Структура и свойства аттракторов в неавтономных и связанных динамических системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

РГ5 ОД - 8 ОКТ 1996

Саратовский Государственный Университет им. Н.Г.Чернышевского

На правах рукописи

СОСНОВЦЕВА Ольга Владимировна

СТРУКТУРА И СВОЙСТВА АТТРАКТОРОВ В НЕАВТОНОМНЫХ И СВЯЗАННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 1996

Работа выполнена на кафедре радиофизики Саратовского государственного университета им. Н.Г.Чернышевского.

Научный руководитель:

Заслуженный деятель науки РФ, Доктор физико-математических наук, профессор B.C. Анищенко Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Б.П.Безручко доктор физико-математических наук, профессор A.C. Дмитриев

Ведущая организация: Саратовский филиал института радиотехники и электроники АН России

Защита состоится 3 октября 1996 г. в 17.00 на заседании специализированного совета Д063.74.01 при Саратовском государственном университете (410071, г.Саратов, ул. Астраханская, 83) С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан " 12," августа 1996 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук,

доцент Аникин В.М.

Актуальность работы.

Проблема динамического хаоса в системах малой размерности, интересная сама по себе, возникла из стремления понять значительно более сложное поведение распределенных систем. Поэтому естественно, что в процессе изучения путей образования и характеристик хаоса в маломерных системах все большее внимание уделяется исследованию неавтономных и связанных систем с собственной сложной динамикой.

При исследовании подобных систем наблюдаются такие нелинейные явления, как вынужденная синхронизация хаотических колебаний, взаимная синхронизация, пространственные бифуркации развития хаоса, образование и развитие структур.

Понимание сложного поведения неавтономных и связанных систем с хаотической динамикой затруднялось отсутствием единого подхода к проблеме синхронизации хаоса. У различных исследователей это либо переход в результате внешнего воздейтвия от хаотических колебаний к регулярным, либо установление синфазных колебаний в каждом из парциальных связанных генераторов, либо их топологическая эквивалентность. Однако в работах, выполненных под руководством В.С.Анищенко, было предложено обобщить классическое понимание явления синхронизации в виде захвата или подавления собственных частот колебаний на хаотические колебания. Было показано, что эти классические механизмы синхронизации хорошо "работают" для аттрактора седло-фокусного типа {аттрактора, возникшего в результате каскада бифуркаций удвоения, в спектре которого ярко выражен пик на основной частоте). В этом направлении представляется интересным исследовать границы применимости такого динамического подхода к проблеме хаотической синхронизации в системах, в которых реализуются аттракторы более сложного типа.

Взаимодействующие системы обладают рядом особенностей, обусловленных типом и способом введения связи. Помимо универсальных свойств подобия, наблюдаются квазипериодические режимы, не реализуемые в одиночной системе, и их последующее разрушение. Другой интересной особенностью является на-

личие множества сосуществующих режимов (аттракторов), которые имеют свои области притяжения. Этот эффект может быть связан с многовариантностью взаимного фазового сдвига многотактных циклов. Бифуркационные диаграммы в пространстве параметров системы в данном случае имеют многолистную структуру, где каждый из листов соответствует определенному типу колебательного режима. Изучение чувствительности различных колебательных режимов к введению расстройки между парциальными системами, основанное на введенной ранее классификации колебательных режимов при различных типах связи и выявленных механизмах мультистабильности, представляется следующим этапом исследований в этом направлении.

С проблемой влияния внешнего сигнала на собственную динамику нелинейной системы и особенностями взаимодействия связанных систем тесно связана задача исследования квазипериодических колебаний, которые являются характерным режимом в таких системах.

