Построение кусочно-линейного решения уравнения Гамильтона-Якоби тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ иы. A.M. ГОРЬКОГО

На нравах' рукониси УДК 517.9

Шагалооа Любовь Геннадьевна

ПОСТРОЕНИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ

Специальность ОПП.11'2 дифференциальные уравнения

ЛРТОРЕФЕРАТ ДМссер?#цщ на соискание учений степени ».аудИдаТа фншьо-матеиагических наук

Л

Екатеринбург - 1996

п Г Г, 1

s и.. и.;

— > l.uli' . Lw J

Работ,-!, выполнен;» а ПНИ ф;:.шкп и прш;;;а,цпоП ыгтт.кшил: щи» Уральском государственно!! ушшерслтетс пмпа: А.М.-Горького.

Научный руководитель - члсп-Мфрсгиоидтот РАН

Л.И. СубГютин

Официальные оппоненты - до .-¡юр фпumvMtvmi&Tttt.'rritus наук,

uj>ny«vro$> В.Г1. Благодлтс:;:!«,

япшцша?

I'u, ды\ггг: Л.к'. itlopr.scTv,

Ведущая организация - Ь'ягтпту? М'ич&ъти

УрО РАН.

Защита состоится г,, а часов иа „¿.содтш*

диссертдционпого совета К 0G3.7ft.fl3 по яригупдевнк» ytjesoli rrru«»i&: кандидата физико-математических nayst а Уральском государственном утшерситетс им. A.M. Горького (620033, г. li-US, пр. Левина, 51, к. 248).

С диссертацией можно оэнамшмтьсс в библиотеке Уряяьгссто государственного университета.

Автореферат разослан ¿¿/Л^ТТЦЭЗЗ г. ,

Ученый секретарь диссертационного rowi а

кандидат физико-математических паук,

доцент /-'■' 2. Г. Ишгтогс

отя отлкагаотт работы,

Пробптг определения обобщЗннкп: решзния Трзжпгцпя: s «:асяпг. прозяподмкх первого порядка С УЧЛО привлекала .'этзгн:: гпторов, В 30-х - 70-:; годах такио исследо-яргдаляп Î5: ООяойник, П. Лаке, л.il. Тихонов, Д.Л. C-inf-c:;::!!, О, Д. йпдгг^нснея, И.ti. Гояьфаид, У. Флеминг, 0,Н. Кр}Т7~:ь ÎÎ.IL Кузкспоз и другио математики.

triza:; И.Я".- Крзндзляе:'. я 11.-Л. Лионсом tur,iu''i оьшо ?г,?;!тс:-э пг-л'-т;:^ "."пг.езукзго permis. ОЗобкённоо решэиив бьшо с;*'. "¡: спг,я: парод, неразенств для субградиен-

таз ' п сг;:г;ргрпл:г;1!'гог>« Сг» укезеюалп рсботаш последовала Сг.тт.1 сср'П ay&rr.ra'îS г.в?арзз, посвяюЭнньк разлнч-

jtîj'сзгг;кх:» гпгр:::: зсгглск^п • й'дя. взучеиы вопросы

. я' .a^üíQíDC^aor.;» зезлздовшш • различныэ типы • крег^з ггдач е'гйач Екз ам Г-uîî» гярогиетй« параболических a сагякггсгяа: урсакзкга, ргссгатр«:«: спгкзиенвя к задачам сатапггького уврааязаая к дас^зрестаггяыяя кгр.

Егзсскэ овадаикоэ Л .П. . Субботиным

: tO9, ! I ® I. гпию;rpesfosa» sas «йафггааэ кяасскчэского штода 'нгрезтэркоткв. fensscsioa регапзэ долгпэ Сить слабо инвариантно •втосозгэшя "йерел^йрмтзчэсхев? включений,

■ ç,d. по грг£яу f^'ntsîKCîjoro рг«8вя «крзз двЗуо woty графика додсиа срогодпть грг^ктарпа oras сняячэгша.

