Поляризация вакуума и рождение нейтрино в искривленном пространстве-времени тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Рождение нейтрино в метрике Казнера

1.1. Безмассовое спинорное поле в однородном анизотропном'пространстве

1.2. Квантование и корпускулярная интерпретация поля в аксиально симметричной метрике

I типа по Бланки.

1.3. Тензор энергии-импульса спинорного поля в метрике Казнера

1.4. Анализ расходимостей. Плотность энергии и давление рождающейся материи.

Глава 2. Рождение безмассовых фермионов в метрике

I типа по Бианки общего вида.

2.1. Уравнение Вейля в метрике I типа по Бианки.

2.2. Плотность числа рождающихся частиц в анизотропном гравитационном поле.

2.3. Тензор энергии-импульса спинорного поля.

Глава 3. Квантовые эффекты безмассового спинорного поля в космологической модели "перемешанного мира".

3.1. Космологическая модель "перемешанного мира".

3.2. Уравнения Вейля в метрике IX типа по Бианки

3.3. Квантовый распад вакуума и рождение безмассовых фермионов в замкнутом анизотропном пространстве.

ЭЛ. ТЭИ безмассового спинорного поля в модели "перемешанного мира"

3.5. Устранение инфракрасных расходимостей и конформная аномалия

Теория квантовых эффектов в интенсивных гравитационных полях становится в последнее время все более актуальной. Благодаря упорному труду многих исследователей в течение двух последних десятилетии, эта теория в настоящее время является доста -точно развитой и позволяет решать целый ряд интересных задач квантовой теории поля, имеющих непосредственное приложение в физике элементарных частиц и космологии. Все многообразие существующих проблем нашло достаточно полное отражение в ряде крупных работ / 1-3 /, а также в тезисах 9-й и 10-й Международных / 4,5 / и 5-й, б-й Всесоюзных конференций по теории относительности и гравитации / 6,7 /.

В настоящее время общепринятой считается точка зрения, согласно которой теория квантовых эффектов во внешнем классическом гравитационном поле является приближением к теории, объединяющей все известные виды взаимодействия вплоть до так называемой планковской эпохи / 8 /, характеризуемой кривизной порядка

I066 см"2, временем10"^ с и плотностью материи ppL^I0 г/см . При указанных значениях кривизны, времени и плотности необходим, по-видимому, учет квантовых свойств пространства и времени и, следовательно, нужна единая теория сильных, электромагнитных, слабых и гравитационных взаимодействий. Однако в большинстве задач космологии и астрофизики метод фонового поля является вполне приемлемым для описания физической реальности.

Поскольку важнейшими из квантовых эффектов в искривленном пространстве-времени (ПВ) являются рождение частиц и поляризация вакуума, то основным объектом исследования теории является классический тензор энергии-импульса (ТЭИ), определяемый как среднее от соответствующего операторного выражения по некоторому состоянию. В качестве последнего, как правило, берется определенным образом выбранное вакуумное состояние - основное со -стояние гамильтониана квантованного поля, поскольку именно на его примере лучше всего видно отличие от теории в плоском ПВ.

В отличие от ПВ Минковского, в котором вакуум может быть определен единственным образом во всем ПВ, в искривленном ПВ эта однозначность в выборе отсутствует / 12 /. В космологических задачах трудность определения вакуумного состояния связана, как известно / 2 /, с нестатичностью метрики космологических моделей, которая приводит к перемешиванию частотных частей решений соответствующих уравнений поля, что в корпускулярной интерпретации описывается как рождение частиц / 9,10 /. В работе / II / был предложен метод диагонализации гамильтониана квантованного поля во внешнем гравитационном поле преобразованиями Боголюбова в любой момент времени. Этот метод позволяет определить физический вакуум системы как состояние, уничтожаемое соответствующими операторами частиц и античастиц, в терминах которых в данный момент времени гамильтониан диагонален.

Применение метода диагонализации гамильтониана к различным квантовым полям во внешних электрическом и гравитационном полях позволило получить целый ряд очень важных результатов, которые в полной мере приведены в / 2 /. В настоящей работе этот метод используется для расчета квантовых эффектов безмассового спинор-ного поля в анизотропных космологических моделях.

Другая трудность связана с устранением ультрафиолетовых (УФ) расходимостей в вакуумных средних ТЭИ, поскольку последние являются билинейными функциями по операторам соответствующего квантованного поля. Исследование характера расходимостей показало, что при больших импульсах вакуумные средние ТЭЙ<о1Т^1о>~ где Ли- параметр УФ обрезания. В настоящее время существует несколько различных методов регул5физации, эффективное применение которых зависит от конкретной задачи. Ниже мы будем использовать метод ln-волновой регуляризации, предложенный в / 13 /. Этот метод является модификацией метода Паули-Вил-ларса / 14 / и применим к гравитационным полям любой интенсивности. При этом, однако, необходимо знать полную систему решений уравнения квантуемого поля в данной метрике, поиск которой в искривленном ПВ представляет собой далеко не тривиальную задачу.

Строгое теоретико-полевое обоснование метод la -волновой регуляризации получил в работах / 16,17 /, в которых на примере массивного спинорного поля показано, что вычитание первых двух слагаемых в этом методе эквивалентно перенормировке космологической и гравитационной постоянных в затравочном лагранжиане.

Наиболее полно и тщательно разработанной в настоящее время является теория квантованных полей в космологических моделях Фридмана.

Рождение конформно-инвариантных частиц с vm = О (скалярное с конформной связью, нейтрино, фотоны) в метрике Фридмана вообще не происходит. Это связано, как известно / 9 /. с тем, что метрика Фридмана является конформно плоской, т.е. ^, где Cj w - метрика ПВ Минковского. Уравнение для безмассовых полей при таком преобразовании метрики сохраняет свой вид, если произвести замену ^ = ^ф , S- спин частицы. ТЭИ при этом преобразуется какТ^ Д^ТТ» но гамильтониан поля U= f|T0 не изменяется, поскольку d'^fj'' Инвариантность гамильтониана (Н= Н ) означает инвариантность вакуума, определяемого как основное состояние Н при конформных преобразованиях, что и означает отсутствие рождения безмассовых частиц в конформно-плоских ПВ.

Этой особенностью фридмановских моделей объясняется и низкий темп рождения массивных частиц, поскольку при приближении к сингулярности 1 и происходит асимптотическое отключение процесса рождения вещества. Существенное влияние на фоновую метрику может оказывать только поляризация вакуума, которая ведет себя как f/fc* при -Ь о / 19 /.

Следующим шагом в развитии квантовой теории поля в искривленном ПВ является отказ от изотропии космологического расширения на ранних стадиях эволюции Вселенной и изучение анизотропных однородных фоновых метрик. Интерес к анизотропным моделям обусловлен в первую очередь целым рядом работ Е.М.Лившица и сотрудников (обзор и подробные ссылки см. / 20 / ), в которых показано, что общее решение уравнений Эйнштейна при приближении к сингулярности оказывается анизотропным и соответствует моделям I или IX типа по классификации Бианки. Эти типы метрик асимптотически соответствуют плоской и закрытой моделям Фридмана. Поэтому наибольший интерес представляет построение квантовой теории поля именно в анизотропных однородных пространствах I и IX типа.

