Построение, исследование и применение методов численного решения задач гравитационной газовой динамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

московский государственный университет

им. м.в.ломоносова факультет вычислительной математики и кибернетики

Р Г Б ОД

На правах рукописи

2 7 ЯИВ 1ЯЯ7 удк519.62

Абакумов Михаил Владимирович

ЮСТРОЕНИЕ, ИССЛЕДОВАНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГРАВИТАЦИОННОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

Специальность 01.01.07- вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1996

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной" математики и кибернетики 'Московского государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук Ю.П. Попов

доктор физико-математических наук Б.Н. Чегверушкин

кандидат физико-математических наук Д.В. Бисикало

Институт космических исследований РАН

Защита состоится " 19 " ¿ребраля 199р года в часов на

заседании диссертационного совета Д.053.05,37 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитор™ 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан " __"_ 1996 г.

Ученый секретарь совета доктор физико-математических наук

профессор Моисеев Е.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Раздел вычислительной математики, связанный с построением и исследованием численных методов интегрирования уравнений газовой динамики, развивается давно и весьма успешно. Здесь получено много важных и интересных результатов, которые плодотворно внедряются и в другие сферы вычислительного естествознания. Однако исследования в этом направлении активно продолжаются и в настоящее время. Связано это со сложностью системы газодинамических уравнений, обусловленной прежде всего ее нелинейностью. Кроме того наука и техника постоянно выдвигают разнообразные актуальные прикладные задачи, основу математических моделей которых составляют уравнения газодинамики. Для их решения, как правило, необходима модификация известных или конструирование новых вычислительных алгоритмов.

Учет в газодинамике дополнительных физических факторов может заметно изменить структуру математической модели. Это в свою очередь порождает новые эффекты, для надежного воспроизведения которых в расчете требуются адекватные алгоритмические приемы. Так, учет нелинейной теплопроводности приводит к появлению.двух новых типов тепловых волн (тепловые волны 1 и II рода). Присутствие магнитного поля в проводящем газе приводит к появлению трех скоростей звука, большого количества разнообразных разрывов, необычных с газодинамической точки зрения альфвеновских волн и т.д.

Одним из классических объектов для применения методов математического моделирования является современная астрофизика. Возможности прямых наблюдений, а тем более натурного эксперимента, здесь ограничены и поэтому роль теоретических исследований традиционно высока. На современном этапе математические модели в астрофизике становятся весьма сложными и их эффективное исследование, невозможно без использования всего арсенала средств математического моделирования. Необходимо также подчеркнуть, что на основании результатов расчетов здесь делаются выводы, существенные для астрофизической науки в целом. Поэтому требования к надежности расчетов возрастают.

Наличие тяготения и вращения, что характерно для задач астрофизики, порождает специфический класс математических моделей ( гравитационная газовая динамика ). Разработка, исследование и применение вычислительных методов для этой области газодинамики и составляет предмет рассмотрения настоящей работы, что обуславливает ее актуальность.

При численном решении система уравнений газовой динамики (и соответственно, гравитационной газодинамики) аппроксимируется разностной схемой, которая представляет собой некоторую дискретную модель изучаемого объекта. Дискретная и "дифференциальная" модели не тождественны друг другу. Дискретная модель может оказаться неконсервативной, то есть в ней не выполняются разностные аналоги законов сохранения. В дискретной модели проявляются диссипативные и дисперсионные факторы, имеющие чисто разностную природу. В силу отмеченных причин, решения, полученные численно на основе дискретной модели, могут заметно отличаться от решений дифференциальной задачи. При этом поведение численного решения зависит от шагов разностной сетки, способа аппроксимации отдельных членов исходных дифференциальных уравнений, аппроксимации граничных условий, способа представления области, в которой решается задача и т.д. Поэтому задача вычислительной математики состоит в разработке таких численных методов, где искажающее влияние указанных схемных факторов было бы минимальным. Кроме того метод должен быть эффективным, то есть требовать для реализации не слишком большого объема вычислительной работы. Для достижения этих целей существует широкий круг идей и подходов, который постоянно расширяется.

В мировой вычислительной практике при расчетах газодинамических задач, в том числе и задач гравитационной газодинамики, широко используется разностная схема Роу (P.L. Roe Схема Роу принадлежит к классу эйлеровых явных разностных схем сквозного счета годуновско-го типа и удовлетворяет свойству монотонности, то есть не допускает осцилляций нефизического характера. При построении этой схемы для аппроксимации потоков на вводимой пространственной разностной сетке используется решение задачи о распаде произвольного разрыва (Rieman problem). В отличие от схемы Годунова2, где эта задача решается точно, в схеме Роу она решается приближенно (Approximate Rieman Solver), и нет необходимости находить решение нелинейных алгебраических уравнений в каждом узле сетки.

