Понятие относительной стандартности в аксиоматических системах нестандартного анализа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

1 Понятие относительной стандартности

1.1 Теории 1ST и BST.

1.1.1 Аксиома идеализации.

1.1.2 Монады и ультрафильтры.

1.1.3 Приведение формул к специальному виду.

1.2 Мотивация введения понятия относительной стандартности.

1.2.1 Двойной предел.

1.2.2 Теорема Римана.

1.3 Предикат относительной стандартности.

1.4 Принцип единственности.

2 Нестандартная теория классов

2.1 Аксиоматика.

2.2 Базовые следствия аксиом.

2.2.1 Внутренние классы

2.2.2 Стандартность и конечность.

2.3 Аксиома хроматичности классов.

2.3.1 Полумножества стандартного размера.

2.3.2 Монады и ультрафильтры.

2.4 Модели NCT.

2.4.1 Необходимые факты о BST.

Принято считать (см. например [R1] и [КК]), что идеи и методы нестандартного анализа восходят к исследованиям Г. В. Лейбница, хотя многие из этих идей и методов возникли и применялись задолго до Лейбница.

Одна из причин такого взгляда на истоки нестандартного анализа состоит, по-видимому, в том, что Лейбниц и Ньютон явились основателями не только двух различных школ, но и двух различных стилей математического анализа; и если стиль Ньютона, с акцентом на теории пределов, получил строгое обоснование в XIX веке, то стиль Лейбница, со свободным использованием актуальных бесконечно малых, — только с появлением нестандартного анализа.

Когда речь идёт об аксиоматических системах нестандартного анализа, существенным представляется также и то, что для Лейбница был характерен взгляд на его исчисление как на формальную систему.

Уже в первой опубликованной им статье по анализу он отмечал, что предлагает «особый род исчисления», который был представлен в виде алгоритмов для обращения с особыми видами бесконечно малых и бесконечно больших величин (такими, как дифференциал). Благодаря тому, что в этом исчислении бесконечно малые и бесконечно большие рассматриваются как самостоятельные величины, обладающие всеми свойствами действительных чисел, хотя в особых лучаях с ними обращаются согласно специальным алгоритмам (например, отбрасывают бесконечно бесконечно малые при вычислении дифференциалов), эти величины принято называть актуально бесконечными. При этом Лейбниц был убеждён в возможности формального использования актуально бесконечных величин в рассуждениях как вспомогательного средства, сокращающего выкладки, подобно комплексным числам, и не настаивал на их существовании «в качестве действительных вещей». В этом смысле можно сказать, что Лейбниц был предтечей аксиоматических систем нестандартного анализа. 1

Тем не менее, нестандартный анализ начался именно с нахождения бесконечно малых как «действительных вещей», то есть с построения соответствующих моделей. Бесконечно малые были найдены как элементы некоторых собственных элементарных расширений (нестандартных моделей) множества вещественных чисел (стандартной модели).

Открытие А. Робинсона состояло также в нахождении способа построения для произвольной математической структуры М её нестандартного расширения *М, то есть элементарного расширения, обладающего специальными свойствами нетривиальности, гарантирующими существование в *М идеальных элементов. Метод нестандартного анализа состоит в использовании этих идеальных элементов для доказательства утверждений, истинных в *М, которые, благодаря элементарной эквивалентности моделей М и *М, оказываются справедливыми также и в М. С другой стороны, элементарная эквивалентность М и *М даёт возможность «переносить» известные утверждения об М на *М.

Однако, то же самое свойство элементарной эквивалентности накладывает определённые ограничения на модель *М. Например, если М содержит вещественные числа и все их подмножества, то в * М имеются Например, он пишет (см. [JI]): «. если кто-нибудь не допускает бесконечных и бесконечно малых линий в строго метафизическом смысле и в качестве действительных вещей, тот может надёжно пользоваться ими как идеальными понятиями, сокращающими рассуждения и сходными с так называемыми в анализе мнимыми корнями . , которые, несмотря на то, что их называют мнимыми, не перестают от этого быть полезными и даже необходимыми для аналитического выражения действительных величин». бесконечно малые, но совокупность всех бесконечно малых вещественных чисел не является элементом *М. Поэтому в суперструктурном, или теоретико-модельном, варианте нестандартного анализа — подходе, развитом Робинсоном, Законом, Кейслером, Люксембургом и другими — обе модели рассматриваются погружёнными в теоретико-множественный универсум, благодаря чему можно использовать в рассуждениях произвольные множества, построенные из элементов *М. Такие множества, не являющиеся элементами *М, называются внешними множествами. За элементами *М закрепилось название внутренних множеств.

