Построение оптимальных качественных характеристик линейных стохастических систем нейтрального типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

? Г Б ОД

КпХпоыспй уп1Еэрштот 1?лэп1 Тарвса Шзвчоппа

lia правах рукошсу

B1Í4KOB олоксШ СортiRobot

УДК 5I7.S29.4

побудова епш'мыск гаасшк хардлстеристшс лишшзк стажитих сист.! ншпташюго тжг

01.01.09 - матсмзтпчпз ittöopnoTzuta

Авторофорат

дасортсцИ на здобуття учоного стуотнл кандидата Ф1зпко-мат0матпчш1х nayit

К и Ï в - 1994

Роботу влконано в КиХвському ув1верситет1 1мен1 Тараса Шовчонка

НауковиЗ кер!вншс: доктор ф!знко-матеыапгашх наук, профэсор

ХУ0А1Н0В Д.Я.

0ф1ц1йн1 овонента: доктор ф!зико-матеыатичлих наук

КОРЕШвськии д.г. доктор ф1зико-математичЕих наук ясинськш в.к.

Пров!дна оргаи!зац1я: 1нститут ыехан1ки АН УкраКни

ЗЭХИОТ В1ДбУД9ТЬСЯн^'?" 1994р. о I? . годин! на

зас1данн! сшц1ал1зованно1 ради Д 068.IB.I6 при КиКвському ун1веренте т! Шан1 Тараса Шэвчевка за адресов: 252127, КиГв-127, проспект Академ1ка Глушкова, 6, факультет кКЗернетикн, ауд. 40)

3 дасортац!ею ыоша ознайомитиоя в б!бл1отец1 университету.

Автореферат роз1сланий " _;1994р.

Учений секретар снец1ал1зованно1 рада

ЗЛГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИК РОБОТИ

Актуальн1сть теми. Серзд багатьох проблем, що виникають в тех-н!чпйх, ф!зичних, еколог!чних та !иших системах, вакливими е дославши дииам!ки процес!в 1х функц!онування. Останн! досягнення нау-Ю1 1 техн1ки потребують створення б1льш досконалого математичного впарату, розробга! йових метод!в моделювання 1 оц1нки. Одаим з бснов-них метод1в досл!дхення штань данам1ки систем р!зного типу в прямий метод О.М.Ляпунова.

Другий метод Ляпунова потребув побудови функц1й з наперед задат ними властивостями: додатно визначеност! само! функцИ та в!д"емно визначеност! П пох!дно! на траектор!ях системи. Прямий метод О.М.Ляпунова при створенн! був ор!ентований на досл!кення систем, що опису-ються звичайними диференц!Анима р1впяннями. В подальшому в!н вико-ристовувався при досл!дненн! систем з розпод!леними параметрами (Т.К.Сиразетдшюв), систем з зап!зпенням (М.М.Красовський, Б.С.Ра-зум1х1н, Да. Хейл, Ю.О.Митропольський, ДЛ.Мартшшк, В.Б.Колмановсь-кий, В.Р.Носов), стохастичних систем Ц.Я.Кац, е.Ф.Царьков, Л.е.Шай-хет, Д.Г.Корен!вський, I.Г.Нечаева ). Багатовпм!рн! системи розгля-далися в роботах В.М.Катросова, А.А.Мартиника, Б.Бейл!, В.Лагаш1кан-тамз, конструктива! алгоритма побудови кошфетних функц!й Ляпунова були одерзан! в роботах е.А.Барбашна, В.I.Зубова, К.Г.Валевва, В.М.КупцевиЧа, Н.Ф.Кириченка, Ф.Г.Гаращешса та !н.

