Поляризационные трехуровневые системы на основе бифотонного поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

На правах рукописи

Масленников Глеб Александрович

ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ТРЕХУРОВНЕВЫЕ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ БИФОТОННОГО ПОЛЯ

01.04.21 - Лазерная физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре квантовой электроники физического факультета Московского государственного университета им М.В.Ломоносова

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

СП. Кулик

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

С.Н. Молотков, институт физики твердого тела РАН Доктор физико-математических наук, Я.А. Фофанов институт аналитического приборостроения РАН

Ведущая организация: Физико-Технологический Институт РАН

Защита состоится «_2 3_»_марта_2005 года в_1500_часов на

заседании диссертационного совета Д 501.001.45 в МГУ им.М.В.Ломоносова по адресу: 119992 Москва, ГСП-2, Воробьевы горы, МГУ, НИИ ядерной физики им. Д.В. Скобельцина, 19 корпус, ауд. 2-15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИЯФ МГУ.

2005 года

Автореферат разослан 1Р_»С

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 501.001.45, Доктор физико-математических наук

Васильев А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность_темы. Диссертационная работа посвящена

экспериментальному приготовлению и исследованию свойств оптических трехуровневых квантовых систем, получаемых за счет эффекта интерференции одномодовых бифотонных полей.

Квантовая информация и квантовые вычисления являются на сегодняшний день одними из самых прогрессирующих областей современной науки. В основе квантовых вычислений лежит понятие кубита (от слов «quantum bit», «q-bit»). Кубит представляет собой когерентную суперпозицию двух базисных состояний

Здесь коэффициенты ci - комплексные амплитуды, определяющие вероятность нахождения системы в одном из базисных состояний и удовлетворяющие условию нормировки. Физической реализацией кубита может служить чистое состояние любой двухуровневой системы. Возможность кубита

с

находиться в континууме состояний, задаваемых , в отличие от классического бита, является основным свойством, которое и используется в квантовых алгоритмах. На настоящий момент известно множество способов физической реализации кубитов и также большое число квантовых информационных протоколов, использующих кубиты в качестве носителей информации.

И с фундаментальной и с прикладной точек зрения интересен вопрос о расширении гильбертова пространства на случай многоуровневых систем и о тех новых возможностях, которые предоставляют нам многоуровневые системы в квантовой информации. В литературе такие системы получили названия кудитов (q-dits), где d - размерность гильбертова пространства. Вектор состояния кудита можно записать в следующем виде

Оказалось, что в ряде случаев использование квантовых многоуровневых систем как переносчиков информации имеет некоторые преимущества по сравнению с кубитами. Во-первых, использование кудитов в протоколе квантового распределения ключа повышает помехостойкость канала в случае определенного класса атак подслушивателя. Во вторых, на основе многоуровневых систем уже предложены некоторые алгоритмы квантовых вычислений, которые невозможно выполнить с использованием кубитов. В третьих, перепутанные многоуровневые системы показывают большее отклонение квантовой теории от классической при проверке неравенств Белла. Данное свойство является фундаментальным свойством многоуровневых систем, а также может быть использовано в протоколах квантового распределения ключа. Следует также заметить, что вопрос о генерации, преобразовании и измерении таких состояний представляет значительный интерес с экспериментальной точки зрения.

Наиболее простой системой после двухуровневой как с точки зрения теории, так и со стороны экспериментальной реализации, является трехуровневая. По аналогии с кубитом, такие системы получили название «кутриты» ^-йИз). На настоящий момент известно несколько экспериментальных реализаций трехуровневых квантовых систем. Все они пока реализованы на основе электромагнитного излучения. Однако ни один предложенный метод не обеспечивает полного контроля над генерируемым состоянием кутрита. Под полным контролем здесь понимается а) возможность приготовить квантовую систему в произвольном состоянии, б) возможность контролировать параметры системы в процессе передачи по каналу связи и в) возможность восстановления состояния системы по некоторому набору измерений (томография квантовых состояний).

Бифотонными полями называются поля, состоящие из пар коррелированных фотонов. Наиболее простым способом получения таких полей является использование эффекта спонтанного параметрического рассеяния (СПР) света. При этом эффекте, имеющем место в средах без центра инверсии, происходит распад фотонов лазерной накачки на пары коррелированных фотонов, волновые вектора и частоты которых удовлетворяют условиям пространственного и частотного синхронизма. Пары фотонов, рождающиеся в процессе СПР, образуют так называемое, перепутанное (entangled) состояние. По определению, двухчастичное состояние называется перепутанным, если его волновая функция не может быть факторизована на волновые функции каждой

основе многих протоколов квантовых вычислений. В данной работе свойство перепутанности фотонов, образующих бифотон, используется для построения трехуровневой системы на основе одномодовых бифотонов.

Одномодовые бифотонные поля образуются, когда пара родившихся в процессе СПР фотонов принадлежит одной пространственной и частотной моде. Как будет показано в дальнейшем, произвольное поляризационное состояние такого поля может быть разложено по трем базисным состояниям, то есть представляет собой трехуровневую систему. Выбор поляризации как параметра, в котором кодируется информация, является удобным с точки зрения эксперимента, так как преобразования над данным параметром можно осуществлять с помощью линейных оптических элементов (фазовые пластинки, анализаторы, и.т.д.).

Оказывается, что с помощью поляризационного представления, можно ввести операциональный критерий ортогональности для трехуровневых систем. Свойство ортогональности определяется метрикой гильбертова пространства и является основополагающим для построения протоколов квантовой

из подсистем

Свойства перепутанных состояний лежат в

криптографии Данный критерий, обеспечивающий возможность выделять состояние ортогональное данному, из множества других состояний может быть использован при построении устройства для квантового распределения ключа на поляризационных трехуровневых системах Заметим, что на данный момент, ни в каких другие реализациях многоуровневых систем вопрос об ортогональности не исследовался

Из всего вышесказанного следует актуальность работы, обусловленная фундаментальным интересом к проблемам, связанным с экспериментальным контролем над свойствами многоуровневых систем, исследованию их свойств и возможным применением данных систем в квантовых информационных протоколах

Целью диссертационной работы являлось

1 Приготовление оптических трехуровневых квантовых систем (кутритов) в произвольном состоянии за счет использования поляризационных свойств одномодовых бифотонов

2 Экспериментальное исследование свойств поляризационных кутритов, верификация операционального критерия ортогональности для произвольных поляризационных состояний

3 Исследование вопроса о возможности применимости поляризационных кутритов в практической реализации протокола квантового распределения ключа на данных системах

Практическая ценность диссертации состоит в возможном использовании полученных результатов в квантовой информации и квантовой оптики • при реализации протоколов квантовой информации, основанных на использовании многоуровневых систем

при построения устройств для реализации квантового распределения ключа

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующих

положениях:

1. Экспериментально реализовано произвольное поляризационное состояние оптической квантовой трехуровневой системы. Полный контроль над состоянием осуществлялся с помощью линейных оптических элементов, что позволяет легко изменять параметры генерируемого состояния. Предложена и апробирована схема, в которой произвольное поляризационное состояние кутрита можно приготовить без помощи интерферометра, что позволяет увеличить качество и стабильность приготавливаемых состояний.

2. Экспериментально подтвержден операциональный критерий ортогональности для поляризационных кутритов в произвольном состоянии.

3. Предложена схема для реализации протокола квантового распределения ключа на поляризационных кутритах. Проанализировано количество неустранимых потерь на станции получателя и применимость данных систем для практической реализации протокола.

На защиту выносятся следующие положения:

1. С помощью интерферометрической методики за счет суперпозиции одномодовых бифотонов из трех кристаллов с различным типом взаимодействия, возможно приготовление произвольного поляризационного состояния оптической трехуровневой квантовой системы. Параметры состояния регулируются с помощью линейных оптических элементов.

2. Произвольное состояние поляризационного кутрита может быть приготовлено без помощи прстранственно-невырожденного интерферометра

с использованием двух кристаллов со взаимодействием типа I и фазовой пластинки произвольной оптической толщины и ориентации.

