Положительные решения нелинейных уравнений с вогнутыми операторами в бонаховых пространствах с колоколами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ Б ОЛ

1 В МАЙ 1995

На правах рукописи

Болотов Николая Николаевич

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РШШИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАНШИЙ С ЗОГНУТЬ^Л1/ ОПКУЛТСРЛ"!1! У I-'«"»Упиы» ПРОСТРАНСТВАХ С КОЛОКОЛАМИ

специальность: о1.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЛИПЕЦК - 1995

Работа выполнена на кафедра математического анализа Липецкого государственного педагогического института.

Научный руководитель:- доктор физико-математических наук,

профессор Бахтин И.А.

*

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Перов А.И., кандидат физико-математических наук, доцент Завгородний К.Г.

Ведущая организация - Белорусский государственный университет.

Защита соотоитоя *пня 1995 г. в 16 ч. 20 мин.

в ауд. 314 на заседания диссертационного совета К 063.48.09 ори Воронежском государственном университете по адресу: 394 693, г. Вороне», Университетская пл. 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " 6~п JJ-в-Л- 1995 г.

УЧевый секретарь диссертационного совета

Задоражний В.Г,

_ з -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В работах М.А.Красносельского, и.А. Бахтина, В.Я.Стеценко, В.И.Опойцева и ряда других математиков развита теория нелинейных уравнения с вогнутыми операторами в вещественных банаховых пространствах с конусами, получившая важные приложения как в общей теории операторных уравнений, так и при реше-Н22 рззлтгпшх задач естествознания и, в частности, задач о ^^¡¿¿^ потери устойчивости стержня переменной жесткости, иарнирпо закрепленного на концах, теории нелинейных колебаний, теории устойчивости, теории нелинейных краевых задач, теории положительных решений линейных операторных уравнений, задачи о точках бифуркации.

Теория нелинейных уравнений с вогнутыми операторами эффективно применяется при исследовании положительных решений нелинейных уравнений в окрестности первой точки бифуркации. Что же касается исследований в окрестностях старпшх точек бифуркации, то ее применимость становится ограниченной.

Естественно возникает задача о разработке теории, пригодной к исследованию положительных решений нелинейных уравнений в окрестности второй и, вообще, старшей точки бифуркации.

Первый шаг в этом направлении был сделан й. А. Бахтиным, развязана теории нелинейных уравнений с вполне непрерывными и монотонно компактными операторами в пространствах с колоколами, которую он применил к исследованию положительных решений нелинейных операторных уравнений в окрестности второй точки бифуркации. Поэтому дальнейшее развитие теории положительных решений нелинейных уравнений с вогнутыми операторами в банаховых пространствах с колоколами является актуальной задачей современного нелинейного

анализа.

Шли раооты. Развитие теории положительных решений нелинейных уравнений с равномерно ио-вогнутыми и ио~вогнутыми экстремальными операторами в банаховых пространствах с колоколами и ее применение к исследованию положительных решения одного класса нелинейных интегральных уравнений в окрестности второй точки бифуркации.

методика исследования, в работе применяются новые конусные методы И.А.Бахтина, разработанные применительно х операторам в банаховых пространствах с колоколами. Эти методы используют такие ■ специальные свойства вогнутых операторов в пространствах с колоколами как свойства существования, единственности, полноты по полунорме 1X1 > с-свойство, экстремальность и др. свойства, "о

Сущность этих методов заключается в том, что при выполнении специальных соотношения выполняются некоторые неравенства, которые в общем случае не имеют места.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. В вещественном банаховом пространстве £ с замкнутым клином К с £ и колоколом К0 с К , такими, что (-К) л Ко =(0), построена новая теория положительных решений нелинейных уравнений с равномерно ио-вогнутыми и ио-вогнутыми экстремальными операторами.

В частности, получены разнообразные признаки:

1) существования положительных неподвижных точек операторов;

2) существования положительных собственных веторов операторов;

3) совпадения позитивного спектра оператора с некоторым промежутком;

4) непрерывной и монотонной зависимости положительного соб-

ственкого вектора оператора от соответствующего собственного значения на позитивном спектре.

Полученные результаты применены х исследованию одного класса нелинейных интегральных уравнения и его полохитолышх решений в окрестности второй точки бифуркации.

Теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использована в целях дальнейше-1ч, — "гит нплинейных уравнений с вогнутыми операторами в

банаховнг простраяетгаах с тсслокошми. б ~

интегральных уравнения, э развитии нелокальной теории нелинейных уравнений в окрестности произвольной точки бифуркации.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались яа 21 Воронежской зишей математической школе, на научном семинаре Воронежского государственного педагогического университета,, на Герценовсшд: чтениях Российского государственного педагогического университета Сг.Ленинград, iт—тт апреля 1988 г.), на мехвузовской конференции молодых ученых (г.Липецк, 1988 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 11-7].

В совместной работе 121 постановка задачи принадлежит научному руководителю И.А.Бахтину, а исследование^ диссертанту. Все вошедшие в диссертацию результаты (§§ 5-8) за исключением § 9, полученных диссертантом в соавторстве, принадлежат диссертанту.

структура диссертации, диссертация содержит 157 страниц и состоит из введения, дэвяти параграфов и списка литературы из 68 наименований.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю И.А.Бахтину за постановку задачи и внимание к работе.

- б -

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Результаты §§ 1-4 в основном носят подготовительный характер. Здесь приводятся как новые, так и известные результаты, которое используются в дальнейшем.

в § 1 приводятся некоторые известные сведения о колоколах, выделенных К.А.Бахтиным.

в § 2 исследуются связи меаду различными классами вогнутых операторов в пространствах с колоколами, выделенных И.А.Бахтиным. Приводятся различные новые признаки ио-вошутости, (Х0,и0)-В0гну-тости и равномерной ио-вогнутости оператора Ая и некоторых других операторов. Приводится важный пример равномерно еа-вогнутого оператора.

В § з исследуются специальные свойства вогнутых операторов в пространствах с колоколами, выделенные И.А.Бахтиным, и, в частности, монотонная и й-монотонная компактность вогнутого оператора; П-экстремальность и й-экстремальность вогнутого оператора; свойства единственности, существования, полноты по полунорме

1X1 и с-свойство и -вогнутых операторов. Приводится важный "о

пример интегрального оператора, обладающего всеми этими свойствами в некоторой окрестности 0(0,р) банахова пространства Е=сш,1] со специально выделенными клином К и колоколом Кое К.

В § 4 приводятся некоторые известные общие свойства положительных собственных чисел вогнутых операторов в пространствах о колоколами, которые используются в дальнейшем.

основное содержание диссертации изложено в § § 5 - 9. Для его изложения приведем необходимые определения.

Определение, замкнутое множество К0е Е называется колоколом,

если выполняются следующие условия: п К0 + к0 с Ко . 2) п0 с Ко (X > 1); 3) <-К0) Л К0 ={0>.

В работе рассматриваются только такие клин К с Е и колокол

К с К, что (-К) а X =<Ш. о о

Определение. Колокол Ко называется К-нормальным, если для любых 1в, У0 < к4> < У0 множество К0 а <х0, у0>, ограничено по норме.

| П11К4 Им пммцч. | и 1л('1Жи*гйльНы]3 ШШОТОтжямё ¿1м -- -.— 5

коле К0 оператор А называется вогнутым, если Атх < г Ах для

любых х е К \ О и г >- 1 . о

Обозначим через К0(иа) множество всех элементов х е К0\ О, соизмеримых с ио с Ко\ О : существуют такие числа а = а(х) ► О а р = р(х) > 0 что в ио < I < ^ ис .

Определение, вогнутый оператор А называется:

а) и -вогнутым, если для .твоих элемента х е к. (и ) и числа

о о о

г ► 1 существует число т\ = г)(х,т) > 0, такое, что

Ахх < п Ах ;

С) равномерно изогнутым, если для любых чисел ц.у > О и Г > ' существует число г) = г){ц, V, X) у О, такое, что

« V + ^ 6 <Дио' |>ио> л

Обозначим чврап у клин, составленный из всех элементов ?, вида: г = и (г ) 0, х « Ко). Очевидно, Ко с Х0 с К. Предположим, что оператор А определен на клине хо-

Определение - Вогнутый оператор А называется (хо,ио)-вогнутым, если для любых элемента х « К (и ) и числа Ъ « (0,1) существует число п = т){х,г) >. О , такое, что

лгх > (1 + г)П Ах .