Необходимо подчеркнуть, что современная наблюдаемая высокая степень изотропии реликтового излучения 4 10 ) не исключает возможности анизотропного расширения Вселенной вплоть

3 б до момента рекомбинации водорода (Z>10 , -Ь < 10 лет) / 8 /. Учет возможного влияния анизотропии на химический состав наблюдаемой Вселенной несколько улучшает эту оценку. Современная точка зрения сводится к тому, что наблюдения не противоречат существованию сильно анизотропного расширения Вселенной вплоть до i- I сек. В настоящее время большое внимание как в теоретическом, так и в экспериментальном плане уделяется поиску наблюдаемых последствий возможного анизотропного расширения (в первую очередь радиоастрономическими методами).

Известные классические механизмы недостаточно эффективны, чтобы обеспечить изотропизацию в достаточно сжатые сроки / 8, 22 /. Поэтому в работе / 21 / впервые была высказана гипотеза о том, что ранняя изотропизация космологического расширения есть результат обратного влияния квантовых эффектов рождения частиц на фоновую анизотропную метрику. Эта гипотеза вызвала усиленный интерес к построению квантовой теории поля в анизотропных метриках. В работах / 13,24-30,60,61 / рассматривались различные вопросы, связанные с квантованием массивного скалярного поля в анизотропных метриках I и IX типов. Основной вывод этих работ состоит в том, что темп рождения скалярных частиц-v ^ДН^СУ™^) при 4:-»0, т.е. существенно выше, чем в изотропных моделях. Расчет обратного влияния рождающихся частиц на метрику I типа / 23,24,33-36 / показал быструю изотропизацию космологического расширения, тем самым подтвердив гипотезу Я.Б.Зельдовича / 21 /.

Квантовая теория массивных спинорного и векторного полей в анизотропных метриках столкнулась со значительными трудностями. Впервые массивное спинорное поле в метрике I типа было рассмотрено в / 37 /, в которой получено общековариантное уравнение Дирака. Однако сложность этого уравнения не позволяет пока достигнуть дальнейшего прогресса в построении массивной квантовой теории спинорного поля.

В то же время, поскольку анизотропные метрики не являются конформно-плоскими, то в них можно с самого начала изучать ненулевые квантовые эффекты безмассовых частиц. Уравнения поля для безмассовых частиц упрощаются и позволяют найти точное решение. Квантовая теория фотонов в метрике I типа построена в / 38 /, теория спинорного поля в метриках I и DC типов - в работах / I08-II3 /. Расчеты, выполненные в этих работах, подтвердили высокий темп рождения безмассовых частиц вблизи анизотропной сингулярности.

Необходимо отметить, что в отличие от изотропных метрик, в анизотропных пространствах в принципе нельзя однозначно разделить эффекты рождения частиц и поляризацию вакуума квантованного поля / 13,24 /, поскольку ТЭЙ содержит все типы расходимос-тей:Лы+ Ли + Анизотропное расширение приводит также к новым, отсутствующим в изотропных моделях, квантовым эффектам, связанным с перестройкой вакуумного состояния скалярного и спинорного полей / 39,40,113 /, а также к эффектам линешой поляризации фотонов / 38 /.

Из сказанного выше следует, что исследование квантовых эффектов безмассовых полей, в том числе и спинорного, в анизотропных метриках представляет собой важную и интересную теоретико-полевую задачу, решение которой будет способствовать и созданию теории массивных квантовых полей в анизотропном пространстве-времени.

Интерес к теории нейтрино во Вселенной в то же время непрерывно "подогревается" современными достижениями теоретической астрофизики, физики элементарных частиц и наблюдательной астрономии. По мнению многих авторов, роль нейтрино может быть определяющей для всей эволюции Вселенной / 8,41,42 /. Сообщение об экспериментах, указывающих на наличие у нейтрино ненулевой массы покоя / 43,44 /, лежащей в пределах 14 эв<т0<46 эв, с наиболее вероятным значением 30+2 эв, вызвало необходимость пересмотра целого ряда проблем космологии / 45-47 /. В первую очередь это касается вопроса о средней плотности вещества во Вселенной. Расчеты показывают / 45 /, что если vyv*I0 эв, то именно нейтрино (при плотности числа частиц каждого сорта кь

-Зч

150 см ; определяют среднюю плотность вещества во Вселенной и ее возраст. Причем, если т„>20 эв, то плотность вещества превышает критическую, и ПВ должно описываться космологической моделью закрытого типа. Достаточно полный обзор современного состояния вопроса об учете массы нейтрино в космологии можно найти в работах / 42,48-51 /, мы же вынуждены остановиться лишь на проблемах, непосредственно касающихся данной диссертационной работы.

Первоначально, до открытия несохранения четности в слабом взаимодействии, считалось, что хотя нейтрино и имеет массу покоя, строго равную нулю,тем не менее существуют оба спиральных состояния нейтрино: левое и правое . Соответственно и у антинейтрино. Однако лабораторные исследования по распаду К-ме-зонов привели к выводу об отсутствии правых нейтрино (\)eR ) и левых антинейтрино (v'eu )» поскольку они никак не проявили себя в эксперименте. Теория двухкомпонентного безмассового спинорно-го поля, как известно, хорошо описывает такую ситуацию. Если же тФ 0, то состояния нейтрино с положительной и антинейтрино с отрицательной спиральноетью должны существовать, поскольку в этом случае теория нейтрино аналогична теории электрона. Чтобы не было противоречия, необходимо предположить, что во всех изучаемых в лабораториях процессах OeR и \)eL не участвуют / 42 /. Это, по-видимому, означает, что константа слабого взаимодействия с правыми токами значительно меньше константы взаимодействия с левыми - Оценка на величину gwa/gwi, ^ исходя из космологических соображений, была получена в / 50 /.

Для построения квантовой теории спинорного поля в искривленном ПВ необходимо учитывать все возможные состояния спина частицы, т.е. и состояния, описывающие правые нейтрино и левые антинейтрино. Во-первых, этого требует формальный математический аппарат построения полной ортонормированной системы решений уравнения Дирака с те о. Во-вторых, отбрасывание состояний v>eR и vU , как показано во второй главе, приводит к появлению в вакуумных средних ТЭЙ расходимостей типа Ли+ Ли, которые не могут быть интерпретированы в терминах перенормировок физических постоянных в исходном лагранжиане. В то же время учет всех возможных спиральных состояний приводит к взаимному уничтожению указанных расходимостей в конечном выражении для ТЭИ. В определенной мере это можно считать подтверждением необходимости существования правых нейтрино и, следовательно, отличной от нуля массы покоя нейтрино.

Необходимо сразу же подчеркнуть, что наличие малой (да и вообще) массы у нейтрино не может оказать влияние на динамику развития Вселенной в самом начале расширения. Согласно современным представлениям горячая плазма Вселенной становится прозрач

ТА ной для левых нейтрино при температуре Т= 3 Мэв (Т= 10 К). Возраст Вселенной при этом составляет i = 0,01 сек / 50 /.Вследствие более слабого взаимодействия с веществом, правые нейтрино "отключаются" еще раньше, при значительно более высокой температуре и в более ранние моменты времени. Рождение частиц в космологии идет наиболее эффективно на частотах co-vt'V 2 /, поэтому процесс рождения имеет существенное значение лишь при достаточно малых ~Ь . При этом рожденные частицы являются ультрарелятивистскими. Ясно, что при таких условиях массой нейтрино ^30 эв можно пренебречь в достаточно большом промежутке времени от начала расширения. Поэтому во всех вычислениях в последующих трех главах мы полагаем и будем говорить о построении теории безмассового спинорного поля в анизотропном ПВ, при этом не вступая в конфликт с замечанием / 50 /, что "масса нейтрино крайне желательна в космологии".

