Плоские задачи теории магнитоупругости для магнитомягких ферромагнитных тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

о а

=н чцц иьюиъьчцзь ьъивьвпге

ЭЬпш^р[1 ЬршЦгнйЕт!

иишъзиъ испэ ипииь ииЧЪЬиЦФЦФШ-Ч льтилюъмщццъ ицриьъъьрь иичъьиццгитцчиъ вшпназии зигга клльръьрс

1Гшийш^|илп1р]П10о-и.02.04-гТЬфпр13шд1|пг1 1Ч|1й1 йшрйСф (5Ь|иш0^ш

иьааи^ьп

фЬФЦшйшрМшт^и^шй qt^^n^^ФJnLOйbp^l рЭДйшбпф шиифбшйЬ Иицдйшй штЬОш^пиги^шО ЬРЬ^иЪ-1997

-ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ НАН АРМЕНИИ

На правах рукописи

АСЛАНЯН АШОТ АРАМОВИЧ

ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАГНИТОУПРУГОСТИ ДЛЯ

МАГНИТОМЯГКИХ ФЕРРОМАГНИТНЫХ ТЕЛ

Специальность-А.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

ЕРЕВАН - 1997

Работа выполнена в институте Механики HAH Армении

Научные руководители - доктор физико - математических

наук.профессор,

академик HAH Армении,

БАГДАСАРЯН Г. Е.

- кандидат физико - математических

наук АСАНЯН Д. Д.

Официальные опоненты - доктор физико -

математических наук,

профессор МХИТАРЯН С. М.

кандидат физико -математических

наук, профессор БЕЛУБЕКЯН М. В.

Ведущая организация - Государственный инженерный

университет Армении

Защита диссертации состоится " JrJ " Cf///sbpM997 г,

в " I ljdo " час на заседании специализированного совета Д047 по адресу г. Ереван, пр. Маршала Баграмяна 246.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Механики HAH Армении.

Автореферат разослан " 2i " и.юл&, " 1997г.

Ученый секретарь Специализированного совета, доктор технических наук, профессор Киракосян Р. М.

/Р i^JOCl^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие современной науки и техники тесно связано с проблемами исследования взаимодействия различных полей и сред. Предметом теории электромагнитоупругости является исследование взаимодействия деформируемых сплошных сред с внешними электромагнитными полями, которое стало одним из главных направлений развития механики деформируемого твердого тела за последние годы.

Используя эту теорию, могут быть решены важные для технических приложений задачи движения упругого электропроводного тела в магнитном поле с учетом внешних воздействий различного характера. Множество таких задач встречается при создании устройств по удержанию плазмы в термоядерных установках, бесконтактных магнитных опор, магнитокумулятивных генераторов, измерительной аппаратуры, работающей в области действия электромагнитных полей, при получении сильных магнитных полей с помощью быстро сжимаемых гибких оболочек и т. д.

Проблемы взаимодействия физических полей в деформируемых телах приобретают особенно важное значение при анализе прочности и надежности элементов конструкций, находящихся под действием электромагнитных полей.

Различные модели механики сплошной среды с учетом электромагнитных эффектов рассмотрены в работах С. А. Амбарцумяна, А. И. Ахиезера, Г. Багдасаряна, А. Г. Багдоева, М.

B. Белубекяна, А. А. Илюшина, С. О. Саркисяна, Л. И. Седова, И. Т. Селезова, Л. В. Селезовой, А. Ф. Улитко, Н. А. Шульги, W. Brown, Y. Ersoy, К. Hutter, S. Kalinski, G. A. Maugin, F. Moon, Y-H. Pao, H. Tiersten, C.-S.Yeh и других.

Важные результаты и достаточно полный список о литературе имеется в монографиях и в обзорных статьях С. А. Амбарцумяна, А. И. Ахиезера, Г. Е. Багдасаряна, А. Г. Багдоева, М. В. Белубекяна, Я. И. Бурака, C.B. Вонсовского, А. А. Илюшина, Б. А. Кудрявцева, Ю. Н. Новичкова, В. 3. Партона, Я.

C.Подстригача и других.

Картина взаимодействия материальной среды с электромагнитным полем весьма сложна, особенно для ферромагнитных материалов,

где это взаимодействие необходимо изучать с учетом намагниченности материалов. В работах Р. Бозорта, К. Б. Власова, С.В.Вонсовского, В. А.Желнаровича, Л. И. Седова, W. Brown, Y. Ersoy, G. Maygin, Y.-H. Pao, G. Paria, H. Tiersten, достаточно полно рассмотрены различные проблемы теории магнитоупругости намагниченных сред.