Для функц}опально-дифорэ¡щ 1 йних р1пнянь безпосереднв шцсорис-танпя методу Ляпунова немонливо розглядати як загальний 1.!етод досл!д-еэнйя. Теореш Ляпунова в тарм1пвх к!нцевам!рних функц!й не мають обернення. Тому М.М.Красовський запропонував використовуватн за?л!сть функц1й функц!онали, визначен! на в!др1зках траектор!й, що визнача-»гься зап1зненням. Апарат функц!онал1в Ляпунова-Красовського викори-стовували в своКх досл!да®шях В.Б.Колмановсысий, е.Ф.Царьков, Д.Г.Корен1вський, В.К.ЯсинськиЙ. Однак сл1д сказати, що функцИ Ляпунова в ряд! випадк1в мають 1 своГ перевага перед функц!опалами. Од-н!ею з головних моклив!сть досить просто обчислювати окрем! як!сн1 характеристики розв"язк!в-систем.

В представлен1й робот! проведен! теоретичн! досл!дкення по отри-манню умов ст!йкост1 стохастичних диференц!ально-р!знецевих систем нейтрального типу. Апаратом досл!даення вибран метод функц!й Ляпунова. Розглядаються л!н!йн! системи з! сталими коеф!ц1ентами. За допо-могою квадратично! функцИ одержан! конструктивн! умови ст!йкост! в

середаьоквадратичному. ООчислюються коеф!ц!енти, що характеризуют прямування розЕиязк1в до початку координат.

Метою дисертацП в розробка матод1в досл1даення ст1йкост1 1 отриыання оц1нок характеристик розв"язк1в с-охастичних диференц1й-но-р1знецевих систем на основ1 побудови функц1й Ляпунова з екстрема-льними властивостяыи$ розвиток як1 ста метод1в досл!даення функц!она-льно-диференц1йних стохастичних систем; побудова характеристик ст!й-кост1 систем нейтрального типу та 1х оптим1зац1я.

Наукова нов1зна. Отриман1 оц1нки розв"язк1в стохастичних систем нейтрального типу. За допомогою методу функц1й Ляпунова одержан1 конструктив^ умови ст!йкост1 диференц1йно-р1знецевих систем. Розроб-лено чисельн! алгоритми Ух оптимально* оц!нки.

N /

Метода досл1дхення. При обгрунтуванн1 1 розробц! алгоритм!в побудови та оптим!зацП- оц1нок розв"язк!в систем застосовуються метода, що базуються на синтез! досягнень л1н1йноК алгебри, теорП дкферен-ц!йних р1внянъ, метод!в нел1н!йного програмування.

Теоретична I практична Ц1нн1сть робота. Теоретичн! результата, вр отриман! в дасертацП, використовувались в роботах а моделювання . та досл!даення процес!в, як! проводилися КиГвським ун!верситетом з АНТК 1м. О.К.Антонова.

Апробац!я роботи. Основн1 результата дасертацП допов1дались 1 обговорювались на М!жнародному колокв!ум! з диференц!альних р1внянь (м.Пловдив, Болгар1я, 1991), Конференц1ях "Моделювання та досл!д-ження ст1йкостI систем" (м.КиГв, 1990, 1991, 1992), Науков1й школ1 колодах вчених 1нституту механ1ки 1 математики СБ РАН (м.Свердлов-ськ, 1590), ВсесоюзнШ конференцП з данам1ки польоту, керуванню та досл1дашншо операц!й (м.Москва, 1990), П"ят!й конференцП молода вчених Сиб!ру (м.Новосиб!рськ, 1990), на Республ1канському сем1нар! з проблема "К!бернетика", "Моделювання та оптим!зац1я складних систем" (н.к. член-кор. АН УкраКни, проф. Б.М.Бублик, проф. О.Г.Наконеч-шй), на сем1нар! пБагатовим!рний статистичний анал!зи кафедри при-кладао! статистики КиКвського ун!верситету (н.к. проф. Г1рко В.Л.), на сем!нар1 в!дц!лу теорЦ ст1йкост! 1нституту механ!ки АН УкраКни (н.к. член-кор. АН УкраКни, проф. А.А.Мартинш), сем!нар! кафедри

математичного моделювання Ч8рн1вецького ун!верситету.