Однако, необходимо отметить, что наряду с отмеченными достоинствами схема Роу обладает рядом известных недостатков, которые негативно влияют на качество численного решения. Так, например, известны варианты начальных данных одномерной задачи, при которых в численных решениях, полученных с использованием схемы Роу, появля-

1 Roe P.L Characteristic-based schemes for the euler equations - Ann.Rev. Fluid Mech., 1986, V.18, P. 337-365.

2 Годунов C.K. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. - Матем. сб., 1959, Т.47, вып. 3, С.271-306.

)тся ударные водны разрежения (B.Einfeldt3). Заметим также, что моно-онность схемы Роу можно строго обосновать только для случая линей-гой гиперболической системы уравнений, и известны примеры, когда хема Роу дает немонотонное решение (К.В.Вязников и др.4). В связи с там представлялось важным провести исследование схемы Роу и более [етально изучить ее свойства. При расчете задач, рассматриваемых в ра-юте, с целью обеспечения большей надежности результатов считалось (елесообразным параллельно использовать альтернативный численный )етод. В качестве такового была выбрана разностная схема, построения в работе на основе метода крупных частиц. Данный метод является >дним из методов построения разностных схем для системы уравнений азовой динамики в эйлеровых переменных. При построении схем по тому методу используется идея расщепления исходной нестационарной истемы уравнений газовой динамики по физическим процессам. В этом лучае схема строится по этапам, на каждом из которых аппроксимиру-:тся соответствующий газодинамический процесс.

Одним из первых численных методов, в котором реализована идея юэтапной аппроксимации газодинамических процессов, является метод [астиц в ячейках, предложенный Харлоу Особенность этого метода :остоит в применении совместного эйлеро-лагранжева подхода для федставления движущейся среды. В области решения вводится непо-узижная (эйлерова) расчетная сетка, состоящая -из ячеек, а среда заме-шется дискретной моделью, состоящей из совокупности частиц фикси-юванной массы (лагранжева сетка частиц). На первом этапе вычислений жссчитывается изменение параметров жидкости за счет сил давления в шементарном объеме, фиксированном в жидкости (лагранжевой ячей-се), который первоначально совпадает с эйлеровой ячейкой. При этом 1роисходит изменение границ лагранжевой ячейки. На втором этапе мо-телируется движение потока частиц через границы эйлеровых ячеек. В зезультате происходит перераспределение частиц по эйлеровой сетке, ría заключительном этапе происходит окончательное перераспределение лассы, импульса и энергии на основе аппроксимации законов сохране-тая.

В результате дальнейшего развития подхода, описанного выше, воз--1ик метод крупных частиц, предложенный О.М. Белоцерковским и

; Emfeldt В On Godunov-type methods for gas dynamics. - SLAM J. Nurrier Anal., 1988, V.24, P. 294-318.

1 Вязников K.B., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Численные примеры квазимонотон-

ных схем газовой динамики. - М.'. преперинт ИПМ АН СССР им. М.В. Кеддыша,

1988, №121.

' Харлоу Ф. Численный метод частиц в ячейка* для задач гидродинамики. - В сб.:

Вычислительные методы в гидродинамике. - М: Мир, 1967, с. 316-342.

Ю.М. Давыдовым 6. В этом методе, в отличие от метода Харлоу, вместо дискретной совокупное™ частиц в ячейках рассматривается масса всей эйлеровой ячейки и непрерывные потоки массы через границы ячеек. Эти потоки вычисляются на основе аппроксимации закона сохранения массы, записанного для каждой эйлеровой ячейки.

В данной работе на основе метода крупных частиц строились разностные схемы, которые обладают свойством монотонности и консервативности. Схемы исследовались аналитически с использованием метода дифференциальных приближений. Проведено исследование устойчивости схем, а также их внутренних дассипативных свойств. На основе проведенного исследования предложен способ выбора оптимального шага по времени. В двумерном случае были построены схемы с автомагическим выбором шага по времени для декартовой и полярной систем координат. Схема для случая декартовой системы координат позволяет вести однородные вычисления при наличии в расчетной области обтекаемых тел достаточно произвольной формы.

