Поведение решений дифференциальных уравнений в неограниченных областях и в окрестности граничных точек тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ



На правах рукописи

Л' -/?

Тедеев Александр Федорович

Поведение решений дифференциальных уравнений в неограниченных областях и в окрестности граничных точек

01.01.02. - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

2 7 лНЗ 2011

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2010

4842954

Работа выполнена на кафедре математического анализа Воронежского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Баев Александр Дмитриевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Сапронов Юрий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Пенкин Олег Михайлович

Ведущая организация:

Южный федеральный университет

Защита состоится 18 января 2011 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: г. Воронеж, Университетская пл., дом 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан '^декабря 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22 доктор физико-математических наук,

профессор

Актуальность темы. Важными направлениями современной теории дифференциальных уравнений с частными производными являются исследования качественных свойств решений краевых задач и вопросов существования граничных значений решений. Качественная теория дифференциальных уравнений с частными производными и теория существования граничных значений решений этих уравнений в настоящее время интенсивно развивается. Возникающие здесь задачи относятся к неклассическим задачам математической физики. Эти задачи впервые были рассмотрены в фундаментальных работах В.П. Михайлова. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах A.C. Калашникова, А.К. Гущина, Ю.А.Михайлова, В.А. Кондратьева, О.А.Олейник, Ф.Х.Мукминова, И.М. Петрушко, В.Ю. Шелепова, С.Д. Эйдельмана, О.Р. Кершнера, С.Н. Кружкова.

Исследование граничных свойств решений эллиптических уравнений впервые было начато в работах В.П.Михайлова и А.К. Гущина. Затем ряд результатов для эллиптических уравнений были получены В.Ю. Шелеповым, И.М.Петрушко. В работах В.Ю. Шелепова был развит метод, примененный в работе Burkholder D.L., Gundy R.F. для изучения нетангенциальной максимальной функции и интеграла Лузина гармонической функции в полупространстве. В работах A.C. Калашникова дано общее направление качественного исследования дифференциальных уравнений с частными производными для областей с компактной границей.

Исследования линейных параболических уравнений второго порядка проводились в работах А.К.Гущина, Ф.Х. Мукминова, С.Д. Эйдельмана. В этих работах для начально-краевых задач Коши-Неймана и Коши-Дирихле получены оценки решений в равномерной метрике в зависимости от геометрии области. Дальнейшее развитие эта теория получила для некоторых нелинейных параболических уравнений в работах J.Manfredi, V.Vespri, E.D. Benedetto.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию граничных свойств решений эллиптических уравнений в областях с негладкой границей достаточно общего вида, а также доказательству оценок решений нелинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. В диссертации разработаны новые методы доказательства оценок для решений нелинейных параболических уравнений.

В последние годы интерес к исследованию граничных свойств решений эллиптических и параболических уравнений значительно возрос в связи с интенсивным развитием математического моделирования процессов, определяемых эллиптическими и нелинейными параболическими

уравнениями, в частности, процессов диффузии в пористых средах и неньютоновской упругой фильтрации.

Цель работы и задачи исследования. Основными целями диссертационной работы являются решения следующих задач:

1. получение метрических соотношений, связывающих р- интеграл Лузина с нетангенциальной максимальной функцией;

2. получение метрических соотношений с мерой, удовлетворяющей условиюМакенхаупта-Феффермана(условие А^);

3. доказательство существования некасательных граничных значений для решения эллиптического уравнения;

4. доказательство существования Ьр - граничных значений для решения эллиптического уравнения;

5. доказательство локальных и нелокальных оценок для решения задачи Коши нелинейного параболического уравнения пористой среды;

6. получение зависимости решения задачи Коши дифференциального уравнения неньютоновской упругой фильтрации от параметра;

7. доказательство оценки для решения задачи Коши-Дирихле параболического уравнения быстрой диффузии в областях типа октанта;

8. получение зависимости решения задачи Коши-Дирихле от начальной функции для уравнения быстрой диффузии.

Методы исследования. Метрические соотношения в главе I получены усовершенствованными методами гармонического анализа. Методы исследования в главе II основаны на итеративном методе Ладыженской-Уральцевой, а также на энергетическом методе Неггего-ВепеёеМо. В работе широко применяются мультипликативные неравенства в неограниченных областях.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:

1. установлены метрические соотношения, связывающие р- интеграл Лузина с нетангенциальной максимальной функцией;

2. установлены метрические соотношения с мерой, удовлетворяющей условию Макенхаупта-Феффермана;

3. доказано существование некасательных граничных значений для решения эллиптического уравнения;

4. доказано существование Ьр - граничных значений для решения

эллиптического уравнения;

5. доказаны точные оценки для решения задачи Коши нелинейного параболического уравнения фильтрации;

6. доказано неравенство типа Гарнака для решения задачи Коши уравнения быстрой диффузии в областях типа октанта;

7. доказана оценка для решения задачи Коши-Дирихле уравнения быстрой диффузии в областях типа октанта;

8. установлена зависимость решения задачи Коши-Дирихле от начальной функции для уравнения быстрой диффузии.

Теоретическая и практическая значимость результатов.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, вносят вклад в развитие теории эллиптических и нелинейных параболических уравнений. Эти результаты могут быть использованы для исследования граничных свойств решений общих начально-краевых задач. Теоретическая и практическая ценность результатов диссертации состоит в том, что впервые исследованы граничные свойства решений эллиптических уравнений в областях с негладкой границей достаточно общего вида, а также впервые для решений начально-краевой задачи Дирихле для нелинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей получены точные оценки скорости стабилизации. В последние годы интерес к таким задачам возрос в связи с исследованием математических моделей диффузионных процессов в неоднородных анизотропных средах. Результаты, полученные в работе, могут найти широкое применение как для теоретического исследования граничных свойств решений краевых задач для уравнений в частных производных, так и для решения важных для практики задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на международной конференции «Понтрягинские чтения XX» (г. Воронеж, 2009 г.), на международной конференции «Понтрягинские чтения XXI» (г. Воронеж, 2010 г.), а также на научных семинарах кафедры математического анализа Воронежского государственного университета.

Основные публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[10], список которых приведен в автореферате. Из совместных публикаций [1], [2] и [7] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично автору диссертации. Работы [2], [6] и [7] соответствуют списку ВАК РФ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 116 страниц. Список используемой литературы включает 75 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагается общая характеристика работы, излагается краткое содержание работы и сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В первой главе диссертации рассматриваются классические решения равномерно эллиптического уравнения второго порядка

ЛГ+1 N+1

5У (z)KVy + +a°(z)u = f(z) (1)

i,j=1 /=1

В областях, являющихся пространственным аналогом радоновских областей без точек заострения на плоскости, получены условия существования граничных значений решений почти всюду и в метриках Lp,p> 2 с весом, удовлетворяющих условию Макенхаупта - Феффермана

(условие A_f). Для областей вида Q = {(.r,_y):xe7?v, у >(р(х)}, где <р(х) = <р^{х) - <р2{х)-, <pi,<p2 - выпуклые функции, удовлетворяющие неравенствам

I^W-^OOI^I*-*!. ¿=1,2, (2)

для произвольного и измеримого множества W определены функции

Nw(x) = N*Ax)= SUP

Д (х)лГ

1

S(;\x) = S^Jx) = f ¡¡(у - <p(s)tN I и Г2| Du I2 dsdy

1^4(1) nW

Д(х) = Aa{x,(p) = {(s,y): s e R\y > <p{x) + a' \ s -являющиеся аналогами нетангенциальной максимальной функции и интеграла Лузина соответственно. Здесь а > 0 и xeRN

Для исследования граничных свойств решений дополнительно были введены измеримые функции Fw(x), N"p{x)

Fw(x) = FwSx)= sup {{y-<p(s))\f(s,y)\},

d(x)rW

K(x) =

sup{| u(s,y) - u(s,ys) |: (5,у) e A(x) nP}, p = 2

P P ^

[sup{||ii(j,^)|2 -|и(5,Л)|2|Р-.(5^)еД(х)пР}, p>2,

P = int Q \ (Jaw , У. = sup{>>: (s,y) e P),

где й- открытое ограниченное множество в Я". Эти функции необходимы для характеристики структурных особенностей решения дифференциального уравнения и величины колебания решения вблизи границы области О.

