Построение и исследование структуры управляющих силовых полей, обеспечивающих движения с заданными свойствами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение

1 Решение задачи построения управляющих полей для различных движений частиц

1.1 Аналитическая электродинамика: основные результаты и их обсуждение.

1.2 Решение обратной задачи электродинамики в случаях стационарного магнитного и стационарного электрического полей.

1.3 Аналитическая конструкция электромагнитного поля для произвольных движений частиц.

1.3.1 Случай линейного однородного поля скоростей

1.3.2 Случай линейного неоднородного поля скоростей

2 Устойчивость движений на интегральных многообразиях в электродинамических системах

2.1 Исследование структуры и создание методов представления силового поля, обеспечивающих устойчивость интегральных многообразий

2.2 Исследование орбитальной устойчивости движений на некоторых типах интегральных многообразий

2.2.1 Решение задачи для сферы.

Проблемы решения различных обратнных задач математической физики, теории дифференциальных уравнений, теории управления уже в течение долгого времени находятся в центре внимания многих исследователей. Этот интерес вызван, с одной стороны, интересом к теоретическим проблемам, их новизной и нестандартностью постановок. С другой стороны, решение обратных задач имеет широкие практические приложения, связанные с разработкой новой техники, технологии и т.д.

Проблема поведения заряженной частицы в управляющих силовых полях имеет достаточно долгую историю. В качестве точки отсчета можно взять 60-е годы XIX века, когда Максвелл впервые сформулировал уравнения электромагнитного поля [36], [37]. В 1907 г. Штермер начал изучать траектории заряженных частиц в поле магнитного диполя. Полученные им результаты позднее применялись в исследованиях космических лучей и траекторий заряженных частиц космического происхождения в магнитном поле Земли. Классическую теорию движения заряженных частиц использовали также в своих ранних работах по теории строения атома Томсон, Резерфорд, Бор и другие.

Физическая сторона решаемой задачи представлена широко и полно во многих источниках. Ее освещали в своих трудах многие выдающиеся ученые, среди них: А. Пуанкаре [33], А. Лихтенберг [32], Б. Ленерт [31],

Л.Д. Ландау [30], Я.И. Френкель [53].

Несмотря на долгую историю, проблемы конструирования управляющих полей и исследования их свойств продолжают быть актуальными и поныне. Их значимость определяет интенсивная разработка электрофизической аппаратуры самого различного назначения и, как следствие, возникновение необходимости построения соответствующего математического аппарата. Электронные и ионные пучки в настоящее время используются в различных областях науки и техники — от ядерной физики до медицины, от новых технологий в энергетике до обработки тугоплавких металлов. При этом область применения пучков заряженных частиц расширяется год от года, требуя создания все более новых и совершенных систем управления.

В связи с вышесказанным изменились и требования, предъявляемые как к самим пучкам, так и к электроннооптическим системам, их порождающим. Для того, чтобы обеспечить требуемые режимы ускорения, фокусировки и транспортировки электронов и ионов необходимо создание специальных структур электромагнитных полей, обеспечивающих функционирование этих систем в заданных режимах. В этом направлении имеется множество работ различных отечественных и зарубежных авторов [2], [4], [5], [7], [26], [29], [34], [45], [43], [44], [46], [49], [50], [51], [52], [55], [56], [57].

Реальные задачи управления движением заряженных частиц по своей постановке очень сложны, т.к. требуют учета многочисленных физических параметров — диссипативных сил, взаимодействия между частицами, свойств ускорителя и т.п. Проблемы построения полей, реализующих заданные движения частиц, задачи формирования оптимальной динамики частиц еще более усложняют решение, зачастую делая его возможным только при помощи компьютерного моделирования. В связи с этим в течение последних десятилетий предлагались различные подходы к решению вышеперечисленных задач. Так в работах Б.Н. Бублика, Ф.Г. Геращенко, A.A. Кураева, Д.А. Овсянникова, В.В. Петренко, Ю.А. Свистунова рассматривалась задача многопараметрической оптимизации динамики частиц на основе теории управления, устойчивости, различных модельных представлений изучаемых процессов. Особое внимание уделялось выбору функционалов качества и методам их оптимизации.