3. Ортогональные состояния поляризационных кутритов можно достоверно различить с помощью операционального критерия ортогональности.

4. Состояния, используемые в протоколе квантового распределения ключа на поляризационных кутритах, могут быть приготовлены без потерь, вносимыми параметрами приготовительной схемы

5. На основе критерия ортогональности и предложенных методов (интерференционный и безинтерференционный) приготовления состояний кутритов возможно построение схемы для реализации протокола квантового распределения ключа на оптических трехуровневых системах.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на следующих международных конференциях: Международная Школа для Молодых Ученых "Оптика-2000 " (2000 г. Санкт-Петербург, Россия), International Conference on Quantum Optics, ICQO-2002 (2002 г. Минск, Беларусь), International Quantum Electronics Conference, IQEC-2002 (2002 г. Москва, Россия), ERATO Conference on Quantum Information Science EQIS-2004 (2004 г. Токио, Япония), Asian-Pacific Workshop on Quantum Information Science APWQIS-3 (2005 г. Сингапур) и др.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ в реферируемых журналах, список которых приведен в конце автореферата.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 97 наименований, изложена на 169 страницах и содержит 25 рисунков и 5 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1. Приготовление кутрита в произвольном поляризационном состоянии

В первой главе рассматриваются оригинальные эксперименты по генерации произвольного состояния кутрита на основе поляризационных свойств одномодовых бифотонов.

В первом параграфе этой главы на основе литературных данных вводится понятие поляризационного кутрита. Показано, что чистое поляризационное состояние одномодового бифотонного поля может быть записано в следующем виде:

Здесь запись \т,п) обозначает фоковское состояние с m фотонами в горизонтальной (Н) поляризационной моде, п фотонами в вертикальной (V) поляризационной моде с общим числом фотонов n+m = 2. Состояния и

соответствуют так называемому типу I взаимодействия, при котором фотоны в паре поляризованы вдоль одного направления, а состояние соответствует взаимодействию типа II, при котором фотоны в паре

поляризованы ортогонально друг другу. Коэффициенты с: есть

комплексные амплитуды вероятности нахождения системы в одном из базисных состояний. Также в данном параграфе приведены литературные данные по томографической процедуре восстановления матрицы плотности произвольного

состояния кутрита и введено графическое представление чистых состояний на сфере Пуанкаре.

Второй параграф первой главы посвящен описанию экспериментальной процедуры приготовления произвольного состояния кутрита с помощью интерферометрического метода. В основе данного метода лежит явление интерференции одномодовых бифотонов, рождаемых в трех нелинейных кристаллах с различным типом фазового синхронизма. Для того чтобы приготовить кутрит в произвольном поляризационном состоянии, необходимо обладать способом независимо и произвольно контролировать действительные и мнимые части комплексных амплитуд вероятности в разложении (1). Для достижения независимого контроля за данными коэффициентами можно разбить накачку на несколько когерентных между собой частей, каждая из которых накачивает определенный кристалл, рождая соответствующие базисные состояния. Так как накачка должна оставаться когерентной, то для данной цели можно использовать сбалансированный интерферометр. На рис. 1а. изображена реализация данного метода с использованием интерферометра Маха-Цандера. Накачка, проходя через призму Глана-Томсона, делится на горизонтально (Н) и вертикально (V) поляризованные части. Вертикально поляризованная часть, проходя через компенсационный кристалл, служит накачкой для двух кристаллов типа I с ортогонально ориентированными оптическими осями. В первом кристалле с горизонтально ориентированной оптической осью генерировалось

состояние 1®'^), во втором кристалле получалось состояние Затем

излучение накачки отсекается фильтрами. Таким образом, в нижнем плече интерферометра поляризационное состояние бифотонного поля принимало вид

Относительная фаза контролировалось путем

поворота кварцевых пластинок QP2, вносивших определенную фазу между горизонтально и вертикально поляризованными компонентами бифотонного

(а) (б)

Рис.1.

(а) Экспериментальная установка для приготовления произвольного поляризационного состояния кутритов. Ti:Sapphiгe - накачка (вторая гармоника титан-сапфирового лазера, 400 нм, 75МГц, 19 мВт) HWP1, HWP2 -полуволновые пластинки, контролирующие поляризацию накачки, GP - призма Глана-Томсона, ВВО - нелинейно-оптические кристаллы бета-бората бария, QP1, QP3 - компенсационные пластинки из кристаллического кварца, QP2 -фазовращатель, UVM - зеркала, отсекающие накачку, DM - дихроичное зеркало, PZT - пьезоэлектрическая подача с наклеенным зеркалом.

(б) Поляризационный интерферометр Брауна-Твисса. СД - неполяризационный 50% светоделитель, Я/4 - четвертьволновая пластинка, Х/2 - полуволновая пластинка, V - анализатор, выделяющий вертикально поляризованное излучение, Д1, Д2 - детекторы, СС - схема парных совпадений

поля. Горизонтально поляризованная компонента накачки, отразившись от дихроичного зеркала DM накачивала кристалл со взаимодействием типа II в

котором рождалось состояние I ' / с весом г Относительная фаза между

состоянием г' ' и ) менялась с помощью малого смещения одного из зеркал в интерферометре, закрепленного на пьезоэлектрической подаче (PZT).

Относительный вклад коэффициентов ^t и в суперпозицию (1)

контролируется с помощью полуволновой пластинки HWP2, полуволновая

пластинка HWP1 отвечает за вес вносимый состоянием l^'O. Компенсационные элементы служат для компенсации эффекта дисперсии групповых скоростей бифотонных волновых пакетов. Иными словами, они обеспечивают перекрытие базисных состояний, рожденных в различных областях, во времени. В результате, на выходе приготовительной части действительно получалась суперпозиция вида (1) с параметрами, контролируемыми линейно-оптическими элементами. Измерительная часть установки изображена на рис 16. Она представляет собой поляризационный аналог схемы Брауна-Твисса. В данной схеме, регистрируя парные совпадения фотоотсчетов детекторов, при различных положениях фазовых пластинок, возможно осуществить полную томографию входного неизвестного квантового состояния. В общем случае смешанного состояния на входе схемы необходимо выполнить 9 измерений моментов четвертого порядка по полю при различных положениях поляризационных преобразователей в плечах. Данные моменты позволяют восстановить все компоненты матрицы плотности для входного состояния. Точность восстановления задается с помощью величины F (fidelity),

которую можно определить как ^ ^{PafPih) _ Если восстановленное с

помощью томографической процедуры приготовленное состояние идентично теоретическому, то величина F принимает значение 1; для ортогональных состояний F = 0 .

В качестве примера генерируемых состояний было решено использовать некий набор из 12 состояний, формирующих четыре взаимно несмещенных базиса. Состояния приведены в таблице 1.

\ н 1-1 !-1 ч о- о,

и 1 ч 0

1« 11 1

|/> 11 " 11 о

1«) Хп Хг (1 11

1<0 Хг У* Хг 11

и Хг Хг Хг (1 -ч

К) Хг У* Хг •у Г)

ю XЛ У* Кр "

1:1 Хг и Хг *

Ю Хг У* Хг 1»

1.0 У* У* Хг -у 0

и У* Хг. Хг- " О

Таблица 1.

12 состояний, используемых в протоколе квантового распределения ключа на

кутритах

Практическая ценность данных состояний состоит в возможности их использования в протоколе квантового распределения ключа на трехуровневых системах. В таблице 2 приведены значения величины F, полученные при восстановлении матрицы плотности с помощью томографической процедуры. Заметим, что первые три состояния, формирующие первый базис, являются тривиальными и в дальнейшем их приготовление не обсуждается. Следует заметить, что при вычислении величины Ж был использован статистический метод максимального правдоподобия. Этот применительно к восстановлению состояний квантовых систем по измеренным величинам наиболее эффективен в

рамках так называемого «корневого подхода». Было показано, что используемый объем выборки данных, определяющий точность процедуры восстановления не выходил за рамки объема когерентности и, следовательно, статистические ошибки, возникающие в эксперименте, могли быть минимизированы с помощью метода правдоподобия.