Схемы, построенные в работе, сравнивались со схемой Роу на основе тестовых расчетов. В одномерном случае сравнение проводилось на примере задачи о распаде произвольного разрыва. В двумерном случае -на основе задач об обтекании плоскопараллельным потоком газа цилиндрического тела (такие течения являются одним из часто встречающихся элементов в задачах гравитационной газодинамики). В работе проведена серия численных расчетов задач этого класса в декартовой и полярной системах координат. В результате проведенного исследования были отмечены неизвестные ранее негативные особенности схемы Роу, которые необходимо учитывать при ее использовании в расчетах и более сложных задач. Показано, что построенные в работе разностные схемы метода крупных частиц не обладают отмеченными недостатками, присущими схеме Роу. Исследовано влияние криволинейности системы координат на свойства разностных схем и, соответственно, на вид получаемых численных решений. Проведено сравнение результатов расчетов задач в декартовой и полярной системах координат.

Конкретной сферой приложения рассмотренных в работе численных методов решения задач гравитационной газовой динамики является задача об образовании спиральных волн в аккреционном диске двойной звездной системы. Для обеспечения надежности проводимых расчетов при решении данной задачи использовалась как схема метода крупных частиц, построенная в работе, так и схема Роу. Это дало возможность осуществить взаимный контроль методов и повысить достоверность результатов.

6 Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. -М.: Наука, 1982.

Из астрономии известно, что более 70% всех звезд являются двойными или кратными. Поэтому большие усилия ученых сосредоточены на исследовании двойных звездных систем, состоящих., из двух компонент, вращающихся относительно общего центра масс. Характерным для двойных систем является перетекание газа между компонентами и его поглощение одной из них. Этот процесс обычно сопровождается образованием газового облака вокруг поглощающей компоненты. Такое образование в астрофизике называют аккреционным диском, а процесс поглощения - аккрецией.

Если аккрецирующая компонента двойной звездной системы является нейтронной звездой или черной дырой, то исследование процессов в аккреционном диске - единственный способ получения информации о свойствах этих уникальных объектов. Поэтому изучение процессов в аккреционных дисках имеет фундаментальное значение.

Большой интерес в теории аккреционных дисков представляет изучение механизмов потери веществом углового момента, которые определяют темпы аккреции и интенсивность связанного с ней излучения. Процессы аккреции приводят к изменению массы аккрецирующей компоненты и являются существенным фактором, влияющим на эволюцию системы в целом. Наблюдения свидетельствуют, что структура аккреционных дисков может быть весьма сложной и разнообразной из-за наличия газодинамических, гравитационных, ротационных и других процессов. Поэтому механизмы потери веществом углового момента также чрезвычайно сложны. Показано, что к потере углового момента могут приводить такие факторы, как турбулентная и магнитная (при наличии магнитных полей) вязкости.

В работах последних лет (К.8а\уас1а и др.7, О.Мокеш и др.8) проводилось математическое моделирование процессов в аккреционном диске. На основе анализа полученных в этих работах результатов была, в частности, высказана идея о том, что одной из причин потери веществом углового момента может являться образование спиральных ударных волн, названных так по форме своего фронта.

Проводились расчеты (К.8ашас1а, Н.Зршн и др.9), в которых аккреционный диск выделялся в качестве самостоятельного элемента, и исследовалось влияние на него только гравитационного взаимодействия с компонентами двойной звездной системы и ее вращения. При этом не

7 Sawada K., Sekino N.. Sawada K., Shima E. Instability of accretion discs with spiral shocks.-KEK Progress Report, 1990 ,V.89, P I 97-206

s Molteni D., Belvedere G., Lanzfame G. Three-dimensional simulation of polytropic acrection discs. - Monthly Notices Roy. Astron. Soc., 1991, V.249, P.748.

' Matsuda T., Sekino N., Shima E., Sawada K., and Spruit K Mass transfer by tidally induced spiral shocks in an accretion disk. - Astron. Astrophys, 1990, V.235.P.211-218.

учитывались такие эффекты, как перетекание газа между компонентами самогравитация газа, влияние излучения и магнитных полей. Однако необходимо отметить, что рассматривался только частный случай исходного состояния диска, и в качестве начальных данных задавалась двумерная конфигурация газа с постоянной плотностью и числом Маха, скорость вращения которой распределена по Кеплеровскому закону. В этом случае давление в газовой конфигурации убывает пропорционально радиусу и является максимальным на внутренней границе диска. Кроме того, как показано в диссертации, в трехмерном случае не существует дискообразных равновесных конфигураций политропного газа с Кеплеровским распределением скорости вращения. Таким образом, вопрос об обоснованном с физической точки зрения выборе начального состояния диска представляет самостоятельный интерес.

