Периодические точки и равновесные состояния счетных топологических марковских цепей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.217

Савченко Сергей Валерьевич

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТОЧКИ И РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ СЧЕТНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ

01.01.05 - теория вероятностей н математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-1995

Работа выполнена ыа кафедре математической статистики и случайных процессов мехавнжо-математического факультета Московской государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук

Б.М. Гуревич

Официальные оппоненты — доктор физико-математических иаук.

профессор В.И. Оселедец, — кандидат физико-математических наук В.В Рыжиков

Ведущая организация — Институт проблем передачи информация

РАН

Защита состоится " в 16 час. 05 мин.

на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке механико-математического факультета МГУ (14-и этаж).

Автореферат разослан 199

Ученый секретарь диссертационного

совета Д.053.05.04 при МГУ,

доктор физико-математических наук,

профессор Т.П. Лукашенко

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Среди динамических систем особое место занимают каскады и потоки, порожденные преобразованием сдвига с на различных подмножествах У пространства X всех двусторонне-бесконечных последовательностей х = {а;,}, где х< -буквы некоторого алфавита П. Это связано с тем, что топологические л арготические свойства многих важнейших динамических систем исследуются при помощи символических моделей, в которых элементы множества У соответствуют траекториям изучаемой системы, а отображение а — сдвигу вдоль них. Если в качестве У взять пространство X(G) двусторонне-бесконечных путей ориентированного графа G с множеством вершин V(G) = SI, то мы получим символическую динамическую систему (X(G),<r), которая называется топологической марковской цепью (ТМЦ), отвечающей графу G. Первым, кто ввел понятие ТМЦ и изучил ее энтропийные свойства, был Пэрри. Он показал, что при card V(G) < оо точная верхняя грань метрической энтропии h(<r, /л) на множестве I{X(G)) инвариантных относительно а вероятностных мер ц с ¡i(X(G)) = 1 равна логарифму максимального собственного числа А(<7) (числа Перона-Фробениуса) матрицы инцидентности A(G) графа G и существует мера m € /(X(G)), для которой h(a, т) = InA(G). Если к тому же граф G связен и апернодичен, то такая мера единственна и совпадает с распределением вероятностей некоторой эрго-дической цепи Маркова. Боуэн я Ланфорд изучили асимптотические характеристики числа периодических точек периода п (множество таких точек в дальнейшем мы будем обозначать через Ftx„(X(G))) конечной ТМЦ. В частности, они доказали рациональность дзета-функции Артина-Мазура и наличие у нее полюса б точке z — 1/А(<?).

Прибавив к h{a,n) интеграл от ограниченной непрерывной функции /, мы получим функционал P(X(G)] на пространстве I(X(G)), принимающий значения в (-оо, оо]. Элементы множества I(X(G);f) точек максиума этого функционала называются равновесными состояниями для функция /. Они играют важную роль при изучении одномерных моделей статистической механики.

Предположим, что величина

ЛГ.(Х(С);Л= Е

конечна при любом п. Тогда можно определить вероятностную меру иЬ значение которой для любого г € Fisn(X(G)) рав-

П —1

но ехр( S{okx))JNn{X(G)-J). При card V(G) < оо множество

Ьо

I(X(G); /Унепусто н любая предельная точка (в слабой топологии) последовательности дискретных инвариантных мер принадлежит I(X(G); /). Используя этот факт, Боуэн показал, что если G — конечный связный апериодический граф и / — гельдеровская функция, то существует единственное равновесное состояние tn', автоморфизм изоморфен сдвигу Бернулли и вероятност-

ная мера тп? имеет полный носитель, т.е. положительна на любом цилиндрическом подмножестве X(G). В этом случае дзета-функция Артина-Мазура-Рюэля допускает мероморфное продолжение за пределы естественного круга сходимости, и ее ближайшая к нулю особенность является полюсом первого порядка.