В суперструктурном варианте нестандартного анализа развились методы, которые существенно опираются на наличие произвольных внешних множеств. Примеры таких методов дают конструкция нестандартных оболочек нормированных пространств, меры Лёба, дескриптивная теория множеств над гиперконечным множеством.

По-видимому, первые аксиоматические системы для нестандартного анализа принадлежат К. Хрбачеку ([HI, Н2]). Однако наиболее известной и используемой аксиоматикой нестандартного анализа является теория внутренних множеств 1ST Э. Нельсона ([N1]). Эта система привлекает своей простотой: 1ST добавляет к аксиоматике теории множеств Цермело-Френкеля ZFC лишь три принципа (схемы аксиом), имеющие ясную интуитивную интерпретацию, и является консервативным расширением ZFC.

1ST предлагает альтернативный взгляд на нестандартный анализ, который, можно описать следующим образом: все множества можно разделить на стандартные и нестандартные, то есть предикат стандартности задаёт дополнительную структуру в универсуме множеств; дополнительные аксиомы, описывающие свойства стандартности, позволяют интерпретировать стандартные множества как доступные. В частности, все множества, которые можно назвать, то есть множества, определимые в языке 1ST (определение может включать предикат стандартности), являются стандартными (принцип единственности, доказанный в [N2]). Таким образом, здесь нет характерных для суперструктурного подхода исходной модели и её расширения, погружённых в универсум всех множеств — имеется лишь дополнительная структура в «обычном» мире множеств. В определённом смысле можно сказать, что 1ST есть теория моделей вида *М, где областью истинности предиката стандартности является область значений элементарного вложения модели М в *М.

Фундаментальным отличием 1ST от большинства других аксиоматических систем, закреплённым и в её названии, является то, что внешние множества в 1ST не рассматриваются; понятие множества в 1ST соответствует понятию внутреннего множества в суперструктурном подходе. Внешние множества присутствуют в 1ST лишь как формульные классы, то есть совокупности множеств, определимые формулами языка 1ST. Такие совокупности множеств, являющиеся подклассами стандартных множеств, В. Г. Кановей назвал элементарными внешними множествами.

Тем не менее, несмотря на недостаток внешних множеств, оказалось, что 1ST является мощной «средой» для применения методов нестандартного анализа. Это подтверждается многочисленными результатами, полученными с использованием IST(cm. например [vdBI], [BRS], [Кач1, Кач2], [Во]).

Вместе с новым подходом 1ST внесла в практику нестандартного анализа и определённый стиль рассуждений, который можно назвать синтаксическим. Поскольку принципы 1ST являются схемами аксиом, для того, чтобы применить один из принципов, нужно предъявить определённую формулу. Чтобы строго использовать элементарные внешние множества, также необходимо оперировать с задающими их формулами. Кроме этого, для устранения из утверждений предиката стандартности используется синтаксический алгоритм Э. Нельсона. В результате этого во многих текстах обозначения для формул используются столь же часто, как и обозначения для множеств. По-видимому, именно этот стиль отталкивает многих приверженцев суперструктурного подхода, поскольку манипуляции с множествами более интуитивно понятны, нежели соответствующие манипуляции с формулами, их задающими. В связи с этим интересны работы И. Ван ден Берга [vdBI, vdB2], который свободно и плодотворно использует элементарные внешние множества, отмечая, что они «привносят определённое изящество и гибкость в рассуждения и описания»([vdB2]).