Изучение поведения упругих тел с трещинами стало одним из быстро развивающихся и актуальных направлений теории упругости. Результаты этих исследований могут быть использованы в различных областях науки и техники, в частности, задачах механики разрушения. Дело в том, что в реальных материалах всегда имеется большое количество различных трещин всевозможных форм и размеров. Под воздействием внешней среды может произойти рост этих трещин и появление новых, что в конечном итоге может привести к разрушению тела. Изучению проблем теории трещин посвящены работы К. Л. Агаяна, В. Н. Акопяна, В. М.Александрова, А. А. Баблояна, Э. X. Григоряна, В. Г. Мазья, Н. Ф. Морозова, С. М. Мхитаряна, В. В. Новожилова, В. С. Саркисяна, Л. И. Слепяна, В. В. Панасюка, П. Черепанова, A. A. Griffith, G. Irwin, J. R. Rice, I. Sneddon и других.

В работах Д. Д. Асаняна, Г. Е. Багдасаряна, Г. С. Григоряна Б. А. Кудрявцева, М. Л. Фильштинского, Л. Т. Черный, В. 3. Партона, Y. Shindo и других показано, что влияние сил магнитного происхождения на напряженно-деформированное состояние деформируемого тела с трещиной является существенным, так как присутствие электромагнитного поля может привести к концентрации индуцированного магнитного поля и упругих напряжений в окрестности вершины трещин. Поэтому исследования в области магнитоупругой теории трещин являются актуальными и необходимой частью развития механики разрушения при наличии электромагнитных полей.

Все работы, посвященные ферромагнетикам с трещинами, относятся к исследованию напряженно-деформированного состояния бесконечных однородных магнитомягких тел при наличии магнитного поля вектор напряженности которого перпендикулярно к поверхности трещины. Задачи же магнитоупругости для неоднородных ферромагнетиков с

трещинами в магнитном поле не исследованы. Не изучено также влияние ориентации внешнего магнитного поля на напряженно-деформированное состояние.

Настоящая работа посвящена вышеперечисленным неизученным вопросам.

Цель Работы. На основе известных уравнений и граничных условий магнитоупругости для магнитомягких ферромагнитных тел

исследовать:

О влияние неоднородности материала на закон распределения магнитоупругих напряжений и деформаций около трещины, на величину коэффициента интенсивности.

О влияние ориентации внешнего магнитного поля на напряженно-деформированное состояние в задаче магнитоупругости для однородных магнитомягких ферромагнитных тел с трещиной.

0 вопросы приведения плоских задач теории

магнитоупругости магнитомягких ферромагнитных тел к задачам функций комплексного переменного и его применение в задачах концентраций магнитоупругих напряжений.

Научная новизна. Поставлена и решена новая задача теории магнитоупругоети для однородного магнитомягкого ферромагнитного тела с трещиной в наклонном магнитном поле. Анализом этих решений показано, что: а) благодаря ферромагнитному свойству среды и наклонности внешнего магнитного поля относительно трещины возникает задача о трещине продольного сдвига (антиплоская задача) б) существует такое значение магнитного поля, для которого коэффициент интенсивности сдвиговых напряжений обращается в нуль.

Поставлены и решены новые задачи теории магнитоупругости для неоднородных магнитомягких ферромагнитных тел с трещиной в однородном магнитном поле, поперчном по отношению к трещине. Полученны аналитические решения задачи и формулы для определения коэффициента интенсивности магнитоупругих напряжений.

Решение плоских задач теории магнитоупругости для магнитомягких ферромагнитных тел с трещинами и отверстиями приведено к решению граничной задачи теории функций

комплексного переменного и на основе полученных комплексных представлений решены конкретные плоские задачи теории магнитоупругости магнитомягких ферромагнитных тел. Практическая ценность работы состоит в разработке простых и эффективных методов расчета магнитоупругих величин в плоских задачах теории магнитоупругости как для однородных, так и для неоднородных магнитомягких ферромагнитных тел с трещинами и отверстиями. Результаты данной работы могут найти применение в таких научных направлениях фундаментального и прикладного характера, как механика материалов и элементов конструкций, магнитная дефектоскопия, неразрушающие методы определения и контроля напряжений и могут быть использованы в задачах механики разрушения.

