Поведение решения нелинейной задачи магнитостатики в окрестности угловой точки ферромагнетика тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

11-2003-147

На правах рукописи УДК 519.6

ПЕРЕПЕЛКИН Евгений Евгеньевич

ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ МАГНИТОСТАТИКИ В ОКРЕСТНОСТИ УГЛОВОЙ ТОЧКИ ФЕРРОМАГНЕТИКА

Специальность: 01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 2003

Работа выполнена в Лаборатории физики частиц Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна Московская область.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Евгений Петрович Жидков кандидат технических наук Иван Павлович Юдин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Сергей Евгеньевич Сычевский доктор физико-математических наук, профессор Татьяна Ивановна Савелова

Ведущая организация:

Институт ядерных исследований (г. Троицк Московской области)

Защита диссертации состоится " " ОиЛУАоР«-в на заседании диссертационного Совет!)

?Л 2003 г. [ Д720.001.04 в Лаборатории информационных технологий Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна Московская область.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИЯИ. Автореферат разослан " " £М-бГ

2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук I/IА З.М.Иванченко

ш.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Во многих физических установках используются магнитные системы различной конфигурации. Примером могут служить ускорители, в состав которых входят дипольные (поворотные) и квадрупольные (фокусирующие) магниты. С практической точки зрения, очень важно решить задачу моделирования конфигурации магнитной системы, с целью получения необходимого вида магнитного поля (обратная задача), а также уметь с хорошей точностью находить распределение магнитного поля, создаваемого такой системой.

Реально проблема сводится к постановке задачи магнитостатики о нахождении распределения магнитного поля рассматриваемой магнитной системы. В настоящее время существует множество методов решения таких задач. Среди них условно можно выделить три типа постановок по виду используемых в них уравнений - дифференциальных, интегральных, дифференциальных и граничных интегральных (комбинированная постановка). Вот названия некоторых из них: постановка относительно векторного потенциала, постановка относительно одного и двух скалярных потенциалов, постановка относительно модифицированного скалярного потенциала и т.д. Из-за сложной конфигурации магнитной системы решение задачи обычно ищется численными методами. Очень часто при расчете конкретной магнитной системы область, в которой решается краевая задача, имеет всюду гладкую границу, за исключением конечного числа угловых точек, в окрестности которых граница образована пересечением двух гладких кривых. В таких случаях решение задачи или производные решения могут иметь особенность. Примером может служить краевая задача Дирихле для уравнения Лапласа в области, изображенной на рис.1.

п2<р/3.

(г,(р) - полярная система координат; область

Дм = 0, ре О,

Рис. 1

£1 = {(г,р): 0<г<1, 0<<р<Зя/2}, граница Г,=ПиГ",

граница

где

С

Г' = {(г,?>): 0<г<1, «з = 0}( Г' = {(г,р): 0<г:£1, <р = Ъж/2}, а граница Г2 г = 1, 0 с < Зяг/2}.

Задача (1) имеет решение и = г2'351п2<р/2. Запишем производные их и иу. Получим и1 =-(2/3)г"1/38т^/3>и}, = (2/3)г""3 сое^>/3. При г->0 производные м., и иу неограниченно растут. Поэтому, при решении таких задач численными методами необходимо учитывать характер поведения ее решения в окрестности угловой точки.

Цель и задачи исследования

Целью настоящей работы было изучение вопроса о поведении магнитного поля в окрестности угловых точек и построение эффективных алгоритмов, дающих улучшение точности при численном решении задачи магнитостатики.

Научная новизна

При помощи нелинейного преобразования Лежандра исследование нелинейной задачи магнитостатики в области ферромагнетика было сведено к рассмотрению свойств краевой задачи для линейного дифференциального уравнения. Показано существование решений с неограниченно растущим |Уи| в окрестности угловой точки ферромагнетика. Исследованы свойства таких решений. Для краевой задачи Дирихле в области с углом построена разностная схема, дающая существенное улучшение точности решения.

Исходя из интегральной постановки задачи магнитостатики сделана верхняя оценка допустимого роста магнитного поля вблизи угловой точки в области ферромагнетик / вакуум. На основании полученной оценки предложен метод сгущения разностной сетки в окрестности угловой точки. В случае, когда при достаточно больших полях функция магнитной проницаемости принимается равной I доказана теорема об ограниченности магнитного поля в окрестности угловой точки.

Произведены расчеты модельных и практических задач с использованием полученных методов.

Практическая значимость

Полученные результаты могут быть использованы при решении нелинейной задачи магнитостатики в области с кусочно-гладкой границей.

Решена практическая задача моделирования конфигурации магнитной системы с использованием разработанных алгоритмов.

Основные положения, выносимые на защиту

Исследование нелинейной задачи магнитостатики для области ферромагнетика при помощи нелинейного преобразования Лежандра было сведено к рассмотрению линейной краевой задачи. Найдены решения с неограниченно растущим |Ун|, а также исследованы их свойства. Построена разностная схема для краевой задачи Дирихле в области с углом. При численных расчетах такая разностная схема дает уменьшение относительной погрешности на порядок.

Получена верхняя оценка допустимого роста магнитного поля вблизи угловой точки в области ферромагнетик / вакуум. Исходя из сделанной оценки предложен метод сгущения разностной сетки в окрестности угловой точки. В случае, когда при достаточно больших полях функция магнитной проницаемости принимается равной 1, доказана теорема об ограниченности магнитного поля в окрестности угловой точки.

Произведено моделирование конфигурации спектрометрического магнита СП-94, используемого в эксперименте Дельта-Сигма (ОИЯЙ).

Апробация работы

Основные результаты и положения диссертационной работы доложены и обсуждены на:

четвертой международной конференции "Beam Dynamics and Optimization", Дубна, Россия, 13-17 октября 1997 г.; первой международной конференции "Modern Trends in Computational Physics", Дубна, Россия, 15-20 июня 1998 г.; II открытой научной конференции молодых ученых и специалистов ОИЯИ, Дубна, Россия, 2-6 марта 1998 г.; пятой международной конференции "Beam Dynamics and Optimization", Санкт-Петербург, Россия, 29 июня-3 июля 1998 г.; XXXV всероссийской научной конференции по проблемам физики, химии, математики, информатики и методике преподавания, Москва, Россия, 24-28 мая 1999 г.; научных семинарах по вычислительной математике в 2000, 2001, 2002, 2003 г. (ЛИТ ОИЯИ, Дубна); восьмой международной конференции "Beam Dynamics and Optimization", Саратов, Россия, 25-30 июня 2001 г.; международном конгрессе по математическому моделированию, Дубна, Россия, октябрь 2002; VII открытой научной конференции молодых ученых и специалистов ОИЯИ, Дубна, Россия, 2-6 февраля 2003 г.; объединенном научном семинаре ЛВЭ-ЛФЧ ОИЯИ, Дубна в 2003 г.

По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав (теоретические исследования, численные расчеты), заключения и списка литературы. Диссертация содержит 118 машинописных страниц, 5 таблиц, 17 графиков, 24 рисунка. Список литературы содержит 103 работы, из них 88 на русском и 20 на иностранных языках.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведена формулировка решаемой задачи, дан обзор литературы по данной тематике и приведены основные результаты работы.

В §1 главы 1 приведено описание постановки задачи. Изучение поведения магнитного поля в окрестности угловой точки 2 было сведено к рассмотрению краевой задачи (2) в области О (см. рис.2).

