Полная и частичная синхронизация связанных динамических систем с хаотическими аттракторами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

1. Глобальная, частичная и противофазная синхронизация диффузионно связанных динамических систем: общий случай

1.1. Инвариантные многообразия и частичная синхронизация

1.1.1. Существование инвариантных многообразий.

1.1.2. Вложенные инвариант^е^м^огообразия и иерархия размерности частичной синхронизации.

1.2. Трансверсальные многообразия и противофазные колебания

1.3. Глобальная устойчивость вдоль инвариантных многообразий

1.4. Невозможность глобальной синхронизации.

1.5. Пример А: связанные системы типа Лоренца.

1.6. Пример Б: связанные системы Ресслера.

1.7. Заключения и выводы главы.

1.7.1. Выводы.

2. Глобальная синхронизация в конкретных системах с хаотическими аттракторами

2.1. Динамика цепочки диффузионно связанных неавтономных систем маятникого типа.

2.2. Регулярные и хаотические пространственно однородные процессы в цепочке взаимосвязанных сверхпроводящих переходов 2.2.1. Бифуркация удвоения инвариантной кривой.

Бифуркации колебаний мембранного потенциала в моделях нейронов

3.1. Обобщенная модель.

3.2. Бифуркационный анализ системы Хиндмарш-Розе.

3.2.1. Состояния равновесия и изоклины.

3.2.2. Гомоклинические траектории.

3.2.3. Бифуркации и фазовые портреты редуцированной системы

3.3. Многообразия и циклы для полной системы

3.4. Бифуркационные сценарии, ведущие к генерации беретов

3.5. Модельное отображение для гомоклинических бифуркаций

3.5.1. Симметричное модельное отображение.

3.5.2. Асимметричное модельное отображение.

3.6. Моделирование электрически связанных нейронов с помощью отображений.

3.7. Выводы.

Одной из актуальных задач радиофизики является исследование явления синхронизации взаимодействующих осцилляторов. Исследование этой проблемы восходит к классической работе A.A. Андронова и A.A. Витта о захватывании частоты генератора Ван дер Поля внешней силой [1]. Математическим образом такой синхронизации является устойчивое периодическое движение в фазовом пространстве взаимодействз^ющих систем.

В последние годы сложилось новое актуальное направление исследования явления синхронизации во взаимодействующих системах в виде большого числа упорядоченных в пространстве связанных идентичных активных элементов с простой и сложной динамикой. Это, например, связанные электронные элементы типа подсистем с джозефсоновскими контактами [35]-[42], ансамбли нейронов [66, 82] и связанных лазеров [43], сети синхронизованных генераторов и систем автоматического управления [13, 22] и т.д. Кроме того, такие связанные системы можно рассматривать как дискретные модели непрерывных неравновесных сред [38] (гидродинамические среды, неравновесные химические реакции, нервные волокна и др.).

В отличие от систем с внешней силой, взаимодействующих осцилляторов, систем с управлением фазой колебаний и др. [1]-[4], явление синхронизации в связанных идентичных системах возникает в результате образования пространственно - временных когерентных структур (кластеров), математическим образом которых являются некоторые поверхности в фазовом пространстве связанных систем, целиком заполненные фазовыми траекториями, называемые инвариантными или интегральными многообразиями. Этим пространственно-временным структурам соответствует синхронное поведение-ансамблей элементов с простой или сложной идентичной временной динамикой.

Особую актуальность в последние 25 лет приобрело явление динамического хаоса, положившее начало многим новым научным направлениям, одним из которых является хаотическая синхронизация связанных идентичных систем, имеющих различные бифуркационные механизмы перехода от регулярных колебаний к хаотическим.

Характерная особенность динамического поведения связанных систем в этом случае состоит в том, что элементы синхронизованных структур (кластеров) имеют одну и ту же хаотическую динамику, переход к которой может происходить как за счет изменения параметров индивидзгальной системы, так и за счет изменения связи между элементами.

Пионерскими работами по исследованию хаотической синхронизации считаются работы [8]-[10].

Большой вклад в исследование пространственно-временной динамики различных связанных систем сделан научными группами как в России (Анищенко B.C., Дмитриев A.C., Пекоркин В.И., Рабинович М.И., Шалфеев В.Д.), так и за рубежом (T.L. Caroll, L.O. Chua, Н. Fujisaka, М. Hasler, К. Kaneko, .J. Kurths, Е. Mosekilde, Yu.L. Maistrenko, L.M. Pécora, M.J. Velarde и др).

