можно решить только численно.

Точность вычислений на всех этапах численного интефирования так же составила по крайней мере 6 значащих цифр. Табулированные значения бинарных интефалов столкновений для потенциала Морзе приводятся в приложении И диссертации.

Полученные значения бинарных интегралов столкновений хорошо согласуются с результатами работы Смита и Манна (см. Smith F.J., Munn R.J. J. Chem. Phys. 1964. v. 41. № 11), хотя они, как правило, так же оказываются немного выше. Сравнение с результатами работы Гиршфельдера и Лоувиля (см. Hirschfelder J.O., Lovell S.E. WIS-AF-19. 1961) показывает хорошее согласие при С=1,2,4,6, но при С=8,10 при низких температурах (г* = 0.2) отличие может достигать 10%.

Далее, в разделе 4,3, описывается вычисление коэффициента вязкости для смеси газов Ne-Ar-He в области низких температур. При этом компоненты были взяты в различных процентных по объему составах. Потенциальные кривые взаимодействия между молекулами газов моделировались потенциалом Лен-нарда—Джонса (12-6). Значения силовых констант е и а для взаимодействия молекул одного сорта были взяты из статьи Гиршфельдера, Берда и Спотза (Hirschfelder J.O., Bird R.B., Spotz E.I. Chem. Rev. 1949. v.44. P.205).

Для получения силовых констант взаимодействия молекул различных сортов были использованы комбинационные соотношения (см. например Ферцигер Дж., Капер Г. "Математическая теория процессов переноса в газах",

1976); ап = еи = Js.-ol-e,-*) .

Для вычисления коэффициента вязкости была решена система линейных уравнений (2) в первом, втором и третьем порядках в разложении по полиномам Сонина метода Чепмена-Энскога. Ниже, в табл.5, приводятся вычисленные значения коэффициента вязкости в первом, втором и третьем порядках приближения (соответственно [ri]|, [т^, Из) при разных температурах, а также раннее вычисленные и экспериментально измеренные значения, взятые из упомянутой ранее работы Гиршфельдера, Берда и Спотза.

Таблица 5. Вычисленные значения коэффициента вязкости в первом, втором и третьем порядках прибли жения (соответственно [пЬ- [т]]2, [т^з) при разных температурах, а также раннее вычисленные и экспериментально измеренные значения.

Г.к. Состав,"/« ЧХЮ', кг/мс

Ne Аг He И. [чЬ ГпЬ Др работа Эксперимент

293 55.76 26.70 17.54 2.725 2 739 2.742 2.718 2.740

31.93 32.13 35.94 2.570 2 582 2.586 2 562 2.569

21 66 58.51 19.83 2.435 2.445 2.448 2.429 2411

21 89 23.82 54.29 2.507 2.519 2.523 2.500 2.504

373 55 76 26 70 17.54 3.216 3.235 3 238 3.205 3.237

31.93 32.13 35.94 3 040 3.056 3.060 3 025 3 044

21 66 58 51 19 83 2.907 2.920 2 925 2.895 2 886

21.89 23 «2 54.29 2.956 2.972 2.976 2 938 2.957

473 55 76 26 70 17 54 3 774 3 797 3 802 3 752 3 790

31 93 32 13 35.94 3 572 3 592 3 597 3 551 3 574

21.66 58 51 19.83 3 436 3.455 3 460 3 425 3415

21.89 23 82 54.29 3.467 3.486 3.491 3 449 3 470

Анализ табл.5 показывает, что вычисленные в третьем порядке прибли жения коэффициенты вязкости хорошо согласуются с данными других авторов, а для некоторых видов состава смеси лучше согласованы с данными эксперимента. " -

В разделе 4.4 приведены вычисленные, с использованием выше описанных методов, коэффициенты диффузии бинарных газовых смесей Ne-He, Аг-Не и Ne-Ar. Были решены системы линейньк уравнений в третьем порядке приближения. Сравнение полученных результатов с ранее опубликованными теоретическими и экспериментальными данными работы Вейсмана и Мейсона (Weissman S., Mason Е.А. J. Chem. Phys. 1962. v.37. P. 1289) приведен в табл.6.

Таблица б. Сравнение коэффициентов диффузии, полученных в настоящей работе, с данными экспери-

мента и с коэффициентами из др. работы.

Смесь T, К />•£>12, Пам2/с

Эксперимент Др. работа Наст, работа

He-Ne 20.4 0.0102*0.0001 0.0086 0.0099

90.1 0.144±0.002 0.136 0 144

194.0 0.532±0.001 0.506 0.522

293.2 1.06±0.01 1.02 1.035

473.2 2.37±0.02 2.31 2.287

Ne-Ar 72.3 0.0259^0.0001 0.0232 0.0231

193.4 0.147±0.001 0.149 0.148

291.2 0.292*0.007 0.308 0.304

373.2 0.466*0.002 0.474 0.465

473.2 0 695±0.005 0.711 0.695

Из табл.6 видно, что полученные в данной работе коэффициенты диффузии в большинстве случаев лучше согласованы с данными эксперимента.

В пятой главе осуществлен расчет высокотемпературных коэффициентов вязкости и самодиффузии индивидуальных газов N2, 02, О, СО, И, N0, а также коэффициентов диффузии бинарных газовых смесей N2 — Ог, О - СО и N - N0 на основе двухпараметрического потенциала типа Леннарда - Джонса (8 - 6). Потенциал типа Леннарда - Джонса (8 - 6) имеет вид:

А, Ч 256

Ф(г) =-S

' 27

(тНт

(16)

где г - межмолекулярное расстояние, е, а- параметры потенциала.

Множитель, пропорциональный г~* в первом слагаемом выражения (16), был выбран из следующих соображений. Из ряда экспериментальных работ по рассеянию молекулярного пучка (например: Беляев Ю.Н., Леонас В.Б. Интегралы столкновений для компонент диссоциирующего воздуха П Теплофизика высоких температур. 1968. Т.6. № 1. С. 188 - 190) известно, что при высоких температурах (2000... 10000 К) потенциал на малых расстояниях хорошо аппроксимируется функцией:

Ф(г)=(17)

где Кип- параметры, причем параметр п для большинства газов изменяется в диапазоне от 4 до 9. Поэтому, например, использование потенциала Леннарда-Джонса (12-6), приводит к достаточно большим погрешностям в данном диапазоне температур. В связи с этим показалось логичным выбрать множитель г"8.