Равновесные газовые конфигурации вблизи гравитирующих тел изучались многими авторами10 еще со времен Пуанкаре, которому принадлежит ряд интересных результатов в этой области11. В диссертации этот вопрос рассматривался в связи с построением модели равновесного аккреционного диска. Была решена задача о равновесии цилиндрически симметричной конфигурации идеального политропного газа, стационарно вращающегося вокруг гравитирующего центра, и получены некоторые неизвестные ранее результаты. Доказаны теоремы о существовании и единственности решения этой задачи. Детально изучены частные случаи Кеплеровского и твердотельного движения. Показано, что для таких законов распределения скорости вращения газа не существует равновесных конфигураций, имеющих дискообразную (по форме напоминающую тор) форму. Доказана теорема о том, что заданием формы границы газовой конфигурации (или, что тоже самое, пространственной области заполненной газом), удовлетворяющей сформулированному в работе условию гладкости, а в остальном произвольной, однозначно определяются газодинамические параметры конфигурации в целом. Исследован вопрос об использовании рассматриваемых в работе трехмерных стационарных конфигураций газа, вращающихся вокруг гравитирующего центра, при математическом моделировании процессов в аккреционных дисках в двумерном приближении. Равновесность построенных двумерных равновесных конфигураций подтверждена численными расчетами.

При выборе в качестве начального состояния диска равновесной газовой конфигурации процессы в нем определяются исключительно взаимодействием со второй компонентой двойной системы и вращением

10 Лихтенштейн Л. Фигуры равновесия вращающейся жидкости. - М.: Наука,1965.

"Аппель П. Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости. - ОНТИ.Л,-М.,1936.

системы в целом. В диссертации была проведена большая серия численных расчетов следующей задачи. Рассматривалась двойная звездная система, заданная массами своих компонент и расстоянием между ними, вращающаяся вокруг своего центра масс. Вводилась полярная неинер-циальная система координат с центром в первичной компоненте, вращающаяся вместе с двойной системой. Расчетная область представляла собой кольцо с центром в начале координат. В качестве начального состояния аккреционного диска выбиралась одна из стационарных газовых конфигураций построенных в диссертации. Самогравитация газа не учитывалась.

Численные расчеты данной задачи показали, что процесс изменения исходной стационарной конфигурации диска имеет три основные стадии развития. На первой стадии исходная стационарная конфигурация под воздействием гравитации вторичной компоненты и вращения системы разрушается. При этом газ под действием внешних сил начинает двигаться в положительном радиальном направлении. Далее возникает волна разрежения, вызывающая отток газа к центру области и его остановку (в смысле радиального движения). Образующаяся в результате ударная волна, фронт которой имеет почти круговую форму, распространяется на периферию области. За ее фронтом зарождается новая квазиравновесная конфигурация с радиальной составляющей скорости, близкой к нулю, и возникают спиральные ударные волны. На следующей стадии радиальная волна покидает границы расчетной области и устанавливается структура, содержащая спиральные ударные волны, которая качественно не меняется в течение времени порядка полного оборота системы. На третьей стадии форма фронтов спиральных ударных волн меняется, и фронты начинают двигаться против направления движения частиц газа.

Проведен анализ полученных результатов, который позволяет сделать вывод о том, что спиральные волны являются эффективным механизмом потери веществом углового момента. Изучено также влияние на характер процессов в аккреционном диске параметров двойной системы, начальной конфигурации диска, а также способов задания граничных условий.

В диссертации проведено сравнение результатов расчетов описанной задачи, полученных по схеме крупных частиц, построенной в работе, и схеме Роу. Сравнение показало, что оба метода дают весьма сходные результаты, что может служить дополнительным аргументом в пользу их достоверности. Также проведено сравнение результатов математического моделирования, полученных в диссертации и работах других авторов.

Цель работы

1. Построение и исследование разностных схем метода крупных частиц и их сравнение со схемой Роу на основе тестовых расчетов модельных задач об обтекании цилиндрического тела плоскопараллельным потоком, газа. Исследование особенностей схемы Роу при расчетах задач, рассматриваемого в работе класса, в декартовой и полярной системе координат.

2. Применение схем метода крупных частиц, построенных в работе, и схемы Роу для математического моделирования задачи об аккреционном диске, двойной звездной системы , начальное состояние которого представляет собой стационарную газовую конфигурацию. Исследование влияния на процессы в аккреционном диске параметров двойной системы. Сравнение результатов, получаемых по схеме метода крупных частиц и схеме Роу, для обеспечения большей достоверности результатов.

Научная новизна

1. На основе метода крупных частиц построены новые консервативные разностные схемы для одномерного и двумерного случая, обладающие свойством монотонности. Получено условие устойчивости этих схем и предложен способ автоматического выбора шага по времени. В двумерном случае в декартовой системе координат построенная схема позволяет проводить однородные вычисления при наличии в расчетной области обтекаемых тел достаточно произвольной формы.

