Поведение решений дифференциально-операторных уравнений на бесконечности и обратные задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Б ОД

НАЦЮНЛЛЬНЛ АКАДЕМШ НАУК УКРАШИ ДПР 1НСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукопнсу ВУТИР1Н Олександр Анатолшович

ПОВЕД1НКА РОЗВ'ЯЗКШ ДИФЕРЕНЩАЛЬНО-ОПЕРАТОРНИХ РГОНЯНЬ НА НЕСК1НЧЕННОСТ1 ТА ОВЕРНЕН1 ЗАДАЧ1

01.01.02 — диференц!альн1 р1вн*ннл

Автореферат дясертацЯ на эдобутт* наукового ступеп* кандидата фши*о-математичнях наук

Кшв • 1095

Дисертац1ею в рукопис Робота виконана в 1нститут1 математики HAH Укрв1ни

Науковий кер!вник: доктор ф1зико-математичних наук, профэсор ГОРВАШ М.Л.

0фЩ1йн1 опонеяти: доктор ф1зико-матвматичних наук, професор НИЖНИК Л.П. кандидат ф1зико-матвматичних наук ISBSKOB 1.Г.

Пров1даа орган1зац!я: Льв1вський державний ун!вврситвт

Захисг в1дбудэтьоя р, о К

годин1 на зас!двнн1 спец1ол1зовано1 рад! Д 016.50.02 при 1нститут1 математики HAH Укра!ни за адресов: 252601 Кх1в 4, МСП, вул. Терещеяк1всьК8, 3.

8 дисертац1вю можна озаайомитиоь в б1<Зл1отвц1 1нституту

Автореферат роз1слаяо "I"

оЧ 1995 р.

Вчений секретер спец1ал1зовано1 ради

Лучка A.D.

Акт^альн1сть_тбми. Одним !з вакливих питань теорИ диференц!альних р!внянь е вивчеиня повед!нки 1х рсзв*язк!в на нвск!нчэнност!. 3 гею пов'язано багато задач, що в!дпов!дають таким явщам, як стаб!льн!сть, ст1йк!сть- та 1н. Ряд монограф!й в1дображають цей напрям для звичайних дафербнц!альних р!внянь. 0станн1м часом активно досл!дауеться повед1нка на неск!н-ченост! розв'язк!в дифйренц!ально-операторних р1внянь. Якщо коеф1ц!енти них р1внянь 8 обметан! оператори, отримано досить багато результатов (наприклад, у книгах Ю.Л.Далецького та М.Г.Крейна "Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве" та Х.Л.Массери, Х.Х.Шефнера "Линейные , дшМеренциальные уравнения и функциональные пространства"), але у вгаадку нэобмежених операгорних коеф!ц!знт1в така теор!я далека в!д повноти, незважаючи на велику к1льк!сть публ!кац!й (S.-У.Shaw, ЮЛ.Любич, Я.Arendt. C.J.Batty та !нших автор!в). Лише нещодавно почали з'являтися робота (А.Н.Гущин та В.П.Михайлов, О.Л.ГорОачук. I.Т.Мацишин), пов'язан! з оберяе-ними задачами для дифвренц! ально-операторних р!внянь, якщо в!дома повед!нка 1х розв'язк!в на неск!нченност! (у випадку, коли на розв'язки накладаються умови експоненц1йно! обмэже-ност1, иод1бн1 задач! розглядалися H.O.Fattorlni в к!нц! 60-х рок!в). Обернен! задач!, що розглядаються на ск!нчоняому 1нтер-вал1. досл!джували W.Rundell, А.ДЛскендеров, Д.Г.Орловський, Р.Г.Таг1ев, Ю.С.ЕЙдельман, М.Л.Горбачук та ВЛ.Кнюх. Б1льш!сть цих результат^ справедлива лише для генератор!в CQ - п!вгруп або Щ9 вукчих клас!в оператор!в. що, зрозум!ло, !стотно обмежуа застосувашя таких результат!в до задач для р1внянь в частитш пох1дних.