Таблица вычисленных значений приведенных интегралов столкновений для потенциала (16) приведена в приложении III.

Чтобы получить значения силовых параметров £ и сг потенциала (16) для реальных газов был использован метод наименьших квадратов (МНК).

В соответствии с МНК искомые значения параметров а ъе/к должны минимизировать сумму:

Х^"*0 + П<2" - сг2^'"* + а<22)') ]2, (18)

где О"-» и С10л)- вычисленные из экспериментов по рассеянию молекулярного

пучка, а П<М)* и 0м*- вычисленные на основе потенциала (16) приведенные бинарные интегралы столкновений; суммирование производится в интервале температур 2000. ..5000 К.

В результате выяснилось, что функция (18) имеет глобальный минимум при значениях ^ на порядок превышающих общепринятые значения для газов, что можно объяснить узостью и специфичностью исследуемого диапазона температур. Однако согласие с экспериментальными данными при этом хорошее. В то же время аппроксимация такого потенциала на область низких температур (100... 1000 К), например, для газа молекулярного водорода, оказывается неудовлетворительной - величина относительной ошибки в коэффициенте вязкости достигает 46%. Аналогичные результаты были получены и для газов молекулярного азота, кислорода, оксида углерода. Следовательно, использование при низких температурах потенциала (16) с параметрами а и соответствующими глобальному минимуму суммы (18), приводит к большим погрешностям.

Вследствие этих причин был выбран другой путь. Значение параметра ^, определяющего минимум потенциала, было взято из справочника (Алема-

сов В.Е., Дрегапин А.Ф., Тишин А.П., Худяков В.А. Термодинамические и теп-лофизические свойства продуктов сгорания. Справочник в пяти томах. М.: ВИНИТИ, 1972). Оно определено из экспериментальных данных при низких температурах (до 1000 К) для потенциала Леннарда-Джонса (12-6). Из ряда экспериментальных работ следует, что эта величина незначительно меняется при смене потенциала. Затем величина а вычислялась при помощи МНК.

Полученные значения параметров а и ^ некоторых индивидуальных

газов приведены в табл.7. Через а и ^ обозначены параметры, соответствующие глобальному минимуму функции (18).

Таблица 7. Значения силовых параметров потенциала (16) некоторых реальных газов

Вещество <т, 10"'° м %>К СТ, 10"'° М %>К

н2 2.786 34 1.914 1078.4

N 2.541 750 2.202 1692.43

О 2.695 117 2.107 1060.9

N2 3.586 96 2.850 825.7

о2 3.619 117 2 859 992.6

N0 3.324 124 2.710 825.7

СО 3 435 101 2 870 578.9

Далее в диссертации приведены графики температурной зависимости коэффициентов вязкости и диффузии индивидуальных газов 02,0, СО, N. N0, а так же коэффициентов диффузии бинарных газовых смесей N2-02, О-СО, 1М-N0 рассчитанных в третьем порядке разложения по полиномам Сонина метода Чепмена-Энскога по различным потенциальным кривым.

Анализ показывает, что почти во всех случаях (за исключением случая газа атомарного азота), наименьшее отклонение от экспериментальных данных во всем рассматриваемом диапазоне температур имеет кривая, рассчитанная на основе потенциала (16) со значениями а и

Ниже приведены зависимости от температуры: на рис.3 — коэффициентов диффузии (а) и вязкости (б) молекулярного азота, на рис.4 — коэффициентов диффузии бинарных газовых смесей Л^ -Ог(а) и О - СО (б). При этом цифрой 1 обозначена кривая, рассчитанная на основе потенциала (16) со значениями а и взятыми из табл.7; цифрой 2 - кривая, рассчитанная в соответствии с данными по силовым параметрам потенциала Леннарда-Джонса (12-6) вышеуказанного справочника; цифрой 3 - данные, полученные из экспериментов по рассеянию молекулярного пучка; 4 - кривая, рассчитанная при использовании потенциала Леннарда-Джонса (12-6) со значениями силовых параметров, полученных из экспериментальных данных при низких температурах (до 1000 К).

Рис.4

Основные результаты и выводы

— Подобранные численные методы позволяют вычислить бинарные интегралы столкновений с необходимой точностью для любого двухпараметрического центрального потенциала взаимодействия между частицами газа;

— более тщательный учет поведения подынтегральных функций и использование кубических сплайнов при интерполяции подынтегральных выражений на участке быстрых осцилляций приводит к увеличению значений бинарных интегралов столкновений при некоторых температурах до 0.5%;

— подобранные численные методы позволяют решать с достаточной точностью плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений,

— созданный комплекс программ позволяет произвести расчет переносных характеристик многокомпонентных газов из первых принципов;

— произведено табулирование приведенных бинарных интегралов столкновений для потенциалов Леннарда-Джонса(12-6), Морзе, и потенциала типа Лен-нарда-Джонса(8-6) тех порядков, которые необходимы для вычисления переносных характеристик газов в третьем порядке разложения по полиномам Со-нина;

— на основе созданного комплекса программ осуществлен расчет коэффициента вязкости смеси инертных газов Ые-Аг-Не, и показано, что его значение превышает в большинстве случаев ранее опубликованные данные, и для некоторых видов состава смеси лучше согласуется с данными эксперимента;

— вычисленные значения коэффициентов диффузии бинарных смесей инертных газов Ые-Не, Аг-Не и Ые-Аг так же в большинстве случаев оказываются

выше ранее опубликованных данных и в большинстве случаев лучше согласуются с экспериментальными данными;

— предложен набор силовых параметров потенциала типа Леннарда-Джонса (8-6) для индивидуальных газов Н2, N2, 02, О, СО, N, NO, обеспечивающий лучшее согласование с экспериментом коэффициентов вязкости и диффузии во всем интервале изменения температуры современных энергоустановок.

— на основе созданного комплекса программ осуществлен расчет высокотемпературных коэффициентов вязкости индивидуальных газов Н2, N2, 02, О, СО, N, N0 с использованием потенциала Леннарда-Джонса (12-6) и потенциала типа Леннарда-Джонса (8-6) в диапазоне изменения температуры 2000А: <Г^10000^;

— на основе созданного комплекса программ осуществлен аналогичный расчет высокотемпературных коэффициентов самодиффузии для индивидуальных газов N2, 02, О, СО, N, N0, а также коэффициентов диффузии бинарных газовых смесей Nr-Ог, О-СО, N-NO в диапазоне изменения температуры

2OOOK<T^sqook;

— проведено сравнение полученных результатов с данными по коэффициентам вязкости и диффузии, соответствующим прямым экспериментам по рассеянию молекулярных пучков, которое показало лучшее соответствие эксперименту данных, рассчитанных с использованием потенциала типа Леннарда-Джонса (8-6) по сравнению с результатами, полученными в соответствии с данными справочника;

Публикации по теме диссертация

1. Игнатьев В.Н., Мухамедов A.M., Таксеитов P.P. К вопросу о коэффициентах переноса сплошной среды в диффузионном приближении // Тезисы докладов международной научно-технической конференции "Механика машиностроения" ММ-95. — Набережные Челны: 1996. — С. 68.

