Построение асимптотических формул для решениясистемы линейных дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производной тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ



V САМУСЕНКО Петрб Федорович

Ишиошиьнп НКШН'ШЯ наук УкриЖИ Ьктптут матгмитики

УДК Г) 17.927.8

побудова асимптотичних

формул для розв'язкш

системи л1н1йних диференц1албних ргонянь 3 виродженою матрицею

при похщшй

01.01.02 лнф<'р«>ншальш р!вн*ння

Лг)ТО|х-ффаТ дигрртацп на шобуття наукового <тупеня кандидата фппко-матгматичних наук

Кто - 1997

Дисертац1ею е рукопис.

Роботу виконано на кафедр! математичного анал1зу Нац1о-нального педагог1чного ун1Еерситету 1м. Ы.П. Драгоманова.

Науковий кер1виик: академ1к АПН УкраТни

доктор ф1зико-математичнкх наук, професор ШК1ЛЬ Микола 1ванович, ректор НПУ.

0ф1ц1йи1 опонбнти: доктор ф1зико-натемйтичиих наук, професор ЯКОВЕЦЬ Василь Павлович, ректор Н1хинського педагог1чного 1нституту 1м. К.В. Гоголя, кандидат ф1зико-матоматичша неуд каломхець В1ктор Григорович, стерший науковий сл1вро<51тник 1нституту математики НДН Укра1ки.

Пров!дна устапова: Нац1ональвиЯ ун!вврситет

1м. Тараса Шевченка, кафодра 1нтегралъшх 1 да!»рв1щ1ельнис р!впянь, м. Кя!в.

Захист вШудеться "¿2" "Цй- о^у р_ 0 / j'го_ дан! на зэс1дзнн1 снец1ал1зовано1 вчено! ради Д.01.66.02 при Гнститут! математики Н1Н УкраЬш за адресов: 252601 Ки?в-4, ЮТ, вул. Терещеяк1вська, Э.

3 Дйсертвц1ею могна ознайомитксь у <5!бл1отоц1 1нституту.

Аьторефервт розЮланий т±Л" 1997 р.

Вчений секретер спец1ал1зовано! вченоТ ради /Т Лучка А.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальн1сть тем». Р!зноман!тн! задач! практики, матема-тичн! модел! яких описуються системами диференц!альних р1в-нянь з р!зного роду виродженнямк - наявн!стю при старших пох!дних виродаено! матриц!, або такоТ матриц!, яка вирод-яуеться при певних значениях незалеяю! зм1нно!, часто потребуют досл!дження асимптотично1 поввд!нки роэв'язк!в цих систем в окол! н9ск!нчегага в1ддалвно! точки.

Асимптотична повед!нка при t ■* » розв'язк!в л1н!Йних р!внянь та л!н!йша систем з одиничною матрицею при пох!д-них досл!даувалась в роботах 0. Перрона, Г. Шпета, H. Jl$-bíhcohq, Р. Беллмана, 1.Ы. Рапопорта, M.I. Шк!ля, О.В. Кос-т!на та Ix учн!в. Питаш1Я про асимптотичн! властивост! роз-в'язк!в системи диференц1альних р!внянь

de

B(í) — = A(t)x, (1 )

dt

з тотокно вироданою матрицею B(t) при t > tQ досл!дженв недостатнъо. Якщо в ц!й систем! матриця B(t) зб!гаеться з одиничною матрицею, то вив!д всимптотичних формул систоми (1) побудований на зведенн! IÏ до L-д!атонального вигляду. В основ! цього методу лежать теор!я перетворюючих матриць. Дену теор!» не мота застосовувати до системи вигляду (1 ) у випадку, коли матриця Bit) стае виродкеною при окремих значениях аргумента t, чп стае тотожно виродкеною при досить великих значепнях t. В цих випадках доводиться застосовувати теор!» пучк!в матриць. Ц1й проблем! t присвячена дана дисертаЩйна робота.

мата робота - вивести асимптотичн! при t - » формул« для розв'язк!в систоми л!н!йних дифвронц!альнйх рЮТянь э виродкеною матрицею при пох1дн!й .

Методика дослЩевня. При розв'язанн! сформульовайо! задач! використовуеться метод Февенка-Шк!ля та твор!я введения riytKîB матриць дб кйнон!чпого вигляду.

