О решении краевой задачи для параболических систем на плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

введение.

глава i. о разрешимости в пространстве гёльдера С1+а,1т(Й)

0 л х ' второй краевой задачи в области с негладкой "боковой" границей.

§1.0 некоторых свойствах фундаментальной матрицы решений.

§2. Оценки для фундаментальной матрицы решений в бесконечной по времени области.

§3. Оценки старших производных интегрального слагаемого W.

§4. Потенциал простого слоя.

§5. Оценки пространственной производной второго порядка потенциала простого слоя.

§6. Интегральный оператор U.

1 1+а /—\

§7. Разрешимость второй краевой задачи в классе С+а' 2 (р).

глава ii. оценки решения второй краевой задачи в классе

2+а I\

С2+а~(о). о я 4 '

§8. Специальный потенциал Т(р.

§9. Гладкость плоского параболического потенциала.

§10. Система граничных интегральных уравнений.

§11. Разрешимость второй краевой задачи в классе Сг+а'~Т (q).Ill

Настоящая диссертация посвящена исследованию гладкости решения второй краевой задачи для линейных параболических систем с одной "пространственной" переменной в области (неограниченной как по "временной", так и по "пространственной", переменной) с негладкой "боковой" границей.

На плоскости переменных х и t рассматривается однородная линейная параболическая по И.Г. Петровскому [23] система уравнений:

1изЕ— -А(х,/)^-г + В(х,0 — + С(х,$)и = 0, (х,ОеК2+, (0.1) с% ¿к ск где := Я х(0,+<х>), Е- единичная матрица размерности ЫхЫ {ы > 1), А(х,/) = В(х,0 = (Ьц{х4^, С(х,0 = (сц(х,())1м - матрицы размерности N х N, элементы которых есть функции, определенные в .

К настоящему времени достаточно полно разработана теория параболических потенциалов (порожденных фундаментальным решением уравнения) для одного уравнения, позволяющая получать конструктивные решения краевых задач (см. Жевре [11], Камынин [14-20], Бадерко [2-8], Черепова [41, 42], а также библиографию, приведенную в [5]). Эта теория позволяет, в частности, решать задачи в нецилиндрических областях с негладкими "боковыми" границами. Заметим, кроме того, что метод потенциалов составляет теоретическую основу численного исследования краевых задач методами интегральных уравнений (см., например, Дотре, Лионе [10]), чем объясняется все более растущий в последние годы интерес к этому методу.

В отличие от одного уравнения, метод потенциалов (порожденных фундаментальным решением уравнения) для параболических систем только начинает развиваться. Первыми работами в этом направлении были работы Пискорека [24-26], где доказана формула "скачка" для производной (которая в этой работе называется "трансверсальной") векторного потенциала простого слоя, обобщающая известную формулу "скачка" для конормальной производной скалярного потенциала простого слоя, а также решена соответствующая краевая задача для системы (в цилиндрической области), обобщающая вторую краевую задачу для одного уравнения. В работах Тверитинова [34-39] была исследована гладкость векторного потенциала простого слоя для систем с одной "пространственной" переменной (я=1) и установлена однозначная разрешимость в анизотропном пространстве

Гельдера (определения анизотропных пространств Гельдера см. ниже) краевых задач для системы (0.1) в областях на плоскости с негладкими "боковыми" границами (удовлетворяющими условию Жевре, см. ниже (0.2)). Затем в работе Зейнеддин [12] была получена разрешимость для такой системы второй краевой задачи в более широких классах Дини при минимальном требовании на гладкость "боковой" кривой (условии Дини-Гельдера) Во всех этих работах область предполагалась ограниченной по "временной" переменной t.

Для случая одного уравнения, в работах Бадерко [7] и Шевелевой [42] были рассмотрены краевые задачи в неограниченных по "временной" переменной t областях и установлена принадлежность их решений

1+а .. пространству Гельдера Ся+"'2 (о) функций, экспоненциально растущих при г->+оо. Череповой [41, 42] были получены оценки для старших производных решений (а именно, для д и ) краевых задач, характеризующие возможный дх1дх] рост этих производных при приближении к негладкой по t "боковой"

1+а границе области класса С+"'2 . Бадерко [8] показала, что если повысить условия на гладкость функций из граничного условия, то решение задачи с косой производной уже принадлежит пространству С2+а^2~{о), т.е., в

О Л х ' частности, его старшие производные непрерывны в замыкании области, хотя боковая" граница по-прежнему является негладкой по ? поверхностью

1+а 1+а класса С2 . Все эти результаты были получены методами теории потенциалов, порожденных фундаментальным решением уравнения, и теории интегральных уравнений.

Целью настоящей диссертации является получение аналогичных результатов для решений второй краевой задачи для параболических систем с одной "пространственной"переменной.

В первой главе рассматривается вторая краевая задача в неограниченной по л; и по ? области на плоскости с негладкой, вообще говоря, "боковой" границей. Устанавливается принадлежность ее решения пространству Гельдера функций, экспоненциально растущих при -> +со. Кроме того, доказываются оценки для старших производных этого решения, характеризующие их возможный рост при приближении к "боковой" границе области.