2. Игнатьев В.Н., Таксеитов P.P. К вопросу о вычислении коэффициентов переноса многокомпонентных газов // Тезисы докладов молодежной научной конференции "XXII Гагаринские чтения". — Москва: 1996. — Часть 4. — С. 31.

3. Игнатьев В.Н., Таксеитов P.P. К вопросу о вычислении коэффициентов переноса многокомпонентных газов // Тезисы докладов II республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов. — Казань: 1996. — Книга 4. — С. 78.

4. Игнатьев В.Н., Таксеитов P.P. Вычислительные методики для бинарных интегралов столкновений // Сб. трудов I международной конференции "Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении". — Казань: 1997,—Т.1.—-С. 105-109.

5. Таксеитов P.P. Вычисление переносных свойств газа для модифицированного потенциала Леннарда-Джонса // Тезисы докладов юбилейной научной и научно-методической конференции, посвященной 65-летию КГТУ

им. А.Н. Туполева, "Актуальные проблемы научных исследований и высшего профессионального образования". —Казань: 1997. — С. 44.

6. Игнатьев В.Н., Тимофеев В.И., Игнатьева И.В., Таксеитов P.P. Численное моделирование внутренних задач аэродинамики на основе схемы LI // Деп. в ВНТИЦ №01940008176, инв. № 02.960007875. Москва: 1996.

7. Таксеитов P.P. К вопросу о вычислении коэффициентов переноса многокомпонентных газов // Тезисы докладов республиканской научной конференции "Проблемы энергетики". —Казань:1997. — Ч.З. — С. 54 - 55.

8. Игнатьев В.Н., Таксеитов P.P. Численные методики для расчета коэффициента вязкости газовых смесей // Тезисы докладов VIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". — Казань: 2002. — С. 256.

9. Игнатьев В.Н., Таксеитов P.P. Численные методики для расчета коэффициентов диффузии газовых смесей // Тезисы докладов VIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". — Казань: 2002. — С. 257.

10. Таксеитов P.P. Вычислительные методики для коэффициентов переноса многокомпонентных газов — Казань. 2002. 40 с. ( Препринт Каз. гос. тех. ун-та. № 02ПЗ).

11. Игнатьев В.Н., Таксеитов P.P. Высокотемпературные коэффициенты вязкости и диффузии некоторых газов и газовых смесей, рассчитанные на основе центрального потенциала // Авиационная техника — 2004. — №4. — С.20-22.

Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,25. Усл. печ. л. 1,16. Усл. кр.-отт. 1,21. Уч.-изд. л. 1,0. _Тираж 100. Заказ £ 233._

Типография Издательства Казанского государственного технического университета 420111, Казань, К.Маркса, 10

Í257<U

РНБ Русский фонд

2006-4 29901

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА И МЕТОД ЧЕПМЕНА-ЭНСКОГА ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПЕРЕНОСА МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ГАЗОВ.

1.1. Уравнение Больцмана и метод Чепмена-Энскога.

1.2. Описание взаимодействия между частицами газов.

1.3. Имеющиеся сведения о потенциалах взаимодействия.

1.4. Приближенные формулы для расчета кинетических коэффициентов.

1.5. Выводы.

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА БИНАРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ СТОЛКНОВЕНИЙ.

2.1. Коэффициенты диффузии.

2.2. Коэффициент вязкости.

2.3. Расчет О-интегралов.

2.4. Выводы.

ГЛАВА 3. ОПИСАНИЕ МЕТОДА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

3.1. Метод численного решения системы линейных уравнений.

3.2. Система линейных алгебраических уравнений для коэффициентов диффузии.

3.2.1. Первый порядок в разложении по полиномам Сонина.

3.2.2. Второй порядок в разложении по полиномам Сонина.

3.2.3. Третий порядок в разложении по полиномам Сонина.

3.3. Система линейных алгебраических уравнений для коэффициентов вязкости.

3.3.1. Первый порядок в разложении по полиномам Сонина.

3.3.2. Второй порядок в разложении по полиномам Сонина.

3.3.3. Третий порядок в разложении по полиномам Сонина.

3.4. Выводы.

ГЛАВА 4. ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА ВЫЧИСЛЕНИЯ О-ИНТЕГРАЛОВ, А ТАКЖЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЯЗКОСТИ И ДИФФУЗИИ СМЕСЕЙ БЛАГОРОДНЫХ ГАЗОВ И ИХ СРАВНЕНИЕ

С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ.

4.1. О-интегралы для потенциала Леннарда - Джонса (12-6).

4.2. О-интегралы для потенциала Морзе.

4.3. Коэффициент вязкости для смеси инертных газов Ые-Аг-Не.

4.4. Коэффициенты диффузии бинарных смесей инертных газов Ые-Не, Аг-Не и Ые-Аг.

4.5. Выводы.

ГЛАВА 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА ТИПА ЛЕННАРДА-ДЖОНСА (8-6) ДЛЯ РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЯЗКОСТИ И ДИФФУЗИИ ГАЗОВ И ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ В ОБЛАСТИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР.

5.1. Расчет коэффициентов вязкости и самодиффузии индивидуальных газов N2, О2, О, СО, Ы, N0, а также коэффициентов диффузии бинарных газовых смесей N2 - Ог, О - СО и N - N0 в области высоких температур.

5.2. Выводы.

Несомненным фактом, характеризующим развитие естественных наук во второй половине XX и начале XXI века, является все возрастающая роль, которую в проводимых исследованиях играет вычислительная техника. При этом постоянно увеличиваются как сложность этих исследований, так и их объем. В то же время, для адекватного описания поведения исследуемой системы, требуется знание значений основных параметров, определяющих это поведение. Однако не всегда эти значения можно непосредственно получить из эксперимента, так как даже само проведение эксперимента в требуемых условиях часто бывает невозможно. В подобных случаях для получения значений параметров используются различные оценочные методы: от интерполяции (и даже экстраполяции) до не совсем обоснованных предположений.

