О гладкости решений эллиптических и параболических уравнений вблизи нерегулярной граничной точки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.

§1.1 Лемма о внешней устойчивости

§ 1.2 Теорема об ограниченности производных

§ 1.3 Геометрические.теоремы.об.ограниченности. производных.

ГЛАВА П. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

§ 2.1 Леша о внешней устойчивости.

§ 2.2 Теорема об ограниченности производных

§ 2.3 Геометрические.теоремы об.ограниченности. производных

ГЛАВА Ш. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.

§ 3.1 Оценки фундаментального.решения.и.интегральное представление

§ 3.2 Оценки типа Бернштейна

§ 3.3 Оценка вблизи иррегулярной точки

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию поведения решений эллиптических и параболических уравнений видов:

П г)2(Л 11 r)lJ 2

2)

Lj J ' вблизи граничной точки.

Хорошо известно, что если граница области имеет гладкость заданного порядка, то решение Щ (х) задачи Дирихле f Ни - fW (3) с достаточно гладкими коэффициентами CL[j{X) , 6[(Х) t С(X) , /(X) и граничной функцией имеет гладкость того же порядка, что и ее граница, вплоть до границы. Это является следствием оценок Шаудера (см.напр.[8 , 22 , 33, 41, 64 , 65]. Причем гладкость решения, вообще говоря, неулучшаема.

Иначе обстоит дело при произвольном строении границы. В этом случае существует тесная связь между емкостной характеристикой множеств дополнения к области и поведением решения задачи Дирихле вблизи исследуемой граничной точки.

Точка Х0 границы ds2 называется регулярной, если,какова бы не была непрерывная на функция if , обобщенное по Винеру решение (см. 28 ) lly(X) задачи (3) удовлетворяет условию: т Щ (х) = 4>(х0)

Х-+Хо xeS2.

Критерий регулярности граничной точки для уравнения Лапласа впервые был получен в работах Винера[9]и Келдыша [21]. Критерий заключается в расходимости ряда т(п-2)

X 2 Сар Нт (4) т-о п~г где Нт - множество дополнений к области £2 , лежащей в шаре радиуса 2 с центром в X0€ibsi, cojd^Нт - Винеровская емкость множества Нт (точное определение см.ниже),

Для общих уравнений вида (I) критерий регулярности был получен в работах[3 , 19 , 25 , 36 , 37 , 38 , 49 , 50 , 52 , 56 , 66] , для нелинейных уравнений в[14 , 39 , 53J, а для вырождающихся уравнений в[1 , 2 ,11 , 17 , 27 , 42 , 52].

Исследовав скорость расходимости ряда (4), можно дать оценку модуля непрерывности решения вблизи граничной точки [28 , 29 37 , 38 , 50 , 53 , 55] . Из этих результатов, в частности следует, что чем сильнее скорость расходимости ряда (4) тем глаже решение задачи Дирихле вблизи граничной точки. Здесь следует отметить также исследования Урыссона[бх], которые в терминах расходимости интегралов от уравнения симметрической границы дают простые легко проверяемые геометрические критерии регулярности граничной точки.

Однако, решение гладко не только в случае расходимости ряда (4). Рассмотрим задачу в 5?\Е , ujdS2=4) , где Е компакт нулевой емкости, а у непрерывная на функция.

Известно, что в этом случае решение U(x) , ограниченное в £2 , можно доопределить на множестве Е среди функций 0)(х) , совпадающих с Uix) на 52\Е так, что уравнение of со=0 удовлетворяется в £2 классически (см.[23 ,10 ]). Т.е. решение уравнения (I) в окрестности границы, лежащей строго внутри £2 и имеющей нулевую Винеровскуго емкость, ведет себя как бесконечно дифференцируемая и даже аналитическая функция. Подставив в этом случае все емкости дополнения формально в ряд (4), получаем, что ряд Винера-Келдыша тождественно равен нулю, не говоря уже о его расходимости.

Таким образом, остается некоторый зазор в исследовании поведения решения вблизи граничной точки, связанный со случаем сходимости ряда (4).