Первая попытка об'яснить переход к хаосу через квазипериодические движения были сделаны Л.Д.Ландау, Д.Рюэлем и Ф.Та-кенсом. Практически все экспериментальные исследования были проведены на сложных гидродинамических и других распределенных системах, что связано с поисками экспериментального подтверждения сценария перехода к хаосу в многомерных системах, предложенного Ньюхаусом. Такой переход наблюдался при исследовании вихрей Тейлора в жидкости между вращающимися цилиндрами, в конвекции Релея-Бенара, в распределенных радиофизических системах, таких как генератор с запаздывающей обратной связью, лампа обратной волны, квантовые генераторы.

Но теорема Ньюхауса-Рюэля-Такенса, показывая возможность перехода от квазипериодических колебаний с тремя независимыми частотами к странному аттрактору, не дает полного описания всех возможных бифуркационных явлений, происходящих при данном переходе.

Для ясного понимания механизмов разрушения двумерного тора и возникновения хаоса очень важны результаты качественной тео-

рии (В.С.Афраймович, Л.П.Шильников). Строгие результаты качественной теории дают полную картину возможных путей разрушения резонансного двумерного тора и указывают на возможность возникновения хаотических колебаний в окрестности разрушившегося тора. В работах B.C. Анищенко и его коллег впервые было проведено детальное исследование разрушения двухчастот-ных квазипериодических колебаний в радиофизической системе на основе двупараметрического анализа и сопоставлены данные физического, численного эксперимента и теории.

Работ, посвященных анализу разрушения трехмерного тора, мало. Л.П.Шильниковым было высказанно предположение, что так как в сечении трехмерному тору соответствует инвариантный двумерных тор, для которого справедливы все результаты по разрушению, то сам переход не содержит никаких особенностей.

Все вышеперечисленные результаты касаются разрушения резонансного тора. Но вопрос о механизмах разрушения двух- и трехмерного эргодического тора остается нерешенным. Открытие так называемых странных нехаотических аттракторов (C.Gre-bogi, E.Ott, J.Yorke и др.) позволило по иному взглянуть на проблему перехода от эргодического тора к хаосу и начать исследования в этом направлении.

Высказанные выше соображения определили цель диссертации и задачи экспериментальных и численных исследований.

Цель работы заключается в поиске общих закономерностей явления вынужденной, взаимной и пространственной синхронизации для широкого класса динамических систем, а также в выявлении особенностей, обусловленных их собственной сложной динамикой. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Провести компьютерные и натурные эксперименты по исследованию явления вынужденной, взаимной и пространственной синхронизации хаотических колебаний на примере цепи Чуа, которая обладает рядом интересных особенностей по сравнению с ранее изучаемыми системами.

2. Исследовать особенности эволюции и взаимодействия различных семейств аттракторов как в идентично связанных системах Чуа, так и при введении частотной расстройки между парциальными генераторами.

3. Исследовать особенности синхронизации широкого класса дискретных и дифференциальных систем при квазипериодическом воздействии. Проаналазировать возможные пути перехода от эргодических квазипериодических колебаний к хаотическим.

Методы исследования.

С радиофизической точки зрения интерес представляют динамические системы, для которых возможно сконструировать радиотехнический аналог и которые можно описать адекватной математической моделью. С одной стороны, наблюдаемые в натурном эксперименте хаотические колебания трудно четко диагностировать из-за присутствия шумов. Но математические модели позволяют строго показать наличие хаотической динамики и детально исследовать влияние флуктуаций на собственную динамику системы. Кроме того, в рамках математической модели представляется возможным исследовать неустойчивые регулярные решения, которые в эксперименте не реализуются. Численные исследования позволяют легко контролировать начальные условия процесса и наблюдать эволюцию динамических режимов, сосуществующих в фазовом пространстве, что затрудняется при физическом эксперименте.