Дм(р) = 0, />е£2,,

(2)

ди дп

"1г

Рис.2

где П = П2 и П, и Г, Йс12, П,, П2 - области вакуума и ферромагнетика соответственно; Г0 - граница П; обозначения Г+ и Г_ соответствуют границе Г; /¿(Я)- магнитная проницаемость ферромагнетика. Функция У -«достаточно» гладкая. Относительно функции /¿(//) считаются выполненными следующие условия:

/л е С*1' [0,+со), \1т ц'{Н)Н = 0, Ш ц(Н) = 1. (3)

Таким образом, необходимо исследовать поведение функции и(р), являющейся решением краевой задачи (2). Так же рассматривается случай, когда на рис.2 области О, и 02 меняются местами.

В $2 главы 1 рассмотрен случай задачи (2), когда функция магнитной проницаемости ц(Н) удовлетворяет условиям:

м(Н)еС® [0,+со), Э#0>0 УН' > Н0: и{Н') = 1,

где Н0- «достаточно велико» и в угловой точке () значение ц определено однозначно. В результате доказывается теорема об ограниченности магнитного поля в окрестности угловой точки.

В $3 главы 1 исследовалось нелинейное дифференциальное уравнение

Лу[//(|УИ|)УИ] = 0, (5)

(4)

входящее в постановку задачи (2), на наличие у него решений с неограниченным |У«|. С помощью нелинейного преобразования Лежандра уравнение (5) удалось свести к линейному дифференциальному уравнению второго порядка. Преобразование основано на том, что некоторая поверхность и(х,у) задается не как множество точек (и,х,у), а как множество касательных к ней плоскостей. Такое отображение отличается от простого преобразования координат тем, что оно ставит в соответствие не точке точку, а элементу поверхности (х,у,и,их,иу}

элемент поверхности {¿;,Г1,(о,а>(,а>п}. Здесь справедливы соотношения: а>(4,т1) + и(х,у) = х% + ут], 4 = их, ц = иу, х = &(, у = ап,

и„=Р<»т> "„=-РС0(п> иуу=Р°)44> где Р=иххиуу-и^ - якобиан отображения Лежандра. В результате уравнение (5) принимает вид

=°. (б)

М(г')г'

Далее необходимо найти решения, для которых

|У®(£,)7)|-».0 при (<?,?)->«>, (7)

т.к. эти решения при обратном отображении будут давать решения (5), обладающие свойством

|Ум(д:,у)|->оо при (;с,.у)-»0. (8)

Такие решения в данной работе были найдены. Помимо решений с неограниченным уравнение (5) имеет решения с ограниченным |У«|.

Уравнение (6) в полярной системе координат имеет вид

где а(г') = 1 + г'2/(г').

Следовательно, решения уравнения (5) с ограниченным |Уи| могут быть получены из решений уравнения (9) в области, не содержащей бесконечно

удаленные точки. Решения уравнения (5), обладающие неограниченным могут быть получены из решений уравнения (10) в области, не содержащей бесконечно удаленные точки.

О, (Ю)

где = а(() = а(1/г').

Некоторые решения уравнения (9) (аналогичные результаты справедливы и для уравнения (10)) могут быть получены методом разделения переменных

°>(г'>ч>')=ЦкАг')фА<р')> С")

i л2

где Ял (г') удовлетворяет уравнению R" +—a(r')R\ ——a(r')RÁ = 0, а Фх{<р')

I2

удовлетворяет Ф" + Л2Фл = 0.

Фл {(р) = cf sin Х<р + С<4) cos Х<р,

■Но 4оа

i»0 к-0 Если 2\Л\ = п, п е N, то Л'2' (г ) представимо в виде

Д<2)(#•') = AR(l](r')lnr'+r'-ifjbir't.

ыо

Некоторые частные решения исходного уравнения (5) могут быть получены в явном виде, а также исследованы их свойства. Так, например, в самом простейшем случае при Л-0 (для уравнения (9)) частное решение исходного уравнения (5) принимает вид

и(г,<р) = С<р. (12)

Из (12) видно, что в угловой точке (начало координат) решение (12) не

Q

определено, а значение | Vu\ = — неограниченно растет при приближении к

началу координат.

Решения, соответствующие другим значениям Л, могут быть использованы при решении краевых задач в областях с углами. Так, например,

задача Дирихле (1), сформулированная для уравнения Лапласа, может быть рассмотрена для нелинейного уравнения (5).

где область П изображена на рис.1. Замечание: в §5 главы 1 сделана оценка роста величины |Ум| для задачи (13). Выяснилось, что величина |Уы| - г~'/3 при г->0. Как известно, краевая задача (1) ( в общем случае и|г =Ч/, где Т «достаточно» гладкая функция ) имеет тот же порядок роста |Уи| ~ г~'/3 при г -> 0. Такой результат следовало ожидать, т.к. при | Уи| —> оо уравнение (5) формально переходит в уравнение Лапласа.

В $4 главы 1 описано построение разностной схемы для краевой задачи (13). Полученная разностная схема учитывает характер поведения решения в окрестности угловой точки. Функция, описывающая особенность решения, зависит от величины угла в угловой точке, и в общем случае не выражается через элементарные функции. Однако, с заданной точностью может быть построена таблица ее значений, которая и используется в расчетах. Пример расчета задачи (13) приведен в §1 главы 2.

В $5.1 главы 1 рассматривался вопрос о возможности построения решения с неограниченным |Уи| задачи (2) из решений, полученных в §3 для

уравнения = 0, и решений, известных для уравнения Дм = 0 с

неограниченным |Ум| (вид особенности и(г,<р) = Агх \пр гФ(<р) + м, где Я< 1, р -целое положительное число, Ф (<р)- бесконечно дифференцируемая функция, и* - «достаточно» гладкая функция, А - постоянная величина, {г,<р) -полярная система координат с центром в угловой точке).

В $5.2 главы 1 исходя из интегральной постановки задачи магнитостатики сделана верхняя оценка допустимого роста магнитного поля вблизи угловой точки ферромагнетика. Полученная оценка имеет вид

<ЙУ[7/(|Уи|)УИО>)] = 0, реП,

(13)

Я(*)<С01п- + *(5),

(14)

где г - расстояние от угловой точки до точки 5, в которой рассматривается поле; >е(.у)- достаточно гладкая функция; С0- положительная постоянная величина.

На основании оценки (14) в §5.3 главы 1 предложен метод сгущения разностной сетки в окрестности угловой точки. Суть метода состоит в выборе шага

(х„-хт_, = кт, т = \,2...М, где Ит- шаг сетки вдоль координатной оси ОХ или ОУ, хт- координата узловой точки по оси ОХ или по оси ОУ) оставалась постоянной.

В §1 главы 2 приведен пример расчета задачи (13) с использованием метода описанного в §4 главы 1. При численных расчетах такая разностная схема давала уменьшение относительной погрешности на порядок.

В §2 главы 2 продемонстрировано использование метода, предложенного в §5.3 главы 1, при расчете магнитной системы, содержащей угловую точку. Для проверки эффективности предложенного метода Производились следующие расчеты:

1-й вариант. Задача вычислялась на сетках: 10*10, 20*20, 40*40, 80*80, 100*100, 200*200,400*400. При этом в окрестности угловой точки шаг сетки был равномерный;

2-й вариант. Та же задача была рассчитана на той же последовательности сеток, но в окрестности угловой точки использовался, описанный выше метод сгущения разностной сетки. Результаты, полученные из вычислений по первому варианту, считались '

эталонными, так как при увеличении числа разбиений предполагалось, что точность вычисляемого решения должна увеличиваться.

Далее результаты, полученные при вычислении по второму варианту, сравнивались с результатами, полученными по первому варианту.