8»жсва вовизза дисертвц» полягве в:

1) виведенн! асимптотичних формул для розв'язк!в систем л1нШшх диферениiальних р1внянь первого та другого порядк1в з тотокно виродженою матрицею при пох!дних;

2) отриманн! ефективних алгоритм1в зведення досл!джу-ваних систем до Ь-д1агонального та узагальнено L -д!агонального вигляду;

3) досл1дженн! ст1йкост! розв'язк!в систем л!н1йвих диференЩальних р1внянь першого порядку з виродженою матрицею при пох!дних.

Теоретична та практична ц1ин1сть. Результата, отриман! в робот!,, можна використовувати в теоретичних досл1дженнях, пов'язаних з вивченням асимптотичних властивостей розв'яз-к1в систем диференц!альних р1внянь, диферешЦальних р1внянь -а пов!льно зм1нними та пер!одичними коеф!ц1ентами, а також в задачах оптимального керування, л1нШюго програмування, теорИ електричних к!л, та економ!ки, як! зводяться до систем вигляду (1).

Апробац1я робота. Основн! результата дано! робота допо-;в1дались та обговорювались:

- ва зас!данн1 сем!нару з асимптотичних метод1в в теорН днВеренц1алышх р!внянь при УкраТнському державному педагог!чному ун1верситет! 1м. И.П. Драгоманова (ке-р1вник - академ!к АПН УкраТни, професор U.I. Шк1ль);

- ва зас!данн1 РеспублЬсанського ceMtnapy з диференц1а-льних р1внянь при 1нститут1 математики HAH УкраТни <кер1вник - академ1к HAH УкраТни, професор A.M. Самой-летсо);

- на М1жвародн1й КОНферешЦТ "Byranetry in nonlinear mathematical physios" (Ки!в, 6-6 лшгая 1995 p.):

- на 5 М1жнародн1й науков!й конференцН 1м. академЬса Ы. Кравчука (КиТв, 16-18 травня 1996 р.);

- на Всеукра!нськ1й науков!й конференцИ "ДиференШалъно-функц1ональн1 р!вняння та Ix застосування" (Черн1вц1, 15-18 травня 1996 р.);

- не науков!Я конферениИ "Нел1н1Ян1 проблема анал1зу" Цвано-ФранкТвськ, 24-27 вересня 1996 р.);

- на зас!данн! математично! школи нел!н!йних коливаш» <Кам'янвць-Под!льський, 10-15 жовтня 1996 р.);

- на Трети БогсшхЗовських читаннях М!жнародн!й науков!й конференцИ "Асимптотичн! t fxtcnt метода в теорН на-л1н1йних коливань" (Ки1в, 18-23 серпня 1997 р.).

Пгбл1кац11. За матер!алами дисортацИ опубл!ковано 7 ро-б!т, список яких наводиться в к!нц! автореферату.

Структура 1 обсяг робота. Дисертац!йна робота складаеть-ся 1з вступу, двох роздШв, як1 об'еднують 12 параграф!в, I списку основно! використано! л!тератури, що м!стить 110 найменувань. Обсяг роботи складае 141 стор!нку. '

3MICT РОБОТИ

У вступ! обгрунтовано актуальн1сть теми, сформульована мата роботи, даеться короткий анал!з сучасного стану дос-л!дауваних в дисертацП проблем 1 проводиться анотац1я одврнаних результата.

Перший розд1л "Зведення системи диференц!алышх р1внянь до L - д1агонального вигляду за допомогою власних вектор!в вих!дних матриць" присвячено досл!дкенню однор!дних л!н!й-них систем (1), в яких A{t), B(t) - (п-гг) - матриц! д!йсно! зы1нно1, а х(£) - шуканий п-вим!рний вектор у випадку, коли корен! характеристичного р!вняння

det(A(t)-\B{t))=o (2)

прост! для вс!х t ) tQ. Запропонований нами метод побудови всимптотичних формул у цьому випадку дозволяе об!йти теор!ю пучкгв матриць.

§ 1 м!стить двяк! необх!да! додатков! твердаегня.

У другому параграф! для системи (1) з симетричними мат-рицями л(t), Bit) побудовано v (1 < v и) асимптогачних розв'язк!в, де у-к!льк!сть корен!в характеристичного р!в-вяння (2).

Спинимося коротко на запропоновансму метод! побудови цих розв'язк!в.

Зам!сть системи (1) будемо розглядати систему

dx

eB(t) — = A{t)x, (3)

dt

дe e>o - д1йсний параметр. Система о) при е-1 сп!впадае a системою (1).

Зробимо в (3) зам!ну незалекно! зм!нно! за формулою

t=ei.

ДЮтанэмо систему

dx

B(t) — - A{t)x. (4)

eft

Покладемо

m

x=Un(t,e)y, iyt.e)=]T ea Wfl(t).

e«0

де y - невЩомий у-вим!рний вектор, a Ug(t) - прямокутн! (n»v)- матриц!, як! Шдлягають визначенню, я ? 0. Поставивши значения х у систему (4), д!станемо Оу

B{t)Un(t,e) — «U(t)Um(t,8) - efl(t)tyt,e))y (5) dt

(тут ( ' ) означае пох!дну по t).

Патриц! Ug[t) (в«ои.....«) будуватимемо так , щоб викону-

валася матричяа р!вн!сть

/(t)tyt,e) - eB(t)t/n(t.e)«=B(t)tyt,eM/yt,e) * (6)

f е"*1 Cn(t,e)),

де - л1агопальна матриця виг ляду

л

A^t.E)-^ ee Ae(t) 8=0

розм!р!в (v«v), a cn(t,6) - (v«v)-MaTpmw, яка, як ! матри-uí Vmit,B), Ад,(t,е). п!длягас визначенню. Мае Mícue теорема 1.

Теореме 1. Нехай для системи (1) виконуеться умова (В):

1) елементи матриць Ait) та B(t) на пром!жку fí0,®) мавть неиерервн! пох!дн! до тм - го порядку вклпчно, m > 0;

2) пучок матриць Ait) - XB(t) регулярний при вс!х t > tQ:

3) корен! KAt) (15-1,2.....v. 1 í V < ttl характеристичного

р!вияння (2) прост! та д!йсн! при t > tQ;

4) "неск!нченн!" елементарн! д!льники пучка з0ер!гають пос-т!йну кратн1сть на пром!жку и0,а>);

5) жодна 1з р!зниць

Яе X.t(t,i) - Re 1), I,J*1,2,...,v,

дэ X{(t,i), t=1.....v, - елементи матриц! /^(t.D, не зм1-

нюе знак, починаючи з деякого достатньо великого значения зм!нно1 tt та умова

rang(B(t)Wn(t,1 >)=rang[fl(t)t/n(it1).dn((i)], (7)

t«l,2.....v, t * tQ, де [B(t)l/m(t,i ».d^jit)] - .n • (v+1) -

матриця, яка утворена з v стовпЩв матриц! £(t)t/n(t,i) та стовпця d^U), причому

n т г=1 /¿г

Тод!, ямцо система ¿У

— "(Л^СИ) + Си(!,1))у, t > t0, (8)

el- д!агональнов, то v частишшх розв'язк!в система (О мають вигляд

t

'о

де V^ijit) - функц!!, неперервн! на пром1кку U0>®).

Якщо система (1) задовольняе критер!й "ранг - степ!нь", (ранг матриц! Bit) сталий 1 дор!внюе степени многочлена c!st(i4(t> - kB(t))), то дов1льн! 0Л6М9НТИ матриц! Um(t, 1) мокна пШбрати таким чином, щоб умова (7) первтворилася у тотожШсть. Тобто мае м!сце теорема (2).

Tsopeua 2. Не хай для тастеш (1) виконуються пункта 1) -Э), 5) умовя <в> та крптер!й "ранг - степ!нь". Тод1, якщо система (в) е Ь - д!агональною, то v частинних розв'язк!в системи (1) мпгть вигляд (9).

У даному пчрэграФ! розглядаеться тако* випадок дов!лыт мчтринь 8(i), неплов'язково симетрииоя. Нязвемо умо-

bod <B1) пункта 1), 2), 4), 5) умови (В) та твердкення: Э) корен! характеристичного р!вняння (2) прост! для вс!х t > t0.

Тод! доведено, що 1 в цьому випадку справедлива теорема

2.

У робот! знайден! умови, при виконанн! яких система (1) е Ь-дТагональною. При цьому припущено, що:

1) т=0;

2) пункта 2), з) умови (В) та критерМ "ранг-степ1нь" вико-нуються при tQ к t <

3) елементи матриць Д(t), B{t) мають сумовн! пох!дн! першо-го порядку на пром!хку lt0,®).

Трот!й параграф присвячено способу зведення системи (1) до 1г-д1вгонального виг ляду, що грунтуеться на пере творениях л!во! частани системи (1).

В б 4 отриман! результата !люструються на конкретних прикладах.

У другому розд!л! "Зведення системи ди$еренц!альних р!в-нянь до L-д!атонального вигляду за допомогов пучка вих!дних матриць" досл!джуються л!я!йн1 системи (1) у випадку, коли характеристична р!вняння (2) на пром!жку li0,«>) мае як прост! так 1 кратн! корен!.

б 1 присвячено побудов! асимптотачних розв'язк!в системи (1) у випадку простих корен!в характеристичного р!вняння.

Систему (1) можна звеста до 1~д1агонально1 системи, без-посэредньо винористовувчи влементи теор!! пучк!в матриць. Для цього придускатшемо, що виконуеться умова (В1). Тод! 1снують неособлив! матриц! P(t>, Q(t), за допомогою яких пучок АЦ) - XBtt) можна звости до канон1чно! форми. Тобто

P(t)4(t)Q(tM)(t), PUmt)Q(t)=H,

де

Q(t)=dtag{K1, wit)}. a*dlag{J,,

iHt)^Hag{K^t). Xgit)...., Xytt)}.

«/., - и1льпотентна (n-v)«(n-v) - матриця, к1, ^ - одиничн1 матриц! порядку (n-v)«(n-v) та v«v в!даов!дно.

Аналог 1чно до зведення б 2 розд1лу 1 приходимо до систе-. ми матричяих р!внянь:

ЖГ)У0(Г) - B(ni/0(tM0(t)=0, (10)

A(t)Ua(t) - B{t)U3(t}AQ(t)*Blt)Vg_,U) + (11)

a

+ B(t) ^ Ua_j(t)\j(t)

Позначимо стовпц1 матриць Ua(t) (а=о,1,...,m) через ufl£(t) ((»1,2»...,v). Нехай

qaf(i)=<3""1(t)itaf(i). (12)

Пврейшовши ь р!вняннях (Ю), (11) до векторно! форми та скориставшись постановкою (12), д!станемо таку систему р!внянь:

(0(t) - X((t)H)701(t)=o, (13)

(0(t) - Xj(t)H)<7a((t)-Hi7al1((i) + C(t)qfl_1t(t) +

(14)

ДО

С(Г)=ШГ1 (t)Q it J. A0(i )=W(t),

Ajiti'jtngiXj^t).....\jv(t)}.

В дисартац!йнМ рооот! остановлен! умови, при викснанн! яних р!вняння оз), (14) розв'язн! 1 доведена теорема 2 за допомогоп тоорН цучк1в матриць.

У другому параграф! розглянуто випадок кратного короля характеристичного р!вняння (2), якому в!дпов!дае "ск1нчен-тйГ елементарний д!льник т!е! я кратност!. При цьому знвй-дено ст!льки розв'язк!в система (1), яка кратн1сть корвня XQ(t) р!вняння (2).

Таораыа 3. Нехай система (1) задовольняе уыову (С):

1) елемэнти матриць ЛШ. B(t) на iipoMiMty [t0>uo) ыають не-парарвн! пох!дн! до mp-1-го порядку включно, п, р е Z;

2) пучок матриць J(t) - KB(t) регулярний при t > t0;

3) характеристична р!вняния (2) мае один кор!нь кратност! р, якому в!дпов1дае лише один "ск1нчс-шшй" елемзнтэрний д!льник для ВГ.1Х t z tr i

4) "неск!нченн!" елементарн! д!льники пучка A(t) - AB(i) на пром!жку С t0,00) з0ер1гають пост!йну 1фатн!сть; умову (7). при

V<í)=-B(t)( у %,Jit(t) ♦ у £ Vjw.t^V.t111)

JSо J=0 Г=1

та

сп,п-ри(*>*>лпявс1х * * 'о* " (15)

Д6 c^ ^p^^t) - элемент матриц! C(t)=ffiJ"1 (t)Q (t).

Тод1, якщо система

чи

— «(/^(Í.D ♦ Cn(t,i))y. t > tQ, (16)

e узагальнено L - д!агональною I виконуються умови асимп-тотичного 1нтегрування отримано1 системи, то р частинних розв'язк!в системи (1) масть вигляд t

£^((t)ezpjx.t(t.i )dt, l»i,...,p, J=i,...,n, (17) »0

jÍb - функц!!, неперервн! на пром!кку lt0,e>).

Насл1док 1. Нехай система (1) задовольняе пункта 1)-Э) умови (С), умову (15) та критер!й "ранг-степ1нъ" для вс!х t > t0. Тод1, якщо система (16) е узагальнено Ь-д1агональ-ною I виконуються умови асимптотичного 1нтегрування ц!е1 системи, то р частинних розв'язк!в системи (1) мають вигляд (17).

Наведемо умови, при викояанн! яких система Об) с узагальнено I - д1агоналыюю. Для цього досить покласти т=1-р 1 припустити, по:

1) пукти 2), 3) умови (0) та критер!й "ранг-степ!нь" виконуються для вс1х t0 < Г < »;

2) елеме:гги матр!шь A (í), В \t) помножен! на tP-1 сумовн! на пром1*ку tt0,»).

В S Э запропоновано метод побудови розв'язк!в системи (1) у Випадку, коли кратност! корен!в р!вняння (2) та в!д-пов!дних 1м *ск1нченнихп олементарних д!льник!в сп!впадають.

При цьому були узагальнен! результата С.Ф. Фещенка та МЛ. Шк1ля про асимптотичне розщеплення л!и!йних систем, коеф!-ц!енти яких залежать в!д параметра, на п!дсистеми менпю! розм!рност1, для систем з тотожно виродженою матрицев при пох!дних. Це дало мохлив!сть звести досл!дження систем, у" яких в!дпов!дне характеристичне р!вняння мае кратн! корен!, до б!льш простого випадку, коли це р!вняння мае лише один кратний кор!нь, якому в!дпов!дае еданий "ск!нченний" еле-ментарний д!льник.

У четвертому параграф! розглянуто загальний випадок, а саме той, коли характеристичне р!вняння (2) мае як прост! так ! кратн! корен!, яким в!дпов!дають дов!льн! "ск1нченн!" елементарн! д!льники пост!йно! кратност!. При цьому припус-каеться, що виконуються умови 2). 4) 8 2 та елементи мат-риць J(t), Bit) на пром!жну lt0,®> мзють неск!нченну к!ль-к!сть пох!дних. Отжэ, нехай характеристична р!вняння (г) мае х простих корен!в ^(t),..., ^(t) ! I кратних корен!в Хж+г(t), кратност! яких в!дпов!дно дор!вштггь в1,а2,...,аг. Кр!м того, припускатимемо, що кожному кратному кореню Xg^jtt), в!дпов!дають qt > 0 простих ! р( > о кратних "ск!нченних" елементарних д!лыгок1в, кратност! яких в!дпов!дно дор!впгаоть rt1,..., г(

г ? ' 1

|Ы,2,...,1, ) i-tj^t^tJ (У40®8 <Д)>-

Позначимо

d = шах {г..). 1 <Lt*Pi lJ

1<Ut

Зробимо в систем1 (1 ) постановку

де Mm(t,n) - прямокутна п « J^ e(+aej - матрица, яка маг вигляд

'/ffl't.u) - у ца«(в,т, и - /Т\ (1в)

ko

Приходные до системи

du н

ß(t)üm(t,n) — =U(t)«m(hn) - ца B(t)Um[t,\i))y (19>

Матрицю Um(t,\i) Оудемо Оудувати, виходячи iL р!вност!

Alt)Um(t,\x) - ß(t)Mm(t^)=fl(i)l/n(t,n)(An(r,ii) + (20)

+ Hn+d Cra(t,n))f

в ян!й

m+d-1

/yt.n^WU) * £ цаЛ(в)(П, (21)

3=1

да. як t ран!шв, A*s,(t) - квадрата! д!агональы! матриц! порядку ^ а{+®, в Cn(t,n) - ^ st+aej » at+aej нев!дома ыатриця.

У робот! знайден! умови розв'язност! систоми (21). При цьому, якщо виконуеться умова (7), то

Си(Г,1)в(В(<)иш(1.1))-Оп(Г), (22)

да

Iй (t) + I I «

I Т^о Т=о г=1

.... . . (ш-d-r) (i+r)

D„(t)»-fl(t) ) U (t) + ) ) U (t)\ (t]

а система (1) за умов даного параграфу зводитьоя до уза-

I

гальнено Ь - д!агонально1 системи V а^х - го порядку,

Якщо к для вс!х ! > справедливий критерш "ранг-степ!нь", то як 1 в попереда!! випадках умову розв'язност! (!) писте-ш 20) мокна опустите.

б 5 присвячено повному розщеплешш системи (1). Напо-чатку розглядаеться випадок, коли многочлен сЫии)-*0(П) задовольнле критер!й "ранг - степ!нь", тоОто коли "неск!н-ч8кн1" елеыентарн! д!льники пучка на нром!кку и0,ш> прост!.

Теорема 4. Припустило, цо система (1) задовольняе умови:

1) пучок 4(1) - \В(Г) регулярный для вс!х ! е и0,т]{

2) корон! характеристичного р!вняння (2) на пром!т:у

збер!гввть пост Мну кратн!сть;

3) пучок 4(t)-XB(i) мае р "ск!нченних" елементарних д!льни-к1в, кратност! яких дор!внюють кр в1дпов1дао, t е Ct0.«»] ;

4) "неск!нченн!" елементарн! д1льники пучка прост! для вс!х t € [t0,co];

5) пох!дн! елемент!в матриць >l(i), B(t) помножен! на tk, де

k = max ki-1 сумовн! на пром!жку [tn,*>). 1 0

Тод! система (1 ) за допомогою постановки

x=Q(t)y

та множення зл!ва на матрицю P(t) можв бути зведена до уза-

гальнено I - д!агонально! системи ^ - го порядку.

Нехай тепер пучок A(t) - XB(t) мае q "неск!нченних" елементарних д!льник!в, кратност! яких в!дпов!дно дор!внюють

а{ (t=i,2.....q), причому в( < 2. В цьому випадку мае м!сцэ

теорема 5.

Теорема 5. Нехай для системи (1) виконуоться умови 1 )-Э), 5) теореми 4, а також:

6) "неск1нченн!" елементарн! д!льники пучка i4(t)-XB(t) збе-р!гагть пост!йну кратн!сть для вс!х t е [*0.<»1;

7) пох!дн! елемент!в A{t), B(t) мають границю при t - <о. Тод! систему (1), використовуючи навэдену вице постановку, можна звести до узагальнено L - д!агонально! системи

У к( - го порядку. Т=1

У иостому параграф! вводиться понятая параметрично! ст!й-кост! за Ляпуновим та встановлгаотъся достатн! умови параметрично! ст!йкост1 розв'язк!в системи (1). Отке, розглядасмо розв'язки системи л!н!йних диференц!альних р!вняпь (1), як! в!дпов!давть "ск!нченним" елементарним д!льникам.

Озяачешм 1. Розв'язок x^p(t) системи (Л

Sft) — - Ait)X, t > О, (23)

at

назвемо параметрично orlAœu за Лянуновим, якшэ для будь-

якого е>0 знайдеться таке 0>0, що для будь-якого 1ншого розв'язку Хьф{Ц) 13 HeplBHQCTl

|ф(Г0) - Ф«<*0>1 < 6

вишшвае нер1вн1стъ

|Ф(П - Ф{(Г)| < е. t > tQ. Якщо ж, кр!м того,

lim |ip(t) - ф*(t)| =0, t-v>

то розв'язок x=<p(t) назввмо параметрично асныптотично ст1А-юш за Ляпуновим.

У дисертац1йн!й рооот! досл!джуеться параметрична ст!й-к1сть нульового розв'язку системи (23).

Теорема б. Нехай система (23) задовольняе умови теореми

1 при t > о, тод! розв'язки 1,(1).....xvit) системи (23)

параметрично ст!йк! за Ляпуновим, якщо при t - <о функц!я

u(t)e*(t>.

Дв

t

и(Г)* max lu, At )|, \(t)=max f ЯеЛЛГ,1 )dt iS«in 1 J J

0

(utk(t) - елеманти матриц! Un(t,i)), оОмежена. Кр1м того,

якцо u(t)e*(t) - о (t - <о), то будь-який розв'язок системи (23) асимптотично набликаеться до розв'язку з>о при t «.

У випадку, коли корен! характеристичного р!вняння (2) на пром!кку (о,®] прост!, мокна вказати досить просту умову параметрично! ст!йкост! розв'язк1в системи л!н!йних дифе-ренЩальних р!внянь (23 )> одночасно необх!дну 1 достатн». Отже, нехай:

1) т=о;

2) на пром1жку [о,а) виконуються пункта г), э). умови (В,) та критер!й "ранг-степ1нь";

3) елементи матриць A(t), Bit) мають сумовн! пох!дн! при t > t0.

Теорема f. Нехай для системи (23) виковуються умови 1) -3) та пункт 5) умови (В,). Тсд1, для того доб розв'язки системи (23) були параметрично ст!йк! öa Ляпуновим, неэбхшю 1

достатньо, щоо функц!я А.( г ) була обмекенов при t <о.

Для того, щоо оудь-який розв'язок дослЮТувано! системи л!н!йних диференЩальних р!внянь асимптотично наближався до розв'язку х=0 при t - », необх!дно î достатньо, щоб X(t)-o При t ю.

В 5 7 узагальниоться результата б 1 - } 4 на випадок систем другого порядку

dPx

Bit) —» + ii(i)T=0. (24)

dt2

в яких deîB(t)«о при t i tQ.

Для цього спочатку будуюггься 8симптотичн1 форму ли для розв'язк!в системи спец!ального вигляду

<?У cly

—, ♦ 20(t) — + C(t)y + W(i)y=o, (25)

dt2 dt

дв матриц! Dit), C(t) мають так! ж розм!ри, no 8 в систем!

(1), a w(t)=<JtagtX1 (t).....^(t)). При цьому припускаеться,

оо:

а) !снуе ск!нченна границя

llm W(t)=W, f-®

тобто llm \((t)=\(, t«i,2,...,n;

t —оо

б) елементи d(j(t), ctj(t), X((t) - A.( матриць D(t), C(t),

a(i) - я сумовя! на пром!жку (t0,oo). Якщо ж матриця W(t) мае вигляд

w(t)=dtag(w,(t),..., w„(t)},

де wt(t) - жорданов! кл!тини порядку l(. t-i,...,m. то для асимптотичного !нтегрування системи (25) достатньо припус-тати, во:

б' ) функц!! dtj(t)tH'1, etJit)t*"\ (Х( - A,t(t))tw"t, да

N * щах I,, сумовн! на пром!жку [tn,œ) (тут елемеати d,,<t), 1 <(«п 1 °

Cjj(t), Л,{ - \{(t) Tl ж, що fl в умов! б)).

Для зведення системи (24) до вже досл!джено! оистеми (25) ми припускаемо, во виконутъся умови, аналог!*?«! до в!дпов!дких умов } 1 - 9 4.

В i а розглядаеться застосуванвя вище викладеного теоретичного матер!алу на конкре^них прикладах.

OCHOBHI РЕЗУЛЬТАТИ I ВИСНОВКИ

1. В дасертац1йн!й рооот! знайден! асимптотичн! формула для розв'язк!в систем л1н1йши диференц!альшх р!внянь першого порядку з тотохно виродаеною матрицею при поИдних.

2. Отримая! ефективн! алгоритми зведення досл!даувашх систем до 1-д1агонального та узагальнено Ь-д!аго-нального вигляду.

' 3. Досл1джен! асимптотичн! властивост! розв'язк!в систем л!нШшх диференц!альних р!внянь другого порядку з тотожно виродаеною матрицею при пох!дних.

4. Доведен! теореми про ст1йк!сть розв'язк!в систем л1-нШшх диференЩвльних р!внянь першого порядку.

Основн! результата дисертацН опу0л!кован! в наотупних роботах:

1. Самусенко П.Ф. Про асимптотичн! розв'язки система л1-нШких диференЩальних р!внянь з виродаеною матрицею при П0Х1ДНИХ // Доп. HAH УкраЬни. - 1997. - * 7. - С. 44-50.

2. Самусенко П.Ф. Про зведення системи диференЩальних р!внянь з виродаеною матрицею при пох!дних до 1-д!агональ-ного виг ляду // Всеукр. конф. "ДиференЩально - функц1о-нальн! р!вняння та 1х застосування" (Черн!вц1. 15-18 трав. 1996 рО:Тез. доп. - К.: 1н-т математики HAH Укра1ни.-1996.-0. 170.

3. Самусенко П.Ф. Зведення лШйно! системи диференЩаль-них р!внянь з виродаеною матрицею при пох!дних до узагальнено L - д!агонального вигляду // П'ята Шинародна наукова коа$еренц1я !м. академ!ка М. Кравчука: Тез. доп. - Ки!а-1996 р. - С. 383.

4. Шк!ль M.I.. Самусенко П.Ф. Про асимптотичн! формула для розв'язк!в систем л!н!йних диференЩальшп р!внянь э виродаеною матрицею при похШшх // Укр. мат. «урн. - 1996,48. * 9. - С. 1278-1 ÜKb.

5. Шк1ль M.I., Самусенко П.Ф. Виведення асимптотичних формул для розв'язк!в систем диференЩальних р!внянь t3 си-метричними матрицямн // Доп. НАН УкраТни. - 1996. - Л 12.-С. 20-26.

6. Шк1ль M.I., Самусенко П.Ф. До питания про асимптотичн! розв'язки систем л!нШих диференц!альни1 р1внянь э вирод-женою матрицею при пох1дних // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения: Сб. науч. тр. - К.: Ин-т математики НАН Украины. - 1996. - С. 279-281.

7. Shtdl' M.I., Samusenko P.F. Derivation of asymptotloal formulae for resolution of systems of differential equations with sysraetrloal matrices // Of the International oonferenee "Symmetry In nonlinear mathematical physios". -Ryiv. - 1995. - V. 4. - V. 463-463.

1Ь

Самусенко П.Ф. Побудова асимптотичних формул для роз-в'язк1в системи л1н1йних диференЩальних р1внянь з виродже-ною матрицею при пох1дн1й.-Рукопис.

ДисертаШя на здобуття наукового ступиня кандидата ф!зи-ко-математичних наук за спец!альн!стю 01.01.02 - диферен-Щальн! р!вняння. - 1нститут математики НАН Укра1ни, Ки1в, 1997.

В робот! виводяться асимптотичн! формули для розв'язк1в систем л1н!йних диференЩальних р!внянь першого 1 другого порядк!в 1з тотожно виродженою матрицею при пох!дних в охо-л! неск!нченно в1ддалено! точки. Встановлен! умови ст!йкос-т! розв'язк!в вказаних систем.

Ключов! слова: асимптотичний розв'язок, L - д!агональна система, пучок матриць, асимптотична ст!йк1сть,

Самусенко П.Ф. Построение асимптотических формул для решений системы линейных дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производной.-Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Институт математики НАН Украины, Киев, 1997.

В работе выводятся асимптотические формулы для решений систем линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков с тождественно вырожденной матрицей при производных в окрестности бесконечно удаленной точки. Установлены условия устойчивости решений названных систем.

Ключевые слова: асимптотическое решение, Хг-Д1агоаальнвя система, пучок матриц, асимптотическая устойчивость.

Ввшиввако Р.Р, Construction о f aeymptotioal formulée of solutions of llnear différentiel équations eyetem *l+h identioally eingular matrlx near dari»atlvs.-lianusorlpt.

Thesis for a degree of Candidate of a Solenoee In Phjr-sios and llathematios, spécialisation - 01.01.02 - dlfferen^ tlal équations. - Instituts of Ifathematiee, KAS of Ukraine, Kiev, 1997.

In the present work aeymptotloal properties of solutions of linear differential equations system of the 1-st and 2-nd order with identically Blngular matrix near derivatives In neighbourhood of infinity are investigated. Conditions of stability of solutions of the above systems are' determined.

Key words: asymptotloal solution, L - diagonal system, matrix bundle, asymptotloal stability.

Iltttn. no jpyxy 05.09.97. ®opM8T 60x64/16. llanlp jipyK. 0$c. apyK. !Tk. jrpyjt. apK. 1,39. Yu. $ap<5o-3tjKJ. 1,39. OO-h.-bjw. apK. 1,0. Tupas 100 np. 3eu. /V? BesKODTOEHO.

BîacpyK0B9H0 s iHCTjrryrl MaTeMaraKH HAH YitpaThb 252601 KhIb 4, Men, Byji. TepemeHKlBCBKa, 3