определение. Положительный монотонный на колоколе Кд оператор А называется ^экстремальным, если для любой возрастающей ограниченной сверху последовательности .(х^) с Ко: х4< хп «...< у « К0

и для каждой убывающей последовательности с К0 :

У» > — >У„ >

существуют влементы e,w с KQ, обладающие свойствами: AXn< z , Ayn > w (n е N) и для любых элементов u.v с К0 : и > Ах , v < Ау (oeN) выполняются неравенства u > z, т ч w .

П п

Определение. Положительный монотонный на колоколе KQ оператор А называется й-экстремальным, если для любой возрастающей ограниченной по норма последовательности (х^) с Kq:

I,< I„ < ... и « ... ; IX I < L < « (п е N)

1 ■ 1% п

и для каждой убывающей ограниченной по норме последовательности

(уп) с к0 : у, > ... > уп > ... ; iyni < ь < * (п « н) существуют элементы b,w е KQ, обладающие свойствами: Ах « е , Ау > w (п с N) и для любых элементов u,г « К :

n п О

и > Ахп, т < Ауп (п с N) выполняются неравенства и > z, v < w . Определение. Говорят, что ио-вогнутый оператор А обладает:

1) свойством единственности, если для любого числа \ * 0 и для любых х,у е KQ\ 0 из соотношений Ах = Хх, Ау = ly; х < у , у < х следует х = у ;

2) свойством существования, если из соотношений

V Х. « V 0 ' I > 0 . 0 « V 1 , TnJ 1 , tnx. < xn < tnx„

z„ = T Ч. - , 'nif))

следует Ах. = Ххл .

Обозначим через ixs полунорму, заданную формулой: ио

1х| = inr ct> (u « к \ 0) ,

"о 0 0 .

где инфкмум берется по всем г е и = (-« , »« ), удовлетворяющим неравенству -X и0 < х < г и0.

определение. Говорят, что оператор А обладает свойство« полноты по полунорме 1x1 , если для любых х0« Ко\ О и 1 > О,

"о

таких, что 2 = -4- АХ е К (П е И) И ИГО IX - X I = О,

п I п-1 О -- » п « "0

существует элемент х„ е К0, такой, что п |х^ - х.|ц = о.

В дальнейшем всюду предполагается, что ий-вогнутый опоцатоо А обладав- спо^стви-сх сузоствоаапия з оданствотюстз.

В § 5 в вещественном банаховом пространстве Е с замкнутым клином К и колоколом К0е К ((-К0> л К = (О)) приводятся теоремы существования положительных неподвижных точек равномерно ^-вогнутых и ио-вогнутых экстремальных операторов. В частности, доказана следующие теоремы.

Теорема 5.1. Пусть равномерно и-вогнутчЯ оператор А обладает свойством полноты по полунорме |х|

ио

Тогда для того чтобы уравнение Ах = х (х с- К0\ 0) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы существовали элементы

3о,уо е V 0 • таки8' что хо < кх0 • < У0 •

Теорема 5.6. Пусть выполняются следующие условия:

1) колокол Ко- К (К, Ь)-экстремален;

2) оператор А ио-зогнут и существуют элементы х0.У0« К \ О. такие, что ' х'0 < Ахо , Ауо < У0 ■

Тогда уравнение Ах = х (х «= Ко\ 0) имеет решение

У. е <хо'уо>-

Отметим в этом параграфе еще теоремы 5.2 и 5.4. Новизна полученных здесь результатов заключается в том, что исследуемый вопрос для расматриваемых классов вогнутых операторов

в пространствах с колоколами никем не изучался.

Аналогичный вопрос для и0-вогнутых вполне непрерывных и монотонно компактных операторе® в банаховых пространствах с колоколами ранее исследовался И.А.Бахтиным.

В банаховых пространствах с конусами этот вопрос исследовался в работах М.¿.красносельского, И.А.Бахтина, в.и.опойцева и ряда других математиков.

Полученные в, них результаты без дополнительных предположений не распространяются на вогнутые операторы, действующие в банаховых пространствах с колоколами.

В § 6 в вещественном банаховом пространстве £ с замкнутым клином К и колоколом К0с К ((-К0) л К = {О}) приводятся разнообразные признаки существования положительных собственных векторов равномерно ио-вогнутых и ио-вогнутых экстремальных операторов.

