Показатели Ляпунова, аттракторы и слоения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им М В Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.9

Клепцын Виктор Алексеевич

Показатели Ляпунова, аттракторы и слоения 01 01 02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗОби4и■

Москва, 2006

003060407

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени M В Ломоносова, и в Математической лаборатории Высшей Нормальной Школы г Лиона

Научные руководители доктор физико-математических наук, профессор Ю С Ильяшенко, ведущий научный сотрудник, академик Э Жис

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор В 3 Гринес, доктор физико-математических наук, профессор В И Оселедец

Ведущая организация Санкт-Петербургское отделение математического института им В А Стеклова Российской Академии Наук (ПОМИ РАН)

Защита состоится " 02 " марта 2007 г в 16 час 15 мин на заседании диссертационного совета Д 501 001 85 в Московском государственном университете им M В Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан " 02 " февраля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В теории динамических систем одним из важнейших направлений является качественное исследование динамики системы, в том числе описание аттракторов системы По-видимому, честь создания этой области следует отнести А Пуанкаре, классифицировавшему возможные варианты динамического поведения гомеоморфизма окружности и (совместно с И Бендиксоном) векторного поля на плоскости и на сфере Данная область затем интенсивно развивалась, в частности, в связи с тем, что динамические системы часто встречаются и в прикладных задачах Необходимо здесь упомянуть выдающиеся работы А А Андронова по теории бифуркаций, С Смейла и Д В Аносова, которым мы обязаны теорией гиперболических систем, А Н Колмогорова по турбулентности

В дальнейшем, качественной теорией динамических систем занимались ведущие отечественные и зарубежные математики, такие, как А А Андронов, С X Арансон, Д В Аносов, В И Арнольд, К Бонатти, Р Воуэн, В 3 Гринес, Э Жис, Ю С Илья-шенко, А Каток, А Н Колмогоров, Р Мане, Дж Милнор, Ш Ньюхаус, В И Оселедец, Д Палис, Я Песин, Д Рюэлль, Я Г Синай, С Смейл, А М Степин, Д Сулливан,Ф Та-кенс, У Тёрстон, Дж Франке, А Н Шарковский, Л П Шильников, М Шуб, и многие другие

К сожалению, оказывается, что задача классификации всех возможных (или даже типичных) динамических систем в высокой размерности наталкивается на практически непреодолимые (по крайней мере, на текущий момент) трудности Известны лишь (впрочем, довольно большие) некоторые области систем, поддающихся исследованию диффеоморфизмы Морса-Смейла, гиперболические и частично-гиперболические динамические системы, области применимости теории KAM

Более того, существенные трудности представляет исследование даже одного заданного векторного поля в размерностях, начиная с 3, и одного отображения уже для динамики на плоскости

Трансверсально конформные слоения, тем самым, являются естественным объектом для исследования, являясь, в определенном смысле, случаем динамики нескольких отображений (а именно, отображений голономии вдоль слоев), которые могут рассматривать-

ся как одномерные (поскольку из-за конформности к ним применима лемма об искажении, в каждой точке имеется только один показатель Ляпунова, и т д )

В случае, если на слоях слоения задана риманова метрика, Л Гарнетт1 предложила рассматривать броуновское движение вдоль слоев и исследовать его асимптотические свойства, ею же было введено понятие гармонической мери

Вопросы, обсуждаемые в первой главе диссертации, получаются при применении подхода Гарнетт к трансверсально конформным неособым слоениям Эти вопросы могут рассматриваться как развитие теории случайных динамических систем Напомним, что обычная случайная динамическая система на метрическом компакте X это вероятностная мера на множестве эндоморфизмов X Простейшим случаем является задание конечного множества отображений Т, и соответствующих им вероятностей их применения р} Такие системы интенсивно исследовались Первой работой в этом направлении была работа Фюрстенберга о произведениях случайных матриц2 В этой работе показано, что под действием такого произведения (при несущественных предположениях типичности) почти наверное почти все направления в R" сближаются Другим важным результатом, также принадлежащим Фюрстенбергу3, является следующее утверждение образы стационарной меры при итерациях с обратным порядком почти наверное сходятся В работе В А Каймановича и Г Мазура4, для случая динамики модулярной группы поверхности, доказано, что предельная мера почти наверное является мерой Дирака, что влечет сближение орбит и единственность стационарной меры Также в данной области есть много других рабах, заслуживающих упоминания И Ле Жана5, Г Фюрстенберга и Ю И Ки-

'L Garnett Foliations, the ergodic theorem and Browman motion J Punct Ana! 51 (1983), no 3, pp 285-311

2H Furstenberg Non commuting random matrices product Trans Amer Math Soc 108 (1963), pp 377-428

3H furstenberg Boundary theory and stochastic processes on homogeneous spaces In Рос Syrnpos

Pure Math , 26 (1973), pp 193-229

4V A Kaimanovich, H masur The Poisson boundary of the mapping class group, Invent Math, 125

(1996), pp 221-264

5Y Le Jan Equilibre statistique pour les produits de difféomorphismes aléatoires indépendants Ann Inst Herrn Pomcaré 23 (1987), no 1, pp 111-120

фера6, Г Фюрстенберга и Г Кестена7, Г Крауэла8

Главным инструментом здесь является стационарная мера, то есть мера, совпадающая со средним своих итераций Это обобщение понятия инвариантной меры дая обычных динамических систем на случай случайных динамических систем

Мы не можем не упомянуть здесь замечательные работы Т Кайзера9, где эффект сближения орбит был установлен для итерации одного аналитического диффеоморфизма, возмущаемых поворотами на случайные углы, и В А Антонова10, где было установлено следующее общее утверждение в двусторонне-минимальной случайной динамической системе на окружности либо имеется общая инвариантная мера, либо имеет место эффект сближения орбит Эффекты, обоснованные в обеих этих работах, являются проявлениями того же общего принципа, которому (в случае слоений) соответствуют основные результаты главы 1 "В случае одномерной динамики имеет, место либо инвариантная мера, либо (локальное) сближение орбит"

В случае гладкой динамической системы, П Баксендейлом11 доказано следующее утверждение для гладкой случайной динамической системы на компактном многообразии, существует эргодическая стационарная мера, такая, что сумма соответствующих ей показателей Ляпунова неположительна, и обращается в ноль если и только если эта мера инвариантна под действием всех диффеоморфизмов В частности, для динамической системы на окружности из этой теоремы вытекает, что либо найдется мера, инвариантная под действием всех отображений, либо имеет место эффект сближения орбит

Важным понятием современной качественной теории динамических систем является понятие аттрактора, те притягивающего множества системы Однако, у этого понятия существует много различных формализаций В их числе необходимо упомянуть

6Furstenberg H , klfer Yu Random matrix products and measures on projective spaces, Israel J of

Math , 46 (1983), no 1-2, pp 12-32

7H Furstenberg h H Kesten Product of random matrices Ann Math Stat, 31 (1960), pp 457-469