С другой стороны, эффекты и явления, вскрытые в ходе численного моделирования, нуждаются в экспериментальной проверке для подтверждения их грубости и чтобы исключить аргумент погрешности вычислений и используемых алгоритмов при обсуждении результатов. Кроме того, применяя статистические методы анализа реализаций, мы полагаем, что имеем дело со стационарными эргодическими процессами. Однако, наиболее часто встречающимся в численном и физическом экспериментах является квазиаттрактор (сложное притягивающее предельное множество, которое наряду с гомоклиническими структурами включает и устойчивые периодические аттракторы). Так что в данном слу-

чае говорить об эргодичности нельзя. Поэтому именно физический эксперимент позволяет решить вопрос о границах применимости приближенного математического описания.

Таким образом, ясно, что при исследовании динамических нелинейных систем нельзя отдать предпочтение только методам численного или физического эксперимента. Разумно использовать оба эти подхода параллельно.

Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием результатов аналитических исследований, численного моделирования и физического эксперимента, а также сопоставлением ряда полученных выводов с известными из литературы данными.

Научная новизна результатов работы состоит в следующем.

Впервые исследованы особенности динамического подхода к проблеме хаотической синхронизации в неавтономных и связанных системах, в которых реализуются хаотические аттракторы сложной структуры (типа "double scroll").

Впервые изучены закономерности эволюции различных колебательных режимов, сосуществующих в фазовом пространстве связанных систем, при введении частотной расстройки между парциальными системами.

Впервые обнаружены и численно исследованы для широкого класса динамических систем закономерности разрушения эргоди-ческих квазипериодических колебаний через образование странного нехаотического аттрактора.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Классические механизмы внешней и взаимной синхронизации периодических колебаний в виде захвата или подавления частоты имеют место применительно к хаотическим аттракторам, для которых характерно наличие ярко выраженной базовой частоты в спектре мощности хаотических автоколебаний.

2. Образованию хаотических аттракторов в результате разрушения эргодических квазипериодических колебаний в дифференциальных системах с размерностью фазового пространства

N > 4 (N > 2 в дискретных системах) грубым образом предшествует образование экспоненциально устойчивых фрактальных множеств, называемых странными нехаотическими аттракторами. Типичными механизмами рождения странных нехаотических аттракторов являются кризис тора и постепенная потеря гладкости тора, приводящая к образованию фрактального множества.

Научно-практическое значение результатов работы состоит в том, что характерные закономерности эволюции режимов колебаний при внешней, взаимной и пространственной синхронизации могут использоваться в реальных системах (в том числе биологических) для управления хаотическими колебаниями.

Выявленные механизмы разрушения квазипериодических колебаний являются важным шагом на пути исследования практически важной проблемы - развития хаотических колебаний в распределенных системах.

Апдробация работы и публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в центральной отечественной и зарубежной печати, докладывались на международных конференциях "Differential Equations: Bifurcations and Chaos" (Katsivelli, Crimea, Ukraine, 1994), "International Symposium on Nonlinear Theory and its applications" (Hawaii, USA, 1993), на "The 3rd Technical Conference on Nonlinear Dynamics (Chaos) and Full Spectrum Processing" (Mystic, USA, 1995) на конференции Немецкого физического общества (Berlin, Germany, 1995), "Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine" (Saratov, Russia, 1996).

По теме диссертации опубликовано 13 работ в центральной печати (7 статей, б тезисов докладов). В работах, выполненных в соавторстве, О.В.Сосновцевой принадлежит осуществление всех численных и частично радиофизических экспериментов, анализ результатов по характеристикам и особенностям явления синхронизации.

Результаты работы использовались при выполнении грантов RNO ООО и RNO 300 Международного научного фонда, гранта Госкомитета по высшему образованию (N. 93-8.2-10) и госбюд-

жетной темы "Автоколебания".

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы. Диссертация содержит 104 страниц текста, 75 рисунков и список литературы из 116 наименований.

Содержание работы

Во введении сформулированы цель и задачи диссертации. Анализируется место поставленных задач среди известных результатов других исследователей. Обосновывается достоверность, научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Приводятся положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассматривается радиофизическая схема и математическая модель исследуемой системы Чуа (Т.М^Бито^, О.Ь.СЬиа, М.Котиго и др.) и анализируется ее место среди известных ранее динамических систем. Кратко существенные особенности исследуемой базовой динамической системы можно свести к следующим:

1. Система обладает тремя состояниями равновесия.