N ^МЬЕ N Рм1£ N ^МЬЕ

к> 0 9989 ю 099674 |«-> 0 98833

и 0 99674 Г) 0 99889 |Г> 0 99889

IV') 0 98833 1У") 0 98833 ю 0 99674

Таблица 2. Значения величины Ж для состояний, восстановленных методом максимального правдоподобия

В третьем параграфе первой главы предлагается способ приготовления произвольного поляризационного состояния кутрита без использования интерферометра Для реализации данного метода используются два кристалла типа I и фазовая пластинка переменной толщины. Схема установки приведена на рисунке 2. Пусть имеются два нелинейно-оптических кристалла типа I с ортогонально ориентированными оптическими осями. Пусть в первом кристалле

генерируется состояние а во втором - состояние. Полуволновая

пластинка, помещенная в пучок накачки перед кристаллами, позволяет

С, с,

регулировать соотношение между действительными частями амплитуд и путем поворота ее на угол относительно вертикальной оси

Рис. 2.

Схема для приготовления произвольного поляризационного состояния кутрита без помощи интерферометра.

Относительная фаза £ между этими состояниями может меняться путем наклона двух кварцевых пластинок, вырезанных параллельно оптической оси. В

результате на выходе такой установки генерируется состояние которое в

результате на выходе такой установки генерируется состояние которое в

терминах X и £ принимает вид:

Для генерации произвольного состояния (1), необходимо к контролируемым

параметрам X и добавить еще два независимо и произвольно

контролируемых параметра. В их роли может выступать оптическая толщина и ориентация еще одной фазовой пластинки установленной в пучок бифотонов после кристаллов. Для этой цели удобно использовать ячейку Поккельса, в которой за счет электрооптического эффекта можно путем

приложения высокого напряжения плавно менять оптическую толщину 8 1 а, вращая ячейку в бифотонном пучке, можно изменять угол Таким образом, за счет независимого контроля за четырьмя параметрами, задающими состояние (1)

можно приготовить любое чистое произвольное состояние поляризационного кутрита. В данном параграфе также приведены параметры установки, позволяющие приготовить состояния, перечисленные в таблице 1.

Глава 2. Ортогональность поляризационных кутритов

Вторая глава посвящена экспериментальной демонстрации операционального критерия ортогональности для произвольных состояний бифотонов-кутритов. В основе вывода этого критерия лежит эффект антикорреляции, впервые наблюдавшийся Манделем при интерференции бифотонных полей.

В первом параграфе приведен краткий обзор литературных данных по вопросам, связанным с наблюдением эффекта антикорреляции для некоторых состояний бифотонов. В частности приведен обзор экспериментов Манделя с сотрудниками, которые впервые обнаружили этот эффект, с использованием кристалла с синхронизмом типа I, а также эксперимент группы Ши, в котором поляризационный аналог эффекта антикорреляции наблюдался для кристалла с синхронизмом типа II. Следует заметить, что в приведенных экспериментах для демонстрации поляризационного аналога эффекта антикорреляции использовались лишь состояния бифотонов со степенью поляризации р = 0 (кристалл типа И) или Р = 1 (кристалл типа I) Случай произвольного состояния ранее не исследовался.

Во втором параграфе на основе литературных данных приводится вывод операционального критерия ортогональности для произвольного поляризационного состояния кутрита. Показано, что условие ортогональности двух произвольных бифотонов приводит к отсутствию совпадений в поляризационной схеме Брауна-Твисса (см. рис. 16), когда схема «настроена» на один бифотон, а ортогональный ему подается на вход. Будем говорить, что схема

настроена на регистрацию бифотона в состоянии когда в

одном из каналов поляризационные преобразователи выставлены таким образом,

чтобы обеспечить максимальное пропускание фотона а в другом канале

- максимальное пропускание фотона ^ Iшс). Здесь я и Ь - операторы рождения фотонов в произвольных поляризационных модах Оказывается, что если на вход такой установки подать бифотон в произвольном состоянии

который ортогонален бифотону то скорость счета

совпадений упадет до уровня случайных совпадений. В этом и состоит возможность экспериментального подтверждения ортогональности поляризационных состояний кутритов.

В третьем параграфе второй главы обсуждаются эксперименты, подтверждающие выполнение критерия ортогональности для бифотонов-кутритов. Приготовительная часть установки аналогична изображенной на рис. 2. Единственным отличием является отсутствие ячейки Поккельса. В такой установке можно приготовить состояния вида (2). Степень поляризации таких состояний меняется от 0 до 1. Измерительная часть установки не претерпела изменений (рис 1б.) Для проверки критерия ортогональности в качестве

входного состояния было выбрано состояние со степенью поляризации

Р = 0.5 . Оно изображается на сфере Пуанкаре парой точек, расположенных под углами ±74.5° к оси V (рис. За).

фильтра О, (град)

(а) (б)

Рис 3

(а) Изображение ортогональных состояний на сфере Пуанкаре (б) Зависимость числа совпадений от угла вращения поляроида в одном из каналов схемы Брауна-Твисса Другой канал настроен на пропускание линейной поляризации под углом 45° к вертикали

Это так называемый случай планарной геометрии, когда ортогональные состояния лежат в одной плоскости

При экспериментальной реализации данного состояния фаза £ устанавливалась равной Я , а угол % был равен 15° Существует бесконечно

много бифотонов , ортогональных , однако если задать состояние

одной из «половинок» бифотона , то из условия ортогональности можно

однозначно определить состояние другой «половинки» В эксперименте один из фильтров в схеме Брауна-Твисса (рис 1б) был настроен на пропускание линейной поляризации под углом 45° к вертикали Расчет показывает, что для выполнения

условия ортогональности фильтр в другом плече должен

пропускать свет, поляризованный под углом 60° к вертикали Соответствующее

состояние изображено на рис 3 На рис 3б показана зависимость числа

совпадений от угла вращения поляроида в одном из плеч схемы Брауна-Твисса.

Как видно минимум совпадений наблюдается при ~ 60 , ^ро находится в соответствии с расчетом. Также в данном эксперименте был реализован случай

непланарной геметрии, когда бифотон был образован парой эллиптически

поляризованных фотонов. Полученные зависимости также указывают на выполнение критерия ортогональности.

Глава 3. Реализация протокола квантовой криптографии на трехуровневых системах.

В третьей главе рассматривается возможность экспериментальной реализации протокола квантовой криптографии, в котором в качестве носителя информации используются одномодовые бифотоны, а в качестве параметра, в котором записывается информация - поляризация бифотонного поля.

В первом параграфе приводятся обзор литературы, посвященный современному состоянию дел в квантовой криптографии. В первом пункте даются физические основы квантовой криптографии и перечисляются основные протоколы. Во втором пункте обсуждаются некоторые технические аспекты реализации протоколов квантовой криптографии. Особое внимание обращается на реализацию однофотонных источников света, квантовых каналов связи и детектирование одиночных фотонов. В третьем пункте обсуждаются эксперименты по реализации протоколов квантовой криптографии.