Публ!кац11. Осиовн! результата дисертацП опу0л1ковапо в 9 роботах.

Структура 1 обсяг робота. Дисертац1я складаетьсл 1з вступу, чо-•шрьох розд1л!в, висновку, списку л!тератури з 160 наймонувань та до-датку а текстами програм та результатами обчислень.

аист роботй

У встуя1 обгруйтовано гштуалъп1сть розглянутих в дасортадИ пи- . тань, визпачоно мату досл1де0П^, зроблопо огляд разультат!в,. пов"яза-них з темой дисертацП. Стпсло вшсладаио зм!ст дисертацП;.

У перагаму розд1л! розглядаються питания побудови фуикц1й Ляпунова для л1н1йнйх систем стохастачнкх дифарвнц1йнях р1внянь. Функц1я вибираеться у вигляд! квадратично! форми \}(х) = Х7Н X , дэ Н -дшетрична додатно визначена матрицл. В1домо, що л!н!йла система з стали,от коеф!ц!внтами

с/ х(ь) =Ах(ь) иг + 8 т/У с{ы(Ц

да ЭД^-.ртандартшШ скалярний в!неровськпЙ процас, асимптотично ст!йка у середньоквадратичному тод! 1 т1лыси тод1, коли матрицл А гурв1цава 1 1спув додатно визпачвнпЯ розв"язок р1шяння С1львестра

Тут . С - додатно визначена матрица.

На тепер1шн1й час по 1снуе конструктпвних пеобх1дага 1 достатн1х крятерШ розв"язку р1вняяня (I) у клас! додатно шзначейих ыатриць. У дисертацП запропоповано два п!дхода. Перзий базузться на звм1н! задач! розв"язку матричного р!вняння (I) розв"язкоы оптим1зац!йно1 задач! -

Щн) - шп , (2)

%ф-Лт1п(-А%М-ЬгНВ), 1=1ната*(нН,

дэ Атси

- найб!льше ! найменше власн! числа сяиетричгаа

матриць.

Доведено !снув'анля розв"язку задач! (2). Розв"язок зяпропснояапо

проводите методом узагвльнвного град1ентного спуску.

Лама. Узагальненим град1внтом функц!* %(Н) в точц!

Нов Ъ °УД0 матриця

^ (3)

гут Л у - матрица, у як!й на перетяну /' 1-строки 1 у-го стовпчика стоить одиниця, а 1нш1 еламенти п^л!, Ц/пЬ- вектор одшшчноК сфера, .•ш якому квадратична форма уг(-А% - НоА - Ь7ИоВ)у досягав ;.ин1мального значения.

Вводиться функц!я Лаграшка

Х(н,}) - Уо(н) ф) +Аъ(н), (4)

о

Р^О , , . РОЗ-

в"язок задач! (2) зводаться до знаходаення с!длово! точки функцП Лагранка (4).

Чисельн! приклади даються в к!нц1 розд!лу I в додатку. У третьоыу параграф! приведений метод розв"язку р1вняння С1ль-вастра (I), що базуеться на метод! стислих вЦоОракеиь. Розглядаеть-ся опараторне р!вняння

шее шзначене на мнокин! додатно визначешп матриць. Позначшю через I - одиничну ыатрицю.

• Творема1. Нехай Н гурв!цева матриця 1 для ыатрвд! Ю * А7® I + 1 ® А виконуеться 5 £ . Якщо матриця 6 така, що 1 ^ / , то 1терац!йна процедура

зб!гавться

И*= {/т Нк

до розвнязку матричного р1вняння

С[Н'] .

Другий розд!л присвячений отриманню умов ст!йкост! систем стоха-стичних диференц!йно-р!знецевих р1внянъ з одним дов!льним в1дхиленням

аргументе виду

Досл1даення проводиться за допомогою фуккцП Ляпунова

Ст1йк!сть систем нейтрального типу розглядазться в С, матриц!. Тому

використовуються так! позначоння:

М{1Ф)Щ = щах {Н{1хЩ ¡пил1]},

да МП математичнэ сподШання випадкового процесу. Введемо так! позиаченняг

ф)=1,ш(с)-2[11Ш+1ИН\ЧьЩь+ 4/ вШ в,1](м[ф 4\¥н Щ

£ (т) - и«(лт+ л+еь) ^[Ше, *-1н1 +/вт5/л *

Основним результатом першого параграфу б теорема. Т в о р э м а 2. Нэхай !снують додатно вйзпачеи! матриц! Н 1 С . цо задовольняють р1вшшшз С1львестра (I), при яких викону-еться нер!ш1сть ■

ф)ч>. (б>

Тод1, для дов!льного розв"язкуХ( ч р!вняння (5) Суде виконуввгися М {¡хт} * £ . I *Ьо \ як т!льки 8, (б)

1 . да

У другому параграф! доводиться, що умови теореми I гарантують експоненц!йна згасання розв"язк!в системи (б). Позначимо

о ¡Л_ , /о Ш*Ыек.п

- , щ- /-/»/¿.г е >

м '(1-%)Цн) 1-11нЩеАн)<-2.№н1>\и Ф) *

г,

чг» 4«. /Щр**«-Р ЯР», м -

Аг2ШЩн), Ъ^4\Унь\Щ,

- цнЩи-м)

*,] Ф)-

- 2 157н - и] г(Н)- 41$ТН VI [(& (ъ) + Ы е'г) -

\

Основний результат другого параграфу мае такий зм!ст. ТаоромаЗ. Нехай 1снуютъ додатно визначен1 матриц! Н 1 С , що задовольняють р!внянню СЦьвэстра (I), при яких викону-еться нер!вн!сть (6). Тод! при О-^^^о , де

У. = шп '■( ,./ рп±_

)

- д|ов!льна стала, для розв"язк!в Х(£) система (5) справедлив! нерЦност!

М{м*)1'}Ц^ВД ефа-Ъ)},

ц^]) ф) к Ф)Ыи)1\1 щ ¡-¡¡(Ь -и)).

!

У третьому роздШ одержан! умети ст!йкост1 систем стохастичних дифэренЩйшсс р!внянь нейтрального типу при обмеженому в!дхиленн! аргументу, яка залететь в!д параметр!в систем. Введемо так! познвчення.

и(н)-1н*1е, +1нрц+1ь7н$1ь*1втт11> Ц1)=1$(е, фА,1+1в7»1*1 Чвт*>&1.

Приведен! умови ст1йкост! у середньоквадратичному системи (5). Теорема4. Нэхай 1снують додатно визначен! матриц! Н 1 С , як! задовольняютъ матричному р1внянню С!львестра (I). Тод! при , де

%~[1ф)^а(Н)с(Н)'- $(Н)]/2а(и),

для дов!льного розв"язку "Х(^) системи ( 5 ) Суде виконуватися

мЦФК}<£ , . «ш,№.)Цг^

*

> - дов!льн!'стал!. .

Другий параграф присвоений обчисленню показник!в з01гання роз-в"язк!в р!вняння (5) при ^То . Доведено, що при умовах теореми 4

розв"язки та ïx пох!дн1 прямують до початку координат по експоненц!й-ному закону, рриводяться амплитуда 1 коеф!ц1ент при експонент! згасання. j

Четвертей розд1л присвячений оптим1зацП оц!нок характеристик ст!йкост1 розв"язк!в стохастичних систем нейтрального типу. Bel одер-аан! умови ст1йкост1 обчислхшться за допомогою матриц! Ц , яка входить до р!вняння С1львестра 1 моке вибиратися 1з деякоК инокини до-датно визначених матриць.

ВизначенняЬ Функц1ю Ляпунова У (т) Х7Ив X будемо називати L ^-оптимальною, якщо

M*

Визначення2. Функц1ю Ляпунова

будемо

називати L-оптимальною, якщо

M,

<C[H]=[{JW~faÏÏJW- Ф)]/2 Ф).

Знаходхення оптималышх функЩй Ляпунова даз мо2ишв1сть конструктивно використовуваги теореми 2,4. Так, за допомогою L -оптима-льнок функцП Ляпунова даеться в!дпов1дь на ст!йк1сть систени, р1вно-Шрну по заШзненню, за допомогою -оптимально! функцП обчислю-еться максимально гарантоване зап!знення, при якому збер1газться ст!Йк!сть сидтеми.

У розд1л1 доведено 1снування оптимальних функц1й, наведен1 алго-ритми ïx знаходження.

0CH0BHI РЕЗУЛЬТАТ« РОБОТИ

1. Розроблен! два нових метода розв"язку матричного р!вняння С1ль-вестра. |

2. Одержан! умови ст1йкост! в середньоквадратичному розвнязк1в стоха-стичного диференц!йно-р1знецевого р1вняння нейтрального типу при до-в!льному в!дхиленн! аргумента. Обчислен! величини можлиеих початкових збурень.

3. Обчислен! коеф!ц!енти експоненц!йного згасання розв"язк!в стохастичних систем нейтрального виду.

4. Одержан! умови ст!йкост! 1 обчирлен! характеристики збурень стохастичних систем нейтрального типу при малих зап1знаниях.

5. Доведено, при одержаних умовах розв"язки прямують до початку координат по експоненц!йному закону. 0бчислеН1 ампл!туда 1 показник при експонент! згасання.

6. Розв"язан1 задач! оптим1зац1! оц!нки умов ст!йкост! при дов!льному зап1зненн1 t оптимального обчислення допустимо! величини зап1знення.

За темою дисертацИ опубл!кован! так! робота.

1. Бычков A.C., Лобок А.П., Нечаева И.Г., Хусаинов Д.Я. Оптимизация оценок устойчивости систем стохастических дифференциально-разностных уравнений // Кибернетика и системный анализ. - 1992. - tö 4. - С. 38-43.

2. Бычков A.C., Хусаинов Д.Я. Устойчивость стохастических систем нейтрального типа при малом отклонении аргумента // Дифференциальные уравнения. - 1992. - Т.28, & 12. - С. 2060-2069.

3'. Хусаинов Д.Я., Бычков A.C. Оценки устойчивости линейных стохастических систем с отклоняющимся аргументом нейтрального типа // Украинский математический ЕУрнал. - 1993. - Т.45, $ 6. - С. 834-842.

4. Хусаинов Д.Я., Бычков A.C. Вычисление показателей экспоненциального затухания решений стохастических систем нейтрального типа. -Деп. В УкрНШНТИ 15.05.91. - й 676 Ук- 91. - 19 с.

■4

5. Хусаинов Д.Я., Бычков A.C., Нечаева И.Г., Крячок В.Н. Оптимальное оценивание характеристик динамических систем методом квадратичных функций Ляпунова // Динамика полета, управление и исследований операций: Тез. докл. - М.: Изд-во МАИ. - 1990. - С. 12-13.

6. Хусаинов Д.Я., Бычков A.C., Нечаева М.Г. Построение оптимальных в классе квадратичных функций Ляпунова оценок устойчивости динамических систем // Респ. научн. чтения по обыкнов. дифф. уравн.: Тезисы докл. - Минск. - 1990. - С. 29-30.

7. Khunainov i).t ByohJtov A. The unifonn stability oondition optimi

zation оt atoohaatio differential-difference equations // Abatraot of Invited Looturea and Short Coraiunioationa Delivered at the Second International Colloquium on Differential Equations. - Plovdiv1, Bulgaria. - 1991. - p. 141.

а. Бычков А.С. Качественное исследование стохастических ОДУ // Моделирование и исследование устойчивости физических процессов: Тез.

9. Бычков А.С: Условия разрешимости матричного уравнения. - Деп. в в УкрНШТИ 07.10.92. - П 1542 У К-92. - 14 с.