8 H crauel, Extremal exponents of random dynamical systems do not vanish, Journal of Dynamics and

Differential Equations, 2, no 3, pp 245-291 (1990)

9T Kaijser On stochastic perturbations of iterations of circle maps, Physica D, 68 (1993), pp 201-231 i°B А Антонов Моделирование процессов типа циклической эволюции Синхронизация случайным

сигналом Вестник Ленинградского Университета, 1984, выл 2, N 7, Астрономия, с 67-76

11Р H Baxendale Lyapunov exponents and relative entropy for a stochastic flow of diffeomorphisms

Probab Theory Related Fields 81 (1989), pp 521-554

максимальный аттрактор Amaiz диссипативной динамической системы, предельное множество L, центр Биркгофа, милноровский, статистический и минимальный аттракторы Astat и ^mm соответствегао) Гипотеза Палиса12 предлагает, что для типичной динамической системы все эти определения дают одно и то же множество С другой стороны, гипотеза Рюэля13 утверждает, что существуют типичные примеры несовпадения аттракторов Впрочем, поскольку в этих гипотезах используются разные определения типичности (метрическая типичность в гипотезе Палиса и топологическая в гипотезе Рюэлля), эти гипотезы не являются взаимоисключающими

Эти определения изучались, в частности, в работах1*13,12 Известно15, что

max

эьэ Ам Э А etat —' Anmi

более того, для всех включений, кроме последнего, имелись примеры, показывающие, что эти включения могут быть строгими С другой стороны, для последнего включения такой пример не был известен, в связи с чем А G Городецким и Ю С Ильяшенко16 был поставлен вопрос о совпадении минимального и статистического аттракторов

В главе 2 мы приводим пример динамической системы, для которой минимальный и статистический аттракторы не совпадают

Глава 3 посвящена исследованию ячейки Черри В 1881 году А Пуанкаре17 поставил вопрос о существовании потока на двумерной поверхности, у которого существовало бы исключительное (т е трансверсально канторово) минимальное множество В 1932 г,

12 J Palis A global

view of dynamics and a conjecture on the dynamics of fimtude of attractors, Géometné

complexe et systèmes dynamiques, Orsay 1995, Astérisque 261 (2000), xui-xiv, pp 335-347

13D Ruelle Historical behaviour ш smooth dynamical systems Global analysis of dynamical systems,

pp 63-66, Inst Phys , Bristol, 2001

14A G ГОРОДЕЦКИЙ, Минимальные аттракторы и частично гиперболические инвариантные множества динамических систем Текст кандидатской диссертации, Московский Государственный Университет, 2001

15А С ГОРОДЕЦКИЙ, Минимальные аттракторы и частично гиперболические инвариантные множества динамических систем Текст кандидатской диссертации, Московский Государственный Университет, 2001

1SA GORODETSKr, Yu Ilyashenko Minimal and Strange attractors, International Journal of Bifurcation and Chaos, 1996, v 6, N 6, pp 1177-1183

17H PoiNOARÉ Sur les courbes définies par les équations différentielles, I, II, III, IV J Math Pure et Appl, 2 (1881, 82, 85, 86), pp 151-217

А Данжуа18 показал, что такого С2-гладкого потока без особых точек на торе не существует, а затем это утверждение было обобщено А Шварцем19 на общий случай произвольного потока на двумерной поверхности Поток Черри был предложен Т Черри2421 в 1937 год)' как пример гладкого потока на двумерном торе с исключительным квазиминимальным множеством, это пример, наиболее близкий к тому, что интересовало Пуанкаре

В этой главе мы исследуем частный случай потоков Черри потоки с одной ячейкой Будут исследованы временные средние такого потока, и будет показано, что для ячейки Черри имеет место несовпадение милноровского и минимального аттракторов Этот пример имеет коразмерность 1 — 0, и соответственно, является наиболее типичным из известных примеров такого несовпадения

Цель работы.

Целью настоящей работы является исследование показателей Ляпунова и аттракторов для случайной динамики слоений, предъявление явного примера несовпадения минимального и статистического аттракторов, а также исследование поведения временных средних в потоке Черри с одной ячейкой

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

• Исследована динамика отображений голономии вдоль типичного броуновского пути в слое для неособых слоений коразмерности 1 Получена альтернатива "наличие трансверсальной инвариантной меры либо экспоненциальное сжатие для типичной голономии" В случае отсутствия трансверсальной инвариантной меры получен результат о сходимости решений послойного уравнения теплопроводности

18A Denjoy Sur les courbes défîmes par des équation différentielles à la surface du tore J Math. Pure et Appl, 11 (1932), pp 333-375

l9A Schwartz A generalization of Poincaré-Bendixon theorem to closed two dimensional manifolds Amer

J Math 85 (1963), 453-458

20T Cherry Topological properties of solutions of ordinary differential equations, Amer J Math, 59

(1937), pp 957-982

23 T Cherry Analytic quasi-periodic discontinuous type on a torus, Proc Land Math. Soc, 44 (1938), no 2, pp 175-215

• Приведен пример динамической системы на плоскости, для которой минимальный и статистический аттракторы не совпадают

• Исследована динамика потока Черри с одной ячейкой Доказано, что для такого потока минимальный и статистический аттракторы состоят из одной точки (седла) Тем самым показано, что поток Черри является примером несовпадения милноров-ского и минимального аттракторов

Методы иссследования

В работе используются методы эргодической теории, теории динамических систем (в том числе, существенную роль играет исследование показателей Ляпунова, и рассмотрение гармонических мер на слоениях), а также теории случайных процессов Для исследования показателей Ляпунова применяются также методы функционального анализа

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер Ее результаты могут быть полезны в теории динамических систем с дискретным и непрерывным временем, а также в теории слоений

Апробация работы.

Основные результаты настоящей диссертации докладывались

• на семинаре механико-математического факультета МГУ под руководством проф Ю С Ильяшенко (неоднократно, 2004-2006гг),

• на международных конференциях "Hilbert 16th and related problems m dynamics" (Москва, декабрь 2003г ) и "Lyapunov exponents and related topics m dynamics and geometry" (Москва, январь 2005г),

• на общем семинаре математического института Institut Mathématique de Bourgogne (Дижон, май 2006г),

• на семинаре по геометрии, топологии и динамике лаборатории математики университета Paris-Sud (Париж, февраль 2005г )

Публикации

Основное содержание работы опубликовано, список из трех работ автора по теме диссертации приведен в конце автореферата

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, в совокупности включающих в себя 14 параграфов, и списка литературы, включающего 110 наименований Полный объем диссертации 112 страниц

Основное содержание диссертации

Главной целью диссертации является исследование различных феноменов типа притяжения в динамических системах

