Краевые задачи для нестационарных систем в областях с негладкой границей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

^

/

И- SS- f/tfP-d,

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

лгттт^ клч пс<? j-ДК ÜI I .УОи

НГУЕН МАНЬ ХУНГ

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ

СИСТЕМ В ОБЛАСТЯХ С НЕГЛАДКОЙ ГРАНИЦЕЙ

01.01.02 Дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Президиум ^

(решение от ' // ig N 5 3 рЩ/^Р-

ый консультант:

• п рисудйл учзную степень /, Г\ 11р |-:т....................................

1 Начальник управления БАК Г

■р тризико-математических наук, профессор В. А. Кондратьев

"ОССИИ

Москва - 1999

СОДЕРЖАНИЕ

Введение....................................................... 5

Глава I. Первая начально-краевая задача для сильно гиперболических систем в областях с негладкой границей. 15

§1.1. Постановка первой начально-краевой задачи......... 15

§1.2. Однозначная разрешимость первой начально-краевой задачи в ограниченных областях....................... 18

§1.3. Гладкость обобщенного решения по временной переменной ..................................................... 24

§1.4. Гладкость обобщенного решения в областях с коническими точками на границе.............................. 29

§1.5. Асимптотика обобщенного решения вблизи конической точки................................................... 37

§1.6. Некоторые частные случаи........................... 51

Глава II. Первая начально-краевая задача для сильно параболических систем в негладких областях.......... 65

§2.1. Разрешимость первой начально-краевой задачи...... 65

§2.2. Гладкость обобщенного решения по времени......... 71

§2.3. Оценки производных обобщенного решения в областях с коническими точками на границе.........................76

§2.4. Асимптотика обобщенного решения в окрестности конической точки........................................ 81

Глава III. Первая начально-краевая задача для уравнения Шредингера в негладких областях....................91

§3.1. Разрешимость первой начально-краевой задачи..... 91

§3.2. Оценки производных обобщенного решения по времен-

о о

нои переменной........................................ 91

§3.3. Гладкость обобщенного решения в областях с коническими точками на границе............................ 103

§3.4. Асимптотика обобщенного решения в окрестности конической точки...................................... 109

Глава IV. Вторая начально-краевая задача для нестационарных систем в областях с коническими точками на границе.................................................. 117

§4.1. Общие сведения о второй начально-краевой задаче для нестационарных систем в негладких областях........ 117

§4.2. Существование и единственность обобщенного решения. 119

§4.3. Оценки производных обобщенного решения по временной переменной....................................... 133

§4.4. Вторая начально-краевая задача для нестационарных систем в областях с коническими точками.............. 135

Глава V. Краевые задачи для уравнений математической физики в ограниченных областях с коническими точками на границе....................................... 163

§5.1. Вторая начально-краевая задача для нестационарных уравнений второго порядка в ограниченных областях с коническами точками на границе.................... 163

§5.2. Краевые задачи для нестационарных систем в линейной теории упругости................................. 181

Литература................................................. 188

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время хорошо развита теория краевых задач для эллиптических уравнений и систем. Это относится к задачам как в гладких областях, так и в областях, граница которых имеет особенности. Общие эллиптические задачи в областях с конечным числом конических точек на границе подробно изучены В. А. Кондратьевым в работе [13], где были доказаны теоремы Нетера и найдена асимптотика решений в окрестности особых точек. Такие результаты для эллиптических систем были получены в работах [43,45,48] В. Г. Мазьи и Б.А.Пламеневского. В книге [66] С. А. Назаров и Б. А. Пламеневский изучили общие краевые задачи для эллиптических систем на многообразиях с особенностями. Обзор результатов такого типа был дан в работе [22] В. А. Кондратьева и О. А. Олейник.

Теория краевых задач для параболических и гиперболических уравнений и систем в гладких областях находится в завершенном состоянии. Один из центральных результатов этой теории состоит в том, что если коэффициенты уравнения и граничных операторов, их правые части, а также граница области являются достаточно гладкими, то решение задачи - гладкая функция [1,2,87,90,102]. Значительно меньше результатов имеется в случае, когда область не является гладкой. Краевые задачи для нестационарных уравнений и систем в областях с негладкой границей изучались во многих работах, при этом применялись методы исследования, близкие к тем, которые использовались при изучении эллиптических задач в негладких областях. Кроме того, в нестационарных задачах применяются результаты эллиптиче-