Во втором параграфе обсуждается возможность реализации протокола квантового распределения ключа с использованием трехуровневых поляризационных систем. В этом протоколе для кодирования информации используются 12 состояний, перечисленных в таблице 1. Как было показано в главе 1, разработанная методика позволяет приготовить эти состояния с большой точностью. В первом пункте главы предлагается построить станцию Алисы

(отправителя) на основе рассмотренной в §1 3 безинтерференционной схемы приготовления состояний Показано, что на данной стадии протокола возможно создание кутритов без потерь Во втором пункте с помощью критерия ортогональности демонстрируется ортогональность состояний, принадлежащих одному базису Степень поляризации состояний, принадлежащих разным базисам различна, и выполнение критерия ортогональности подтверждает его универсальность и применимость к вопросу об однозначной идентификации состояния из множества ему ортогональных Эксперимент проводился следующим образом Для каждого базиса бралось первое состояние, и рассчитывались параметры преобразователей измерительной схемы Брауна-Твисса для «настройки» схемы на данное состояние При этом в схеме Брауна-Твисса измеряется момент, четвертого порядка по полю, соответствующий данному положению преобразователей, который мы будем называть «ORT» Затем, в приготовительной части установки приготавливались два других состояния, принадлежащих этому базису и демонстрировалась их ортогональность исходному Варьируемым параметром в приготовительной

схеме служила фаза Результаты эксперимента для второго базиса приведены на рисунке 4 Кружками обведены те значения фазы, при которых генерируются состояния, ортогональные "настроечному" В качестве "настроечного" состояния

для этой зависимости выступает состояние Iа). Аналогичные зависимости

были получены и для оставшихся двух базисов Высокая видность полученных интерференционных зависимостей показывает выполнение критерия ортогональности для обсуждаемых состояний В третьем пункте на основе полученных результатов предлагается одна из возможных архитектур станции Боба (получателя) В ее основе лежит все та же измерительная схема Брауна-Твисса (рисунок 5)

Iß>

Рис.4.

Зависимость нормированного момента ORT от значения фазы ф.

12

Рис.5 Станция Боба

Выбор измерительного базиса осуществляется с помощью генератора случайных чисел, подающего команду, управляющую настройками преобразователей в схемах Брауна-Твисса Если Боб правильно угадал базис в котором Алиса кодировала состояние, то он получает достоверный результат - то же состояние, которое посылала Алиса Это условие выполняется, если существует преобразование, которое однозначно направляет полученное состояние в соответствующую измерительную схему. В случае поляризационных кутритов

существование такого преобразования не доказано, а устройства, которое его выполняет, не существует. Поэтому предлагается в качестве устройства, осуществляющего выбор состояния, использовать так называемый неполяризационный триггер. Триггер имеет три входа и три выхода; его действие аналогично действию неполяризационного светоделителя. В предлагаемой схеме используется лишь один вход. Если бифотонное состояние после триггера направляется в ту схему, которая на него настроена, то Боб может однозначно приписать срабатыванию схемы совпадений соответствующее значение трита. Обсудим теперь количество потерь на станции Боба. Первый источник потерь относится к неустранимым и вызван природой протокола. Он связан с вероятностью того, что Боб не угадает базис, в котором Алиса кодировала кутрит. Вносимые этим фактом потери составляют 75%. Все остальные потери связаны только с неидеальностями схемы. Второй источник потерь - это триггер. Вносимые им потери связаны с вероятностью того, что бифотонное состояние будет направлено в неправильную измерительную схему. Понятно, что вероятность данного исхода составляет 66% от общего числа бифотонов. Оставшиеся потери вносятся светоделителем в схеме Брауна-Твисса и составляют 50%. Таким образом, общее количество потерь на станции Боба составляет 98%, что, конечно, серьезно ограничивает данную схему при ее практическом применении. Однако, такое количество потерь может быть скомпенсировано за счет увеличения скорости передачи данных со станции Алисы и не является принципиальным для работы всего протокола в целом.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. Предложены и экспериментально реализованы методы, предоставляющие полный контроль над произвольным состоянием трехуровневой оптической квантовой системы. С помощью интерферометрической методики на основе поляризационного состояния одномодовых бифотонов, приготовлен новый класс состояний, который может быть использован в протоколе квантового распределения ключа на трехуровневых системах. Мера соответствия приготовленного состояния теоретическому составляет 98-99%. Предложен способ приготовления произвольного состояния без помощи интерферометра, что увеличивает стабильность приготавливаемых состояний.

2. Экспериментально верифицирован операциональный критерий ортогональности для поляризационных состояний трехуровневых систем. Полученные результаты свидетельствуют о возможности различения ортогональных состояний с вероятностью не хуже 95%.

3. Предложена и рассмотрена схема для экспериментальной реализации протокола квантового распределения ключа на поляризационных трехуровневых системах. Показано, что на этапе приготовления, состояния, используемые в протоколе, могут быть приготовлены без принципиальных потерь. На основе критерия ортогональности экспериментально продемонстрирована ортогональность состояний, принадлежащих одному базису. Проанализировано количество потерь на станции Боба.

ПУБЛИКАЦИИ

1А А Жуков Г А Масленников, М В Чехова Операциональное условие ортогональности одномодовых бифотонов-кутритов Письма в ЖЭТФ, 75 №10, с 696-700 (2002)

2 А В Бурлаков, Л А Кривицкий, С П Кулик, Г А Масленников, М В Чехова Измерение кутритов Оптика и Спектроскопия, 94, № 5, с 744-750 (2003)

3 М V Chekhova, G A Maslennikov, S P Kulik, A A Zhukov, Practical Realization of Quantum Cryptography Protocol Exploiting Polarization Encoding in Qutrits Journal of Optics B,5,530(2003)

4 M V Chekhova, L A Krivitsky, S P Kulik, and G A Maslennikov, Orthogonality ofBiphoton Polarization States, Phys Rev A, 70, 053801(2004)

5 Yu I Bogdanov, M V Chekhova S P Kulik, G A Maslennikov, A A Zhukov, С H Oh and M К Tey Qutnt State Engineering with Biphotons, Phys Rev Lett 93, 230503(2004)

6 Л А Кривицкий, С П Кулик, Г А Масленников, М В Чехова Поляризационные свойства одномодовых бифотонов Квантовая Электроника, 35, 1, с 69-79 (2005)

Типография ордена «Знак почета» издательства МГУ 117234, Москва, Ленинские горы Заказ № 82 Тираж 100экз

01.0 Y

740

Введение.

Глава 1. Приготовление кутритов в произвольном поляризационном состоянии.

§1.1 Поляризационные свойства одномодовых бифотонов (по литературе).

§1.2 Приготовление произвольного поляризационного состояния кутрита интерферометрическим методом. п.1.2.1. Экспериментальная установка. п. 1.2.2. Компенсация эффекта дисперсии групповых скоростей и калибровка установки. п.1.2.3. Процедура приготовления состояний. п. 1.2.4. Экспериментальные результаты и их обсуждение.

§1.3 Приготовление произвольного поляризационного состояния кутрита без помощи интерферометра.

Глава 2. Ортогональность поляризационных кутритов.

§2.1 Эффект антикорреляции в бифотонных полях (по литературе).

§2.2. Операциональный критерий ортогональности поляризационных кутритов (по литературе).

§2.3. Экспериментальная проверка критерия ортогональности.

Глава 3. Реализация протокола квантовой криптографии на поляризационных кутритах.

§3.1. Протоколы квантовой криптографии и их экспериментальная реализация (по литературе). п. 3.1.1 Физические основы квантовой криптографии и предложенные протоколы. п. 3.1.2. Технические аспекты экспериментальной реализации протоколов квантового распределения ключа. п. 3.1.3. Экспериментальная реализация протоколов квантового распределения ключа.

§3.2. Протокол квантовой криптографии для поляризационных кутритов. Схема реализации. п.3.2.1. Станция Алисы. п.3.2.2. Экспериментальное подтверждение ортогональности базисных состояний, используемых в протоколе. п.3.2.3. Станция Боба. Оценка количества ошибок.

Диссертационная работа посвящена экспериментальному приготовлению и исследованию свойств оптических трехуровневых квантовых систем, получаемых за счет эффекта интерференции одномодовых бифотонных полей.

Квантовая информация и квантовые вычисления являются на сегодняшний день одними из самых прогрессирующих областей современной науки. В основе квантовых вычислений лежит понятие кубита (от слов «quantum bit», «q-bit»). Кубит представляет собой когерентную суперпозицию двух базисных состояний (В.1).