Настоящая диссертационная работа посвящена подробному исследованию этого случая для уравнений эллиптического и параболического типов. Близкими по тематике вопросами занимались в [45 , 15 , 16 3 . Так как в случае сходимости ряда (4) решение задачи Дирихле для уравнения (I), вообще говоря, разрывно, то появление гладкости у решения естественно ожидать не во всей окрестности исследуемой граничной точки Х0 , а в некоторой подокрестности

Хо I f

Qs° (1 S2. ( С £2) . А из результатов данной работы следует, что несмотря на то, что решение, вообще говоря, разрывно в граничной точке, его можно доопределить в точке разрыва так, что полученная функция будет гладкой и непрерывной в указанной здесь подобласти S21 , зависящей от исходной области

2 и которая возможно содержит нерегулярную граничную точку как предельную.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и

1. АББАСОВ А.Т. О поведении на границе решений вырождающегося эллиптического уравнения 2-го порядка с разрывными коэффициентами. ДУ, 1970, т.6, № 6, с.1073-1085.

2. АВИЛОВ Ю.А. О поведении на границе решений уравнений с частными производными 2-го порядка с неотрицательной характеристической формой. Канд.диссерт., Баку, 1983, 109с.

3. АЛХУТОВ Ю.А. Некоторые качественные вопросы теории эллиптических уравнений второго порядка. Канд.диссерт., Баку,1982, 88с.

4. АЛХУТОВ Ю.А. О регулярности граничных точек относительно задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка. Матем.заметки, 1981, т.30, № 3, с.333-342.

5. АРОНСОН. (Aranson D.G) Non-negative solutions of linear parabolic equations, Ann.Scnola Horm.Sup.Pisa 196$),V22,no 3,p#607

6. APOHCOH (Aronson D.G.) Local behavior of solutions of quasi-linear parabolic equations, Arch.Rach.Mech.Anal.1967, V 25, p. 81-122.

7. БЕРНШТЕЙН C.H. Ограничение модулей последовательных производных решений уравнений параболического типа. ДАН СССР, 1938, т.18, с.385-388.

8. БЕРС Л., ДЖОН Ф., ШЕХТЕР М. Уравнения с частными производными. М., Мир, 1966, 361с.

9. ВИНЕР (VIEWER Ж) The Dirichlet problem,J.Math.and Phys. 1924, 3, p.127-146.

10. ВЛАДИМИРОВ B.C. Уравнения математической физики. M., Наука, 1971, 512с.

11. ДИЛЪМУРАДОВ Н. Поведение решений вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка в ограниченных и неограниченных областях. Канд.диссерт., Баку, 1982, 98с.

12. ЭВАНС, ГАРИПИ (EVAUS L.,GARIEPPY R.) The Viener's criterion for the heat equation,Mach.and Anal.1982,Y 78,N4, p 293-314.

13. ЖЕВРЕЙ (GEVREY M.) Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique,J.de Math,1913, V 10,no 6, p 105-148.

14. ЗИМЕР, ГАРИПИ (ZIEMER U.,GARIEPY R.) A regularity condition at the boundary for solutions of quasilinear elliptic equations ,Archive for Rational Mech.and Anal. 1977, V67,no 1,p25-39

15. ИБРАГИМОВ А.И. О некоторых качественных свойствах решений уравнении параболического типа П порядка с непрерывными коэффициентами. ДУ, 1982, т.18, № 2, с.306.

16. ИБРАГИМОВ А.И. О некоторых качественных свойствах решений эллиптических уравнений с непрерывными коэффициентами. Матем.сб., 1983, т.121, (163): 4(8), с.454-468.

17. ИБРАГИМОВ А.И. О регулярности граничных точек для решения квазилинейного эллиптического уравнения вырождающегося на границе области. ДУ, 1976, т.12, В 10, с.1815-1823.

18. ИБРАГИМОВ А.И., Н0ВРУ30В А.А. Критерий регулярности граничной точки для квазилинейных параболических уравнений.ДАН СССР, 1979, т.244, № I, с.29-32.

19. ИБРАГИМОВ А.И. О поведении решений в окрестности граничной точки и теоремы об устранимых множествах для эллиптических уравнений второго порядка с непрерывными коэффициентами. ДАН СССР, 1980, т.250, № I, с.25-28.