Из полученных данных было видно, что точность расчетов по второму варианту (неравномерная сетка) существенно выше аналогичных расчетов по первому варианту (равномерная сетка). Отсюда можно заключить, что предложенный метод построения разностной сетки в окрестности угловой точки оправдывает свое использование и дает результаты по точности, сравнимые с

2

разностной сетки таким образом, чтобы величина

результатами, получаемыми лишь на сетках с числом узлов по каждой оси в 4 - 5 раз большим, чем у исходной сетки.

В §3 главы 2 приведены результаты моделирования магнита СП-94 (ОИЯИ). Необходимо было подобрать конфигурацию магнита таким образом, чтобы получить максимально возможное при данных физических условиях

■ИЗ

увеличение величины (0,0,г)/1г (обратная задача). В результате численного —00

моделирования была найдена необходимая конфигурация магнитной системы. В расчетах использовался метод учета поведения решения в угловых точках.

Выводы

1. Рассмотрена задача магнитостатики (2) в области с углом, когда функция магнитной проницаемости ц(Я) удовлетворяет условиям

ц(Я)еС(,)[0>+со),

ЭЯ0>0 УЯ'>Я0: ц(Я') = 1,'

где Я0- достаточно велико и в угловой точке Q функция ц определена однозначно. Доказана теорема об ограниченности магнитного поля в окрестности угловой точки Q.

2. Исследовано нелинейное дифференциальное уравнение

входящее в постановку задачи магнитостатики (2), на наличие у него решений с неограниченно растущим . В процессе исследования:

• изложен метод нахождения частных решений;

• среди полученных решений были найдены решения с неограниченно растущим |Ум| в окрестности некоторой точки ;

• показано, что решения могут иметь предел в угловой точке Q, и возможен случай, когда предел зависит от пути, по которому он берется. Возможен такой случай, когда решение и в угловой точке не ограничено;

• сделана оценка роста |Ум| в угловой точке. Она совпадает с оценкой для уравнения Лапласа Ду = 0. Этот факт показывает аналогию в поведении решений уравнений А'у[ц(|Уи|)Уи^ = 0 и Ду = 0 при р. —> 1;

• для краевой задачи Дирихле с уравнением = 0 в области с

углом Зл/2 построена разностная схема, учитывающая характер поведения решения в окрестности угловой точки. Использование такой разностной схемы уменьшает относительную погрешность решения «примерно» на порядок.

3. Рассмотрена задача магнитостатики (2) в области с углом, когда ц(#) —> 1 при Н -» да асимптотически. В результате:

• сделана верхняя оценка допустимого роста магнитного поля Я(р) в окрестности угловой точки

Н(р)<С0\п1- + п{р), гр

где С0- постоянная величина, и>(р)- ограниченная функция, гр - расстояние до угловой точки;

• исходя из сделанной оценки предложен метод сгущения разностной сетки в окрестности угловой точки. При расчете магнитной системы предложенный метод дает существенное улучшение точности вычисляемого решения;

• приведены результаты численного моделирования магнитной системы СП-94 (ОИЯИ) эксперимента Дельта-Сигма, осуществляемого в рамках тематического плана ОИЯИ по международному сотрудничеству. Произведено 2-х и 3-х мерное моделирование конфигурации магнитного сердечника и обмоток с током с целью получения максимального значения

■МО

интеграла 0,0,г)¿г.

-во

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Жидков Е.П., Перепелкин Е.Е., Полякова Р.В., Юдин И.П. Численное моделирование некоторых модификаций спектрометрического магнита

СП-94. "Beam Dynamics and Optimization - BD02001", Саратов, С ГУ, 2001, cc. 133-138.

2. Жидков Е.П., Перепелкин Е.Е. Краевая задача для уравнения эллиптического типа в области с углом. ОИЯИ, Р5-2000-52, Дубна, 2000, 5 с.

3. Zhidkov Е.Р., Perepelkin Е.Е. An analytical approach for quasi-linear

j

equation in secondary order. CMAM, vol 1(2001), No.3 pp. 285-297.

4. Жидков Е.П., Перепелкин Е.Е. Исследование поведения решения задачи магнитостатики в окрестности угловой точки ферромагнетика. ОИЯИ, Р5-2001-229, Дубна, 2001, 14 е.; Математическое моделирование, N4, т. 15, стр. 77-84,2003.

5. Zhidkov Е.Р., Perepelkin Е.Е., Yudin I.P., Polyakova R.V. Shavrina T.V., Panacik V.A. Change of field distribution for the spectrometric magnet. BD097, JINR, Dubna, 1997, pp. 79-85.

6. Жидков Е.П., Перепелкин Е.Е. Оценка роста магнитного поля в окрестности угловой точки ферромагнетика для задачи магнитостатики. ОИЯИ, Р11-2003-40, Дубна, 2003,14 с.

7. Zhidkov Е.Р., Perepelkin Е.Е., Yudin I.P., Polyakova R.V. Shavrina T.V., Andreev S.V. Calculation of the SP-94 magnet field for the EXCHARM setup. BD097, JINR, Dubna, 1997, pp. 41-45.

8. Жидков Е.П., Перепелкин E.E., Юдин И.П. Алгоритмы численного моделирования в методе двух скалярных потенциалов для описания трехмерного распределения поля магнита. Вестник Российского Университета Дружбы Народов. Серия Физика. Изд-во РУДН, Москва, 2001, №9(1), с. 27-32.

Получено 24 июля 2003 г.

î •

V

№14 3 6 3

2.©о5-Д

Макет Н. А. Киселевой

Подписано в печать 01.08.2003. Формат 60 X 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,75. Уч.-изд. л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ № 54036.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@pds.jinr.ru www.jinr.ru/publish/

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

§1. Постановка краевой задачи

§2. Краевая задача для «квазилинейного» случая

§3. Исследование нелинейного дифференциального 37 уравнения дивергентного типа

3.1. Преобразование Лежандра

3.2. Поиск частных решений

3.3. Поведение решения

3.4. Условие эллиптичности

3.5. Замечания

§4. Краевая задача для нелинейного дифференциального 54 уравнения

4.1. Оценка |Vw| для краевой задачи

4.2. Численный алгоритм решения краевой задачи

§5. Исследование задачи магнитостатики в окрестности 68 угловой точки ферромагнетика

5.1. Возможность построения решения задачи 68 магнитостатики с неограниченным |Vw|

5.2. Оценка роста магнитного поля в окрестности 76 угловой точки

5.3. Метод сгущения сетки в окрестности угловой 80 точки

О ГЛАВА 2 ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ

§1. Модельная задача для области с углом

§2. Расчет магнитного поля в окрестности угловой точки

§3. Моделирование магнитной системы СП-94 для эксперимента Дельта-Сигма (ЛВЭ, ОИЯИ)

Во многих физических установках используются магнитные системы различной конфигурации. Примером могут служить ускорители, в состав которых входят поворотные дипольные и квадрупольные фокусирующие магниты. С практической точки зрения, очень важно с хорошей точностью знать распределение магнитного поля, создаваемого такой системой.

Реально проблема сводится к постановке задачи магнитостатики [1] о нахождении распределения магнитного поля рассматриваемой магнитной системы, состоящей из ферромагнетика (область Qy), источников с постоянным током (область Qc) и вакуума (область Q„). В области Qc задан вектор плотности тока J, не зависящий от времени и удовлетворяющий условию

J(p)d®p =0. Для ферромагнетика задана функция магнитной а проницаемости где Н- модуль напряженности магнитного поля. На границе Г раздела сред ферромагнетик-вакуум источники с током отсутствуют.

Требуется найти распределение В(р)- вектора магнитной индукции и распределение Н(р)~ вектора напряженности магнитного поля при р е Q = Qf u Qv и Qc.