Обоснованность и достоверность. Обоснованность и достоверность полученных результатов базируется на принятых в основу точных уравнениях и соотношениях механики и электродинамики сплошных сред, а также на качественном соответствии этих результатов с физической сущностью рассматриваемых проблем.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на шестой конференции молодых ученых института механики АН АрмССР(1987); на Всесоюзной конференции проблемы динамики взаимодействий деформируемых сред. (Горис, 1987); на седьмой конференции молодых ученых института механики АН АрмССР(1988); на семинарах института Механики НАН Армении(1997)

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, которые изложены на 100 страницах текста. В работе имеются 7 рисунков и 3 таблицы, список литературы состоит из 116 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен анализ современного состояния проблемы о напряженно-деформированном состоянии ферромагнитных тел с трещиной в магнитном поле, дается краткий обзор литературы, обосновывается актуальность выбора

темы диссертации, определена цель работы и кратко излагается содержание работы.

В первых двух параграфах первой главы, имеющих вспомогательный характер, используя результаты работ Y.-H. Pao и C.-S.Yeh приведены слеующие основные уравнения и поверхностные условия теории магнитоупругости магнитомягких, ферромагнитных тел

tij,k +//o(MkHi;k +Mkhi>k +mkHi>k) = О e¡jk (hk,j) = 0 bk>k = 0

eijkh[hk]-nmumJ[Hk]> = 0 (1)

ni[bi]-nmumi[Bi] = 0

4} =aij + WHiHj + W(Hihj н-Hjhi)

Tjj =/y0(/yrHiHj -^jHkHk) + M)[^(Hihj +Н^)-^-НкЬк]

К уравнениям и граничным условиям (1) прибавляются также уравнения электродинамики для вакуума во внешней области.

Здесь Н,В,М- соответственно векторы напряженности

магнитного поля, магнитной индукции и намагниченности, h, b,m-возмущения к указанным величинам, обусловленные деформацией среды, % - магнитная восприимчивость, цо - магнитная постоянная, цг - магнитная проницаемость среды, t¡j, Ту - соответственно элементы тензора магнитоупругих напряжений и напряжений Максвелла.

На основе приведенных линейных уравнений и соотношений в третьем параграфе первой главы решена конкретная задача. Исследовано напряженно-деформированное состояние однородного тела с тунельной трещиной в наклонном магнитном поле В0 = В(0, В02, Воз)-

Ди, + •

■2у

3,1 + Р-, = 0;

(1 = 1, 2);

Дф = 0; ДфМ = 0

&

Ди3 = О Д = -г- + —г

и2 = 0; ф = О

. , %В02 _ п ^12 н--и2,1 = о

А)/'г

2 ^

^22 = -( ~- + В02 Ф,2/

Мг 2//0//

Ф,1 - ф<е>,1: ф(е> = 0; и3,1 = О

из,2 ;

ХЪ202

и2,1

/'о/'г

Ф<е,.2 = ИгФ.2

при [х при |х-

при |х-I

при [х 1 при |х при |х1

при |х 1

> о

< 00

< а

< а

< а

> а

< а

(2)

М ИоМг

Здесь, как и в (1), использована декартовая система координат х17 *2, Хз, причем трещина в этой системе координат занимает область Б: |хЛ < а, х2 = 0, | х3| <оо. Получено замкнутое решение рассматриваемой задачи на основе которого показано, что:

ЕЗ Плоская и антиплоская задачи полностью не отделяются и при решении антиплоской задачи необходимо иметь значение компоненты индуцированного в среде магнитного поля, возникающего вследствии плоской деформации.

0 Задача о трещине продольного сдвига (антиплоская задача) возникает вследствие того, что внешнее магнитное поле наклонно к поверхности трещины и материал среды является ферромагнетиком.

□ Существует такое значение магнитного поля В02 равное В0*:

— = — [ЦГ(Х-2)(1-У)+2(1-У)Х2-1+2У-8(1-У)(1-2У)Х)Г1 М X

для которого коэффициент интенсивности сдвиговых напряжений обращается в нуль.

П Сдвиговые напряжения принимают максимальные значения при угле наклона магнитного поля около сорока пяти градусов относительно плоскости трещины. (Рис1)

Рис 1.

Вторая глава посвящена изучению напряженно-деформированного состояния для кусочно-однородных тел с трещинами в магнитном поле, вектор напряженности которого перпендикулярно к поверхности трещины. В первом параграфе этой главы рассматривается бесконечная магнитомягкая ферромагнитная плоскость, состоящая из двух полуплоскостей с различными физико-механическими свойствами. На границе раздела этих полуплоскостей имеется конечная трещина, берега которой свободны от внешних механических нагрузок. Единственным источником, вызывающим упругие деформации и индуцированное магнитное поле, является внешнее магнитное поле, перпедикулярное плоскости раздела. Для каждого из полуплоскостей имеем уравнения и граничные условия типа (2) при Воз = 0.