Досл!дженню згаданих виде питанъ 1 присвячена дисертйц1йнв робота.

М9т2_воботи. 1. Досл1дити асимптотику розв'язк!в _ двочленного диференц!ально-операторного р!вняння другого порядку в банаховому простор!

y"(t) + A*y(t) = f(t), t>0 (1)

на неск!чченйост1 та розв'язати обернен! задач!, пов'язан! з ц!ею асимптотикою.

2. Доелtдети апроксимац1йн! властивост! розв'язк!в даференц1ально-операторних р1внянь дов!лъних порядк1в типу y{m)(t) i Ay(t) = r(t), teГ , mew (2)

- 3. Вивчити повед!нку на неск1нчв1Шост1 розв'язк1в дифе-реНЦ18ЛЬНО-ОП0р8ТОрНШС р1внянь первого порядку

y'(t) = Ay(t) , Ш (3)

y'(t) f A(t)y(t) = /it;. t»0 (4)

в терм!нах узагальнених границь.

Bet оператори вважэються л1н1йними. Загальна методика аосл1джень. Основвдми в робот1 в метода творН п1вгруп та операторних косину с; ~фушЩ1й. Яастосовуються також í 1нш1 метода функц1оМального анал!зу.

Наукова ноеизнэ. Перерахуемо основн! результата, отриман! в дисертаиШИй робот!:

1. Описано зеимптотику . розв'язк!в р!вняння (1) з пол1ном!альною правою частиною.

2. Для цього к р!вняння отриман1 необх!дн1 та достатн1 умови розв'язност! обернених асимптотичних задач.

"3. Отримано достатн! та деяк! необх!дн1 умови того, щоО певний розв'язок р!вняння (2) набликував дов1льну гладку функцИо на ф1ксован!й п1дмнолзга1 1нтервалу Г з наперед заданою точнЮтю.

4. Досл1даено ловедЬшу на неск!нчейност! в термinax узагальнених (за Чезаро 1 Абелем) границь обмеженйх роэв'язк!в р!вняння (3).

б. Досл1джено поведишу на неск1нченност1 збуреного р!вняняя (4).

АЩ>о0ац1я робота. Результата дасертацИ допов!далися на сем!нар1 в!дд!лу р!внянь в частинних пох!дних 1нституту математики АН Укра1ни та на м1кнародн!Й конферендП, присвяченШ пам'ят! N.П.Кравчука.

ПуСл1кацП. Основнi результата дасертацИ опубл!ковано в роботах [1-5].

Йшктура 1 ооч'М роботи. ДисертэцШа робота склада-вться з встуиу, трьох глав та списку використано! л1тератури, то »¡стать 53 иайменувэнь. Об'ем робота - 105, стор!нок

друкованого тексту.

3MICT РОБОТИ

У__bçtjqjI зроблено короткий огляд poötr по тем!

дасертацП, обгрунтованв вктуальн!сть розглядуваних задач, наведен! основн! результата роботи.

В_0вЕЭ1в_глав1 розглядаеться даференц1вльне р1вняння (1 ) в початковими данями

У(0) ' У0, у'(0)-*у^ (Б)

Уотл*) , У,ШЛ) (6)

Припускаеться, що оператор А генерув оомежену сильно нешрервну трупу Л1н1йних oneparopîe у банаховому

простор! S. Тод! можна визиачити обмежен! оггератори

G(t) ви + е'хк ); S(t) ¡[ etA - в~ХА );

^îi C(t) dt.

В першому параграф! вивчаеться асимптотика розв'язк1в задач! Кош! (1),(5) у випадку, коли функц!я f(t) в пол!номом:

гт 3 Lp*(7)

а точка О не в власним значениям оператора А. Нетрив!альн!сть останньо! умовн !люструвться таким твэрдженням:

С!м'я y f* (jr , tïO обмежена т!льки тод!, коли О в регулярною точкою оператора А.

