Поверхностные меры на пространстве траекторий в многообразии, порожденные броуновским движением в объемлющем евклидовом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.981.1+519.216.22

СИДОРОВА Надежда Андреевна

ПОВЕРХНОСТНЫЕ МЕРЫ НА ПРОСТРАНСТВЕ ТРАЕКТОРИЙ В МНОГООБРАЗИИ, ПОРОЖДЕННЫЕ БРОУНОВСКИМ ДВИЖЕНИЕМ В ОБЪЕМЛЮЩЕМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

(специальность - 01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2006

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор О. Г. Смолянов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А. И. Кириллов,

доктор физико-математических наук, профессор А. В. Угланов

Ведущая организация:

Московский Институт Электроники и Математики (МИЭМ)

Защита состоится 2006 г. в 16 чалов 15 минут на заседании

диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор Т. П. Лукашенко

20 Ö&A S<föß

Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертация относится к бесконечномерному анализу. В ней рассмотрены два типа поверхностных мер на пространстве непрерывных функций С([0,1], М) со значениями в компактном римановом многообразии М, вложенном в евклидово пространство R". Пространство С([0,1],М) рассматривается при этом как поверхность бесконечной размерности и коразмерности в пространстве С([0,1],К") непрерывных функций со значениями в R", а в качестве меры на этом объемлющем пространстве, порождающей поверхностную меру, рассматривается мера Винера. Такие поверхностные меры были введены О. Г. Смоляновым1.

Поверхностные меры обоих типов определяются как пределы мер, порожденных подходящими броуновскими движениями в окрестностях многообраг зия при стягивании этих окрестностей к многообразию. При этом в одном случае рассматривается броуновское движение с поглощением, а в другом -с отражением на границе е-окрестности многообразия. В диссертации исследуются эти меры и их связь с мерой Винера на пространстве траекторий на многообразии.

Изучение свойств поверхностных мер является одним из традиционных направлений бесконечномерного анализа. Оно тесно связано с исследованием бесконечномерных дифференциальных операторов и общей проблемой дезинтегрирования мер. Изучение поверхностных мер было начато в работах А. В. Скорохода2 и А. В. Угланова3 в рамках теории гладких мер на бесконечномерных пространствах, созданной в работах С. В. Фомина4, О. Г. Смо-лянова и их учеников. Изучение поверхностных мер в локально выпуклых пространствах для поверхностей конечной коразмерности было продолжено в работах В. И. Богачева5, В. Ю. Яхлакова6, О. В. Пугачева7. Э. Ю. Ша-маровой8 и др. Теория поверхностных мер играет существенную роль в так

1 Смоляное О.Г., Гладкие меры на группах петель // ДАН, т. 345, 4, 455-458 (1995) 3 Скороход A.B., Интегрирование в гильбертовых пространствах // Наука, Москва (1974) ^ Угланов A.B., Поверхностные интегралы в банаховых пространствах // Матем. сборник, т. 110, в 2, 189-217 (1979)

*Авербух В.И, Смоляное О.Г., Фомин С.В, Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. I: Дифференцируемые меры//Труды Московского Математического Общества 24,133-174 (1971)

5Bogachev V.I, Smooth measures, the Malliavin calculus and approximations in infinite dimensional spaces//Acta Univ. Carol., Math. Phys. 31, No.2, 9-23 (1990)

6Яхлаков В.Ю., Поверхностные меры на поверхностях конечной коразмерности в банаховом простран-стве//Мат. Заметки 47, No.4,147-156 (1990)

7Пугачев О.В., Поверхностные меры в бесконечномерных пространствах//Мат. Заметки 63, No.l, 106-

*Шамарова Э.Ю., Об аппроксимации поверхностных мер в локально выпуклом пространстве//Мат. Заметки т.72, в.4, 597-616 (2002)

114 (1998)

называемом исчислении Маллявэна9 10. В настоящее время эта область бесконечного анализа может рассматриваться как классическая.

Техника, развитая при исследовании поверхностных мер на поверхностях конечной коразмерности, оказалась недостаточной для исследования поверхностных мер на подмногообразиях, обладающих одновременно бесконечной размерностью и бесконечной коразмерностью. Впервые такой случай был рассмотрен в работе О. Г. Смолянова, X. ф. Вайцзеккера и О. Виттиха11, а затем в работе Р. Фрезе и И. Хербста12. Полученные результаты связаны с исследованием эволюционных дифференциальных уравнений на многообразиях. Следующим естественным шагом является распространение этой техники на случай векторного пространства и его подмногообразия, состоящих из функций нескольких вещественных переменных13 (см. также 14 16 16). Таг кого рода многообразия возникают в квантовой теории поля и в М-теории. Таким образом, тема диссертации представляется вполне актуальной.