Широкий класс индивидуальных существенно нелинейных индивидуальных систем с простой и сложной динамикой, различные типы связи, большое число связанных элементов привело к целому ряду постановок задач и интересных теоретических и численных результатов исследования конкретных систем [5]-[30].

С другой стороны исследование таких систем сопряжено со значительными трудностями аналитического исследования. По этой причине представляет большой интерес теоретическое исследование общих свойств различных типов синхронизации многомерных динамических систем с простой и сложной динамикой, образование пространственных неоднородных структур (кластеров) при изменении связи между парциальными элементами ансамбля, зависимость числа кластеров синхронизованных колебаний от числа элементов ансамбля и др.

В настоящей работе рассматривается явление полной, частичной и противофазной синхронизации в цепочке диффузионно связанных парциальных систем общего вида. В качестве конкретных базовых элементов Выбраны системы, демонстрирующие различные сценарии перехода от регулярных колебаний к хаотическим. К ним относятся системы с аттрактором Лоренца, со спиральным аттрактором Шильникова (система Ресслера), со сложными аттракторами системы неавтономного нелинейного маятника, системы взаимодействующих ротатора и осциллятора. Наряду с известными механизмами перехода от регулярных колебаний к хаотическим, в работе рассматриваются малоизученные сценарии возникновения хаотических движений в системе с быстрыми и медленными переменными (модель колебаний мембранного потенциала нейрона) и др.

Целью диссертационной работы является изучение явлений полной, частичной и противофазной синхронизации в цепочке диффузионно связанных систем общего вида и конкретных систем, имеющих различные бифуркационные механизмы перехода от регулярных колебаний к хаотическим (от простых предельных множеств к странным аттракторам); исследование бифуркационных сценариев возникновения хаотических аттракторов в модели колебаний мембранного потенциала нейрона; вывод модели мембранного потенциала в виде отображения и моделирование колебаний потенциалов связанных нейронов с помощью нелинейно связанных отображений.

Работа организована следующим образом.

Первая глава посвящена исследованию явления глобальной, частичной и противофазной синхронизации колебаний диффузионно связанных динамических систем для общих случаев одномерной решетки (цепочки) связанных дифференциальных уравнений и цепочки связанных отображений.

В первой части главы доказывается существование и получены достаточные условия устойчивости инвариантных многообразий, соответствующих режимам полной синфазной, противофазной и частичной синхронизации. Будучи существенно зависимыми от числа элементов цепочки УУ, эти многообразия обладают особой иерархией и симметриями, что означает иерархию синфазных и противофазных колебаний - кластеров системы.

Во второй части главы получены условия для общего случая диффузионно связанных динамических систем, при которых глобальная синхронизация элементов невозможна ни при какой сколь угодно большой связи. Основные теоретические утверждения главы дополнены результатами численного моделирования для случаев цепочки диффузионно связанных систем Ресслера и цепочки связанных систем типа Лоренца.

Вторая глава посвящена динамике цепочки диффузионно связанных неавтономных маятников и цепочки связанных сверхпроводящих переходов.

В первой части главы изучается динамика цепочки связанных неавтономных маятников, индивидуальный элемент которой, неавтономный маятник, может совершать хаотические колебания.

Доказана устойчивость режима глобальной взаимной синхронизации неавтономных маятников.

Во второй части главы изучаются регулярные и хаотические пространственно однородные процессы в цепочке взаимосвязанных сверхпроводящих переходов.

Индивидуальный элемент цепочки может быть рассмотрен также как система типа " взаимодействующие ротатор - осциллятор", динамика которой может быть хаотической. Существование хаотического аттрактора в такой системы является свойством взаимодействия системы осциллятор - ротатор.

Доказана устойчивость режима глобальной взаимной синхронизации. В системе наблюдаются различные типы синхронизации: периодическая, квазипериодическая и хаотическая.

В третьей главе исследуются бифуркации перехода от непрерывных "быстрых" колебаний к хаотическим беретам, движениям с быстрыми и медленными составляющими, в моделях колебаний мембранного потенциала. Установлено, что переходам от непрерывных "быстрых" колебаний к беретам отвечают бифуркации гомоклинических траекторий (контуров) не редуцированной быстрой системы, а полной системы с быстрыми и медленными движениями. Предложено двумерное модельное отображение, которое является простейшей моделью нейрона. Предложен метод моделирования электрически (линейно) связанных нейронов с помощью нелинейно связанных отображений.