Помимо преобразований с дискретным временем, Боуэн, Пэр-ра и Полликот рассматривали специальные потоки а/, построенные по конечной ТМЦ и положительной непрерывной функции /.

Используя формулу Абрамова, нетрудно показать, что в этом случае вопрос о структуре множества мер с максимальной энтропией относительно потока <Jj сводится к исследованию множества равновесных состояний для функции —h{oj)f, где h{<Tf) — топологическая энтропия потока cry. В частности, для специального потока, построенного по конечной ТМЦ, отвечающей связному графу, и гельдеровской функции /, мера с максимальной энтропией единственна и имеет полный носитель. Дзета-функция Рюэля-Смейла такого штока оу (эта функция является аналогом дзета-функции Римаяа — роль простых чисел здесь играют величины exp(h(<r/)A(r)), где А(т) — наименьший период замкнутой орбиты т) допускает мероморфное продолжение в область, содержащую замкнутую полуплоскость $te s > 1, которое не обращается там в ноль и имеет простой полюс в точке s = 1. Кроме того, если поток о/ топологически перемешивает (в этом случае относительно меры с максимальной энтроппей оя является бернуллпевским), то больше полюсов на прямой Ше s = 1 у этой функции нет. При помощи тауберовой теоремы Икехара-Винера Пзрри н Нолликот вывели отсюда следующий закон распределения числа периодических траекторий (ср. с асимптотическим законом Чебышева):

card {т : ехр(/1(ст/)А(т)) < у} ~ у/ In у. (1)

Все вышесказанное относилось к случаю конечного графа G. При изучении бесконечных ТМЦ возникают новые трудности, так или иначе связанные с тем, что пространство X(G) не является компактом в любой топологии, в которой открыты цилиндрические подмножества. Тем не менее Б.М. Гуревич дал критерий

существования равновесного состояния для функции, зависящей от конечного числа координат точки пространства X (G) и доказал его единственность в случае связного графа G. Что касается множества периодических точек, то здесь до сих пор многие вопросы не были изучены, хотя имелись результаты, яри помощи которых, как выяснил автор, можно обобщить подученные ранее законы распределения периодических точек на случай бесконечных ТМЦ. Среди них отметим формулу Такахаш, связывающую дзета-функции Артнна-Мазура ТМЦ (X(G),a) и (X(G \ где G \ v — граф, полученный из G удалением вершины v со всеми входящими в нее и выходящими из нее ребрами, и найденные Р.Ф. Галеевой и Н.И. Черновым условия строго экспоненциального роста величины Nn(X(G)\Q). Этими авторами был впервые поставлен вопрос о сходимости дискретных инвариантных мер к равновесным состоящим в случае, когда card V(G) = оо. Намного хуже обстояло дело с изучением специальных потоков, построенных по бесконечным ТМЦ: практически ничего не было известно о структуре множества мер с максимальной энтропией и захонах распределения числа периодических траекторий таких потоков.

Цель работы: исследовать законы распределения числа периодических траекторий для бесконечных ТМЦ.

Нпущгад ноанзиа. Все результаты диссертации являются новыми. Решены следующие задачи:

1) исследованы аналитические свойства дзета-функцш Арти-па-Мазура-Рюэля, а также сходимость дискретных инвариантных мер к равнозесным состояниям для функций, зависящих от конечного числа координат точки х 6 X(G);

2) получен критерий существования меры с максимальной энтропиен относительно специального потока, построенного по счетной ТМЦ и положительной функции, зависящей от конечного числа координат точки пространства X(G), исследованы аналитические свойства дзета-функции Рюэля-Смейла и законы распределения числа периодических траекторий таких потоков;

3) при card V(G) < со изучена структура множества равновесных состояний, аналитические свойства дзета-функций и сходимость дискретных инвариантных мер для некоторого класса, вообще говоря, пегельдеровсклх функций.

Методы исследования. В работе применяются метод производящих функций и асимптотические методы теории чисел.