На самом деле, возможность использовать внешние множества в полном объёме необходима лишь для существенно «внешних» методов, перечисленных выше, таких как нестандартные оболочки или меры Лёба. Внутренних множеств вполне достаточно, например, для проведения рассуждений в стиле Лейбница и Эйлера. По-видимому, все построения из классической книги М. Дэвиса «Прикладной нестандартный анализ» ([Д]), могут быть адекватно проведены в 1ST.

Большое исследование аксиоматики 1ST было проведено В. Г. Ка-повеем. (см. [Kl, К2]). Ему принадлежит замечательное открытие, что добавления условия ограниченности, выражающееся в том, что каждое множество является элементом некоторого стандартного множества, снимает проблемы независимости. 2 Предложенная Кановеем система получила название «теория ограниченных множеств» (BST,[K1|). В этой теории всякая формула эквивалентна некоторой формуле простого вида, благодаря чему формульные классы имеют регулярную структуру. Регулярность формульных классов в BST позволяет кодировать внешние классы внутренними множествами с помощью некоторых универсальных формул. Этот подход развит в теориях EEST и HST Кановея и М. Ре-екена [KR1]. Надо отметить, что даже наиболее сложный способ кодирования внешних множеств, дающий естественную модель теории HST

2Первые результаты о независимости в 1ST были получены Е. И. Гордоном в связи с исследованием предиката относительной стандартности (см.ниже). недостаточен, например, для применения техники мер Лёба (см. [KR2]).

Упомянутые выше теории К. Хрбачека, а также разработанные позже аксиоматические системы Каваи([К\у]),Балларда и Хрбачека([ВН]), Флетчера ([Fl]) и другие наряду с внутренними аксиоматизируют также и внешние множества (обширный обзор аксиоматик нестандартного анализа содержится в [D4], см. также [КК, ГЕКК]. Универсум множеств в этих теориях имеет сложную структуру, причём эта структура не всегда достаточно хорошо определена.

Альтернативная теория множеств П. Вопенки оформилась примерно в одно время с публикацией систем К. Хрбачека и Э. Нельсона. Строго говоря, она не является аксиоматической системой нестандартного анализа3, поскольку противопоставляется её автором всей классической математике, но, тем не менее, имеет с нестндартным анализом много общего.

В этой теории все множества конечны, но некоторые из них настолько велики, что принцип математической индукции в этих множествах нарушается, что выражается в наличии полумножеств — собственных подклассов множеств, некоторых «нечётких» совокупностей элементов данного конечного множества, не являющихся множествами. Полумножества близки по своим свойствам к бесконечным множествам в обычном понимании. Такой род бесконечности, возникающий благодаря ограниченности горизонта восприятия, П. Вопенка назвал натуральной бесконечностью. Изучение феномена натуральной бесконечности представляется актуальным в связи с развитием компьютеров и моделированием всевозможных непрерывных структур конечными. К сожалению, развитие альтернативной теории множеств постепенно угасает, во многом благодаря её оторванности и даже противопоставлению классической мате

3она не является даже аксиоматической системой: «Альтернативная теория множеств не аксиоматизируема, и никоим образом нельзя идентифицировать её с аксиоматической системой ast» (П. Вопенка [AST], стр. 39) матике. Тем не менее, результаты, полученные в этой теории, являются богатым источником идей для исследований по основаниям нестандартного анализа.

Ярко выраженная в альтернативной теории множеств идея присутствия бесконечности в конечных объектах близка стремлению «сделать бесконечные множества конечными путём их расширения», которое характерно для нестандартного анализа.4 Это стремление выражается, в частности, в применении нестандартных методов для аппроксимации непрерывных структур конечными. Такой подход в рамках суперструктурного нестандартного анализа реализован в монографии Е. И. Гордона применительно к гармоническому анализу на локально компактных абе-левых группах.

Понятие относительной стандартности, которому посвящена настоящая диссертация, обязано своим возникновением, с одной стороны, определённым трудностям в применении нестандарных методов, и, с другой стороны, соображениям математико-философского характера, которые являются немаловажными для вопросов оснований математики.