Кроме того, была введена функция D„\x), определяющая дифференциальные свойства решения. Эта функция определяется следующим равенством:

££"(*) = sup {(у - ф)) | ф'.у) t\Du(s,y) |}'.

Ключевыми утверждениями, необходимыми для доказательства существования граничных значений решения уравнения (1), являются метрические соотношения, связывающие функции Nw(x), Fw(x), D^\x),

S¡f1 (x), №p{x). Эти соотношения доказаны в диссертации в виде теорем.

Теорема 1. Если m(z) - решение уравнения (1), а,р е (1,со); со,р> 0, то найдется число а0 > 0 со следующими свойствами: взяв а>а0, можно указать такие, не зависящие от u(z) числа у, S, г0 > 0, что при diamG<r0 справедливо неравенство

ат{№р > РХ) < т(№р > Л) + a[cm(S(pp) > уЯ) + m(D(pp) > 8Л) +

+m(Fp>pA) + m(Np>coA)], (3)

для любого Л > 0. Здесь т - мера Лебега.

Теорема 2. Если u(z) - решение уравнения (1), а,Р е (1,о°); р, г0 > 0, то найдутся такие не зависящие от u(z) числа у,8> 0, что при diam G < га справедливо неравенство

am(S(pp) > РЛ) < m(S(pp) > Л) + a[m(Np > уЛ) + m(D^ > ¿Л) + m(Fp > рЛ)], (4)

для любого Я > 0.

Далее доказано, что при выполнении известного условия Макенхаупта-Феффермана (А,^) в неравенстве (3) теоремы 1 и в неравенстве (4) теоремы 2 меру Лебега т можно заменить мерой та, где

тЛЕ) = ja(x)dx (dml0 = a>(x)dx)

Е

и со{х) - произвольная локально суммируемая функция. А именно, доказано следующее утверждение.

Теорема 3. В неравенстве (3) теоремы 1 и неравенстве (4) теоремы 2 меру Лебега т можно заменить мерой тш, если тш удовлетворяет условию Макенхаупта- Феффермана, то есть, если существуют такие константы С<оо, 0>0, что для любого шара В с: RN и любого измеримого множества ЕаВ справедливо неравенство

та(Е)/т„(В)<С(.т(Е)/т(В)У. С использованием теорем 1 и 2 получены результаты, аналогичные соответствующим утверждениям В. Ю. Шелепова. В частности, обобщены некоторые оценки для классического решения равномерно эллиптического уравнения, которые раньше были получены только для гармонических функций. Доказано существование Ьр(В.",со) - следов решений на границе

области О. Кроме того, доказано существование некасательных граничных значений для решения эллиптического уравнения (1) и соотношение, связывающее р - интеграл Лузина с нетангенциальной максимальной функцией. Эти утверждения сформулированы в виде теорем.

Теорема 4. Пусть и(г) - решение уравнения (1) в области вида (2) и функция (у-<р(хУ)/(г), где г = (х,у), нетангенциально ограничена вблизи каждой точки множества £ с Ш. Пусть т(31(Е)) > 0, где ЩЕ)- проекция множества на Л*. Тогда для всех й > 0, а> О функция (х)

конечна почти всюду на ЩЕ) и почти в каждой точке г0 = (ха,уа) е Е существует конечный некасательный предел

Нти^), (5)

Если и(г) - решение однородного уравнения Ун = 0, в котором а"(г) = 0, и для некоторых И> О, а>а0, где а0 - число из теоремы 1, при а = 2 выполняется условие

для всех д:еЯ(£), то почти в каждой точке г0=(х0,у0)еЕ существует конечный предел (5).

Теорема 5. Пусть Ф(А) - неотрицательная, неубывающая, непрерывная функция на множестве [0;+оо), удовлетворяющая условиям Ф(0) = 0; Ф(2Л) < у0Ф(Л) для любого Л > 0; у0 - некоторая константа. Тогда если и{г) - решение уравнения (1), Н> 0, то при достаточно малых йе(0,Н) справедлива оценка

я" я"

Если р = 2, а"1 - достаточно малое число и, кроме того, для любого £>0 найдется б > 0 такое, что Ф(ЗЛ) < еФ(Л) для любого Л > 0, то справедлива оценка

/Фда<йя. < у |[Ф(^ ) + + Ф(^„ )]Ап„. (6)

я"

Если и(г) - решение уравнения Л = 0, то неравенство (6) без слагаемого Ф(^п„) справедливо при любом р> 2.

Из теорем 3-5 вытекают следующие следствия.

Следствие 1. Пусть и(г) - решение уравнения Л = 0. Пусть при некотором Н> 0 и достаточно малом /г е (О, Я) справедливо соотношение \\{У~р{х)Г\иПОи\2 тш{В{х,у-(р(х)))с12+ / «йя. < оо.

п В» '

Тогда и(г) имеет почти всюду на сО. некасательные пределы и* е Ьр{с€1,а>). Следствие 2. Пусть р = 2 и выполнено условие т)< °°. Тогда

утверждение, аналогичное следствию 1, справедливо для произвольного решения и{г) уравнения (1).

Следствие 3. Пусть П, = {{х,у)\хе.1{ы ,ухрт{х)}, где функции <рЛ) (х) > ср{х) удовлетворяют условию Липшица с единой константой. Пусть последовательность ср<к\х) поточечно сходится к <р{х). Тогда при выполнении условий следствия 1 справедлива оценка вир || м „,<<» и

и(х,<р'*'(х)) сходится к и*(х) в норме Ьр(ЯУ,со).

При выполнении условий следствия 2 это утверждение верно при р = 2 для любого решения уравнения (1).

Теоремы 3-5 переносятся на случай ограниченных областей, границы которых локально представимы в виде (2). При этом величину у - <р{х) следует заменить расстоянием от точки геП до сЮ, а меру т -поверхностной мерой а на оП. Мера та определяется на 8С1, и условие (А^) записывается в виде

тш(Е)/т„{А(2\г))< С(а{Е)!а(А{2\г)))', 0>0, гдег'еШ, А(г,,г) = К(г',г)п8П, Ес.А{г\г).

Ограниченная область Г2с/?"+| называется допустимой, если существует такой набор точек г4 е 8С1, к = 1,...,«, что, связав с каждой из них свою декартову систему координат (£,//), можно указать цилиндр

С„Д7*) = {(£,/,):|<П<г, \ц\<2Ц

такой, что

аопС1г^к) = {(£,Ц):|<?|< 2г, м = и п (24) = {(£,//) :| #|< 2г, <р{?) 4Ьг\

где <р = <р^ ~(рг, функции (Рь,<Р2 - выпуклые, а функции <р,,<р2 удовлетворяют условию Липшица с константами, не превосходящими Ь,Ц,Ь2 и

Пусть ¿(г) - расстояние от г до сП, О* = {г е О: с\(г) < И). Пусть далее Д*(г') = и Д"(г') = Д(г')п(П" \П'). Сопоставим решению и(г)

уравнения (1) в области О измеримые на 5П функции:

i

\ur\Duf dmoi

Ft(z') = {suprf(z)|/(z)|:z6At(z')}. Для ограниченных областей Q доказаны следующие теоремы. Теорема 6. Пусть Е - измеримое множество на dfl. Если функции u(z),d{z)f{z) нетангенциально ограничены вблизи каждой точки zeE, то S'p)(z')<oo почти всюду на Е, и u(z) имеет почти всюду на Е некасательные пределы:

lim«(z)<oo, z —> z'e Е, zeA*(z'). (7)

Если в уравнении (1) o°(z)s 0, то условие S[p)(z') < со и нетангенциальная ограниченность d{z)f(z) на Е влекут существование пределов (7) и, следовательно, нетангенциальную ограниченность u(z) почти всюду на Е.

Теорема 7. Пусть Н>0, Ф(А) - неубывающая неотрицательная непрерывная функция на множестве [0,со), причем выполнены условия: 1) Ф(0) = 0, 2) Ф(2Я) < у0Ф(Л), для любого Л > О. v0 = const. Тогда существует такое h0 е (О, Я), что при h е (0,Л0) справедливо неравенство /Ф* С J[0(tf„) + b{F„)}daa.