В связи с вопросом о массе нейтрино в квантовой теории поля необходимо обратить внимание также на следующее. В работах / 52-54 / была построена теория, в которой первоначальное фер-мионное поле характеризуется нулевой массой, а конечная масса фермионной частицы возникает вследствие спонтанного нарушения симметрии в предположении о у5-неинвариантности физического вакуума / 55 /. Для искривленного ПВ такой механизм появления массы фермионов был разработан в / 59 /. Сильно анизотропное гравитационное поле, как показано в главе 3, приводит к перестройке вакуума безмассового спинорного поля таким образом, что у него появляется отличное от нуля значение спиральности. В безмассовой теории это соответствует лептонному или барионному заряду вакуума. Следовательно, нарушение }(5 -инвариантности физического вакуумного состояния, как этого требует теория /52-54/» достигается за счет влияния сильного анизотропного гравитационного поля. Рождаясь изначально безмассовыми, фермионы могли бы приобретать массу в результате фазового перехода, вызванного спонтанным нарушением симметрии.

В работах / 40,56,57 / впервые обсуждался механизм преимущественного рождения нейтрино по сравнению с антинейтрино, т.е. процесс рождения с несохранением лептонного заряда в анизотропном ПВ. В ультрарелятивистском пределе описанный механизм может быть применен для объяснения не только лептонной / 50 /, но и барионной асимметрии Вселенной. Нелишне напомнить, что в теориях Великого объединения исходные массы барионов полагаются равными нулю. Космологическая модель "перемешанного мира" в таком случае может дать естественный механизм нарушения закона сохранения барионного числа и послужить ещэ одним примером необходимости учета гравитационных эффектов в физике элементарных частиц.

В последнее время интерес астрофизиков к массивному нейтрино обусловлен возможностью объяснения крупномасштабной структуры Вселенной теорией "нейтринных блинов" / 62 /. Согласно этой теории галактики и скопления галактик концентрируются на поверхностях и линиях, образуя ячеисто-сетчатую структуру. Причем вначале образуются "нейтринные блины", которые собирают и притягивают к себе обычное вещество / 46,47 /. Для объяснения наблвда-емой структуры Вселенной в масштабах 100-200 мегапарсек нейтрино должны обладать массой порядка нескольких десятков электрон-вольт. Подробное изложение вопроса и ссылки можно найти в / 48, 49 /.

Одним из главных вопросов такой теории является вопрос о причинах возникновения начального спектра адиабатических возмущений плотности вещества Вселенной на стадии изотропного фрид-мановского расширения. В принципе начальные возмущения плотности нейтрино могут быть объяснены квантовыми эффектами рождения нейтрино в анизотропной метрике. Распределение импульсов рожденных частиц в этом случае по направлениям 1файне анизотропно и может быть полностью подавлено вдоль определенных направлений или плоскостей в пространстве / 108,110 /. Если анизотропная стадия расширения Вселенной длится вплоть до момента "разъеди нения" нейтрино и вещества Ц в 0,01 с), что не противоречит наблюдениям, то указанная анизотропия нейтринных потоков сохранится и на более поздних стадиях и может дать толчок к развитию гравитационной неустойчивости и образованию "нейтринных блинов". Этот механизм, однако, требует значительно более детального и тщательного осмысления и изучения.

В связи с вышеизложенным хочется высказать мнение, что теория квантовых эффектов фермионного поля во внешнем анизотропном гравитационном поле может иметь непосредственное приложение к задачам теоретической астрофизики, физике элементарных частиц, космологии и наблюдательной астрономии. Поэтому представляет значительный интерес дальнейшее развитие теории безмассового спинорного поля с учетом эффекта спонного нарушения симметрии в анизотропных метриках, создание теории массивного спинорного поля, расчет спектра рождающихся частиц и решение целого ряда других проблем с целью их дальнейшего использования для описания роздения и эволюции Вселенной.

Целью диссертационной работы является:

1. Изучение рождения безмассовых спинорных частиц и поляризации вакуума в анизотропной космологической модели I типа по Бианки.

2. Изучение квантовых эффектов безмассового спинорного поля в космологической модели "перемешанного мира".

Содержание работы

В главе I изучается взаимодействие квантованного безмассового спинорного поля с классическим гравитационным полем, описываемым метрикой I типа по Бианки. Рассматривается осесиммет-ричный случай со степенной зависимостью метрических коэффициентов от времени. Выбор показателей степени соответствует космологической модели Казнера.

В разделе I.I производится построение решений уравнений Дирака с 0. Для этого используется математический аппарат построения общековариантного уравнения Дирака, описанный в /64/-Этот аппарат неоднократно использовался для описания фермионно-го поля как в статических ПВ / 65-67 /, так и в космологических моделях (для фридмановских моделей см., например, / 68,69 / ). Показано, что использование конформных свойств безмассового спи-норного поля в аксиально симметричной метрике позволяет свести решение уравнения Дирака к решению уравнения второго порядка для функции, зависящей только от времени. Доказана полнота и ортогональность полученной системы решений. При этом в соответствии со сказанным выше рассматриваются оба возможных состояния спиральности нейтрино и антинейтрино. Отметим, что уравнение второго порядка для временной части решения получается аналогичным задаче о рождении фермионов в пространственно однородном переменном электрическом поле / 70,71 /, если произвести замену векторного потенциала электрического поля определенной комбинацией метрических коэффициентов.

В разделе 1.2 построены операторы вторично квантованного безмассового спинорного поля, установлены коммутационные соотношения между операторами рождения и уничтожения. Вакуумное состояние определено в момент задания начальных условий, которые фиксируют положительно и отрицательно частотные решения. Метрический гамильтониан спинорного поля строится стандартным образом / 2 /. Корпускулщшая интерпретация дана на основе метода диа-гонализации мгновенного гамильтониана преобразованиями Боголюбова / 72 /. Решения уравнения Дирака выражены через коэффициенты боголюбовского преобразования, найдена система уравнений первого порядка для и ^р(^) и эквивалентная ей система для функций Sp(£), t^pC1?), введенных согласно / 13 /.

Используя методику работы / 73 /, получена система интегральных уравнений Вольтерра, которая впоследствии используется для анализа асимптотического поведения указанных функций.

Проводится интерпретация эффекта рождения с точки зрения спиновых свойств частиц. Для этого вычислен оператор спирально-сти безмассового спинорного поля, введенный согласно / 55 /, и показано, что матричные элементы этого оператора в вакуумных и одночастичных состояниях не изменяются во времени, т.е. спираль-ность поля не изменяется в процессе рождения. Приведено общее выражение для плотности числа частиц. Анализ последнего показывает, что в спектре рожденных частиц наблюдается анизотропия по направлению импульса, т.е. рождающиеся пары безмассовых фермио-нов не могут иметь импульсы, направленные вдоль оси симметрии модели или лежащие в плоскости, перпендикулярной этой оси.