Среди класса систем, обладающих тремя состояниями равновесия, достаточно хорошо известны система Дуффинга, система Лоренца, автогенератор с инерционным запаздыванием первого порядка (А.С.Дмитриев, В.Я.Кислов и др.). Но система Чуа в отличие от системы Дуффинга является автономной, и введение внешней силы еще более обогащает ее динамику. Модель Лоренца при замене Юдовича может служить примером генератора, в котором автоколебания возбуждаются за счет присутствия в самой схеме нелинейного элемента, как и в системе Чуа. Но система Чуа помимо всего прочего обладает свойством симметрии.

2. Система Чуа задает векторное поле в трехмерном пространстве, которое инвариантно к преобразованию симметрии: {х, у, г) —> (-а:,-у, -г).

Автогенератор с инерционным запаздыванием первого порядка также обладает тремя состояниями равновесия и свойством симметрии, но при анализе требует конечномерного приближения, что сопряжено с определенными трудностями.

3. Наличие легко реализуемой радиотехнической схемы и адекватной математической модели цепи Чуа позволяет совместно применять как натурный, так и численный эксперимент при проведении исследований.

4. В системе реализуется как гомоклиническая траектория типа двойной петли сепаратрисы седлофокуса, так и гетерокли-ническая траектория.

5. В фазовом пространстве системы сосуществуют два взаимно-симметричных аттрактора, которые при увеличении управляющего параметра сливаются, образуя симметричный квазиаттрактор нового типа "double scroll" ("двойная спираль").

Таким образом, относительно простая модель системы Чуа ввиду перечисленных выше особенностей позволяет наблюдать более широкий набор колебательных режимов по сравнению с известными ранее системами.

Вторая глава посвящена исследованию системы под внешним воздействием. Причем, в качестве внешнего сигнала использовался как внешний гармонический сигнал, так и колебания первой подсистемы в цепочке связанных генераторов Чуа.

Численно и экспериментально исследованы бифуркационные механизмы синхронизации периодических колебаний, определяющие характер границы резонансной области. Граница области синхронизации, которая обусловлена подавлением собственной частоты колебаний, образована бифуркационной линией нейтральности, на которой пара комплексно-сопряженных мультипликаторов выходит на единичную окружность. Переход через участок границы области синхронизации, связанной с захватом базовой частоты, образован линией касательной бифуркации. Численно и экспериментально при вынужденной синхронизации хаоса внешним периодическим сигналом наблюдался переход от "не-сихронного" хаоса с двумя базовыми частотами к хаосу рессле-ровского типа в области синхронизации путем захвата базовой частоты внешним сигналом. Режим "синхронного" хаоса четко диагностируется по фазовой проекции, спектру мощности, поведению ляпуновских показателей и ляпуновской размерности. Граница

- и -

резонансной области при этом соответствует накоплению линий касательных бифуркаций седловых периодических решений. Тем самым подтверждены гипотезы, выдвинутые ранее при анализе генератора с инерционной нелинейностью (В.С.Анищенко, М.А.Сафонова, Т.Е.Вадивасова, Д.Е. Постнов и др.)

Для цепочки однонаправленно связанных систем Чуа наблюдалось явление синхронизации регулярных режимов колебаний вдоль цепочки. Кроме того наблюдались пространственные бифуркации удвоения периода по "пространственной координате". Но число пространственных бифуркаций удвоения периода по пути к хаотическому режиму здесь строго конечно в отличии от бесконечной серии удвоений в парциальной ячейке.