г« an

Пусть, кроме того, функция Ф(Л) удовлетворяет условию: 3) для любого £•>0 существует такое ¿> >0, что для любого Л>0 справедлива оценка Ф (¿>Л) < гФ(Л). Тогда существуют такие числа aQ > 0, 0<h0< Н, что при a>aQ, h е справедливо неравенство

)da, < С /[Ф(5«'>) + Ф(^й) + Ф(ЛГ„Л )]daa.

an an

Константа С > 0 в приведенных неравенствах не зависит от выбора решения u(z) уравнения (1).

Для ограниченных областей О доказаны следствия из теорем 6 и 7, аналогичные следствиям 1-3.

Во второй главе диссертации рассматривается нелинейное параболическое уравнение второго порядка вида Ям " Я

о/ у-1йсу

Уравнение рассматривается на множестве £>г = Г2 х (О, Г), Г < +со.

Основные вопросы, которые исследуются во второй главе это: точные локальные и глобальные оценки относительно пространственных и временной переменных, зависимость решения задачи Коши от параметров дифференциального уравнения и поведение решения в октантообразных областях.

Пусть IV,'(Д"")- пространство Соболева. Неотрицательную, измеримую функцию «(*,/) будем называть локальным решением уравнения (8) в б = ДЛ'х(/>0),если

\Ои\

и почти всюду имеет место равенство (8).

Если, кроме того, выполняется соотношение

и(х,о->«#„(*) В ^(Д"), (9)

то функцию и(х,г) будем считать решением задачи Коши (8), (9) с начальной функцией и0(х).

Доказаны следующие утверждения.

Теорема 8. Пусть и(х,() - локальное решение уравнения (8) при р = 1, тогда для всех р > 0, (>0 имеют место неравенства:

а) ||м|| = 8ири(*,0 < —— \\и{х,т)скс1т + у\ —

"в, Р * о, VI.

Р а

для всех ш > 2.

б) И. о =5ир«(х,0<^

Ци(х,т)с1хс/т

^ Лг(т-2)+/и-1 V 2-й

+ 7

7

для всех т, удовлетворяющих условию

1

< т < 2, И +1

где £)„=Вр ж& = Вр1иа) х^(1 -ст),^. Вр- шар с центром в начале

координат радиуса р; сг>0.

Теорема 9. Пусть и(х,1) - решение задачи Коши с начальной функцией и0(х) е Ц ¡0С(ЯМ) ■ Тогда для всех т < 2, / > О, р> О имеет место оценка

sup ¡u(x, r)dx < J «0 (x)dx + Я —^

- - - - I

В2р VР

Из теорем 8 и 9 вытекает ряд следствий.

Следствие 4. Пусть и = и(х,1) - решение задачи Коши с начальной

функцией и0 (х). Пусть, кроме того, и0(х) в Ь.(Я") и 2- — <т<2. Тогда

N

имеет место оценка

sup и(х, t) < yt Ju0 (x)dx

«S» \„« ,

Следствие 5. Пусть и =u{x,t) - локальное решение уравнения (8) при р = 1. Тогда для любого р > 0 существует такое Т0 > 0, зависящее от m,N,p, и не зависящее от функции и, что для всех 0 < / < Г0 и т> 2 имеет место оценка

При т = 1 уравнение (8) является уравнением неньютоновской упругой фильтрации.

Обозначим через

(QT) = C (О,Т\W¿ik.(Rv));

Yloc(QT) = C (OJWKR*))-,

X* (QT) - L £ X^ (QT) 13r > 0: q> £ C(0, T;JV¡ (| * |< r)l;

У"(вт) 3 \<Р е У*«2т) I Зг > 0: <р £ С(0,Т;УУ 1 (| дг |< г) \ Измеримую функцию и :()т —> Я* назовем слабым решением уравнения

о

(8) при т = 1, если для всех Е, £ Х(£)Т) выполняется соотношение ¡¡{и,д+1 Ои I""2 Би • 0^}скс1т = 0.

Пусть и и V - слабые решения параболического уравнения неньютоновской упругой фильтрации, соответствующие режимам фильтрации р и д (р Ф д), и удовлетворяющие условиям

du(x,t) u"~\x,t)

— С. )

8t 8v( х, t)

>-с.

Р'

v"-' (х,/)

(10)

8t - р-где с, и с2 - положительные постоянные. Доказано следующее утверждение.

Теорема 10. Пусть и и v- слабые решения параболического уравнения (8) при т = 1, соответствующие режимам фильтрации р и q, пусть

w = (и — v)(<) —> 0 в Ц hc(RN) пРи '->0. Пусть, кроме того, выполнены

условия

Ми(р)= sup ^updx < оо и Mv(р) = sup J vqdx <00,

0</<Г,

0<t<T ,

при любых р> 0. Тогда существуют такие постоянные а0,р0,Т0,а, что для всех 0 <а < а0, р> р0, 0<1 <Т„, некоторого а > 1 и достаточно малого | р - # | справедлива оценка

-!- /I IV Г' (/7) + (/7-

а + М. I

J j] w\ ~ " dxdv

где уг =1+

a(p-q) q

pq q-a _ (2[(p-q) + a]

N +1

к

\ i j

У a =~\—-±t-+ a-q +

У 4-2

{p-q + a\ Nct(p-q)

РЧ

a> 1,

Km = (Nv(4pjff + ((.H/„(4p))TL + + {{MS4pj)k{N,(4p)f^ + i(M„(4p))£~pE,

kq - постоянная Баренблата, w = u-v.

Следствие 6. Если для слабых решений и и v выполнены условия: 1) sup ju"dx<oo, sup Jv'cic < оо,

2) u0(x) = v„(x) почти всюду в R"

3) р = д,

то существует такое число Т> О, что для любых / е (О, Г] и для почти всех хеЯ" справедливо равенство и(х,I) = у(х,I).

При р = 2 уравнение (8) является уравнением диффузии. Для областей типа октанта: £)г = Л," х(0,Т), где = {хе Яы : >0}, 0 < Т < +со, и начально-краевой задачи Дирихле

вида

5 = (11)

от

и = 0 на дЯ, х(0,Т) (12)

и(х,0) = и0(х), хеЛ?. (13)

доказана следующая теорема.

Теорема 11. Пусть и(х,1) - решение задачи (11)-(13) в

II«01и(Л")<00 и //,(0)<со. Тогда для всех />0,

справедлива оценка

_2_ ЛГ+/

\\и(хМаА^Лт,М,1) (//,(0)/'-/ Л ,

где

/уД0)= лг,г/0 (*)<&< оо и Д = {И + 1)(т-\) + 2.

Вместе с начально-краевой задачей (11)-(13) рассмотрим аналогичную задачу для функции у(х,0 с начальной функцией у0(х) :

Эу

^ = Д (у") (14)

от

у = 0 на ай,"х(0,Г) (15)

у(х,0) = У0(Х), хеЛ;. (16)

Положим = и - v, и>0 = м0 - у0 . Доказано следующее утверждение.

Теорема 12. Пусть функции и и V являются решениями задач (11)-(13) и (14)-(16) соответственно. Тогда для любого р > 1 и некоторых положительных постоянных а,Р,у, зависящих от т,Ы,1 и р, имеет место оценка

¡Х^и-у]" сЬс

4 1/,,

г \а

//ДО)"' +л-(0)'

г',

где //,(0) = рГ,и0Л, м'(0)= ¡Х,\'0ск.

Из теоремы 12 при иа - у0, в частности, следует теорема единственности для начально-краевой задачи Дирихле вида (11)-(13).

Основные результаты работы

1. В областях, являющихся пространственным аналогом радоновских областей без точек заострения на плоскости, установлены условия существования граничных значений решений эллиптического уравнения почти всюду и в метриках Ьр, р> 2, с весом, удовлетворяющим условию

Макенхаупта -Феффермана.