Например, доказана следующая теорема

Теорема б 1. Пусть выполняются следующие условия:

1)равномерно u-вогнутый оператор А ограничен на колоколе Ко;

2) линейный оператор Q, являющийся асимптотической производной оператора А по колоколу Ко, имеет в множестве KQ(uo) собственный вектор xQ, соответствующий собственному числу Xq> 0, равному спектральному радиусу p(Q) оператора Q: Ох^ =lQxg ;

3) существует число I > Х^, такое, что при каждом 1 «= (1^,11

оператор -j-A положителен и d-экстремален.

Тогда оператор А имеет в колоколе KQ собственные векторы.

Отметим в атом параграфе в числе важных еще теоремы 6.2, 6.7, 6.13, 6.14, 6.17.

Специфика исследуемого вопроса здесь, в частности,обусловлена тем, что при переходе от вогнутого оператора А к оператору j А

(Х>- 0) а вообще говоря, теряются некоторые его свойства, например, положительность. Поэтому приходится всякий раз следить за тем, чтобы нужные свойства дператорз А при таком переходе сохранялись.

■ Аналогичный вопрос для гг-вогнутых вполне непрерывных и монотонно компактных операторов в банаховых пространствах с колоколами исследовался И.А.Бахтиным.

В банаховых пространствах с конусами этот вопрос исследовался Ы.А.Красносельским. И.Л.КяхтШЛЛИ. Я.И,Пггпйцапии а по1ГГШ1 ггрурггг

математиков.

В § 7 в вещественном банаховом пространстве Е с замкнутым клином К и колоколом Кое К ((-Ко) пК= (О)) приводятся признаки заполнения позитивным спектром 3*(А) равномерно и0-вогаутого и и0-вогнутого экстремального оператора А некоторого промежутка.

Ключевой здесь является теорема 7.1, показывапцая, что при определенных условиях позитивный спектр Б* (А) равномерно ^-вогнутого и и0-вогнутого экстремального оператора в пространствах с колоколами является выпуклым множеством.

Теорема 7.Пусть при кавдом X е со Э*(А) оператор А и колокол К0 обладают по крайней мере одним из следующих свойств:

1) оператор А равномерно ио-вогнут и обладает свойством полноты по полунорме 1X1ц ;

2) оператор А и0-вогнут и п-экстремален;

3) оператор -у-А ио-вогнут и й-экстремален, колокол К0

К-нормален;

4) оператор -^-А ио-вогнут, колокол К0 К-нормален и (К,а)-экстремален;

5) оператор -у-А ио-вогнут, колокол К0 (К, Л)-экстремален.

Тогда Со Б*(А) = Б*(А).

Теорама 7.2. Пусть

1) линейный оператор а, являющийся асимптотической производной оператора А по колоколу К0, имеет в множестве ка(ио) собственный вектор х^, соответствующий собственному числу х^у о,'равному спектральному радиусу р(0) оператора а: 0хд =Х(}Х(} ;

3) существует число I >■ Х^ , такое, что при некотором X с (Х^.ХЗ выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

а) оператор равномерно ио-вогнут, й-экстремален и ограничен на колоколе К0 ;

1 *

б) оператор -^-А (Х0,ио)-вогнут, (Ко,Х0)-монотонен, й-вкст-

ремален и ограйичен на колоколе ко ;

в) оператор -у-А равномерно и0-вогнут , й-экстремален н ограничен по норме и сверху на колоколе ко ;

г) оператор -^-А (хо,ио)-вогнут, (К0,хо)-монотонен, ь-экст-ремалан и ограничен по нормо и сверху на колоколе К0 ;

д) опвр&тор -^-А равномерно ио~вогнут, обладает свойством полноты по полунорме 1X1 и ограничен по норме и сверху на

о

колоколе К0.

Тогда либо з*(А) э (Хр,Х1, либо 5+(А) с (Х^Д) и совпадает с некоторым невырожденным промежутком, левым концом которого является число Х^.

Важными в этом "параграфе являются также теоремы 7.5, Т.б, 7.8.

Аналогичный вопрос для и0-вогнутого вполне непрерывного и монотонно компактного оператора в банаховых пространствах с колоколами исследовался И.А.Бахтиным.