Визнвчимо ск!нченну поол!довн!сть { q^, fceüTn ) эа допомогою наступлю. сп!вв!дношень: (¡р = -рй , к-п:

qk = (1+k)(?tk) -рй , 7п=?

у випадку, коли ut формули мають зШст.

Теорема 1.1. Нвхай y(t) - розв'язок задач! Кош! (1),(5) эа умов (6),(7). Тод! для 1снувания представления

y(t) • tA * r(t) ,

де r(t) - розв'язок однор!дного р!вняння (1), неоОх!дно !

досить, щоб q^íDCA'2) , fcçÛTn ; при цьому = fcfOvñ.

В!льш простою достатньою умовою е ),

ft€ÜTñ, тут fzJ - ц!ла частина числа х.

В другому параграф! для задач! Кош! (1),(5) ставиться î вивчаеться обернена задача за умови, до О не в власннм значениям оператора А.

Постановка обернено! задач! така: нехай дано yQtD(A2),

UjtD(A) та ск!нч8нну посл!довн!сть ( g^çB, ReÜJñ ). Потр1бно

знайти функц!» y(t) та ск!нченну посл!давн!сть С p^eS, kíüTñ ) так!, щоб y(î) Оула розв'язком задач! Kool (1),(5) sa умови (7) ! мала вигляд

y(t) - Е въ** * Ш) , (8)

де R(t) - обмекена функц1я та (С,1 ) Itm R(t) » О.

t* (О

Под1бн! задач! досл!даувалися о.К.Гущиним та В.П.Мнхай-ловим, I.Т.Мацишним, О.Л.Горбачуком. При цьому вивчався лише старший коеф!ц!внт асимптотики.

Теорема 1.2. Нехай y0(D(A2)№(А~1 ). у ,(.:>( А)№, де « в замкненням D(A~2) в норм! граф!ка оператора А~1. Обернена

задача розв'язна т!льки год!, коли gptD(A^), kçûjri. Цри цьому 1снуе лише один розв'язок.

1нколи умови остакньо! теореми мохна послабити. Так, ягсцо в!дкинути умову (6), мохна визначити узагальнен! розв'язки задач! Кош! (1),(5) для Судь-яких y0iS, y,çB. Тод! теорема 1.2 залишиться справедливою, якао зам!сть слова "розв'язок" казати "узвгальнений розв'язок". Також вивчаеться випадок, коли зам!сть розкладу (8) ми маемо слабше сп^вв1дношення

» 2 вь »* > Ofîm"'j, t-^o, ооя<n.

km

В цьому ишвдку мохливо визначити коефЩ1внти при старших степенях t в розклад! (7) ( наприкляд, якщо п-т^г, то мохна

визначити m старших кобф1ц!вит1в fps, Ып-т1шп); а у випадку,

коли n-nçiO,1), мокна визначити коеф!ц1енти (pk, ktZTñl ).

Якщо в1домо, що npocTîp S рефлексивней, умови теореми 1.2 можна послабити. Бона залишиться в!рною, якщо вимагати yQe&, yfíD(A~1).

Завэршуз другий параграф розгляд щв одн!в! задач!. Нехай у р1внянн! (1 )

f(tHC¡1([0,a>),») або Af(t)íC((О,<»),%) (9)

В1домо, що при умовах (6),(9) задача Komi (1),(5) мае единий розв'язок.

1 Поставимо таку задачу: нехай дано функЩю f(t), що

задовольняе умову (9), zQíD(A2), D(A) , та число Т>0. ПотрЮно знайти y0íD(A2), y1(D(AJ, y(t)(C?((о,«>),») так!, що y(t)~ розв'язок задач! Кош! (1),(&), причому

у(Т) « zQ, y'(V = zv (10)

Теорема 1.3. Нехай О не в власним значениям оператора А Тод! задача <10) мае единий розв'язок, що задаеться формулами:

■ у0 = C(T)z0 - ^z, ; y1 » -S(T)Az0 + C(î)zy

В третьому параграф! результата, отриман! ран!ше, уза-галышються для випадку 0€Ор(Д). При цьому припускаеться, що !снув проектор Р з 38 нв нуль-прост lp M А) оператора А (тут N(A):*(x(.B : Ат=0)). В рефлексивному банаховому простор! це завхди так. Позначимо Q:=I-P, де I - одиничний оператор в простор! в.