У) = с,|0) + с2|1). (В.1)

Здесь коэффициенты с( - комплексные амплитуды, определяющие вероятность нахождения системы в одном из базисных состояний и удовлетворяющие условию нормировки. Физической реализацией кубита может служить чистое состояние любой двухуровневой системы. Возможность кубита находиться в континууме состояний, задаваемых с;, в отличие от классического бита, является основным свойством, которое и используется в квантовых алгоритмах. Конечно, следует отметить, что при проведении процедуры измерения над системой Ошибка! Источник ссылки не найден, в выбранном базисе, возможно, получить только состояние |о) с вероятностью |с,|2 или состояние |l) с вероятностью |с2|2. Можно заключить, что до проведения измерения, количество информации, «сокрытое» в кубите бесконечно, однако нам доступен из нее всего лишь один классический бит. Из свойства суперпозиции также вытекает возможность большей плотности записи информации. Так регистр, состоящий из 500 кубитов способен хранить 2500 комплексных чисел, т.е. больше чем число атомов в доступной нам Вселенной. На настоящий момент известно множество способов физической реализации кубитов и также большое число квантовых информационных протоколов, использующих кубиты в качестве носителей информации [1,2].

Среди множества физических реализаций кубитов особое место занимает использование свойств квантованного электромагнитного излучения (фотонов). Фотоны слабо взаимодействуют с окружением, сводя к минимуму эффекты декогерентизации, легко преобразуются с помощью оптических элементов. Именно на основе фотонов были реализованы протоколы квантового распределения ключа [3-6], квантовой телепортации [7-9] и плотной кодировки [10,11]. Уже созданы первые коммерчески доступные устройства, которые используют квантовые свойства света для распределения секретного ключа [12,13].

И с фундаментальной и с прикладной точек зрения интересен вопрос о расширении гильбертова пространства на случай многоуровневых систем и о тех новых возможностях, которые предоставляют нам многоуровневые системы в квантовой информации. В литературе такие системы получили названия кудитов (q-dits), где d - размерность гильбертова пространства. Вектор состояния кудита можно записать в следующем виде |4/) = cI|0) + c2|l) + .c,.|j) i = \.d (В.2)

Оказалось, что в ряде случаев использование квантовых многоуровневых систем как носителей информации имеет некоторые преимущества по сравнению с кубитами. Во-первых, использование кудитов в протоколе квантового распределения ключа повышает помехостойкость канала в случае определенного класса атак подслушивателя [14-18]. Во вторых, на основе многоуровневых систем уже предложены некоторые алгоритмы квантовых вычислений, которые невозможно выполнить с использованием кубитов [19,20]. В третьих, перепутанные многоуровневые системы показывают большее отклонение квантовой теории от классической при проверке неравенств Белла [21,22]. Данное свойство является фундаментальным свойством многоуровневых систем, а также может быть использовано в протоколах квантового распределения ключа. И, наконец, вопрос о генерации, преобразовании и измерении таких состояний представляет значительный интерес с экспериментальной точки зрения.

Наиболее простой системой после двухуровневой как с точки зрения теории, так и со стороны экспериментальной реализации, является трехуровневая. По аналогии с кубитом, такие системы получили название «кутриты» (q-trits). На настоящий момент известно несколько экспериментальных реализаций трехуровневых квантовых систем [19,22-24]. Все они пока реализованы на основе электромагнитного излучения. Однако ни один предложенный метод не обеспечивает полного контроля над генерируемым состоянием кутрита. Под полным контролем здесь понимается а) возможность приготовить квантовую систему в произвольном состоянии, б) возможность контролировать параметры системы в процессе передачи по каналу связи и в) возможность восстановления состояния системы по некоторому набору измерений (томография квантовых состояний).

Бифотонными полями называются поля, состоящие из пар коррелированных фотонов. Наиболее простым способом получения таких полей является использование эффекта спонтанного параметрического рассеяния (СПР) света [25,26]. При этом эффекте, имеющем место в средах без центра инверсии, происходит распад фотонов лазерной накачки на пары коррелированных фотонов, волновые вектора и частоты которых удовлетворяют условиям пространственного и частотного синхронизма. Пары фотонов, рождающиеся в процессе СПР, образуют так называемое перепутанное (entangled) состояние. По определению, двухчастичное состояние называется перепутанным, если его волновая функция не может быть факторизована на волновые функции каждой из подсистем l^uH^i)®!^) [27]. Свойства перепутанных состоянии лежат в основе многих протоколов квантовых вычислений. В данной работе свойство перепутанности фотонов, образующих бифотон, используется для построения трехуровневой системы на основе одномодовых бифотонов.

Одномодовые бифотонные поля образуются, когда пара родившихся в процессе СПР фотонов принадлежит одной пространственной и частотной моде. Как будет показано в дальнейшем, произвольное поляризационное состояние такого поля может быть разложено по трем базисным состояниям, то есть представляет собой трехуровневую систему. Выбор поляризации как параметра, в котором кодируется информация, является удобным с точки зрения эксперимента, так как преобразования над данным параметром можно осуществлять с помощью линейных оптических элементов (фазовые пластинки, анализаторы, и.т.д.).

Оказывается, что при реализации трехуровневых квантовых систем с помощью поляризационного состояния одномодовых бифотонов, можно ввести операциональный критерий ортогональности для таких систем. Свойство ортогональности определяется метрикой гильбертова пространства и является основополагающим для построения протоколов квантовой криптографии. Данный критерий, обеспечивающий возможность выделять состояние ортогональное данному, из множества других состояний может быть использован при построении устройства для квантового распределения ключа на поляризационных трехуровневых системах. Заметим, что на данный момент, ни в каких других реализациях многоуровневых систем вопрос об ортогональности не исследовался.

Актуальность работы, обусловлена фундаментальным интересом к проблемам, связанным с экспериментальным контролем над свойствами многоуровневых систем, исследованию их свойств и возможным применением данных систем в квантовых информационных протоколах.

Итак, сформулируем задачи диссертационной работы:

1. Приготовление оптических трехуровневых квантовых систем (кутритов) в произвольном состоянии за счет использования поляризационных свойств одномодовых бифотонов.

2. Экспериментальное исследование свойств поляризационных кутритов, верификация операционального критерия ортогональности для произвольных поляризационных состояний.

3. Исследование вопроса о возможности применимости поляризационных кутритов в практической реализации протокола квантового распределения ключа на данных системах.

Новизна диссертационной работы заключается в следующих положениях:

1. Экспериментально реализовано произвольное поляризационное состояние оптической квантовой трехуровневой системы. Полный контроль над состоянием осуществлялся с помощью линейных оптических элементов, что позволяет легко изменять параметры генерируемого состояния. Предложена и апробирована схема, в которой произвольное поляризационное состояние кутрита можно приготовить без помощи интерферометра, что позволяет увеличить качество и стабильность приготавливаемых состояний.

2. Экспериментально подтвержден операциональный критерий ортогональности для поляризационных кутритов в произвольном состоянии.

3. Предложена схема для реализации протокола квантового распределения ключа на поляризационных кутритах.

10

Проанализировано количество неустранимых потерь на станции получателя и применимость данных систем для практической реализации протокола. Практическая ценность диссертации состоит в возможном использовании полученных результатов в квантовой оптики и квантовой информации:

• при реализации протоколов квантового распределения ключа на многоуровневых системах

• при реализации протоколов квантовой информации с использованием многоуровневых систем.

Результаты работы прошли апробацию на семи международных конференциях по квантовой оптике и квантовой информатике:

Международной Школы для Молодых Ученых "(Эптика-2000 " (2000 г. Санкт-Петербург, Россия), International Conference on Quantum Optics, ICQO-2002 (2002 г. Минск, Беларусь), International Quantum Electronics Conference, IQEC-2002 (2002 г. Москва, Россия), ERATO Conference on Quantum Information Science EQIS-2004 (2004 г. Токио, Япония) и др.

Диссертационная работа состоит из трех глав, введения и заключения

В первой главе излагаются вопросы, связанные с приготовлением поляризационных кутритов в произвольном

11 состоянии. Дается литературный обзор, посвященный введению таких систем через поляризационные свойства одномодовых бифотонов. Описывается эксперимент по приготовлению поляризационных кутритов за счет интерференции бифотонов из трех нелинейно-оптических кристаллов с разными типами взаимодействия в схеме Маха-Цандера. Предложена схема в которой можно приготовить произвольное поляризационное состояние кутрита без помощи интерферометра.