В разделе 1.3 проводится расчет вакуумных средних метрического ТЭИ спинорного поля в метрике Казнера. Стандартное выражение для классического ТЭИ спинорного поля в искривленном ПВ приведено в / 2 /. Вычислены вакуумные средние ТЭИ по начальному и физическому вакуумам. Нормальное упорядочение оператора ТЭИ определяется согласно / 15 /. Вакуумные средние нормально упорядоченного ТЭИ выражены через введенные в разделе 1.2 функции SpC^), (ЛрС^), ^ Показано, что аксиальная симметрия метрики обусловливает отсутствие недиагональных членов в ТЭИ. Доказана консервативность и бесследовость вакуумных средних нормально упорядоченного ТЭИ.

В разделе 1Л исследовано асимптотическое поведение функций Sp(>2), Ыр(^) иЯХрС^) в метрике Казнера. Показано, что в этом случае уравнение для временной части биспиноров не содержит сингулярных при 0 коэффициентов и начальные условия для уравнений Дирака могут быть наложены в сингулярности = 0). Показано, что асимптотическое поведение функций , »

ТТрМпри больших импульсах приводит к УФ расходимостям в ТЭИ вида Лц + ьиЛи, характерным для квантовой теории поля в искривленном ПВ. На нижнем пределе интегрирования расходимости в вакуумных средних нормально упорядоченного ТЭИ отсутствуют.

Устранение ультрафиолетовых расходимостей в ТЭИ осуществляется методом h-волновой регуляризации / 13 /. Расчет плотности энергии, давления рожденных частиц и поляризации вакуума показывает, что темп рождения безмассовых фермионов вблизи сингулярности для общего случая степенной зависимости метрики от времени, что существенно выше темпа рождения массивных частиц в изотропных метриках / 2 /. В то же время для метрики Казнера (вакуумное решение уравнений Эйнштейна) темп рождения падает и соответствует темпу рождения во фридмановских моделях, т.е.

Аналогичный результат для рождения фотонов получен в 38 /.

Показано, что процедура устранения УФ расходимостей вносит в ТЭИ отсутствующую до перенормировки инфракрасную (Ж) расходимость. Устранение последней осуществляется введением обрезания А: , которое связывается с существованием горизонта видимости во Вселенной / I /. След ТЭИ после регуляризации остается равннм нулю.

Во 2 главе рассмотрено квантование безмассового спинорного поля и рождение частиц в метрике I типа по Бианки общего вида. Поскольку все метрические коэффициенты считаются различными функциями времени, то использование конформной инвариантности уравнений Дирака cms Ои методики, развитой в главе I, не дает желаемых результатов. Поэтому решение поставленной задачи ищется путем анализа уравнений Вейля для спиноров.

В разделе 2.1 излагается формализм получения уравнений Вейля путем использования дополнительных условий на биспиноры, известной из квантовой электродинамики / 14 /. Однородность пространства позволяет разделить переменные и получить систему дифференциальных уравнений первого порядка для временных частей спиноров. Построена полная ортонормированная система решений и получен ряд соотношений, связывающий положительно и отрицательно частотные решения.

В разделе 2.2 выполнено квантование безмассового спинорного поля в метрике первого типа по схеме, описанной в разделе 1.2. Построен гамильтониан поля и проведена его диагонализация преобразованиями Боголюбова. В отличие от аксиально симметричного случая метрики I типа, коэффициенты этого преобразования оказываются зависящими от спинового индекса. Корпускулярная интерпретация теории дана на основе анализа оператора мгновенного гамильтониана и оператора спиральности спинорного поля.

Получено разложение оператора поля по операторам рождения и уничтожения физических частиц, использование которого позволяет получить выражение для плотности числа частиц. Анализ последнего показывает, что рождение пар происходит с сохранением спиральности, учет спиновых состояний приводит к удвоению результата для n(-t) .

В разделе 2.3 проводится расчет вакуумных средних метрического ТЭИ спинорного поля в метрике I типа по Бианки. Показано, что в отличие от аксиально симметричного случая этой метрики, вакуумные средние нормально упорядоченного ТЭИ имеют недиагональные пространственные компоненты. Поскольку последние зависят только от временной координата, то они не приводят ни к каким новым макроскопическим эффектам по сравнению с ранее изученными. Учет влияния этих членов возможен только через гравитацию, путем подстановки вакуумных средних в правую часть уравнений Эйнштейна / 2 /. Компоненты нормально упорядоченного ТЭИ представлены через функции 6p^(4r) , , введенные во втором разделе. В отличие от первой главы, ТЭИ выражается через все три функции.

Исследовано асимптотическое поведение функций , UP>c , 1Грг и показано, что на нижнем пределе интегрирования расходимости в вакуумных средних нормально упорядоченного ТЭИ отсутствуют. УФ асимптотики функций имеют принципиальное отличие от результатов, полученных в первой главе. Показано, что асимптотическое разложение этих функций в ряд по обратным степеням со содержит слагаемые, которые в вакуумных средних ТЭИ для определенного спинового состояния приводят к дополнительным расходимос-тям, пропорциональным Ац + Лц , которые, как известно / I /, в принципе не могут быть устранены перенормировкой констант в затравочном лагранжиане. Расчет показал, что эти расходимости входят в ТЭИ для разных спинов с разными знаками, поэтому учет обоих спиновых состояний приводит к взаимному сокращению указанных членов и результирующий ТЭИ на верхнем пределе интегрирования расходится как Лц+^иАд. Устранение оставшихся расходимостей проведено методом Зельдовича-Старобинского / 13 /. Обсуждаются отличия от результатов раздела 1.4.

Сделана оценка на плотность энергии и давление рожденных частиц и поляризации вакуума для степенной зависимости метрики от времени. Указано на появление ИК расходимости. Доказана консервативность и бесследовость полученного регуляризоваиного тензора энергии-импульса (РТЭИ).

В главе 3 изучаются квантовые эффекты безмассового спинор-ного поля в метрике IX типа по Бианки. Впервые эта метрика начала изучаться в работах / 20,75 / и независимо в / 31,32 /, в которых в основном интересовались асимптотическими свойствами компонент пространственной метрики и траекторией световых лучей при сжатии Вселенной к точке. В / 21 / был рассмотрен вопрос об изотропизации модели в ходе космологического расширения. Наиболее полно и последовательно метрика IX типа была изучена в работах / 77,78 /. С точки зрения исследования квантовых эффектов интерес к метрике этого типа связан с работами / 40,56,57,76 /, в которых показано существование так называемой "спектральной асимметрии", т.е. систематического сдвига уровней энергии квантованного поля (спинорного и электромагнитного) под действием внешнего гравитационного поля. В статическом поле черной дыры этот эффект обсуждался в / 80,104 /. В анизотропной метрике IX типа сдвиг уровней энергии для безмассового спинорного поля может быть достаточно большим, что приводит к рождению четного / 40,56 / или нечетного / 57 / числа нейтрино, а не пар нейтрино-антинейтрино. Нашей задачей является построение последовательной вторично квантованной теории безмассового спинорного поля в метрике IX типа по Бианки.

В разделе 3.1 дано краткое описание космологической модели "перемешанного мира" и ее особенностей. Приведены вакуумные уравнения Эйнштейна, описана эволюция модели и показано, что отрицательная пространственная кривизна трехмерной гиперповерхнозЛ сти R играет роль некоторой "положительной потенциальной энергии", которая делает пространство похожим на упругое твердое тело / 77 /. Выписаны необходимые в дальнейшем формулы и соотношения, относящиеся к аксиально симметричному случаю метрики Л типа.