Теоретическая и практическая значимость результатов.

В работе исследованы свойства и устойчивость режимов полной и частичной (кластерной) синхронизации в цепочке диффузионно связанных динамических систем общего вида, а также конкретных систем, обладающих различными типами хаотических аттракторов. В работе даны ответы на ряд общих вопросов теории хаотической синхронизации. Полз^ченные в диссертации результаты могут быть использованы при исследовании конкретных связанных динамических систем.

Дано точное бифуркационное описание сценариев перехода от регулярных колебаний к хаотическим движениям в моделях мембранного потенциала нейрона и предложен метод моделирования диффузионно связанных моделей нейронов с помощью отображений. Эти результаты могут использоваться как при теоретическом, так и при экспериментальном изучении ансамблей живых клеток.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на: семинарах кафедры теории колебаний ННГУ, отдела дифференциальных уравнений НИИ ПМК (рук. Л.П. Шильников), семинарах факультета радиотехники и электроники Щвейцарского Технического Университета (EPFL), (рук. Prof. М. Hasler); семинаре физического факультета Датского Технического Университета (рук. Prof. Е. Mosekilde); научно-техническом семинаре "Нелинейные свойства систем синхронизации" (С. -Петербург, 1995); Юбилейной научной конференции, посвященной 100- летию радио и 50- летию радиофизичекого факультета ННГУ (Н.Новгород, 1995); итоговой научной конференции ННГУ (1996-1997); 3-ей сессии молодых ученых (Нижний Новгород, 1998), международных конференциях: Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA) (Crans-Montana, Switzerland 1998); Int. Specialist Workshop Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES) (Москва 1997); 2-ой Международной школе-семинаре "Dynamic and Stochastic Wave Phenomena" (Нижний Новгород, 1994); "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 1996, 1999); 4-th Experimental Chaos Conference (Florida, USA, 1997), International Conference on Contemporary Problems in Theory of Dynamical Systems (Нижний Новгород, 1996); International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine, ICND-96 (Саратов, 1996), Международная Школа-Семинар "Дни Нелинейной Динамики в Нижнем Новгороде-98" (Нижний Новгород, 1998); 5th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS-98) (Саратов

3.7. Выводы

Приведем основные результаты, полученные в этой главе

• Дано точное бифуркационное описание сценариев перехода от регулярных "быстрых" колебаний к хаотическим движениям, беретам, в моделях колебаний мембранного потенциала нейрона. В качестве основного примера такой системы выбрана система Хиндмарш - Розе и изучена ее динамика. Установлено, что переходам от непрерывных "быстрых" колебаний к беретам отвечают бифуркации гомоклинических траекторий (контуров) не редуцированной быстрой системы, а полной системы с быстрыми и медленными движениями. Сложные бифуркационные множества, ведущие к генерации беретов описаны с помощью использования модельных отображений.

Заключение

В настоящей диссертационной работе проведено исследование явлений полной, частичной и противофазной синхронизации в цепочке диффузионно связанных систем общего вида и конкретных систем, имеющих различные бифуркационные механизмы перехода от регулярных колебаний к хаотическим (от простых предельных множеств к странным аттракторам); исследование бифуркационных сценариев возникновения хаотических колебаний в виде беретов в модели колебаний мемебранного потенциала нейрона; вывод модели мембранного потенциала в виде отображения и предложен метод моделирование колебаний потенциалов линейно связанных нейронов с помощью нелинейно связанных отображений. К наиболее важным и интересным можно отнести следующие результаты.

1) Для общего класса диффузионно связанных систем обнаружены вложенные инвариантные многообразия, определяющие иерархическую природу порядка частичной синфазной и противофазной синхронизации. Исследована их устойчивость и изучена зависимость динамических свойств от числа элементов цепочки, в частности, установлено, что порядок частичной синхронизации существенно зависит от числа элементов цепочки.

2) Для общего случая диффузионно связанных динамических систем получены условия, при которых глобальная синхронизация элементов невозможна ни при какой сколь угодно большой связи. Это свойство обусловлено активностью среды, допускающей локальную синхронизацию, но препятствующей глобальной синхронизации.

3) С помощью качественно-численного исследования выявлены особенности динамики связанных конкретных систем с различными сценариями перехода к хаотическим колебаниям, существенно дополняющие полученные общие теоретические выводы. Это диффузионно связанные системы Ресслера и связанные системы лоренцевского типа.