Для областей вида О = {(*,у):х е /?Л, у> (р(х)}, где ср{х) = ср^(л:) - <рг(л); <р^,<р2 - выпуклые функции, \^(х)-(р^х')\< Ц\х-х'\, / = 1,2, для произвольного и измеримого множества IV определены функции Л'„. (х), ¿>У(х), Г), (х), 0'„р](х) (х), описывающие граничные свойства решений.

Между этими функциями установлены метрические соотношения.

2. Доказаны точные оценки для решения задачи Коши и начально-краевой задачи Дирихле в неограниченных областях для нелинейного параболического уравнения (8) при р = 1, /7 = 2.

3. Установлена зависимость решения задачи Коши для уравнения неньютоновской упругой фильтрации от параметра дифференциального уравнения.

4. Получены зависимости решения задачи Коши-Дирихле от начальной функции в областях типа октанта для параболического уравнения быстрой диффузии.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук Баеву Александру Дмитриевичу за постановку задачи, ценные советы, всестороннюю помощь и постоянное внимание к данной работе, а также за доброжелательное отношение.

Основные публикации по теме диссертации 1. Тедеев Ал.Ф. Об Ь - граничных значениях решений эллиптических

уравнений в негладких пространственных областях /Ал.Ф. Тедеев, В.Ю.

Шелепов // Нелинейные граничные задачи. -1992, вып. 4. -С. 92-100.

2. Тедеев Ал.Ф. Об одном неравенстве для решений эллиптических уравнений и его применении в теории граничных свойств / В. Ю. Шелепов, Ал. Ф. Тедеев // Докл. АН СССР. -1992. -Т. 315, №1. - С. 40-43.

3. Тедеев Ал.Ф. Локальные свойства решений задачи Коши для квазилинейного параболического уравнения второго порядка /Ал. Ф. Тедеев // Владикавказский математический журнал. -2008. -Т.10, №2. -С. 46-58.

4. Тедеев Ал.Ф. Локальные свойства решений задачи Коши для квазилинейного параболического уравнения второго порядка /Ал.Ф.Тедеев // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XX». -Воронеж, 2009.-С.121.

5. Тедеев Ал.Ф. О некоторых свойствах решений для нелинейного параболического уравнения второго порядка /Ал.Ф.Тедеев // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XXI». -Воронеж, 2010. -С. 173-174.

6. Тедеев Ал.Ф. Некоторые свойства решений для нелинейного параболического уравнения второго порядка /Ал.Ф. Тедеев // Известия ВУЗов Северо-Кавк. региона. -2010. -№3. -С.12-24.

7. Тедеев Ал.Ф. Оценки решения задачи Коши-Дирихле для дифференциального уравнения быстрой диффузии в областях типа октанта /А.Д. Баев, Ал.Ф. Тедеев // Вестник Воронежского гос. ун.-та. Серия Физика. Математика. -2010. -№3.-С. 67-70.

8. Тедеев Ал.Ф. Оценки для локального решения дифференциального уравнения фильтрации /Ал. Ф. Тедеев// Актуальные проблемы математики и информатики (Труды математического факультета ВГУ).-2010.- №2.-С. 3-16.

9. Тедеев Ал.Ф. О задаче Коши для уравнения нелинейной фильтрации /Ал. Ф. Тедеев// Актуальные проблемы математики и информатики (Труды математического факультета ВГУ).-2010.- №2.-С. 29-46.

10. Тедеев Ал.Ф. Зависимость решения задачи Коши-Дирихле от начальной функции для уравнения быстрой диффузии в областях типа октанта /Ал. Ф. Тедеев // Актуальные проблемы математики и информатики (Труды математического факультета ВГУ).-2010.- №2.-С. 59-64.

Работы [2], [6] и [7] соответствуют списку ВАК РФ.

Подп. в печ. 09.12.2010. Формат 60x84 '/,6. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 1556.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Имательско-полиграфического цешра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3 Тел. 204-133

Введение.

Глава I. Об Ьр граничных значениях решений эллиптических уравнений в наглядных пространственных областях.

1.1. Метрические соотношения, связывающие р -интеграл Лузина с нетангенциальной максимальной функцией.

1.2. Метрические соотношения с мерой удовлетворяющей условию Ах ). Оценка градиента.

1.3. Существование некасательных граничных значений для решения.

1.4. Существование Ьр - граничных значений для решения.

1.5. Пример гармонической функции, не имеющей предел на границе.

Глава II. Оценки решений задачи Коши и задачи Коши-Дирихле в неограниченных областях.

2.1. Локальные и нелокальные оценки решения.

2.2. Зависимость решения задачи Коши дифференциального уравнения неньютоновской упругой фильтрации от параметра.

2.3. Оценка решения задачи Коши-Дирихле для дифференциального уравнения быстрой диффузии в областях типа октанта.

2.4. Зависимость решения задачи Коши-Дирихле от начальной функции для уравнения быстрой диффузии.

Важными направлениями современной теории дифференциальных уравнений с частными производными являются качественное исследование решений краевых задач и вопросы существования граничных значений решений.

Для того чтобы обеспечить существование граничных значений даже гладких функций необходимо наложить на них довольно сильные ограничения. Однако, если рассматриваемая функция является решением некоторого дифференциального уравнения в частных производных, то для обеспечения существования граничных значений достаточно более слабых ограничений. Эти вопросы впервые были изучены для эллиптических уравнений в работе В.П. Михайлова [27]. В этой работе установлены необходимые и достаточные условия для того, чтобы решение эллиптического уравнения второго порядка в шаре {| х |< 1} имело предел в среднем на границе {| х 1}. Позже эти результаты были перенесены В. П. Михайловым в работе [25] на класс более широких областей <2, граница которых принадлежит классу С2. А именно, для обобщенных решений линейных уравнений второго порядка вида

N N Е (%-(Фх.)х . + 2 аЛх)иХт + а(х)и = Дх) (1)

1 4 г } 1=1 1 г с вещественнозначными коэффициентами г, У = 1,2,., А^, при выполнении условия равномерной эллиптичности у-1\£\2<±аи(х)^<у\£\\ у> О были установлены следующие утверждения:

Утверждение 1. Для того чтобы функция и(х), являющаяся решением из Wl,oc{Q) уравнения (1), имела предел в среднем на границе 80, необходимо и достаточно, чтобы функция

M(S)= \u2{x)dS,

OQs была ограниченной на множестве (0,30 ].

Утверждение 2. Для того чтобы функция и(х), являющаяся решением из W\loc (0 уравнения (1) имела предел в среднем на границе dQ, необходимо и достаточно, чтобы функция | Du |2 г{х) была интегрируемой по Q, то есть j] Du |2 r{x)dx < оо, Q где r(x) — расстояние от точки л: е Q до границы дО.

Обобщение приведенных результатов В. П. Михайлова шло в нескольких направлениях. В работах А.К. Гущина, В.П. Михайлова [9] и Ю.А. Михайлова [26] для более общего эллиптического уравнения второго порядка установлены необходимые и достаточные условия для того, чтобы решение эллиптического уравнения второго порядка в области, граница которой принадлежит классу C2(dQ), имело предел в Lp(dQ), р> 1 на граничной поверхности. Аналогичные результаты были установлены в работе И.М. Петрушко [30] для решений эллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей, то есть для ограниченных областей Q, таких что дО е С1+я, 0 < Я < 1. Наряду с изучением граничных значений в среднем для решений эллиптических уравнений второго порядка были изучены вопросы существования нетангенциальных пределов в точках границы области. В работе В.Ю. Шелепова [45] был развит метод, примененный в работе D.L Burkholder, R.F. Gundy [55] для изучения нетангенциальной максимальной функции и интеграла Лузина гармонической функции в полупространстве. Преимущество этого метода состоит в том, что он в значительной своей части является чисто геометрическим и не зависит от конкретного вида дифференциального уравнения, решения которого исследуются. В упомянутой работе показано, что этот метод можно применить к исследованию граничных свойств решений эллиптических уравнений в негладких областях весьма общего вида: их границы локально представимы с помощью разности выпуклых функций. Краткое изложение результатов в этом направлении опубликовано в работе В.Ю. Шелепова [46]. Более специальными методами в работе [67] получены аналогичные результаты для гармонических функций в липшицевых областях.