В ходе исследования цепочки систем Чуа были обнаружены хаотические аттракторы 5 Л, 5А2 и 05, характеризующиеся различными бифуркационными механизмами образования и свойствами. Аттрактор Б А возникает на базе последовательности бифуркаций удвоения для одного из семейств аттракторов, возникает в результате слияния хаотических аттракторов разных семейств вблизи одного состояния равновесия, Ив возникает в результате слияния хаотических аттракторов, существующих вблизи разных состояний равновесия. Интерес представляет развитие колебаний в этих областях вдоль цепочки. Для об'единенных аттракторов 5 Л2 и ББ наблюдается хаотизация средней энергии колебаний в пространстве. Это связано с неравномерностью взаимного сдвига фаз на субгармониках вдоль цепочки.

Третья глава посвящена динамике симметрично-связанных систем. Особенностью таких систем является наличие множества сосуществующих режимов (аттракторов), которые имеют свои области притяжения. Для двух взаимодействующих систем Чуа это связано как с наличием четырех потенциальных колодцев в окрестности четырех седловых точек рановесия, так и с многовариантностью взаимного фазового сдвига многотактных циклов.

Для идентичных связанных систем Чуа подтверждены закономерности эволюции различных семейств аттракторов, сосуще-

ствующих в фазовом пространстве системы, характерные для ре-зистивно связанных систем (В.В.Астахов, В.П.Безручко и др.).

Изучена чувствительность различных колебательных режимов к введению частотной расстройки между парциальными системами. Закономерности эволюции семейств аттракторов при этом сохраняются. При увеличении расстройки аттракторы различных семейств претерпевают жесткие бифуркации и исчезают, а в окрестности каждой точки равновесия только аттракторы одного семейства продолжают существовать, и граница области синхронизации образована бифуркационными линиями этого семейства.

Детальное исследование взаимной синхронизации хаотических колебаний системы Чуа при введении расстройки по базовым частотам выявило общие закономерности устройства границ области синхронизации и механизмов синхронизации для систем с аттракторами седло-фокусного типа.

Исследована синхронизация двух систем Чуа в режиме "double scroll". Аттрактор DS возникает в результате слияния двух аттракторов седло-фокусного типа, и характеризуется наличием двух временных масштабов: первый связан с движением вокруг ненулевых состояний равновесия, второй связан с наличием случайных перескоков из одного состояния равновесия в другое и соответствует пересечению некоторого "барьера" на месте бывшей сепаратрисной поверхности. Оказалось, что при введении расстройки по частоте и увеличении связи наблюдается захват базовой частоты, определяемой периодом возврата траектории к секущей плоскости вблизи ненулевого состояния равновесия, для такого типа хаотического аттрактора, аналогично как для аттрактора седло-фокусного типа.

Проведенный статистический анализ поведения системы показал, что сихронизация перескоков из одного состояния равновесия в другое в данном случае не наблюдается. Но открытие эффекта захвата средней частоты переключений в стохастических бистабильных системах с внешним периодическим воздействием (Б.Шульгин, А.Нейман, В.С.Анищенко) позволяет надеяться на

положителыюе решение этого вопроса.

Изучение структуры аттрактора, возникшего на базе об'еди-нения двух аттракторов типа Юв, показало, что гиперхаос эволюционирует в хаос при увеличении связи и на плоскости управляющих параметров существуют окна периодичности разной структуры, внутри которых реализуются различные сценарии перехода к хаосу.

В четвертой главе исследуются механизмы разрушения эр-годических квазипериодических колебаний и возникновения хаоса.

Притягивающие множества (аттракторы) можно характеризовать с геометрической и с динамической точки зрения. С геометрической точки зрения, можно разделить аттракторы на странные и нестранные. По определению Гребоги странным аттрактором называется притягивающее предельное множество в фазовом пространстве системы, не состоящее из конечного числа точек и не являющееся кусочно-дифференцируемым. Такой аттрактор имеет фрактальную структуру и дробную размерность Хаус-дорфа. С динамической точки зрения, мы можем выделить хаотические и нехаотические аттракторы. Для хаотических аттракторов характерно наличие экспоненциального разбегания траекторий, т.е. спектр Ляпуновских показателей содержит хотя бы один положительный показатель. В нелинейных системах кроме хорошо известных нестранных нехаотических аттракторов (цикл, тор) и странных хаотических аттракторов могут наблюдаться такие особые виды аттракторов, как странный нехаотический (СНА) и нестранный хаотический.