Научная и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер, ее результаты могут найти применение в теории марковских процессов, при исследовании одномерных моделей статистической механики, гиперболических и близких к ним динамических систем (например, рассеивающих биллиардов).

Апробапия работы. Результаты диссертации докладывались автором на научно-исследовательском семинаре МГУ по динамическим системам и на конференциях молодых ученых МГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы (список приведен в конце автореферата).

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глаз и списка литературы из 47 наименований. Общий объем диссертации — 122 страницы.

Краткое содержание работы.

Во введении обсуждается актуальность темы диссертации, дается краткий исторический обзор, формулируются основные результаты.

В первой главе исследуется связь между аналитическими свойствами дзета-функции Артина-Маэура-Рюзля и структурой множества I{X{G)-tj) для функции /, зависящей от координат х„, х, точки х € X(G) (класс таких функций мы будем обозначать через В1 (X(<?))). Все представленные здесь результаты относятся к случаю счетного связного апериодического графа G н функции /, для которой точная верхняя грань Р(Х(<?);/) функционала P(X(G),fiv) на I(X(G)) конечна.

Будем считать, что Si = N. Компактифицируем множество натуральных чисел, прибавив к нему точку оо, и на пространстве X всех двусторонне-бесконечных последовательностей символов из нового множества введем топологию прямого произведения. Пусть J(X(G); /) — множество предельных точек последовательности в пространстве вероятностных мер на-JL Теорема 1.2. Предположим, что / € В1 (X(G)) и множество I(X(G)]f) пусто. Тогда

J(X(G);f) = {¿оо},

где 60о — вероятностная мера, сосредоточенная в точке, каждая координата которой равна оо.

Пусть D(X(G)\/) — множество предельных точек последовательности {Nn(X(G)\ f) exp(-«P(X(G); /))} на "расширенной" положительной полупрямой.

Теорема 1.3. Пусть для функции / € В1 (X(G)) существует равновесное состояние тЛ Тогда

J(X(G); /) = {а- т/ + (1- а- )S<X>: а е D(X(G); /)}.

Положим

W(X(G);f) = lim sup(ln JVn(X(<7); /))/n.

n—>oo

Пусть IV(X(G); /) < сю и ®X(G)j{z) — сумма ряда

со Па 1

Функция Cx(G) ,/(•-') = exP(^(G),/(2)) называется дзета-функцией Артнна-Мазура-Рюэля системы (X(G),a,f). Обозначим через 5(г) открытый круг с центром в нуле и радиусом г. Очевидно, функция СX(G)j(3) является аналитической и не обращается в ноль в круге 5(ехр(—W(X(G); /)).

Теорема 1.4. Пусть / € B'(X(G)). Предположим, что при некоторых t > 0 и v 6 V(G) выполняются следующие условия:

P(X(G); / - txbw ) < -РСВД; /), (2)

WI - *Kbw) = W(X(G);f - tXBM), (3)

где XB(v) — характеристическая функция множества B(v) всех да € с ж0 = v. Тогда найдется такое г > exp(-P(X(G);/)), что дзета-функция (x(G),fiz) допускаег мероморфное продолжение в круг S(r), которое не обращается в ноль и имеет единственный полюс. Он расположен в точке z — ехр(—P{X{G)\ /)) и его порядок равен единице.

Условие (2) означает, что структура множества I(X(G);f) устойчива относительно малых возмущений из класса В1 (X(G)): для любого д€ В1 (X(G)) из некоторой е - окрестности функции / в равномерной метрике множество I(X(G); д) непусто и цепь Маркова, соответствующая единственному равновесному состоянию та,

является экспоненциально эргодической, т.е. ее переходные вероятности сходятся к стационарному распределению экспоненциально быстро.

Нетрудно проверить, что существует взаимнооднозначное соответствие между точками множества Пхп(Х(С)) и циклами длины п графа <?. Пусть Ъ„{в) — мощность минимального по числу элементов множества вершин, через которое проходит любой цикл графа в длины п и Ь(в) = Итзир(1аЬ„ (<?))/«.

