Потенциалы равновесных мер во внешних полях и экстремальные свойства их носителей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛАПИК Мария Александровна

ПОТЕНЦИАЛЫ РАВНОВЕСНЫХ МЕР ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ИХ НОСИТЕЛЕЙ

Специальность 01.01.03 — математическая физика

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АВТОРЕФЕРАТ

Москва - 2006

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М, В. Келдыша Российской Академии Наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А. И. Аптекарев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В. А. Калягин

доктор физико-математических наук, профессор А. А. Шкаликов

Ведущая организация: Математический институт

им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 2006 г. в И час.

на заседании Диссертационного совета Д 002.024.02 в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН

Автореферат разослал! « » СУ^^Ч 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета .

кандидат физико-математических наук У — Г. В. Устюгова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Рассмотрение экстремальных задач теории потенциала восходит к Гауссу \ но первыми работами в этой области принято считать две статьи О. Фростмана2 3, который рассмотрел экстремальные задачи теории потенциала с логарифмическим ядром в непрерывных супергармонических внешних полях и показал, что потенциалы экстремальных мер удовлетворяют некоторым соотношениям равновесия.

Современный интерес к экстремальным задачам теории логарифмического потенциала обусловлен многочисленными приложениями к различным областям математики и математической физики. Среди приложений выделим контактные задачи теории упругости, теорию матричных случайных ансамблей в статистической физике и в задачах рассеяния нейтронов, вполне интегрируемые регуляризации нелинейных гиперболических уравнений в частных производных, теорию аппроксимаций и ортогональных многочленов.

Е.А. Рахманов4, изучая слабую асимптотику масштабированных ортогональных полиномов относительно весов Фрода, показал, что она тесно связана с потенциалом некоторой равновесной меры во внешнем поле. Тогда же A.A. Гончар и Е.А. Рахманов5 ввели понятие векторной задачи логарифмического потенциала в связи с рассмотрением полиномов совместной ортогональности, которые возникли при рассмотрении аппроксимаций Эрми-та - Паде. Е.А. Рахманов6 в 1996 году впервые рассмотрел экстремальные

* C.F.Gaues // Allgemeine Lehrsätze. Werke, 5. p. 232

3 О. /Vwsiman. Potentiel d 'équilibre et capacité des ensembles avec quelques applications à la théorie des

fonctions. // thesis. Meddel. Lunds Univ. Mat. Sem., 3:1-118,1935

4 0. fVosiman. La méthode de variation de Gauss et les fonctions aousharmoniques. // Acta Sei. Math., S:

149-159,1936-37

* Е.А, Рахманов. Об асимптотических свойствах многочленов, ортогональных на вещественной оси

//Мат. сб. Т.119(162)-с.163-203.-1982

ЬА.А. Гон-чар, Е.А. Рахманов. О сходимости совместных аппроксимаций Паде для систем функций

марковского типа //Труды Мат. инст. АН СССР,- 1981-T.157.W1-C.31-48

0 Е.А. PaXAiewoe. Равновесная мера и распределение нулей экстремальных многочленов дискретной

задачи с ограничениями на меры, что позволило получить описание предельного распределения нулей многочленов, ортогональных относительно дискретных весов.

Фундаментальное исследование равновесных потенциалов во внешнем поле было проведено Е. Б. Саффом с соавторами7 8.

Определение носителей равновесных мер и множеств равновесия является важным шагом при решении экстремальных задач. B.C. Буяров и Е.А. Рахманов9, рассмотрев семейство задач равновесия в ноле для мер с переменной массой величины х, показали, что знание семейства носителей равновесных мер S(x) позволяет определить все характеристики задачи -поле Q, равновесную меру Aq.

Процедура нахождения носителей S равновесных мер Лд имеет непо-cj>eдетве иные приложения к некоторым задачам математической физики. Например, А.И. Аптекарев и В. Ван Асше10 показали, что, если экстремальная задача рассматривается над классом мер массы х и внешнее поле Q специальным образом зависит от параметра f, то концевые точки носителя 5(х,/) = [»(х, t),{3(x, i)] удовлетворяют некоторым гиперболическим системам уравнений с частными производными (по х и <).

Понятие равновесной меры сыграло существенную роль в исследовании П. Дейфта с соавторами11 12 дисперсионных дискретизаций уравнения

Бюргерса и гиперболической системы "континуальный предел цепочки То-

переменной //Маг. сб. Т.187, №8-с.109-124.-1996

т Н. N Mkaskar, Е.В. Stiff Extremal problems for polynomials with exponential weights.//Trans. Amer.

Math.Soc., 285:204-234, 1984

*E. D. Saff, V. Totxk. Logarithmic Potentials with External Fields.// Grundlehren Math. Wiss. 316,

Springer, Berlin, 1997.