Властивост! оператора А дозволяють досл!джувати поставлен! ран!ие задач! окремо в п!дпросторах £3® .та PS. ■ 0ск1льки ц! задач! в п!дпростор! 08 було вивчено ран1пю, ■залишаеться ïx розглянути липе в PB=N(A).

Теорему 1.1 узагальнюе таке твердоення:

Теорема 1.1*. Розв'язок задач! (1),(5) маз вигляд УП) * % 8к t* f r(t) ,

де r(t) - розв'язок однор!дного р1вняння (1), год! 1 лише тод!. коли gfufdlCA), gnf2(.N{A) та ск!нченна посл!довн1сп> Гqk), що визначаеться через (Qpу 08 в1дпов!дно до теорени 1.1, задовольняе умови теорема 1.1 в <28. При цьому

' шкп . Щ ' *Vf ! рв0 * *V

АналоПчне узагальнення припускав теорема 1.2.

Теорема 1.2*. Нехай у0 1 у1 задовольняють умови теореми 1.2 в QВ. Обернена задвча розв'язна т!льки тод1, коли

8kibtA?), k(U7n. При цьому !снуе лишэ один розв'язок.

Теорема 1.3 залишввться в!рною при зроОленш припущеннях без «одних зм1н у формулювэнн!.

S ЙРХгЧй^лав! вивчаються вПроксимац1Йн1 вдвстявост! розв'язк1в р!вняння (2).

В першому параграф) розглядавться р!вняния первого

порядку

y'(t) * Ay(t) * fit) * u(t). КГ (11)

3 ПОЧ8ГКОВОП умовов

y(t0) - y0, y0iD(A) , t0«r (12)

Тут Г - 1нтервал д!*сно! прямо! (можливо, необмехенхЯ).

Припустимо, цо множила Шлих вектор!в оператора А, цо визначаеться формулою

СМ) { «8 : Jo |А| <» },

щ!льна в простор! S, а задача Коя! (11),(12) мае хоча о один розв'язок, коли uft;«0.

Постановка вадач! наблгасення таке: нехвй задано niMJfOJ, Функц1ю zitiifPtt',*) (причому z(t0)^i0). деяк! Шдмножини А ! О 1нтервалу Г та норму ||.|| на вевн!й п!дмноюш! простору С(П,9). Потр!бно для дов!льних е>0, в>0 знайти теку пару функиШ y<t)(С'(Т,Я), u(t)tC(T,9), щоб:

a) y(t) та u(t) задовольняли сп1вв!днотення (11),(12);

0) «ocle функцН u{t) м!стився в А, а його м1ра Лебега не паревнаувала о;

Т> II yft)-z(t) || <е.

Зробимо xenct припущення щодо нор« 11. |). Вудемо вважати, що вона мае таку структуру: !снують вим!рн! за Лебегом мнотанн (l^, kcüTn, СЫ10аС))э...эоп так!, що для

II h(t) Ц » sup { \h(li)(t)\, ttOR (13)

Будемо вважати. що норму ||.|| задано на bcíx функц!ях з С(Г,В), для яких права чвстана (13) визвачена 1 скЮТенна; в також припустило, до !снув розв'язок задач! Ков! (11),(12), кол» u(t)mO, для якого ця норма визначена.

Аналог !чн! задач! для р!внянь в частинних пох1дних досл1джували Я.О.Ройтберг та З.Г.Шефтель, а для операторных р!внянь - ».Rundell, А.Д.1скендеров та Р.Г.ТаПвв, Ю.С.Ейдель-мвн, М.Л.Горбачук та ВЛ.Юпох.