Иной подход к решению обратных задач электродинамики был предложен В.И. Зубовым. Им было предложено осуществить поиск управляющих электромагнитных полей по заданному полю скоростей заряженных частиц. При этом необходимо, чтобы электромагнитное поле инициализировало движения заряженных частиц идентичные движениям, определяемым заданным полем скоростей. На этом пути В.И. Зубовым был получен ряд фундаментальных результатов. Была сформулирована и доказана основная теорема электродинамики — теорема о существовании решения обратной задачи электродинамики для любого поля скоростей заряженной частицы [25]. Кроме того, был исследован ряд частных случаев, когда поле скоростей определялось автономной системой дифференциальных уравнений, отсутствовала электрическая или магнитная составляющая электромагнитного поля, и были предложены математические методы построения этих силовых полей [17], [18], [20], [23], [25]. Данное направление прикладной математики получило название «аналитическая электродинамика». Дальнейшие научные исследования в этой области проводились Д.А. Овсянниковым [39], [40], [41], Н.В. Егоровым [42], А.Ю. Гартунгом [6], Е.Д. Котиной [27], [28], [54] и другими. Данная диссертация продолжает исследования в этом напрвлении.

В диссертационной работе рассматривается проблема конструирования и исследования структуры векторных силовых полей, обеспечивающих движения заряженных частиц и заданные свойства этих движений. В качестве базовой математической модели рассматривается обратная задача электродинамики — построение электромагнитного поля, порождающего данный тип движения, а, именно, — движения, описываемого линейным полем скоростей. Такая постановка задачи при условии независимости магнитного поля от пространственных координат позволяет получить выражения для управляющего электо-ромагнитного поля в аналитическом виде, и, как следствие, определить их структуру и свойства. В развитие данной тематики, рассмотрена сопутствующая задача, а, именно, алгоритм проверки условной орбитальной устойчивости движений на двух типах интегральных многообразий — поверхностях сферы и симплекса. Эти проблемы, рассматриваемые как обратные задачи электродинамики, впервые были сформулированы В.И. Зубовым.

Первой задачей, как было уже упомянуто выше, является аналитическая конструкция управляющего электромагнитного поля в случае линейного поля скоростей при условии независимости магнитной составляющей поля от пространственных координат. Данная модель включает в себя достаточно широкий класс движений заряженных частиц, и поэтому ее исследование представляется интересным и обоснованным как с физической, так и с математической точек зрения. Во-первых, при изучении реальных физических процессов (в частности, движения частиц) исследователи зачастую используют линеаризованные модели — модели первого приближения. Во-вторых, в математической теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории устойчивости наиболее разработанной является теория линейных систем дифференциальных уравнений. Сочетание этих факторов привело к постановке темы данной диссертации.

Второй задачей, рассмотренной в данной работе, является исследование условной орбитальной устойчивости движений заряженных частиц, на некоторых типах интегральных многообразий — сфере и симплексе.

Перейдем теперь к краткому изложению диссертационной работы.

Первая глава посвящена проблемам построения управляющих электромагнитных полей для различных движений заряженных частиц.

В параграфе 1.1 кратко излагаются основные результаты В.И. Зубова в области аналитической электродинамики. Рассматривается система дифференциальных уравнений, описывающая движение отдельной заряженной частицы, имеющей единичный положительный заряд, в электромагнитном поле Е, В

Х = У, ^-{тУ) = Е + У х Я+ У), (1) х ь где векторная функция X, У) явно не зависит от компонент электромагнитного поля и представляет собой различные потенциальные и диссипативные силы, возникающие от взаимодействия частицы с окружающей средой.

С другой стороны, задается распределение скоростей в пространстве и во времени

Х = ф,Х). (2)

Ставится вопрос о существовании электромагнитного поля, чтобы движения, определяемые системой (1), реализовывали поле скоростей (2). Эта же задача ставится и для электрического и магнитного потенциалов <р и А, определяемых по формулам

ЗА

В = тоЬА, \7(р = ~Е ——-, (3) при этом система (1) преобразуется к виду X = Y, ю = + rotA + G(t, X, У).

Приводятся теоремы о существовании полей и потенциалов, инициирующих движения в соответствии с заданным поле скоростей (2). При этом теорема существования, сформулированная для электрического и магнитного потенциалов, является общей по отношению к теореме существования, сформулированной для электромагнитных полей, т.к. допускает зависимость функции G от вектора А.

Далее рассматривается влияние свойств среды, в которой происходит движение заряженных частиц. Для изотропной среды, характеризуемой диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью /i, так что электрическая индукция D и магнитная напряженность Я определяются формулами

D = eE, Я = —, (5) Иформулируется теорема о существовании плотности тока J и пространственной плотности заряда р, создающих электромагнитное поле в среде, под действием которого заряженные частицы будет двигаться идентично с движениями системы (2). Величины J и р определяются через электромагнитное поле следующим образом Л 1 дЕ

ГО tB — £/i р — edi vE. (6) дг

В случае анизотропной среды, определяемой электрической поляризацией Р и магнитной поляризацией М, так что выполняются соотношения г)

И = е0Е + Р, Я =--М, (7) о где ео и до — диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума соответственно; Р = Р(£, X, У), М = — известные векторные функции, справедлива аналогичная предыдущей теорема существования плотности тока J и пространственной плотности заряда р. Эти величины имеют следующее представление дР rot М p = pQ + divP, (8) д t где Jo и ро — правые части (6) при е — £q и р = р^.

Рассматривается частный случай движения заряженных частиц в свободном пространстве при условии, что дифференциальные уравнения (1) принимают вид

X = Y, ^-{mY) = E + Y xB + Vg. (9)

СЛ/Ь

Формулируется теорема о существовании управляющего электромагнитного поля, определяемого потенциалами А, (/?, для которых справедливо представление

А = —тг), (р = —тс2 + д. (10)

Далее для движений, происходящих в соответствии с уравнениями (9), формулируется две теоремы, определяющих условия, при которых построенное поле является ускоряющим и фокусирующим.

Последней в первом параграфе приводится теорема, утвержающая возможность построения управляющего электромагнитного поля, так что E(t, X) является линейной функцией по отношению к компонентам вектора X, а поле В — не зависит от пространственных координат в том случае, когда поле скоростей (2) линейно и т — const.

Параграф 1.2 посвящен решению обратной задачи электродинамики в случаях, когда поле является стационарным, и при этом отсутствует электрическая или магнитная составляющая поля.

В начале рассматривается система

X = Y, 4-(mY) = Y xB + G{X,Y). (11) at

Для этой системы формулируется теорема существования поля В = В(Х), реализующего поле скоростей

X = rj(X). (12)

При этом, если G{X, Y) = 0 и г]2 = const, то В = —mvotrj(X).

Далее рассматривается аналогичная задача, но для случая стационарного электрического поля

X = Y, = £ + (13)

Для системы (13) также формулируются теоремы существования поля Е = Е(Х), реализующего поле скоростей (12) в общем и частном случаях.

Для потенциального поля скоростей r,(X) = Vu(X), (14) при условии G(X, Y) = 0, формулируется теорема, определяющая условия существования асимптотически устойчивого по Ляпунову интегрального многообразия ж2 = ^з = 0.

В параграфе 1.3 рассматривается задача аналитической конструкции управляющего электромагнитного поля для произвольных движений заряженных частиц

X = X(t,t0lX0) (15) при t <Е [¿о,+оо). При этом предполагается, что магнитная составляющая не зависит от пространственных координат, т.е. В = B(t).

Первая часть этого параграфа (пункт 1.3.1) описывает случай, когда векторная функция является дважды дифференцируемой и не обращается в нуль ни по одной из своих компонент при Ь 6 [¿о,+оо). Предполагается также, что скорость движения частицы является ограниченной функцией х\\ < ь0 « с, г е [¿0>+оо), где с — скорость света, т.е. движение (15) можно рассматривать как нерелятивистское, следовательно, уравнения движения примут вид тХ = Е + ХхВ. (16)

В силу наложенных на функцию условий, ее можно представить в виде частного решения линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

X = Р{Ь)Х (17) при начальном условии х0 = х(г0), (18) где Р(Ь) — симметрическая матрица, ее элементы — дифференцируемые функции при ¿6 [¿о, +оо).

Решая задачу нахождения электромагнитного поля, исходя из уравнения (16) и уравнения Максвелла

19) получаем

Е = [т{Р + Р2) - X, (20) t \

В — Вц ехр

Р(т)-Л(т))<гт , (21) где О

Я{В) =

63 -Ъ2 \

-Ьз 0 Ьх

V Ь2 -б! О /

Л(*) =

ЗрР(^) О О \ о 8рР(г) о о о Бр Р(г))

Во = В{1 о), Брр(г) = Ег=1 ри{Ь). Соответствующие вектор плотности тока и плотность зарядов будут выглядеть следующим образом

22) (23)

3=-е [т{Р + РР + РР) - К{В)Р - Я(В)Р] X, р = £т8р[(Р+Р2)-Я(Б)Р], где е — электрическая проницаемость среды.

Исходя из вышеприведенного, формулируется теорема об общем виде управляющих электромагнитных полей реализующих движение в поле скоростей, описываемом линейной однородной системой дифференциальных уравнений с симметрической матрицей, и обеспечивающих любой тип устойчивости этого движения.

Продолжая приведенные рассуждения, рассматриваются условия ограниченности электрического и магнитного полей. Особо рассматривается случай постоянной матрицы Р.

Далее описанная методика применяется в случае, когда исходные движения имеют вид X

1=Хг0ех^\ t>to, г = 1,2,3,

24) где Лi(t) = 1п (хг(£, ¿о> а матрица является диагональной Лх(£) 0 0 \

РЦ) о

V о

А2М О о Аз (*))

В этом случае управляющие поля будут иметь вид б! = т (Лхй + ХЩ XI - А2(£)&3ж2 + е2 = Л1(^)Ь3Ж1 + т (А2(0 + ж2 - А3(г)&1£3, , е3 = -\1{ф2Х1 + \2{ф1Х2 + т (А3(£) + А§(*)) х3, 6} = 6юехр(-(А2(0 + Аз(0)), < Ь2 = б2оехр(-(А1Й + Азй)), Ьз = Ьзоехр(-(А1Й + А2(£))), о чем формулируется соответствующая теорема, находятся выражения для соответствующих построенному полю вектора плотности тока и пространственной плотности зарядов. Приводится теорема, определяющая условия устойчивости движения.

Применение вышеописанного метода рассматривается на примере рекуррентного движения частицы где £ > ¿о > 0, к > 1.

В случае, если матрица Р(£) несимметрична, выражение (20) для электрической составляющей останется неизменным, а уравнение для нахождения магнитной составляющей примет вид

В пункте 1.3.2 рассматривается более общий случай, а именно, поле скоростей представимо в виде линейной неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений к

25) х = Р{г)х +

26) где P(t) — некоторая матрица, а U(t) — вектор, компоненты которых непрерывно дифференцируемы на [¿о, +оо). При этом можно рассматривать вектор-функцию U(t) как невязку между линейной системой первого приближения и нелинейной системой дифференциальных уравнений, описывающих поле скоростей для заданного движения частицы X = X(t,to, Xq). Таким образом, ограничения, наложенные в предыдущем пункте, связанные с требованием необратимости в нуль функций Xi(t,to, Xq), снимаются и остается лишь условие двухкратной дифференцируемости этих функций на интервале [¿о, +оо). Также U (t) можно рассматривать как управление и исследовать его влияние на реализующее электромагнитное поле.

Применяя аналогичную методику построения поля, получаем:

Е = т ((P{t) + P2{t))X + P{t)U(t) + Ü{t)) - R{B) {P{t)X + U{t)), а для определения магнитной составляющей получаем уравнение, совпадающее с уравнением (25), решение которого будет иметь вид

B = B(t) t

В~l{to)Bo + mj В~1{т)К{т)<1т to где В(£) — фундаментальная матрица соответствующей однородной линейной системы.

Далее приводится ряд теорем, характеризующих свойства устойчивости решений линейных систем, которые можно применить как к системе (25), так и к системе (26).

Выражения для плотности тока и пространственной плотности зарядов будут следующими

7 = -£[т{(Р + РР + РР)Х + Ри + Рй + й)

-ЩВ)(РХ Л-и)- 1{(В){РХ + г/)], (27) р - еБр [т{Р + Р2) - Я{В)Р] . (28)

В конце пункта приводится теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Вторая глава диссертации посвящена проблемам устойчивости интегральных многообразий систем дифференциальных уравнений, определяемых задачами электродинамики.

В параграфе 2.1 рассматривается система х = у,

29) тУ = У х В, где X, У (Е Я3, а вектор В — индукция магнитного поля.

Для систем такого вида приводится ряд теорем, сформулированных и доказанных В.И. Зубовым, характеризующих свойства существования, устойчивости и асимптотической устойчивости интегральных многообразий. Кроме того, приводятся конструктивные доказательства для некоторых из этих теорем, позволяющие определить структуру стационарного магнитного поля, реализующего заданные свойства поля скоростей (12).

В начале рассматривается случай, когда поле скоростей представи-мо в виде

X = П х V?; + АУг;, (30) где ь = Х2, £3), А = А(ж1, ^з) — некотроые скалярные функции, О, = #2, жз) — вектор из Я3. Причем функции г» и А рассматриваются как управления. В частности, если

Л = П<> - щ < У2 < . . . < ьп, т8 — рациональные числа вида ^/д.,, где р3, д6. — натуральные взаимно простые числа, qs — нечетны), то справедливы теоремы о существовании и свойствах частных интегралов системы (30).

После этого рассматривается задача о фокусировке движения заряженных частиц вдоль оси х\ стационарным магнитным полем В = В(Х). При этом поле ищется в виде

В = 1(Х)г,(Х) + г](Х)х^г1у (31) где /(X) — произвольная функция, удовлетворяющая лишь условию = 0.

Следующий рассматриваемый вопрос — определение структуры поля так, чтобы заданное равновесное движение было условно орби-тально устойчивым или же условно орбитально асимптотически устойчивым.

Для его решения приводится конструктивное доказательство, основанное на втором методе Ляпунова, налагающее условия на функцию правой части г](Х), определяющую поле В(Х) по формуле (31).

Равновесная траектория в пространстве конфигураций может быть представлена не только в параметрической форме. Далее рассматривается случай, когда такая траектория задается пересечением двух поверхностей.

Изучается структура стационарного магнитного поля, в котором существуют поверхности, заполненные равновесными движениями заряженных частиц, а также выводятся характеристики структуры, которая обеспечивает условную орбитальную асимптотическую устойчивость упомянутых движений.

Параграф 2.2 посвящен исследованию условной орбитальной устойчивости движений, расположенных на некоторых типах интегральных многообразий. Рассматривается задача следующего вида.

Уравнение, задающее поле скоростей, представляется в виде автономной системы дифференциальных уравнений

X = F(X), (32) где X = (ж1,ж2,ж3)т 6 i?3, функции правой части F = (/i,/2,/з)Г заданы и дважды непрерывно дифференцируемы. Одно из следующих выражений является частным интегралом системы (32): х\ + х\ + х\ = 1 (33) либо

XI + х2 + Х3 = 1, Xi £ (0,1), г = 1,3. (34)

Существует 27г-периодическое решение системы (32)

Ф(*) = М*),Ы*),¥>з(*))Т, (35) расположенное на поверхности сферы или симплекса соответственно. Требуется исследовать условную орбитальную устойчивость и автоколебательность (асимптотическую орбитальную устойчивость) периодического решения Ф(£), на поверхностях, удовлетворяющих уравнению частного интеграла.

В пункте 2.2.1 приводится метод, позволяющий свести задачу, сформулированную для сферы, к двухмерному случаю.

Для этого предлагается произвести переход к сферическим координатам (г, а\,а>2) по формулам

Х\ = COS Oil sin «2, Xi ~ sin «i sina2, «1 G [о, 27г), «2 G [0,7г], г = 1. (36)

X'¿ = COS СХ2 ;

В новых координатах система (32) принимает вид ai = — (/i(û!i, о;2) sin ai + /2 (ai, «2) cos o¿\) sin-1 o¡2, ( à2 = -/з(«1, o¡2) sin"1 a2, (37) r = 0, где fi(a 1, «2) = fi{COS Oil sin ÜÍ2, sin Oil sin «2J COS «2).

Далее изучается орбитальная устойчивость системы, состоящей из первых двух уравнений системы (37), по методу локальных орбитальных координат, описанном в параграфе 2.3.

В пункте 2.2.2 рассматривается аналогичная задача, сформулированная для симплекса (34). Метод ее решения аналогичен. Предлагается провести замену координат по формуле

Е = А(Х-Ф(10)) = А(Х-Ф0), где А — матрица следующего вида

А =

Ык)-Г2(к) ч/З fiM

1(*о)-/з(*о) ч/З ш v /Що Система (32) примет вид

2fa) - fl(to) ч y/3 h(k

FHtí AF (Ф0 + AT~

38)

Исходя из этой замены, получаем, что

2 = 0.

Откуда ¿2 = const. Так как центр новой системы координат расположен на симплексе, а вторая координатная ось перпендикулярна ему, то можно утверждать: ¿2=0.

Далее рассматривается система двух уравнений:

39)

6 = 9II 4 = 92 ( где д\ и д2 — правые части уравнений 1 и 3 в (38) соответственно, а 5 = (¿ь^з)7". Исследование системы (39) проводится также методом локальных орбитальных координат.

В параграфе 2.3 приводится описание метода локальных орбитальных координат, разработанного В.И. Зубовым, и предназначенного для исследования периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений на предмет орбитальной и асимптотической орбитальной устойчивости. В данном случае рассматривается двухмерный случай, когда автономная система представима в виде х = Ь{х,у), у =/2(ж, у) (40) и обладает следующими свойствами: а) функции /¿(х, у) заданы в некоторой области С плоскости Оху, вещественны, непрерывны и дважды непрерывно дифференцируемы там по своим аргументам; б) существуют две непрерывно дифференцируемые вещественные функции х = ч>1{Ь), у = (р2 (*), (41) периодические относительно t с общим периодом 2тт, являющиеся решением системы (40), график М которого содержится внутри в.

Путем замены координат вопрос об орбитальной (асимптотической орбитальной) усотойчивости системы, состоящей из двух уравнений, сводится к вопросу об устойчивости по Ляпунову нулевого решения одного дифференциального уравнения, который предполагается решать стандартными методами Ляпунова.

В случае аналитических правых частей системы (40) дается аналитический критерий устойчивости и неустойчивости предельного цикла (41).

- 21

Основные результаты диссертации были представлены на научных конференциях "Процессы управления и устойчивость" факультета При кладной Математики - Процессов Управления СПбГУ (1998 - 2001 гг.), на международной конференции по водородной энергетике и технологии "НУРОТНЕБК-Ш" (1999 г.), а также на международной конференции "Математические методы в технике и технологиях" (ММТТ-XIV, Смоленск, 2001 г.).