Одними из таких параметров являются кинетические коэффициенты - в частности коэффициенты вязкости, диффузии, теплопроводности - характеризующие процессы переноса в газах. Знание их значений требуется при решении задач, связанных с газовой динамикой. Такие задачи характерны для аэродинамики, химической технологии, астрофизики и некоторых областей прикладной физики, где исследуются течения ионизованных газов. Надежным инструментом для получения значений кинетических коэффициентов является строгая кинетическая теория, первые шаги в построении которой были сделаны Максвеллом и Больцманом еще на рубеже Х1Х-ХХ веков.

Основы строгой математической теории газовых смесей, заложенные еще в начале XX века С. Чепменом и Т. Каулингом [56], были затем развиты в работах Дж. Гиршфельдера, Ч. Кертисса, Р. Берда [18], Дж. Ферцигера, Г. Капера [54]. В 50-60-е годы проблема вычисления коэффициентов переноса нашла отражение в серии статей И. Мейсона, Л. Мончика, Р. Манна, Ф. Смита, С. Саксены [90, 91, 94] и других авторов. В нашей стране в разное время этой проблемой занимались B.B. Клоков [22], C.B. Жлуктов, H.A. Соколова, Г.А. Тирский, С.А. Васильевский [15, 19, 37 - 40], Е.В. Самуйлов, H.H. Ците-лаури [34] и другие.

Формулы строгой кинетической теории газов для коэффициентов переноса, выведенные в асимптотическом пределе малых чисел Кнудсена, позволяют получить эти коэффициенты в виде отношения определителей порядка N-п, где N— число компонентов смеси, п - порядок разложения по полиномам Сонина. Элементы определителей выражаются через трехкратные интегралы (так называемые бинарные интегралы столкновений), точный расчет которых так же имеет ряд особенностей, требующих подбора численных методов. Отправной точкой здесь является вид потенциала межмолекулярного взаимодействия, который и определяет характер температурной зависимости коэффициентов переноса. Задача точного расчета подобного потенциала может быть решена только в рамках квантово - механических представлений. По настоящее время эта задача была приближенно решена лишь для простейших систем: атома гелия и молекулы водорода. Поэтому значительное практическое распространение получили различные полуэмпирические потенциалы: точечного центра отталкивания, Сазерленда, типа Леннарда - Джонса, Морзе, Бакингема и др. Одним из потенциалов, нашедших наибольшее применение, является потенциал Леннарда - Джонса (12-6), довольно реалистично описывающий как ветвь притяжения, так и ветвь отталкивания. Как будет показано в дальнейшем, применение этого потенциала позволяет довольно точно описать температурную зависимость коэффициентов переноса в области низких температур (до 1000 К). Однако с повышением температуры точность этого описания резко падает. В современных же энергоустановках температура рабочего тела может достигать 5000 К и более. Поэтому в настоящей работе для описания высокотемпературных свойств газов был предложен потенциал типа Леннарда -Джонса (8 - 6), ветвь отталкивания которого, как будет показано в дальнейшем, для ряда реальных газов более адекватно описывает данные, полученные из экспериментов по рассеянию атомарных и молекулярных пучков. Эти эксперименты позволяют получить наиболее точную и надежную информацию о потенциале взаимодействия при высоких температурах, так как регистрируют сам эффект столкновения частиц. Использование потенциала типа Леннарда -Джонса (8 - 6) позволило значительно лучше согласовать значения коэффициентов переноса с экспериментальными данными при температурах от 2000 до 5000 К и выше.

В настоящей работе не учитывается влияние неупругих столкновений на перенос массы и импульса, так как их влияние мало и часто мала вероятность таких столкновений [2].

Следует также сказать, что в разное время некоторыми авторами были получены упрощенные формулы для вычисления переносных свойств многокомпонентных газов (например, формулы Армани и Саттона, Уилки, Мейсона-Саксены), однако эти формулы не давали устойчивой точности вычислений в широком диапазоне определяющих параметров работы тепловых двигателей и энергоустановок.

Таким образом, адекватное описание переносных свойств газовых смесей при высоких температурах требует создания численных методов для расчета кинетических коэффициентов на основе достаточно простого (что важно в свете дальнейшего практического использования) потенциала межмолекулярного взаимодействия.

В связи с вышеизложенным целью настоящей работы является: адаптация численных методов вычисления кратных интегралов для расчета бинарных интегралов столкновений при заданном центральном потенциале межмолекулярного взаимодействия; получение силовых параметров потенциала типа Леннарда - Джонса (8 -6) для некоторых реальных газов в области высоких температур (2000.5000 К и выше); создание комплекса программ для расчета переносных характеристик газовых смесей из первых принципов; расчет коэффициентов вязкости и самодиффузии реальных газов (Н2, N2, 02, О, СО, >1, N0) и коэффициентов диффузии бинарных газовых смесей (N2-02, О-СО, N-N0) в области высоких температур (2000. 10000 К).

Конкретными задачами исследования являлись:

1. Разработка численных методов для расчета в рамках теории Чепмена-Энскога с необходимой точностью бинарных интегралов столкновений при заданном двухпараметрическом центральном потенциале взаимодействия между частицами газа, имеющем как ветвь притяжения, так и ветвь отталкивания.

2. Исследование влияния на точность вычислений аппроксимации подынтегральных выражений кубическими сплайнами.

3. Разработка численных методов для решения плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений.

4. Создание комплекса программ для расчета переносных характеристик многокомпонентных газов.

5. Табулирование бинарных интегралов столкновений для потенциалов Леннарда-Джонса (12-6), Морзе и потенциала типа Леннарда-Джонса (8-6).

6. Использование полученных численных методов и комплекса программ для расчета коэффициента вязкости смеси инертных газов Ые-Аг-Не, и коэффициентов диффузии бинарных смесей Ые-Не, Аг-Не и Ые-Аг при давлении р= 1,01 105 Па.

7. Получение силовых параметров потенциала типа Леннарда-Джонса (8-6) для газов Н2, Ы2, 02, N. N0, О, СО.

8. Расчет коэффициентов вязкости и диффузии индивидуальных газов N2, О2, О, СО, Ы, N0, а так же коэффициентов диффузии бинарных газовых смесей Ы2- 02, О - СО и N - N0 в диапазоне температур 2000. 10000 К при давлении р= 1,01 105Па.