Вторая глава посвящена экспериментальному подтверждению опреационального критерия ортогональности для поляризационных кутритов. В литературном обзоре к данной главе рассматриваются эксперименты по наблюдению эффекта антикорреляции и приводится вывод критерия ортогональности для произвольных поляризационных кутритов. Экспериментально демонстрируется ортогональность состояний.

Третья глава посвящена обзору вопросов связанных с квантовым распределением ключа на трехуровневых системах. В литературном обзоре приводятся сведения о физических основах и практической реализации основных протоколов квантовой криптографии. Рассматриваются экспериментальные трудности при реализации протоколов и обсуждаются методы их преодоления. В оригинальной части главы предлагается схема установки, в которой квантовое распределение ключа может быть реализовано при помощи

12 поляризационных кутритов. Проанализированы источники осровных технических потерь, которые определяются состоянием современных оптических технологий.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты диссертационной работы, представляющие собой суть выносимых на защиту положений.

Основные материалы диссертации опубликованы в следующих работах*:

М:1. А.А. Жуков, Г.А. Масленников, М.В. Чехова. Операциональное условие ортогональности одномодовых бифотонов-кутритов. Письма в ЖЭТФ, 75, №10, с.696-700 (2002). М:2. А.В. Бурлаков, JI.A. Кривицкий, С.П. Кулик, Г.А. Масленников, М.В. Чехова. Измерение кутритов. Оптика и Спектроскопия, 94, №.5, с.744-750 (2003). М:3. M.V.Chekhova, G.A.Maslennikov, S.P.Kulik, A.A.Zhukov, Practical Realization of Quantum Cryptography Protocol Exploiting Polarization Encoding in Qutrits. Journal of Optics B, 5, 530 (2003). M:4. M. V. Chekhova, L. A. Krivitsky, S. P. Kulik, and G.A.Maslennikov, Orthogonality of Biphoton Polarization States, Phys. Rev. A, 70, 053801(2004).

M:5. Yu.I. Bogdanov, M.V. Chekhova, S.P. Kulik, G.A. Maslennikov, A.A. Zhukov, C.H. Oh and M.K. Tey, Qutrit State Engineering with Biphotons, Phys. Rev. Lett. 93, 230503 (2004). M:6 JI.A. Кривицкий, С.П. Кулик, Г.А. Масленников, М.В. Чехова. Поляризационные свойства одномодовых бифотонов, Квантовая Электроника, 35, 1, с.69-79. (2005). В дальнейшем будут использоваться именно эти обозначения

Выводы к главе III.

В главе III, после обзора литературы рассмотрен вопрос о практической реализации протокола квантового распределения ключа, где в качестве переносчиков информации используются поляризационные трехуровневые системы.

1. Показано, что станция Алисы может быть построена без использования интерферометра для приготовления состояний и данные состояния могут быть приготовлены без потерь. Для построения станции Боба принципиальным моментом является подтверждение ортогональности состояний, принадлежащих одному базису.

2. Проведенная серия экспериментов показала, что с помощью операционального критерия ортогональности 12 состояний можно достоверно различить.

3. На основе данного эксперимента предложена схема для станции Боба. Проанализировано количество потерь, которые вносятся элементами данной станции.

Заключение.

В заключении сформулированы основные результаты данной работы.

1. Предложена и экспериментально реализована схема, предоставляющая полный контроль над произвольным состоянием трехуровневой оптической квантовой системы. С помощью интерферометрической методики на основе поляризационного состояния одномодовых бифотонов, приготовлен новый класс состояний, который может быть использован в протоколе квантового распределения ключа на трехуровневых системах. Мера соответствия приготовленного состояния теоретическому составляет 98-99%. Предложен способ приготовления произвольного состояния без помощи интерферометра, что увеличивает стабильность приготавливаемых состояний.

2. Экспериментально верифицирован операциональный критерий ортогональности для поляризационных состояний трехуровневых систем. Полученные результаты свидетельствуют о возможности различения ортогональных состояний с вероятностью не хуже 95%.

3. Предложена и рассмотрена схема для экспериментальной реализации протокола квантового распределения ключа на поляризационных трехуровневых системах. Показано, что на этапе приготовления, 12 состояний, используемые в протоколе, могут быть сгенерированы без принципиальных потерь. Доказано, что операциональный критерий ортогональности поляризационных кутритов позволяет эффективно различать состояния, принадлежащие одному базису. Проанализировано количество потерь на станции Боба.

В заключении я хотел бы выразить свою искреннюю признательность своему научному руководителю - Сергею Павловичу Кулику. Работать с Сергеем Павловичем всегда было увлекательно и интересно. Его высокий профессионализм и глубокое понимание физики всегда показывало уровень, к которому необходимо стремиться.

Я также глубоко благодарен всему коллективу лаборатории спонтанного параметрического рассеяния света, кафедры квантовой электроники, физфака МГУ. В первую очередь я благодарю Шефа лаборатории - Александра Николаевича Пенина. Я считаю, что только под влиянием такого человека как Александр Николаевич могла создаться та атмосфера доброжелательности и трудолюбия, которая так помогала все годы работы в лаборатории. Хочется поблагодарить всех сотрудников лаборатории - Марию Владимировну Чехову, Галию Хасановну Китаеву, Павла Андреевича Прудковского и Кирилла Андреевича Кузнецова. Также большое спасибо всем моим друзьям, аспирантам и студентам лаборатории: Леониду Кривицкому, Александру Жукову, Ольге Ивановой, Юлии Мамаевой, Виктории Тишковой, Александру Шурупову и Екатерине Моревой.

Отдельной строкой я благодарю замечательного мастера - Виталия Ивановича Соустина. Без работы этого человека не был бы возможен ни один эксперимент, проводимый в лаборатории. Хочется пожелать Виталию Ивановичу крепкого здоровья и счастья.

1. М.А. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge Univ. Press. (2002).

2. Д. Бауместер, А. Экерт, А. Цайлингер, Физика Квантовой Информации. М. Постмаркет. (2002).

3. С.Н. Bennett and G. Brassard, Quantum Cryptography. Public Key Distribution and Coin Tossing, in Proceedings of the IEEE international conference on Computers, Systems and Signal Processing, Bangalore, India (IEEE, New York, 1984), p. 175.

4. C.H. Bennett, F. Bessette, G. Brassard, L. Salvail and J. Smolin, Experimental Quantum Cryptography. Journal of Cryptology, 5, (1992).

5. A. Ekert, Quantum Cryptography based on Bell's Theorem. Phys. Rev. Lett., 67, p.661 (1992).

6. A. Ekert, J. Rarity, P. Tapster and G.M. Palma, Practical quantum cryptography based on two-photon interferometry. Phys. Rev. Lett., 69, p. 1293 (1992).

7. С. H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres, and W. K. Wootters, Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels. Phys. Rev. Lett., 70, p. 1895 (1993).

8. D. Bowmeester, J.-W. Pan, K. Mattle, M. Eible, H. Weinfurter and A. Zeilinger, Experimental Quantum Teleportation. Nature, 390, p. 575 (1997).

9. Y.H. Kim, S.P. Kulik, Y.H. Shih, Quantum Teleportation of a Polarization State with a Complete Bell State Measurement. Phys. Rev. Lett., 86, p. 1370 (2001).

10. С. H. Bennett and S. J. Wiesner, Communication via One- and Two-Particle Operators on Einstein-Podolsky-Rosen states. Phys. Rev. Lett., 69, p. 2881 (1992).