2. Изучены неизвестные ранее негативные особенности схемы Роу, которые необходимо учитывать при ее использовании в численных расчетах.

3. Решена задача о равновесии цилиндрически симметричной конфигурации идеального политропного газа, вращающегося вокруг грави-тирующего центра. Доказаны теоремы существования и единственности ее решения. Рассмотрены частные случаи и построены решения с заранее заданными свойствами.

4. Проведено численное моделирование процессов в аккреционном диске двойной звездной системы с физически обоснованными начальными данными. Изучены механизмы возникновения спиральных ударных волн и связанной с ними потери веществом углового момента.

Практическая значимость

1. В работе построены и обоснованы монотонные консервативные разностные схемы, которые могут быть использованы при численном решении широкого класса задач гравитационной газодинамики.

2. Отмечены неизвестные ранее негативные особенности разностной схемы Роу, которые необходимо учитывать при ее использовании в численных расчетах.

3. Построены равновесные цилиндрически симметричные конфигурации идеального лолитропного газа, вращающиеся вокруг гравити-рующего центра, которые могут быть использованы при математическом моделировании процессов в аккреционных дисках в двумерном и трехмерном приближении.

4. Проведено математическое моделирование процесса возникновения спиральных ударных волн в аккреционном диске двойной звездной системы, начальное состояние которого представляет собой равновесную, физически обоснованную газовую конфигурацию. Изучено влияние на процессы в диске параметров двойной системы, а также способов выбора начальных и граничных условий.

5. Предложен усовершенствованный метод построения и идентификации линий уровня функции двух переменных, заданной аналитически или таблично в декартовой и полярной системе координат, который реализован в виде пакета прикладных программ.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на:

- семинарах отдела №11 ИПМ им. М.В.Келдыша РАН;

- заседании кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова;

- семинаре института Астрономии РАН ;

- семинаре ГАИШ при МГУ им. М.В. Ломоносова.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано пять научных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации.

Диссертация состоит из четырех глав, введения, приложения и списка литературы, содержащего 55 наименований. Работа изложена на 125 страницах машинописного текста, содержит 75 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы, сформулированы результаты, которые выносятся на защиту.

Первая глава диссертации, состоящая из 3 параграфов, посвящена исследованию разностной схемы Роу, которая широко применяется в мировой вычислительной практике в расчетах газодинамических задач.

В первом, параграфе рассматривается метод построения разностной схемы Роу, которая принадлежит к классу эйлеровых явных разностных схем сквозного счета годуновского типа и удовлетворяет свойству монотонности, то есть не допускает осцилляции нефизического характера. При построении этой схемы для аппроксимации потоков на вводимой разностной сетке используется решение задачи о распаде произвольного разрыва (Rieman problem). При построении схемы Роу эта задача решается приближенно (Approximate Rieman Solver), что отличает ее от схемы Годунова, где задача о распаде разрыва решается точно, и необходимо решение нелинейных алгебраических уравнений в каждом узле сетки.

Во втором параграфе рассматриваются особенности схемы Роу в расчетах задачи об обтекании цилиндрического тела плоскопараллельным потоком газа в декартовой системе координат в двумерной постановке. Приводятся примеры, в которых схема Роу дает в качестве элементов численного решения ударные волны разрежения, присоединенные к неровностям сеточной границы обтекаемого тела, образование которых в газодинамических течениях, как известно из теоретической газовой динамики, противоречит теореме Цемплена. Впервые отмечена возможность качественной зависимости численного решения, полученного по схеме Роу, от выбора пространственной разностной сетки и приведены примеры таких расчетов.

В третьем параграфе рассматриваются особенности схемы Роу в расчетах задачи о сверхзвуковом обтекании цилиндрического тела в полярной системе координат, где сеточная граница цилиндрического тела представляется наиболее просто и естественно. Однако, в полярной системе координат проявляется ряд особенностей схемы, связанных с кри-волинейностью координатной системы, которые приводят к заметным искажениям получаемых численных решений.

Вторая глава диссертации, состоящая из десяти параграфов, посвящена построению разностных схем по методу крупных частиц и их исследованию с помощью метода дифференциальных приближений.