*B. С. Буяров, E. А. Рахманов. О семействах мер, равновесных во внешнем поле на вещественной

оси. ,//Мат. сб. №5 190(1999), 11-22; '"A.I.Aptekarev, W. Van Assche. Asymptotic of discrete orthogonal polynomials and the continuum limit

of the Toda lattice. //Journal of physics A: Mathematics and General, 34{48), 2001, 10627-10639. "Л Dei/t, K. T-R McLaughlin. A Continuum Limit of the Tbda Lattice.// Memoirs of the American

Mathematical Society. Number 624. January 1998, Volume 131 13 P. Deift, T. Kriechcrbauer, K. T-R McLaughlin New results on the equilibrium measure for logarithmic

potentials in the presence of an external field. //J. Approx. Theory, 95(3); 388-475, 1998

ды". Скачкообразное изменение носителей равновесных мер позволило А.И. Аптекареву и Ю.Г. Рыкову13 предложить обобщенный принцип Гюгонио для выделения разрывных решений (ударных волн) нелинейных гиперболических систем уравнений с частными производными.

Другим важным применением равновесных мер в задачах математической физике является полученное JI. Пастуром и М. Щербиной14, а также П. Дейфтом с соавторами 15, доказательство гипотезы об универсальности предельного поведения ансамблей матричных случайных величин. А.И. Ап-текаревым, П. Блехером и А. Куэларсом16 с помощью векторных задач равновесия получена предельная теорема распределения собственных значений гауссовых случайных матриц с внешним источником, используемая в описании броуновского движения. Наконец отметим приложения экстремальных задач с внешним полем к контактным задачам теории упругости17.

Цель работы. Нахождение носителей равновесных мер для экстремальных задач теории логарифмического потенциала. Разработка методов численного решения таких задач. Исследование связи систем гиперболических уравнений в частных производных с носителями равновесных мер в экстремальных задачах теории потенциала.

Общая методика исследований. Основным методом поиска носи-

13A.I. Aptekarev, Yu. G. Rykov On the Variational Representation of Solutions to Some Quasilinear

Equations and Systems of Hyperbolic Type on the Basis of Potential Theory. //Russian J. of Math. Physics,

Vol. 13, No.l, 2006, pp. 4-12 uL,Pastur, M.Shcherbina. Universality of the Local Eigenvalue Statistics for a Class of Unitary Invariant

Matrix Ensembles. J.Stat.Phys., 86, p.109-147 (1997 )

15P. Deift, T. Kriecherbauer, K.T-R. McLaughlin, S, Venakides and X. ZhouVmfotm asymptotics of

polynomials orthogonal with respect to varying exponential weights and applications to universality questions

in random matrix theory. //Commun. Pure Appl. Math. 52 (1999), 1335-1425 ,<SA.I. Aptekarev, P.M. Bleher, A.D.J. Kuijlaars Large n Limit of Gaussian Random Matrices with External

Source, Part ||.//Commun. Math. Phys. 259, 367-389 (2005) "A. B. J. Kuijlaars, W. Van Assche. A contact problem in elasticity related to weighted polynomials on

the real line.//Rend. Circ. Mat. Palermo., serie II, 52, valume 11, 1998, 575-587

телей равновесных мер в экстремальных задачах теории логарифмического потенциала является построение экстремальных функционалов 18. Тем самым задача нахождения носителей экстремальных мер сводится к поиску экстремальных точек этих функционалов. Для этого необходимы решения робеновских экстремальных задач теории логарифмического потенциала. В доказательствах результатов были использованы методы функционального анализа и теории функций комплексного переменного, теория алгебраических функций и римаиовых поверхностей.

Научная новизна. Новыми являются уравнения для множеств равновесия экстремальных мер в задачах минимизации энергии теории логарифмического потенциала во внешнем поле с ограничениями на меры. Получен новый класс начальных данных для решения задачи Коши системы гиперболических уравнений, называемой континуальным пределом цепочки Тоды. Впервые исследована задача векторного равновесия логарифмического потенциала во внешнем поле с ограничениями. Найдены условия равновесия в таких задачах и получены утверждения о свойствах носителей экстремальных мер.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты носят как теоретический, так и прикладной характер. Определение носителей равновесных мер связано непосредственно с решением некоторых систем уравнений с частными производными. Также нахождение носителей равновесных мер играет важную роль в определении самих этих мер, что, в свою очередь, имеет приложение к поиску асимптотик ортогональных полиномов. В частности, решения задач векторного потенциала связаны с асимптотикой многочленов совместной ортогональности. Резуль-

ltH.N. Master, Е. В. Saff. Where does the sup norm of a weighted polynomial live?// Consstr. Approx( 1985),1,71-91.