Уравнения Максвелла для такой постановки примут вид divB(p) = 0 rotH(p) = J(p), реQ (0.1) о

0.2) где ц0- постоянная величина, а для границы Г

ЯЛ=Яп (0.3) индексы п ит соответствуют нормальной и тангенциальной компоненте поля, а индексы / и v обозначают среду — ферромагнетик и вакуум соответственно.

В силу нелинейной зависимости В от Н (0.2), а также обычно сложной конфигурации магнитного сердечника (область Q^.) решение задачи (0.1 -3) ищется численными методами.

В настоящее время существует множество методов решения задачи (0.1-3) [2]. Среди них условно можно выделить три типа постановок по виду используемых в них уравнений — дифференциальных, интегральных, дифференциальных и граничных интегральных (комбинированная постановка). Ниже приведены примеры таких постановок.

1. Постановка относительно векторного потенциала.

Вектор магнитной индукции В определяется как В — rotA (в соответствии с первым уравнением из (0.1)), где А - искомый векторный потенциал, являющийся решением краевой задачи: i О rot zrrrotA(p) //0J(/?), P € Qy ufi,

0.4)

H)Jr+=H)Jr. limp(/>)| = 0, divA(q) = 0 где q - некоторая точка, обозначения Г+ и Г соответствуют границе Г. Такая постановка рассматривалась в работах [3-8]. Трудностью при решении задачи (0.4) является нахождение трех компонент вектора А. Однако, в случае, когда система обладает определенной симметрией, например, если можно считать, что вектор J имеет только одну компоненту - пусть это будет Jz, постановка (0.4) принимает вид [9-15]: дх дх ду ду -Ио Л» ai Z

Г+

К(р)| р-»оо

0.5) 0 где «9 = 1///. Обычно при решении задачи (0.5) условие Иг(/0|—>0 заменяют на граничное интегральное уравнение вида:

А(р) + - \A(q)—(\nr)dsa+~ \^{q)\nrads=0 гКИ) п) Л JdnX ряГд п}дпаУ1) рч "

• о " ' О 1 где Г0 - граница некоторой области Q,.„, которая целиком содержит в себе рассматриваемую систему; nq- единичный вектор внешней нормали к границе Г0 в точке q еГ0; rpq- расстояние между точками р и q; точка ре Г0. Записанное граничное интегральное уравнение (ГИУ) получается из формулы Грина [16] для функции А (Р) Р е Г0 и условия AAZ (q) = 0 при q е Qe = Ш2 \Q.„.

Такая комбинированная постановка [17,18] эффективна с точки зрения экономии памяти при численном решении задачи.

Интегральная постановка относительно векторного потенциала А выглядит так [19]: где rps - расстояние между точками р и s.

2. Постановка относительно скалярных потенциалов.

Данная постановка отличается от предыдущей тем, что вместо поиска трех компонент векторного потенциала, достаточно найти

0.6) О только одну скалярную функцию <р(р), которая называется скалярным потенциалом. Используется представление

H(p) = Hc(p)-V<p(p), peQfuQv (0.7) где Нс- поле, создаваемое источниками тока; для него справедливы уравнения: rotHc =J, divHc =0. Поле от источников с током может быть найдено из закона Био-Саварра: dcoq

В результате постановка принимает вид v[//(|tf|)tfc(/>)], реП, uQv

0.8)

Интегральная постановка относительно скалярного потенциала имеет вид

Н7Г Пу рч

M = (p-l)(//c-V<p) 8 а

ГРЯ

Hrt = Иг. д(р д<р и дп г дп 1 + г. р-уоа

Использование таких методов при решении практических задач приведено, например, в [20] для дифференциальной постановки и в [21] для интегральной постановки. Однако, при численном нахождении поля по формуле (0.7) в области Qf возможно накопление погрешности. Это происходит, когда вектора Нс и V<p близки по направлению и по модулю, и |яс| и большие числа.

Поэтому часто используется постановка относительно двух скалярных потенциалов. В области Qv поле Н(р) определяется, как и раньше, по формуле (0.7), а в области Clf, в силу отсутствия в ней источников с током, вводится скалярный потенциал у/(р)'

H(p) = -Vy/(p), реП,

В результате постановка относительно двух скалярных потенциалов принимает вид: v[//(|V^|)V^(/?)] = 0, peClj

A<p(p) = 0, peQv р p)-(p(p) = -\Hcdl, /7€Г И dif/ дп г+ д<р

-(яс,я)|г

0.9) выбор точки Q g М3 \ Qc произволен. Например, она может быть q выбрана в центре симметрии магнитной системы. Контур, по которому ведется интегрирование от точки Q к точке р, целиком содержится в области R3\QC. Постановку (0.9) вместо условия

Постановка относительно двух скалярных потенциалов с различными модификациями широко используется при нахождении двумерных [23] и трехмерных [22] распределений магнитного поля.

Помимо приведенных выше постановок существуют постановки относительно модифицированного скалярного потенциала [24]; относительно плотности вторичных источников

25]; относительно В,Н,М [26-28]. Существуют различные методы численного решения таких задач, разработанные многими учеными. Среди них: А.Н. Тихонов, А.А. Самарский, Н.Н. Яненко, С.К. Годунов, B.C. Рябенький, В.Н. Ильин, Г.И. Марчук, Н.Н. Калиткин и многие другие [29-32, 59-88, 103-,].

Однако, при численном расчете конкретной магнитной системы, часто бывает, что область, в которой решается задача, имеет кусочно-гладкую границу (такую область будем называть «областью с углами»). В этих случаях решение задачи или производные решения могут иметь особенность. Примером может служить краевая задача Дирихле для уравнения Лапласа в области, изображенной на рис. 1. можно дополнить граничным интегральным уравнением

L Uq)±±ds, +JL f££(,)±A .о w|r =sin2cp/3

Au = 0, peQ

0.10)

Рис. 1 г,ф)- полярная система координат; область

П = {(г,ф): 0<г<1, 0<ф<Зя/2}, граница Г,=Г'иГ% где Г' = {(г,ф): 0<rZl, ф = О}, Г" = {(г,ф): 0<г<1, ф = Зтг/2}, а

Задача (0.10) имеет решение u = rz/3sт2ф/3. Запишем производные их и иу получим их =-(2/3)г"1/38И1ф/3, иу =(2/3)г~1/3созф/3. При г -> 0 производные и иу, неограниченно растут.

При решении задачи (0.10) численными методами необходимо учитывать характер поведения ее решения в окрестности «угловой точки» г = 0.

Целью настоящей работы было изучение вопроса о поведении магнитного поля в окрестности таких «угловых точек», и построение граница Г2 = {(г,ф): г-1, 0<ф<Зя/2}. о эффективных алгоритмов, дающих улучшение точности при численном решении задачи магнитостатики.

В результате данная проблема была сведена к следующей постановке задачи.

Пусть Q = Q/uQv,

Рис.2

О QcK2. Обозначим 8- окрестность точки Qe.QuT как Ss(Q).

Угловой точкой» будем называть точку, в окрестности которой граница образована двумя гладкими кривыми, пересекающимися под некоторым углом а>0. На рис.2 изображена S6(<2) окрестность «угловой точки» Q € Г.

Здесь область Q2 = Qf п Ss (Q) соответствует области ферромагнетика, а область Q, = Qv n Ss (Q) соответствует области О вакуума; Г0- граница Ss (Q); обозначения Г+ и Г соответствуют границе Г.

В 5g (Q) окрестности задана краевая задача вида: div[y(\Vu\)Vu(p)] = Q, peQ Au(p) = 0, peQv f м1г+ = и\г.

0.11) ди дп ди dil г

1 о где /(Я) = //(Я)- для постановки относительно скалярных потенциалов, и /(Я) = 1///(Я)- для постановки относительно векторного потенциала. - «достаточно» гладкая функция.