Научная новизна работы. Осуществлена адаптация численных методов (в частности, широко используется интерполяция сплайнами) к расчету бинарных интегралов столкновений. Создан алгоритм расчета переносных свойств газовых смесей в широком диапазоне температур и давлений для любого вида двухпараметрического центрального потенциала взаимодействия между частицами смеси. Получены силовые параметры потенциала типа Леннарда - Джонса (8 - 6) следующих индивидуальных газов: Н2, N2, О2, N0, О, СО, которые могут являться как высокотемпературными продуктами сгорания современных топливных смесей, так и результатами реакции этих продуктов сгорания с теплозащитными материалами соплового блока. На основе полученных результатов произведен расчет коэффициентов вязкости и диффузии вышеприведенных индивидуальных газов и некоторых бинарных газовых смесей в диапазоне температур 2000. 10000 К при давлении р= 1,01 105 Па.

Практическая ценность. Разработанные в диссертации численные методы и комплекс программ позволяют решать широкий круг задач газовой динамики, связанных с численным моделированием физико - химических процессов в современных энергоустановках и тепловых двигателях без обращения к эксперименту.

Достоверность результатов обеспечивается: математической строгостью постановок и методов решения задач; сопоставлением полученных результатов с теоретическими и экспериментальными данными, опубликованными ранее другими авторами.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались на II Республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов (Казань, 1996 г.), I Международной конференции "Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении" (Казань, 1997 г.), Юбилейной научной и научно-методической конференции "Актуальные проблемы научных исследований и высшего профессионального образования" (Казань, 1997 г.),

Республиканской научной конференции "Проблемы энергетики" (Казань, 1997 г.), VIII Четаевской международной научной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2002 г.), научных семинарах кафедры высшей математики КГТУ им. А.Н.Туполева (Казань, 1998 -2005 г.г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ, которые включены в список литературы.

Личный вклад автора. Основные идеи, разработки и результаты, изложенные в диссертации, полностью принадлежат автору. В диссертации используются также результаты научных работ, выполненных в соавторстве с Игнатьевым В.Н. В этих работах соискателю принадлежат: программная реализация разработанных автором алгоритмов и методов расчета переносных свойств реагирующих продуктов сгорания ракетных топлив, формирование исходной информации для выполнения расчетов, выполнение расчетных работ, анализ полученных результатов, формирование выводов и рекомендаций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, трех приложений, списка литературы, включающего 113 наименований и содержит 22 таблицы и 31 рисунок. Общий объем диссертации составляет 161 страницу машинописного текста.

5.2. ВЫВОДЫ

Результаты, изложенные в главе 5, позволяют сделать следующие выводы: на основе созданного комплекса программ осуществлено табулирование значений приведенных бинарных интегралов столкновений для потенциала типа Леннарда-Джонса (8-6) в диапазоне приведенных температур 1<Г <500; при помощи метода наименьших квадратов получены два набора значений силовых параметров е и а потенциала типа Леннарда-Джонса (8-6) для индивидуальных газов Н2, N2, О2, О, СО, >1, N0; на основе созданного комплекса программ осуществлен коэффициентов вязкости индивидуальных газов Н2, N2, 02, О, СО, 1М, N0 с использованием потенциала Леннарда-Джонса (12-6) и потенциала типа Леннарда-Джонса (86) в диапазоне изменения температуры 2000К < Т < 10000АГ; на основе созданного комплекса программ осуществлен аналогичный расчет коэффициентов самодиффузии для индивидуальных газов N2, 02, О, СО, Ы, N0, а также коэффициентов диффузии бинарных газовых смесей Ы2-02, О-СО, N-N0 в диапазоне изменения температуры 2000К < Т < 5000К; проведено сравнение полученных результатов с данными по коэффициентам вязкости и диффузии, соответствующим прямым экспериментам по рассеянию молекулярных пучков, которое показало лучшее соответствие эксперименту данных, рассчитанных с использованием потенциала типа Леннарда-Джонса (8-6) по сравнению с результатами, полученными в соответствии с данными справочника [2]; предложен набор силовых параметров потенциала типа Леннарда-Джонса (8-6), обеспечивающий лучшее согласие с экспериментом во всем диапазоне рассматриваемых температур.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные в данной работе исследования позволяют сделать следующие выводы: подобранные численные методы позволяют вычислить бинарные интегралы столкновений с необходимой точностью для любого двухпа-раметрического центрального потенциала взаимодействия между частицами газа; более тщательный учет поведения подынтегральных функций и использование кубических сплайнов при интерполяции подынтегральных выражений на участке быстрых осцилляций приводит к увеличению значений бинарных интегралов столкновений при некоторых температурах до 0.5%; подобранные численные методы позволяют решать с достаточной точностью плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений; созданный комплекс программ позволяет произвести расчет переносных характеристик многокомпонентных газов из первых принципов; произведено табулирование приведенных бинарных интегралов столкновений для потенциалов Леннарда-Джонса(12-6), Морзе, и потенциала типа Леннарда-Джонса(8-6) тех порядков, которые необходимы для вычисления переносных характеристик газов в третьем порядке разложения по полиномам Сонина; на основе созданного комплекса программ осуществлен расчет коэффициента вязкости смеси инертных газов Ые-Аг-Не, и показано, что его значение превышает в большинстве случаев ранее опубликованные данные работы [84], и для некоторых видов состава смеси лучше согласовывается с данными эксперимента (табл.4.9); вычисленные значения коэффициентов диффузии бинарных смесей инертных газов №-Не, Аг-Не и Ые-Аг так же в большинстве случаев оказываются выше ранее опубликованных данных работы [110] и в большинстве случаев лучше согласовывается с экспериментальными данными (табл. 4.10); на основе созданного комплекса программ осуществлен расчет высокотемпературных коэффициентов вязкости индивидуальных газов Н2, N2, 02, О, СО, М, N0 с использованием потенциала Леннарда-Джонса (12-6) и потенциала типа Леннарда-Джонса (8-6) в диапазоне изменения температуры 2000К < Т < 10000К; на основе созданного комплекса программ осуществлен аналогичный расчет высокотемпературных коэффициентов самодиффузии для индивидуальных газов N2, 02, О, СО, Ы, N0, а также коэффициентов диффузии бинарных газовых смесей К2-02, О-СО, N-N0 в диапазоне изменения температуры 2000К < Т < 5000А^; проведено сравнение полученных результатов с данными по коэффициентам вязкости и диффузии, соответствующим прямым экспериментам по рассеянию молекулярных пучков, которое показало лучшее согласование с ними данных, рассчитанных с использованием потенциала типа Леннарда-Джонса (8-6) по сравнению с результатами, полученными в соответствии с данными справочника [2]; предложен набор силовых параметров потенциала типа Леннарда-Джонса (8-6) для индивидуальных газов Н2, Ы2, 02, О, СО, Ы, N0, обеспечивающий лучшее согласование с экспериментом коэффициентов вязкости и диффузии во всем диапазоне рассматриваемых температур.