В первом параграфе описываются известные идеи построения разностных схем по методу крупных частиц, предложенному в работах О.М. Белоцерковского и Ю.М. Давыдова. Суть метода крупных частиц состоит в поэтапной аппроксимации исходной системы уравнений газовой динамики в переменных Эйлера. Пространственная область разбивается разностной сетаой на ячейки. На первом этапе аппроксимируются уравнения движения и энергии с отброшенными конвективными слагаемыми в предположении постоянства плотности газа. Получаются

промежуточные значения скорости и энергии. На втором этапе по значениям промежуточной скорости, полученной на первом этапе, определяются массы газа перетекающие через границы ячейки за один шаг по времени. На третьем этапе рассчитывается перераспределение потоков массы импульса и энергии для каждой ячейки на основе аппроксимации соответствующих интегральных, уравнений и определяются окончательные значения газодинамических параметров в ячейке на следующий момент времени.

Во втором параграфе рассматривается одномерная разностная схема метода крупных частиц, предложенная в работе О.М. Белоцерковско-го и Ю.М. Давыдова6. Особенностью данной схемы является неустойчивая аппроксимация уравнений первого этапа с использованием центральной разностной производной. Неустойчивость аппроксимации уравнений первого этапа проявляется в виде немонотонности (осцилляции нефизического характера) соответствующих численных решений и эффективное использование этой схемы возможно только в случае явного введения членов искусственной вязкости. В этом параграфе строятся разностные схемы, обладающие свойством монотонности, в которых аппроксимация уравнений первого этапа изменена.

В третьем параграфе исследуется консервативность построенных разностных схем. Уточняется аппроксимация уравнений первого этапа и строится консервативная разностная схема метода крупных частиц, обладающая свойством монотонности.

В четвертом параграфе с помощью пакета аналитических вычислений REDUCE строятся П'формы первых дифференциальных приближений разностных схем, рассматриваемых в работе. В явном виде находятся коэффициенты схемной вязкости и дисперсии. На основе анализа дифференциальных приближений сформулированы условия устойчивости построенных разностных схем. Проводится анализ внутренних диссипативных и дисперсионных факторов, влияющих на свойства схем.

В пятом параграфе проводятся тестовые расчеты модельной задачи о распаде произвольного разрыва и сравнение на их основе построенных схем метода крупных частиц со схемой Роу. Подтверждаются выводы о свойствах разностных схем, сделанные на основе анализа дифференциальных приближений. В частности, приводятся расчеты, подтверждающие точность и неулучшаемость оценки устойчивости построенных схем, а также монотонность построенной консервативной схемы.

В шестом параграфе предлагается, способ автоматического выбора шага по времени в консервативной монотонной схеме метода крупных частиц на основе оценки устойчивости. Проводится сравнение данной схемы с автоматическим выбором шага по времени и схемы Роу. Приводится пример начальных данных задачи о распаде произвольного разрыва, при которых схема Роу дает в качестве элемента численного peine-

ния ударную волну разрежения, а схема метода крупных частиц с автоматическим выбором шага по времени не дает такой особенности.

В седьмом параграфе результаты исследований, проведенные для одномерного случая, обобщаются на случай двух пространственных переменных декартовой системы координат и строится двумерная консервативная монотонная разностная схема метода крупных частиц с автоматическим выбором шага по времени. Данная схема позволяет проводить однородные вычисления при наличии в расчетной области обтекаемых тел (с заданными на их границе условиями непротекания) достаточно произвольной формы.

В восьмом параграфе проводятся тестовые расчеты задачи об обтекании плоскопараллельным потоком газа цилиндрического тела по построенной двумерной схеме крупных частиц с автоматическим выбором шага по времени. Результаты расчетов сравниваются с результатами, полученными в расчетах по схеме Роу. Сравнение показало, что построенная схема не обладает негативными особенностями, отмеченными для схемы Роу, такими, как качественная зависимость численного решения от выбора пространственной сетки и образование ударных волн разрежения в численных решениях.

. В девятом параграфе строится разностная схема метода крупных частиц для случая полярной системы координат. Рассматриваются особенности построения схемы, определяемые криволинейностью системы координат. Предлагается вариант схемы с автоматическим выбором шага по времени и искусственной вязкости, наиболее эффективный для случая полярной системы координат. ■ . ■ ■

В десятом параграфе проводятся тестовые расчеты задачи об обтекании плоскопараллельным потоком газа цилиндрического тела по построенной схеме крупных частиц с автоматическим выбором шага по времени и искусственной вязкости в полярной геометрии. На основе этих расчетов проводится сравнение схемы крупных частиц и схемы Роу для случая полярной системы координат. Сравнение показало, что результаты, получаемые по схеме метода крупных частиц при расчетах задач такого класса, являются более предпочтительными, особенно на грубых пространственных сетках.