Конфигурации, подобные изображенной на рис.2, часто встречаются в реальных магнитных системах. Поэтому при решении краевой задачи (0.11) численными методами необходимо знать характер поведения решения в Ss (Q) окрестностях «угловых точек».

Вопрос о существовании особенности у решений линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа в «областях с углами» был рассмотрен во многих работах.

В работе В.В. Фуваева [33] рассмотрена задача Дирихле на плоской области с кусочно-гладкой границей для уравнения Лапласа. Е.А. Волковым [34] исследовано, при каких условиях решения первой, второй и смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона в прямоугольной области D, принадлежат к классу СкЛ (D). Под классом CkX(D) понимается класс непрерывно дифференцируемых к раз в D функций и все к -е производные удовлетворяют условию Гельдера в D с показателем Л. Им же в работах [36-38] описаны различные приемы построения разностных схем для уравнения Лапласа и Пуассона, а также предложен метод сгущения сетки в окрестности угловой точки, дающий такой же порядок сходимости, как и для обычных схем в области с гладкой границей.

Общий случай краевой задачи для эллиптического уравнения был рассмотрен Г.И. Эскиным [35] в предположении, что граничные условия и правая часть уравнения принадлежат пространству CN (где N «достаточно» велико). В.А. Кондратьевым [39] рассмотрен случай, когда правая часть уравнения и граничные условия принадлежат пространству Wj (пространство С.Л. Соболева [89-91]), а коэффициенты уравнения - бесконечно дифференцируемые функции. В частности, В.А. Кондратьевым было показано, что для уравнения

XaAx)u*l*j+'Zai(x)u*l+cu=f> xeD i,j=1 »=1 где я,у (0) = 8tj, а угловая точка находится в начале координат, асимптотика решения и(х) е W\ (Z)) при условии / eWf(D) и

I / \ м|г =ф0еИг2 2 (Г) имеет вид пт Z Pmq{r\n" г)+ £ + b 2 r4nJ>rejih((p) + w

2ij<.k+\ *+2 где tn,jl,j2- целые числа; we Wo (D); - полином, коэффициенты которого бесконечно дифференцируемые функции, являющиеся линейными комбинациями тригонометрических функций; Ojj - бесконечно дифференцируемые функции; со0величина раствора угла в угловой точке (здесь предполагается, что граница области в окрестности угловой точки образована прямыми к-- •к линиями). Нормы W2 2 (Г) и Wл (D) определены так infIMU

W, 2(Г)

D) п.* =ЕЯГ т=О Ь

Л-2(к-т) дти дхп dxy где inf берется по всем функциям v|r = ф.

О В работах JI.A. Оганесяна и JI.A. Руховца [40], Е.А. Волкова

38] строятся вариационно-разностные схемы (ВРС), использующие идею сгущения сетки в окрестности угловой точки, а также метод замены переменных, при котором в новых переменных функция особенности оказывается «достаточно гладкой». Похожая идея используется у J. Babuska [41] для построения ВРС для третьей краевой задачи.

В работах J. Babuska, М.В. Rozenzwieg [42], В.В Шайдурова [43] описан метод построения ВРС методом Галеркина, где пробные функции берутся как произведение локальных функций на весовые функции угловых точек г2а, где г- расстояние до угловой точки, а ае[0,1). Сходимость такого метода устанавливается в весовой норме.

Также получил распространение метод выделения функции особенности, которая в окрестности угловой точки имеет вид

У,(г,р) = г*1плгФ,(р) (0.12) О где Ф{(р)- аналитическая функция; Л,- положительная константа; р, целые неотрицательные числа; (г, (р) - полярная система координат с центром в угловой точке. В работе, например, Г. Фикса [44], J1.A. Оганесяна, JI.A. Руховца, В.Я. Ривкинда [45,46] описан метод построения ВРС, когда для повышения точности к базисным функциям добавляют функцию вида (0.12), учитывающую особенность в угловой точке. В работах А.А. Самарского, И.В. Фрязинова [47,48] аналогичный метод используется в построении q разностных схем для различных типов краевых задач.

В работе О.А. Ладыженской, Н.Н. Уральцевой [49] подробно рассмотрены квазилинейные уравнения эллиптического типа. В частности, рассмотрен случай квазилинейного уравнения с дивергентной главной частью, подобного уравнению 0, входящего в постановку задачи (0.11). Там же доказаны теоремы о существовании, единственности решения и(р) и ограниченности max |V«| для краевых задач в областях с гладкой границей.

В работе, например, JI.A. Оганесяна, JI.A. Руховца, В.Я. Ривкинда [45,46] для краевой задачи с квазилинейным уравнением приведено построение ВРС в области с гладкой границей.

В данной работе требовалось исследовать задачу (0.11) на существование у нее решений с неограниченно растущим |Vt/| в окрестности угловой точки. Трудность состояла в том, что краевая задача (0.11), помимо линейного уравнения Аи = 0 в области Q,, содержит нелинейное дифференциальное уравнение = 0 в области Q2. К тому же, относительно указанного нелинейного уравнения, неизвестно имеет ли оно вообще решения с неограниченно растущим |Vw| . Даже если такие решения существуют, как, например, для линейных уравнений, то возможно ли построить из них решение задачи (0.11)? Ведь на решения, полученные для линейных уравнений, наложены определенные условия гладкости на границе в окрестности угловой точки.

Работа состоит из введения, двух глав и заключения. Первая глава содержит теоретические исследования, вторая глава состоит из описания численных расчетов, модельных и практических задач, с использованием методов, предложенных в главе 1.

§ 1 главы 1 содержит описание постановки задачи. В §2 главы 1 рассмотрен «квазилинейный» случай задачи (0.11) в «области с углом». Предполагалось, что функция магнитной проницаемости ц(#) удовлетворяет условиям о Ц(Л)«еСЮ[0,-Н»)

3#0>0 V#'>#0: ц(#') = 1 где Н0- «достаточно велико», и в «угловой точке» Q значение р, определено однозначно. В результате нами была доказана теорема об ограниченности магнитного поля в окрестности «угловой точки».

В §3 главы 1 исследовалось нелинейное дифференциальное уравнение:

О <flv[v(|Vw|)Vw] = 0, (0.14) входящее в постановку задачи (0.11), на наличие у него решений с неограниченным |Vm|. С помощью нелинейного преобразования

Лежандра [50] уравнение (0.14) удалось свести к линейному дифференциальному уравнению второго порядка. Преобразование основано на том, что некоторая поверхность и (*,>>) задается не как множество точек (и,х,у), а как множество касательных к ней плоскостей. Такое отображение отличается от простого преобразования координат тем, что оно ставит в соответствие не точке точку, а элементу поверхности (х,у>и,их,иу) элемент поверхности rj, со, со^, сол ). Здесь справедливы соотношения: = их ц = иу х = С04 у = ю„ где р = и^и^ -uly- якобиан отображения Лежандра. В результате уравнение (0.14) принимает вид

4ч + [} + *12/ (Г )] ~ 0» 15)

Далее необходимо найти решения, для которых:

Усо(4,л)|->0 при (4,л)->«>. (0.1 б) т.к. эти решения при отображении будут давать решения (0.14), обладающие свойством:

Vm(x,jv)|->oo при (х,у) —> 0 (0.17)

Такие решения в данной работе были найдены. Помимо решений с неограниченным |Vw| уравнение (0.14) имеет решения с ограниченным JVwJ. Уравнение (0.15) в полярной системе координат имеет вид

0.18) гдеа(г') = 1 + г'2/(г').