таты диссертации относятся к следующим разделам математической физики: теория потенциала, спектральная теория операторов и интегрирование гиперболических уравнений в частных производных. В дальнейшем эти результаты могут быть полезны специалистам по математической физике и теории функций, работающим в МГУ, МИАН и ИПМ им. М. В. Келдыша.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научно-исследовательских семинарах и конференциях:

- Семинар по Математической физике ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2006 г.;

- Семинар «Современные проблемы теории функций» кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф. А. И. Аптекарсва, проф. В. Н. Сорокина и доц. B.C. Буярова;

- Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения» , 2006 г.;

- Конференция «Конструктивные комплексные аппроксимации» в Нижнем Новгороде, 2005 г.;

- Семинар отдела №4 ИПМ им, М.В. Келдыша РАН, 2006 г.;

Структура работы. Диссертация изложена на 75 страницах, состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 34 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении отражена история вопросов, рассмотренных в диссертации, приведен обзор результатов, связанных с темой исследования, а также кратко изложены содержание работы и основные результаты.

В первой главе рассматриваются скалярные задачи равновесия во внешнем поле с ограничениями на равновесные меры.

Пусть - множество положительных борелевских мер с компактными носителями в Е С Е и массами, равными х. Для некоторой меры а с носителем — И пусть

~ {/1 € :0 < ¡л < с Е}.

Внешним полем назовем непрерывную функцию ф : Е Еи {+оо}. Логарифмическим потенциалом меры ц назовем функцию

а энергией меры во внешнем поле ф - величину

= ! I + + Му)М*) =

= J J 1ре |г ^ + 2 J

Равновесной или экстремальной мерой в поле ф называют меру Цд с минимальной энергией в своем классе:

Равновесной или экстремальной мерой с ограничением а в поле р называют мору ¿¿д'^ € с минимальной энергией в классе

ьмп-лЯуШ-

Экстремальные меры существуют и единственны. Следующая теорема доставляет уравнения на концы интервала равновесия П = [а, 6].

Теорема 1 Пусть функция ф : [Л, В] Е и пусть <г - ограничение на [Л, В] ([А, В\ — ва), такие, что:

a) С} непрерывна В]).

b) С/*7 непрерывна и /Е < +оо , N/7 € [Л, В] .

Пусть также /х — - равновесная мера с ограничением сг в поле Я, =х = х0< <г(К).

Если П = [а(х0),/?(х0)] = [а, Ь], А < а(х0) < /3(х0) < В, тогда концы интервала равновесия удовлетворяют следующей системе интегральных уравнений

Г Л1>(а) +1 ('«мЛЦа ( = Ь<В'

V А -ь тг Л ' V 6 - А [<:ео, 6 = В,

V А - а тг Л V А - а а = Л,

где [Л, В] \ = 5Й \ - часть где ограничение достигается.

Доказано, что концы интервала равновесия при зависимости внешнего поля от времени удовлетворяют континуальному пределу цепочки Тоды:

Теорема 2 Пусть £?(А,£) —у + <3(А, Ц), где £ принадлежит отрезку [¿о — Т^, ¿о + а <2(А,<о) и удовлетворяют условиям а), Ъ) Теоремы 1. Пусть

1) множество равновесия есть отрезок для любых (х,£) 6 [хо — Хих0 + Х2] х [*0 - ТиЦ + Т2] , т.е. П = [а(х,£),/3(х,£)], где А < а(х,£) < /3(х,£) < В =

2) отображение [хо—Л"1,хо+А"2]х[<о—^,¿0+^2] {(а(х,<),/?(х,£))} имеет невырожденный непрерывный якобиан в окрестности точки (жо, ¿о) •

Тогда а(х, £) и /3(х, ¿) в некоторой окрестности (хо, ¿о) удовлетворяют системе уравнений в частных производных (так называемый конти-

нуалъпый предел цепочки Тиди):

да _ /3 — ада __ _ 4 Зх'

д/3 р-адр

i

. dt 4 Ox

Во второй главе изучается вопрос о численном нахождении носителей равновесных мер и множеств равновесия.

I. Носители равновесных мер предлагается искать с помощью минимизации известного функционала Маскара - Саффа: пусть на регулярных компактах К <s R задан (зависящий от массы меры х и внешнего поля Q) функционал

F%{K) -хlogсар(К) + J Qdu>K, (1)

где шк и сар(К) - соответственно мера Робена и логарифмическая емкость компакта К. Он обладает следующим экстремальным свойством

= wXQ Sflb с к с S'*,

в остальных случаях,

где З^Ь = {у ; (и^Ь 4- С})(у) = /^д}. Тем самым, если носитель равновесной меры есть отрезок, то задача нахождения носителя сводится к минимизации функции двух переменных - функционала (1) на множестве отрезков.