4) Доказана устойчивость режима взаимной синхронизации для цепочки связанных неавтономных маятников и цепочки связанных систем типа ротатор-осциллятор. Обнаружены различные типы синхронизации, такие как хаотическая, квазипериодическая, периодическая. Результаты аналитического исследования для каждой из перечисленной систем дополнены компьютерным экспериментом.

5) Дано точное бифуркационное описание сценариев перехода от непрерывных "быстрых" колебаний к хаотическим беретам, колебаниям с быстрыми и медленными движениями, в моделях колебаний мембранного потенциала нейрона. Установлено, что переходам от непрерывных "быстрых" колебаний к беретам отвечают бифуркации гомокли-нических траекторий (контуров) не редуцированной быстрой системы, а полной системы с быстрыми и медленными движениями. В качестве основного примера такой системы выбрана система Хиндмарш - Розе и изучена ее динамика.

6) Получено модельное отображение, которое может служить простейшей моделью нейрона. Изучена сложная динамика этого двумерного модельного отображения.

7) Предложен метод моделирования диффузионно (линейно) связанных моделей нейронов с помощью нелинейно связанных отображений.

1. Андронов А.А., Витт А.А. К теории захватывания Ван - дер- Поля // Arch. f. Elektrotech. 24, 99, 1930; Собрание трудов А.А. Андронова, стр. 51. Изд. АН СССР, 1956.

2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний 2 изд.-М.: Физматгиз, 1959

3. A. Mayer On the theory of coupled vibrations of two self-excitecl generators // Tech. Phys. of the USSR, 2, N 5, 1, 1935.

4. A. Mayer A contribution to the theory of forced oscillations in a generator with two degrees of freedom // Tech. Phys. of the USSR, 3, N 12, 1, 1936.

5. B.C. Афраймович, В.И. Некоркин, Г.В. Осипов, В.Д. Шалфеев Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации // Под. ред. А.В. Рапонова-Грехова, М.И. Рабиновича; ИПФ АН, Горький, 1989.

6. Bunimovich L.A., Sinai Ya.G. Space-time chaos in coupled map lattices // Nonlinearity. 1988. Vol. 1. P. 581.

7. Kaneko K. Spatiotemporal chaos in one and two-dimensional coupled map lattices // Physica D. 1989. Vol. 37. P. 60.

8. H. Fujisaka and T. Yamada Stability theory of synchronized motion in coupled systems // Prog. Theor. Phys., vol. 69, pp. 32-46, 1983.

9. Афраймович B.C., Веричев Н.Н., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах // Изв. Вуз. Радиофизика, 1986. Т.28, N 9. С.981-990.

10. L.M. Pecora and T.L. Carroll Synchronization in chaotic systems // Phys. Rev. Lett., vol. 64, pp. 821-824, 1990.

11. T.L. Carroll, L.M. Pecora Synchronizing chaotic circuits // IEEE Trans. Circuits and Systems, vol. 38, pp. 453-456, 1991.

12. M. Hasler Engineering chaos for secure communication systems // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, vol. 353, 115, 1995.

13. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике // Москва: Паука. 1989.

14. A.S. Dmitriev, М.Е. Shirokov and S.O. Starkov Chaotic synchronization in ensembles of coupled maps // IEEE Trans. Circuits Syst. I, vol. CAS - 44, 10, pp. 918 -926, 1997.

15. Белых B.H., Веричев H.H. О динамике взаимосвязанных ротаторов // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1988. N. 6.

16. Афраймович B.C., Некоркин В.И. Устойчивые стационарные движения в цепочке диффузионно связанных отображений // Препринт N. 303. -Горький: Изд-во ИПФ АН СССР. 1991. 18 С.

17. Афраймович B.C., Некоркин В.И. Устойчивые состояния в цепочечных моделях неограниченных неравновесных сред // Мат. Моделирование. 1992. Т. 4, N. 1. С. 83-95.

18. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах // М.: Наука, 1990.

19. Anishenko V.S., Vadivasova Т.Е., Safonova M.A. Synchronization of chaos // Int. J. of Bifurcation and Chaos, vol. 2, pp. 633-644, 1992.

20. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.П., Селезнев Е.П. Квазиоднородные стохастические движения и их разрушение в системе связанных нелинейных осцилляторов // Изв. ВУЗов, Радиофизика. 1988. Т. 31. С. 627-630.