11. K. Mattle, H. Weinfurter, P. G. Kwiat, and A. Zeilinger, Dense Coding in Experimental Quantum Communication. Phys. Rev. Lett., 76, p. 4656 (1996).12. www.idquantique.com13. www.magiqtech.com

12. H. Bechmann-Pasquinucci, W. Tittel, Quantum Cryptography using Larger Alphabets. Phys. Rev. A 61, 062308 (2000 ).

13. H. Bechmann-Pasquinucci, A. Peres, Quantum Cryptography with 3-State Systems. Phys. Rev. Lett., 85, p. 3313 (2000).

14. N.J. Cerf, M. Bourennane, A. Karlsson and N. Gisin, Security of Quantum Key Distribution Using d-Level Systems. Phys. Rev. Lett., 88, 127902 (2002).

15. D. Bruss and C. Macchiavello, Optimal Eavesdropping in Cryptography with Three-Dimensional Quantum States. Phys. Rev. Lett., 88, 127901 (2002).

16. T. Durt, N. J. Cerf, N. Gisin and M. Zukowski, Security of quantum key distribution with entangled qutrits, Phys. Rev. A., 67, 012311 (2003).

17. R.W. Spekkens and T. Rudolph, Degrees of concealment and bindingness in quantum bit commitment protocols. Phys. Rev. A., 65, 012310 (2001).

18. N.K. Langford, R. Dalton, M. Harvey, J. O'Brien, G. Pryde, A. Gilchrist, S. Bartlett and A. White, Measuring Entangled Qutrits and Their Use for Quantum Bit Commitment. Phys. Rev. Lett., 93, 053601 (2004).

19. D. Collins, N. Gisin, N. Linden, S. Massar and S. Popescu, Bell Inequalities for Arbitrarily High-Dimensional Systems. Phys. Rev. Lett., 88, 040404 (2002).

20. R.T. Thew, A. Acin, H. Zbinden and N. Gisin, Entangled Qutrits and Bell's Inequality Violation. J. of Quantum Information and Computation, 4, 2, p. 93 (2004).

21. A. Vaziri, J.-W. Pan, T. Jennewein, G. Weihs and A. Zeilinger, Concentration of Higher Dimensional Entanglement: Qutrits of Photon Orbital Angular Momentum. Phys. Rev. Lett., 91, 227902 (2003).

22. J. C. Howell, A. Lamas-Linares, D. Bowmeester, Experimental Violation of a Spin-1 Bell Inequality Using Maximally Entangled Four-Photon States. Phys. Rev. Lett., 88, 030401 (2002).

23. Д.Н. Клышко, Когерентный распад фотонов в нелинейной среде. Письма в ЖЭТФ, 6, с. 490 (1967).

24. Д.Н. Клышко, Фотоны и нелинейная оптика. М. Наука, 1980.

25. Е. Shrodinger, Die Gegeneartige Situation in der Quantenmechanic.

26. Naturwisseenshaften 23, 807, 823, 844 (1935) The Present Situation in

27. Quantum Mechanics: A Translation of Shrodinger's "Cat Paradox" Paper.

28. Translated by D.Trimmer) Proc of the American Physical Society, 124, 323 (1980), Современное состояние квантовой механики. Перевод на русский язык Успехи Химии 5, 390-442 (1936).

29. А.В. Бурлаков, Д.Н. Клышко, Поляризованные бифотоны как оптические кварки. Письма в ЖЭТФ, 69, с. 795 (1999).

30. А.В. Бурлаков, М. В. Чехова, Поляризационная оптика бифотонов, Письма в ЖЭТФ, 75, с. 505 (2002).

31. R.T. Thew, К. Nemoto, A.G. White and W.J. Munro, Qudit Quantum State Tomography. Phys.Rev.A., 66, 012303 (2002).

32. Д.Н. Клышко, Поляризация света: эффекты четвертого порядка и поляризационно-сжатые состояния. ЖЭТФ, 111, вып.6, стр. 1955, (1997).

33. Twiss R.Q, Little A.G., Brown R.H., Correlation between photons in coherent beams of light, detected by a coincidence counting technique. Nature, 180, pp. 324-326 (1957).

34. Jl.A. Кривицкий, С.П. Кулик, A.H. Пенин, M.B. Чехова, Бифотоны как трехуровневые системы. Преобразование и измерение. ЖЭТФ, 124, 4(10), с. 1-13 (2003).

35. Ю.И. Богданов, Л.А. Кривицкий, С. П. Кулик, Статистическое восстановление квантовых состояний оптических трехуровневых систем. Письма в ЖЭТФ, 78, 6, с. 51 (2003).

36. Yu.I. Bogdanov, M.V. Chekhova, L.A. Krivitsky, S.P. Kulik, C.H. Oh, M.K. Tey and A.A. Zhukov, Statistical Reconstruction of Qutrits. Phys. Rev. A., 70,063850(2004).

37. Ю.И. Богданов, Основные понятия классической и квантовой статистики, корневой подход. Оптика и Спектроскопия, 96, 5, с. 735 (2004).

38. Ю.И. Богданов, Основная задача статистического анализа данных: корневой подход. М., МИЭТ (2002).

39. Fisher R.A, On mathematical foundations of theoretical statistics // Phil. Trans. Roy. Soc. (London). Ser. A., V222., p. 309-369. (1922).

40. A.V. Burlakov, M.V. Chekhova, O.A. Karabutova, D.N. Klyshko and S.P. Kulik, Polarization State of a Biphoton: Quantum Ternary Logic. Phys. Rev. A, 60, pp. 4209-4212(1999).

41. Y.H. Kim, M.V. Chekhova, S.P. Kulik, M. H. Rubin and Y.H. Shih, Interferometric Bell-state preparation using femtosecond-pulse-pumped spontaneous parametric down-conversion. Phys. Rev. A., 63, 062301 (2001).

42. Y. H. Kim, V. Berardi, M.V. Chekhova, Y. II. Shih, Anticorrelation effect in femtosecond pulse pumped type II SPDC. Phys. Rev. A., 64, 011801 (2001).

43. D.F.V. James, P. Kwiat, W. Munro and A. White, Measurement of Qubits. Phys. Rev. A., 64, 052312 (2001).

44. У. Шерклифф, Поляризованный свет. M.: Мир, 1965.

45. С.К. Hong, Z.Y. Ou and L. Mandel, Measurement of Subpicosecond Time Intervals Between Two Photons by Interference. Phys. Rev. Lett., 59, p. 2004 (1987).

46. A. V. Belinsky and D. N. Klyshko, Two-Photon Wave Packets, Laser Physics, 4, 4, p. 663 (1994).

47. M.B. Чехова. Докторская диссертация.

48. Д.Н. Клышко, Квантовая оптика: квантовые классические и метафизические аспекты. УФН, 164, с. 1187 (1994).

49. Y. Н. Shih and A. Sergienko, A Two-Photon Interference Experiment with type II SPDC. Phys. Lett. A., 191, p. 201 (1994).

50. D.V. Strekalov, T.B. Pittman, A.V. Sergienko, Y.H. Shih, and P.G. Kwiat, Postselection Free Energy-Time Entanglement. Phys.Rev.A., 54, :R1-R4, (1996).

51. T.B. Pittman, D.V. Strekalov, A. Migdall, M.H. Rubin, A.V. Sergienko, and Y.H. Shih, Can Two-Photon Interference be Considered Interference of Two Photons? Phys.Rev.Lett., 77, p. 1917-1920, (1996).

52. Y-H Kim, S. P. Kulik, M.V. Chekhova, W. P. Grice, and Y. Shih, Experimental Entanglement Violation and Universal Bell-State Synthesizer. Phys. Rev. A., 67, 010301 (2003).

53. C.E. Shannon, Communication Theory in Secrecy Systems. Bell System Technical Journal. 28, p. 656 (1949).

54. G. Vernam, Cipher printing telegraph systems for secret wire and radio telegraphic communications, J. Am. Institute of Electrical Engineers Vol. XLV, p. 109-115. (1926).

55. Diffie, W. and Hellman M.E., New directions in cryptography, IEEE Trans, on Information Theory, 22, pp 644-654 (1976).

56. Rivest, R.L., Shamir A. and Adleman L.M., A Method of Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems, Communications of the ACM, 21, p. 120-126. (1978).