В качестве примера рассмотрена задача контакта абсолютно жесткого поршня с упругой плоскостью17.

II. Для решения задачи определения множества равновесия в случае, когда множества и - интервалы, предложены экстремальные

функционалы

* С. »)==-. Ь8 + ± [ * - I «М

10

где j = 1,2', 2", 3, a h = 0, I2> — [Л, а], /2» = [/3, Б], /3 = [Л, Л] . Показано, что случай

• j — 1 соответствует ситуации, когда ограничение не действует, т.е. ii(a, 6) достигает минимума на носителе равновесной меры, который является множеством равновесия.

• j — 2', 2" соответствуют ситуации, когда ограничение действует "сле-ва"или "справа". Показано, что множество равновесия является седловой точкой функционалов F2> (я, Ь) и F2-(a, 6).

• j ■= 3 соответствуют ситуации, когда ограничение действует "слева" и "справа". Показано, что множество равновесия является точкой максимума функционала /з(а, Ь).

В качестве примера рассмотрено предельное распределение нулей полиномов Кравчука 1Э.

В третьей главе рассматриваются векторные задачи равновесия во внешнем поле (с ограничениями на равновесные меры и без ограничений).

I. Пусть Г = {Г(}?=1 - непересекающиеся регулярные компакты в К, тогда Л4Х - множество векторных борелевских мер Д = с

носителями С Г», г = 1, и компонентами массы х. Обозначим Q = (Q1, Qi, Qp) непрерывную вектор-функцию

Qi: Г^ —>RU{+oo}, г = 1,2,

Пусть С = (cij)?J=1 - вещественная симметрическая невырожденная положительно определенная матрица.

Вектор-функцию =

j=1

ltP. D. Dragnev, E. B. Saff. A problem in potential theory and zero asymptotics of Krawtchouk polynomials.//J. of Approx. Theory 102(2000)

называют векторным логарифмическим потенциалом меры Д Е Л4Х во внешнем поле <3 с матрицей взаимодействия С. Соответственно, энергия во внешнем поле для векторных мер Д 6 ЛЛХ задается функционалом

где

Аналогично скалярному случаю ставится экстремальная задача во внешнем поле: найти меру Ад € такую, что

(2)

Если < +оо, то существует единственная мера Ад € Л41 такая, что /^(Ад) = Приведем условия равновесия для векторной задачи во внешнем поле, а именно, существуют и единственны такие константы и>{, г — 1, что

[ >

на

< ^ (3)

на

для экстремальной меры Ад. И обратно, если для некоторой меры имеют место условия (3) с некоторыми константами ги,-, г = 1, то это экстремальная мера для задачи (2).

Обозначим :== Ао,к» тогда для некоторых констант 7», % = 1, ...,р запишем условия равновесия (3)

на 5а на К^.

Определение Векторным функционалом Маскара - Саффа называется функционал Гц (К), определенный на регулярных векторных компактах К формулой

*§(К) =71+72 + -..+7р+J дгс1шкл + J Я2<1шка + >*' + J ЯрЛык^ (4)

V 3

т I 1 ^

Носитель векторной меры Д обозначается через S-p — (S^,..., Для равновесной меры Aq векторное множество равновесия будем обозначать т.е. - множество с компонентами sfQ — {у : = W;}.

Теорема 3 Пусть матрица взаимодействия С — (с^) удовлетворяет условиям

«%<о iïi, (5)

CÎ1+C.2-I-----h Çfp > О î = l,...,p.

Тогда для любого регулярного векторного компакта К С Г справедливо

FQ(K) > Ш1 + w2 + • • • + wp, причем равенство достигается только при SjQ С К С S^.

II. Рассмотрены векторные задачи с ограничениями. Множество мер, ограниченных конечной борелевской векторной мерой а = (<7i,..., ар), носитель которой равен Г, обозначим

- {Д € М* : О < Д < â},

где Д < а означает, что для ¿ = 1,2, верно 0 < щ < а^

Понятия векторного внешнего поля Q, матрицы взаимодействия С, векторного логарифмического потенциала Wq и энергии /^(Д) остаются теми же.

Аналогично ставится экстремальная задача во внешнем поле с огра-ничени&м: найти меру Aq € Л4Х' такую, что

Если Jg,cr < +00, то существует единственная мера Aq*7 € такая,

что = Это следствие строгой выпуклости функционала энер-

гии, как и для всех других экстремальных задач теории логарифмического потенциала. Представим условия равновесия для векторной задачи с ограничением. Следующая теорема верна для любой матрицы взаимодействия.