Цель работы

Исследовать поверхностные меры на пространстве траекторий в компактном римановом многообразии, порожденные броуновским движением с поглощением и броуновским движением с отражением, и описать их предельное поведение при увеличении интервала времени.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следующем:

1. Доказано, что поверхностная мера на пространстве траекторий в многообразии, определяемая как слабый предел условных броуновских дви-

9MaIliavin P., Hypoellipticity in infinite dimensions, Diffusion processes and related problems in analysis// Vol.1 (Evanston, IL, 1989), pp. 17-31 (1990)

10 Airau/t #., Mtdliavin P., Integration on loop groups. П. Heat equation for the Wiener measure// J. Punct Anal. 104, No 1, 71-109 (1992)

nSmolyanov O.G., WeizsScker H.v, Wittich 0., Brownian motion on a manifold ая limit of stepwise conditioned standard Brownian motions // Can. Math. Soc. Conference Proceedings, Volume in honour of S. Albeverio'e 60th birthday 29, 589-602 (2000)

"fbeje Д., Herbtt I., Realizing holonomic constraints in classical and quantum mechanics // Comm. Math Phys. 220,489-535 (2001)

13 Смоляное О Г., Вайцзеккер Х.ф., Bummux О., Построение диффузий на множестве отображений отрезка в компактное риманово многообразие// ДАН, т.402, №6, с.1-5 (2005)

14 Driver В.К., Integration by parts and quasi-invariance for heat kernel measures on loop groups// J. Funet Anal. 149 (2) 470-547 (1997)

"Driver B.K., Srimmihy V., Absolute continuity of heat kernel measure with respect to pinned Wiener measure on loop groups// The Annals of Probability (2000)

Srimurthy, V.K., On the equivalence of measures on loop space// Probab. Theory Relat. Fields 118, No.4, 522-546 (2000)

жений в е-окрестности многообразия при е -> 0, эквивалентна мере Винера, и найдена соответствующая плотность Радона-Никодима.

2. Доказано, что поверхностная мера на пространстве траекторий в многообразии, определяемая как слабый предел броуновских движений с отражением на границе е-окрестности многообразия при е 0, совпадает с мерой Винера.

3. Исследовано предельное поведение поверхностных мер при увеличении интервала времени для многообразий размерности 1.

Методы исследования

В диссертации используются различные методы бесконечномерного и стохастического анализа, дифференциальной геометрии, а также ряд специальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при решении задач стохастического анализа на многообразиях, в частности, для исследования уравнения Шредингера и уравнения теплопроводности на компактных римановых многообразиях.

Апробация диссертации

Основные результаты настоящей диссертации докладывались на семинаре «Бесконечномерный анализ и математическая физика» под руководством профессоров О. Г. Смолянова и Е. Т. Шавгулидзе (механико-математический факультет МГУ), на международной конференции "Стохастика 2002"(Магде-бург), на конференции молодых ученых (механико-математический факультет МГУ, 2003) и на семинаре под руководством профессора X. ф. Вайцзек-кера (Кайзерслаутерн).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора. Их список приведен в конце автореферата. Работ по теме диссертации, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из пяти глав (первая из которых является введением), разбитых на параграфы и подпараграфы. В конце работы приведен список

основных обозначений, список литературы и предметный указатель. Общий объем диссертации составляет 84 страницы. Список литературы включает 33 наименования.

Краткое содержание диссертации

Первая глава представляет собой введение в диссертацию. Здесь формулируются основные задачи, рассматриваемые в диссертации, приводится краткий исторический обзор работ по теме диссертации и кратко излагаются основные результаты диссертации.

Понятие поверхностной меры является естественным обобщением понятия меры Лебега на поверхности в ®п: по мере ¡л на бесконечномерном пространстве X строится мера fis, сосредоточенная на достаточно гладкой поверхности S в X, которая находится в том же соответствии с исходной мерой fj,, что и мера Лебега на поверхности в R" с обычной мерой Лебега в R". Такая мера ßs называется поверхностной мерой на S, порожденной мерой ß в объемлющем пространстве.

Существуют различные способы определения поверхностных мер, порождаемых достаточно гладкими мерами на бесконечномерных пространствах. В частности, А. В. Скороход17 определял поверхностные меры на е-окрестностях многообразия при е ->• 0, а А. В. Угланов18 пользовался диф-ференцируемостью мер. Несколько позже аналогичные результаты (но для весьма специального случая поверхностей конечной коразмерности в вине-ровском пространстве) были получены Э. Эро и П. Малявэном19.