. Вцйор торкша "físasíóscKca p¿£3ttsoe''c3X3aa. с тем. что в оскок» впгсаэасгэгЬ комода е«гз* гееяедоваявп теории позицион-•.виз дксгзрзггцпадь'кз'агр.-Олйсн кэ вйгцееезх 'понятий з теории якС^эрзшшашяс.' пгп сухтзтая егмтйр ¿cki-i Übpb Цэйа игры -Сушеная о? сакглыяЗ nastrii:::; - о с&«ййй ¿йф^роншфуомэстк

удовлетворяет так называемому основному уравнению Суршзпашш Беллмана - Айэекса). Главная трудность при определении функции цены заключается в определении еЗ поведения на сингулярном множестве, где она не является диффэренцируемоЗ. В начала 70-я годов Н.Н. Красовским и А,И. Субботиным 12*1 была введена u-стабильные и v-стабильныэ функция, которые мажорируют я. мажорируют функции цены. Функция цены дифференциальной йгры -единственная функция, обладавшая одиовремонпо свойствами U- п v-стабильности. Таким образом, ук&з&кндо свойства определяет одно и только одно обобщенное (мтшмахеное) ресэнио основного уравнения.

Свойства и- и v-стабильности югю вырезать резлачпша способами, в том числе в форма неравенств для произыншш по кшгра-влеиип, введенных в работах 19*,7* J . коториэ Сияй»' по-взмтщ, первыми, где обобщенное решение определено в результате зьмэки уравнения парой дифференциальных кераззнств. Баослэасяш зтот подход был использован для вэучэшш широкого круто задач ила различных типов УЧП1, т.е. не только уршшзяза Гскзлътоаа-Кгдаба и Беллмана. Получены достаточно обкзо уссоэяя, сбсспочквагша существование, единственность в шзррэатпость изпакаксвш решений. ,■ ' ^

Несмотря на различно« происхождение п форцу определепкА, минимаксные и вязкостные решения оказывается зквявалеяттм!.

Концепция обобщенного решение, резрьботшгаая в последим годы в работах В.П. Маслом« В.Н. Кояокольаом я С.Н. Самборско-го 13*3 , близка классическому подходу к определенна обобщенных (слабых) решений а математическое физике. Решение. определяется на основе обобщенного дофференияровяння, но трмяшювяяя структура поля ш R с операция*« а ♦ в я а ♦ в зиввяется в» структуру'

полуюдуля с операциями а + в = minCa.6), а • б «= а + в . Такой структуре соответствует "скалярное произведение" функций / и g, определяемое равенством (/,£> = Inf С/(х)+^(х)).

На основе такого подхода были исследованы стационарные уравнения Гамильтона-Якоби и Беллмана и рассмотрены приложения к задачам математической физики.

Несмэтря на прогресс, достигнутый к настоящему времени в теории обобщенных решений УЧП1, имеющиеся результаты не являются исчерпывающими.

С появлением современных компьютеров для дальнейшего развития этой теории и еЭ приложений всё более важное значение приобретают исследования, направленные на разработку методов численного построения минимаксных (вязкостных) решений.

Целью работы является разработка алгоритма построения то1 кого кусочно-линейного минимаксного (илши вязкостного) решения уравнения Гамильтона-Якоби в случае, когда размерность фазового пространства равна двум.

Методика исследования. В основе исследований лежат результаты теории минимаксных решений уравнений Гамильтона- Якоби и теории позиционных дифференциальных игр. Используются понятия и факты из теории оптимального управления, выпуклого анализа, . негладкого анализа, теории графов и комбинаторной топологии, 'теории линейных неравенств и линейного программирования.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Разработанный алго- • ритм позволяет получить точное решение уравнения Гамильтона-Якоби с простым гамильтонианом» в случае, когда размерность

фазового пространства равна двум. К уравнениям такого типа мэгут приводить конкретные задачи мзханики, математической физики, теории оптимального управления.

Полученные результаты могут быть использованы для изучения бифуркаций кусочно-гладких минимаксных решений задачи Кэши для уравнения Гамильтона-Якоби, а также для разработки новых методов численного построения этих решений.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на конференции молодых ученых Института математики и механики УрО РАН С Свердловск, 1989) и обсуждались на международном советско-польском семинаре (Минск, 1989), на семинарах отдела динамических систем Института математики и механики УрО РАН, кафедры прикладной математики Уральского университета.

Публикации. Результаты диссертации изложены в работах [1-61. А.И. Субботиным предложены; в работах 12,35 - идея использовать структурные матрицы для представления кусочно-линейных функция, в работе (41 - постановка задачи и общий подход к решению. Из работы Ш в диссертацию включены результаты, полученные автором диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения. Список литературы содержит 70 наименований. Объбм работы составляет 133 страниц. •.'