В главе 1 мы, следуя определениям, предложенным Л Гарнетт1, исследуем динамические свойства слоений Более точно, пусть на некотором компактном многообразии задано слоение, слои которого снабжены римановой метрикой Тогда можно рассмотреть броуновское движение вдоль его слоев и задать вопрос о поведении соответствующих отображений голономии Для таких систем, в случае трансверсально конформных слоений (в частности, для слоений коразмерности 1), в настоящей работе получена следующая альтернатива Показано, что либо существует трансверсально инвариантная мера (вырожденный случай, встречающийся исключительно редко), либо отображение голономии вдоль типичного пути экспоненциально сжимает Отсюда выводится, в частности, строгая эргодичность такой системы на любом минимальном подмножестве

Также исследуются свойства соответствующего послойного уравнения теплопроводности, для которого, как следствие, получена теорема стабилизации Все эти утверждения суммируются в следующей теореме

Теорема 1.1 1 (Основной результат) Пусть Т трансверсально конформное слоение класса С1 компактного многообразия М Тогда либо найдется трансверсальная инвариантная мера Либо у Т существует конечное число минимальных множеств ■М-11 I-Мк, найдутся такие меры ¡хх, на этих множествах, и а > 0, что вы-

полнены следующие утверждения

• Сжатие Для любой точки х из М и для почти всякого броуновского пути 7, начинающегося в х, найдётся окрестность Ту точки х в Т и константа С-, > О, такие, что при всех t > О, отображение голономии h7i[a tJ определено вТу и

• Распределение. Для любой точки х из М и для почти всякого броуновского пути 7, начинающегося в х, путь 7 стремится к одному из минимальных множеств

и распределён в соответствии с мерой то есть

lim 77«1еЬ[од = t—*оо t

где 1еЬ[о,(] обозначает меру Лебега на отрезке [0, t]

• Притяжение. Вероятность р3{х) того, что вдольслойный броуновский путь, начинающийся е точке х (и не покидающий слоя Т^), стремится к М0, является непрерывной послойно гармонической функцией

• Диффузия При t, стремящемся к бесконечности, образы при диффузии D*f непрерывной функции f М —♦ М равномерно сходятся к сумме ^ CjPj, где Cj = J fdßj В частности, функции р} образуют базис в пространстве всех послойно гармонических непрерывных функций

Для доказательства теоремы 111 сначала устанавливается следующая

Теорема А. Пусть J- — трансверсально конформное слоение класса С1 на компактном многообразии, и пусть на некотором минимальном подмножестве М имеется гармоническая эргодическая мера р с отрицательным показателем Ляпунова Тогда имеют место следующие утверждения

• Сжатие Пусть выбрано а, 0 < а < |A(/i)| Тогда для любого х 6 М, и для почти любого броуновского пути 7 6 Г^., найдутся трансверсальная окрестность Ту точки х и константа С7 > 0, такие, что при всех such that for every t > 0, отображение голономии hy\^ определено в Tlt и

IHmC^)! ^ C7exp(-ai)

• Строгая эргодичность Для каждой точки х 6 М., почти любой броуновский путь, начинающийся в х, распределен в соответствии с мерой fi Тем са/лым /л — единственная гармоничная мера на М.

• Диффузия Образы при диффузии Dlf непрерывной функции f Л4 -н► R равномерно сходятся к константе, равной f^ fdp.

• Притяжение Пусть М ^ М, и обозначим через рм{х) вероятность того, что броуновский путь, начинающийся в х, будет стремиться к М, будет распределен в соответствии с мерой ц, и будет сжимать некоторую трансверсальную окрестность точки х Тогда функция рм полунепрерывна снизу и послойно гармонична В частности, рм отделена от нуля некоторой полоокительной константой в некоторой окрестности М

Затем, используя определения гармонической меры, теоремы Хана-Банаха и конструкции предельных мер, в случае отсутствия меры с отрицательным показателем Ляпунова строится трансверсальная инвариантная мера

Теорема В Пустъ Т — трансверсально конформное слоение компактного многообразия Тогда на любом минимальном подмножестве либо существует трансверсальная инвариантная мера, либо гармоническая мера (на этом подмножестве) единственна и соответствующий ей показатель Ляпунова отрицателен

Из заключений этих двух теорем выводится теорема 111

Приведем здесь определение, необходимое для формулировки дальнейших результатов

Определение Слоение (JF,A), снабженное оператором Лапласа, называется подвижным,, если существует трансверсальное непрерывное слоение Я дополнительной размерности codim^), такое, что оператор Лапласа Д инвариантен под действием голономии вдоль Q, тем самым Я сохраняет метрику g и поле дрейфа V

К основным результатам главы 1 могут быть также отнесены следующие утверждения

Теорема С Пусть {JF, Д) — подвижное слоение коразмерности один на компактном многообразии, оператор А которого получен добавлением к оператору Лапласа-

Бельтрами для римановой метрики поля дрейфа, сохраняющего объем Тогда на каждом минимальном подмножестве существует единственная гармоническая мера Более того, если оператор Д симметрический (те дрейфа нет), то каждая эргодическая гармоническая мера сосредоточена на некотором минимальном множестве

Теорема 14 6 Пусть (Т, Д) — подвижное слоение коразмерности 1, поле дрейфа которого сохраняет объем vol3 Тогда, на каждом минимальном подмножестве 7 существует единственная гармоническая мера

Замечание 1.1 2 Теорема А остается верной и если слоение особое, но минимальное множество не содержит особых точек В частности, наш результат применим для случая голоморфных слоений с особенностями комплексных компактных поверхностей К примеру, отсюда следует, что если M минимальное подмножество в голоморфном слоении комплексной проективной плоскости, то на /А имеется единственная гармоническая мера и ее показатель Ляпунова отрицателен Этот результат был недавно получен Форнаессом и Сибони для Су-ламинаций на голоморфные кривые, содержащихся в комплексной проективной плоскости

Использованная техника может быть применена во многих других случаях "словарь Салливана" позволяет переносить полученные результаты на случай конформного действия групп и конформных соответствий

Главы 2 и 3 посвящены исследованию различных типов аттракторов для обычных динамических систем Существует много определений того, что следует считать аттрактором системы максимальный аттрактор, предельное множество, неблуждающее множество, центр Биркгофа, милноровский, статистический и минимальный аттракторы Иерархия (те свойства включения) таких аттракторов уже широко исследовались, в частности, в работах Д Рюэлля22, А С Городецкого и Ю С Ильяшенко16, А С Городецкого23

В главе 2 мы приводим пример динамической системы, для которой минимальный и

aD Ruelle Historical behaviour m smooth dynamical systems Global analysis of dynamical systems, pp 63-€6, Inst Phys , Bristol, 2001

23 A С Городецкий, Минимальные аттракторы и частично гиперболические инвариантные множества динамических систем Текст кандидатской диссертации, Московский Государственный Университет, 2001

статистический аттракторы не совпадают Тем самым, получен отрицательный ответ на вопрос16 об эквивалентности этих определений Это первый пример, различающий эти два аттрактора

Напомним их определения Пусть (X, дг) — гладкий полупоток на компактном многообразии X, и ¿¿х, — мера Лебега на X

Определение Открытое множество II несущественно для статистического аттрактора, если для //¿-почти всех х £ X