Теорема 4 Существуют (не обязательно единственные) копстан-

эти условия, то это экстремальная мера.

Равновесные меры являются возрастающим семейством относительно массы:

Теорема 5 Пусть матрица взаимодействия С = (су) удовлетворяет условиям (5). Для любых х и у таких, что ¡¿т^ > х > у > 0, верно

Следствие Носители S^,* а-ограниченной экстремальной меры во внешнем поле Q с весом х являются возрастающим множеством относительно параметра х.

III. Далее рассматривается двумерная задача (2) для двух отрезков с общей точкой во внешнем.

ты равновесия Wq 7 такие, что

где - экстремальная мера. Если для некоторой меры имеют место

(б)

Показано, что носители равновесных мер для таких экстремальных задач суть два конечных промежутка. Таким образом, па левом конце отрезка Ах имеет место сталкивание заряда:

5А1 = [о, 0], ЯДз = [0,1] а < 0.

Наша цель - найти зависимость а(0). Чтобы иметь возможность оценить численные результаты, полученные с помощью минимизации векторного функционала (4), эта задача решается двумя способами.

8,41а(Р),0], [0,1])

Р

Рис. 1; Решение экстремальной задачи (б) с матрицей взаимодействия (7) на отрезках с общим концом во внешнем поле с помощью алгебраических функций (кружки) и посредством минимизации векторного функционала (4) (звездочки).

Сначала с помощью некоторой алгебраической функции мы непосредственно предъявляем равновесную меру в задаче (6) без поля для любого фиксированного а. Это позволяет провести численную минимизацию век-

торного функционала (4) и полунить зависимость а(/3) (см. Рис. 1, звездочки).

С другой стороны, мы рассматриваем общий вид алгебраической функции, дающей решение задачи (6) с матрицей взаимодействия (7). Анализ дискриминанта этой алгебраической функции позволяет по концу отрезка носителя равновесной меры (точке а) вычислить /3(а), /3 > 0 (см. Рис. 1, кружки). На Рис. 1 показано совпадение аналитических и численных результатов.

На защиту выносятся следующие результаты.

1) Найдены уравнения для множеств равновесия экстремальных мер в задачах минимизации энергии в теории логарифмического потенциала во внешнем поле с ограничениями на меры.

2) Доказана связь решения системы гиперболических уравнений (т.н. континуальный предел цепочек Тоды) с задачей равновесия во внешнем поле, с ограничениями.

3) Получены условия равновесия в экстремальных задачах векторного логарифмического потенциала во внешнем поле с ограничениями. Построен векторный функционал, достигающий минимума на носителях равновесной меры.

Поддержка. Исследования по теме диссертации частично были поддержаны: Проектом Российско-Франко-Германских университетских обменов, Программой поддержки ведущих научных школ РФ (грант № НШ -1551.2003.1), Отделением математических наук РАН (программа № 1), фондом ИНТАС (грант № 03-516637) и фондом РФФИ (грант № 05-01-00522).

Работы автора по теме диссертации.

1 М. А. Лапик, О носителе экстремальной меры в векторной задаче равновесия, //Матем. сб., 200G, 197:8, 101-118

2 М. A. Lapik, Interval of Equilibrium for the Logarithmic potential of an Extremal Measure with a Constraint, and the Continuum Limit of the Toda Lattice. //Russian J. of Math. Physics, 2006, 1, Vol. 13, 119-121

3 M. А. Лапищ Нахождение носителя равновесной меры в векторной задаче равновесия логарифмического потенциала. //Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы. - Саратов: ООО Изд. "Научная книга", 2006, 104-105

4 М. А. Лапик, Численная процедура нахождения носителей равновесных мер и множеств равновесия в экстремальных задачах теории логарифмического потенциала. //Преп.,Инст. Прикл. Мат., 2006, 23

5 М. A. Lapik, A continuum limit of the Toda lattice and the equilibrium for the constrained energy problem in the presence of an external field.// Preprint, Inst. Appl. Mathem. Russian Acad. Sci , 2004, 58

И. n. M. 3 a i а з № 82. Т в р а ж 60 окз.

Введение

1 Скалярная задача равновесия

1.1 Введение.

1.2 Задача равновесия логарифмического потенциала во внешнем поле.

1.3 Задача равновесия логарифмического потенциала во внешнем поле с ограничением .■.

1.4 Экстремальные функционалы для задач равновесия

1.5 Уравнения для носителя равновесной меры без ограничений

1.6 О единственности решений уравнения для носителя равновесной меры.

1.7 Уравнения для интервала равновесия в задаче с ограничениями.