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ' '. ,

В первой главе (8} 1-4) рассматриваются классы заданных на плоскости кусочно-линейных функций, которые мэгут быть определены при помощи структурных матриц. Содержание этой главы опреде-

ляется тем, что еб результаты служат инструментом для следующей, обеспечивая форму представления минимаксного решения, удобную для разработки алгоритма и соответствующей вычислительной программы, позволяя заменить операции над непрерывными объектами (функциями) формальной работой с конечным набором дискретных объектов (матриц). Отметим, что часть конструкций, рассматриваемых в первой главе, представляет собой упрощённые и модифицированные варианты известных понятий теории графов, кусочно-линейной и комбинаторной топологии (см. .например,[1*,4*,2*]).

В первом параграфе даны определения структурной матрицы и простой кусочно-линейной функции (ПКЛФ). Основное свойство ШЛО состоит в том, что область еб определения не содержит точек, в окрестности которых происходит склейка более, чем двух линейных функций. Если / - ПКЛФ, то для любой точки х из еб области определения существует окрестность О(х), в которой / либо линейна, либо склеивается из двух линейных функций с помощью операции максимума или минимума. Структурная матрица содержит информацию обо всех линейных функциях, составляющих определяемую ею ПКЛФ.

Во втором параграфе рассматриваются мозаичные функции -функции, которые можно получить в результате непрерывной склейки различных ПКЛФ и описать при помощи последовательности структурных матриц вида

®,(сг<а),мг(сг.с}).....'V<vc;.-^', '

которая называется мозаичной последовательностью. Зная мозаичную последовательность, можно вычислить значение соответствующей мозаичной функции в любой точке еб области определения. Область значений функции, определяемой последовательностью (1) - мне-

жество Iск,в>). Область определения мозаичной функции - мэзаичное множество И^ - мэжет содержать лишь конечное число узловых точек. (Точку хг мы называем узловой, если в любой ев окрестности 0е(хл) происходит склейка.более, чем двух линейных функций.) При этом все узловые точки принадлежат линиям Я7с(1 1*1,...,к-1 склейки различных ПКЛФ.

Продолжением мозаичной последовательности (1) такой, что и слхЭ , называется структурная матрица 0$скл1<ск , такая, что последовательность

(С, ,<о),«г(сг,с1).... .МШ(СШ.С„ ).Им(см,ел) (2)

является мозаичной. Соответствующая (2) мэзаичная функция является продолжением мозаичной функции, определяемой последовательностью (1) . на множество

В общем случае продолжение мозаичной последовательности можно построить неединственным образом. В описываемом параграфе вводятся понятия однородной структурной матрицы и наследственного, наименьшего по размерности продолжения мозаичной последовательности. Доказано, что если в последовательности (1) такой, что И^д* и ск>0 , структурная матрица Мк однородна, тогда су- . шествует единственная матрица определяющая наследственное, наименьшее по размерности продолжение этой последовательности,

Построить эту матрицу, которую мы будем называть фреймаль-ной, можно с помощью описанного в §§ 3 и 4 фрейм-алгоритма. Фрейм-алгоритм и его обоснование являются основными результатами первой главы.

Во второй главе С(5 5-15) представлен основной материал диссертации, непосредственно относящийся к построению кусочно-линейного минимаксного решения уравнения Гамильтона-Якоби.

В

В §9 приведены необходимые сведения о минимаксных решениях УЧП1 из Ш*.11*).

В 68 рассмотрены постановка исходной задачи Коим для уравнения Гамилътона-ЯкскЗи и ев редукция. Исходная задача Коши имеет вид

Ou(t,x)set + H(DjU(t,х)) - 0, t«(0,l)f W СЗ)

и(1,х)*з(х), лл" . (4)

где гамильтониан Н и краевая функция а удовлетворяют условию литшща и положительно однородны. Б силу этих условий справедливо равенство (f6*J)

u(t,x)*(l-t)u(0.xs(l-t)). tmio.l). W С5)

Равенство СИ позволяет аамэнить задачу (3)44), решение которой есть функция и переменных (t,x)m[0,lhlf , редуцированной задачей, решением которой будет функция <p=cp(у)*и(0,у) переменной

Оункаия ф является минимаксным решением следующего УЧП1

H(üp(y))*<üt>(V)»y>-V(y)-0> (63

которое рассматривается совместно с предельным соотношением

Ilm atp(ysa) - а(у), С 7).