в оанахових пространствах с конусами этот вопрос исследовался в раоотах м.А.Красносельского, И.А.Бахтина и ряда других математиков.

м.а.красносельский и И.А.Бахтнн ввели важные понятия соответственно, непрерывной и ^-непрерывной ветвей собственных векторов оператора.

В 5 8 в вещественном банаховом пространстве Б с замкнутым клином К и колоколеи л.с ~ приодета: прззппт^ еуг;<;етаонннга

непрерывных по норме и по полунорме ixi ветвей бесконечной

"о

длины положительных собственных векторов равномерно и0-вогнутых и ио-вогнутых экстремальных операторов. В частности, доказана

Теорема 8 1. Пусть выполняются следующие условия:

1) оператор А равномерно ио~вогнут и обладает обобщенными

свойствами существования и полноты по полунорме ixi ;

о

2) позитивный спектр S*(A) оператора А совпадает с некоторым

интервалом (а , в ) , где а <8 .

о го о г0

Тогда семейство i(X) (X.« S*(A) = (а ,fl )) положительных

о о

собственных векторов оператора а : Ах(Х) = X х(Х) образует ^-непрерывную ветвь бесконечной длины.

К числу существенны! в этом параграфе теорем относятся такие теоремы 8.2, 8.4-8.6.

История возникновения и развития этого вопроса здесь та же, что и в §§ 5-7.

Заключительный § 9 посвящен приложению развитой теории нелинейных уравнения с равномерно и0-вогнутыми и ио-вогнутыми экстремальными операторами в банаховых пространствах с колоколами к

исследованию одного класса нелинейных интегральных уравнений в пространстве Е = ССО,11 непрерывных на отрезке t0.1l функций х = x(t) в окрестности второй точки бифуркации.

Для операторных уравнений в гильбертовом пространстве этот вопрос исследовался И.А.Бахтиным.

Важными в этом параграфе являются теоремы 9.1 и 9.2.

Отметим, что результаты $ 9 получены автором совместно с научным руководителем И.А.Бахтиным.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Бахтин И.А., Болотов H.H. Общие свойства положительных собственных векторов и позитивных собственных чисел вогнутых операторов в пространствах с колоколами/ Воронеж, пед. ин-т. - Воронеж, 198Т. - 22 С. - деп. В ВИНИТИ 21.05.8Т, N 3615 - В 87. .

2. Бахтин И.А., Болотов H.H. Положительные решения одного класса нелинейных интегральных уравнений в окрестности второй точки бифуркации/ Воронеж, пед. ин-т. - Воронеж, 1991. - 44 с. -Деп. В В/НИТИ 05.02.92, N 409 - В 92.

3. Болотов H.H. непрерывные ветви положительных собственных векторов вогнутых операторов в пространствах с колоколами/ Липецкий пед. ин-т. - Липецк, 1987. - 34 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.11.88, N 8030 - В 88.

4. Болотов H.H. Метод последовательных приближений в теории • нелинейных уравнений с вогнутыми операторами в пространствах с колоколами/ Липецкий пед. ин-т. --Липецк, 1987. - 21 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.11.88, N 8031 - В 88. '

5. Болотов H.H. ^-непрерывные ветви положительных собственных векторов вогнутых операторов в пространствах с колоколами

// функц. анализ. - Ульяновск: УГЛИ им. И.Н. Ульянова. - 1989. -ВЫП. 29. - С. 51 - 60,

6. Болотов H.H. Непрерывные ветви положительных собственных векторов вогнутых экстремальных операторов в пространствах с колоколами// Функц. анализ. - Ульяновск: УГЛИ им. И.Н. Ульянова. -1989. - Вып. 30. - С. 4Т - 57.

7. Болотов H.H. существование положительных неподвижных ТСЧОК Рогяугег оггэрэторов Ч 0оН>?ТОо"т прострянсгййк ü колоколами // Матем. анализ. - Ленинград: ЛЮТ им. А.И. Герцена. - 1990. -С. 21 -27.

Зайаз lidÍQt 20. . 95 г. Тир. 100 -9R8. Форш? 60 X 90 Т/16. Объем I п.л. Липецкий областной комитет по государственной статготаке.