где через \2\ обозначена (одномерная) лебегова мера множества Л С К

Обозначим через /»¿х образ меры ¡х под действием отображения / положим (/»ц) (А) =

Определение Открытое множество V несущественно для минимального аттрактора,

Определение Статистический (соответственно, минимальный) аттрактор это дополнение к объединению всех несущественных в соответствующем смысле открытых множеств Он обозначается через (соответственно, А^т)

Предъявляемый нами пример получается модификацией примера Боуэна одно из седел в седдовой связке заменяется на седлоузел Для полученной системы, доказывается, что итерации меры Лебега стремятся к мере Дирака, сосредоточенной в седлоузле Напротив, все точки при этом время от времени уходят от седлоузла на протяжении значительного (и разного для разных точек) промежутка времени, проводя это время в окрестности седла В результате, минимальный аттрактор состоит из одной точки (седлоузла), а статистический из двух седла и седлоузла Основными результатами главы, соответственно, являются следующие утверждения

Теорема 2 3 1 Для модифицированного примера Боуэна, А^^ = {А, В} Теорема 2 3.2. Для модифицированного примера Боуэна, Ащгп = {-А}

если

при Т —* оо

В главе 3, мы исследуем динамику ячейки Черри Ячейка Черри — гладкое векторное поле на двумерном торе, имеющее исключительное (т е канторово) квазиминимальное множество, проходящее через седловута особую точку Мы показываем, что почти всякая (по мере Лебега) точка тора проводит почти все время в окрестности этого седла, соответственно, статистическим аттрактором является это седло С другой стороны, милноровский аттрактор совпадает с квази-минимальным множеством Следовательно, милноровский и статистический аттракторы для ячейки Черри не совпадают Эти результаты сформулированы в следующих утверждениях

Теорема 3 3 1. Для любой точки х из бассейна отталкивания К временные средние итераций меры Дирака 5Х сходятся к мере Дирака сконцентрированной в седле 5

Следствие 3 3 2. Минимальный и статистический аттракторы ячейки Черри состоят из одной точки, седла 5" В частности, минимальный и милноровский аттракторы для ячейки Черри не совпадают

Отметим, что в типичном однопараметрическом семействе векторных полей на торе, множество значений параметра, соответствующих ячейке Черри, это канторово множество (без его концевых точек) Следовательно, ячейка Черри является примером несовпа^ дения милноровского и статистического аттракторов, встречающимся неизолированным образом в типичном однопараметрическом семействе Соответственно, данный пример более типичен, чем петля сепаратрисы (встречающаяся в однопараметрическом семействе дискретным образом), являвшаяся до настоящего момента примером наиболее общего положения из известных примеров несовпадения данных аттракторов

Автор выражает свою глубокую и искреннюю признательность своим научным руководителям, доктору физ -мат наук, профессору Ю С Ильяшенко и ведущему научному сотруднику, академику Э Жису, за постановку задач, постоянное внимание к работе, ценные советы и вдохновляющие обсуждения

Список работ автора по теме диссертации

[1] А С Городецкий, Ю С Ильяшенко, В А Клепцын, М Б Нальский, Неустранимость нулевых показателей Ляпунова, Функциональный анализ и его

приложения, 39 (2005), no 1, с 27-38

В работе [1] А С Городецкому и Ю С Ильяшенко принадлежат постановка задачи и идея ее решения, М Б Нальскому доказательства лемм 1, 3 и 4, а В А Клепцыну доказательство леммы 2 и теоремы 3 Теорема 2 выводится из лемм 1, 2 и 3, а теорема 1 из теорем 2 и 3

[2] В А клепцын, В А Рабинович, Классификация фуксовых особых точек, Математические заметки, 76 (2004), по 3, с 372-383

В работе [2] Б А Рабиновичу принадлежит доказательство основного результата в случае диагонализуемой матрицы-вычета, а В А Клепцыну его обобщение на общий случай

[3] V Kleptsyn, An example of non-comcidence of minimal and statistical attractors, Ergodic Theory and Dynamical Systems, 26 (2006), pp 759-768

Издательство ЦП И при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова Подписано в печать 3 / 07

Формат 60 x 90 !/16 Уел печ л 0,75

Тираж ¡00 экз Заказ 0&

0.1 Структура диссертации.

0.2 Случайные динамические системы

0.3 Аттракторы.

1 Динамика слоений

1.1 Введение.

1.1.1 Результаты для случая слоения.

1.1.2 Структура доказательства.

1.1.3 Другие примеры динамических систем.

1.2 Отрицательный показатель Ляпунова.

1.2.1 Сжатие.

1.2.2 Похожесть броуновских движений на разных слоях.

1.2.3 Доказательство теоремы А.

1.2.4 Примеры: голоморфные слоения комплексных поверхностей

1.3 Симметрический случай

1.3.1 Дихотомия: доказательство теоремы В.

1.3.2 Доказательство основной теоремы.

1.3.3 Примеры: С2-слоения коразмерности один.

1.3.4 Контрпример в несимметричном случае.

1.4 Подвижные слоения.

1.4.1 Несколько примеров.

1.4.2 Нерасхождение слоев.

1.4.3 Применение к строгой эргодичности

2.2 Определения.86

2.3 Основной результат.86

2.4 Динамика: идеи доказательств.88

2.5 Доказательства.88

2.6 Замечания .95

3 Аттракторы для ячейки Черри 96

3.1 Введение.96

3.2 Определение ячейки Черри.98

3.3 Основной результат.99

Введение

0.1 Структура диссертации

Главной целью данной диссертации является исследование различных феноменов типа притяжения в динамических системах.

В главе 1 мы, следуя определениям, предложенным Л. Гарнетт [38], исследуем динамические свойства слоений. Более точно, пусть на некотором компактном многообразии задано слоение, слои которого снабжены римановой метрикой. Тогда можно рассмотреть броуновское движение вдоль его слоёв и задать вопрос о поведении соответствующих отображений голономии. Для таких систем, в случае трансверсалыю конформных слоений (в частности, для слоений коразмерности 1), в настоящей работе получена следующая альтернатива. Показано, что либо существует трансверсалыю инвариантная мера (вырожденный случай, встречающийся исключительно редко), либо отображение голономии вдоль типичного пути экспоненциально сжимает. Отсюда выводится, в частности, строгая эргодичность такой системы на любом минимальном подмножестве.

Также исследуются свойства соответствующего послойного уравнения теплопроводности, для которого, как следствие, получена теорема стабилизации.

Использованная техника может быть применена во многих других случаях: "словарь Салливана" позволяет переносить полученные результаты на случай конформного действия групп и конформных соответствий.

Главы 2 и 3 посвящены исследованию различных типов аттракторов для обычных динамических систем. Существует много определений того, что следует считать аттрактором системы: максимальный аттрактор, предельное множество, неблуждающее множество, центр Биркгофа, милноровский, статистический и минимальный аттракторы. Иерархия (т.е. свойства включения) таких аттракторов уже широко исследовались, в частности, в работах Рюэлля [90], Городецкого и Ильяшенко [47], Городецкого [44].

В главе 2 мы приводим пример динамической системы, для которой минимальный и статистический аттракторы не совпадают. Тем самым, получен отрицательный ответ на вопрос A.C. Городецкого и Ю.С. Ильяшенко, поставленный ими в работе [47]. Это первый пример, различающий эти два аттрактора.

Этот пример получается модификацией примера Боуэна: одно из сёдел заменяется на седлоузел. Для полученной системы, итерации меры Лебега стремятся к мере Дирака, сосредоточенной в седлоузле. Напротив, все точки при этом время от времени уходят от седлоузла на протяжении значительного (и разного для разных точек) промежутка времени, проводя это время в окрестности седла. В результате, минимальный аттрактор состоит го одной точки (седлоузла), а статистический из двух: седла и седлоузла.

В главе 3, мы исследуем динамику ячейки Черри. Ячейка Черри — гладкое векторное поле на двумерном торе, имеющее исключительное (т.е. канторово) квазиминимальное множество, проходящее через седловую особую точку. Мы показываем, что почти всякая (по мере Лебега) точка тора проводит почти всё время в окрестности этого седла; соответственно, статистическим аттрактором является это седло. С другой стороны,, милноровский аттрактор совпадает с квази-минимальным множеством. Следовательно, милноровский и статистический аттракторы для ячейки Черри не совпадают.

В типичном однопараметрическом семействе векторных полей на торе, множество значений параметра, соответствующих ячейке Черри, это канторово множество (без его концевых точек); см., например, [11]. Следовательно, ячейка Черри является примером несовпадения милноровского и статистического аттракторов, встречающимся неизолированным образом в типичном однопараметрическом семействе. Соответственно, данный пример более типичен, чем петля сепаратрисы (встречающаяся в однопараметрическом семействе дискретным образом), являвшаяся до настоящего момента примером наиболее общего положения из известных примеров несовпадения данных аттракторов.

0.2 Случайные динамические системы

Классической случайной динамической системой на метрическом компакте X называется вероятностная мера на множестве эндоморфизмов X. Простейшим случаем является задание конечного множества отображений 7} и соответствующих им вероятностей их применения р^. Последовательность итераций такой системы это случайная последовательность композиций этих отображений. Эта последовательность начинается с тождественного отображения, и каждое следующее отображение получается из предыдующего композицией с одним из Т*, выбираемым случайно. Выбор Т{ независим на разных шагах, и каждое отображение 7} выбирается с соответствующей вероятностью р^.

Такие системы интенсивно исследовались. Первой работой в этом направлении была работа Фюрстенберга о произведениях случайных матриц [33]. В этой работе показано, что под действием такого произведения (при несущественных предположениях типичности) почти наверное почти все направления в Мп сближаются. Другим важным результатом, также принадлежащим Фюрстенбергу [34], является следующее утверждение: образы стационарной меры при итерациях с обратным порядком почти наверное сходятся. В работе Каймановича и Мазура [61], для случая динамики модулярной группы поверхности, доказано, что предельная мера почти наверное является мерой Дирака, что влечёт сближение орбит и единственность стационарной меры. Также в данной области есть много других работ, заслуживающих упоминания: Ле Жана [75], Фюрстенберга и Кифера [37], Фюрстенберга и Кестена [36], Крауэла [22].

Главным инструментом здесь является стационарная мера, то есть мера, совпадающая со средним своих итераций. Это обобщение понятия инвариантной меры для обычных динамических систем на случай случайных динамических систем.

Мы должны упомянуть здесь работы Кайзера [64], где эффект сближения орбит был установлен для итераций одного аналитического диффеоморфизма, возмущаемых поворотами на случайные углы и Антонова [1], где было установлено следующее общее утверждение: в двусторонне-минимальной случайной динамической системе на окружности либо имеется общая инвариантная мера, либо имеет место эффект сближения орбит. В случае гладкой динамической системы, Баксендейлом [8] доказано следующее утверждение: для гладкой случайной динамической системы на компактном многообразии, существует эргодическая стационарная мера, такая, что сумма соответствующих ей показателей Ляпунова неположительна, и обращается в ноль если и только если эта мера инвариантна под действием всех диффеоморфизмов. В частности, для динамической системы на окружности из этой теоремы вытекает, что либо найдётся мера, инвариантная под действием всех отображений, либо имеет место эффект сближения орбит.

В главе 1 мы исследуем более общий случай случайных динамических систем, введённый Гарнетт [38], а именно, динамику на слоениях. Пусть на слоях некоторого слоения введена риманова метрика. Тогда можно рассмотреть броуновское движение вдоль слоев и поставить вопрос об исследовании асимптотического поведения отображений голоно-мии вдоль типичных траекторий.

Аналогом стационарной меры в данном случае будет гармоническая мера, а аналогом общей инвариантной меры трансверсалъная инвариантная мера: это мера на трансвер-салях, инвариантная под действием всех отображений голономии.

Мы покажем, что для всякого трансверсально конформного слоения (класса гладкости С1 в случае коразмерности 1) либо найдётся трансверсальная инвариантная мера, либо отображение голономии вдоль типичной броуновской траектории экспоненциально сжимает некоторую окрестность на трансверсали. Иначе говоря, наличие трансверсаль-ной инвариантной меры является единственным препятствием к эффекту трансверсаль-ного сжатия.

Главными инструментами здесь являются гармонические меры и показатели Ляпунова. Показатель Ляпунова измеряет асимптотическое поведение производных отображения голономии, соответствующих пути: это предел отношения логарифма производной отображения голономии к прошедшему времени, когда время стремится к бесконечности. Этот предел для типичной траектории существует и называется показателем Ляпунова.

0.3 Аттракторы

В современной теории динамических систем, существует много различных формализаций понятия аттрактора как притягивающего множества системы. В их числе необходимо упомянуть максимальный аттрактор диссипативной динамической системы, предельное множество, центр Биркгофа, милноровский, статистический и минимальный аттракторы.

Гипотеза Палиса [84] предлагает, что для типичной динамической системы все эти определения дают одно и то же множество. С другой стороны, гипотеза Рюэлля [90] предполагает, что существуют типичные примеры несовпадения аттракторов. Впрочем, поскольку в этих гипотезах используются разные определения типичности (метрическая типичность в гипотезе Палиса и топологическая в гипотезе Рюэлля), эти гипотезы не являются взаимоисключающими.

Мы напомним определения некоторых из вышеупомянутых аттракторов и поясним их "физический смысл".

Пусть задано непрерывное отображение / : В —> В, причём f(B) С Int(£?) (такое отображение называется диссипативным). Максимальный аттрактор этого отображения определяется как пересечение всех итераций исходного множества:

Amax = f}fn(B). п

Это множество есть множество состояний, в которых система может находиться в сколь угодно большой момент времени. Конечно, не все системы диссипативны; поэтому обычно напрямую это определение не применяют. Напротив, достаточно часто "естественный" аттрактор системы оказывается максимальным аттрактором некоторой своей окрестности.

Предельное множество L определяется как замыкание объединения ш-предельных множеств всех точек. Иными словами, предельное множество это наименьшее замкнутое множество, к которому стремятся орбиты всех точек. Можно также определить его, используя подход несущественных множеств. Открытое множество U несущественно в смысле предельного множества, если орбита любой точки попадает в U лишь конечное число раз. Теперь, можно определить предельное множество как дополнение к объединению всех несущественных множеств.

Милноровский аттрактор Ам определяется как наименьшее замкнутое множество, содержащее ^-предельные множества для почти всех по мере Лебега начальных точек. Иначе говоря, это наименьшее множество, к которому стремится орбита типичной точки.

Статистический аттрактор Astat определяется следующим образом. Открытое множество U несущественно для статистического аттрактора, если для почти любой начальной точки х, доля времени, проводимого итерациями х в U, стремится к 0. Опять же, статистический аттрактор определяется как дополнение к объединению всех несущественных множеств.

Это определение может быть получено из следующей физической интерпретации. Предположим, что состояние системы отображается на экране светящейся точкой, и что мы фотографируем экран на очень малочувствительную плёнку с очень большой экспозицией. Полученное изображение (точнее, объединение таких изображений), это и есть статистический аттрактор.

Определение минимального аттрактора Amin похоже на определение статистического аттрактора, но вместо итераций индивидуальных точек рассматриваются итерации меры Лебега. А именно, открытое множество несущественно для минимального аттрактора, если временные средние mt меры Лебега концентрируются в дополнении к U, то есть, mt(U) стремится к 0 при t, стремящемся к бесконечности.

Это определение также можно интерпретировать как "фотографию экрана", но теперь на экране показывается динамика не одной точки, а множества, причём изначально точки были распределённы равномерно в смысле меры Лебега.

Эти определения изучались, в частности, в работах [44, 90, 84]. Известно (см. [44]), что d Ld Ам D A$tat Э Amin] более того, для всех включений, кроме последнего, имелись примеры, показывающие, что эти включения могут быть строгими. С другой стороны, для последнего включения такой пример не был известен. В [47] был поставлен вопрос о совпадении минимального и статистического аттракторов.

В главе 2 мы приводим пример динамической системы, для которой минимальный и статистический аттракторы не совпадают. Этот пример получается незначительной модификацией примера Боуэна: одно из сёдел заменяется на седлоузел. Для полученной системы, каждая точка проводит значительное время около как седла, так и седлоузла, поэтому статистическим аттрактором оказывается их объединение. С другой стороны, мера, сконцентрированная около седла, стремится к 0: все точки оказываются время от времени близко к нему, но все в свои моменты времени. В результате, минимальный аттрактор состоит лишь из одной точки: седлоузла.

Глава 3 посвящена исследованию ячейки Черри. В 1881 году Пуанкаре [89] поставил вопрос о существовании потока на двумерной поверхности, у которого существовало бы исключительное (т.е. трансверсально канторово) минимальное множество. В 1932, Дан-жуа [23] показал, что такого гладкого потока не существует. Поток Черри был предложен Черри [18, 19] в 1937 году как пример гладкого потока на двумерном торе с исключительным квазиминимальным множеством; это пример, наиболее близкий к тому, что интересовало Пуанкаре.

В этой главе мы исследуем частный случай потоков Черри: потоки с одной ячейкой. Для таких потоков, соответствующее квазиминимальное множество содержит одну особую точку — седло. Мы покажем, что почти все точки тора проводят почти всё время в окрестности этого седла. Следовательно, минимальный и даже статистический аттрактор в этом случае состоят из всего одной точки — этого седла. С другой стороны, сопредельные множества почти всех точек совпадают с квазиминимальным множеством. Соответственно, аттрактором Милнора является именно это (трансверсально канторово) множество; и милноровский аттрактор не совпадает со статистическим и минимальным.

Как следствие, ячейка Черри является примером несовпадения минимального и мил-норовского аттракторов. Этот пример имеет коразмерность 1 — 0, и соответственно является наиболее типичным из известных примеров такого несовпадения.

Благодарности

Автор выражает свою огромную благодарность своим научным руководителям, доктору физ.-мат. наук, профессору Ю. С. Ильяшенко и академику Э. Жису, за постановку задач, постоянное внимание к работе и моральную поддержку.

1. В. А. АНТОНОВ. Моделирование процессов тина циклической эволюции. Синхронизация случайным сигналом. Вестник Ленинградского Университета, 1984, вып. 2, N 7, Астрономия, с. 67-76.

2. С. X. арансон, В. 3. гринес. Топологическая классификация потоков на замкнутых многообразиях, Успехи Мат. Наук, 41 (1986), no. 1 (247), с. 149— 169, 240.

3. S. Aranson, V. Grines, Е. Zhuzhoma. On Anosov-Weil problem, Topology 40 (2001), no. 3, pp. 475-502.

4. В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, J1. П. Шильни-КОВ. Теория бифуркаций // Динамические системы, 5, М.: ВИНИТИ, 1986.

5. П. С. Бачурин. О связи между временными средними и минимальными аттракторами, Успехи Мат. Наук, 54 (1999), по. 6, с. 151г-152.

6. P. Н. Baxendale. Lyapunov exponents and relative entropy for a stochastic flow of diffeomorphisms. Probab. Theory Related Fields. 81 (1989), pp. 521-554.

7. M. Blank, L. Bunimovich. Multicomponent dynamical systems: SRB measures and phase transitions. Nonlinearity, 16 (2003), pp. 387-401.

8. R. Bowen. Equilibrium states and ergodic theory of Anosov diffeomorphisins. Springer Lecture Notes in Math. 470 (1975).

9. C. Boyd. The structure of Cherry flows, Ergodic Theory and Dynamical Systems, 5 (1985), pp. 27-46.

10. D. Calegari & N. M. Dunfield. Laminations and groups of hoineomorphisms of the circle. Invent. Math. 152 (2003), no. 1, pp. 149-204.

11. A. Candel. The harmonic measures of L. Garnett. Adv. Math. 176 (2003) no. 2, pp. 187-247.

12. A. Candel, L. Conlon. Foliations II, Graduate Studies in Mathematics, v. 60, 2003.

13. Y. CARRIERE. Flots rieinanniens. Astérisque, 116 (1984), pp. 31-52.

14. I. Chavel. Eigenvalues in Rieinannian geometry, Pure and Applied Mathematics 115, Academic Press, Orlando, 1984.

15. J. Cheeger. A lower bound for the smallest eigenvalue of the Laplacian. Problems in analysis (Papers dedicated to Salomon Bochner, 1969), pp. 195-199. Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1970.

16. T. Cherry. Topological properties of solutions of ordinary differential equations, Amer. J. Math, 59 (1937), pp. 957-982.

17. T. CHERRY. Analytic quasi-periodic discontinuous type on a torus, Proc. Lond. Math. Soc., 44 (1938), no. 2, pp. 175-215.

18. L. Clozel k E. Ullmo. Correspondances modulaires et mesures invariantes. J. reine angew. Math. 558 (2003), pp. 47-83.

19. S. Y. Cheng, P. Li, S. T. Yau. On the upper estimate of the heat kernel of a complete Rieinannian manifold. Amer. J. Math. 103 (1981), no. 5, pp. 1021-1063.

20. H. Crauel, Extremal exponents of random dynamical systems do not vanish, Journal of Dynamics and Differential Equations, 2, no. 3, pp. 245-291 (1990).

21. A. Denjoy. Sur les courbes définies par des équation différentielles à la surface du tore. J. Math. Pure et Appl, 11 (1932), pp. 333-375.

22. B. Deroin. Hypersurfaces Levi-plates immergées dans les surfaces complexes de courbure positive. Ann. Scient. Éc. Norm. Sup. (2005).

23. B. Deroin, V. Kleptsyn. Random conformai dynamical systems, to appear in: Geometry and Functional Analysis, 2007.

24. D. B. Epstein. Transversely hyperbolic 1-dimensional foliations. Astérisque 116 (1984), pp. 53-69.

25. S. Fenley. Foliations, topology and geometry of 3-inanifolds: R-covered foliations and transverse pseudo-Anosov flow. Comment. Math. Helv. 77 (2002), no.3, p. 415— 490.

26. R. Feres & A. Zeghib. Dynamics of the space of harmonic functions and foliated Liouville problem. Ergod. Theory Dyn. Syst., 25 (2005), no. 2, pp. 503-516.

27. R. Feres & A. Zeghib. Leafwise Holomorphic Functions, Proc. Amer. Math. Soc. 131 (2003), pp. 1717-1725.

28. J. E. Fornaess & N. Sibony. Harmonic currents of finite energy and laminations. Geom. and Fund. Anal. 15 (2005), no. 5, pp. 962-1003.

29. P. Frederickson, J. L. Kaplan, E. D. Yorke, J. A. Yorke. The Lyapunov dimension of strange attractors. J. Differ. Equations, 49 (1983), pp. 183-207.

30. A. Furman. Random walks on groups and random transformations. Handbook of dynamical systems, Vol. 1A, 931-1014, North-Holland, Amsterdam, 2002.

31. H. Furstenberg. Non commuting random matrices product. Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1963), pp. 377-428.

32. H. Furstenberg. Boundary theory and stochastic processes on homogeneous spaces. In: Poc. Sympos. Pure Math., 26 (1973), pp. 193-229.

33. H. Furstenberg. Strict ergodicity and transformation of the torus. Amer. J. Math. 83 (1961) pp. 573-601.

34. H. Furstenberg & H. Kesten. Product of random matrices. Ann. Math. Stat., 31 (1960), pp. 457-469.

35. Furstenberg H., Kifer Yu. Random matrix products and measures on projective spaces, Israel J. of Math., 46 (1983), no. 1-2, pp. 12-32.

36. L. Garnett. Foliations, the ergodic theorem and Brownian motion. J. Fund. Anal. 51 (1983), no. 3, pp. 285-311.

37. A. Gaunderdorfer, Time averages for heteroclinic attractors, SIAM J. Math. Anal., 52 (1992), pp. 1476-1489.40. É. GHYS. Flots transversalement affines et tissus feuilletés. Mum. Soc. Math. France 46 (1991), pp. 123-150.

38. A. С. Городецкий, Минимальные аттракторы и частично гиперболические инвариантные множества динамических систем. Текст кандидатской диссертации, Московский Государственный Университет, 2001.

39. А. С. Городецкий, Ю. С. Ильяшенко. Некоторые новые грубые свойства инвариантных множеств и аттракторов динамических систем, Функц. анализ и его прил., 33, N 2, с. 16-30 (1999).

40. А. С. Городецкий, Ю. С. Ильяшенко. Некоторые свойства косых произведений над подковой и соленоидом, Труды МИРАН им. В. А. Стеклова, 231, с. 96-118 (2000).

41. A.Gorodetski, Yu.Ilyashenko. Minimal and strange attractors, International Journal of Bifurcation and Chaos, 1996, v. 6, N. 6, pp. 1177-1183.

42. Y. GuiVARC'h. Quelques propriétés asymptotiques pes produits de matrices aléatoires. École d'été (Saint Flour, 1978), pp. 177-250.

43. Y. GuiVARC'H & A. Raugi. Sur les mesures invariantes de certaines chaînes de Markov définies par des transformations hoinographiques. Random walks and stochastic processes on Lie groups, p. 62-65, Inst. Élie Cartan, Nancy, 1983.

44. A. Haefliger. Stuctures feuilletées et cohornologie à valeurs dans un faisceau de groupoïdes, Comment. Math. Helv., 32 (1958), pp. 248-329.

45. U. hamenstadt. Harmonie measures for compact negatively curved manifolds. Acta Math. 178 (1997), no. 1, pp. 39-107.

46. U. HAMENSTADT. Positive eigenfunctions on the universal covering of a compact negatively curved manifold, preprint.

47. G. Helmberg. A theorem on equidistribution on compact groups. Pacific J. Math. 8 (1958), pp. 227-241.

48. H. Y. Ни, L.-S. YOUNG. Nonexistence of SBR measures for some diffeoinorphisms which are 'almost Anosov'. Erg. Th. Dyn. Sys. 15 (1995), pp. 67-76.

49. S. HURDER. Exceptional minimal sets for C1+Q-group actions on the circle. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 11 (1991), pp. 455-467.

50. J. E. Hutchinson. Fractals and Self Similarity, Idiana University Math J., 30, pp. 271-280 (1981).

51. Ю. С. Ильяшенко. Мемуар Дюлака "О предельных циклах" и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений, Успехи мат. наук, 40 (1985), N. 6, с. 41-78.

52. Yu. Ilyashenko. The concept of minimal attractors and maximal attractors of partial differential equations of the Kuramoto-Sivashinski type, Chaos 1,1991, N. 2, pp.168-173.

53. T. Inoue. Sojourn times in small neighborhoods of indifferent fixed points of one-dimensional dynamical systems. Erg. Th. Dyn. Sys. 20 (2000), pp. 241-258.

54. E. jarvenpaa, Т. Tolonen. Relations between natural and observable measures. Nonlinearity, 18 (2005), pp. 897-912.

55. В. А. КАЙМАНОВИЧ. Броуновское движение и гармонические меры на накрывающих многообразиях. Энтропийный подход. Доклады АН СССР 288 (1986), с. 1045-1049.

56. Т. KAIJSER. On stochastic perturbations of iterations of circle maps, Physica D, 68 (1993), pp. 201-231.

57. А. Б. каток, Б. Хассельблат Введение в современную теорию динамических систем. Факториал, 2005.