а^О

Минимаксное решение уравнения (6) можно определить различными по форме, но эквивалентными по существу способами С(7*,11 *]). В частности, функция ф является минимаксным решением уравнения (6) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет паре дифференциальных неравенств, которые можно записать, например, в в яде

sug Htn (d"<9(y;f+y)\f*PQ(q)) < <f(у) СЮ

tn£ mr (c?<9(y;f+y)\f4>K(p)> > <pfy) С 9)

где

З-Са^НаЦ«» |</.<?>Ж^.

Гн(р)* (/«Я" | <Т. рХИ(р). I /I ,

сГ(р(у;з), с?ц>(у;з) - соответственно нижняя и верхняя полупроизт • водные Дини функции ф в точке у по направление з, - константа Липшица для гамильтониана Н.

В диссертации рассмэтрен случай, когда гамильтониан и предельная функция являются кусочно-линейными, а размерность П фазового пространства равна двум. Кроме того, без ограничения общности кюжно считать, что функция о неотрицательна.

Обозначим символами РЬ и РЬ+ соответственно множество положительно однородных кусочно-линейных функций и множество неотрицательных функций из РЬ. Тогда задачу, рассматриваемую в диссер-' тации, южно записать следующим образом

Н(&9Су))*<^Щ).у>-<9(у)'0, у*В? (1Ш

Нт сщ>(ууа) - е{у}, (Ш

а+0

И(-) ш РЬ, *РЬ+ СШ

В 87 описаны необходимые для дальнейших построений способы задания гамильтониана Н и предельной функции с, Именно, функииг б задается посредством структурной матрицы М0 , а для гамильтониана достаточно знать его значения на множестве, содержащем конечное число точек.

В 68 рассмотрено решение задачи (10)412) в случаях, когда предельная функция в имеет вид

а*(х)-тх«ел.х>,<о*,х>,0} С13)

Ю

в~(х)*тх( т1п(<ел,х>,<е*,х>), 0 ), СИ)

где вж и 9* - линейно независимые векторы. Показано, что решения *У"СО задачи (10)412) ,(13) и ф~(») задачи (10)-(12) ,(14) на Множестве, где их значения отличны от нуля, являются ПКЛФ, и ; построены соответствующие структурные матрицы. '

В общем случае решение <р задачи (10)-И 2) будет построено в ' классе неотрицательных кусочно-линейных функций. Более того, на ; множестве ct(x*R?\(p(x)>0} функция ср является мозаичной и может ■ быть задана с пог<шЬ5 послодсгатсльпсст:! структур«»™ матриц вида Ml(Cl,a),fHz(CyCl),....Mk(Ch,Cll t) .

(15)

(число й заранее не известно и определяется в ходе решения • задачи).

Алгоритм построения мззаичной последовательности (15), ' ; определяющей решение ф» разбивается на й последовательных этапов. На t-тем этапа осуществляется построение

структурной матрицы Af,fc,,cMJ и соответствующей ей ПКЛФ, : совпадающей в своей области определения о решением ф задачи С10)-(12).

Бгли для матрицы B((c't,ctml) справедливо равенство tr^R2, ' ^построение решения на этом завершается. Построение решения будет -, -завершено также, если с4«0. В этом случае мэзаячное множество мэаэт не совпадать со всей плоскостью." На его дополнении -множестве R*M?t - следует положить ср*?.

В §9 Описан первый этап алгоритма - построение структурной : матрицы Mt(ct.a), ШШ, соответствующую этой матрице» мы казыва-ем ввешаим-решенаем. 'Ч 1

йзгодныма дапяшз для построения внешаего решения являются

информация о гамильтониане и структурная матрица К0 предельной функции о. Матрица М) будет получена путем преобразования матрицы Нд . Процесс преобразования матрицы Мд в матрицу М, разбивается на конечное число шагов, в основе каждого из которых лежит решение одной из рассмотренных в $8 элементарных задач.