Даже среди простых конструкций и результатов математического анализа некоторые заслужили себе славу неподдающихся упрощению методами нестандартного анализа.5 Это, например, понятие двойного предела, «трудная» часть правила Лопиталя, теорема о непрерывности предела непрерывных на отрезке функций. Особенно страдали от этого попытки изложить элементарный курс математического анализа нестандартными методами, так как вместо ожидаемого упрощения рассуждения усложнялись. Причина этой проблемы состоит в том, что классические нестандартные определения непрерывности, предела и производной

4 «Нестандартный анализ есть искусство делать бесконечные множества конечными путём их расширения.» (М. Рихтер)

5 «Имеются теоремы анализа, для которых нестандартные доказательства неуклюжи или не существуют. В последнюю категорию попадает теорема о том, что равномерный предел непрерывных функций непрерывен.» ([Не]) даются для стандартных объектов. Например: стандартная функция равномерно непрерывна на стандартном отрезке, если для любых двух бесконечно близких точек отрезка соответствующие значения функции бесконечно близки. Если же мы рассматриваем предел последовательности непрерывных функций, то, по логике нестандартных методов, мы должны рассмотреть член последовательности с бесконечно большим номером, который будет нестандартной функцией, для которой данное выше определение равномерной непрерывности не применимо.

Перечисленные выше конструкции объединяет необходимость рассмотрения нестандартных объектов аналогично стандартным, что приводит к идее порядков бесконечности, которая присутствует в математическом анализе со времени его зарождения. В е-5 - анализе эта идея выражена, например, в понятии бесконечно малой более высокого порядка. Однако, это понятие оказывается слишком слабым для решении обсуждаемой проблемы, поскольку оно описывает лишь количественное различие рассматриваемых величин, выраженное их простым отношением. По-видимому, именно это имел в виду П. Вопенка, когда он писал, что «г-5-анализ не отражает полностью исходное исчисление бесконечно малых, так как некоторые понятия, в которых бесконечно малые количества качественно различаются, непереводимы в е-8-анализ, и их пришлось отбросить при использовании функционального анализа»([Воп]).

Альтернативная теория множеств изучает различные порядки бесконечности с особой точки зрения. Здесь имеется целое направление, названное динамической альтернативной теорией множеств (см. [AST, SVI]). Это направление исследует эффекты, возникающие при смене горизонта восприятия, например эффект изменения формы объектов. Кроме этого, такие понятия, связанные с относительной определимостью, как отношения неразличимости и простые эквивалентности относятся к основным понятиям альтернативной теории множеств. Понятие простого отношения неразличимости в точности аналогично понятию бесконечной близости для сильного предиката относительной стандартности Е. И. Гордона (см. ниже).

Задача адекватного представления идеи порядков бесконечности решается в нестандартном анализе по-разному. Например В. А. Молчанов([Мол]) в суперструктурном варианте нестандартного анализа использует для этого повторные нестандартные расширения (см. также [HeKl]). Метод повторных нестандартных расширений лежит также, по существу, в основе аксиоматической системы RIST И. Перэра (см. ниже).

Другой подход состоит в построении иерархии уровней стандартности, или же уровней бесконечной близости и т. п., в имеющемся нестандартном универсуме множеств. При этом в определении уровня фигурирует в качестве параметра некоторое множество или совокупность множеств; разные параметры определяют в общем случае разные уровни. Так, Б. Бенингхофен и М. М. Рихтер ввели на базе теории внутренних множеств понятие суперинфинитезимали и успешно использовали это понятие для получения новых результатов в общей топологии и математической экономике ([BR, BRS]).

Однако наиболее простым и естественным для цели изучения порядков бесконечности представляется понятие относительной стандартности, введённое в теории внутренних множеств Гордоном [Gol, Go3].

Гордон вводит понятие стандартности относительно произвольного, нестандартного в общем случае, множества, являющегося элементом определённого стандартного множества. Если фиксировать некоторое множество, то совокупность множеств, стандартных относительно этого множества, можно рассматривать как новый универсум стандартных множеств. Различные предикаты при этом дают разные модели. Таким образом, с помощью предиката относительной стандартности можно исследовать вопросы независимости методом внутренних моделей.