Применяя интегральное преобразование Фурье, указанная математическая задача сводится к решению парных интегральных уравнений, которые в свою очередь приводятся к системе сингулярных интегральных уравнений

«п f <Pi (s)

Я ixX-S

Г <Pi (s)

——ds+an<p2 (*) = 0

j V — У

(3)

К i^X-S

которые решены аналитически. Здесь ау> - постоянные, зависящие от физико-механических характеристик полуплоскостей и внешнего магнитного поля.

Получены аналитические выражения для магнитоупругих напряжений.

при |х| > 1

m , n2rnd пгг-уй 1

4ап 4ап Vx2 -1

X cos

J rln

l x + 1

x-l] „ ■ ( , X-l -2rsin| Tin

x+1

h<n(xfl) = k0+- 2

при |x| < 1

4an 4a22

xcos

Irin

V x + 1.

-2tsin Tin

x + 1

=r0 +

n2i\d K2d

4 an 8/a2i

r,{e'1K - ) + r2;r — (e~xn + e") CCf)

а2(1)(*,О) = А0 +

я k2d я d

4a22 8уаг

kt (e~™ -e™) + k2y — (e-m +e

(Xn

Полученные результаты показывают, что:

О С увеличением напряженности магнитного поля суммарные напряжения монотонно возрастают.

П Суммарное напряжение монотонно возрастает также при увеличении магнитной проницаемости одного из полупространств.

□ Неоднородность существенно влияет на напряженно деформированное состояние среды и коэффициент интенсивности различен при стремлении к кончику трещины с различных сторон.(рис. 2)

'.'.>111

'и

п

' /

-1-

3 х

График зависимости /С,,(л,0) от х при В1й О - 1(Г'; и

о г л- ирн Н'1 0.8 • 10-\

График зяписинистп /',,(х, 0)/

... 1 I !П< V. I Т ■

• - 10'';

крии.'ш для 0,22. ;),, 10''; крип.1 я лля '., --0,22, \1-г 1 10-

:>; 0,7 • 101 .МПа;

'г. :•„

(Рис) 2

Во втором параграфе расматривается бесконечное магнитомягкое ферромагнитное пространство, состоящее из двух различных полупространств на границе раздела которых имеется

монетообразная трещина, берега которой свободны от внешних механических нагрузок. Единственным источником, вызывающим упругие деформации и индуцированное магнитное поле, является внешнее магнитное поле, перпедикулярное плоскости раздела.

Применением интегрального преобразования Ханкеля, решение рассматриваемой задачи сводится к решению системы интегральных уравнений Абеля, которые в дальнейшем сводятся к системе сингулярных интегральных уравнений типа (2). Получено аналитическое решение задачи и исследована зависимость магнитоупругих величин от начального магнитного поля. Показано, что решение однородной задачи, данное У. БЫпс1о, является частным случаем полученных результатов. Магнитоупругие напряжения около контура монетообразной трещины имеют осциляционный характер.

В третьей главе рассмотрена возможность применения методов теории функций комплексного переменной? для решения плоских задач теории магнитоупругости магнитомягких ферромагнитных тел с трещинами и отверстиями различных форм. Показано, что решение плоской задачи теории магнитоупругости магнитомягких ферромагнитных тел можно свести к решению граничных задач теории функций комплексного переменного.

В первом параграфе третьей главы, аналогично классической плоской задаче теории упругости, вводятся четыре аналитические функции комплексного переменного, через которые выражаются магнитоупругие величины и индуцированное магнитное поле. Для определения этих аналитических функций получены граничные условия на контурах тела.

Во втором и третьем параграфах этой главы проиллюстрированно применение указанного пути (методов теории аналитических функций) к решению конкретных плоских задач теории магнитоупругости.

Во втором параграфе на основе граничных условий для функций комплексного переменного, полученных в первом параграфе решается задача для однородной плоскости с трещиной в поперечном магнитном поле. Показано, что решение

этой задачи, полученное этим путем, совпадает с результатами работы У. БЫпЬо.