58. М. Keane. Non-ergodic interval exchange transformations. Israel J. Math. 26 (1977), no. 2, p. 188-196.

59. G. Keller, Completely mixing maps without limit measure, Colloq. Math. 100 (2004), no. 1, pp. 73-76.

60. H. B. Keynes & D. Newton. A "minimal", non-uniquely ergodic interval exchange transformation. Math. Z. 148 (1976), no. 2, p. 101-105.

61. R. Langevin. Similarity and conformal geometry of foliations. Foliations: geometry and dynamics (Warsaw, 2000), pp. 61-73, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2002.

62. F. Ledrappier. Ergodic properties of the stable foliations. Ergodic Theory and Related Topics III (1990, Güstrow), pp. 131-145, Lecture Notes in Math., 1514.

63. F. Ledrappier. Applications of dynamics to compact manifolds of negative curvature. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1, no. 2 (Zürich, 1994), pp. 1195-1202, Birkhäuser, Basel, 1995.

64. F. Ledrappier, M. Shub, C. Simy, A. Wilkinson. Random versus deterministic exponents in a rich family of diffeomorphisms. J. Statist. Phys. 113 (2003), no. 1-2, pp. 85-149.

65. F. Ledrappier, L.-S. Young. Dimension formula for random transformations. Comm. Math. Phys., 117 (1988), no. 4, pp. 529-548.

66. Y. Le Jan. Équilibre statistique pour les produits de difféornorphismes aléatoires indépendants. Ann. Inst. Henri Poincaré. 23 (1987), no. 1, pp. 111-120.

67. M. Lin. On the "zero-two" law for conservative Markov processes. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 61 (1982), no. 4, pp. 513-525.

68. P. Malliavin. Diffusion et Géométrie Différentielle Globale. Centro Internationale Matematico Estivo. Varenne, France, août 1975.

69. J. MlLNOR. On the concept of attractor, Comm. Math. Phys. 99 (1985), no. 2, pp. 177-195.

70. Дж. Милнор. Голоморфная динамика. РХД, 2000.Перевод с английского: J. Milnor, Dynamics in one complex variable. Vieweg, Braunschweig, 1999.

71. M. Misiurewicz. Ergodic natural measures, Algebraic and topological dynamics, 1-6, Contemp. Math., 385, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005.

72. M. Misiurewicz, A. Zdunuk. Convergence of images of certain measures. Statistical physics and dynamical systems (Köszeg, 1984), PP- 203-219, Progr. Phys. 10, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1985.

73. I. Nikolaev, е. Zhuzhoma. Flows on 2-dimensional manifolds. An overview. Lecture Notes in Math., 1007. Springer-Verlag, Berlin, 1999.

74. В. И. ОСЕЛЕДЕЦ. Мультипликативная эргодическая теорема. Труды Московского матем. общ-ва, 19 (1968), с. 197-231.

75. J. Palis. A global view of dynamics and a conjecture on the dynamics of finitude of attractors, Géometrié complexe et systèmes dynamiques, Orsay 1995, Astérisque 261 (2000), xiii-xiv, pp. 335-347.

76. J. Palis, W. de Melo. Geometric Theory of Dynamical Systems. An introduction, Springer-Verlag. New Yourk-Heidelberg-Berlin (1982).

77. S. Petite. On invariant measures of finite affine type tilings. Ergodic Theory Dynam. Systems 26 (2006), no. 4, pp. 1159-1176. .

78. J. Plante. Foliations with measure preserving holonoiny. Ann. of Math. 1021975), pp. 327-361.

79. J. F. Plante, S. E. Goodman. Holonomy and averaging in foliated sets, J. Differential Geometry, 14 (1979), no. 3, pp. 401-407.

80. H. PoiNCARÉ. Sur les courbes définies par les équations différentielles, I, II, III, IV. J. Math. Pure et Appl, 2 (1881, 82, 85, 86), pp. 151-217.

81. D. Ruelle. Historical behaviour in smooth dynamical systems. Global analysis of dynamical systems, pp. 63-66, Inst. Phys., Bristol, 2001.

82. D. Ruelle. A measure associated with Axiom A attractors. Amer. J. Math., 981976), pp. 619-654.

83. D. Ruelle k D. sullivan. Currents, flows, and diffeomorphisms. Topology 14 (1975), pp. 319-327.

84. R. Sacksteder. Foliations and pseudogroups. Amer. J. Math. 87 (1965), pp. 79102.

85. A. Schwartz. A generalization of Poincaré-Bendixon theorem to closed two dimensional manifolds. Amer. J. Math. 85 (1963), 453-458.

86. S. Schwartzman. Asymptotic cycles. Ann. of Math. 66 (1957), pp. 270-284.

87. A. H. ширяев, Вероятность. M.: 1980, 576 с.

88. Я. Г. СИНАЙ. Гиббсовские меры в эргодической теории. Успехи мат. наук, 27 (1972), N. 4, с. 21-69.

89. D. Sullivan. Cycles for the dynamical study of foliated manifolds and complex manifolds. Invent. Math. 36 (1976), pp. 225-255.

90. D. Sullivan. Conformai dymanical systems. Lecture Notes in Mathematics, 1007 (1983), Springer, New York, pp. 725-752.

91. D. Sullivan. Linking the universalities of Milnor-Thurston, Feigenbaum and Ahlfors-Bers. Topological methods in modern mathematics, (Stony Brook NY, 1991), pp. 543-564.

92. F. Takens, Heteroclinic attractors: time averages and moduli of topological conjugacy, Bol. Soc. Bras. Mat., 25 (1994), no. 1, pp. 107-120.

93. C. Tarquini. Feuilletages conformes, Ann. Inst. Fourier 54 (2004), no. 2, pp. 453480.

94. W. Thurston. Three-manifolds, Foliations and Circles, ii. Unfinished manuscript, 1998.

95. A. Vershik. Polymorphisms, Markov processes and quasi-similarity, Discrete Contin. Dyn. Syst. 13 (2005), no. 5, pp. 1305-1324.

96. L.-S. Young. What are SRB measures, and which dynamical systems have them? J. Stat. Phys. 108 (2002), pp. 733-754.

97. C.-B. Yue. Brownian motion on Anosov foliation and manifolds of negative curvature. J. Differential Geom. 41 (1995), pp. 159-183.

98. M. A. zaks, Fractal Fourier Spectra for Cherry Flows. Physica D, 149 (2001), no. 4, pp. 237-247.Работы автора по теме диссертации

99. А. С. Городецкий, Ю. С. Ильяшенко, В. А. Клепцын, М. Б. Нальский, Неустранимость нулевых показателей Ляпунова, Функциональный анализ и его приложения, 39 (2005), по. 1, с. 27-38.

100. В. А. клепцын, Б. А. Рабинович, Классификация фуксовых особых точек, Математические заметки, 76 (2004), по. 3, с. 372-383.

101. V. Kleptsyn. An example of non-coincidence of minimal and statistical attractors, Ergodic Theory and Dynamical Systems, 26 (2006), pp. 759-768.