57. Shor, P.W., Algoritms for quantum computation: discrete logarithms and factoring, Proceedings of the 35th Symposium on Foundations of Computer Science, Los Alamitos, edited by Shafi Goldwasser (IEEE Computer Society Press), p. 124-134. (1994).

58. Wooters, W. K. and Zurek, W.H., A single quanta cannot be cloned, Nature, 299, p. 802-803. 1982

59. H. Bechmann-Pasquinucci, and N. Gisin, , Incoherent and Coherent Eavesdropping in the 6-state Protocol of Quantum Cryptography, Phys. Rev. A. 59,4238-4248, (1999).

60. Bennett Ch.H., G. Brassard and J.-M. Robert, Privacy amplification by public discussion. SIAM J. Сотр. 17, p. 210-229 (1988).

61. C.H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau and U. Maurer, Generalized Privacy Amplification. IEEE Trans. Inf. Th.,41, p. 1915-1923 (1995).

62. J.S. Bell, On the Einstein-Podolsky-Rozen Paradox. Physics 1, 195-200 (1964).

63. J.F.Clauser, M.A. Home, A. Shimony, and R.A. Holt, Proposed experiment to test local hidden variable theories, Phys. Rev. Lett., 23, p. 880-884 (1969).

64. Bennett, Ch.H., Quantum cryptography using any two nonorthogonal states. Phys. Rev. Lett., 68, p. 3121-3124 (1992).

65. Ivanovic, I.D., How to differentiate between non-orthogonal states. Phys. Lett. A, 123, p. 257-259 (1987).

66. Peres, A., How to differentiate between two non-orthogonal states. Phys. Lett. A., 128, p.19 (1988)

67. Huttner, В., J.D. Gautier, A. Muller H. Zbinden, and N. Gisin, Unambiguous quantum measurement of non-orthogonal states. Phys. Rev. A., 54, p. 3783-3789(1996).

68. N. Lutkenhaus, Security against Individual Attacks in Realistic Quantum Key Distribution. Phys.Rev.A., 61, 052304 (2000).

69. Д.Н. Клышко, Об использовании двухфотонного света для абсолютной калибровки фотодетекторов. Квантовая Электроника, 7, стр. 1932-1940 (1980).

70. J.G.Rarity, P.R.Tapster, and E.Jakeman, Observation of sub-poissonian light in parametric downconversion. Optics Communications, 62, 201 (1987).

71. Ch. Kurtsiefer, S. Mayer, P. Zarda, and H. Weinfurter, Stable Solid-State -Source of Single Photons. Phys. Rev. Lett., 85, p. 290-293 (2000).

72. P. Grangier, Experimental Open Air Quantum Key Distribution with a Single-Photon Source. arXiv, quant-ph/0402110.

73. Imamoglu, A., and Y. Yamamoto, Turnstile Device for Heralded Single Photons : Coulomb Blockade of Electron and Hole Tunneling in Quantum Confined p-i-n Heterojunctions. Phys. Rev. Lett. 72, p. 210-213 (1994).

74. Santori, С., M. Pelton, G. Solomon, Y. Dale, and Y. Yamamoto, Triggered single photons from a quantum dot. (Stanford University, Palo Alto, California) (2000).4

75. R.G.W. Brown, K.D. Ridley, and J. Rarity, Characterization of Silicon Avalanche Photodiodes for Photon Correlation Measurements. 1. Passive Quenching. Applied Optics, 25, p. 4122-4126 (1986).

76. R.G.W. Brown, R. Jones, and J. Rarity, Characterization of Silicon Avalanche Photodiodes for Photon Correlation Measurements. 2. Active Quenching. Applied Optics, 26, p. 2383-2389 (1987).

77. G.Ribordy, J.D. Gautier, H. Zbinden and N. Gisin, Performance of InGaAs/InP avalanche photodiodes as gated-mode photon counters. Applied Optics 37, (12), p. 2272-2277, (1998).

78. D. Stucki, G. Ribordy, A. Stefanov, H. Zbinden, Photon counting for quantum key distribution with Peltier cooled InGaAs/InP APD's. Journal of Modern Optics, 48, (2001).

79. M. Fiorentino, P.L. Voss, J.E. Sharping and P. Kumar, All-Fiber Photon Pair Source for Quantum Communications. IEEE Photonics Tech. Lett., 14, 7, p. 983-985. (2002).

80. Muller, A., J. Breguet and N. Gisin, Experimental demonstration of quantum cryptography using polarized photons in optical fiber over more

81. J than 1 km. Europhysics Lett, 23, p. 383-388 (1993).

82. Muller, A., H. Zbinden and N. Gisin, Underwater quantum coding. Nature, 78, p. 449-449 (1995).

83. A. Poppe, A. Fedrizzi, T. Loruenser, O. Maurhardt, R. Ursin, H. R. Boehm, M. Peev, M. Suda, C. Kurtsiefer, H. Weinfiirter, T. Jennewein, A. Zeilinger,

84. Practical Quantum Key Distribution with Polarization-Entangled Photons. arXiv. Quant-ph/0404115.

85. C. Kurtsiefer, P. Zarda, M. Haider, H. Weinfurter, P. M. Gorman, P. R. Tapster, J. G. Rarity, Quantum cryptography: A step towards global key distribution. Nature, 419, p. 450 (2002).

86. D. Naik, C. Peterson, A. White, A. J. Berglund, and P.G. Kwiat, Entangled State Quantum Cryptography. Eavesdropping on the Ekert Protocol. Phys. Rev. Lett., 84, 20, pp. 4729-4732 (2000).

87. T. Jennewein, C.Simon, G. Weihs, H. Weinfurter and A. Zeilinger, Quantum Cryptography with Entangled Photons. Phys. Rev. Lett., 84, 20, pp. 4733-4736 (2000)

88. Muller, A., T. Herzog, B. Huttner, W. Tittel, H. Zbinden, and N. Gisin, Plug and play systems for quantum cryptography, Applied Phys. Lett., 70, p.793-795. (1997).

89. D Stucki, N Gisin, О Guinnard, G Ribordy and H Zbinden, Quantum key distribution over 67 km with a plug&play system. New Journal of Physics, 4, p. 41.1-41.8 (2002).

90. W. Tittel, J. Brendel, H. Zbinden and N. Gisin, Quantum Cryptography using entangled photons in energy-time Bell states. Phys.Rev.Lett., 84, 20, pp. 4737-4740 (2000).

91. С. H. Молотков, Простая схема квантовой криптографии на задержках на базе оптоволоконного интерферометра Маха-Цандера. Письма в ЖЭТФ, 78, 3, стр. 194-200 (2003).

92. С. Н. Молотков, Мультиплексная квантовая криптографии с временным кодированием без интерферометров. Письма в ЖЭТФ, 79, 9, стр. 554-559 (2004).

93. Т. Debuisschert, and W. Boucher, Time Coding Protocols for Quantum Key Distribution. Phys. Rev. A, 70, 042306 (2004).

94. T. Kimura, Y. Nambu, T. Hatanaka, A. Tomita, H. Kosaka, K. Nakamura, Single-photon interference over 150-km transmission using silica-based integrated-optic interferometers for quantum cryptography. Jpn. J. Appl. Phys. 43, 9, pp.L1217 L1219 (2004).

95. Y. Nambu, T. Hatanaka, K. Nakamura, BB84 Quantum Key Distribution System based on Silica-Based Planar Lightwave Circuits. Jpn. J. Appl. Phys. 43, 8, pp.Ll 109 LI 110 (2004).

96. N. Gisin, G. Ribordy, H. Zbinden, D. Stucki, N. Brunner and V. Scarani, Towards Practical and Fast Quantum Cryptography. arXiv:quant-ph/0411022.

97. P.G. Kwiat, K. Mattle, H. Weinfurter, A. Zeilinger, A.V. Sergienko, and Y.H. Shih, New High-Intensity Source of Polarization-Entangled Photon Pairs. Phys. Rev. Lett., 75, 4337 (1995).