Оба этих подхода применимы лишь к случаю, когда коразмерность поверхности конечна.

В диссертации рассматриваются поверхности, обладающие бесконечной коразмерностью (а также и бесконечной размерностью). В качестве объемлющего пространства рассматривается пространство непрерывных функций Сао([0,1],R") со значениями в R", принимающих в нуле некоторое постоянное значение Оо- Затем фиксируется гладкое компактное m-мерное риманово многообразие M С R" без края, содержащее точку ао, и в качестве поверхности в объемлющем пространстве рассматривается пространство непрерывных функций Са„([0,1], M) С адо, 1], К") со значениями в многообразии. Наконец, в качестве исходной меры на объемлющем пространстве рассматривается мера Винера W, соответствующая стандартному n-мерному броуновскому движению с началом в точке ао- В этом случае существует (как минимум) два естественных способа определить поверхностную меру на СОо([0,1], M),

"Скороход A.B., Интегрирование в гильбертовых пространствах // Наука, Москва (1974)

18 Угланов A.B., Поверхностные интегралы в банаховых пространствах // Матем. сборник, т. 110, в. 2, 189-217 (1979)

10Airavit H., Malliavin P., Intégration géométrique sur l'espace de Wiener // Bull. Sei. Math. (2), 112, 3-52 (1988)

порожденную мерой Винера W. Оба этих способа были предложены О.Г. Смо-ляновым20.

Пусть М£ - е-окрестность многообразия М, состоящая из всех таких точек объемлющего пространства Rn, что расстояние от них до многообразия не превышает е, т.е.

М£ = {а € Rn : dist(o, М) < е},

где символом dist обозначена обычная евклидова метрика в К™.

Далее, пусть (bt) - стандартное n-мерное броуновское движение с началом в точке а0. Обозначим символом W£ вероятностную меру на пространстве Соо([0,R«) (сосредоточенную на C^QO,1],Ме)), являющуюся условным распределением случайного процесса (bt) при условии, что его траектория не покидает ^-окрестность многообразия М, т.е.

W _ WiCoo([0,l],M«)

е W^ao.ll.M,))-

Определение 1. Мера Si на пространстве C^QO, 1], М). определяемая как слабый предел

Si = (слабый) Um We,

называется поверхностной мерой первого типа (или поверхностной мерой, соответствующей условным броуновским движениям).

Основным результатом диссертации является теорема, в которой доказывается, что поверхностная мера первого типа Si существует, эквивалентна мере Винера Wjw на пространстве C^QO, 1], М), соответствующей броуновскому движению на многообразии М, а ее плотность Радона-Никодима задаг ется формулой

dst е*р {-1 /о1 ЯМ*+1 /о1 ИРМ*}

<Wm " - Ew„ exp {-I Ii R(wt)dt + \ Ц M*(ut)dt}' (1

где R(a) скалярная кривизна, a cr(a) - вектор трения (равный (dim М)к(а), где к(а) - вектор средней кривизны) многообразия М в точке а £ М.

Неожиданным следствием этой теоремы является тот факт, что поверхностная мера Si совпадает с поверхностной мерой21, которая определяется

мСмоляное О.Г., Гладкие меры на группах петель // ДАН, т. 345, 4, 455-468 (1995)

21 Smolyanov O.G., Weizsäcker ff.»., Wittich О., Brownian motion on a manifold as limit of stepwise conditioned standard Brownian motions // Can. Math. Soc. Conference Proceedings, Volume in honour of S. Albeverio's 60th birthday 29, 589-602 (2000)

следующим образом: для каждого разбиения интервала времени Р : 0 = to < h • • • < tn = 1 рассматривается условное распределение броуновского движения в R" при условии, что в моменты времени оно принимает значения в многообразии М (т.е. в некотором смысле рассматривается совокупность броуновских мостов), и затем диаметр разбиения устремляется к нулю.

Замечательно также и то, что именно такой геометрический потенциал, как в формуле (1), появляется при изучении квантово-механических голо-номных связей22.

Вторым естественным определением поверхностной меры на пространстве Соо^О, 1], М), соответствующей броуновскому движению в объемлющем пространстве, является следующее. Пусть (rf) - броуновское движение в R" с началом в точке oq и с отражением на границе ЭМ£ е-окрестности. Обозначим закон распределения случайного процесса (rf) через

определение 2. Мера §2 на пространстве с^ ([0,1], М), определяемая как слабый предел

¡§2 = (слабый) lim

называется поверхностной мерой второго типа (или поверхностной мерой, соответствующей броуновским движениям с отражением).