21. Astakhov V.V., Anishenko V.S., Shabunin A.V. Controlling spatiotemporal chaos in a chain of the coupled logistic maps // IEEE Trans, on Circuits and Systems I. 1995. V. 42. N. 6. P. 352-357.

22. Капранов M.B. Взаимодействующие многосвязные СФС // Системы фазовой синхронизации / Под ред. Шахгильдяна В.В., Белюстиной Л.Н. -М.: Радио и связь, 1982, С. 55-73.

23. К. Kanelco, Clustering, coding, switching, hierarchial ordering and control in a network of chaotic elements // Physica D. 1990, Vol. 41. P. 137-172.

24. K. Piragas, Phys. Rev. E 54, 4508 (1996).

25. D.H. Zanette and A.S. Mikhailov, Phys. Rev. E 57, 276 (1998).

26. M.S. Vieira and A.J. Lichtenberg, Phys. Rev. E 56, 276 (1997).

27. M. Hasler, Yu. Maistrenko and O.Popovich Simple example of partial synchronization // Phys. Rev. E 58, 6843 (1998).

28. V.N. Belykh, N.N. Verichev, L. Kocarev and L.O. Chua On chaotic synchronization in a linear array of Chua's circuits // Journal of Circuits, Systems and Computers v.3, N 2, pp 579-589, 1993.

29. V.N. Belykh, E. Mosekilde One dimensional map lattices: synchronization, bifurcations and chaotic structure // Physical Review E, v. -54, N 3, pp. 54 - 62, 1996.

30. R. Madan (Ed.) Chua's circuit: a paradigm for chaos, (World Scientific Publishing, 1993)

31. B.V. Chirikov, Physics Reports 52, 263 (1979)

32. V.N. Belykh, Sbornik: Mathematics 186, 311 (1995)

33. V.N. Belykh, Proc. of the Steklov Inst, of Math., 216, 14 (1997)

34. S.E. Newhouse, The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms // Publ. Math. IHES V. 50, P. 101.

35. V.N.Belykh, N.F.Pedersen, O.H.Soerensen, Shunted Josephson Junction Model, Part I. Autonomous case, Physical Review B, v.16, No 11, 1977, pp. 4853-4859

36. V.N.Belykh, N.F.Pedersen, O.H.Soerensen, Shunted Josephson Junction Model, Part II. Nonautonomous case, Physical Review B, v.16,No 11, 1977, pp. 4860-4871

37. F.B.Abraham, Spatiotemporal dynamics of an intrinsically chaotic field, Physical Review B, v.47, 1993.

38. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. // Советское радио, 1977. 368 е.

39. V.K. Kaplunenko, Britt Н. Larsen, J. Mygind and N.F.Pedersen 600 GHz resonant mode in a parallel array of Josephson tunnel junctions connected by superconducting microstrip lines //J. Appl. Phys., Vol. 76, N 5, 1994.

40. Лихарев К.К,, Ульрих Б.Т. Системы с джозефсоновскими контактами // М.: Изд. Моск. гос. университета, 1968.

41. Лихарев К.К. Введение в динамику джозефсоновских переходов // М.: Наука, 1985.

42. Josephson B.D. The discovery of tunnely supercurrents // Rev. Mod. Phys., 1974. V.46 - P. 251 - 254.

43. Winful H.G., Rahman L. Synchronized Chaos and Spatiotemporal Chaos in Arrays of Coupled Lasers // Physical Review Letters, 1990, Vol. 65, N. 13, PP. 1575-1578.

44. Lorenz E.N., J. Atm.Sci., 20, 130 (1963)

45. Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников JI.П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца.// Доклады АН СССР, 1977, т.234, N 2, с. 336- 339.

46. Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца// Труды ММО. т.44, 1982, с.150 212.

47. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца.// Дополнение II в кн.: Марсден Дж., Мак- Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложение // М.: Мир, 1980.