ской теории. Большинство из этих работ посвящено нестационарным уравнениям второго порядка. В работе [6] рассматривалась смешанная задача для параболического уравнения второго порядка в негладкой области. Получена асимптотика решения в окрестности угловой точки границы. Смешанная задача для гиперболических уравнений второго порядка в областях с кусочно гладкой границей рассматривается в работах [63], [57], где доказана теорема о гладкости обобщенного решения и найден главный член асимптотического представления. В работе [99] изучалась корректность задачи с наклонной производной для волнового уравнения в области типа двугранного угла. Для решения этой задачи получена асимптотика вблизи конических точек [3]. Б. А. Пламеневский [56] изучал волновое уравнение в цилиндрической области с ребрами. Установлено существование и единственность решения в соболевских пространствах с весовой нормой, а также его асимптотическое разложение в окрестности ребра. В работе [27] О. А. Ладыженская изучала сильно параболические и гиперболические системы в ограниченных областях. Доказана теорема существования и единственности обобщенного решения первой начально-краевой задачи для таких систем без каких-либо ограничений на границу области.

Диссертация посвящена изучению краевых задач для нестационарных систем в областях, граница которых содержит нерегулярные точки. В числе рассматриваемых вопросов - разрешимость, единственность и дифференцируемость по временной переменной решения в ограниченных областях. Также изучаются гладкость решения и его асимптотическое поведение в окрестности конических точек границы.

При изучении указанных вопросов использованы метод Галеркина, энергетический метод, а также методы и подходы, развивавшиеся в теории эллиптических краевых задач в нерегулярных областях.

Пусть О - область в Н" с границей <90. Введем необходимые обозначения: = 0х [а,6], = <90 х [а,6], 0о,& = Го;& = Г&. Всюду в дальнейшем функции - это комплекснозначные вектор-функции и(х^) = (мх(ж,/), ..., ж = (#1, ..., 6 О,

Будут использованы следующие функциональные пространства:

Н1(£1) - пространство функций и(х), имеющих обобщенные производные Оащ из £2(^)5 М < I, 1 < г < 5, такие, что

I » в

II||2 / ^ I |2 ,, __

1ги11я'т) = /о ¡^ <

|а|=0 ¿=1

где Оа = д^/дх®1-...дх%п, \а\ — ... + ага, йх — ¿х\..Яхп.

о

Н1({1) - подпространство Н1{О), плотным множеством в кото-

0 • •

ром являются функции из С°°(0).

Н1в(О) - пространство функций с нормой:

1/2

!«!1 я'(й)

V /' Гг^+И)!^,,!2^

Ы=0 ¿=1

где г = + ... + ж2)1'2.

н1'к{ Ог) - пространство функций г/(ж, таких, что £><4 £ Ь2(ПТ), £ 12{ПТ), Н < /, 1 < i < 1 < 3 < к, где

/ и

® л А/ л

|а|=0 т ,7=1 " т

Н1,к(£1т) ~ подпространство Н1,к(£1т)-> плотным множеством в котором являются бесконечно гладкие функции, равные нулю вблизи Гт-

Н^Пт) ~ пространство функций с нормой:

1/2

Е \ОыЩ^<1х<М

Нд(Пт) ~ пространство функций, снабженное нормой

Щнипт) -

[

^ Л Шт

ХР+'\<х\+1-1)\ п«

\Ваир\гйхШ

|а 1+5=0

1/2

Н1рк(£1т) ~~ пространство функций, в котором норма определена

следующим ооразом:

¡п \upfdxdt

Уд(Пт) ~ пространство функций с нормой:

= ± [ г2^+к+^\Орщк\2с1хМ+ [ \u\4xdt.

к+\р\=1тт Шт

Рассмотрим матричный дифференциальный оператор

га ш

Е + Е ар(х,Г)Вр + а(х,Г),

\рШЫ \рЫ

где ар9,ар,а - матрицы з х з, аР9 = (—1)Н+Ы Элементы

этих матриц будем считать ограниченными комплекснозначными

функциями в Оу.

Предполагается, что для любого действительного п-мерного

вектора £ ф 0, и для любого комплексного 5-мерного вектора

г] ф 0, справедливо неравенство:

Е мм)ет>о

(1)

при всех (ж, £ От

Диссертация состоит из введения и пяти глав. Глава I посвящена первой начально-краевой задаче для сильно гиперболических систем в областях с негладкой границей. Такая задача состоит в нахождении решения системы уравнений

(-1)т_1Дж, г, В)и - ии = /, (ж, /) 6 От, (2)

такого, что

и

и = щ = 0 при I — 0, х ь О (3)

^ -0, ] = 0,..., т — 1, (4)

Гт

где г/ - направление внешней нормали к О.