Заключение

Кратко сформулируем основные результаты диссертации:

1. Получена аналитическая конструкция управляющих электромагнитных полей, реализующих движения, поле скоростей которых представимо в виде: линейной однородной системы дифференциальных уравнений с симметрической матрицей (особо рассмотрены случаи постоянной и диагональной матрицы);

- линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений с произвольной матрицей. при условии независимости магнитной составляющей от пространственных координат.

2. Исследованы свойства управляющего электромагнитного поля для этих типов движений заряженной частицы.

3. Для всей совокупности построенных полей найдены выражения вектора плотности тока и пространственной плотности зарядов.

4. Показано, что для линейного поля скоростей существует трехпа-раметрическое семейство электромагнитных полей, его реализующее.

5. Приведены необходимые условия физической реализуемости управляющего электромагнитного поля.

- 88

6. Проведено исследование условной орбитальной устойчивости движений заряженной частицы на двух типах интегральных многооб разий — сфере и симплексе.

1. Арцимович Л.А., Лукьянов С.Ю. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. М.: Наука, 1978. 224 с.

2. Бенфорд А. Транспортировка пучков заряженных частиц. М., 1969.

3. Биркгоф Г. Динамические системы. М.: Гостехиздат, 1941.

4. Брук Г. Циклические ускорители заряженных частиц. М.: Атом-издат, 1970.

5. Бублик Б.Н., Геращенко Ф.Г., Кириченко Н.Ф. Структурно-параметрическая оптимизация и устойчивость динамики пучков. Киев, 1985.

6. Гартунг А.Ю. Рекуррентные движения в управляемых системах: Диссертация на соискание степени кандидата физ.-мат. наук: 01.01.09, 01.01.11 / ЛГУ. Л., 1990. 98 л., библ. л. 95-98.

7. Геращенко Ф.Г., Овсянников Д.А., Соколов П.С., Харченко И.И. Численно-параметрические методы оптимизаци динамики частиц в линейных ускорителях. // Оптимальное управление в механических системах. Киев, 1979, т. 1, с. 137-138.

8. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

9. Ершов A.A. Орбитальная устойчивость периодических движений на сфере. // Процессы управления и устойчивость: Труды XXIX научной конференции. СПб.: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 1998. С. 48-53.

10. Ершов A.A. Об общем виде решения системы автономных дифференциальных уравнений в одном случае. // Процессы управления и устойчивость: Труды XXX научной конференции. СПб.: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 1999. С. 43-47.

11. Ершов A.A. Решение обратной задачи электродинамики в случае рекуррентного движения частицы. // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXI научной конференции. СПб.: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2000. С. 158-161.

12. Ершов A.A. О решении задачи электродинамики для линейного поля скоростей. // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXII научной конференции. СПб.: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2001. С. 38-41.

13. Ершов A.A. Рекуррентные движения в электродинамических системах. // Математические методы в технике и технологиях: Сборник трудов XIV международной научной конференции. Смоленск, 2001. С. 27-28.

14. Зубов В.И. Аналитическая динамика гироскопических систем. JL: Судостроение, 1970. 317 с.

15. Зубов В.И. Аналитическая динамика стационарных многообразий. // Процессы управления и устойчивость: Труды XXX научной конференции. СПб.: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 1999. С. 11-14.

16. Зубов В.И. К управлению движением заряженных частиц в магнитном поле. // ДАН СССР. 1977. Т.232, № 4. С. 798-799.

17. Зубов В.И. Об эргодических классах рекуррентных решений. // ДАН СССР. 1960. Т. 132, № 3. С. 507-509.

18. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979. 400 с.

19. Зубов В.И. Теория уравнений управляемого движения. iL: Изд-во ЛГУ, 1980. 288 с.

20. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз, 1962. 630 с.

21. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М.: Высшая школа, 1982. 285 с.

22. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

23. Зубов В.И. Колебания и волны. Л.: Изд-во ЛГУ, 1989. 416 с.

24. Кирштейн П.Т., Кайно Г., Уотерс Ч. Формирование электронных пучков. М.: Мир, 1970. 600 с.