Дал! в первому параграф! проводяться допомИн! побудовя та розглядаються яеобх1дн! й деяк! достатн! умови розв'язност! задач! наближеиня у найпростИшх випадках.

Теорема 2.1. Нехай 0=Сt,), АП( í0, f у Год1: а) якцо tfflnth, то задача наближеиня розв'язна для п*0. Для замкнвяого оператора А ця умова е 1 необх!дною;

в) «я» tjtlntА, то задача наближеиня розв'язна для вс!х níMJíO). Для знмхневого оператора А ця умова в ! необх!дною.

Творена 2.2. Нехай 1Ыа,Ъ), A=lc,dl,- t0<c<a<txoL Якщо n)f, ílj^O, ra А в замкненим оператором, то задача наближення нерозв'язва. Якао п=о, така задача мае розв'язок.

У другому параграф! продовжувться досл!дження задач! нвбяшенвя. Нижчв форму лкжвтгая робляться за таких припущены

множил О,, Itüjñ в замкнешмя. t0tO& та мяожяна & «Ютиться в зшквенн! мяожяни сво!х внутр!ин!х точок IníA. Доповнвняя до замкненяя А буде в!дкритою мнокштов, отже, boro складаеться з об'едаання ск!нчеино! або злТченно! хЦтькост! 1нтервал1в А,,

tel, то попарно не перетинаються. Тут I- ск1нченна або зл!ченна множила 1ндекс1в.

Теорема 2.3. Задача наближання для задач! Кош! (11), (12) розв'язна, якщо виконуються так1 умови:

а) Q\ï мЮтить максимум зл1ченну к!льк1сть 1зольованих T040K (э,). при цьому Î8^)cfl\nf;

б) на кожному 1нтервал1 А( знаходиться щонаЙб!льше одна точка а у,

в) якщо AfiUaj)^, то Л1Ю=0;

якщо А{П{з^)=0, то мнокина Ktnn скдадаеться з ода1в! точки або 'в пустою; •г) fljcintA;

для дов!льного 7>0 1снув вим!рна за Лебегом мнокина S лебегово! м!ри f, що м! стать fi};

Л(ППр0 Vtcl.

Якщо А- замкнений оператор, умова г) в 1 неоОхЦвюю.

Якщо А гвнеруе п!вгрупу класу CQ, умови а)-г) в нвобх!днши 1 достатн!ми.

Наел!док 2.2. Якаю в постанови! задач! наближення В!дюшути обмекення на м!ру нос1я функцН u(t), то у формулюванн! пункту г) теореми 2-3 можна в1дкинутр яруге обмекення на Дал!, тещо z(t}(C(tO,<»).<S(A)), то можна побудувати такий розв'язок y(t>, uft; задач! набдижеияч. до y(t) * z(th tiOf.

Трет1й параграф присвячено розгляду задач! наближення для р1вняння

y(mf(t) * Ay(t> « fit) * uft). t<r <14)

э граничннш умоват

ЬеТЩ, иТ73, Д (15)

Для р!внянвя (14) а граиичними умовамн (15) постановка задач! наближення залшаеться корекпкда (в той час, як задача Ков! (14), (15), взагал! кежучя, некоректна). Прнпускавться, що множима «(А) щ!льна в », а фркц1я ¡(1} та ск!нчэнна посл!довн!оть ЛегСТ^, иТ73) так!, що !си,ув хочв 6 один

розв'язок гранично! задач! (14),(15) при u(t)*Q. Вважаеться, що для цього розв'язку визначена I ск!нченна норма ||.|) (що задавться виразом (13)).

Без обмекення загальност! можна припустити, що t^i^ ,

UT77.

Теорема 2.3 припускав таке узагальнення:

Теорема 2.4. Задача наблгасення для гранично! задач1 (14), (15) розв'язна* якщо виконуються так! умови:

в) П\1 м!стить максимум зл!ченну к!льк!сть 1зольованих ТОЧОК О»), при цьому {SjJcfiXf^;

б) на кожному !нтервал! Л( знаходиться щонайб1льше одна точка о у.