1.8 Множество равновесия и непрерывный предел цепочки Тоды

2 Численное нахождение носителей равновесных мер и мно жеств равновесия

2.1 Введение.

2.2 Носитель равновесной меры во внешнем поле в отсутствии ограничений. Случай интервала.

2.2.1 Результаты расчетов.

2.3 Множество равновесия задачи с ограничением.

2.3.1 Вывод экстремальных функционалов

2.3.2 Алгоритм численного нахождения множества равновесия

2.3.3 Пример нахождения множества равновесия: полиномы Кравчука.

Векторная задача равновесия

3.1 Введение.

3.2 Векторная экстремальная задача теории потенциала с внешним полем.

3.2.1 Постановка задачи и основные теоремы.

3.2.2 Экстремальное свойство векторного функционала Маскара-Саффа в отсутствии сталкивания

3.2.3 Равновесные меры переменной массы.

3.3 Векторная экстремальная задача теории потенциала с ограничением и внешним полем.

3.3.1 Постановка задачи.

3.3.2 Условия равновесия для векторных задач.

3.3.3 Возрастание равновесных мер.

3.4 Равновесие с матрицами взаимодействия Никишина для двух отрезков в поле.

3.4.1 Основные определения

3.4.2 Постановка задачи.

3.4.3 Равновесные меры и алгебраические функции

3.4.4 Численное решение экстремальной задачи во внешнем поле.

Рассмотрение экстремальных задач теории потенциала восходит к Гауссу [20], но первыми работами в этой области принято считать две статьи О. Фростмана [18],[19], который рассмотрел экстремальные задачи теории потенциала с логарифмическим ядром в непрерывных супергармонических внешних полях и показал, что потенциалы экстремальных мер удовлетворяют некоторым соотношениям равновесия.

Современный интерес к экстремальным задачам теории логарифмического потенциала обусловлен многочисленными приложениями к различным областям математики и математической физики. Среди приложений выделим теорию аппроксимаций и ортогональных многочленов, теорию матричных случайных ансамблей, вполне интегрируемые регуляризации нелинейных гиперболических уравнений в частных производных.

Е.А. Рахманов [9] изучая слабую асимптотику масштабированных ортогональных полиномов относительно весов Фрода, показал, что она тесно связана с потенциалом некоторой равновесной меры во внешнем поле. Тогда же А.А. Гончар и Е.А. Рахманов [4] ввели понятие векторной задачи логарифмического потенциала в связи с рассмотрением полиномов совместной ортогональности, которые возникли при рассмотрении аппроксимаций Эрмита - Паде. Е.А. Рахманов [10] в 1996 году впервые рассмотрел экстремальные задачи с ограничениями на меры, что позволило получить описание предельного распределения нулей многочленов, ортогональных относительно дискретных весов.

Фундаментальное исследование равновесных потенциалов во внешнем поле было проведено Е. Б. Саффом с соавторами [22],[24].

Определение носителей равновесных мер и множеств равновесия является важным шагом при решении экстремальных задач. B.C. Буяров и Е. А. Рахманов [3] рассмотрев семейство задач равновесия в поле для мер с переменной массой величины х показали, что знание семейства носителей равновесных мер S(x) позволяет определить все харектеристики задачи - поле Q, равновесную меру Ад.

Процедура нахождения носителей S равновесных мер Ад имеет непосредственные приложения к некоторым задачам математической физики. Например, А.И. Аптекарев и В. Ван Асше [13] показали, что, если экстремальная задача рассматривается над классом мер массы х и внешнее поле Q специальным образом зависит от параметра то концевые точки носителя S(x,t) = [а(ж, t), (3(х, t)] удовлетворяют некоторым гиперболическим системам уравнений с частными производными (по х и t).

Понятие равновесной меры сыграло существенную роль в исследовании П. Дейфта с соавторами [15], [16] дисперсионных дискретизаций уравнения Бюргерсаи гиперболичиской системы "непрерывный предел цепочки Тоды". Скачкообразное изменение носителей равновесных мер позволило А.И. Аптекареву и Ю.Г. Рыкову [1] предложить обобщенный принцип Гюгонио для выделения разрывных решений (ударных волн) нелинейных гиперболических систем уравнений с частными производными.

Другим важным применением равновесных мер в задачах математической физике является полученное JI. Пастуром и М. Щербиной [И], а также П. Дейфтом с соавторами [12], доказательство гипотезы об универсальности предельного поведения ансамблей матричных случайных величин. А.И. Аптекаревым, П. Блехером и А. Куэларсом [14] с помощью векторных задач равновесия получена предельная теорема распределения собственных значений Гауссовых случайных матриц с внешним источником, используемая в описании Броуновского движения. Наконец отметим приложения экстремальных задач с внешним полем к задачам контакта теории упругости [27].