В случае, если с{>0 и ИГ^К2, необходима построить мозаичное продолжение внешнего решения. Построение этого продолжения заключается, по сути, в последовательном решении ряда элементарных задач двух типов, которые рассмотрены в 8 10. Введем обозначение

Ч>,(у)*<(.у>*На) Пусть заданы число г>0 и линейно независимые векторы '

Пусть

Ц/У>«1лГф0 (у),%*(у)>

Определнм также множвства

00*(у*К>\11,(у)*г}

Р0(Ц)<г} "г

Первая элементарная задача заключается в построении функция <р", определенной на множестве удовлетворяюще в области

О* неравенствам (ШЧШ, такой, что

Вторая злемвнтарная задача оостодт Л построении функции определенной на множестве удовлетворяющей в области

яграгзйствай С0)-{Ю, я таяоИ, что Пусть

Sj.(ot,o*) * (з a ccn(e,.e*)\y3(wg)ar),

; гяо а о - рэшзнпэ спстсш

<?д*(у)-г

Ренином яерсой. олемэнтарноИ задачи является функция <?(у)<*гах <р3(у) при s*Srfe,.e*;,

которая s сбягстз С* является ПКЛФ.

Ресзняэ вхсроЗ эяекэатарпоЯ задачи для произвольных векторов <?, а о*, Ёсобгэ говоря, из определено. Нам, однако, важно Ояать реи'зпсэ этоЭ задача яшъ в случаях, которые могут возник -путь при пострсс!шп яродоясэяйя внешнего решения. Показано, что 3 таких случаях ртешез вгеот аяд

%(у)«ат<<эв Ау).%*(у)>.

о, очевидно, является ПШ.

Ооркапьяоэ onscanna посяадуетю эталов алгоритма - построения cTpyntjrpraa ттрш Bt(Ct,et l), 1*2...,h - приведено в 5 IK Пря пестроэпса структурпоЭ гатртш У, сначала используется Оргзм-аягсрзж. а затем пояучзгоая с ого поиэаьа фреашльная пзтрпаа иэш^йавруотся по сразаягл, а сскову каторга пологшги ' рггзаал, расскэтрэягьа в § 10 эязгаакфйыз задач. Л

Ддя поязвго еярэмязапя рзезнзя р задача <1(Й-С!2) иеобхо-

двмэ укать вычислять значения критических уровной - солцщш 0, г в последовательности (15). В § 12 показано, что Ш; вычисления критического значения необходима рзшпть сосюстауп систему трбх линейных уравнений. '

В §§ 13 к 14 приведено доказательство того, что построгана." в результате описанного в §§ 3 и И фушаш'я га йеистеаюльпг) является мшшмаксным рошоиием задачи (10)-(12), В § 13 са::«?гиЬ, что функция ф удовлетворяет дцффзрзшшслькс! цсргх:25:зтес.;:с эамэняшвм исходное УЧШ (Ю). В § 14 • сзукззтеяс-цс. прзц'р^'. предельного соотношения (И).

В § 13 показано, что число аталов, сайсф&у^ц

алгоритм, (число к б (.15) ) - г.о::оч:;э. Еззшлку' сздгргзн;:::: каздого из атак этапов пвляэтс.% сострсс::::о цсиоторэЗ с'.ру;:".''; г: • матрицы (ПКЯФ), троауедзо для оаолС -рсадазсдо: сЛзглзп::;; 'езцоч-ного числа арифметическая опораопЗ, иозэчзи» еглйзтзй к Еткг^й-гаемьга алгоритм.

На основании , разраватишого .'адгорцпо, &гзк программа для вычисления кгша-еихтп 'ргаэссЗ. Е прогрссо, ссс рисования линий уровня втве рсвзшШ; 'Фаиоргр. вацатраакк> полученные с понзаьр втвк прогрев, .прзссяеса с вражгяет.

•••..

0СШВШ2 РШЬШ РАЕЗГа '

-разработав к ■ оОзсиошг од&чшй. '«ягоритм ■ йогтрозад точного кусочво-шшз&гвго №шетксЕ0Г0 роизааз • ураакекце Гашльтона-Гдайа >

- составлена ирэдшыш Прзерг|ср, роаяизуеря раграйз-«шньй влгориш, с; срогргжз. да -сазгроокие йзваз уроаад

соотсоютзухшх ! íür.n 'cuccHiíJ! psssimñ

- :!гзу«~:ш свойства некоторых классов кусочно-линейных йувюгЛ» зздппгап на плоскости

■Список литгратур», на которуэ дани ссылки

1\ А';-г.Сг.?гдреа П.С. IterJnnaTcpim топология. - H.S Л.: 18Í7. - GEO о.