в) якщо Atn{flj))i0, то К(ПО=0;

якшо Л(Л{3^)=0, то множина складавтьдя з одн!е! точки або в пустой;

г) il^Intt;

для дов!льного 7>0 !снуе вим!рна за Лебегом множила 3 лебегово! м!ри у, що м1стить i^,:

Ä(nf4=0 Viel.

Якщо А- замкнений оператор, умова Del необх!дною.

У випадку .коли т=2, теорему 2.4 можна уточните.

Теорема 2.6. Нехай А генеруа сильно неперервну косинус-фуикц!ю, т=2. Задача наближення розв'язна т!льки тод!, коли

а) виконуються умови а),в),г) теореми.2.4;

Ö) на кожному !нтервал! Л( знаходиться щонайб!льше одна точка BßQ\П2 або дв! точки a{,flj€Q\flj. В осганньому випадку вимагаеться, иоб множина Sie^-aj)8 була щ!льна в S (тут S(t) в синус-фгнгаЦя, асоц!йована 3i).

Перо! три параграф! третьо! глави м1стять досл1дження обмекених розв'йзк!в р!вняння (3) з пбчатковими умовами

у(0) - у0. (16)

Припускавться, ио оператор Л л!н!йний замкнений. Розглядаеться таке питания: за ягах умов будь-який оомежетшй розв'язок

задач! Кош! (3), Об) матима уаагаяьнену границ» (напряклад, в сенс! Чезаро) на неск1ичвнност!?

Ран1ше це питания вивчади H.Komatau, S.-Y.Shaw, О.Л.Горбачук та Н.О.Яконська, М.В.Ыарк!н та !иш1 автор».

В першому параграф! проводиться загальне обговорення, вивчаються приклада, встановлюються допоШкн1 факти. Доводиться, що поставлена питания не може бути розв'язане для нерефяексивних простор!», яадо не накладати хорстк! обмеження на оператор А. Тому дал1 розглядазмо лише вяпадох рефлексивного банахового простору 8.

В другому параграф! доводиться основна теорема.

Теорема 3.1. Припустило, що для дов!льного yQ аадача Кош1 (3),(16) мае не <31льше одного обмеиеного розв'язку (тобто яйцо !снуа дек!льна розв'яак1в. то оомакений лише один з них). Тод! для доа!льного обмекеяого розв'язку y(t) задач! Кош1 (3),(16) 1снуе границя

(G.oi) 1 Im y(t) = z, причому геЯ(А).

t-«x>

Дал! досл!джуються у моей не спектр Л, за яких вшсонувться лрипущення теореми 3.1. Зокрема, доведено так! твердження.

Насл1док 3.1. Якшо в!дкрита права комплексна Шыиювдша не м!ститься повн!стю в точковому спектр! оператора А, то виконуеться твердження теореми 3.1.

Теорема 3.2. Припустят, цо Э( ш Xj >0,t=1,2) так!, що !сну»ть проектор» pf та Рг иа п!доросторв Sf; Ar=kjT) та Н2:=1х(_Я ; лх=кгт}. в!даюв1дно. Тод» для дов!льного обмеженого розв'язку y.(t) задач! Ков! (3),(16) 1снув границя

(0,ч) ítm yit) » г, причому ziti(A).

f-MX)

Виявяяетъся, uso твердження теореми 3.2 справедлива, коли вмтояувться одна з наступиих умов:

в) !сну» Лес ( fía К >О> таке, що !снув проектор Р на nfanpocTfp ; Аг=*.т>, а оператор А 1нвар1антний на

п!дпростор! Sp:=(I-P)®;

ö) S - г!льберт!в npocTlp;

в) 1снують \f>X2ic ( >0,1-1,2) так!, mo простори

У 7 та Np> визначаються в теорем! 3.2, мають скИгченну розм!рн1сть.