Целью настоящей работы является изучение различных классов экстремальных задач теории логарифмического потенциала с точки зрения нахождения носителей равновесных мер. Разработка методов численного решения таких задач. Рассмотрение связи некоторой системой гиперболических уравнений (так называемый континуальный предел цепочек Тоды) с носителями равновесных мер в экстремальных задачах теории потенциала, где внешнее поле специальным образом зависит от времени.

Основным методом поиска носителей равновесных мер в экстремальных задачах теории логарифмического потенциала является поиск различных экстремальных функционалов - аналогов функционала предложенного Х.Н. Маскаром и Е.Б. Саффом [23]. Тем самым, задача нахождения носителей экстремальных мер сводится к поиску экстремальных точек этих функционалов. Последнее требует преодоления некоторых не формальных трудностей, связанных с решением робеновских экстремальных задач логарифмического потенциала.

Результаты диссертации состоят в следующем:

1) Найдены уравнения для множеств равновесия экстремальных мер в задачах минимизации энергии теории логарифмического потенциала во внешнем поле с ограничениями на меры. Доказано, что, при специальных зависимостях внешнего поля от времени, концы интервала равновесия удовлетворяют некоторой системе гиперболических уравнений (так называемый континуальный предел цепочек Тоды).

2) Предложены процедуры численного определения носителей равновесных мер и множеств равновесия.

3) Изучены задачи векторного равновесия логарифмического потенциала во внешнем поле с ограничениями. Найдены условия равновесия в таких задачах и получены утверждения о некоторых свойствах носителей экстремальных мер.

4) Предложен векторный аналог функционала Маскара-Саффа. С его помощью решена одна задача равновесия логарифмического потенциала с матрицей взаимодействия Никишина.

Остановимся кратко на структуре работы.

В первой главе рассматриваются скалярные задачи равновесия во внешнем поле с ограничениями на равновесные меры. Здесь найдены уравнения на концы интервала равновесия. Оказывается, что концы интервала равновесия при некоторой зависимости внешнего поля от времени удовлетворяют непрерывному пределу цепочки Тоды: да (3 — ада dt 4 дх' др Р-ад/З < dt 4 дх'

Во второй главе изучается вопрос о численном нахождении носителей равновесных мер и множеств равновесия. Мы предложим метод численного определения множеств равновесия, когда носители равновесных мер и множества, где ограничение не достигается есть отрезки. Основой предложенного метода является поиск точек экстремумов некоторых специальных функционалов.

В качестве примера рассмотрена задача контакта абсолютно жесткого поршня с упругой плоскостью и предельное распределение нулей полиномов Кравчука.

В третьей главе рассматриваются векторные задачи равновесия во внешнем поле (с ограничениями на равновесные меры и без него). В первой чаете предложен новый экстремальный функционал и рассмотрены векторные задачи с ограничениями, для которых получены условия равновесия и некоторые свойства носителей.

Во второй чаете третьей главы мы будем рассматривать двумерную задачу равновесия с матрицей взаимодействия Никишина для двух отрезков с общей точкой во внешнем поле. Будет показано, что носители равновесных мер St для таких экстремальных задач суть два интерваQ ла, т.е. на левом конце первого отрезка имеет место сталкивание заряда:

5AI = К 0], S\2 = [0,1] а < 0.

Наша цель - найти зависимость а(/3) с помощью нового экстремального функционала.

Чтобы иметь возможность оценить численные результаты, полученные с помощью минимизации нашего векторного функционала, мы решили эту задачу двумя разными способами и с радостью отметили, что два метода сошлись.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. А. И. Аптекареву за постановку интересных задач, руководство и постоянное внимание к работе, проф. Б. Бекер-ману (Лилль, Франция) за помощь и частичное соруководство работой а так же B.C. Буярову за полезные обсуждения.

Поддержка. Исследования по теме диссертации частично были поддержаны: Проектом Российско-Франко-Германских университетских обменов, Программой поддержки ведущих научных школ РФ (грант НШ-1551.2003.1), Отделением математических наук РАН (программа 1), фондом ИНТАС (грант № 03-516637) и фондом РФФИ (грант № 05-0100522).

1. А.А. Гончар, Е.А. Рахманов. О задаче равновесия для векторных потенциалов. //УМН, Том 40,вып 4, 1985.

2. А.А. Гончар, Е.А. Рахманов, В.Н. Сорокин, Об аппроксимациях Эрмита-Паде для систем функций марковского типа,// Матем. сборник 188 (1997), 671-696.