Приведем определения используемых в работе анизотропных пространств Гельдера.

Пусть О - область в Ы^, и Л > 0, 0< а <1, и пусть целое N>1. к+а к+а

Через Сл 2 (о), к = 0, 1, 2, обозначаем линейные пространства (вектор)-функций имеющих в □ производные ——0<21 + т<к, для которых конечны ск величины:

II о||(«) |"(*>0|

Ци;^ := вир-1—вир еХр{Л/| (х,1),(х+Ах,1+А1}=П д*|+|д*|*о, дг>о а х,и(хА и \

Ах\" +1А/| 2 ехр{я(? + Д/)} и ~||(1+а) ГУ*»') к;П||. := вир—эир ч » ОЧр -----^ ¿2 доо эир п ехр{Д/}

Эи ск П

1+а) ди а а)

Здесь и далее для любой функции (вектор-функции) и(хположим: А= и(х + ДхД + АО - , и для любого вектора Ь = (Ь1,.,Ь„) (или матрицы А) под |Ь) (соответственно,

А|) понимаем максимум из модулей компонент Ъ (элементов А). к+а , . , , к+а к+а— /—\ -/—\

Пространства С0 2 (О^ обозначаем также через С 2 Пространства меСд+а~(о): м|;=0 =0, к = 0,1, а при к = 2 и[=й = 0, — = о1, 1=0 ] обозначаем через Ск+а'~г(о,) (здесь и далее нуль в правой части равенства и\ =0, и = (щ,.,им), понимаем как нулевой вектор). Пусть К+ := (0,+оо).

Для любого /? е (ОД)? через С/(к+) обозначим линейное пространство (вектор)-функций (р: , для которых конечна величина

Через С°(к+) обозначим линейное пространство (вектор)-функций ср: -» , непрерывных в К+, для которых конечна величина

Через С°(к+) обозначим линейное пространство (вектор)-функций ИЛ , непрерывных в , для которых конечна величина

Пространства {р е С{(к+):р(о) = о}, е С°(к+):<р(о) = о} и реС°(к+):р(о) = о}, обозначаем соответственно через С^ЙГ) , С0 (к^) и

С° (к;). о Я х '

Под значениями (вектор)-функции определенной в О, и ее дки(х,А , производных к = 1,2, на границе да всегда подразумеваем предельные значения "изнутри" О.

Через С, с везде обозначаем положительные постоянные, не зависящие от переменных х, конкретный вид которых для нас не важен. В выражениях вида А < С||/|| всегда подразумеваем, что С не зависит от/.

Всюду предполагается, что коэффициенты системы (0.1) удовлетворяют следующим достаточным условиям существования фундаментального решения для этой системы уравнений в полуплоскости а) условие равномерной параболичности оператора Ь\ существует число £ > 0 такое, что для любой точки (*,/) е , вещественные части ¡л - корней уравнения б) коэффициенты ау, Ъц, су, /,/ = 1 , системы (0.1) принадлежат йЦ А(х,0-//Е||=0 удовлетворяют неравенству:

Ке/л> 5\ а анизотропному пространству Гельдера С'2 (и^ ] при 0 < а < 1.

В полуплоскости Л* выделяется полуограниченная область еЫ' :х>Х($ с негладкой, вообще говоря, "боковой" границей где функция X: -> И удовлетворяет условию Жевре [11]:

1+а

В области О рассматривается вторая краевая задача:

Ьи = 0 в О, с начальным условием

0.3)

0.2) и[=о=0, х>Х(о)

0.4) и граничным условием дх

0.5)

Основным результатом первой главы является следующая

Теорема 1. Пусть для коэффициентов оператора Ь из (0.1) выполнены условия а) и б), а для функции X, задающей "боковую" границу области — условие (0.2). Тогда существует число Л0 >0 такое, что, если Я1 >Я0, то, для любой вектор-функции у/ е СТ существует единственное классическое г 1±£ (— \ решение и(х,$ задачи (0.3)-(0.5) принадлежащее пространству С (О), и имеют место оценки:

0.6)

С\\г, I Ах|а [<й-1 (х, г) + </"> (х + Ах, г )]ехр{А/}, (0-8)

Г1 (*,/)+ ¿~1(х>* + А')]х х [ехр{Я,/} + ехр{Я, (г + А?)}], (°-9) где (х, (х + Ах, (х, ^ + А?) 6 О, с/(х,^)=тт|Р-Л|1, Р^х^еО; Л = (х(г),г)ех , 1

Р-Л^ := \х-+ ^-— параболическое расстояние между двумя точками Р=(х,0 и А = (х(т),т).

Замечание 1. Существование и единственность классического решения задачи (0.3)-(0.5), принадлежащего для любого конечного Т> 0 пространству

Гельдера С1+а'~(о.т) (с оценкой (0.6) в 0.т ), где аг =ап{0<кг), следует из работ Тверитинова [35-39].