25. Котина Е.Д. Математические методы формирования динамики заряженных частиц: Диссертация на соискание степени кандидата физ.-мат. наук: 01.01.09, 01.01.11/ СПбГУ СПб., 1994. 87 л.

26. Котина Е.Д. Построение магнитных полей, вызывающих заданные движения. // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 17: Математические методы моделирования и анализа управляемых процессов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1996. С. 113-117.

27. Кураев A.A., Байбурин В.В., Ильин Е.М. Математические модели и методы оптимального проектирования СВЧ приборов. Минск, 1990.

28. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1967. 460 с.

29. Ленерт Б. Динамика заряженных частиц. М.: Атомиздат, 1967. 352 с.

30. Лихтенберг А. Динамика частиц в фазовом пространстве. М.: Атомиздат, 1972. 302 с.

31. Логунов A.A. К работам Анри Пуанкаре ':0 динамике электрона". М.: Изд-во МГУ, 1998. 99 с.

32. Лоусон Дж. Физика пучков заряженных частиц. М., 1980.

33. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М., Л.:ГИИТЛ, 1950.

34. Максвелл Дж.К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. М.: Гостехиздат, 1954. 688 с.

35. Максвелл Дж.К. Трактат об электричестве и магнетизме. В 2 т. М.: Наука, 1989. 415 с.

36. Новожилов Ю.В., Яппа Ю.А. Электродинамика. М.: Наука, 1978. 351 с.

37. Овсянников Д.А. Математические методы управления пучками. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. 228 с.

38. Овсянников Д.А. О динамике заряженных частиц в продольном магнитном поле. // Журнал технической физики. 1985, т. 55, в. 9, с. 1879-1880.

39. Овсянников Д.А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990.

40. Овсянников Д.А., Егоров Н.В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998. 276 с.

41. Овчаров В.Т. Теория формирования пучков заданной формы. // Радио и электроника. Вып. 12, N 6, 1967. С. 969-976.

42. Овчаров В.Т. Циллиндрический электронный пучок в однородном магнитном поле. // Сборник трудов конференции по СВЧ-электронике ГЭИ, 1959. С. 80-85.

43. Озерцовский В.Б. Обзор рекурсивных методов аналитического решения задачи о дрейфе незамагниченной заряженной частицы в неоднородных и нестационарных электрических и магнитных полях. М.: МАИ, 1997. 95 с.

44. Петренко В.В., Пономарёв В.Н., Соловьёва Т.П. Исследование оптимального формирования пучка в системе инжекции ЛУЭ наоснове модельных представлений. В кн.: Ускорители. М., 1980, в. 19.

45. Петровсий И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. 280 с.

46. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.: 1947.

47. Рошаль А.С. Моделирование заряженных пучков. М., 1979.

48. Свистунов Ю.А. Метод оптимизации движения электронов в линейном ускорителе с учётом сил объёмного заряда. Препринт В-0280. Л., 1976.

49. Сыровой В.А. Об однокомпонентных пучках одноимённо заряженных частиц. // Прикладная механика и техническая физика. N.3. М.: Наука, 1964. С. 24-31.

50. Сыровой В.А. Расчёт формирующих электродов в оптике плоских электронных пучков. // Радио и электроника. N.3, 1994. С. 481-487.

51. Френкель Я.И. Собрание избранных трудов. Т. 1. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. 370 с.

52. Kotina E.D. On charge particles dynamics formation. // Proc. of Int. Workshop Beam Dynamics and Optimization. St.Petersburg, Russia, 1995. p. 103-109.

53. Lee E.P., Cooper R.K. General envelope equation for cylindricslly symmetric charge particle beams. Particle Accelerators, 1976. v. 7.2.

54. Lucas A.R., Meltzer В., Stuart C.A. A general theorem for dense electron beams. // Journal of electronics and control, v.IV, No.l, 1958. C. 160-167.- 95

55. Meitzer B. Single-component stationary electron flow under space charge conditions. // Journal of Electronics. New York. v.II, No.l, 1956. C. 118-125.