В разделе 3.2 развивается формализм построения общековари-антиого уравнения Дирака с m = 0. Неголономность базиса генераторов метрики приводит к появлению в уравнении дополнительных по сравнению с метрикой I типа слагаемых. Получены уравнения Вейля и показана их тождественность / 76 /. Получена система уравнений для временных частей биспиноров. В статической области решения полученных уравнений совпадают с / 56 /. Определены положительно и отрицательно частотные решения, исследованы их свойства и построена полная ортонормированная система уравнений Дирака с m «= 0 в метрике IX типа. Приведена сводка формул суммирования биспиноров.

В разделе 3.3 проведено квантование безмассового спинорного поля. В отличие от работ / 40,56 /, начальное разложение оператора поля по операторам рождения и уничтожения частиц производится стандартным для квантовой теории поля образом / 14,81 /. Каноническими преобразованиями оператор гамильтона приведен к диагональному виду, причем значения квазичастот вычислены непосредственно. Произведено разложение оператора поля по операторам рождения и уничтожения физических частиц. Показано, что норк мально упорядоченный оператор : HO^): тем не менее не является положительно определенным, как того требует квантовая теория поля. л

Для достижения положительной определенности для низших мод выполнены так называемые "сильные" преобразования Боголюбова / 82,83 /, которые соответствуют выбору в канонических преобразованиях равными нулю. С корпускулярной точки зрения это означает замену всех частиц на античастицы и наоборот. Показано, что после проведения такого преобразования гамильтониан становится положительно определенным, а разложение оператора поля приобретает вид, предложенный в / 56 /.

Построен оператор спиральности спинорного поля и показано, что вакуумное значение этого оператора в начальном состоянии отлично от нуля. Этот результат интерпретируется по аналогии с теорией сверхкритического электрического поля. Как известно (обзор см./ 84 /), в неоднородном электрическом поле ядра с порядковым номером ~z > 170 происходит перестройка вакуумного состояния фермионного поля таким образом, что у него появляется отрицательный электрический заряд. Величина заряда зависит от величины внешнего электрического поля, т.е. от 2 / 2 /. Если предположить, что электрическое поле может уменьшаться со временем, то это приводит к распаду заряженного вакуума на нейтральный и электроны. Методом диагонализации гамильтониана эти результаты получены в работах / 85,86,105 /. Детальные расчеты проведены в / 106 /. Вакуумное состояние в такой теории имеет, как минимум, заряд 2е и потому С - неинвариантно / 87 /.

Аналогичная ситуация, с нашей точки зрения, возникает и в анизотропной метрике IX типа. Под действием сильно анизотропного гравитационного поля вакуумное состояние безмассового спинорного поля перестраивается таким образом, что у него появляется отличный от нуля положительный фермионный заряд (отрицательная спиральность). Под фермионным зарядом в рассматриваемом нами ультрарелятивистском пределе можно понимать как барионный, так и лептонный заряд. Рождение безмассовых фермионов, таким образом, интерпретируется как распад в процессе эволюции заряженного вакуума на нейтральный и пару частиц с отрицательной спираль-ностью. Показано, что одновременно идут два процесса: рождение пар частиц за счет распада начального заряженного вакуума и рождение пар, вызванное анизотропным космологическим расширением и аналогичное рассмотренному в предыдущих главах. За счет распада вакуума рождается конечное число частиц, плотность же числа пар во втором процессе бесконечна.

В разделе 3.4 построен ТЭИ спинорного поля в метрике IX типа. В соответствии с полученным в разделе 3.3 разложением оператора поля и предложенной интерпретацией физических процессов ТЭИ представлен в виде двух слагаемых ff^1 t4-) /W I ^v

-I С-г.) V первое из которых описывает поляризацию заряженного вакуума, плотность энергии и давление рожденных в результате его распада частиц, а второе - плотность энергии, давление пар, рожденных в результате космологического расширения. Показано, что второе слагаемое в ТЭИ может быть представлено в виде, полностью аналогичном выражениям первой главы. Вакуумные средние ТЭИ содержат расходимости только ц, первая из которых устраняется нормальным упорядочением / 15 /, а остальные - процедурой -волновой регуляризации / 13 / по аналогии с аксиально симметричной метрикой I типа. Поскольку метрика IX типа описывает пространство закрытого типа, то в выражениях для ТЭИ появляются характерные топологические добавки / 15,88,89 /.

Вакуумные средние "T^Iv конечны, что соответствует конечности числа рожденных в результате распада начального вакуума частиц. Выражения для вакуумных средних НГ^1* вычислены в предположении о большой начальной анизотропии модели.

Так же, как и в предыдущих двух главах, РТЭИ получается консервативным и бесследовым.

В разделе 3.5 кратко рассмотрен вопрос о конформной аномалии в ТЭИ безмассовых полей в искривленном пространстве-времени и проблема устранения инфракрасных расходимостей, вносимых в ТЭИ процедурой регуляризации. В настоящее время считается общепризнанным, что все известные процедуры регуляризации ТЭИ массивных полей в искривленном ПВ в безмассовом пределе приводят к конформной аномалии. Обзор литературы по этому вопросу можно найти в / 2,3 /. Однако в работе / 90 / по размерной регуляризации впервые, насколько нам известно, была высказана мысль о том, что в изначально безмассовой квантовой теории поля в искривленном ПВ конформная аномалия не возникает, что и было продемонстрировано на примере скалярного поля. На принципиальную возможность регуляризации без конформной аномалии было указано в работах / 91-93 /. В работе / 94 /, основываясь на изучении математических свойств функции Адамара, предложена процедура "нормального упорядочения".» которая по определению приводит к бесследовости перенормированных вакуумных средних ТЭИ.

В настоящей работе показано, что в изначально безмассовой теории спинорного поля в анизотропном ПВ конформная аномалия не возникает, т.е. вакуумные средние ТЭИ остаются бесследовыми как до, так и после процедуры регуляризации. Последняя, однако, вносит в РТЭИ отсутствующую в начальных выражениях нормально упорядоченного ТЭИ инфракрасную расходимость. В настоящее время не существует однозначного, достаточно физически обоснованного способа введения параметра Ж обрезания А^ . Мы, следуя / I Довязываем возможность введения такого обрезания с существованием горизонта видимости во Вселенной.

В приложении найден явный вид асимптотического разложения функций £Р , Up, 1Гр в ряд по обратным степеням U). В приложении А рассмотрен аксиально симметричный случай метрики I типа. Показано, что в этом случае асимптотический вид решений функций , Ц,ТГр соответствует формулам (13.109) книги 2. Вычислены интегралы, входящие в вакуумные средние тензора энергии-импульса спинорного поля, и их конкретные значения для метрики Казнера. В приложении В рассмотрен общий случай метрики I типа. В отличие от предыдущего случая асимптотическое разложение функций £>р , , 1Гр содержит все члены ряда по обратным степеням <jO. Показано, что появляющиеся вследствие этого дополнительные кубическая и линейная расходимости в тензоре энергии-импульса спинорного поля исчезают при учете обоих спиновых состояний поля.

Список использованной литературы включает 113 наименований.

Основные положения, выносящиеся на защиту.

1. Методика анализа общековариантного уравнения Дирака с УП= 0 в однородных анизотропных метриках I и IX типов по Бианки.