Третья глава диссертации, состоящая из десяти параграфов, посвящена построению и исследованию математической модели равновесных конфигураций идеального политропного газа, вращающегося вблизи гравитирующего центра.

В первом параграфе рассматривается конфигурация политропного газа, вращающаяся вокруг гравитирующего центра. Газ описывается системой уравнений гидростатического равновесия в переменных Эйлера в цилиндрической системе координат. Форма газовой конфигурации, то

есть область в цилиндрической системе координат, заполненная газом, заранее не известна и подлежит определению. В предположении цилиндрической симметрии течения получена система уравнений, описывающая газовую конфигурацию в этом приближении.

Во втором параграфе рассматривается общее решение полученной системы. Показано, что оно полностью определяется заданием закона распределения скорости вращения газа и произвольной константой. Выделен случай изотермического течения.

В третьем параграфе доказываются теоремы о существовании и единственности решения системы уравнений, описывающей стационарную газовую конфигурацию. Получен общий вид границы газовой конфигурации и пространственной области, где решение существует в зависимости от закона распределения скорости вращения. Доказана теорема о том, что заданием формы границы газовой конфигурации (или, что тоже самое, пространственной области заполненной газом), удовлетворяющей сформулированному в работе условию гладкости, а в остальном произвольной, однозначно определяется решение системы уравнений и газодинамические параметры конфигурации в целом.

В четвертом параграфе рассматривается частный вид решений, которые представляют интерес при изучении дискообразных (по форме напоминающих тор) газовых конфигураций, моделирующих аккреционные диски вблизи гравитирующих объектов.

В пятом параграфе исследуются возможные стационарные конфигурации газа, в которых скорость распределена по закону твердотельного вращения. Показано, что при таком распределении скорости вращения газа в рамках построенной модели не существует собственно дискообразных конфигураций.

В шестом параграфе исследуются возможные стационарные конфигурации газа с Кеплеровским законом распределения скорости вращения газа. Показано, что при таком распределении скорости также не существует дискообразных стационарных конфигураций.

В седьмом параграфе приводится пример закона распределения скорости, при котором возможны дискообразные конфигурации по форме близкие к тору.

В восьмом параграфе приводится пример газовой конфигурации, -раница которой задается явно и тем самым, как было показано в работе, определяется однозначно. При этом закон распределения скорости /же не является монотонной функцией радиуса.

В девятом параграфе изучается вопрос об использовании рассматриваемых в работе трехмерных стациойарных конфигураций газа, вра-цающихся вокруг гравитирующего центра, при математическом моде-шровании процессов в аккреционных дисках в двумерном прибдиже-

нии. Показано, что интегральные характеристики газодинамических параметров трехмерных конфигураций удовлетворяют двумерной системе уравнений газовой динамики, в которой выражение для силы гравитации несколько отличается от обычного вида. Однако для конфигураций, рассматриваемых в работе, это отличие пренебрежимо мало.

В десятом параграфе проведены численные расчеты, подтверждающие стационарность, двумерных газовых конфигураций, полученных на основе трехмерных решений. Расчеты показали, что параметры двумерной конфигурации существенно не изменяются в течение времени порядка полного оборота конфигурации вокруг гравитирующего центра.

В четвертой главе диссертации проводится математическое моделирование процессов в аккреционном диске двойной звездной системы. Для обеспечения большей достоверности результатов расчеты проводятся как по схеме метода крупных частиц, построенной в работе, так и по схеме Роу. Полученные результаты сопоставляются с результатами, полученными в работе К.Балуаба, Н Зргий и др.9, в которой проводились расчеты процессов в аккреционных дисках с использованием разностной схемы Роу.

В первом параграфе описывается задача об аккреционном диске двойной звездной системы в двумерной постановке. Рассматривается двойная звездная система, заданная массами своих компонент и расстоянием между ними. Скорость вращения такой системы определяется третьим законом Кеплера, а координаты центра масс - соотношением равенства моментов. Вводилась полярная неинерциальная система координат с центром в первичной компоненте, вращающаяся вместе с двойной системой. Расчетная область представляла собой кольцо с центром в начале координат. В такой системе координат на частицу газа действуют силы гравитационного взаимодействия, центробежная сила и сила Кориолиса. Самогравитация газа не учитывалась. В качестве начального состояния аккреционного диска выбирается одна из двумерных стационарных конфигураций, полученная в предыдущей главе, что отличает рассматриваемую постановку задачи от постановок аналогичных задач в работах других авторов.

Достоинством данной постановки задачи является то, что аккреционный диск локализуется как самостоятельное образование, и появляется возможность исследовать влияние на его эволюцию отдельных факторов, таких, как гравитационное взаимодействие со вторичной компонентой и вращение двойной системы.