Гордон предложил два варианта предиката относительной стандартности: основной и более сильный. Интересно, что как показал Гордон в [Go2], использование понятия суперинфинитезимали Бенингхофена и Рихтера эквивалентно использованию понятия сильной относительной стандартности Гордона. Для основного предиката Гордон доказал справедливость релятивизованных принципов идеализации и переноса, которых достаточно для использования большей части техники нетандартно-го анализа в теории Нельсона. Кроме того, он показал, что существуют нестандартное множество т и конечное действительное число г, такие, что число г не имеет r-стандартной части (стандартного числа, бесконечно близкого к г), что указывает на нарушение релятивизованного принципа стандартизации. Для усиленного варианта предиката относительной стандартности релятивизованный принцип переноса верен, однако релятивизованный принцип идеализации выполняется лишь частично. Приведённые результаты — это первые результаты о независимости.

М. Прохорова в работе [Pr] доказала, что релятивизованный принцип стандартизации не выполняется для любого нестандартного множества г, такого, что существуют т-стандартные, но нестандартные натуральные числа.

Понятие относительной стандартности в теории ограниченных множеств становится всеобъемлющим: можно рассматривать стандартность относительно произвольного множества, так как все множества ограничены. При этом предикат относительной стандартности определяет некоторую иерархию в универсуме всех множеств и даже всех классов.

Эта иерархия, особенно в случае усиленного варианта предиката относительной стандартности, тесно связана с порядком Рудина—Кейслера на множестве ультрафильтров над произвольным множеством. Имеются работы по применению методов нестандартного анализа для исследования порядка Рудина—Кейслера на множестве ультрафильтров над натуральными числами.

Обобщения понятия относительной стандартности Гордона рассматривались также в аксиоматических системах внешних множеств (см. например [KR1, НЗ]).

Из сказанного видно, что проблема исследования понятия относительной стандартности является актуальной для оснований нестандартной математики — как для независимости предложений методом внутренних моделей, так и для исследования выразительных возможностей формальных систем — и для приложений.

В первой главе настоящей диссертации описываются теории внутренних множеств Нельсона и ограниченных множеств Кановея. Доказывается эквивалентность произвольной формулы некоторой Е^-формуле (существенное упрощение достигнуто автором за счёт использования понятия ультрафильтра, порождённого множеством. Даётся определение предикатов относительной стандартности по Гордону и приводятся доказательства его основных свойств. Доказывается также принцип единственности для предиката относительной стандартности, утверждающий, что любое условие, выраженное произвольной формулой с параметрами, стандартными относительно фиксированного множества т, и определяющее единственное множество, определяет т-стандартное множество.

Во второй главе предлагается и исследуется новая система аксиом для нестандартной теории множеств - нестандартная теория классов (NCT).

Так же, как теория классов фон Неймана - Бернайса - Геделя (NBG) аксиоматизирует формульные классы теории ZFC, NCT задумывалась как теория, аксиоматизирующая формульные классы 1ST. Благодаря тому, что объектами теории NCT являются классы 1ST, в рамках этой теории можно работать с внешними множествами непосредственно, без необходимости манипулировать определяющими их формулами. При этом сохраняется простота и «физичность» теории 1ST.

От NBG теория NCT унаследовала свойство конечной аксиоматизируемости.

Понятие относительной стандартности занимает очень важное место в NCT. Внутренние классы здесь определяются как сечения стандартных классов множествами, аналогично определению относительно стандартных множеств в BST. Все множества в NCT -- внутренние. Однако, в отличие от NBG, где собственные классы всегда неограничены, в NCT множества могут содержать собственные подклассы, называемые полумножествами. Кроме того, неограниченные классы также подразделяются на стандартные, внутренние и внешние.

Идея создания NCT принадлежит Евгению Израилевичу Гордону. Первая аксиоматика этой теории, основанная на 1ST, опубликована в [Go3] Автор настоящей диссертации предложил пользоваться не 1ST, а принадлежащей В.Кановею и разработанной им совместно с М.Реекеном теорией ограниченных множеств(ВЗТ). Ясно, что теории BST достаточно для приложений, в то же время многие логические рассмотрения в ней существенно проще.