2. Методика и результаты квантования, корпускулярная интерпретация, расчет плотности рождающихся частиц и ТЭИ безмассового спинорного поля в метрике I типа по Бианки. Вывод об анизотропии в распределении импульсов рождающихся нейтрино по направлениям.

3. Результаты расчета ТЭИ спинорных частиц в общем и аксиально симметричном случае метрики I типа. Вывод об отсутствии рождения безмассовых фермионов, распространяющихся вдоль оси симметрии и в плоскости, перпендикулярной этой оси в аксиально симметричном случае метрики. Вывод о необходимости учета обоих спиновых состояний безмассового спинорного поля для построения перенормируемой теории; вывод о соответствии темпа рождения спи-норных частиц темпу рождения скалярных частиц и фотонов, основанный на точном расчете плотности энергии и давления спинор-ной материи вблизи космологической сингулярности.

4. Методика и результаты построения квантовой теории безмассового спинорного поля в космологической модели "перемешанного мира". Вывод о перестройке вакуумного состояния под действием внешнего анизотропного гравитационного поля, в результате которой у вакуума появляется отличное от нуля значение спираль-ности; вывод о распаде "заряженного" вакуума в процессе эволюции космологической модели на пары фермионов с отрицательной спиральностью; вывод о возможности использования последнего процесса для объяснения наблюдаемой "барионной асимметрии" Вселенной.

5. Методика и результаты расчета ТЭИ безмассового спинорного поля в метрике IX типа с учетом особенности квантовых эффектов в этой модели. Вывод о возможности представления ТЭИ в виде суммы вкладов от эффекта квантового распада "заряженного" вакуума и рождения частиц, поляризации вакуума в процессе анизотропного космологического расширения. Результаты расчета этих вкладов.

Результаты работы докладывались на П Всесоюзном рабочем совещании по проблемам теории гравитации (октябрь 1982 г., г.Киев), на сессии отделения ядерной физики АН СССР (январь 1984 г.), на 6-ой Всесоюзной конференции "Современные теоретические И экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации" (июль 1984 г.), на гравитационном семинаре Всесоюзного научно-исследовательского центра по изучению свойств поверхности и вакуума (г.Москва), на семинарах кафедр теоретической физики Ленинградского института точной механики и оптики, Ленинградского политехнического института, Днепропетровского государственного университета, на ленинградском гравитационном семинаре ОШЭИ).

Основное содержание диссертации опубликовано в работах: / 108, 109, ПО, III, 112, ИЗ /.

В работе использована система единиц, в которой С = I. Знак тензора кривизны соответствует книге / 2 /.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучение квантовых эффектов безмассового спинорного поля в анизотропных однородных пространствах I и IX типов по Бианки является важной составной частью большой работы, проводимой в настоящее время по развитию квантовой теории поля в искривленном ПВ.

Как видно из сказанного выше, отказ от изотропии космологического расширения Вселенной на ранних стадиях эволюции приводит к резкому увеличению темпа рождения вещества, что позволяет вновь вернуться к отвергнутой было гипотезе о возможности объяснения появления вещества во Вселенной квантовыми эффектами рождения частиц. Кроме того, анизотропия ПВ приводит к новым интересным квантовым эффектам, необходимость дальнейшего подробного изучения которых очевидна.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору А.А.ГРИБУ за руководство работой.

1. De Witt B.S. Quantum field theory in curved space-time.-Phys. Reports, 1975, v. 19C, N 6, p.295-357.

2. Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостапенко В.М. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях. М.: Атомиздат, 1980.

3. Birrel H.D., Davies P.C.W. Quantum fields in curved space.-Cambridge: Cambridge University press, 1982.

4. Abstracts of contributed papers of 9th International conference of General Relativity and Gravitation, v. 1-3, Iena, GDR, 1980.

5. Contributed papers of 10th International conference of General Relativity and Gravitation, v. 1 2, Padova, Italy, 1983.

6. Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительностии гравитации". 5-ая Советская гравитационная конференция, июнь 1981, М.: МГУ, 1981.

7. Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительностии гравитации". 6-ая Советская гравитационная конференция, июль 1984, М.: МГПИ, 1984.

8. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной. М.: Наука, 1975.

9. Parker L. Quantized fields and particle creation in expanding Universe.- Phys.Rev., 1969, v.183, H 5, p.1057-1068; Phys. Rev.P., 1971, v. 3, N. 2, p.346-356.

10. Parker L. Particle creation in isotropic cosmologies.- Phys. Rev. Lett., 1972, v. 28, К 11, p.705-708.

11. Гриб А.А., Мамаев С.Г. К теории поля в пространстве Фридмана. -Ядерная физика, 1969, т. 10, вып.б, с.1276-1281.

12. Fulling S.A* Alternativ vacuum states in static space-times with horizons.- J»Phys»As Math, and Gener., 1977» v« 10, И 6, p.917-951.

13. Зельдович Я.Б., Старобинский А.А. Рождение частиц и поляризация вакуума в анизотропном гравитационном поле. Журнал эксперим.и теорет.физики, 1971, т.61, вып.6(12), с.2161-2175.

14. Боголюбов Н.Н., Ширков М.Д. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1976.

15. Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М., Старобинский А.А. Рождение частиц из вакуума вблизи однородной изотропной сингулярности. -Журнал эксперим.и теорет.физики,1976,т.70,вып.5,с.1577-1591.

16. Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Перенормировка гравитационной постоянной и рождение фермионов нестационарным гравитационным полем. Ядерная физика,1978,т.28,вып.б(12),с.1640-1653.

17. Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. О перенормировках при расчете вакуумных квантовых эффектов в гравитационном поле. Ядерная физика, 1983, т.37, вып.5, с.1323-1329.

18. Нестерук А.В. Квантовые эффекты скалярных конформно-неинвариантных частиц в пространстве-времени Фридмана. Ядерная физика, 1983, т.38, вып.1(7), с.271-276.

19. Зельдович Я.Б., Теория вакуума, быть может, решает загадку космологии. Успехи физ.наук, 1981,т.133,вып.3,с.479-503.

20. Белинский Б.А., Лифшиц Е.М., Халатников И.М. Колебательный режим приближения к особой точке в релятивистской космологии. Успехи физ.наук, 1970, т.102, вып.З, с.463-500.

21. Зельдович Я.Б. Рождение частиц в космологии. Письма в журнал эксперим.и теорет.физики, 1970, т.12, вып.9, с.443-447.

22. Гуревич Л.Э., Чернин А.Д. Введение в космогонию. М.: Наука, 1978.

23. Дорошкевич А.Г., Лукаш В.Н., Новиков И.Д. Изотропизация'однородных космологических моделей. Журнал эксперим.и теорет. физики, 1973, т.64, вып.5, с.1457-1474.

24. Зельдович Я.Б., Лукаш В.Н., Старобинский А.А. Рождение частиц в гравитационных полях и их влияние на космологическое расширение. Институт приклад.матем.АН СССР. Препринт № 23, М., 1974. - 40 с.

25. Fulling S.A., Parker L., Ни B.L. Conformal energy-momentum tensor In curved spacetime: Adiabatic regularization.- Phys. Rev.D., 1974, v. 10, H 12, p.3905-3924.