В третьому параграф! попередн! результата узагальн»-ються для абелэвських та слабких чезар1вських границь.

Четвертий параграф присвячено досл!даенню узагальнених границь збуреного еволюц1йного р!вняння (4). Припускаеться, що с!м'я замкнених л!н!йних оператор!в A(t) генеруе еволюц!йний оператор V(t,a), а функц!я f(t) 1 у0 так1, що задача Кош1 (4), (16) маз розв'язок.

Збурене р!вняння was вигляд:

y'(t) = (A(t)+B(t)>y(t) + f(t), Х1Ю (17)

Ввакаеться, що B(t) - сильно неперервна оператор-функц!я, значениями яко! е обмекен! в 8 огоратори.

Нижчэ п!д "узагальненою границею" будемо розум!тн або Зб!жн1сть в тополог!I, слабш1й за сильну тополог!» простору 8, eöo cnoclö сумування в S, що збер1гае сильну зб!*ет!сть (наприклад, середа! за Чезаро).

Теорема 3.3. Нехай |C/ft,aj|<*. Oo<t<»;

Тод!, ягацо розв'язок задач! Кош1 (4), (16) мае узагальнену границ», Коли t-», то розв'язок задач! Кои! (17), (16) таков мае узагальнэну границю, коли t-w.

Доведено, що обмеження на оператор-функц!» В (t) послабити не мокнэ; яйцо q-й степ!нь функц!! \B(t){ в !нтегровною функц!ею, q> 1, то твердження теореми, взагал1 кажучи, HôBlpHe.

Автор хоче висловити щиру вдячн!сть яауковому кер1впику професору М.Л. Гсрбачуку за постановку наукових проблем, пост!йну увагу та допомогу в робот!.

Основн! результата дисертацП опубл!ковано в таких роботах: .

1. Бутырин А.А. О решении некоторых обратных задач для дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве // Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. - Киев, 1991. - С.7-14.

2. Бутырин А.А. О задача управления для эволюционных уравнений // Меадунар. конф., посвящ, памяти М.П. Кравчука (Киев-Луцк, 22-28 сенг. 1992 г.): Тез. докл.- Киев: Ин-т математики АН Украины, 1992,- С. 32.

3. Бутырин А.А. Обобщенные пределы решений возмущенных вволю-циошвд. уравнений // Краевые задачи для дифференциальных уравнений.- Киев, 1992,- С. 4-8.

4. Butyrtn A.A. On the approximation of continuous functions by solutions to the operator-dlfierential equations // Докл. АН Украины.- 1993.- *4.- C. 5-10.

5 . Butyrln A.A. On the behaviour ol solutions of operatordifferential equations at infinity //Укр. мат. журн. - 1994.46, *?. - О. 809-613.

Бутнрин А. А. "Поведение решений дифференциально-операторных уравнений на бесконечности и обратные задачи".

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Рукопись. Институт математики НАН Украины, Киев, 1996.

В диссертации исследуется асимптотика решений дифференциально-операторных уравнений на бесконечности. Для этих уравнений ставятся и изучаются асимптотические обратные задачи. Исследуются аппроксимационные свойства решений таких уравнений. Установлены условия существования обобщенных пределов ограниченных решений дифференциально-операторного уравнения первого порядка.

Butyrln A.A. "Behaviour of solutions to- operator-dlfferentlal equations at Infinity and Inverse ргоЪ1ешз".

Doctor of Philosophy thesis, speciality 01.01.02 - differential equations. Manuscript. National Academy of Sciences of Ukraine.

In the thesis, asynptotlca of solutions to operatordifferential equations at Infinity Is investigated. For these equations, asymptotical Inverse problems are set and examined. Approximation properties of such equations are studied. Existence conditions for the generalised limits of bounded solutions to operator-differential equations of the first order are investigated.

Клвчов! слова: асимптотика, глада! вектори оператора, даференц1ально-операторн1 р!вняння, операторна косинус-функц!я, обернена задача, п!вгрупа, узагальнена границя.