Более простая и определённая структура универсума множеств BST позволила значительно улучшить аксиоматику NCT. Например, в NCT всякий неограниченный класс, а не только полумножество, имеет стандартизацию (то есть стандартный класс, содержащий те же стандартные элементы, что и данный неограниченный класс).

Наибольшее упрощение по сравнению с аксиоматикой, основанной на 1ST, и полезное техническое средство для рассуждений в NCT даёт предложенная автором аксиома хроматичности классов. В частности, благодаря этой аксиоме всякое полумножество может быть задано некоторой универсальной формулой с множествами в качестве параметров (Теорема 2.3.16). Следствиями этой аксиомы являются также принцип насыщенности (Теорема 2.3.7) и принцип продолжения (Теорема 2.3.10), играющие важную роль в приложениях нестандартного анализа.

Автором доказана также теорема вложения моделей (Теорема 2.4.1), из которой следует, в частности, равнонепротиворечивость теорий NCT и NBG, консервативность NCT по отношению к BST и возможность расширения любой счётной модели NBG до модели NCT.

Третья глава посвящена исследованиям, связанным с различными вариантами задания понятия стандартности в теории ограниченных множеств.

Рассматривается теория BST", отличающаяся от BST отсутствием аксиомы стандартизации. Если интерпретировать стандартность как стандартность относительно некоторого фиксированного множества, то полученный универсум всех множеств с таким предикатом стандартности и обычным предикатом принадлежности будет удовлетворят системе BST". Доказана теорема о том, что в теории BST" аксиома стандартизации эквивалентна утверждению о том, что всякое множество принадлежит монаде некоторого стандартного ультрафильтра (Теорема 3.1.2).

Доказано также утверждение о том, что в теории BST" класс локализуемых множеств является внутренней моделью BST, если он замкнут относительно операции образования пары (Теорема 3.1.5). Это утверждение оставляет возможность построить в BST внутреннюю модель BST с интерпретацией предиката стандартности, отличной от обычной, за счёт уменьшения универсума множеств. Как следует из результатов, доказанных далее, этого нельзя сделать при условии сохранения универсума всех множеств.

Нарушение принципа стандартизации для предиката отностителыюй стандартности Е. И. Гордона ограничивает возможности его применения для исследования нестандартных объектов в IST(BST). В теории RIST И. Перэра (см. [Ре1]) аксиоматически вводится рефлексивный транзитивный предикат относительной стандартности -S1Z-. При этом для любых множеств х и у либо xSlZy, либо ySTZx, и каждый класс вида SRa = {х : xSlZa} подчиняется принципам переноса, идеализации и стандартизации. Роль класса стандартных множеств в этой теории выполняет класс SRo = {х : Va (xSIZa)}.

В. Г. Кановей высказал предположение о том, что, тем не менее определить в IST(BST) даже один отдельный унарный предикат, расширяющий "обычный"предикат стандартности и обладающий всеми его свойствами, невозможно.

В связи с этим рассматриваются произвольные определимые в BST унарные предикаты. Доказана теорема о том, что для унарного определимого предиката, расширяющего предикат стандартности, принцип переноса эквивалентен принципу единственности (Теорема 3.2.1).

Приводится полученное автором доказательство гипотезы Кановея при некотором естественном дополнительном условии (Теорема 3.2.3).

В качестве следствия, извлечённого из доказательства гипотезы Кановея, доказана теорема о независимомти принципа продолжения от аксиом теории BST" (Теорема 3.2.5).

Далее приводится содержательный пример определимого предиката стандартности, существенно отличный от предложенного Гордоном. При определении этого предиката используется понятие хорошего ультрафильтра, введённое Кейслером для построения насыщенных нестандартных расширений. В связи с этим приводятся эквивалентные определения регулярного и хорошего ультрафильтров с использованием понятия относительной стандартности по Гордону. Для полученного предиката стандартности доказаны его основные свойства, а также принципы переноса (Теорема 3.3.8) и идеализации внутри множеств ограниченной мощности (Теорема 3.3.10).

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю — профессору Е.И.Гордону, а также профессору В. Г. Кановею, профессору В. А. Успенскому и профессору К. Хрбачеку за стимулирующее внимание к работе, обсуждения, помощь и поддержку.