■»—»со

Теорема 1.5. Пусть Ь(0) ~ 0. Тогда условие (3) выполняется для любого / € В1 (Х(С)>.

Таким образом, при 6((7) = 0 экспоненциальная эргодичность цени Маркова, соответствующей равновесному состоянию т', влечет сходимость к нему последовательности мер {/*£}. Если равновесное состояние не обладает столь сильными эргодичесюши свойствами, то вообще-говоря, J(X(G); /) ф {тп/} и, следовательно, для сходимости последовательности {/*£} к то' при любом / € В1 (Х(С)) с 1(Х(й);/) ф 0 нужны дополнительные ограничения на структуру множества циклов графа в.

Определение 1.1. Граф, любой цикл которого проходит через некоторое фиксированное конечное множество IV С называется графом с конечной областью прохождения циклов.

Теорема 1.6. Пусть граф б имеет конечную область прохождения циклов. Тогда если 1(Х(<?);/) ф 0 и / принадлежит классу В1 (.Х(С?)) или является ограниченной по модулю функцией, зависящей от конечного числа координат точки х € то последовательность сходится к равновесному состоянию.

Следствие 1.4. Пусть граф 6? имеет конечную область прохождения циклов в является локально конечным вперед, т.е. из

каждой его вершины выходит лишь конечное число ребер. Тогда для любой функции / с /) ф 0, зависящей от конечного

числа координат точки х € последовательность схо-

дятся к равновесному состоянию.

Глава 2 посвящена специальным потокам, построенным по счетным ТМЦ. В ней используется следующее определение специального потока.

Динамической системе (X, Г), где Т — гомеоморфизм топологического пространства Я, и положительной непрерывной функции / на 2 сопоставим пространство

= {(г, и) : г 6 0 < и < /(г)},

в котором отождествляются точки {г, /(г)) и (Тг, 0). При 0 < и, и + £ < /(г) положим Т^(гуи) = (г, а + Если для любого выполняется условие

6= 1 А=1

то для остальных I € К отображение Г^ определим, исходя из того, что — однопараметрическая группа преобразований. Семейство отображений Г/ = {7^} называется специальным потоком, построенным по динамической системе (2,Т) и функции /.

Пусть — множество всех консервативных зргодяческих

относительно Т сигма-конечных мер /а, для которых //ф < оо. Для такой меры ц положим /1/ = дх <й/ / /ф, где А — мера Лебега. Нетрудно проверить, что множество {/а/ : ц 6 совпадает с семейством всех эргоднчесхих относительно Т( вероятностных мер.

Теорема 2.1. Пусть / — положительная непрерывная функция и (1 € Тогда

где Н[Т,р) — энтропия автоморфизма (Г,/х) по Кренгелю.

Положим Н{Т]) - : т € /(£/)}- В случае г -

Х(С), Т = а и / е В1 (Х((7)) теорема 2.1 позволяет получить следующее утверждение.

Теорема 2.2. Предположим, что для положительной функции /6 В1 (Х(в)) справедливо неравенство Л(с/) < оо. Тогда для существования (и единственности) меры с максимальной энтропией относительно потока а/ необходимо и достаточно, чтобы при некотором (а, следовательно, и при любом) V 6 У(С?) выполнялись следующие условия:

1)/(Х(<7);-Л(<г/Ш ф 0 при любом t > 0, где -/¿(оу)/, =

2)^Нш //¿го-Ае^А/т-*с»/>Л(В(у)) < оо.

Замечание 1. Условия теоремы 2.2 можно сформулировать в явном виде при помощи производящих функций.

Следствие 2.1. Предположим, что при некоторых I > 0 и V е У(С') выполняется неравенство:

Тогда для потока <г/ существует и единственна мера с максимальной энтропией.