26. Berger B.K. Quantum cosmology: Exact solution for Gowdy Яг model.- Phys. Rev* D., 1975, v. 11, К 10, p. 2770 -2780.

27. Berger B.K. Scalar particle creation in an anisotropic universe. Phys. Rev. D., 1975, v. 12, 3J 2, p. 368 -375.

28. Ни B.L. Scalar waves in tlie mixmaster universe. 1. The Helmholtz equation in a fixed background. Phys. Rev. D., 1973, v. 8, H 4, p. 1048-1060.

29. MLsner C.W. The isotropy of the universe. The astroph. journal, 1968, v. 151, P* 431 - 457.

30. Misner C.W. ItLxmaster universe. Phys. Rev. Lett., 1969, v* 22, Я 20, p. 1071 - 1074.-^*Hu B.L., Parker L. Anisotropy damping through quantum effects in the early universe* Phys. Rev. D., 1978, v. 17, N 4,p. 933-945»

31. Fischetti M.V., Hartle J.B., Hu B.L. Quantum effects in the early universe* I* Influence of trace anomalies on homogeneous, isotropic, classical geometries. Phys. Rev. D., 1979, v. 20, H 8, p. 1757 - 1771#

32. Hartle J.B., Hu B.L. Quantum effects in the early universe.1.. Effective action for scalar field in homogeneous cosmologies with small anisotropy. Phys. Rev. B., 1979, v. 20,1. U 8, p. 1772 1782.

33. Hartle J.B., Hu B.L. Quantum effects in the early universe.

34. I. Dissipation of anisotropy Ъу scalar particle production.- Phys. Rev. D., 1980, v. 21, H 10, p. 2756 2769.

35. Фролов B.M. Спинорное поле в нестационарной анизотропной метрике. В кн.: Тезисы докладов 5-ой Советской гравитационной конференции. - М.: МГУ, 1981, с.197.

36. Гриб А.А., Нестерук А.В. Рождение частиц и тензор энергии-импульса фотонов в анизотропном пространстве-времени. -Ядерная физика, 1983, т.38, вып.5(П), е.1357-1366.

37. Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Сверхтекучесть вакуума вблизи анизотропной сингулярности: новый фазовый переход. Письма в журнал эксперим.и теорет.физики, 1980,т.32, вып.2, с.143-146.

38. Gibbons G.W. Spectral asymmetry and quantum field theory in curved spacetime. Ann. Phys., 1980, v. 125, p. 98 - 116.

39. Уилер Дж. Гравитация, нейтрино и Вселенная. М.: Иностр. лит., 1962.

40. Зельдович Я.Б., Хлопов М.Ю. Масса нейтрино в физике элементарных частиц и космологии ранней Вселенной. Успехи физ. наук, 1981, т.135, вып.1, с.45-78.

41. Козик B.C., Любимов В.А., Новиков Е.Г., Нозик В.З., Третьяков Е.Ф. Об оценке массы \)е по спектру J> -распада трития в валине. Ядерная физика, 1980, т.32, вып.1, с.301-303.

42. Любимов В.А., Новиков Е.Г., Нозик В.З., Третьяков Е.Ф., Козик B.C., Мясоедов Н.Ф. Оценка массы покоя нейтрино из измерений ^-спектра трития. Журнал эксперим.и теорет.физики, 1981, т.81, вып.4(10), с.II58-II8I.

43. Зельдович Я.Б., Сюняев Р.А. Астрономические следствия массы покоя нейтрино.I. Вселенная. Письма в Астрон.журнал, 1980, т.6, № 8, с.451-456.

44. Дорошкевич А.Г., Зельдович Я.Б., Сюняев Р.А., Хлопов М.Ю. Астрономические следствия массы покоя нейтрино. II. Спектр возмущений плотности и флуктуации ми1фоволнового фона. -Письма в Астрон.журнал, 1980, т.6, № 8, с.457-464.

45. Дорошкевич А.Г., Зельдович Я.Б., Сюняев Р.А., Хлопов М.Ю. Астрономические следствия массы покоя нейтрино. III. Нелинейная стадия развития возмущений и скрытая масса. Письмав Астрон.журнал, 1980, т.6, № 8, с.465-469.

46. Шандарин С.Ф., Дорошкевич А.Г., Зельдович Я.Б. Крупномасштабная структура Вселенной. Успехи физ.наук, 1983, т.139, вып.1, с.83-134.

47. Зельдович Я.Б. Структура Вселенной. Итоги науки и техники "Астрономия", 1983, М.: ВИНИТИ, т.22, с.4-32.

48. Долгов А.Д., Зельдович Я.Б. Космология и элементарные частицы. Успехи физ.наук, 1980, т.130, вып.4, с.559-614.

49. Frampton Р.Н., Vogel P. Massive neutrinos, Phys. Reports, 1982, v. 82, U 6, p. 339 - 388.

50. Efamby Y., Jona Lasinio G. Dynamic model of elementary particles based on an analogy with superconductivity. - Phys. Rev., 1961, v. 122, H 1, p. 345 - 358.

51. Бакс В.Г., Ларкин А.И. 0 применении методов теории сверхпроводимости к вопросу о массах элементарных частиц. Журнал эксперим.и теорет.физики, 196I, т.40, вып.1, с.282-285.

52. Eguchi Т., Sugawara Н. Extended model of elementary particles based on an analogy with superconductivity. Phys. Rev. D.,1974, v. 10, N 12, p. 4257 4262.

53. Гриб А.А. Проблема неинвариантности вакуума в квантовой теории поля. М.: Атомиздат, 1978.

54. Gibbons G.W. Cosmological fermion number nonconservation.

55. Phys. Lett. В., 1979, v. 84, Ж 4, p. 431 434.

56. Gibbons G.W., Richer J. Gravitational creation of odd numbers of fermions. Phys. Lett. В., 1980, v. 89, П 3, 4,p. 338 340.

57. Пономарев B.H., Пронин П.И. Рождение безмассовых скалярных частиц полем кручения. Кзв.вузов. Физика, 1978, № 9,с.105-109.

58. Гриб А.А. Феномен Хиггса без хиггсовских мезонов. Изв. вузов. Физика, 1981, № 9, с.129-130.

59. Верешков Г.М., Гришкан Ю.С., Иванов С.Б., Нестеренко В.А., Полтавцев А.Н. Рождение частиц и поляризация вакуума в анизотропной Вселенной. Докл.АН СССР, 1976, т.231, вып.З,с.578-581.

60. Верешков Г.М., Гришкан Ю.С., Иванов С.В., Нестеренко В.А.,

61. Полтавцев А.Н. Квантовые гравитационные эффекты в анизотропной Вселенной. Журнал эксперим.и теорет.физики, 1977, т.73, вып.б(12), с.1985-2007.

62. Зельдович Я.Б., Каждая Я.М. Гравитационное сжатие сферического облака. Астрофизика, 1970, т.6, вып.1, с.109-122.

63. Лукаш В.Н. Рождение звуковых волн в изотропной Вселенной. -Институт космич.исслед.АН СССР. Препринт № 559, М., 1980, 24 с.

64. Brill D.R., Wheeler J*A. Interaction of neutrinos and gravitational fields» Revies of Modem Physics, 1957, v. 29, И 3, p. 465 - 479.