Следовательно, решения уравнения (0.14) с ограниченным |Vi/| могут быть получены из решений уравнения (0.18) в области, не содержащей бесконечно удаленные точки. Решения уравнения (0.14), обладающие неограниченным |Vw|, могут быть получены из решений уравнения

В частном случае, когда решение уравнения (0.18) (аналогичные результаты справедливы и для уравнения (0.19), где вместо г' надо подставить 1/г'), представимо в виде факторизованного ряда

W. 4

0.19) где w(f,cp') = 0)(l/r',cp'), a(t) = a(\/r') о>(Г\Ф>2х ифл<рг

0.20) х где

L ' » J о

Ф" + Л2Ф = 0

Rdr'hc№(r>) + C?R?(r>) Фх (ф) = Cf) sinAxp + С[4) cos tap

О0 +Q0

И = , jtfV) = r-'Zv" к=0 к-0

О если 2|Л,| = п, л € N, то R® (г') представимо в виде к-0 некоторые частные решения исходного уравнения (0.14) могут быть получены в «явном виде», а также исследованы их свойства.

В самом простейшем частном случае при X = 0 (для уравнения (0.18)) решение уравнения (0.14) принимает вид о и(г,ср) = Сф (0.21)

Из (0.21) видно, что в «угловой точке» (начало координат) решение С

0.21) не определено, а значение |Vm| = — неограниченно растет при г приближении к началу координат.

Решения, соответствующие другим значениям А,, могут быть использованы при решении краевых задач в областях с углами. Так, например, задача Дирихле (0.10), сформулированная для уравнения ° Лапласа, может быть рассмотрена для нелинейного уравнения (0.14).

•v[jii(|VW|)VM(/?)] = 0,

• Иг, =° peCl

0.22) где область Q изображена на рис.1. В §5 главы 1 сделана оценка роста величины |Vw| для задачи (0.22). Как выяснилось, величина

Vm| ~ г~уз при г —> 0. Стоит отметить интересный факт из сравнения О 1 краевых задач (0.10) и (0.22). В работе [39] было показано, что краевая задача (0.10) ( в общем случае м|р = VF, где Ч* «достаточно» гладкая функция ) имеет порядок роста |Vw| ~ г1/3 при г —> 0. Такой результат следовало ожидать, т.к. при |Vw|—»оо уравнение (0.14) формально переходит в уравнение Лапласа.

В §4.1 главы 1 описано построение разностной схемы для краевой задачи (0.22). Полученная разностная схема учитывает характер поведения решения в окрестности «угловой точки». О Функция, описывающая особенность решения, зависит от величины угла в «угловой точке» и в общем случае не выражается через элементарные функции. Однако, с любой наперед заданной точностью может быть построена таблица ее значений, которая и используется в расчетах. При численных расчетах такая разностная схема давала уменьшение относительной погрешности на порядок.

В §5.1 главы 1 рассматривался вопрос о возможности построения решения с неограниченным |Vw| задачи (0.11) из решений, полученных в §3 для уравнения <//v^ji(|Vm|)VmJ = 0, и

О решений, известных для уравнения Аи = 0 с неограниченным |Vw| вид особенности в угловой точке (0.12)).

В §5.2 главы 1, исходя из интегральной постановки задачи магнитостатики [2], сделана верхняя оценка допустимого роста магнитного поля вблизи «угловой точки» ферромагнетика [98]. Полученная оценка имеет вид: s)<C0ln— + w(j), (0.23)

О Г' где rs- расстояние от угловой точки до точки s, в которой рассматривается поле; «достаточно» гладкая функция, С0положительная постоянная величина. Оценка погрешности в ячейке D, содержащей угловую точку, имеет вид:

IIм(б) - ио1цо) < у1%2 (1п2 Л - aln А -1) + 0(Л4). (0-24) где u(Q)- точное значение; uQ- вычисленное значение; h- диаметр ячейки D; а,у- постоянные значения. На основании оценки (0.23), (0.24) в §5.3 главы 1 предложен метод сгущения разностной сетки в окрестности «угловой точки». Суть метода состоит в выборе шага т разностной сетки таким образом, чтобы величина . J хт ~хт-\ > ю = 1,2.А/, где hm- шаг сетки вдоль координатной оси ОХ или OY, хт - координата узловой точки по оси ОХ или по оси 0 OY) оставалась постоянной. Использование данного метода было продемонстрировано в §2 главы 2 на расчете магнитной системы,

In

I2 dx содержащей «угловую точку». Для проверки эффективности предложенного метода производились следующие расчеты:

1-й вариант. Задача вычислялась на сетках: 10*10, 20*20, 40*40, 80*80, 100*100, 200*200, 400*400. При этом в окрестности «угловой точки» шаг сетки был равномерный;

2-й вариант. Та же задача была рассчитана на той же последовательности сеток, но в окрестности «угловой точки» использовался описанный выше метод сгущения разностной сетки.

Результаты, полученные из вычислений по первому варианту (400*400), считались как бы «эталонными», так как при увеличении числа разбиений логично предположить, что точность вычисляемого решения должна увеличиваться, за исключением, возможно, некоторой окрестности угловой точки.

Поэтому производилось сравнение результатов, полученных при вычислении по второму варианту, с результатами, полученными по первому варианту.

Из полученных данных было видно, что точность расчетов по второму варианту (неравномерная сетка) существенно выше аналогичных расчетов по первому варианту (равномерная сетка). Из чего можно заключить, что предложенный метод построения разностной сетки в окрестности угловой точки оправдывает свое использование и дает результаты по точности, получаемые лишь на сетках с числом узлов по каждой оси в 4 - 5 раз большим, чем у исходной сетки.

В §3 главы 2 приведены результаты моделирования магнита СП-94 (ОИЯИ, ЛВЭ), [94, 99]. Необходимо было подобрать конфигурацию магнита таким образом, чтобы получить максимально возможное при данных физических условиях увеличение величины

00

Ву (0,0,z)dz (обратная задача). В результате была получена

-00

00 конфигурация магнита, при которой величина J Ву (0,0,z)dz

-00 возросла в 1.3 раза. Приведены 2- и 3- мерные численные расчеты различных конфигураций магнитной системы. В двумерных расчетах использовался метод сгущения сетки в окрестности угловых точек ферромагнетика.

Заключение

1. Рассмотрен случай задачи магнитостатики (2) в области с углом, когда функция магнитной проницаемости м{Н) удовлетворяет условиям где Н0- достаточно велико. И в угловой точке Q функция ц определена однозначно.

Доказана теорема об ограниченности магнитного поля в окрестности угловой точки Q.

2. Исследовано нелинейное дифференциальное уравнение (5) входящее в постановку задачи магнитостатики (2), на наличие у него решений с неограниченно растущим |Vw|. В процессе исследования:

• изложен метод нахождения частных решений уравнения (5);

• среди полученных решений были найдены решения с неограниченно растущим |V«| в окрестности некоторой точки Q;

• показано, что решения могут иметь предел в угловой точке Q, и возможен случай, когда предел зависит от пути, по которому он берется. Возможен такой случай, когда решение и в угловой точке не ограничено; i(tf)eC(I)[0,+oo)

3tf0>0 V#'>HQ: //(#') = !' о о

• сделана оценка роста |Vw| в угловой точке. Она совпадает с оценкой |Vv| для уравнения Лапласа Ду = 0. Этот факт показывает аналогию в поведении решений уравнений 0 и Av = 0 при // -> 1;

• для краевой задачи Дирихле с уравнением = 0 в области с углом Зя/2 построена разностная схема, учитывающая характер поведения решения в окрестности угловой точки. Использование такой разностной схемы уменьшает относительную погрешность решения «примерно» на порядок.

3. Рассмотрена задача магнитостатики (2) в области с углом, когда р{Н) —> 1 при Н —> оо асимптотически. В результате:

• сделана верхняя оценка допустимого роста магнитного поля Н (/?) в окрестности угловой точки

H(p)<C0\n- + w(p), гр где С0 постоянная величина, ограниченная функций, г - расстояние до угловой точки;

• исходя из сделанной оценки, предложен метод сгущения разностной сетки в окрестности угловой точки. Оценка погрешности в ячейке D, содержащей угловую точку, имеет вид

V - Щ < yh2 (in2 h - a In h - p) + О (h4), где y(s)~ решение задачи магнитостатики в интегральной постановке, найденное численным методом, a H(s)- точное решение, h- диаметр ячейки D, а,р>у- постоянные значения. При расчете магнитной системы, предложенный метод дает существенной улучшение точности вычисляемого решения; • приведены результаты численного моделирования магнитной системы СП-94 (ЛВЭ, ОИЯИ) эксперимента Дельта-Сигма, осуществляемого в рамках тематического плана ОИЯИ по международному сотрудничеству. Произведено 2- и 3- мерное моделирование конфигурации магнитного сердечника и обмоток с током с целью получения максимального значения интеграла

00

J^(0,0,z)flfe. В двумерных расчетах использовался метод

-во сгущения сетки в окрестности угловых точек ферромагнетика.

Автор в первую очередь искренне благодарит своих родителей Е.Н. Перепелкина и Г.И. Перепелкину за неоценимую помощь, внимание и поддержку на всех этапах пути к полученному результату.

Автор выражает глубокую признательность своим научным руководителям: заслуженному деятелю науки РФ, доктору физико-математических наук, профессору Е.П. Жидкову и кандидату технических наук, И.П. Юдину за мудрое руководство, возможность заниматься поставленной задачей, ценные замечания, и содействие по всем направлениям исследования проблемы.

Автор благодарит своих коллег к.ф-м.н. с.н.с. Р.В. Полякову, к.б.н. С.В. Дружинин, с.н.с. В.А. Панасика, м.н.с. О. Рябчуна, м.н.с.

С. Шкаровского, м.н.с. Т. Шаврину за полезные советы и конструктивные замечания в работе над диссертацией. о о

1. Стреттон Дж.А. Теория электромагнетизма: Пер. с англ. М.: Мир, 1948.

2. Айрян Э.А., Жидков Е.П., Федоров А.В., Хоромский Б.И., Шелаев И.А., Юдин И.П., Юлдашев О.И. Численные алгоритмы расчета магнитных систем ускорителей заряженных частиц. ФЭЧАЯ, т.21, вып. 1, 1990.

3. Coulomb J.L. IEEE Trans, on Magnetics. 1981. Vol. MAG-17, N6, pp. 3241-3246.

4. Demerdash N.A., Nehl T. W., Mohammed O.A. e.a. Ibid, pp.34083410.

5. Compumag 3, Chicago 1981 IEEE Trans, in Magnetics. 1983. Vol. MAG-18, N2.

6. Kotiuga R.P., Silvester P.P. J.Appl.Phys. 1982. Vol. 53(11). pp. 8399-8401.

7. Chari M.V.K., Konard A., Palmo M. A. e.a. See 5. pp. 436-446.

8. Csendes Z.J., Weiss J., Hoole S.R.H. See 5. pp. 367-372.

9. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985.

10. Дойников Н.И. Препринт НИИЭФА. Обзор ОБ-42. Л., 1981. И. Рапоцевич Е.П., Урванцев А.Л. Препринт ВЦ СО АН СССР1. Д481. N1. С. 142-148.

11. Демирчан К.С. и др. Изв. АН СССР. Сер. энергет. и трансп. 1974.

12. Урванцев А. Л. Численное решение нелинейных магнитостатических задач методом конечных элементов: Автореф. дис. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1981 (ВЦСО АН СССР).о 14. Ворожцов С.Б., Закамская J1.T., Заплатин П.Л. Препринт

13. ОИЯИ 19-5013. Дубна. 1970.

14. Айрян Э.А., Жидков Е.П., Федоров А.В. и др. Алгоритмы и программы для решения некоторых задач физики. Будапешт, ЦИФИ-ОИЯИ. 1987. Вып.5.с.2-29.

15. Корн Г., Корн Т. Справочник по математики для инженеров и научных работников. Пер. с англ. М.: Наука, 1978.

16. Айрян Э.А., Жиков Е.П., Хоромский Б.Н. и др. Сообщения ОИЯИ Р11-82-871, Дубна, 1982.о

17. Айрян Э.А., Жиков Е.П., Хоромский Б.Н. и др. Сообщения ОИЯИ Д11-87-49, Дубна, 1987.

18. Курбатов П. А., Аринчин С. А. Численный расчет электромагнитных полей. М.: Энергоатомиздат, 1984.

19. McDonald В.Н., Wexler А. ШЕЕ Trans, on Microvave Theory and Techniques. 1972. Vol. MTT-20, N12. pp. 842-847.

20. Halacsy А.А. Рос 3rd Intern. Conf. On Magnet. Technology, Hamburg, 1970 (DESY, Hamburg, 1972) pp. 15-18.

21. Абрамов А.Г., Дайковский А.Г. и др. Препринт ИФВЭ 82-87. о Серпухов, 1982.

22. Simkin J., Trowbridge C.W. Inter. J. Numer. Meth. Engng. 2970. Vol. 14. pp. 423-440.

23. Дойников Н.И., Симаков A.C. ЖТФ, 1971, т.41, N4, cc. 835838.

24. Colonias J.S. Particle Accelerator Design: Computer Programs. N.Y.-Lond.: Academic Press, 1974.

25. Акишин П.Г., Ворожцов С.Б., Жидков Е.П. Препринт ОИЯИ Е9-11859. Дубна, 1978.о 27. Акишин П.Г. Сообщения ОИЯИ Р11-85-522. Дубна, 1986.о

26. Борисовская З.В., Ворожцов С.Б., Дударева Т.Н. Сообщения ОИЯИ 9-81-304. Дубна, 1981.

27. Канторович JI.B., Акимов Г.П. Функциональный анализ. Изд. 3-е М.: Наука, 1984. сс. 609-731.

28. Ортега Дж. Рейнболдт В. Итерационны методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. Пер. с англ. М.: Мир, 1975.

29. Бахвалов Н.С. численные методы. М.: Наука, 1973.

30. Жидков Е.П., Хоромский Б.Н. ДАН СССР. 1976 т.32 N5. сс. 1692-1696.

31. Фуфаев В.В. К задаче Дирихле для областей с углами. Док. АН СССР т. 131, №1,1960г.

32. Волков Е.А. О решении краевых задач для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Док. АН СССР т. 147, № 1,1962г.

33. Эскин Г.И. Общие краевые задачи для уравнений главного типа в плоскости с угловыми точками. УМН 18, вып. 3, 1963, сс. 241-242.

34. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений о краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона впрямоугольнике. Тр. Матем. ин-та АН СССР, 77,1965.

35. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнений Лапласа на многоугольниках. Тр. Матем. ин-та АН СССР, 77, 1965.

36. Волков Е.А. Метод сеток и бесконечных областей с кусочно-гладкой границей. ДАН СССР, 168, N3, 1966.

37. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в конических областях, Доклады АН СССР т. 153,q №1,1963.о

38. Оганесян JI.A., Руховец JI.A. О вариационно-разностных схемах для линейных эллиптических уравнений второго порядка в двумерной области с кусочно-гладкой границей. ЖВММФ, 8,N1, 1968.