3. Е.М. Никишин, В.Н. Сорокин. Рациональные аппроксимации и ортогональность. //Москва "Наука". Главная редакция физико-математической литературы. 1988.

4. Е.А. Рахманов. Об асимптотических свойствах многочленов, ортогональных на вещественной оси //Мат. сб. Т.119(162)-с.163-203.-1982

5. Е.А. Рахманов. Равновесная мера и распределение нулей экстремальных многочленов дискретной переменной //Мат. сб. Т. 187, Ne8-c. 109-124.-1996

6. L.Pastur, M.Shcherbina. Universality of the Local Eigenvalue Statistics for a Class of Unitary Invariant Matrix Ensembles. J.Stat.Phys., 86, p.109-147 (1997 )

7. A.I.Aptekarev, W. Van Assche. Asymptotic of discrete orthogonal polynomials and the continuum limit of the Toda lattice. //Journal of physics A: Mathematics and General, 34(48), 2001, 10627-10639

8. A.I. Aptekarev, P.M. Bleher, A.B.J. Kuijlaars Large n Limit of Gaussian Random Matrices with External Source, Part ||.//Commun. Math. Phys. 259, 367-389 (2005)

9. P. Deift, K. T-R McLaughlin. A Continuum Limit of the Toda Lattice.// Memoirs of the American Mathematical Society. Number 624. January 1998, Volume 131

10. P. Deift, T. Kriecherbauer, K. T-R McLaughlin New results on the equilibrium measure for logarithmic potentials in the presence of an external field. //J. Approx. Theory, 95(3); 388-475, 1998

11. P. D. Dragnev, E. B. Saff. Constrained energy problems with applications to orthogonal polynomials of a discrete variable.// J.Anal. Math. 72(1997),223-259.

12. O. Frostman. Potentiel d'equilibre et capacite des ensembles avec quelques applications a la theorie des fonctions. // thesis. Meddel. Lunds Univ. Mat. Sem., 3:1-118,1935

13. O. Frostman. La methode de variation de Gauss et les fonctions sousharmoniques. // Acta Sci. Math., 8: 149-159,1936-37

14. G.F.Gauss // Allgemaine Lehrsatze. Werke, 5. p. 232

15. A. B. J. Kuijlaars, W. Van Assche. A contact problem in elasticity related to weighted polynomials on the real line.//Rend. Circ. Mat. Palermo., serie II, 52, valume 11, 1998, 575-587.

16. H. N Mhaskar, E. B. Saff Extremal problems for polinomials with exponential weights.//Trans. Amer. Math.Soc., 285:204-234, 1984

17. H.N. Maskar, E. B. Saff. Where does the sup norm of a weighted polynomial live?// Constr. Approx(1985), 1,71-91.

18. E. B. Saff\ V. Totik. Logarithmic Potentials with External Fields. Grundlehren Math. Wiss. 316, Springer, Berlin,1997.

19. H. Widom. Extremal polynomials associated with a system of curves in the complex plane.// Journal Adv. Math. 3, 127-232 (1969).

20. P. D. Dragnev, E. B. Saff. A problem in potential theory and zero asymptotics of Krawtchouk polynomials.// J.of Approx. Theory 102(2000).

21. A. B. J. Kuijlaars, W. Van Assche. A contact problem in elasticity related to weighted polynomials on the real line.//Rend. Circ. Mat. Palermo., serie II, 52, valume 11, 1998, 575-587.

22. H. H. Мусхелишвили. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Основные уравнения. Плоская теория упругости. Кручения и изгибы.// Москва "Наука". 1966.

23. А. В. J. Kuijlaars. On the finite-gap ansatz in the continuum limit of the Toda lattice.// Duke Math. J. 104(2000), 3, 433-462.

24. M. А. Лапик, О носителе экстремальной меры в векторной задаче равновесия, //Матем. сб., 2006, 197 : 8, 101-118.

25. М.А. Lapik, Interval of Equilibrium for the Logarithmic potential of an Extremal Measure with a Constraint, and the Continuum Limit of the Toda Lattice. //Russian Journal of Mathematical Physics, 2006, 1, Vol. 13, 119-121

26. M.A. Lapik, A continuum limit of the Toda lattice and the equilibrium for the constrained energy problem in the presence of an external field.// Preprint, Inst. Appl. Mathem. Russian Acad. Sci , 2004, 58.

27. M. А. Лапик, Нахождение носителя равновесной меры в векторной задаче равновесия логарифмического потенциала. //Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы. Саратов: ООО "Научная книга", 200б.-210с.

28. М. А. Лапик, Численная процедура нахождения носителей равновесных мер и множеств равновесия в экстремальных задачах теории логарифмического потенциала. //Преп.,Инст. Прикл. Мат., 2006, 23.