В качестве решения задачи (2) — (4) понимается обобщенное решение. Обобщенным решением задачи (1) — (3) называется функ-о

ция и(х, £) £ Нт,1(0,т)-, равная нулю при £ = 0 и удовлетворяющая тождеству

Шт

т , , то

£ (-1)|р|ам1)%1>77 + арВрщ + ащ + щщ(1х(Н = frjdxdt

dxdt

о

для любой 77(ж,г) е ДтД(От), г](х,Т) = 0.

Глава I состоит из шести параграфов. В §1.2 доказывается теорема существования и единственности обобщенного решения первой начально-краевой задачи для нестационарных систем методом Галеркина. В работе [30] О. А. Ладыженская применяла этот метод при гп — 1. В работе [27], где она рассматривала случай ш > 1, был применен другой метод, основанный на применении

теории дифференциальных уравнений для функций с значениями в гильбертовом пространстве. Этот метод требует значительно более сильных ограничений на гладкость коэффициентов.

В §1.3 исследуется гладкость по временной переменной обобщенного решения в ограниченных областях. Доказано, что гладкость обобщенного решения по времени зависит от правой части и коэффициентов системы и не зависит от структуры области.

В §1.4 и последующих параграфах предполагается, что коэффициенты оператора Ь - бесконечно дифференцируемые функции в От- Граница области О, предполагается бесконечно гладкой поверхностью вне начала координат, а в малой окрестности начала координат она является конической поверхностью, т.е. существует такое 6 > 0, что {ж : х £ О, \х\ < 6} = {ж : х £ К, \х\ < 6}, где К - конус в Ип, т.е. К = {ж : х/\х\ £ (?}, где С - гладкая область на единичной сфере 5"-1. Такая область называется областью с конической точкой на границе. Доказаны теоремы о повышении гладкости обобщенного решения в областях с коническими точками на границе.

В §§1.5, 1.6 получены формулы для асимптотического разложения обобщенного решения задачи (2)-(4) в окрестности конической точки.

В главе II изучается первая начально-краевая задача для сильно параболических систем

(-1 Г-1 Д ж, В)и = /, (ж, Г) £ пт. (5)

Назовем обобщенным решением первой начально-краевой зао

дачи для системы (5) функцию принадлежащую Нт>°(0,т)

и удовлетворяющую тождеству

т _ т

J2 (-1 yplapqDquDPr] + J2 apDpurj+aur}

\p\M\=i' bl=i

(-1)""1 к

+ / urüdxdt = / frjdxdt

JQt J

dxdt

I fiT JüT

0 __

при V?7 G ii'"'1 (0^), равной нулю при t — Т.

Одним из результатов этой главы является доказательство существования и принадлежности энергетическому пространству производной обобщенного решения по времени без каких-либо ограничений на структуру области.

Глава II содержит четыре параграфа. В §2.1 доказывается однозначная разрешимость первой начально-краевой задачи для сильно параболических систем в произвольных ограниченных областях. В §2.2 рассматривается гладкость обобщенного решения по временной переменной. В §2.3 установлены оценки производных обобщенного решения в случае, когда область содержит конические точки на границе. В §2.4 получен асимптотический ряд для обобщенного решения в окрестности конических точек границы.

В главе III рассматривается первая начально-краевая задача для системы

i{-l)m~lL{x, t, D)u -щ = /, (ж, t) € 0Т, (б)

которая содержит как частный случай уравнение Шредингера.

Обобщенное решение и(х, г) первой начально-краевой задачи

о

для системы (б) определяется как элемент Нгп'°(От), удовлетво-

ряющий тождеству

г L (-1 Г"1

J\iT ~

т

bl,kl=i * bl=i

dxdt

+ / ur}tdxdt — f frjdxdt J fif J

0

при Vi? G Ят,1(Пг), rj(x,T) = 0.

В главе III рассматривается первая начально-краевая задача для уравнения Шредингера в негладких областях. Изучение этого вопроса базируется на основе анализа эллиптической задачи, которая получается при почти всех значениях времени после переноса производной по i в правую часть уравнения. В §§3.1, 3.2 рассматривается первая начально-краевая задача для системы (6) в ограниченных областях. В §3.3, 4.4 исследуется такая задача в областях с коническими точками на границе. Установлены оценки производных обобщенного решения и его асимптотическое разложение в окрестности конических точек границы.

Глава IV посвящена второй начально-краевой задаче для нестационарных систем.