СНА были открыты в системах с квазипериодическим воздействием, которое обеспечивает грубый режим эргодических квазипериодических колебаний. В настоящей главе в качестве модельных отображений были выбраны отображения кольца и отображение Хенона и исследованы бифуркационные свойства СНА и механизмы его образования.

Впервые был проведен детальный двупараметрический бифуркационный анализ систем с квазипериодическим воздействием и

выявлены следующие законометности.

Образованию хаоса приразрушении эргодических квазипериодических колебаний всегда предшествует образование СНА.

Существуют два универсальных механизма образования СНА: 1) кризис тора (либо бифуркация об'единения частей квазипериодического аттрактора, либо бифуркация об'единения двух квазипериодических аттракторов, сосуществующих в фазовом пространстве системы); 2) потеря гладкости тора, приводящая к образованию фрактального множества.

В результате потери гладкости п-обходных торов образуются многоленточные СНА, эволюционирующие в многоленточный хаос при изменении параметра. Для СНА имеет место такое явление, как кризис (слияние лент) многоленточных СНА.

Следует отметить, что все без исключения динамические системы (дифференциальные и дискретные), в которых ранее был обнаружен СНА, относятся к классу систем с квазипериодическим внешним воздействием. Совершенно ясно, что если образование СНА связано с разрушением эргодического двумерного тора, то возникает вопрос: является ли СНА специфическим аттрактором, присущим только этому классу систем, или он может существовать и в системах другого типа. В системах с размерностью фазового пространства N > 4 в области эргодичности квазипериодических движений могут существовать многообходные торы. Логично допустить, что в таких системах может реализовываться кризис тора по сценарию, описанному выше. Результатом такого кризиса, по-видимому, будет возникновение СНА.

Эта гипотеза была проверена при исследовании связанных отображений окружности и генератора с инерционной нелинейностью под внешним периодическим воздействием. Была обнаружена бифуркация об'единения частей многообходного тора и аттрактор, возникший в результате, диагностировался как СНА.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

Основные результаты диссертации.

1. Показана универсальность классических механизмов синхронизации в виде захвата и подавления частоты применительно как к хаотическим аттракторам, возникающим на базе бесконечной последовательности бифуркаций удвоения, так и к хаотическим аттракторам, чье образование связано с наличием гомокли-нической траектории типа двойной петли сепаратрисы седлофо-куса, для которых характерно наличие ярко выраженной базовой частоты в спектре мощности хаотических автоколебаний. Предложены динамический и статистический подходы к проблеме синхронизации хаотических колебаний сложной структуры, обладающих двумя временными масштабами (аттрактор типа "double scroll").

2. Впервые на основе двупараметрического анализа подробно исследованы закономерности эволюции различных семейств аттракторов, сосуществующих в фазовом пространстве связанных систем Чуа. Показано, что эти закономерности сохраняются при введении слабой частотной расстройки между парциальными генераторами.

3. Обнаружено, что при разрушении эргодических квазипериодических колебаний переходу к хаосу предшествует образование странного нехаотического аттрактора. Показано, что это справедливо для широкого класса динамических систем: как для систем с внешним квазипериодическим воздействием, так и для систем с гармоническим воздействием, а также для автономных систем типа связанных осцилляторов.

4. Выявлены два механизма образования странных нехаотических аттракторов: кризис тора и постепенная потеря гладкости тора, приводящая к образованию фрактального множества.