48. A.J. Vander, J.H. Sherman, and D.S. Luciano, Human Physiology: The Mechanisms of Body Function// (McGraw Hill, New York, 1980)

49. A.L. Hodgkin and A.F. Huxley, A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // .J. Physiol. 1952. V. 117, P. 500

50. A. Takeuchi and N. Takeuchi, On the permeability of end-plate membrane during the action of transmitter //J. Physiol. 1960. V. 154, P. 52

51. L.L.Constantin, Activation in striated muscle// In: Handbook of Physiology, Sec. I: The Nervous System, V.B. Mountcastle and J.M. Brookhart, eds. (American Physiological Society, Bethesda, 1977)

52. E. Bulbring, A.F. Brading, A.W. Jones, and T. Tomita, Smooth Muscle // (Edward Arnold, London, 1970)

53. W.B. Adams and J.A. Benson, The generation and modulation of endogenous rhythmicity in the Aplysia bursting pacemaker neuron R 15// Prog. Biophys. Molec. Biol. 1985. V.46, P. 1

54. I. Atwater, B. Riballet, and E. Rojas, Cyclic changes in potential and resistance of the (3 -cell membrane induced by glucose in islets of Langerhans from mouse, J. Physiol. 1978. V. 278, P. 117

55. O.S.Andersen, J.A.Lundboek, and J.Girshman, Channel function and channel-lipid bilayer interation // In: Modelling the Dynamics of Biological Systems, E.Mosekilde and O.G.Mouritsen, eds. (Springer, Berlin, 1995).

56. T.R.Chay, Chaos in a three-variable model of an excitable cell // Physica D 1985. V. 16, P. 233

57. D.M. Himmel and T.R. Chay, Theoretical studies of the electrical activity of pancreatic /?-cells as a function of glucose, Biophys. J. 1987. V. 51, P. 89

58. M. Colding-Joergensen, Fundamental properties of the action potential and repetitive activity in excitable membranes illustrated by a simple model // J. Theor. Biol. 1990. V.144, P.37

59. M. Colding-J'oergensen, Н. Ostergaard Madsen, В. Bodholdt, and E. Mosekilde, Minimal model for Ca2+ -dependent oscillations in excitable cells, J. Theor. Biol. 1992. V.156, P. 309

60. P. Smolen and J. Keizer, Slow voltage inactivation of Ca2+ currents and bursting mechanisms for the mouse pancreatic ¡3 -cell // J. Membrane Biol. 1992. V. 127, P. 9

61. Y.S. Fan and T.R. Chay, Generation of periodic and chaotic bursting in an excitable cell model // Biol. Cybern. 1994. V.71, P. 417

62. M.R. Guevara and T.J. Lewis, A minimal single-channel model for the regularity of beating in the sinoatrial node// Chaos 1995. V. 5, P. 174

63. R. FitzHugh, Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophys. J. 1961. V.l, P.445

64. J.L. Hindmarsh and R.M. Rose, A model of neuronal bursting using three coupled first order differential equations// Proc. Roy. Soc. London Ser. В 1964. V. 221, P. 87

65. Абарбанель Г.Д.И., Рабинович М.И., С'елверстон А., Баженов М.И., Хуэрта Р., Сущик М.М., Рубчинский Л.Л. Синхронизация в нейронных ансамблях // УФН, 1996, Т. 166, N. 4, С. 363-390.

66. Белых В.Н. Рождение грубой двоякоасимпотической траектории в системе с медленно меняющейся переменной // Дифференциальные уравнения, 1975, т.II, N 11, с. 2083-2085.

67. Н.Н. Баутин Поведение динамических систем вблизи границы области устойчивости, Изд.: Наука, 1984.

68. Pontrjagin L.S., Phys. Zeitschrift der Sowjetunion, 1934, V. 6, P. 1.

69. Белюстина JI.H., Белых В.Н. О неавтономной фазовой системе уравнений с малым параметром, содержащей инвариантные торы и грубые гомоклинические кривые // Изв. Вузов, Радиофизика, 1972, т. 15, N 7, с. 1039-1048.

70. Арнольд В.И. (Ред.) Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, (ВИНИТИ, Москва), 1986, т. 5.

71. Л.А. Беляков, О бифуркационном множестве в системе с гомоклини-ческой кривой седла // Математические заметки, 1980, т.28, N 6, с. 911-922.

72. Белых В.Н., Чертков Ю.С. Об особом периодическом движении в системе дифференциальных уравнений третьего порядка с малым параметром // Краевые задачи, Межвуз. сборник, Изд. Пермского Политех. Института, 1980, с. 120.