Обобщенным решением второй начально-краевой задачи для системы (2) назовем функцию и{х. t). принадлежащую Нт [ (Ur). равную нулю при i = 0 и удовлетворяющую тождеству

(-1Г"1 £

+ I щ7n¡dxdt = / ¿'пЛ.хсИ

для любой Г]{х,1) е Ят,1(Пт), ц{х,Т) = 0.

Аналогично определим обобщенное решение второй начально-краевой задачи для систем (5) и (6).

га

Л К

Е (-1 yPlapqDquDPr) + Y. арВРЩ + аЩ ЬЬкИ bl=i

dxdt

Эта глава состоит из четырех параграфов. В §§4.1 приведены общие сведения о второй начально-краевой задаче для нестационарных систем в ограниченных областях с липшицевой границей. В §4.2, 4.3 изложены вопросы о существовании и единственности обобщенного решения. Доказано, что если коэффициенты систем и их правые части являются гладкими по времени, то обобщенное решение также гладкое по времени. В §4.4 вторая начально-краевая задача для нестационарных систем исследована в областях с коническими точками на границе. Получены теоремы о гладкости обобщенного решения, а также теоремы об асимптотике обобщенного решения в окрестности конических точек. Эти асимптотические формулы содержат линейные комбинации специальных решений однородной задачи в конусе, которые вполне определяются поведением границы области и коэффициентов исходной задачи вблизи конических точек границы.

Общие результаты предыдущих глав применяются к некоторым конкретным задачам. В I лаве V рассматриваются краевые задачи для уравнений математической физики в ограниченных областях с коническими точками на границе. Глава V содержит два параграфа. В §5.1 рассмотрена вторая начально-краевая задача для нестационарых уравнений второго порядка. В случае двумерной плоскости, асимптотику обобщенного решения можно построить явным образом в окрестности конической точки. Там же установлено, что если граница в некоторой окрестности конической точки совпадает с прямолинейными отрезками, пересекающимися под углом /3, то гладкость обобщенного решения зависит от величины ¡3.

В параграфе §5.2 рассмотрены краевые задачи для нестацио-

нарных систем линейной теории упругости в негладких областях. Из результатов предыдущих глав получаются теоремы существования и единственности обобщенного решения, а также его асимптотические формулы в окрестности конических точек границы. В частности, эти результаты применимы к системе Ламэ.

Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова по уравнениям с частными производными под руководством профессора В. А. Кондратьева

и профессора Е. М. Ландиса , под руководством академика РАН О. А. Олейник, на научно-исследовательском семинаре факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством член-корреспондента РАН Е. И. Моисеева, на семинаре факультета прикладной математики МАИ им. С. Орджоникидзе по качественной теории дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений под руководством профессора Г. А. Каменского и профессора А. Л. Скубачевского и на семинаре лаборатории Математического института им. В. А. Стеклова РАН по уравнениям с частными производными под руководством профессора А. К. Гущина, профессора A.A. Дезина и профессора В. П. Михайлова.

По теме диссертации опубликованы работы [67-77, 105].

В заключение автор приносит глубокую благодарность своему Учителю, доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Александровичу Кондратьеву за поддержку и многочисленные ценные указания, без которых настоящая работа не могла бы быть выполнена.

Глава I

ПЕРВАЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИЛЬНО ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ОБЛАСТЯХ С НЕГЛАДКОЙ ГРАНИЦЕЙ

;1Л. Постановка первой начально-краевой задачи

Рассмотрим в цилиндре Пу следующую задачу:

и\г=о = О, д^и

дуз

о = О, = и, ] = и,..., т — 1.

(1.1.1) (1.1.2) (1.1.3)

Гт

где V - направление внешней нормали к О.

Обобщенным решением задачи (1.1.1)—(1.1.3) называется функ-

о

ция и(х^) 6 Нт>\ПТ), равная нулю при £ = 0 и удовлетворяющая тождеству

(—1)т~1 [ JQт

(-1 у^араПЧОРт] + У2арОрщ + ащ Ы,к|=1 * * Ы=1

{- I щп^хсИ = I /г}с1хсИ

•У От ^ От '

+

пт о

(1х<Н

(1.1.4)

для любой Г](х,1) Е Ято,1(Ог), т/(ж, Г) — О

Обозначим через В (и, у) билинейную форму:

тп

В(щу)= £ {-1)^ ] а^иШдх. (1.1.5)

Если вынолняется неравенство (1) и условие: ап непрерывны в \1т при \р\ = = ш, то имеет место следующее утверждение [90].

Лемма 1.1.1. Существуют постоянные /^о, Ао, (/¿о > 0, Ло > 0);

Л

такие, ч