1. Акатова Л.А., Кринберг И.А. Сечения столкновений ионов с нейтральными частицами космической плазмы // Исследования по геомагнетизму и аэрономии физики солнца. — 1971. —№16. — С. 51 -63.

2. Алемасов В.Е., Дрегалин А.Ф., Тишин А.П., Худяков В.А. Термодинамические и теплофизические свойства продуктов сгорания. Справочник в пяти томах. — Т. 1. — М.: ВИНИТИ, 1972. — 267 с.

3. Аристов В.В., Забелок С. А., Фролова A.A. Структура свободных сверхзвуковых струй, изучаемая с помощью уравнения Больцмана // Математическое моделирование. — 2004. —Т. 16. —№6. — С. 31 34.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы.— М.: Наука, 1975. — 631 с.

5. Беляев Ю.Н., Камышев Н.В., Леонас В.Б. Особенности рассеяния быстрых пучков атомов О и N на молекулах N0 и СО // Докл. АН СССР.— 1968.—т. 180.— №6. —С. 1312-1314.

6. Беляев Ю.Н., Леонас В.Б. Близкодействующие силы межмолекулярного взаимодействия кислорода и азота // Докл. АН СССР.— 1966.— т. 170. — №5. — С. 1039- 1040.

7. Беляев Ю.Н., Леонас В.Б. Особенности рассеяния быстрых пучков атомов Н, N, О в молекулярных газах // Письма в редакцию ЖЭТФ.— 1966.— t.IV — вып.5. — С.513 525.

8. Беляев Ю.Н., Леонас В.Б. Кинетические коэффициенты молекулярного кислорода и азота при высоких температурах // Теплофизика высоких температур. —1966. — Т.4 — № 5. — С.732 733.

9. Беляев Ю.Н., Леонас В.Б. Кинетические свойства диссоциирующего водорода // Теплофизика высоких температур. — 1967. — Т.5. — № 6. — С.1123- 1124.

10. Беляев Ю.Н., Леонас В.Б. Интегралы столкновений для компонент диссоциирующего воздуха // Теплофизика высоких температур. — 1968. — Т.6. —№ 1. —С.188- 190.

11. Беляев Ю.Н., Леонас В.Б. Потенциалы взаимодействия атомов Н, Не и молекул Н2 // Докл. АН СССР. — 1967. — Т. 173. — № 2. — С. 306 308.

12. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений.— М.: Наука, 1966. — 632 с.

13. Боголюбов H.H. Проблемы динамической теории в статистической физике.— М.: Наука, 1946. — 119 с.

14. Буряков И.А. Определение кинетических коэффициентов переноса ионов в воздухе как функций напряженности электрического поля и температуры // Журнал технической физики. — 2004. —Т.74. — Вып.8. — С. 15 20.

15. Ваулина О.С., Петров О.Ф. Моделирование процессов массопереноса в системах с изотропным парным взаимодействием между частицами // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2004. — Т. 126.— Вып.3(9). — С. 585-599.

16. Волкова Л.И., Волков H.H., Губертов А.М., Миронов В.В. Тепловая защита ракетных двигателей на твердом топливе // Известия АН. Энергетика. — 2004. — №5. — С. 19-32.

17. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. — М.: ИЛ, 1961. — 929 с.

18. Жлуктов C.B., Соколова И.А., Тирский Г.А. Приближенные формулы для коэффициентов вязкости и теплопроводности частично диссоциированного и ионизованного воздуха // ПМТФ.— 1990 — №1. — С. 41 50.

19. Калиткин H.H. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512 с.

20. Камнев А.Б., Леонас В.Б. Потенциалы отталкивательного взаимодействия атомов благородных газов // Докл. АН СССР. — 1965. — Т. 162. — № 4. — С.798 800.

21. Клоков В.В. Элементарное введение в кинетическую теорию. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1987. — 100 с.

22. Кочин Н.Е., Киболь H.A., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. 4.1. — М.: Физматгиз, 1963. — 583 с.

23. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. — М.: Наука, 1967. — 500 с.

24. Крылов В.И., Шульгина А.Т. Справочная книга по численному интегрированию. — М.: Наука, 1966. — 370 с.

25. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1970. — 288 с.

26. Ларина H.H., Рыков В.А. Метод численного решения осесимметричных задач для уравнения Больцмана // Математическое моделирование. — 2004.1. Т. 16. — №6. — С. 65 68.

27. Лемб Г. Гидродинамика. — М.: Гостехиздат, 1947. — 653 с

28. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003. — 840 с.

29. Люстерник В.Е. Обобщение опытных данных по вязкости водорода в широкой области температур и давлений // Сб. Теплофизические свойства газов. —1970. — С. 46-50.

30. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1989. — 608 с.

31. Месси Г., Бархоп Е. Электронные и ионные столкновения. — М.: ИЛ, 1958.604 с.

32. Райнес A.A. Численное решение задачи о диффузии в смеси разреженного газа на базе уравнения Больцмана // Математическое моделирование. — 2004. —Т. 16. — №6. — С. 78 80.

33. Самуилов Е.В., Цителаури H.H. Интегралы столкновений для потенциала Морзе // ТВТ. — 1964. — Т.2. — №4. — С. 565 572.

34. Седов J1.H. Механика сплошной среды. Т 2. — М.: Наука, 1984. — 560 с.

35. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. — М.: ИЛ, 1963. —549 с.

36. Соколова И.А. Интегралы столкновений ионозованных компонент воздуха для экранированного кулоновского потенциала // ПМТФ. — 1971. — №5. — С.168-171.

37. Соколова И.А. Коэффициенты переноса и интегралы столкновений воздуха и его компонентю. // в кн. "Аэрофизические исследования. Физическая кинетика". — Новосибирск: ИТПМ СОАН РАН, 1974, вып. 4. — С. 39-104.