65. Unruh W.G. Second quantization in the Kerr metric. Phys. Rev. D», 1974, v. 10, K 10, p. 3194 - 3205.

66. Boulware D.G. Spin 1/2 quantum field theory in Schwarzschild space. - Phys. Rev. D., 1975, v. 12, N 2, p. 350 -367.

67. Iyer B.R., Dhurandhar S.V., Yishveshwara C.V. Neutrinos in gravitational collapse: The Dirac formalism. Phys. Rev. D., 1982, v. 25, H 8, p. 2053 - 2064.

68. Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М., Фролов В.М. Рождение фермионов нестационарным гравитационным полем. Ядерная физика, 1976, т.23, вып.5, с.III8-II27.

69. Левитский Б.А., Мостепаненко В.М., Фролов В.М. О свойствах базисных функций 0 (3.1) инвариантных разложений. - Изв. вузов. Физика, 1977, № 2, с.29-35.

70. Нарожный Н.Б., Никишов А.И. Простейшие процессы в электрическом поле, порождающем пары. Ядерная физика, 1970, т.II, вып.5, с.1072-1077.

71. Гриб А.А., Мостепаненко В.М., Фролов В.М. Рождение частициз вакуума однородным электрическим полем в каноническом формализме. Теорет.и матем.физика, 1972, т.13, № 3, с.377-- 389.

72. Боголюбов Н.Н., Толмачев В.В., Ширков Д.В. Новый метод в теории сверхпроводимости. М.: Изд-во АН СССР, 1958.

73. Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Рождение дираковских частиц в нестационарных изотропных моделях Вселенной. Институт теорет.физ.АН УССР. Препринт № 74Р, Киев, 1977. - 16 с.

74. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982.

75. Белинский В.А., Халатников И.М. К вопросу о характере особенностей в общих уравнениях гравитации. Журнал эксперим. и теорет.физики, 1969, т.56, вып.5, с.1700-1712.

76. Hit chin N. Harmonic spinor. Advan. Ma them., 1974» v. 14, p. 1-55.

77. Мизнер 4., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. М.: Мир, 1977.

78. Богоявленский О.И., Новиков С.П. Особенности космологической модели Бианки с точки зрения качественной теории дифференциальных уравнений. Журнал эксперим.и теорет.физики, 1973, т.64, вып.5, с.1475-1494.

79. Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука, 1980.

80. Parker L. One-electron atom in curved spase time. - Phys.

81. Rev* Lett., 1980, v. 44, N 23, p. 1559 1562.

82. Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля.-М.: Изд-во иностр.лит., 1963.

83. Labonte G. On the nature of "strong " Bogoliubov transformations for ferraions. Commun. Math. Phys., 1974, v. 36,1. U 1, p. 59 72.

84. Wald R.M. Existence of the S-matrix in quantum field theory in curved space time. - Ann. Phys. ( USA 1979, v. 118, H 2, p. 490 - 510.

85. Зельдович Я.Б., Попов B.C. Электронная структура сверхтяжелых атомов. Успехи физ.наук, 1971, т.105, вып.3,с.403-440.

86. Fulcher L., Klein A. Stability of the vacuum and quantization of the electron-positron field for strong external fields ( construction for superheavy nuclei ). Phys. Rev. D., 1973, v. 8, IT 8, p. 2455 - 2457.

87. Fulcher L. Remarks concerning a model field theory suggested by quantum electrodynamics in a strong electric field. -Annals Physics ( USA ), 1974, v. 84, К 1 2, p. 335 -347.

88. Reinhardt J., Greiner W. Quantum electrodynamics of strong fields. Reports Progr. Phys., 1977, v. 40, U 3,p. 219 295.

89. Ford L. Quantum vacuum energy in general relativity. -Phys. Rev. D., 1975, v. 11, Ж 12, p. 3370 3377.

90. Ford I». Quantum vacuum energy in closed universe. Phys. Rev. P., 1976, v. 14, U. 12, p. 3304 - 3313.

91. Brown M.R., Dutton C.R. Energy-momentum tensor and definition of particle states for Robertson-Walker space-time.

92. Phys. Rev. D., 1978, v. 18, If 12, p. 4422 4434.

93. Fradkin E.S., Vilkovisky G.A. Conformal off-mass-shellextension and elimination of conformal anomalies in quantum gravity. Phys. Lett. B.f 1978, v. 73, H 2, p. 209 - 213.

94. Fradkin E.S., Vilkovisky G.A. Conformal invariance and asypmtotic freedom in quantum gravity. Phys. Lett. В., 1978, v. 77, N 3, p. 262 - 266.

95. Englert P., Gunzig E., Truffin C., Windey P. Conformal invariant general relativity with dynamic symmetry breakdown. -Phys. Lett. В., 1975, v. 57, N1, p. 73 77.

96. Brown M.R., Ottewill А.С. The energy-momentum operator.in curved space-time. Proc. Royal Soc. London A., 1983, v. 389, N 1797, p. 379 - 403.

97. Березин Ф. Метод вторичного квантования.-М.: Наука, 1965.

98. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

99. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля, т.2. М.:Наука, 1973.

100. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.:Наука, 1974.

101. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1983.

102. O. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости, т.7. М.: Наука, 1965.

103. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика, т.З. М.: Наука, 1974.

104. Ландау Л.Д., Лифпиц Е.М. Квантовая электродинамика, т.4. -М.: Наука, 1980.

105. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.

106. Воскресенский Д.Н., Сенаторов А.В. Перестройка вакуума з сильном электрическом и гравитационном полях. Ядерная физика, 1982, т.36, вып.2(8), с.356-368.

107. Scharf G., Seipp Н.Р. Charged vacuum, spontaneous positron production and all that. Phys. Lett. В., 1982, v. 108,1. H 3, p. 196 198.

108. Brown L.S., Cahn R.H., McLerran L.D. Vacuum polarization ina strong Coulomb field. Phys. Rev. D., 1975, v. 12, H 2, p. 581 - 619.

109. Basko М.Ы., Polnarev A.G. Polarization and anisotropy of the relief radiation in an anisotropic -universe. Mon. Hot. Royal astron. Soc., 1980, v. 191, IT 3, P* 207 - 217*

110. Притоманов С.А. Безмассовое спинорное поле в анизотропной метрике I типа по Бианки. В сб.: Исследования по классической и квантовой теории гравитации. - Днепропетровск:ДГУ, 1983, с.134-141.

111. Гриб А.А., Притоманов С.А. Тензор энергии-импульса безмассового спинорного поля в анизотропной метрике I типа по Бианки. В сб;Исследования по классической и квантовой теории гравитации. - Днепропетровск: ДГУ, 1983, с.128-133.

112. Pritomanov S.A. Creation of neutrino in Bianchi I cosmologi-cal model. In Ъ.: Contrib. Papers of 10th Intemat. conf* on GRG, Padova, Italy, 1983, v. 2, p. 1148 - 1150.

113. Притоманов С.А. Рождение безмассовых фермионов в космологической модели I типа по Бианки. Изв.вузов. Физика, 1984, № I, с.35-40.

114. Притоманов С.А. Рождение безмассовых фермионов в метрике Казнера. В кн.: Тезисы докладов 6-ой Советской гравитационной конференции. - М.: МГПИ, 1984, с.248-249.

115. ИЗ. Притоманов С.А. Квантовые эффекты в космологической модели IX типа по Бианки. В кн.: Тезисы докладов 6-ой Советской гравитационной конференции. - М.: МГПИ, 1984, с.250-251.