Третий параграф посвящен плоской задаче для магнит<эмягкого ферромагнитного пространства с круговым отверстием в однородном магнитном поле. Получены все основные магнитоупругие величины, которые характеризуют напряженно-деформированное состояние плоскости около отверстия.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. На основе линейных уравнений теории магнитоупругости магнитомягких ферромагнитных тел решена задача определения напряженно-деформированного состояния однородного тела во внешнем магнитном поле, наклонном к плоскости деформаций. Показано, что:

• Задача о трещине продольного сдвига возникает вследствие того, что В02-В0з ^ 0.

• Существует такое значение В0* величины' В02 для которого коэффициент интенсивности сдвиговых напряжений при В02 = В0* обращается в нуль.

• С увеличением напряженности внешнего магнитного поля суммарное напряжение Бгз монотонно возврастает.

• Влияние магнитного поля наиболее сильно около угла а = л/4 (а - угол наклона В0 относительно плоскости Х2 = 0.)

2. Исследована задача определения напряженно-деформированного состояния для кусочно-однородного магнитомягкого ферромагнитного тела состоящего из двух полуплоскостей с конечной трещиной на границе раздела. Получены аналитические формулы для магнитоупругих напряжений и зависимость этих напряжений от физико-механических характеристик материалов. На основе анализа численных расчетов показано, что

• С увеличением напряженности магнитного поля суммарные напряжения также монотонно возрастают.

• Суммарное напряжение монотонно возрастает при увеличении цг1

• Неоднородность существенно влияет на напряженно деформированное состояние среды и коэффициент интенсивности различен при х —» 1±0.

3. В задаче определения напряженно-деформированного состояния кусочно-однородного магнитомягкого ферромагнитного тела состоящего из двух полупространств с монетообразной трещиной на границе раздела получены аналитические выражения для магнитоупругих напряжений и исследована их зависимость от входных данных.

4. Рассмотрена возможность применения методов теории функций комплексного переменного для решения плоских задач

теории магнитоупругости магнитомягких ферромагнитных. тел с трещинами и отверстиями с гладкими контурами. Решение задачи определения напряженно-деформированного состояния сводится к определению четырех аналитических функций из соответствующих граничных условий.

5. При помощи полученных выражений решены конкретные плоские задачи теории магнитоупругости для магнитомягких ферромагнитных плоскостей с трещиной и с круговым отверстием. Получены аналитические выражения для магнитоупругих величин.

ПУБЛИКАЦИИ

Основные результаты работы изложены в следующих работах:

1. АСАНЯН Д. Д., АСЛАНЯН А. А. Концентрация магнитоупругих напряжений возле монетообразной трещины, находящейся на плоскости раздела двух магнитомягких полупространств. Механика деф. твердого тела. Ереван, 1990, с. 107-114.

2. АСАНЯН Д. Д., АСЛАНЯН А. А., БАГДАСАРЯН Г. Е. Приведение плоских задач теории магнитоупругости магнитомягких ферромагнитных тел к задачам теории функций комплексного переменного. Проб. дин. вз. деф. сред. Ереван, 1987, с. 53-58.

3. АСАНЯН Д. Д., АСЛАНЯН А. А., БАГДАСАРЯН Г. Е. О концетрациях упругих напряжений и индуцированного магнитного поля возле трещины, обусловленных внешним магнитным полем. Изв. АН АрмССР, Механика, т. ХЫ, N 2, 1988, с. 15-25.

4. АСАНЯН Д. Д., АСЛАНЯН А. А., БАГДАСАРЯН Г. Е. Концентрация напряжений в магнитомягком теле с трещиной, вызванной внешним магнитным полем. Изв. АН АрмССР, Механика, т. Х1.1, N 5, 1988, с. 8-13.

ЦиФПФЛ 1-и

йфрфиб Ь йшф][1ишщЬи фшфгиЦ фЬпп15шдО|тиш1)шО |Зшр15|10йЬр^1 ' (Зшс^ишитшдфл^шО тЬиги^шй Ишрр [иОг^рОЬрЬО: 1^0 ^и^йфий Ь ОЬршбт^гиО^д, ЬрЬв Ьярш^шдгирщО^д и q.pшl^шQnLpJшQ дш01фд:

Цпи^О qLfшLlJ И[и501|Ь|П1|. Рао-[1 Ш2|тии1ш0р0Ьр[1 1[рш итшдфий Ь0 йищй^ишщЬи фшфт^ фЬппйищй^иш^шО 15шр(3|100Ьр[1 15ш^0|1ишитшд<}ш11ш0п1.р.|ш0 Ь|и50ш1|ш0 ЬшфшшртйОЬрр и ^ш^ЬрЬтрш]^ щицйшООЬрр: ^ййЦЬци! 1щг). Ьшь[шишрпи50Ьр[1 Ь. йш^Ьрйгирш^О щищйш00Ьр|1 фш ЬЬти^птфшЗ I: бшр щшрт(]ш1|пг1 ЬшйшиЬп йш^й^ишицЬи фшфш.1| 15шрй0{1 цЬфпрйшд^пО-цирфийш^О