39. Babuska J. Finite element method for elliptic equations with corners. Computing, 6, N3,1970.

40. Babuska J. and Rozenzweig M.B. A Finite Scheme for Domains with Corners. Numer Mathem., 20, N1, 1972.

41. Шайдуров B.B. Численное решение задачи Дирихле в области с углами, Вычислительные методы в прикладной математике, Наука, Новосибирск 1982.

42. Fix G. Higher order Rayleigh-Ritz approximations. J.Math. and Mech., 18, N7,1969.

43. Оганесян Л.А., Ривкинд В.Я., Руховец JI.A. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Часть

44. Труды семинара «Дифференциальные уравнения и их применение», выпуск 5, Вильнюс 1973.

45. Оганесян JI.A., Ривкинд В.Я., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Часть1., Труды семинара Дифференциальные уравнения и их применение, выпуск 8, Вильнюс 1974.

46. Самарский А.А., Фрязинов И.В. О разностных схемах решения задачи Дирихле в произвольной области для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами. ЖВММФ, 11, N2, 1971.

47. Фрязинов И.В. Разностные схемы для уравнения Лапласа в ступенчатых областях. ЖВМиМФ, том 18, N5,1978г., сс. 11711185.

48. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Наука, Москва 1964.

49. Курант Р. Уравнения с частными производными. Мир, т. 2, 1964.

50. E.A.Coddington, N.Levinson. Theory of ordinary differential equations. New York Toronto London, 1955.

51. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

52. Akulov N. Theorie der Feinstruktur der Magnetisie rungskurven der Einkristalle. -"Zeitschr. Phys.", 1931, Bd 69.

53. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.

54. Жидков Е.П., Пузынин И.В., ЖВМиМФ, 1967, т.7. сс.1086.

55. Zhidkov Е.Р., Andreev S.V.,Perepelkin Е.Е., Polyakova R.V., Shavrin T.V., Yudin I.P. Calculation of the SP-94 magnet field for the ECHARM setup. BD097, Dubna, Russia, October 13-17, 1997.

56. Zhidkov E.P., Andreev S.V., Perepelkin E.E., Polyakova R.V., Shavrin T.V., Yudin I.P. Change of field distribution for the spectrometric SP-40 magnet. BD097, Dubna, Russia, October 1317,1997.

57. Кулакова E.M. Расчет поворотно-фокусирующих систем из магнита с градиентом и магнитных квадрупольных линз. 94386, Дубна, 1969.

58. Тихонов А.Н. ДАН СССР, т. 153, N1,49-52, 1963.

59. Сычевский С.Е., Белов А.В., Кухтин В.П., Ламзин Е.А., Севергин Ю.П., Филатов О.Г. Численный алгоритм построения силовых линий магнитного поля в пространстве поданным распределения его компонент. Препринт, Санкт-Петербург, 2002,9 стр.

60. Самарский А.А. Теория разностных схем. Изд. «Наука», М., 1977.

61. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. Изд. «Наука», М., 1971.

62. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. Изд. «Наука», М., 1976.

63. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Изд. Иностранной лит-ры, М. 1963.

64. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.

65. Яненко Н.Н., Рождественский Б.Л. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1968.

66. Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. М.: Физматгиз, 1962.

67. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973.

68. Ильин В.Н. Разностные методы решения эллиптических уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1970.

69. Марчук Г.И. Методы и проблемы вычислительной математики. Международный конгресс математиков в Ницце. 1970. Доклады советских математиков. М.: Наука, 1972.

70. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, 1973.

71. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982.

72. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск.: Наука, 1967.

73. Самарский А.А. О монотонных разностных схемах для эллиптических и параболических уравнений в случае не самосопряженного эллиптического оператора. ЖВМ и МФ. 1965. т.5, N3.

74. Самарский А.А. О точности метода сеток для задачи Дирихле в произвольной области. Appl., Math. vol. 10, N3,1965.

75. Самарский А.А. Некоторые вопросы теории разностных схем. ЖВМ и МФ. т. 6, N4,1966.

76. Тихонов А.Н., Самарский А.А. О разностных схемах для уравнений с разрывными коэффициентами. ДАН СССР. т. 108, N3, 1965.

77. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Об однородных разностных схемах. ЖВМ и МФ. t.1,N1, 1961.

78. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках. ЖВМ и МФ. т.2, N5, 1962.

79. Марчук Г.И., Агошков В.И. О выборе координатных функций в обобщенном методе Бубнова-Галеркина. ДАН СССР, т.232, N6,1977.

80. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

81. Андреев В.Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений. ЖВМ и МФ. т.8, N6, 1968.

82. Ладыженская О.А. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными. УМН. т. XII, N5, 1957.

83. Самарский А.А. Некоторые вопросы общей теории разностных схем. Дифференциальные уравнения с частнымипроизводными (труды симпозиума, посвященного 60-летию академика СЛ. Соболева). М.: Наука, 1970.

84. Годунов С.К. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Новосибирск.: Наука, 1980.

85. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

86. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

87. Бицадзе А.В. К теории не фредгольмовых эллиптических краевых задач. М:. Наука, 1970.

88. Вишик М.И. Пространства Соболева-Слабодетского переменного порядка с весовыми нормами и их приложения к эллиптическим смешанным краевым задачам. М:. Наука, 1970.

89. Слободетский C.JI. Обобщенные пространства C.JI. Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. Ученые записки ЛГПИ им. Герцена, сс.54-112, 1957.

90. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. JI. 1950.

91. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М. Физматгиз, 1960.

92. Парфенов В.В. Исследование магнитной восприимчивости ферромагнетиков в области высоких полей. — «Известия АН СССР. Серия физическая», т. XVI, N5, 1952.

93. Жидков Е.П., Перепелкин Е.Е., Полякова Р.В., Юдин И.П. Численное моделирование некоторых модификаций спектрометрического магнита СП-94. BD02002, Саратов, 2002.lie

94. Жидков Е.П., Перепелкин Е.Е. Краевая задача для уравнения эллиптического типа в области с углом. Сообщение ОИЯИ, Р5-2000-52.

95. Zhidkov Е.Р., Perepelkin Е.Е. An analytical approach for quasi-linear equation in secondary order. CMAM, vol 1(2001), No.3 pp. 285-297.

96. Жидков Е.П., Перепелкин Е.Е. Исследование поведения решения задачи магнитостатики в окрестности угловой точки ферромагнетика. Математическое моделирование, N4, т. 15, стр. 77-84, 2003.

97. Жидков Е.П., Перепелкин Е.Е. Оценка роста магнитного поля в окрестности угловой точки ферромагнетика для задачи магнитостатики. Математическое моделирование, N4, т. 15, сс. 77-84, 2003.

98. Zhidkov Е.Р., Perepelkin Е.Е., Yudin I.P., Polyakova R.V. Shavrina T.V., Andreev S.V. Calculation of the SP-94 magnet field for the ECHARM setup, BD097, Dubna, Russia, October 13-17, pp. 41-45.

99. Zhidkov E.P., Perepelkin E.E., Yudin I.P., Polyakova R.V. Shavrina T.V., Panacik V.A. Change of field distribution for the spectrometric SP-40 magnet, BD097, Dubna, Russia, October 1317, pp. 79-85.

100. Жидков Е.П., Перепелкин Е.Е. Юдин И.П. Моделирование конфигурации магнита для эксперимента COMPASS. BD098.

101. Жидков Е.П., Перепелкин Е.Е., Полякова Р.В., Юдин И.П. Алгоритм численного моделирования в методе двух скалярных потенциалов для исследования трехмерного распределения поля магнита СП-40А. Вестник Российского

102. Университета Дружбы Народов. Серия Физика. Изд-во РУДН, Москва, 2001, № 9(1), сс. 27-32.