20. ИЛЬИН В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений. УМН, I960, т.15, № 2,с.97-154.

21. КЕЛДЫШ М.В. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле. УМН, 1941, т.8.

22. КУРАНТ Р. Уравнения с частными производными. М., Мир, 1964, 830с.

23. КАРЛЕСОН Л. Избранные проблемы теории исключительных множеств. М., Мир, 1971, 125с.

24. КАЙЗЕР В., МИЛЛЕР Б. Устранимые множества для уравнения теплопроводности. Вестник МГУ, 1973, сер.мех-матем., № 5, с.26-32.

25. КРЫЛОВ Н.В. О первой краевой задаче для эллиптических уравнений. ДУ, 1967, т.32, № 2, с.315-325.

26. КОНДРАТЬЕВ В.А. Краевые задачи для параболических уравнений в замкнутых областях. Тр.московск.матем. общ-ва, 1966,т.15, с.400-451.

27. КРУПСКАЯ Д.А. О модуле непрерывности граничных точек длявырождающихся эллиптических уравнений второго порядка. ДУ, 1977, т.13, В 4, с.654-667.

28. ЛАНДИС Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М., Наука, 1971, 287с.

29. ЛАНДИС Е.М. емкость и ее приложения к исследованию решений эллиптического уравнения 2-го порядка с разрывными коэффициентами. Матем.сб., 1968, т.76, № 2, с.186-213.

30. ЛАНДИС Е.М. Необходимое и достаточное условие регулярности граничной точки для задачи Дирихле уравнения теплопроводности. ДАН СССР, 1969, т.185, № 3, с.517-520.

31. ЛАНКОНЕЛЛИ (LANCOHELLY E.)Sul probleme di Dirichlet per le-quazione del colore,Ann.Math.Pure "ed Appl. , ser. 1 973,v 97, no 4, p.83-114.

32. ЛАНКОНЕЛЛИ (LANCOEELLY e. ) Sul problema di Dirichlet per I'equazione paraboliche del secondro ordine a coefficienti discontinui, Ann.Mat.pure Appl.1975(4), 106,p.11.

33. ЛАДЫЖЕНСКАЯ O.A., УРАЛЬЦЕВА H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., Наука, 1979, 576с.

34. ЛАДЫЖЕНСКАЯ О.А., С0Л0ННИК0В В.А., УРАЛЬЦЕВА Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., Наука, 1967, 736с.

35. ЛАНДКОФ Н.С. Основы современной теории потенциала. М., Наука, 1966, 516с.

36. ЛИТТМАН, ВАЙНБЕРГЕР, СТАШАКЬЯ (ЫТТШШ W,WEINBERGER H.F., STAMPACIA G,)Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients,Univ.of Minesota,December 1962.Русский перевод: сб.переводов "Математика", 1965, 9:2).

37. МАЗЬЯ В.Г. О модуле непрерывности решения задачи Дирихле вблизи нерегулярной границы, Сб."Проблемы математического анализа", изд-во ЛГУ, 1966, с.45-58.

38. МАЗЬЯ В.Г. О поведении вблизи границы решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме. Матем.заметки, 1967, т.2, № 2, с.209-220.

39. МАЗЬЯ В.Г. О непрерывности в граничной точке решения квазилинейных эллиптических уравнений. Вестник ЛГУ, 1970, т.25, с.42-55.

40. МИХАЙЛОВ В.П. Задача Дирихле для параболического уравнения. I, Матем.сб., 1963, 61(103), с.40-64.

41. МИРАНДА К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М., ИЛ, 1957, 256с.

42. МАМЕДОВ И.Т. О поведении вблизи границы решений вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка. Матем. заметки. 1981, т.30, $ 3, с.343-352.

43. МАМЕДОВ И.Т. О регулярности граничных точек для линейных уравнений параболического типа. Матем.заметки, 1976, т.20, № 5, с.717-723.

44. МАМЕДОВ И.Т. О поведении решений вырождающихся параболических уравнений второго порядка вблизи граничной точки. ДУ, 1983, т.19, № 3, с.437-445.