Список работ по теме диссертации

1. V.S. Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, D.E. Postnov, O.V.Sosnov-tseva, L.O.Chua, C.W.Wu, "Dynamics of the Non-Autonomous Chua's Circuit", Int.J.Bifurcation and Chaos, vol.5, N6, p.1525-1540, 1995.

2. V.S. Anishchenko, T.E.Vadivasova, V.V.Astakhov, O.V.Sosnov-tseva, L.O.Chua, "Dynamics of two coupled Chua's circiuts", Int.J. Bifurcation and Chaos, vol.5, N6, p.1677-1699, 1995.

3. V.S. Anishchenko, T. Kapitaniak, M.A. Safonova, O.V. Sosnovt-seva, " Birth of Double - Double Scroll Attractor in Coupled Chua's Circuit", Phys. Lett. A, 192, pp. 207-214,1994.

4. O.Sosnovtseva, U. Feudel, J. Kurths and A. Pikovsky "Multiband strange nonchaotic attractors in quasiperiodically forced systems", Phys. Lett. A, v.218, N 3, pp. 255-267, 1996.

5. B.C. Анищенко, Т.Е. Вадивасова, O.B. Сосновцева "Механизмы рождения странного нехаотического аттрактора в отображении кольца с квазипериодическим воздействием", Прикладная нелинейная динамика, т.З, N 3, с. 34-43, 1995.

6. V.S. Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, O.V.Sosnovtseva "Mechanisms of Ergodic Torus Breakdown and the Appearance of Strange Nonchaotic Attractor", Physical Review E, v.53, N.5, p.4451-4457, 1996.

7. V.S.Anishchenko, T.E.Vadivasova, O.V.Sosnovtseva "Strange Nonchaotic attractor in Autonomous and Periodically Driven Systems" , Physical Review E (в печати).

8. V.S.Anishchenko, D.E.Postnov, O.V.Sosnovtseva, I.A.Khovanov "Dynamics of the Chain of Unidirectional coupled Chua's Circuits", in Abstracts, Differential Equations:Bifurcations and Chaos, Kat-siveli, Crimea, Ukraine, May 3-14, 1994, p.9.

9. D.E.Postnov, O.V.Sosnovtseva "Double-Double Scroll Attractor in Coupled Chua's Circuits and its Properties", in Abstracts, Differential EquationsrBifurcations and Chaos, Katsiveli, Crimea, Ukraine, May 3-14, 1994, p.83.

10. V.S.Anishchenko, M.A.Safonova, O.V.Sosnovtseva, "Synchronization and Stochastic Resonance in Chua's Circuit", Proceedings of 1993 International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA'93), Hawaii, USA, December 5-10, 1993, p.81-86.

11. T.Kapitaniak, V.S.Anishchenko, M.A.Safonova, O.V.Sosnovtseva "Birth of Double-Double Scroll Attractor in Coupled Chua's circuits", The 3rd Technical Conference on Nonlinear Dynamics (Chaos)

and Full Spectrum Processing, Mystic, USA, 1995.

12. O.Sosnovtseva, U. Feudel and A.Pikovsky "Strange Non-chaotic Attractors in Quasiperiodically Forced System", Verhandlungen der Deutchen Physikalischen Gesselschaft, Reihe VI, Band 30, 1995, p.1095.

13. T.E. Vadivasova, O.Sosnovtseva, A. Tsarev "Destruction of Quasiperiodic Oscillations and Appearance of Attractors with Complex Structure", Book of Abstract, Nonlinear Dynamics and Chaos: Applications in Physics, Biology and Medicine, Saratov, Russia, July 8-14, 1996, p.181.

СОСНОВЦЕВА Ольга Владимировна

СТРУКТУРА И СВОЙСТВА АТТРАКТОРОВ В НЕАВТОНОМНЫХ И СВЯЗАННЫЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Автореферат

Ответственный за выпуск к.ф.-м.н. Вадивасова Т.Е. Подписано к печати го 136 Объем 1 печ. лист. Заказ N. 26. Тираж 100 экз. Типография издательства СГУ.