73. X.-J. Wang, Genesis of bursting oscillations in the Hindmarsh-Rose model and homoclinicity to a chaotic saddle // Physica D, 1993. V. 62, P. 263

74. D. Terman, The transition from bursting to continuous spiking in excitable membrane models, J. Nonlinear Sci. 1992, V. 2, P. 135

75. D. Terman, Chaotic spikes arising from a model of bursting in excitable membranes, SIAM J. Appl. Math. 1991, V. 51, P. 1418

76. J. Palis and C. Pugh, Fifty problems in dynamical systems // Lect. Notes Math., 468, 345 (1975 )

77. Тураев Д.В., Шильников Л.П. О катастрофе голубого неба // Доклады Академии Наук, 1995, 342, С. 596

78. Шильннков Л.П. О рождении периодического движения из траектории двоякоасимптотической с состоянию равновесия типа седло// Математический Сборник, 1968, т.77, N 3.

79. Шильников Л.П. Новый тип бифуркации в многомерных динамических системах // Математический сборник. 1969. Т. 10. С. 1368.

80. Шильников Л.П. К воцросу о расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Математический сборник. 1970. Т. 10. С. 91.

81. М. Colding-Joergensen, Chaos in coupled nerve cells // In: Complexity, Chaos, and Biological Evolution, E. Mosekilde and L. Mosekilde, eds. (Plenum Press, New York, 1991)

82. Белых И.В. Синхронизация диффузионно связанных неавтономных хаотических маятников // Изв. вузов. Радиофизика, Т.38, N 1-2, 199-5. С. 69-73

83. I.V. Belylch Spatio-Temporal Dynamics of a Chain of Diffusionally Coupled Damped- Driven Oscillators // Abstracts of the Second International Scientific School-Seminar, Nizhny Novgorod, 1994. P. 49 50

84. Белых И.В. Сложная динамика диффузионно связанных джозефсо-новских переходов // Тез. докл.: Юбилейная научная конференция, посвященная 100- летию Радио и 50- летию Радиофизичекого факультета ННГУ, Н.Новгород, 1995. С.10.

85. Белых И.В. От хаоса к синхронизации в системе связанных джозеф-соновских переходов // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика синхронизация и хаос. Под ред. М.И.Рабиновича, Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1996. С. 159 - 164

86. V.N.Belykh, I.V.Belykh Nonlocal techniques for chaotic behavior and synchronization of a dynamical system // Abstracts of the International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos, Saratov, 1996. P. 17

87. Белых И.В. Странные аттракторы в цепочке взаимодействующих динамических систем // Нелинейные колебания механических систем: IV конференция: Тез. докл., Нижний Новгород, Издательство НИИ ПМК, 1996. С. 18-19

88. Белых И.В. Странные аттракторы и удвоение тора в системе связанных ротаторов и осцилляторов // Научно техническая конференция радиофизического факультета ННГУ. Тез. докладов. Под ред. А.В.Якимова, Нижегородский университет, Изд.ННГУ, 1997. С.18.

89. I.V.Belykh, N.N.Verichev Strange Attractors in the Array of Coupled Josephson Junctions // Abstracts of The International Conference on Contemporary Problems in Theory of Dynamical Systems, Nizhny Novgorod University, 1996. P. 12

90. Белых B.H, Веричев H.H., Белых И.В. Регулярные и хаотические пространственно однородные колебания в цепочке взаимосвязанных сверхпроводящих переходов // Изв. вузов, Радиофизика, Т. XI, N 7, 1997. С. 912 924

91. I.V. Belykh, N.N. Verichev Global synchronization of the regular and chaotic selfoscillatory coupled systems with superconducting junctions //

92. Proceedings of 5th International Workshop "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems", Moscow, 1997. P 145 149

93. I.V. Belykh Spatio-temporal dynamics of the 1-d array of coupled "pendulum interracting with oscillator" systems: bifurcations, synchronization and chaos // Abstracts of 4th Experimental Chaos Conference, Boca Raton, Florida, USA, 1997. P. 66

94. I.V. Belykh, V.N. Belykh, E. Mosekilde Complex bifurcation sets in cell models, Abstracts of 5th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS 98) // Saratov, Russia, 1998, c. 28.

95. Белых И.В. Гомоклинические бифуркации в моделях мембранного потенциала клетки // Третья нижегородская сессия молодых ученых. Тезисы докладов, Н.Новгород 1998, С. 62.

96. Белых И.В. Бифуркации колебаний мембранного потенциала и моделирование электрически связанных нейронов с помощью отображений// Изв. Вузов, Радиофизика, No 12, 1998, С. 1572-1582