В упомянутой работе В.Ю. Шелепова [45] рассматривается ограниченная область £2 а , обладающая следующими свойствами:

1. Существуют такие числа г0,Ь, что с каждой точкой г'е дС2 можно связать декартову систему координат (£,д), , деЯ1, и такой набор цилиндров

Сг^) = {{£,дУ\%\<г, \д\<2Ьг}, ге(0,г0], что пС^V) = {(£д):д = | |<г0},

2. Существуют такие выпуклые функции (рх{х) и (р2(х) с константами Липшица Ь1 и Ь2 соответственно, что а п СГо>, ) = {(£ д): <д<2Ьг0, \ £ |< г0},

Здесь же вводится понятие регулярного семейства конусов {/(г')}, г'е дС2, обладающих тем свойством, что направление оси и раствор конуса у (г1) непрерывно зависят от г'.

Для ограниченных областей указанного вида и регулярного семейства конусов у (г1) вводятся понятия нетангенциальной максимальной функции

Щг') = вир{| и(г)\:г еПгл у(г')} и интеграла Лузина 1 V

A(z') = \¡d{-N{z)\Du{z)\2 dz , где d(z) — расстояние от точки z до границы 5Q области Q.

В работе [67] доказаны следующие утверждения. А именно, для классического решения уравнения (1), удовлетворяющего условию равномерной эллиптичности (2) в Q, имеют место следующие утверждения:

Утверждение 3. Пусть Е - множество положительной меры на дО. Если функции u(z), d{z)- f{z) нетангенциально ограничены вблизи каждой точки множества Е, то A(z') < со почти всюду на Е и решение u(z) имеет почти в каждой точке z'g Е конечный некасательный предел lim u(z), z g y(z]) n Q, z —» z'

Утверждение 4. Пусть Ф(Л) - неотрицательная, неубывающая и непрерывная функция на [0,оо), удовлетворяющая следующим условиям: 1) Ф(0) = 0; 2) Ф(2Я) < уФ(Л), VÁ > 0, v = const; 3) для Vs>0, 3¿>0, что Ф(<5Я) < еФ(Я), VA > 0. Тогда при достаточно малых h2 > hx > 0 справедлива оценка

Ф(Л, )dcr < С |[Ф(Л^ ) + )]da. зп да

Если же числа Lx,L2,a~x достаточно малы, то

0(Nh¡ )da < с |[Ф(Л,) + ) + Ф№,Л Wer,

Ш Й2 1 V

Añ¡(z') = fjd'-N(z)\Di¿(z)¡2 dz , r>tW) J yhi(z') = y(z')nQhl, Q ft'={zGfi: 0 < d(z) < hx), Nhuh (z') = sup{| u{z) |: z g yhi h2 (z')}, y!hA(z') = y(z')n(nh>\Uh>). Из утверждений 3 и 4 следует, что при выполнении условий

Л(1{г) I Ии |2 с1г < 00 и \Fidcr < оо,

П" XI нетангенциальные пределы решения и(г) образуют функцию и+0')е£2(Ш). (3)

В работе [67] также установлено, что соотношение (3) имеет место и в случае, когда выполняется условие г \ эир к

00,

Vй2* ) где 0,к с: О, к = 1,2,. таково, что ЗО.к лежат в 0.к, покрываются цилиндрами и в соответствующих локальных координатах задаются функциями т] = <рК{%), < г, константы Липшица которых ограничены числом, не зависящим от /, к.

Кроме того, доказано, что для любой координатной окрестности ШпС^Дг,), / = 1,2,.,« из сходимости (рк{х) к (р{х) почти всюду вытекает, что I «К,¥>*«)) - I2 -> 0, к - оо.

В диссертационной работе получены аналоги приведенных выше утверждений для некоторых классов областей с некомпактной границей.

В первой главе диссертации рассматриваются классические решения равномерно эллиптического уравнения второго порядка. В областях, являющихся пространственным аналогом радоновских областей без точек заострения на плоскости, установлены условия существования граничных значений решений почти всюду и в метриках Ьр,р>2, с весом, удовлетворяющим условию Макенхаупта — Феффермана (условие А„). Для областей вида = у><р(х)}, где (р{х) = фх(х)-(р2(х); (рх,(р2выпуклые функции, | (р1 (х)< Ь | х-х'|, / = 1,2 для произвольного и измеримого множества W определены функции

Nw(x) = Nwa(x)= sup

Hx)nW I

Slw'\x) = = f ¡¡(y - <p(s)y~N | и \p'2\ Du |2 dsdy\ ,

A(x) = &a(x,<p) = {(s9y) :seRN,y> cp(x) + ax | 5-x |}, для некоторого a > О и любого x <e Rn . Эти функции являются аналогами нетангенциальной максимальной функции и интеграла Лузина соответственно.

При исследовании граничных свойств решений появилась необходимость дополнительного введения измеримых функций Fw(x), №р(х) для характеристики структурных особенностей решения уравнения и величины колебания решения вблизи границы области Q. Кроме того, была введена функция определяющая дифференциальные свойства решения.

Эти функции определены с помощью равенств sup{| u(s,y) -u(s,ys) |: О,у) е Д(х) глР}, р = 2 sup{|| u{s,y) V ~ I u(s,ys) |T: {s,y) e Д(*)п P}, p> 2

K(x) =

P = int jfi \ U-*(*)}, У, = ™р{у: (s,y) € P}, D«\x) = sup {0; - p(s)) I u(s,y) • I Du(s,y) |}',

A(.x)nlV

Fw(x)= зир{(у-ф))\/(5,у)\}

A (x)nW

Ключевыми предложениями, необходимыми для доказательства существования граничных значений решения уравнения, являются метрические соотношения связывающие функции Р1У(х), , (х). Эти соотношения в диссертации формулируются в виде теорем:

Теорема 1. Если и(г) - решение уравнения (1), а,Р е (I,00); (о,р> 0, то найдется число а0> 0 со следующими свойствами: взяв а > а0, можно указать такие не зависящие от и{г) числа у, 3, г0 > О, что при сИат О <га справедливо неравенство ат(№р > рХ) < т{№р > X)+ а[ст{8{рр) > уХ) + т(П{рр) > 8Х) + рЯ) + т(Ыр > соЛ) ], УЛ>0. (4)

Теорема 2. Если и(г) - решение уравнения (1), а, ¡3 е (1,оо); р,г0 > 0, то найдутся такие не зависящие от и{£) числа у,б > 0, что при (Пат О <г0 справедливо неравенство сст(8{рр) > РЛ) < т^рр) > Л) + а{т{Ир > уЛ) + т(П(рр) > 8Х) + т(Гр > рЩ, \/Л > 0 (5)

Здесь Р = ий(£2\иД(*))

Далее в диссертационной работе доказано, что в неравенстве (4) теоремы 1 и неравенстве (5) теоремы 2 меру Лебега т можно заменить мерой тш, где тт(Е) = ^со{х)(Ьс {фпт = со(х)сЬс), Е и а>(х) - произвольная локально суммируемая функция. При этом предполагается выполненным известное условие (Аа) Макенхаупта-Феффермана. Опираясь на теоремы 1 и 2 и на следствия, вытекающие из этих теорем, получены результаты, аналогичные соответствующим утверждениям В. Ю. Шелепова [67]. В частности, обобщены некоторые оценки для классического решения равномерно эллиптического уравнения, которые раньше были известны только для гармонических функций. Также доказано существование Ьр(Яы,со) следов решений на границе области О., которые подтверждают корректность некоторых известных краевых задач.

Во второй главе диссертации рассматриваются нелинейные вырождающиеся параболические уравнения второго порядка. Типичным 9 представителем вырождающихся параболических уравнении является уравнение вида:

ЛГ>1, (6) в£г=ах(0,Г), Т < +оо. (7)

Это уравнение в литературе называют вдвойне нелинейным вырождающимся параболическим уравнением. При тп = 1 из (6) получается уравнение тг-о^гЧ)- ю

ОЬ ох. 1

Это уравнение называется уравнением неньютоновской упругой фильтрации. Очевидно, что уравнение (8) вырождается при | Ии |= 0, и р > 2.

Рассмотрим наряду с уравнениями (6) и (8) условие Коши и(х,0) = и0(х), хеЯ". (9)

В работе [51] установлена оценка и(хД^<г\\и0\\к^-1^ (10) для решения задачи Коши (8), (9), при условии, что и0 обладает конечной массой [|и„||,Д"> то есть принадлежит

Величина кр называется постоянной Баренблата и определяется величиной кр = И{р - 2) + р.

Аналогичными свойствами обладают решения начально-краевых задач для уравнения (6).

Пусть N>2, - произвольная область с достаточно гладкой границей. Рассмотрим для (8) граничное условие Неймана ди =0, (11) апх(/>о) ду

5м ~ ^ где — - производная по внешней нормали к ди. Рассмотрим в ду

Пг=Пх(0,Т) задачу (8), (9), (11).

Пусть сначала О - ограничена. Тогда интегрируя (8) по П, и пользуясь (9), (11), легко видеть, что имеет место закон сохранения массы, то есть для любого t> 0, справедливо неравенство

К1и=1К-,о||1>п. (12)

Отсюда легко следует, что

IKIL или H,o|L >—*^-=const measNíl

Последняя оценка говорит о том, что если Q- ограниченная область, то, вообще говоря, ||и(-,0||даП не стабилизируется к нулю. Таким образом, необходимым условием стабилизации к нулю ||м(-, í)||m п является условие measN О = оо. (13)

Теория стабилизации и другие качественные свойства решений линейных параболических задач общего вида получили свое развитие^ благодаря фундаментальным результатам С.Д. Эйдельмана и его учеников. Отметим лишь некоторые из работ, [48], [47], [20], [19], [24], показывающих широкий спектр и глубину этих исследований.

Исследования в областях с некомпактной границей для линейных уравнений второго порядка проводились в работе А.К.Гущина [8]. В ней рассматривалась следующая задача c¡u N ñ

Е^ЦД^К,) в DT, (14)

Ot >j=\OX, ' N x,t)u v, u- i 0, (15) дпх(о.г) и(х,0) = и0(х), хе£2, (16) где О - неограниченная область в Я", N>2, с некомпактной границей. При определенных условиях на геометрию области и естественных условиях на коэффициенты для начальных функций с конечной массой выделена численная характеристика области, в терминах которой дается двусторонняя оценка выражения ¡"(лОЦ^п- Этой характеристикой является величина

У{К) = теази (О. п Вк ). Сама оценка при этом имеет вид:

17,

Здесь знак ~ имеет смысл двусторонней оценки. В дальнейшем эти исследования были продолжены в работах [11], [19], [43]. Из оценки (17) видно, что если О расширяется как все пространство, например, если есть конус, то скорость стабилизации такая же, как и в случае задачи Коши, то есть

И^СпНЫ,,/7

Если же О- цилиндрическая область с ограниченным сечением по переменным д:' = ,.), то мп| £ 2 ,

II ч' '11»,п II °Н1,п ' то есть скорость стабилизации решения такая же, как для задачи Коши, но в одномерном случае. Необходимо отметить, что скорость стабилизации тем выше, чем «шире» область на бесконечности и достигает максимального значения для областей, расширяющихся как все пространство. Что касается начально-краевой задачи Дирихле, то поведение решения в этом случае при больших значениях времени в определенном смысле диаметрально противоположно поведению начально-краевой задачи Неймана. Это следует из результатов работ Ф.Х. Мукминова [28].

Указанное свойство сохраняется для некоторых нелинейных параболических уравнений более общего вида (6). В работе .Г.Мапй-есН, У.УеБрп [64] для решения уравнения (6), при условии т + р> 3, р> 1 и щ е Цосбыла доказана оценка

N Р

IHML ^п'Рт+р-31«о 17. (is) где / = N(m + р - Ъ) + р, ||| щ ||| = sup рт+р~3 f |щ | dx. р>~г вр

В случае если и0 eL^R"), из (18) получим оценку

Hi \7 u{x,t)\xRN<yt ' \\uQ(x)dx . (19)

Причем, в неравенстве (19) постоянная у существенно зависит от р, и если р->1, то у —> +оо. Аналогичные соотношения для решения уравнения (6), но в случае т + р< 3, р> 1 были установлены в работах E.Di Benedetto, M.A.Herrero [51], а также в работе V.Vespri [70] . Однако, в случае, когда р = 1 результатов в этом направлении нет. В диссертации сделана попытка устранить этот пробел. При этом для параметра т установлена точная область определения, в которой могут выполняться оценки вида (19). Для значений параметра, удовлетворяющих условию 1 < т < 2 доказано неравенство типа Гарнака. Априорное ограничение в виде неравенства Гарнака позволяет нам установить точную скорость стабилизации при t —> оо решения уравнения (6) при р = 1, удовлетворяющего уравнению почти всюду и принадлежащего пространству C({Q,T)\Wl{RN)).

Основные результаты главы 2 формулируются в виде теорем. Теорема 3. Пусть u(x,t) локальное решение уравнения (6), тогда для всех р > 0, t > 0 имеют место неравенства а) IML.&, = SUPW(*>0 ^ \\u(x,T)dxdr + у р Qo 1

Г р\т-2 для всех т > 2. б) ЦиЦ =suVu(xJ)<yt~N{m-2)+m-1\ §и(х,т)<Ыт I

N(m-2)+m-\ / ^ > у

VP. 1

2-m для всех т, удовлетворяющих условию 1 где Qa=Bx

5 Qo ~ Bp{l+o) х

N +1 f 1 т< 2,

-t{\-a),t , 0<(т<1. v2 J

Теорема 4. Если и(х,1) - решение задачи Коши (6), (9) при р-1, с начальной функцией и0(х) еЦ ,0С(Км), то для всех т< 2, t> 0, р> 0 имеет место оценка sup \и{х,т}сЫ< \u0(x)dx + y

О<T<í J J

Bp B2p p

N(m-2)+l

2-m

Далее из уравнения (6) при р = 2 и 0 < m < 1 получаем уравнение быстрой диффузии. Именно для таких уравнений в работе М.А. Herrero и M.Pierre [59] доказана глобальная разрешимость задачи Коши. Кроме этого, для решения задачи Коши с начальной функцией и0 е Llloc(RN), установлена оценка

20 f > \ N ( t > а vi гв §u0\dx + 1 >

КР /

20) где в 1 = т-1 н—, а 1

N' 1 -т Nу - y(m,N)

Из (20), в случае и0 е Ьх {Я ) вытекает, оценка

21)

Аналогичный результат, но для решения начально-краевой задачи Дирихле был получен в работе А.Ф. Тедеева [39]. В этой работе в областях вида £> = Я" х{? > 0}, Я" = Я" п{л;,,.,^, >0}, /<N, рассматривалась начально-краевая задача и, =А<р(и), и = 0, (х,0едЯ? х{*>0} м(х,0) = ий (х), X Е Щ N

22) где (р(я) :Я+ — абсолютно непрерывная неубывающая функция, удовлетворяющая условиям т=о, ср( 1)=1 и

1 + у-1 < <р[(я)• я / ф) <у, у > 2, V.? > 0. (23)

Для решения задачи (22) доказано, что если и,(0) = $Х,и0с1х < оо, где X1 = х,. .х,, н? то существуют такие положительные постоянные г и у (И,у), что для \/0 < / < Тг, р > г имеет место оценка р-2ф(|м(х,01|м>й, II «(*,/) П.,, /ф-\р2)^гН ни

24) где

Ф(5) = ф{8) / || М0 | = 8иР[ф-1 (.р2)Т бХ^сЬ, К

Х,и0сЬс = ¡Х,и0сЬс, Т;х = уэир в' Р в* ф

§Х,и0с1х ех=2 /(N + 1), В'р=ВрпЯ^

Типичным примером уравнения (22) является уравнение медленной диффузии <р(и) = ит, т> 1. Из (24) при (р{и)-ит, т> 1, легко получить оценку, аналогичную оценке (21), а именно, для любых ¿>0 имеет место неравенство

2 N+1

25) где Д ={И + 1){т-\) + 2.

Заметим, что условие (23) при (р{и) = ит, 0<т<\ не выполняется.

Кроме того, показатель степени г" в (25) при этом может оказаться положительным. Таким образом, возникает вопрос: какой вид имеет оценка

25) для случая быстрой диффузии и какова область определения параметра т, при которой решение начально-краевой задачи Дирихле в областях типа октанта стабилизируется к нулю.

В данной диссертации этот вопрос решен полностью. Оказалось, что оценка вида (25) имеет место не для всех значений т, а лишь для значений т, удовлетворяющих условию л 2 1 т > 1--.

I N + 11

Основной результат формулируется в виде теоремы.

Теорема 5. Пусть м(х,/) решение начально-краевой задачи Дирихле я и = О на дЯ^ х (О, Г) и(х,0) = и0(х), хеЯ^. 2 Л в области Д, = ^ х (0, оо) и //,(0) < со. Тогда для всех 1> 0, т> 1- N + 1), справедлива оценка

2 N+1 где//е(0)= ^хг.х1и0{х)сЬс и р1 = (ТУЧ/)(т -1) + 2.

Здесь необходимо также отметить то, что при доказательстве оценки типа (25) использовался весовой подход, подобный тому, который применялся в работе ВегшБ Б. [53].

Следующая задача, рассматриваемая в данной диссертации - это вопрос зависимости решения задачи Коши от параметров дифференциального уравнения.

Сформулируем эту задачу более точно для уравнения неньютоновской упругой фильтрации. Пусть и и V решения задач Коши соответствующие режимам фильтрации р и д соответственно, то есть ut - div(I Du Г2 Du) = 0, p > 2 (26) w(jc,0) = w0 (л;), v, - div{| Dv |9"2 Dv) = 0, q > 2 (27) v(x,0) = vo(x).

Если m0 = v0 почти всюду и p = q, то в силу теоремы единственности почти всюду справедлво равенство u(x,t) = v(x,t). Если же u0=vQ почти всюду, a p^q, то, вообще говоря, u{x,t)^v(x,t). Задача состоит в следующем: каково колебание функции а>(х) = u(x,t) - v(x,t), при равенстве начальных данных и при достаточно малом \p — q\. Эта задача решена в виде некоторого качественного соотношения, в котором функция co(x,t) оценивается в некоторой норме Lx(Bp) (аз>2).

В частности из полученного неравенства при р = q получается соотношение, которое можно считать априорной оценкой, так как из нее следует теорема единственности в малом для решения задачи Коши. Полученное следствие говорит и о точности результата.

В параграфе 2.4 аналогичная задача решается для начально-краевой задачи Дирихле, в котором устанавливается зависимость решения задачи от начальной функции.

1. Антонцев С.Н. О характере возмущении, описываемых решениями многомерных вырождающихся параболических уравнений /С.Н. Антонцев //Динамика сплошной среды. - 1979, -вып.40. -С. 114-122.

2. Баев А.Д. О существовании решения общей краевой задачи в полосе для одного вырождающегося уравнения /А.Д. Баев // Научно-технические ведомости. Санкт-Петербургского, гос. технического университета. -2008. №3. - С. 173-180.

3. Баев А.Д. Об одной задаче в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка / А.Д. Баев //Вестник Самарского гос.ун-та, серия «Естественные науки». -2008. №3(62). -С. 27-39.

4. Баев А.Д. О разрешимости общих краевых задач в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка /А.Д. Баев //Вестник Самарского гос.ун-та, серия «Естественные науки». -2008.-№3(62).-С. 40-50.

5. Баев А.Д. О краевых задачах в полупространстве для сингулярно возмущенных уравнении конвекции-диффузии с вырождением / А.Д. Баев //Системы управления и информационные технологии. -2008. -№22(32).-С. 212-216.

6. Баев А.Д. Качественные методы теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений / А.Д. Баев Воронеж: Изд.-во Воронежского гос. ун.-та, 2008. -240 с.

7. Баев А.Д. Об общих краевых задачах в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А.Д. Баев // Доклады Академии наук. -2008. №6(422). -С.727-728.

8. Гущин А.К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения / А.К. Гущин //Матем. сборник. -1982. -т.119, №4. -С.451-508.

9. Калашников A.C. О распространении возмущений в первой краевой задаче для вырождающегося параболического уравнения с двойной нелинейностью / A.C. Калашников //Труды семинара им. И.Г. Петровского. -1982. -вып.8. -С.128-134.

10. Калашников A.C. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка / A.C. Калашников //УМН. -1987. -т.42, вып.2(254). -С.135-176.

11. Кершнер Р. О поведении температурных фронтов в средах с линейной теплопроводностью при наличии поглощения /Р. Кершнер//Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1978. -№5. -С.44-51.

12. Кружков С.Н. О неравенстве Харнака для решений эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка /С.Н. Кружков, Л.П. Купцов//Вестник Моск. ун-та. Сер.1. -1964. -№3. -С.3-13.

13. Кущицкий Я.С. О стабилизации решений граничных задач для модельного параболического уравнения высокого порядка. /Я.С. Кущицкий, С.Д. Эйдельман // ДАН УССР. Сер. А. -1988. -№1. -С.18-21.

14. Кущицкий Я.С., Эйдельман С.Д. Стабилизация решений граничных задач для многомерного уравнения теплопроводности /Я.С. Кущицкий, С.Д. Эйдельман //Укр. мат. журнал. -1989. -т.41, №3. -С.327-334.

15. Кондратьев В.А. Об асимптотических свойствах решений нелинейного уравнения теплопроводности /В.А. Кондратьев // Дифференциальные уравнения. 1998. -т.34, №2. -С.246-255.

16. Ладыженская O.A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / O.A. Ладыженская , В.А. Солонников, H.H. Уральцева-М.: Наука, 1967. -736 с.

17. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач /Ж. Л. Лионе М.: Мир, 1972. -587 с.

18. Матийчук М.И., Задача Коши для параболических систем, коэффициенты которых имеют малую гладкость / М.И. Матийчук, С.Д. Эйдельман //Укр. мат. журнал. -1970. -т.22, №1. -С. 22-36.

19. Михайлов В.П. О граничных значениях решений эллиптических уравнений / В.П. Михайлов // ДАН СССР. -1976. -226, №6. -С.418-423.

20. Михайлов Ю.А. О граничных значениях в Lp, р> 1, решенийлинейного эллиптического уравнения второго порядка / Ю.А. Михайлов //Диф. Уравнения. 1983. -т. 19, №2. -С.318-337.

21. Михайлов В.П. О граничных значениях решении эллиптических уравнении в шаре. / В.П. Михайлов //Мат. сборник. -1976. т.100(142) -С. 5-13.

22. Петрушко И.М. О граничных значениях в Lp, р> 1, решенийэллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей / И.М. Петрушко //Мат. сб. -1983. -т. 120(162), №4. -С.569-588.

23. Порпер Ф.О., Эйдельман С.Д. Двусторонние оценки фундаментальных решений параболических уравнений второго порядка и некоторые их приложения / Ф.О. Порпер, С.Д. Эйдельман //УМН -1984. -т.39, №4. -С.107-156.

24. Сабинина Е.С. О задаче Коши для уравнения нестационарной фильтрации газа с многими пространственными переменными / Е.С. Сабинина //ДАН СССР. -1961. -т.136, №5. -С.1034-1037.

25. Самарский А.А Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений/А.А. Самарский, В.А. Галактионов, С.П. Курдюмов, В.П. Михайлов М.: Наука, 1987. - 480с.

26. Скрыпник И.И. Локальные Lp граничные значения решений линейныхэллиптических уравнений /И.И.Скрыпник// Предпринт АН УССР, ИПММ, Донецк. 1989. -С.3-20.

27. Стейн Н. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функции/Н. Стейн -М.: Мир, 1973. 342 с.

28. Тедеев А.Ф. Оценки скорости стабилизации при t —> оо решения второй смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнениявторого порядка/А.Ф. Тедеев //Дифференциальные уравнения. -1991. — т.27,№10.-С. 1795-1806.

29. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка /А.Ф. Тедеев//Диффенц. уравнения 1989. -т. 25, №3. -С.491-498.

30. Тедеев А.Ф. О мультипликативных неравенствах в областях с некомпактной границей /А.Ф. Тедеев// Укр.мат. журнал. 1992. -т.44, №2, -С.250-268.

31. Тедеев А.Ф. Локальные и глобальные свойства решений задачи Коши-Дирихле для квазилинейного параболического уравнения второго порядка в неограниченной области /А.Ф. Тедеев// Дифференц. уравнения 1996. -т.32, №8, - С. 1071-1078.

32. Тедеев А.Ф., Шелепов В.Ю. Об Ьр граничных значениях решенийэллиптических уравнений в негладких пространственных областях в негладких пространственных областях /А.Ф, Тедеев, В. Ю. Шелепов //Нелинейные граничные задачи. -1992. -вып. 4. -С.92-100.

33. Тедеев Ал.Ф. Локальные свойства решений задачи Коши для квазилинейного параболического уравнения второго порядка/ Ал.Ф. Тедеев //Владикавказский математический журнал. -2008. -т. 10, №2. -С. 46-58.

34. Тедеев Ал.Ф. Некоторые свойства решений для нелинейного параболического уравнения второго порядка/Ал. Ф. Тедеев//Известия ВУЗ-ов Северо-Кавк. региона. -2010. -№3. -С. 12-24.

35. Ушаков В.И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка в нецилиндрической области/В.И Ушаков //Мат.сборник. -1980. -т. 111. -С. 95-115.

36. Тедеев Ал.Ф. Об одном неравенстве для решений эллиптических уравнений и его применении в теории граничных свойств /В.Ю. Шелепов, Ал.Ф. Тедеев//Докл. АН СССР. -1992. -315, №1. -с.40-43.

37. Шелепов В.Ю. О граничных свойствах решений эллиптических уравнений а негладких пространственных областях (L весовойслучай) /В. Ю. Шелепов//Докл. АН. УССР. Сер. А. -1988. №2. -С.22-25.

38. Шелепов В.Ю. О граничных значениях в Lp неотрицательных решенийэллиптических уравнений в негладких пространственных областях /B.Ю. Шелепов //Мат. физика и нелинейная механика. -1990. -вып. 13. C.82-87.

39. Эйдельман С.Д. Параболические системы/С.Д. Эйдельман-М.: Наука, 1964. 444с.

40. Эйдельман С.Д. Исследование матрицы Грина однородной параболической граничной задачи / С.Д. Эйдельман, С.Д. Ивасишек //Тр. Моск. мат. об-ва. -1970. -т.23. -С. 179-234.

41. Alikakos N.D. Gradient estimates for degenerate diffusion equations / N.D. Alikakos, R. Rostamian // Math. Ann. -1982. -V.259. -P. 53-70.

42. Andreucci D. A new approach to initial traces in nonlinear filtration / D. Andreucci, Di.E. Benedetto //Annales Inst. H.Poincare. Anal. Nonlineaire. -1990. -V.7. -P.305-334.

43. Benedetto E.Di. Non-negative solutions of the evolution P-Laplacian. Initial traces and Cauchy Problem when l<p<2. / E.Di., Benedetto, M.A. Herrero //Trans. Amer. Math. Soc. -1989. -V.314. -P. 225-290.

44. Benilan P. The continuous dependence on cp of solutions of ut = Acp{u). / P. Benilan, M.G. Grandall M.G. //Indiana Univ. Math. I. -1981. -V. 30. №2. -P.161-177.

45. Bernis F. Finite speed of propagation and asymptotic rates for some nonlinear higher order parabolic equations with absorption /F. Bernis //Proc. Royal. Soc. of Edinburgh. -1986. -104A. -P.l-19.

46. Brezis H. Uniqueness of solutions of the initial value problem for u, - A<p(u) = 0. /H. Brezis, M.G. Grandall //I. Mat. Pures Appl. -1979. -V. 58, №2. -P.153-163.

47. Burkholder D.L., Gundy R.F. Distribution functions inequalities for the area integral / D.L. Burkholder, R.F. Gundy //Studia Math. -1972. -V. 44, №6. -P. 527-544.

48. Coifman R. Weighted norm inequalities for maximal functions and singular integrals /R. Coifman, C. Fefferman //Studia Math. -1974. -51, №3. -P. 241250.

49. Escobedo M., Large time behaviour for convection — diffusion equations in Rn/M. Escobedo, E. Zuazua // J. Funct. Anal. -1991. -V. 100. -P. 119-161.

50. Gundy R.F. Weighted integral inequalities for the nontangential maximal function Luzin area integral and Walsh Paley series / R.F. Gundy, R.L. Wheeden //Jbid. -1974. -49, №2. -P.107-124.

51. Herrero M.A. The Cauchy problem for u, =A(um) when 0<m<\. / M.A. Herrero, M. Pierre //Trans. Amer. Math. Soc. -1985. -V.291. -P.145-158.

52. Herrero M.A. Asymptotic behavior of the solutions of a strongly nonlinear parabolic problem. / M.A. Herrero, I.L. Vazques //Annales Fac. Sci. Toulouse. -1981. —V.3. -P. 113-127.

53. Hulshof I. Similarity of the porous media equation with sign changes / I. Hulshof //J. Math. Anal. Appl. -1991. -V. 157. -P.75-111.

54. Hulshof J. The dipole solution for the porous medium equation in several space dimensions /J. Hulshof, J.L. Vazquez //Ann. Scuola Norm. Sup. Pusa Ci. Sci. -1993. -V.20, №2. -P. 193-217.

55. Katin S. Large time behaviour of solutions of the porous media equation with absorption /S. Katin, L.A. Peletier //Jsr. J. Math. -1986. -V.55, №2. -P. 129-146.

56. Manfredi I.J. Large time behaviour of solutions to a class of doubly nonlinear parabolic equations / I.J. Manfredi, V. Vespri //Electronic Journal of Differential Equations. -1994. №2. -p. 1-17.115

57. Muckenhoupt В. The equivalence of two conditions for weight functions / B. Muckenhoupt //Studia Math. -1974. -V. 49, №2. P. 101-106.

58. Muckenhoupt B. Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function//Trans. Amer. Math. Soc. -1972. -165. -p.207-226.

59. Shelepov V. Iu. About boundary properties of decisions of the elliptic equations and rough spatial areas/ V. Shelepov //at. Sb. -1987. -133(175) -P. 446-468. '

60. Tedeev Al-dr. F. On an inequality for solutions of elliptic equations and its application in the theory of boundary properties / V. Iu Shelepov, Al-dr. F. Tedeev //Soviet Math. Docl. -1992. V.42, №3. -P. 732-735.

61. Vazquez I.L. New self similar solutions of the porous medium equation and the theory of solutions of changing sign / I.L. Vazquez //Nonlinear Anal. Theory Math. Appl. -1990. -V. 15, №10. -P. 931-942.

62. Vespri V. On the local behaviour of a certain class of doubly non linear parabolic equations / Vespri V. //Manuscripta Math. -1992. -V.75. -P.65-80.

63. Тедеев Ал. Ф. О некоторых свойствах решения нелинейного параболического уравнения второго порядка//Современные методы теории краевых задач. Материалы весенней математической школы «Понтрягинские чтения XXI».-С. 218-219.

64. Тедеев Ал.Ф. Оценки для локального решения дифференциального уравнения фильтрации/Ал. Ф. Тедеев /Ал.Ф. Тедеев // Актуальные проблемы математики и информатики (Труды математического факультета ВГУ).-2010.- №2.-С. 3-16.

65. Тедеев Ал.Ф. О задаче Коши для уравнения нелинейной фильтрации/Ал. Ф. Тедеев // Актуальные проблемы математики и информатики (Труды математичесвого факультета ВГУ).-2010.- №2.-С.

66. Тедеев Ал.Ф. Зависимость решения задачи Коши-Дирихле от начальной функции для уравнения быстрой диффузии в областях типа октанта/Ал. Ф. Тедеев // Актуальные проблемы математики и информатики (Труды математичесвого факультета ВГУ).-2010.- №2.-С.