Во втором параграфе описываются результаты численных расчетов описанной выше задачи. Выделяются три основные стадии развития процессов в аккреционном диске. На первой стадии процесса исходная стационарная конфигурация под воздействием гравитации вторичной

компоненты и вращения системы начинает разрушаться, возникает волна разрежения, а потом и радиальная ударная волна, двигающаяся к внешней границе области. За фронтом радиальной ударной волны зарождается новая квазиравновесная конфигурация с радиальной составляющей скорости близкой к нулю. На следующей стадии, когда радиальная волна покидает границы расчетной области, устанавливается структура, содержащая спиральные ударные волны, которая качественно не изменяется в течение времени порядка полного оборота системы. На третьей стадии спиральные ударные волны видоизменяются и их фронты начинают двигаться против направления вращения частиц газа. Показано, что спиральные ударные волны приводят к потере газом углового момента на всех стадиях процесса. Проведено сравнение результатов расчетов описанной задачи, полученных по схеме крупных частиц, построенной в работе, и схеме Роу. Сравнение показало, что оба метода дают весьма сходные результаты, что может служить дополнительным аргументом в пользу достоверности полученных результатов.

В третьем параграфе исследуется влияние на характер процессов в диске вариантов выбора граничных условий. Расчеты показали, что течение процессов в диске на основных стадиях, описанных выше, не имеет существенной качественной зависимости от вида граничных условий.

В четвертом параграфе проводилось исследование влияния параметров системы на характер процессов в диске. В частности, в случае, когда масса вторичной компоненты на порядок меньше массы первичной компоненты, не наблюдалось образования спиральных ударных волн, а потеря веществом углового момент осуществлялась исключительно за счет приливных эффектов. Необходимо отметить, что в расчетах, проведенных K.Sawada, H.Spruit и др.9 спиральные волны проявлялись и в этом случае. Проведено также исследование влияния на процессы в диске вариантов выбора исходной равновесной конфигурации.

В приложении рассматривается методика построения линий уровня функции двух переменных, заданной аналитически или таблично в декартовой или полярной системе координат, за основу которой выбран известный метод рекурсивного спуска по квадродеревьям. Решена задали идентификации линий уровня. Усовершенствованный алгоритм реализован в виде пакета прикладных программ, который использовался три представлении численных результатов, полученных в работе.

В заключение автор выражает глубокую признательность научному руководителю д.ф.-м.н Ю.П. Попову за внимание к работе, д.ф.-м.н В.М. Чечеткину и к.ф.-м.н. С.И. Мухину за постоянную поддержку, а также ш.кор. РАН A.A. Фридману , к.ф.-м.н. А.Б. Кучерову, к.ф.-м.н. O.A. <узнецову и к.ф.-м.н. С.Б. Попову за ценные рекомендации и замечания > процессе работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1.Ha основе метода крупных частиц построены, исследованы i апробированы новые однородные консервативные разностные схемь для одномерного и двумерного случая, обладающие свойством моно тонности. С помощью метода дифференциальных приближений получе но условие устойчивости этих схем и предложен способ автоматической выбора оптимального шага по времени. Изучены неизвестные ране< особенности схемы Роу и проведено ее сравнение со схемами, построен ными в диссертации.

2. Решена задача о нахождении широкого класса стационарных ци лювдрически симметричных конфигураций политропного газа, вра щающегося вокруг гравитирующего центра. Доказаны теоремы о существовании и единственности ее решений.

3. Проведено математическое моделирование процессов в аккреционном диске двойной звездной системы, начальное состояние которого представляет собой равновесную, физически обоснованную газовук конфигурацию, с использованием численных методов, построенных и исследованных в работе. Изучены механизмы возникновения в диске спиральных ударных волн и связанной с ними потери газом угловогс момента.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в следующих работах: - ' '"

1. Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Исследование равновесных конфигураций газового облака вблизи гравитирующего центра. - Препринт/ИПМ РАН, М.'. 1995, №33.

2. Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Исследование равновесных конфигураций газового облака вблизи гравитирующего центра. - АЖ, 1996, Том 73, № 3, с. 407-418.

3. Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.П., Попов С.Б. Особенности схемы Roe при расчете задач обтекания. - Препринт/ИПМ РАН, М.: 1996, №46.

4. Абакумов М.В. Исследование и модификация разностных схем метода крупных частиц. - Препринт/ИПМ РАН , М.: 1996, №47.

5. Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Математическое моделирование процессов в аккреционном диске двойной звездной системы. - Препринт/ИПМ РАН, (в печати).