45. МИХЕЕВА Е.А. О поведении решения эллиптического уравнения второго порядка в окрестности нерегулярной граничной точки. Матем.сб., 1969, 80, (122):4 (12), с.503-512.

46. МАМЕДОВ Ф.И. Об оценке производных решений эллиптическихи параболических уравнений вблизи границы. Маер. У1 научн. конф. аспир.вузов Азерб., сек. тех., 1983, с.194-197.

47. МАМЕДОВ Ф.И. О гладкости решений эллиптических и параболических уравнений вблизи границы. Матер. У1 научн.конф. аспир.вузов Азерб., сек.тех., 1983, с.197-200.

48. МАМЕДОВ Ф.И. О поведении решения уравнения теплопроводности вблизи иррегулярной граничной точки. Рукопись депонир. в АзНИИНТИ II апр.1983, № 60 АзД83.

49. Н0ВРУ30В А.А. О регулярности граничных точек для эллиптического уравнения с непрерывными коэффициентами. Вестник МГУ, 1971, сер.мех-мат., т.16, $6, с.18-25.

50. Н0ВРУ30В А.А. О модуле непрерывности решения задачи Дирихле в регулярной граничной точке. Матем.заметки, 1972,т.12, № I, с.67-72.

51. Н0ВРУ30В А.А. О некоторых критериях регулярности граничных точек для линейных и квазилинейных параболических уравнений. ДАН СССР, 1973, т.209, № 4, с.785-787.

52. Н0ВРУ30В А.А. О задаче Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами второго порядка, ДУ, 1983, т.19, № 10, с.1750-1759.

53. НОВРУЗОВ А. А. Некоторые вопросы качественной теории уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Докт.диссерт., Баку, 1973, с.238.

54. НОВРУЗОВ А.А. О модуле непрерывности решения задачи Диырихле для параболического уравнения 2-го порядка-Матем.заметки, 1976, т.19, № 4, с.651-658.

55. НОВРУЗОВ А.А. О суб- и суперрешениях линейного эллиптического оператора с полярными особенностями порядка ДАН Азерб.ССР, 1970, т.26, № 10, с.21-25.

56. ОЛЕЙНИК О.А. О свойствах решений некоторых краевых задач для уравнения эллиптического типа. Матем.сб., 1952,т.30 (72), № 3, с.695-707.

57. ПЕТРОВСКИЙ И.Г.(PETROVSCY I.G.)Zur ersten Randwertaufgabe clear warmelteinungsgleichung, Gompos.Math.1935, V1,p 383-413.

58. ПЕТРОВСКИЙ И.Г. Лекции пб уравнениях с частными производными. М., ФМ, 1961, 303с.

59. ПОЛИА Г., СЕГО Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М., Физматгиз, 1962, 336с.

60. ТИХОНОВ А.Н. Об уравнениях теплопроводности для нескольких переменных. Бюллетень МГУ, 1937, секция А, I, № 9

61. УРЫСОН П.С. (URYSSON Р.С.) Zur ersten Randwerttaufgabe der Potentialtheorie Ein.Fall.der Unlosbarkeit,Math.Z.1925,Bd 23,Hft 1-2.

62. ФЕДОРЮК M.B. Асимптотика функции Грина при ,X для корректных по Петровскому уравнении с постоянными коэффициентами и классы корректности решения задачи Коши. Матем.сб., 1963, т.62(104), №4, с.397-468.

63. ФРИДМАН А. Дифференциальные уравнения с частными производными параболического типа, М., Мир, 1968, 427с.

64. ШАУДЕР(SHAUDER I) Numerische АЪschatzungen in elliptischen linearan Differentialgleichungen,Studia.Math. 1937,V 5, p.34-42.

65. ШАУДЕР (SHAUDER I.) Uber lineare elliptische Differential-gleichungen zweiter Ordnung, Math.Z.1934, V.38, N 2,p.257-282.

66. ЭРВЕ (HERVE R.M.) Rechech.es Axiomatiques sur lo theorie des functions surharmoniques et du potential, Ann.Inst. Fourier 19б2,V 12,p.415-571.

67. ШВАРЦ Л. Анализ, M., Мир, 1971, т.1, 824с.