Ьр1]рпрг^ пшпиЗОилфрфшЗ Ь0 тшррЬр ифиф

бшрЬр щшртОш^пп. шйЬш(5шиЬп (1шдй[1ишщЬи фшфш.1| фЬптЗи^Сфиш^шО йшрфООЬрр dшqQfluшшnшдqшl^щQnфJшQ Ьиирр [иОгфрОЬрр:

Ьррпрп. йи^О^иилцЬи фшфт^ фЬптЗи^Сфиш^шО

йшрСфййЬрЬ l5шqQ|^uшшr2шдqшl^шQnLpJшQ

huipp fuûqfipûbpQ pbpi[nLÚ hü l|núujLbpu фпфп(иш1|шй|1 $ni.ûl|gtiujûhp|i fuûq|ipûbp|iû: Oqinuiqnpáb|_ni[ iuüiu|JiLn|il| $ruGljgfiiuühp[i hiutfuip итшдфиб umG^nLpjnLÜGbpi], цибфи.й bü LjnDLipbin hiupp [ийгфрйЬр бшр L 2P2wQlu0L шйдр ujujpnLÛuiljnq úuqQfiumqbu фшфги1| $bnnúiuqGfiuujl]ujü úmpú|iüúbph hiuúiup:

l^fuuimuiGpli hfiúüiuljiuú LuprynLGpGhpG bO'

LnLái[iuá t pb|3 úuiqG|iuujl|iuú qiu2innLÚ B0(0, B02, В0з) qmQilnri, ólu£ ajupnLÛmljnri hiuúujubr2 diuqGliuiuujbu фшфш.1] $banúuiqG|"iuiuljujG úujptfúfi hujúiup i5ujqû|-|uujiimuiàquj^uiûnLpjuiG tuüqtipQ: BnLjg t трфиб np'

ш) боф|1 lajQqhnD bpl}ujjûuil|iuQ uuihgfi luqqbgnLpjaiû intul^ umiugiuúnLÚ fc, bpp Бог-Воз ^ 0

p) B02 hiuúiup qnjnipjmG múfi mjGiq|iu[i uipdbp B02 = B0- nph diuúiuGujl| uiuhph LmpnLÚGbpfi fiGmbGufiiJnipjiuG qnpóml||igQ qumünLÚ t qpn

q) lupinuipfiG ùiuqû|iiJUjLjiuG qu^mfi luqqbgnLpjnLÛQ luúbGujúbáG t bpp a = л/4 (a - luGljjnLÛû t B0 U x2 = O hiuppiupjiuû úfigL)

Suippbp ифиф бшрЬр u|iupni.Giul|nq mühuúmubR úiuqG|iuuju]bu фшфш-lj $bnni5iuqGfiuiul|U]Q úuipú|iúúbp|i hiuúujp [тб^шб t qb$npùujgfinû-[_ujp4uj6ujj|iû ijjiöiuliQ npn2b|_nL |uGqjinD: итшдфиб bû piuûiuàLbp i5mqG(iummnLuàqul|mû [шрпи5йЬр|1 прп2^шй hiuúuip, hbinujqnu^iuó t ûpiuûg фш.01|д[1п0ш[ Iiiuujq шрини^О úiuqGfiuiuljiuú qiu2in[ig U шйЬшйшиЬгг lüuipúúfi $fiq|il|n-(ЗЬ^шОЬЦшЦшй hmuil|nLpjnLÜGbp|ig:

UuqûhuujujnujàqujIjiuûnipjujG hiupp (uGqfipûbpQ рЬрфлб bG 1|пйщ[Ь£и фпфп|иш1|ш0|1 ^mGLjgfimübph fuûq[inûbphû: SriLjg t inpi[ujó, np ujjq fiiQlhPÛbpQ рЬрфий bû ¿при шйш[|ил(11| фтйЦд|пшйЬр[1 umhúujúúujGQ huiiiuiujujinuju|TjLuû bqpuijfiG ujuijùujGGbp|ig: OqmLuqnpáb[.nij ujju úbpnr^Q, [тбфиб bG L|nGL|pbm |тШгфрйЬр: