Поступательно-вращательное движение в системе двойного астероида и моделирование его световых кривых тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

Введение

1. Состояние проблемы исследования двойных астероидов

1.1 Свидетельства существования двойных астероидов и методы их обнаружения.

1.2 Открытия двойных астероидов.

1.3 Краткая характеристика двойных астероидов.

1.4 Образование двойных астероидов.

1.5 Эволюция и устойчивость двойных астероидов.

2. Вычисление члена четвертого порядка разложения силовой функции двух эллипсоидальных тел по сферическим гармоникам

2.1 Метод разложения силовой функции.

2.2 Вычисление и\.

2.3 Вычисление гармоники четвертого порядка разложения проекций момента сил

3. Численное интегрирование уравнений поступательно-вращательного движения двойного астероида (ДА)

3.1 Уравнения вращательного движения.

3.2 Уравнения поступательно-вращательного движения.

3.3 Численное интегрирование уравнений поступательно-вращательного движения гипотетического ДА.

4. Метод учета взаимных покрытий и затмений в системе двойного астероида при решении фотометрических задач

4.1 Системы координат.

4.2 Параметрические уравнения эллипсоида.

4.3 Вычисление косинусов углов падения и отражения.

4.4 Уравнение миделя трехосного эллипсоида

4.5 Условие покрытия или затмения точки на поверхности одного эллипсоида другим эллипсоидом

4.6 Разбиение поверхности эллипсоида на элементарные площадки

4.7 Алгоритм метода учета взаимных покрытий и затмений

4.8 Основные фотометрические величины и законы отражения

4.9 Вычисление фотоцентра.

4.10 Кривая блеска гипотетического астероида.

4.11 Тестирование метода на примере системы Плутон-Харон

5. Исследование ДА 1996 ЕС

5.1 Методика определения оценок некоторых параметров ДА из его световых кривых.

5.2 Определение физических и орбитальных характеристик ДА 1996 ЕСз

5.3 Исследование поступательно-вращательного движения ДА 1996 РС3.

В 1993 году с помощью американского космического аппарата «Галилео» был обнаружен спутник у астероида 243 Ida [17], который впоследствии получил имя 1(243) Dactyl [18]. Это был первый случай достоверного открытия двойного астероида (ДА), существование которых было предсказано еще в 1901 году [11. К настоящему времени открыто уже более двух десятков двойных астероидов.

Обнаружение и исследование двойных астероидов имеет важное значение для решения задач космогонии Солнечной системы. Результаты изучения таких объектов могут оказать существенное влияние как на понимание процессов, которые происходили на стадии формирования Солнечной системы, так и на исследование ее дальнейшей эволюции.

Большинство двойных астероидов, следы существования которых можно обнаружить на поверхности Земли, планет и спутников в виде двойных кратеров, образовались, по-видимому, в результате столкновения ж распада крупных родительских тел [8, 47]. Поэтому обнаружение как можно большего числа двойных астероидов чрезвычайно важно для получения данных о скорости и масштабах эволюционных процессов в поясе астероидов.

Заметная доля открытых к настоящему времени двойных астероидов принадлежит к классу астероидов, сближающихся с Землей (АСЗ), которые приближаются к земной орбите или пересекают ее. Поэтому обнаружение и изучение двойных астероидов имеет и практический интерес, связанный с проблемой астероидной опасности. Методики определения орбиты одиночного астероида и предсказания возможности его столкновения с Землей уже достаточно глубоко разработаны и в настоящее время широко используются. Движение же ДА более сложное. Помимо движения общего центра инерции по гелиоцентрической орбите необходимо также учитывать и обращение компонентов вокруг центра инерции. Поэтому знание элементов орбит компонентов, их формы, плотности, минералогического состава и других физических и динамических характеристик необходимо для предвычисления и предотвращения возможного столкновения ДА с Землей.

Двойные астероиды могут быть обнаружены при наблюдениях с помощью адаптивной оптики, при радарных наблюдениях или с помощью космических аппаратов. Одним из наиболее перспективных на сегодняшний день методов обнаружения двойных астероидов является исследование их кривых блеска (световых кривых), поскольку при обычных наземных наблюдениях двойные астероиды, представляющие собой тесные двойные системы, в большинстве случаев не разлагаются на составляющие и видны как точечные объекты.

При фотометрических наблюдениях ДА обнаруживаются периодические колебания блеска, которые могут быть связаны как с вращением несферичных компонентов, так и с прецессией орбиты спутника и изменением аспекта. Световые кривые могут также содержать особенности, связанные с взаимными явлениями (покрытиями и затмениями). В настоящее время разработаны методики, позволяющие из анализа таких особенностей получать оценки некоторых важных характеристик ДА, таких как соотношение эффективных диаметров компонентов, отношение большой полуоси орбиты спутника относительно главного компонента к диаметру главного компонента, плотность компонентов и др. [43]. Тем не менее, по этим методикам параметры ДА определяются с большими ошибками, а существующие программы моделирования световых кривых, которые позволяли бы уточнять эти параметры, разработаны при использовании упрощенной модели ДА. Решение прямой задачи (построение световых кривых ДА по известным параметрам), позволяющее получать удовлетворительную аппроксимацию реальных наблюдений, сопряжено с определенными трудностями, которые связаны, например, с учетом несферичности тел, законами отражения. Необходимо также учитывать и сложное поступательно-вращательное движение несферичных компонентов.

Настоящая работа посвящена исследованию двойных астероидов, световые кривые которых свидетельствуют как о вращении несферичных компонентов, так и о взаимных покрытиях и затмениях тел.

Основной целью работы является разработка методики определения параметров ДА при аппроксимации реальных кривых блеска модельными, вычисленными с учетом сложного движения его несферичных компонентов, а также апробация данной методики на примере ДА 1996 Рвз

Работа содержит введение, пять глав и заключение.

В первой главе дается краткий критический обзор современного состояния исследования двойных астероидов, методов их обнаружения. Особое внимание уделяется также проблеме их образования, дальнейшей эволюции и условиям устойчивости движения. Приводится краткая характеристика открытых на сегодняшний день двойных астероидов.

Во второй главе приводится вывод удобных для программирования формул для вычисления члена пятого порядка разложения взаимной силовой функции двух однородных трехосных эллипсоидов в ряд по обратным степеням расстояния между их центрами по методу Дубошина. Последнее эквивалентно вычислению гармоник четвертого порядка в разложении силовой функции двух эллипсоидов по сферическим функциям.

В третьей главе исследуется задача поступательно-вращательного движения ДА, компоненты которого аппроксимируются однородными трехосными эллипсоидами, в поле тяготения Солнца. Уравнения движения интегрируются методом Эверхарта. Рассмотрено влияние четвертой гармоники на движение гипотетического ДА.

Четвертая глава посвящена учету покрытий и затмений в системе ДА. Дается теоретическое обоснование предлагаемого метода и его алгоритм. Проведено тестирование метода моделированием кривых блеска гипотетического ДА, а также аппроксимацией реальных фотометрических наблюдений двойной планеты Плутон-Харон модельными кривыми блеска.

В пятой главе содержатся результаты аппроксимации реальных кривых блеска ДА 1996 РСз с использованием упрощенной модели, не учитывающей сложное поступательно-вращательное движение несферичных компонентов. Далее приводятся результаты исследования движения этого объекта с учетом второй и четвертой гармоник разложения гравитационного потенциала. Показано влияние сложного движения компонентов на световые кривые. Рассматривается модель ДА с колеблющейся плоскостью орбиты спутника.

В заключении приводятся основные результаты и выводы работы.

Актуальность поставленной задачи следует из того, что в настоящее время наблюдается массовое открытие двойных астероидов. Определение их параметров и исследование их движения важно как для понимания эволюционных процессов, происходящих в Солнечной системе, так и с точки зрения астероидной опасности.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) получено представление силовой функции гравитационного взаимодействия двух эллипсоидов в виде разложения по сферическим функциям до четвертой гармоники;

2) для вычисления модельных световых кривых разработан оригинальный метод учета покрытий и затмений в системе двух эллипсоидальных тел;

3) световые кривые ДА впервые изучены с учетом сложного поступательно-вращательного движения компонентов;

4) исследована устойчивость движения компонентов ДА 1996 Рвз на интервале в 3000 оборотов спутника, вычислен период прецессии плоскости орбиты спутника;

5) проведено предварительное исследование движения компонентов ДА в предположении наличия колебаний плоскости орбиты спутника.

Работа представляет практическую ценность, поскольку полученные в ней формулы, уравнения и результаты их исследования, разработайные алгоритмы и сделанные выводы применимы при решении достаточно широкого круга задач, связанных с исследованием поступательно-вращательного движения тел Солнечной системы и с моделированием их световых кривых.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:

1. Формулы для вычисления четвертой гармоники разложения силовой функции взаимного притяжения двух трехосных эллипсоидов по методу Г.Н.Дубошина. Компактные формулы для вычисления моментов сил.

2. Уравнения поступательно-вращательного движения ДА в поле тяготения Солнца с учетом разложения силовой функции гравитационного взаимодействия компонентов по сферическим функциям до четвертой гармоники. Методика численного интегрирования этих уравнений и и результаты исследования влияния четвертой гармоники на движение и вращение компонентов.

3. Метод учета покрытий и затмений в системе ДА, компоненты которого аппроксимируются трехосными эллипсоидами. Алгоритм моделирования кривых блеска и вычисления фотоцентра ДА путем разбиения поверхности эллипсоидов на элементарные площадки.

4. Новые значения параметров орбиты спутника ДА 1996 Гвз относительно главного компонента Значения плотности компонентов, их размеров и периода прецессии плоскости орбиты в случае сложного поступательно-вращательного движения компонентов ДА 1996 ГСз.

Публикации и апробация диссертации.

По содержанию диссертации сделаны доклады на следующих научных конференциях и симпозиумах:

1. Всероссийская конференция с международным участием «Астероидная опасность — 95», СПб: ИТА РАН, 23-25 мая 1995 г.

2. Третья Санкт-Петербургская ассамблея молодых ученых и специалистов, СПбГТУ, 4-11 декабря 1998 г.

3. 28-ая международная студенческая научная конференция, Екатеринбург, обсерватория УрГУ, 1-5 февраля 1999 г.

4. Четвертая Санкт-Петербургская ассамблея молодых ученых и специалистов, СПбГТУ, 2-10 декабря 1999 г.

5. 29-ая студенческая научная конференция, Екатеринбург, обсерватория УрГУ, 31 января - 4 февраля 2000 г.

6. Шестая Всероссийская Научная Конференция студентов-физиков и молодых ученых, Томск, ТПУ, 2-8 апреля 2000 г.

7. JENAM-2000, Москва, МГУ, 29 мая - 3 июня 2000 г.

8. Научная конференция «Новые результаты аналитической и качественной небесной механики», Москва, ГАИШ, 5-6 декабря 2000 г.

9. Пятая Санкт-Петербургская ассамблея молодых ученых и специалистов, СПбГТУ, 14-19 декабря 2000 г; Политехнический симпозиум: «Молодые ученые — промышленности северо-западного региона», ИМОП (СПбГТУ), 14 декабря 2000 г.

10. 30-ая студенческая научная конференция, Екатеринбург, обсерватория УрГУ, 29 января - 2 февраля 2001 г.

11. Всероссийская астрономическая конференция, СПбГУ, 6-12 августа 2001 г.

12. Workshop "Ceres 2001", Paris, IMCCE, 9-12 октября 2001 г.

Результаты работы докладывались также на научных семинарах ИПА

РАН, НИИ ПММ при ТГУ (7 апреля 2000 г.), кафедры астрономии КГУ

4 февраля 2002 г.).

Основные результаты работы изложены в следующих публикациях:

1. Железнов Н.Б., Шор В.А. 1995. Компьютерная программа для вычисления кривых блеска двойных астероидов. Всероссийская конференция с международным участием «Астероидная опасность — 95». Тезисы докладов, СПб: ИТА РАН, Т.1, с.23-25.

2. Железнов И.Б. 1998. Численное интегрирование уравнений посту-пательно-вращательногодвижения двойного астероида. «Третья Санкт-Петербургская ассамблея молодых ученых и специалистов». Тезисы докладов, СПб: СПбГТУ, с.47.

3. Железнов Н.Б. 1998. Численное моделирование кривых блеска двойных астероидов. «Третья Санкт-Петербургская ассамблея молодых ученых и специалистов». Тезисы докладов, СПб: СПбГТУ, с.47.

4. Железнов Н.Б. 1999. Сведения о тесных двойных системах в Солнечной системе. 28-ая международная студенческая конференция «Физика космоса», Екатеринбург: УрГУ, с.44.

5. Железнов Н.Б. 1999. Численное интегрирование уравнений поступательно-вращательного движения двойного астероида. 28-ая международная студенческая конференция «Физика космоса». Тезисы докладов, Екатеринбург: УрГУ, с.45.

6. Железнов Н.Б. 1999. Численное моделирование кривых блеска двойных астероидов. 28-ая международная студенческая конференция «Физика космоса». Тезисы докладов, Екатеринбург: УрГУ, с.46.

7. Zheleznov N. 1999. The research, of prograde-rotational motion of binary asteroids and their lightcurves. ACM Conference Abstracts, Cornell University, USA.

8. Железнов Н.Б. 1999. Моделирование движения двойного астероида: кривые блеска и смещение фотоцентра. «Четвертая Санкт-Петербургская ассамблея молодых ученых и специалистовТезисы докладов, СПб: СПбГУ, с.50.

9. Железнов Н.Б. 1999. Вычисление члена пятого порядка разложения силовой функции двух эллипсоидальных тел по обратным значениям их взаимного расстояния. Труды ИПА, СПб.: ИПА РАН, вып.4, с.261-272.

10. Железнов Н.Б. 1999. Численное интегрирование уравнений поступательно-вращательного движения двойного астероида. Труды ИПА, СПб.: ИПА РАН, вып.4, с.272-290.

11. Железнов Н.Б. 1999. Метод учета взаимных покрытий и затмений в системе двойного астероида при решении фотометрических задач. Сообщения ИПА РАН, № 131, СПб.: ИПА РАН.

12. Железнов Н.Б. 2000. Исследование двойственности астероида 1996 FG3. Труды 29-ой студенческой конференции «Физика КосмосаЕкатеринбург: УрГУ, с. 117.

13. Железнов Н.Б. 2000. Исследование двойственности астероидов 1991 VH, 1994 AWb 1996 FG3. ВИКСФ-6. Сборник тезисов, Екатеринбург-Томск, с.370-371.

14. Zheleznov N.B. 2000. Research of binarity of asteroids 1991 VH, 1994 AW1, 1996 FG3. Abstracts of JENAM-2000, Moscow, c.90.

15. Железнов Н.Б. 2000. Исследование двойственности астероидов 1991 VH, 1994 AW1, 1996 FG3. Сборник докладов «Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века», СПб: ИПА РАН, с.270-271.

16. Железнов Н.Б. 2000. Определение орбитальных и физических характеристик двойного астероида 1996 FG3. «Пятая Санкт-Петербургская ассамблея молодых ученых и специалистовТезисы докладов, СПб: СПбГТУ, с.36.

17. Железнов H.Б. 2000. Определение орбитальных и физических характеристик двойного астероида 1996 FG3. Научная конференция «Новые результаты аналитической и качественной небесной механики». Тезисы докладов, Москва, с.37.

18. Железнов Н.Б. 2001. Определение орбитальных и физических характеристик двойного астероида 1996 FG3. Труды ХХХ-й студенческой конференции «Физика космоса», Екатеринбург, УрГУ, с.188.

19. Железнов Н.Б. 2001. Исследование двойного астероида 1996 FG3. Всероссийская астрономическая конференция. Тезисы докладов, СПб: СПбГУ, с.66.

20. Zheleznov N. 2001. Research of binary asteroid 1996 FG3. Proceedings of Workshop "Ceres 2001" (9-12 October, Paris).

21. Железнов Н.Б. 2002. Исследование двойного астероида 1996 FG3. Сообщения ИПА РАН, № 147, СПб.: ИПА РАН.

В совместной с В.А.Шором работе [1] автору принадлежит разработка метода вычисления кривой блеска ДА с компонентами сферической формы, разработка программы построения световой кривой и визуализации движения компонентов ДА.

Заключение

Основным результатом данной работы является разработка методики определения физических и динамических параметров ДА, компоненты которого аппроксимируются трехосными эллипсоидами, из световых кривых и ее приложение к ДА 1996 ГСз.

При разработке этой методики получены следующие результаты:

• Получены в удобной для программирования форме формулы для вычисления четвертой гармоники разложения силовой функции притяжения двух трехосных эллипсоидов. В этих формулах и в уравнениях поступательно-вращательного движения в качестве параметров, описывающих вращение, используются направляющие косинусы главных центральных осей инерции тел. Это позволяет избежать особенностей при нулевом значении угла нутации. Определен оптимальный порядок численного интегрирования уравнений поступательно-вращательного движения в методе Эверхарта. Установлено, что в данной задаче использование дифференциальных уравнений движения второго порядка более эффективно по сравнению с уравнениями первого порядка;

• Путем разбиения поверхности тела на элементарные площадки (фасеты) построен метод учета покрытий и затмений в системе ДА, компоненты которого аппроксимируются трехосными эллипсоидами. На основе этого метода разработана программа моделирования кривых блеска и вычисления фотоцентра ДА;

• Определены с помощью МНК параметры орбиты спутника относительно главного компонента ДА 1996 РСз, средняя плотность компонентов и их размеры в рамках стандартной модели, в которой экваториальные плоскости компонентов совпадают с орбитальной плоскостью спутника, а взаимное влияние вращательного и поступательного движения не учитываются;

• Сделан дальнейший шаг в исследовании поступательно-вращательного движения компонентов ДА 1996 ГСз: численно иследована устойчивость данной системы, уточнено значение плотности компонентов, определены в рамках рассматриваемой модели периоды прецессии плоскости орбиты и экваториальной плоскости главного компонента;

• Проведен предварительный анализ модели ДА, учитывающий колебание плоскости орбиты спутника. Оказалось, что колебания плоскости орбиты спутника ДА 1996 Рвз, сопровождающиеся колебаниями наклона орбиты спутника с амплитудой всего около 2°, способны вызвать изменения в световых кривых, превышающие ошибки наблюдений.

Хотя к сегодняшнему дню открыто менее трех десятков двойных астероидов и ряд фотометрических наблюдений невелик, именно сейчас остро встает вопрос о разработке технических и программных средств обнаружения и исследования этих малоизученных объектов. Настоящая работа является одним из шагов в этом направлении, и полученные результаты исследования ДА 1996 Гвз могут свидетельствовать о корректности приведенных здесь разработок.

Диссертант бесконечно благодарен научному руководителю доктору физ.-мат. наук Виктору Абрамовичу Шору за постоянное внимание к работе, за полезные советы по ее выполнению, за неоценимую помощь в подготовке текстов диссертации и автореферета.

Диссертант выражает глубокую благодарность Ю.А.Чернетенко и Г.Р.Кастель за ценные советы и помощь в решении бытовых проблем, связанных с выполнением работы. Диссертант глубоко признателен всем сотрудникам Лаборатории малых тел Солнечной системы и других лабораторий за доброжелательное отношение к работе.

Диссертант также выражает особую благодарность Д.А.Рыжковой и Г.А.Нецветаевой за ценные советы по работе с системой авторского набора текста

1. André Ch. 1901. Sur le système formé par la planète double (433) Eros. Astron.Nach, V.155, pp.27-30.

2. Dunlap J.L. 1976. Lightcurves and tlie axis of rotation of 433 Eros. Icarus, V.28, pp.69-78.

3. Van F'landern T.C., Tedesco E.F., and Binzel R.P. 1979. Satellite of asteroids. In Asteroids, ed. T.Gehrels (Tuscon Univ. of Arizona), pp.443465.

4. Tedesco E.F. 1979. A photometric investigation of the colors, shapes, and spin rates of Hirayama family asterids. Ph.D.dissertation. New Mexico State University.

5. Chang Y.C., and Chang C.S. 1963. Photometric investigations of variable asteroids. II. Acta Astron. Sinica, V.ll, pp.139-148.

6. Zappalà V., van Houten-Groeneveld I., and Houten C. 1979. Rotation period and phase curve of the asteroids 349 Dembowska and 354 Eleonora. Astron. Astrophys. Suppl, V.35, pp.213-221.

7. Tedesco E., Drummond J., Candy M., Birch P., NokoloffL, and Zellner B. 1978. 1580 Betulia: An unusial asteroid with an extraordinary lightcurve. Icarus, V.35, pp.344-359.

8. Bottke W.F. and H.J.Melosh. 1996. Formation of asteroid satellites and doublet craters by planetary tidal forces. Nature, V.281, pp.51-53.

9. Dunham D.W. and Maley P.D. 1977. Possible observations of a satellite of a minor planet. Occul. Newsl., V.l, pp.115-117.

10. Bowell E., McMahon J., Hrone K., A'Hearn M.F., Dunham D.W., Penhallow W., Taylor G.E., Wasserman L.H., and White N.M. 1978.

11. A possible satellite of Herculina. Bull. Amer. Astron. Soc., V.10, p.594 (abstract).

12. Arlot J.E., Lecacheux J., Richardson Ch., Thuillot W. 1985. A possible satellite of (146) Lucina. Icarus, V.61, pp.224-231.

13. Reitsema H.J. 1979. The reability of minor planet satellite observations. Science, V.205, pp. 185-186.

14. Binzel R.P. 1985. Is 1220 Crocus a precessing binary asteroid? Icarus, V.63, pp.99-108.

15. Harris A.W. 1985. Slowly rotating asteroids: Evidence for binary asteroids? Bull Amer. Astron. Soc., V.12, p.744 (abstract).

16. Прокофьева В.В., Таращук В.П., Горькавый Н.Н. 1995. Спутники астероидов. Успехи физических наук, Т. 165, № 6, с.661-691.

17. Hudson R.S. and Ostro S.J. 1994. Shape of asteroid 4769 Castalia (1989 PB) from inversion of radar images. Science, V.263, p.940.35. IAUC 7730, 2001.36. IAUC 7632, 2001.37. IAUC 7496, 2000.38. IAUC 7518, 2000.

18. Pravec P., Wolf M., Sarounovâ L. 1997. Occultation/Eclipse events in binary asteroid 1991 VH. Icarus, V.133, pp.79-88.40. IAUC 6607, 1997.41. IAUC 6680, 1997.

19. Pravec P. and Hahn G. 1997. Two-Period Lightcurve of 1994 AW2: Indication of a Binary Asteroid? Icarus. V.127, № 2, pp.431-440.43. IAUC 7069, 1998.44. IAUC 7742, 2001.45. IAUC 7504, 2000.

20. Durda D.D. 1996. The formation of asteroidal satellites in catastrophic collisions. Icarus, V.120, pp.212-219.

21. Рускол E.JI. 1996. Образование спутников астероидов путем фрагментации более крупных тел. Астрой, вестник, Т.30, № 3, с.253-258.

22. Farinella P., Paolicchi P., Zappala V. 1982. The asteroids as outcomes of catastrophic collisions. Icarus, V.70, pp.409-433.

23. Cintala M.J., Head J.W., and Wilson L. 1979. The nature and effects of impact cratering on small bodies. In Asteroids, ed. T.Gehrels (Tuscon Univ. of Arizona), pp.579-600.

24. Harris A.W. 1987. On the evolution of meteoroid collision debris in orbit about asteroids. Bull. Arner. Astron. Soc., V.19, p.909 (abstract).

25. Hartmann W.K. 1979. A special class of planetary collisions: Theory and evidence. Proc. Lunar Planet. Sci. Conf., V.10, pp. 1897-1916.

26. Martelli G., Rothwell P., Giblin I., Smith P.N., Di Martino M., and Farinella P. 1993. Fragments jets from catastrophic break-up events and the formation of asteroid binaries and families. Astron. Astrophys., У.271, pp.315-318.

27. Zhang S.-P., and Innanen K.A. 1988. The stable region of satellites of large asteroids. Icarus, V.75, pp. 105-112.

28. Innanen K.A. 1980. The Coriolis asymmetry in the classical restricted 3 body problem and the Jacobian. Astron. J., V.85, pp.81-86.

29. Chavineau В. and Mignard F. 1990. Dynamics of binary asteroids. II. Jovian perturbations. Icarus, V.87, № 2, pp.377-390.

30. Weidenschilling S.J., Paolicchi P., and Zappala V. 1987. Do asteroids have satellite? In Asteroids II (Tuscon Univ. of Arizona), pp.643-660.

31. Chavineau В., Farinella P., and Mignard F. 1991. The lifetime of binary asteroid vs. gravitational encounters and collisions. Icarus, V.94, pp.299310.

32. Farinella P. 1992. Evolution of earth-crossing binary asteroids due to gravitational encounters with the earth. Icarus, V.96, № 2, pp.284-285.

33. Farinella P., and Chaunvineau B. 1993. On the evolution of binary Earth-approaching asteroids. Astron. Astrophys., V.297, pp.251-259.

34. Дубошин Г.Н. 1977. О разложении силовой функции двух конечных тел. Сообщения государственного астрономического института им. Штернберга, Т.201, с.3-30.

35. Суслов Р.К. 1946. Теоретическая механика. Изд. 3-е, Гостехиздат.

36. Белецкий В.В. 1965. Движение искусственного спутника относительно центра масс. Москва: «Наука».

37. Everhart Е. 1974. Implicit single-sequence methods for integrating orbits. Celestial Mechanics, V.10, pp.35-55.

38. WijesingheM.P. and Tedesco E.F. 1979. A test of Plausibility of Eclipsing Binary Asteroids. Icarus, V.40, № 3, pp.383-393.

39. Karttunen H. 1989. Modelling asteroid brightness variations. I. Numerical methods. A&A, V.208, № 1/2, pp.314-319.

40. Bowell E., Нарке В., Domingue D., Lumme K., Peltoniemi J. and Harris A.W. 1989. Application of photometric models to asteroids. In Asteroids II, Ed.: Binzel R., Gehrels Т., Matthews M. (Tuscon Univ. of Arizona), pp.524-556.

41. Surdej A. and Surdej J. 1978. Asteroid lightcurves simulated by the rotation of a three-axes ellipsoid model. A&A, V.66, № 1/2, pp.31-36.

42. Lumme K., Karttunen H., Bowell E. and Poutanen M. 1986. Inversion of asteroid lightcurves using spherical harmonics. Asteroids, Cornets, Meteors II. Uppsala University. Sweden, pp.55-59.

43. Железнов Н.Б., Шор В.A. 1995. Компьютерная программа для вычисления кривых блеска двойных астероидов. Всероссийская конференция с международным участием «Астероидная опасность — 95». Тезисы докладов, Т.1. с.23-25.

44. Михайлов А.А. 1954. Теория затмений. Москва: «Наука».

45. Тублина O.K., Холшевников К.В. 1991. Сечения и мидели эллипсоида. Вестник ЛГУ. Сер.1, вып.4, № 22, с.38-41.

46. Железнов Н.Б. 1999. Метод учета взаимных покрытий и затмений в системе двойного астероида при решении фотометрических задач. Сообщения ИЛА РАЛ, № 131, СПб: ИПА РАН.

47. Мартынов Д.Я. 1967. Курс практической астрофизики. Москва: «Наука».

48. Мартынов Д.Я. 1971. Курс общей астрофизики. Москва: «Наука».

49. Mottola S. and Lahulla F. 2000. Mutual eclipse events in asteroidal binary system 1996 FG3: observations and numerical model. Icarus, V.146, N 2, pp.556-567.

50. Batrakov Yu.V., Chemetenko Yu.A., Gorel G.K., Gudkova L.A. 1999. Hipparcos catalogue orientation as obtained from observations of minor planets. A&A, V.352, pp.703-711.

51. Meeus J. 1991. Astronomical algorithms. Willmann-Bell, Inc. Virginia, USA.

52. Tholen D.J. and Buie M.W. 1988. Circumstances for Pluto-Charon mutual events in 1989. Astron. J., V.96, № 6, pp.1977-1982.

53. Young E.F. and Binzel R.P. 1994. A new determination of radii and limb parameters for Pluto and Charon from mutual event lightcurves. Icarus, V.108, № 2, pp.219-224.

54. Kinoshita H. 1993. Motion of the orbital plane of a satellite due to a secular change of the obliquity of its mother planet. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. V.57, pp.359-368.

55. Dohnanyi J.S. 1969. Collisional model of asteroids and their debris. J. Geophys. Res., V.74, pp.2531-2554.