38. Соколова И.А. Коэффициенты переноса и моменты интегралов столкновений высокотемпературного воздуха. — Канд. дисс. — Новосибирск: ИТПМ, 1972. — 211 с.

39. Соколова И.А. Модели описания диффузии масс в многокомпонентных газах // Математическое моделирование. — 1993. — т.5. — №5. — С. 54 -63.

40. Струминский В.В. О методе Гильберта решения кинетического уравнения Больцмана // ДАН СССР. — 1964. — т. 158. — С. 70 -76.

41. Суетин П.Е., Ивакин Б.А., Калинин Б.А. Тепло- и массопернос. Т. 7. — Минск: "Наука и техника", 1968. — 436 с.

42. Таксеитов P.P., Игнатьев В.Н. К вопросу о вычислении коэффициентов переноса многокомпонентных газов // Тезисы докладов молодежной научной конференции "XXII Гагаринские чтения". — Москва: 1996. — Часть 4. —С. 31.

43. Таксеитов P.P., Игнатьев В.Н. К вопросу о вычислении коэффициентов переноса многокомпонентных газов // Тезисы докладов II республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов. — Казань: 1996. — Книга 4. — С. 78.

44. Таксеитов P.P., Игнатьев В.Н., Тимофеев В.И., Игнатьева И.В. Численное моделирование внутренних задач аэродинамики на основе схемы LI // Деп. в ВНТИЦ №01940008176, инв. № 02.960007875. Москва: 1996. — 34 с.

45. Таксеитов P.P. К вопросу о вычислении коэффициентов переноса многокомпонентных газов // Тезисы докладов республиканской научной конференции "Проблемы энергетики". — Казань: 1997. — Ч.З. — С. 54 55.

46. Таксеитов P.P., Игнатьев В.Н. Численные методики для расчета коэффициента вязкости газовых смесей // Тезисы докладов VIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". — Казань: 2002. — С. 256.

47. Таксеитов P.P., Игнатьев В.Н. Численные методики для расчета коэффициентов диффузии газовых смесей // Тезисы докладов VIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". — Казань: 2002. — С. 257.

48. Таксеитов P.P. Вычислительные методики для коэффициентов переноса многокомпонентных газов: Препринт — Казань: Изд-во Каз. гос. тех. унта. — 2002 — № 02ПЗ — 40 с.

49. Таксеитов P.P., Игнатьев В.Н. Высокотемпературные коэффициенты вязкости и диффузии некоторых газов и газовых смесей, рассчитанные на основе центрального потенциала // Авиационная техника — 2004. — №4. — С.20-22.

50. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах.— М.: Мир, 1976. — 554 с.

51. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. — М.:"Мир", 1980. — 279 с.

52. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов.— М.: ИЛ, I960. —510с.

53. Amdur I., Jordan J.E., Colgate S.O., Mason E.A. Scattering of high-velosity neutral particles. XVII. Ar-02, Ar-N2, Ar-CO // The Journal of Chemical Physics. — 1970. — V.52. — № 3. — P. 1143 1149.

54. De Boer J., Van Kravendonk J. The viscosity and heat conductivity of gases with central intermolecular forces // Physical.— 1948 — №14.— P.442 447.

55. Brokow R.S. Thermal conductivity of gas mixtures in chemical equilibrium // Journ. Chem. Phys.— I960.— V.32.—№4— P. 1591 1598.

56. Bruch L.W., McGee I.J. Semiempirical potential and bound state of the helium-4 diatom // Journ. Chem. Phys.— 1969. — V.50 — №6.— P.2959 2967.

57. Burnett D. The distribution of velocities in a slightly non-uniform gas // Proc. London Math. Soc. — 1935. — №39. — P.385 399.

58. Butler J.H., Brokow R.S. Thermal conductivity of gas mixtures in chemical equilibrium //Journ. Chem. Phys.— 1957.—V.26—№6. — P. 1562 1569.

59. Carleman T. Sur la theorie de Г equation integro-differentielle de Boltzmann // Acta Math.— 1933.—№60.—P.91 104.

60. Choh S.T., Uhlenbeck G.E. The kinetic theory of dense gases // Ph. D. Diss., University of Michigan.— 1958. — 316 p.

61. Cohen E.G.D. Cluster expansions and the hierarchy // Physica.— 1962.—№28.— P. 1045 1063.

62. Cohen E.G.D. Generalization of the Boltzmann equation // Physica .— 1962.— №28.— P. 1025- 1034.

63. Cotter J.R. Conduction of heat in a monatomic gas // Proc. Roy. Irish. Acad.— 1955.—V.A55. — P.345 349.

64. Devoto R.S. Transport properties of ionized monatomic gas // Phys. Fluids. —1966. — v.9. — №6. — P.225 231.

65. Devoto R.S. Transport coefficients of partially ionized argon // Phys. Fluids. —1967. — v. 10. — №2. — P.725 734.

66. Dymond J.H., Rigby M., Smith E.B. Intermolecular potential energy functions for simple molecules // Nature. — 1964. — v.204. — P.678 684.

67. Enskog D. Die numerische berechnung der vodgänge in massig verdünnten gasen // Ark. Mat. Astron Fys.— 1922.— v. 16.—№1. — P. 125 134.

68. Garsia-Colin L.S., Green M.S. Chaos F. Thermal conductivity of multicomponent mixtures of inert gases // Physica. — 1966. — v.32. — P.450 458.

69. Gilbert D. Grundzüge einer allgermeinen Theorie der linearen Integralgleichung.— Leipzig.: Teubner., 1942. —252 p.

70. Golden D.E. Low-electron resonanses in e-N2 total scattering cross section: the temporary formulation of N2 // Phys. Rev. Letters. — 1966. — v. 17. — №16. — P.730 738.

71. Grad H. Modern kinetic theory of plasmas // In "Proc. Of 5-th intermat. conf. on ionization phenomena in gases". — Munich. —1961.— pt.2. — P.231 235.

72. Grad H. Asymptotic theory of the Boltzmann equation, II // Phys. Fluids. — 1963. —v.6. —P.147- 154.

73. Green M.S. Boltzmann equation from the statistical macanical point of view // Journ. Chem. Phys. — 1956 —v.25. — P.836- 843.

74. Green M.S. The non-equilibrium pair distribution function at low densities // Physica. — 1968. —v.24. — P.393- 401.

75. Henry R.J.W. Elastic scattering from atomic oxigen and photodetachment from O // Phys. Rev. — 1967. — v. 162. — № 1. — P. 1224- 1231.