Z"* II.П., А.И. ni??!®U!ícmuvw> дияЛяпошж—

-anvo :<-.;■ рп. •■ M.í Hayna, 1074. - 453 с.

3". Г.'гсгсзл З.П., Сш.йорскпй С.Н. Стационарные уравнения Газ оадачя ейнтоза оптимальных управлений // Докл. .Ш ССС?.-JC94.-Г.337. В 0.-C.T2I-724.

ó** rjp^ Сзядорсои 3. Взедоние э кусочно-линейную топо-.;тсгтэ. - Jl.:>;m. 1974. - 203 с.

' З3. Cjdíorm АЛ!. СЗоб'Дэнке основного уравнения теории диф-• Сгрояазяякш пгр//£сля. ли ссср.- tseo.- т.234, яг,- с.293-297 •О9. Cyööorsn А.П. !£ишмздсз1ш неравенства п уравнения fca-:-.из'лг:1й-Глс«л. - lí.s Науаа, ICSI. - 216 с.

Су<30этш1 A.I1. • Субйотипа H.H. Необходимые а достаточ-™S3 усдо-зя для аусочзэ-глаакой цгш дпффэронцнальноя игры' // Ш СССР. - 1973. - Т. 243. .'3 4. - с. 882-863 " • ГГ. О. Sccpaa гргйза.: U.: lisp, 1973. - 300 с.

О3..CiCEäall И.О., ¿..С., Искз P.L. Scrs propartties oí Tilcepity cäiötlcp'-oi "anil tea - JcceM equations // íraia. ,'•:-?. 1'1Гл» ИСЗ. - 1СЭ5.- -7. £02, Э 2. - р.407-С02 . ■ 3D3» ОлейзП И.О., Мспз P.S. Vi-ссзПу solutions - oí r¿riJtc>;Tü,5t5J:cqfei*icr3' // Тггпэ. Лпог. Kath. Seo. - IC33» V. 'fiTJV 3 1-4Э

11s. Subbotln A.I. Generalized solutions of Ural order PDEs: the dynamical optimization perspective. - Boston: Birkhauser.1995.- 3Up,

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Субботин А.И., Тарасьев A.U., Шагалова Л.Г. Шшимакс»вд (вязкие) решения уравнений Гамильтона - Якоба // Ыатематичэсадо методы оптимального управления и их прилокэния. Шкдунар. соа.-пол. семинар. Минск, 16-19 мал 1989 г.: Тез. докл. - timen: Ка-? математики АН БССР, 1989. - с. 112

2. Субботин А.И.. Шагалова Л.Г. Кусочно-линейные функций, используемые для построения решений уравнение Гамильтона - Гдс-би. - УрГУ, Свердловск, 1990. - 66 с. - Деп. » ВИНИТИ 0S.I1.C0, Л 5627-В90

3. Субботин А.И., Шагалова Л.Г. Кусочно-линейные фунтик. определяемые структурными матрицами // Проблемы управление с гарантированным результатом.-Екатеринбург: УрО РАН, 1992.- с.73-67

4. Субботин А.И., Шагалова Л.Г. Кусочно-линейное решение задачи Коши для уравнения Гамильтона - Якоба. - Росс. Акад. Каук Докл. - 1992. - т. 325, *а. - с. &32- ВЗв '

5. Шагалова Л.Г. Кусочно-лииевиоэ решение уравнения Гы«»-тона-Якоби // Проблемы теоретической и прикладной Ma?®H*WMJt Информационные материалы, - Свердловск; УрО АН рсср, |$jíjS}t ^ с.17-18 ' :.•;. ':

6. Шагалова Л.Г, Построение куооч!ю-щй$ногоpWHíl УрЦ? нения Гамильтона - Якоб». - УрГУ, Свердорск, 1891.- с. -Деп. В ШНИТИ 11.07,81, -Щ 2852-В81

Подписано и поч. 26» ОЛ. 96 формчт GUxSl 1/Ш.

Буылга осреетмгчн OíIwíi |,0. Тир. JIM).

Екатеринбург, К-63. nj). Л» iiiiiiü. j] ГштллГнцкцоцли УрГУ.