Предположим, что ряд

(4)

оо

абсолютно сходится при 3?е з > 1. В этом случае его сумма ^X(G),/(5) является аналитической функцией в полуплоскости Re s > 1. Функция ¿х(о,/(5) = cxP(^X(G)j(^)) называется дзета-функцией Рюэля-Смейла потока сг/.

Теорема 2.3. Пусть W(Ji(G);0) < оо и для функции -Л(<г/)/ выполнены условия теоремы 1.4. Тогда ряд (5) абсолютно сходится при 3?е а > 1 и существует такое S > 0, что дзета-функция dx(G),f(s) допускает мероморфяое продолжение в полуплоскость Ш s > 1 — 6, которое не обращается в ноль и имеет простой полюс в точке з = 1.

Теорема 2.4. Если G — граф с конечной областью прохождения циклов и функция / удовлетворяет условию (4), то для дзета-функции dx(G),f(s) справедливо утверждение теоремы 2.3.

Теорема 2.5. Предположим, что выполнены условия теоремы 2.3 или теоремы 2.4 и, кроме того, при любом a G И

оо г»—j

U {Е : * 6 g aZ. (б)

n=i t=o

Тогда функция dx(G),/(3) Ее имеет больше полюсов на прямой 3?е s = 1 и, следовательно, для потока сг/ справедлив закон (1).

В конце главы 2 построен пример, из которого видно, что при выполнении условия (6) закон (1) не является единственно возможным законом распределения числа периодических траекторий потоков сг/, построенных по функции / G В1 (X(G)).

В главе 3 результаты первых двух глаз применяются к исследованию класса Jr(X(G)\x) непрерывных функций, постоянных на цилиндрических множествах, первая и последняя координата которых совпадает eve V(G), при card V(G) < оо ( в этом случае мы считаем, что V(<?) = {l,...,card V(G)}).

В §1 для конечной ТМЦ и произвольной непрерывной функции получен критерий существования равновесного состояния ¡л с

M*(v)) = о.

В §2 показано как класс JF{X(G)]\) связан с классом функций В1 (X(G)), где G — специально подобранный счетный граф, и при помощи вышеупомянутого критерия изучена структура множества I{X(G); /) для / G F{X{G)\v). Получены достаточные условия неединственности равновесного состояния (фазового перехода в соответствующей модели статистической физики). Формула Такахасн, доказанная для класса В1 (X(G)), обобщена на класс ^(XiG^v) и с ее помощью построены мероморфные продолжения дзета-функции Cx(G) ,/(г) в случае, когда равновесное состояние единственно и имеет полный носитель. Особое внимание уделено структуре множества J{X{G)\f) при card I(X(G); f) > 1.

В §3 полностью изучены все рассматриваемые в данной диссертации вопросы для класса Фишера-Хоуфбауэра (функции из этого класса принадлежат F(X(G);v) при всех v € V(G) \ {1}), возникшего при исследовании моделей одномерного решетчатого газа. В частности, показано, что при card I(X(G)]j) > 1 существуют ровно два эргодических равновесных состояния и последовательность {/4} сходится к их полусумме.

В §4 изучаются условия, при которых для потока а/, построенного по ТМЦ, отвечающей конечному графу G, и положительной функции / € ,F(X(G);v), справедлив закон (1) распределения числа периодических траекторий.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук Гуревичу Борису Марковичу за предложение интересной темы и помощь при работе над диссертацией.

Работы автора по теме диссертации

1. Савченко C.B. Дзета-фупкдия и гиббсовские меры. УМЫ. 1993. Т. 48. Вып. 1. Стр. 181-182.

2. Савченко C.B. Периодические точки счетных топологических марковских цепей. Мат. сборник. 1995. Т. 186. yV£10. Стр. 103-140.

3. Савченко C.B. Равновесные состояния с неполными носителями и периодические траектории. Мат. заметки. 1998. Т. 59. Вып. 2. Стр. 230-253.

Зак. 158. 28.12.1995 г. Объем 0.5 уч.-изд. л. Тираж 100 экз. Типография "Визит"