76. Henry R.J.W., Burcke G., Sinfailam A. Scattering of electron by C, N, O, N+, 0+ and O^// Phys. Rev.— 1969. — v. 178. — № 1. — P.934- 941.

77. Hirschfelder J.O., Bird R.B., Spotz E.I. The transport properties of gases and gaseous mixtures I // Journ. Chem. Phys. — 1948. — v. 16. — P.968- 976.

78. Hirschfelder J.O., Bird R.B., Spotz E.I. The transport properties of gases and gaseous mixtures II // Chem. Rev. — 1949. — v.44. — P.205- 231.

79. Hirschfelder J.O., Bird R.B., Spotz E.I. The transport properties of gases // Journ. Chem. Phys. — 1950. — v. 17. — P. 149- 155.

80. Hirschfelder J.O., Lovell S.E. Unpublished report from University of Wisconsin.

81. WIS-AF-19.— 1961. — 239 p.

82. Knof H., Mason E.A., Vanderslise J.T. Interaction energy charge cross section and diffusion cross section for N-NT1", 0-0+ collisions // J. Chem. Phys. — 1964.v.40. — № 12. — P.679 683.

83. Lann A.C. Integral equations in the kinetic theory of gases //Bull. Am. Math. Soc.1913. —v.19. —P.455-465.

84. Lenander C.J. Low energy electron scattering from atom and molecules: a model // Phys. Rev. — 1966. — v. 142. — № 1. — P. 1139- 1145.

85. Liboff R.L. Transport coefficients determined using the shielded coulomb potential // Phys. Fluids. — 1959. — v.2. — № 1. p.534 543.

86. Lin S.L., Kivel B. Slow electron scattering by atom oxygen // Phys. Rev. — 1959.v. 114. — №4. — P.239 245.

87. Mason E.A., Munn R.J., Smith F.J. Transport coefficient of ionized gases // Phys. Fluids. — 1967. — v. 10. — № 8. — P.749 757.

88. Mason E.A., Saxena S.C. Approximate formula for the thermal conductivity of gas mixtures//Phys. Fluids. — 1958. — v.l. — №5. — P.l 19 125.

89. McCourt F.R.W., Snider R.F. Thermal conductivity of a gas with rotational states // Journ. Chem. Phys. — 1965. — v. 43. — P. 2276 2281.

90. McCune J.E., Morse T.F., Sandri G. On the relaxation of gases toward continuum flow // in " Proc. 3rd Intern. Simp, on Rarefied gas dynamics", Academic Press, New York— London.—1963.— v.l. — P. 185- 194.

91. Monchick L., Mason E.A. Transport properties of polar gases. J. Chem. Phys. — 1961. —v.35. —№5 —P.1676- 1697.

92. Morgenstern D. General existence and uniqueness proof far spatially homogeneous solution of maximal Boltzman equation in the case of Maxwellian molecules //Proc. Nat. Acad Sci. USA. — 1954. — v.40. — P.719 725.

93. Muckenfiiss C., Cuztiss C.F. Thermal conductivity of gas mixtures in chemical equilibrium // J. Chem. Phys. — 1957. — v.26. — № 6. — P. 1344 1352.

94. Neynaber R.H., Lawrence L.M., Rothe E.Z., Trujillo S.M. Low-energy electron scattering from atom nitrogen // Phys. Rev. — 1963. —v. 129. — № 5. — P. 978 -983.

95. Neynaber R.H., Lawrence L.M., Rothe E.Z., Trujillo S.M. Low-energy electron scattering from atom oxygen // Phys. Rev. — 1963. —v. 123. — № 1. — P. 1344 1352.

96. Reichenberg D. New simplified methods for the estimation of the viscosities of gas mixtures of moderate pressures // Npl Report Chem. — 1977. — № 53. — P. 274 282.

97. Salop A., Nakano H.H. Total electron scattering cross section in 02 and Ne // Phys. Rev., Ser. A. — 1970. — v.2. — №1. — P. 444 452.

98. Saxena S.C., Tanzman A. A note on the calculation of viscosities for multicomponent gas mixtures // High Temp. Sci. — 1974. — v.6. — №3. — P. 521 -527.

99. Smith F.J., Munn R.J. Automatic calculation of the transport collision integrals with tables for the Morse potential // J. Chem. Phys. — 1964. — v. 41.— № 11. —P. 3560-3568.

100. Snider R.F. Quantum-mechanical modified Boltzmann equation for degenerate internal states // Journ. Chem. Phys. — 1960. —- v.32. — №5 — P.2051 2060.

101. Spitzer L., Harm R. Transport phenomena in completely ionized gas //Phys. Rev. — 1953 — v.89. — № 5. — P. 2344 2352.

102. Svehla R.A. Estimated viscosities and thermal conductivities of gases at high temperatures // Wash. Techn. Rept./ NASA — 1962. — TR-132.

103. Tzy-Cheng Peng, Pindroch A.L. An imperical calculation of gas properties at high temperatures air // Magnetohydrodynamics. — W.: Univ. Press. —1961.1. P. 134- 156.

104. Vanderslice J.T., Mason E.A., Lippincott E.C. Interaction between ground state nitrogen atoms and molecules. The N-N, N-N2, N2-N2 interaction. // J. Chem. Phys. — 1959. — v.30 — № 1. — P. 217 233.

105. Waldmann L. Tranportercheinungen in Gasen von mittlerem Druck. // in "Handbuch der Physik", ed. Flugle S. — Berlin: Springer. —1958. — P.295 -304.

106. Wang Chang C.S., Uhlenbeck G.E., de Boer J. The heat conductiviyy and viscosity of polyatomic gases. // in " Studies in statistical machanics", ed. De Boer J., Uhlenbeck G.E. — Amsterdam: North-Holland Publishing Company.1964. —v.2. —P. 316-334.

107. Weissman S., Mason E.A. Determination of gaseous diffusion coefficients from viscositi measurements. // J. Chem. Phys.— 1962. — v.37.— P. 1289- 1295.

108. Wild E. On Boltsmann's equation in the kinetic theory of gases. // Proc. Cambr. Phil. Soc. — v. 47. — P.602 610.

109. Wilke C.R. A viscosity equation for gas mixtures. // J. Chem. Phys. — 1950. — v. 18 — № 4. — P.995 1004.

110. Williams R.H., Dewitt H. E. Quantum-mechanical plasma transport theory. // Phys. Fluids. — 1968. — v. 12. — № 11. — P.412 422.