В случае одного уравнения (И= 1), оценка (0.6) вытекает из работ Бадерко [7] и Шевелевой [43], а оценки (0.7)-(0.9) - из работы Череповой [42].

Теорема 1 доказывается методами работ [4, 7, 42, 43]. д2и(х,{) дх1 д2и{х д2и(х,()

А,ас2

Основным инструментом для доказательства теоремы 1 служит векторный потенциал простого слоя г и<р{х,*) := |г(х,Х(т), т}р(т)с1т, (х,г)еК2+, 1 °) о порожденный фундаментальной матрицей решений г(х,г,^,т) [44] системы (0.1), где <р = (<рх,.,(ры)- вектор-функция. После предварительного изучения в §§1, 2, 3 необходимых для дальнейшего свойств фундаментальной матрицы решений, исследование гладкости потенциала простого слоя проводится в § §4, 5. Затем в §6 мы исследуем гладкость решения системы интегральных уравнений, которая получается из подстановки решения в виде потенциала простого слоя в граничное условие (0.5). Из этих результатов мы окончательно получаем утверждение теоремы 1 в §7.

Заметим, что полученные результаты о гладкости потенциала простого слоя могут быть использованы в исследовании гладкости решений и других краевых задач (например, первой краевой) в бесконечной по "времени" области.

В §7 приводится пример решения задачи (0.3)-(0.5) с ограниченной функцией у/ш условия (0.5), которое экспоненциально растет при t ->+оо.

Во второй главе диссертации показывается, что если повысить условие на гладкость функции у/ из граничного условия (0.5) (в этом случае требуется, чтобы она удовлетворяла условию Гельдера с показателем то решение задачи (0.3)-(0.5) оказывается принадлежащим пространству

2+« /\

Гельдера т.е., в частности, его старшие производные непрерывны в а (ср. с оценками (0.7)-(0.9) теоремы 1), хотя условие на гладкость "боковой" границы остается прежним (условие Жевре (0.2)). Ранее такой результат о регулярности решения (в ограниченной по t области) был известен при значительно более сильном условии на гладкость "боковой" границы, (см. [33]), а именно, условии:

2+а

ХеС 2 ([О,Г]). (0.11)

Основным результатом второй главы является следующая

Теорема 2. Пусть для коэффициентов оператора Ь из (0.1) выполнены условия а) и б), а для функции X, задающей "боковую" границу области О, -условие (0.2). Тогда существует число Л'0> 0, такое, что если Лх > Л[, то для любой вектор-функции у/<=С~т{К+) существует единственное классическое решение и(х^) задачи (0.3)—(0.5), принадлежащее пространству С2+а'^~(о) и

ОД, к ' справедлива оценка:

Замечание 2. Существование решения из класса С1+аг1"(а), для о я, у ' достаточно большого Л > 0, следует из теоремы 1.

В случае одного уравнения (N-1), утверждение теоремы 2 вытекает из результатов Бадерко [8]. При более сильном условии (0.11) утверждение теоремы 2 в конечной по / области вытекает из результатов Солонникова [33] о разрешимости краевых задач для параболических систем общего вида.

Теорема 2 доказывается методом, которым был получен результат работы Бадерко [8]. Основным инструментом для ее доказательства служит специальный векторный параболический потенциал: 1

Т<р{х,г) := |г(х - Х{г\Г -г;(х(г),т))р(т)с/т, о где оо о

1- "параметрикс", а именно (см. [40])

Z{x,f, A(£,r)):= expwcr x \V{a,t\A^,T))da, (x,t), (^)eR2, t > 0,

О ТГ J

0.12)

0, t< 0, здесь i - "мнимая" единица), где матрица v(a,t;A(^,r)) есть решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений at удовлетворяющее начальному условию

F(c7,0;Afer)) = E.

Ранее потенциалы такого типа (для одного уравнения с одной "пространственной" переменной) рассматривались в работах Исаковой [13] и Э. Гасымова [9]. Потенциал Тд> обладает более высокими свойствами гладкости, чем потенциал простого слоя, благодаря тому, что его ядро Y имеет более слабую, чем фундаментальное решение Г, особенность. Свойства специального потенциала Tq> изучаются в §8 диссертации. Заметим, что гладкость потенциала Тер (так же, как и гладкость потенциала простого слоя) имеет самостоятельный интерес, поскольку он может быть использован в решении и других краевых задач для параболических систем. Затем, после предварительного исследования в §9 некоторых свойств плоского параболического потенциала, необходимых для дальнейшего, в §10 исследуется разрешимость системы интегральных уравнений первого рода, которая получается из подстановки решения краевой задачи (0.3)-(0.5) в виде суммы потенциала Тер и плоского параболического потенциала в граничное условие (0.5). Из этих результатов мы окончательно получаем утверждение теоремы 2 в § 11.

Основная часть результатов диссертации содержится в [29-32].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук Бадерко Елене Александровне за предложенную тему и постоянное внимание к работе.