Вторым главным результатом диссертации является доказательство того факта, что поверхностная мера §2 существует и совпадает с винеровской мерой Wм-

Заметим, что оба этих результата могут быть интерпретированы как новые способы построения меры Винера на многообразии. Во-первых, винеров-ская мера Wм может быть построена как предел броуновских движений с отражением в объемлющем пространстве. Кроме того, если обозначить символом у какое-нибудь (отделенное от нуля, непрерывное и ограниченное) продолжение плотности Радона-Никодима (1) на пространство (^([О, l],Rn), то мера Винера W^ может быть определена как предел мер при € —► 0.

Во второй главе проводятся геометрические построения, необходимые в дальнейшем для доказательства основных результатов диссертации.

В части 2.1 вводится понятие специальных систем координат в точке на многообразии, и в терминах этих координат вычисляются основные геометрические характеристики многообразия, такие как средняя и скалярная кривизна, вторая фундаментальная форма, поле трения и производные операторы некоторых проекторов.

ю Proae R., Herbst I, Realizing holonomic constraints in classical and quantum mechanics 11 Comm. Math. Phys. 220, 489-536 (2001)

В части 2.2 вводятся две естественные меры на е-окрестности Ме многообразия М. Одна из них является не чем иным, как сужением на эту окрестность меры Лебега в объемлющем евклидовом пространстве К" и обозначается через Ацп, а другая, называемая плоской мерой и обозначенная символом А®, индуцируется структурой декартова произведения на нормальном расслоении ЫМ\

где 7Г - ортогональная проекция из М£ в М, Ах = 7г-1(ж), а Ащ и Ад/ -меры Лебега на К* и М, соответственно. Пользуясь тем, что плоская мера А® эквивалентна мере Лебега Ая», мы определяем векторное поле сноса V как

для всех а £ и затем рассматриваем его гладкое продолжение на все пространство К".

Наконец, в части 2.3 описывается понятие стохастического параллельного переноса векторов вдоль непрерывного семимартингала со значениями в многообразии. Далее, для каждого непрерывного семимартингала (у*), принимающего значения в трубчатой окрестности многообразия, строится его разложение Ферми ((х4), (г«)), где = тг(уг) и, таким образом, является непрерывным М-значным семимартингалом, а В^-значный случайный процесс строится следующим образом: сначала фиксируется ортонормированный базис в нормальном пространстве Л^М, затем он переносится параллельно вдоль семимартингала и, наконец, значение случайного процесса (г*) в момент времени Ь определяется как координаты вектора уг — относительно перемещенного базиса нормального пространства.

В третьей главе доказываются основные результаты диссертации.

В части 3.1 с помощью векторного поля сноса строится смещенный случайный процесс (уг) со значениями в К". Он определяется как диффузионный процесс, являющийся решением стохастического дифференциального уравнения

Пусть т - марковский момент, определяемый как время выхода случайного процесса (уиз трубчатой окрестности М£о. Рассмотрим смещенный случайный процесс (у<дт), остановленный в момент выхода из М£о. По теореме об остановке семимартингалов он также является непрерывным М£о-значным

{ с1у1 = <Ин-\ Уо = ао-

семимартингалом. Обозначим символом ((xt), (z<)) его разложение Ферми и символом («t) - матрицу переноса, соответствующую стохастическому параллельному переносу вдоль семимартингала (xt). Далее, рассмотрим случайный процесс

bt= I u%dbê.

J о

В силу ортогональности матриц щ он является броуновским движением. Обозначим символом (Ц) (соответственно, (6J')) первые m (соответственно, последние к) координат случайного процесса (bt).

JlEMMA 1. Стохастические дифференциалы Ито случайных процессов (xi) до времени остановки т задаются формулами

dxt = ф{хи zt, ut)db't + ~An(yt)dt, dzt = db",

где ф вычисляется в терминах геометрических характеристик многообразия (в диссертации приводится точная формула).

Эта лемма следует из формулы Ито и уравнения стохастического параллельного переноса.

Обозначим символом д меру на пространстве путей в R", соответствующую смещенному случайному процессу (yt) и обозначим символом це вероятностную меру на том же пространстве, являющуюся нормированным ограничением меры (г на пространство С(Ме) путей, не покидающих е-окрестность многообразия вплоть до времени 1

А*1с(м,)

Слабый предел семейства мер (цЕ) при е -»■ 0 (если он существует) называется поверхностной мерой первого типа, соответствующей процессу (yt).

предложение 1. Семейство мер слабо сходится к мере Винера wм, т.е. поверхностная мера (первого типа) смещенного процесса (yt) существует и совпадает с мерой Винера на пространстве путей в многообразии.

Идея доказательства. Заметим, что для всех е < ео выполняется

АЫ|у» е М£ Vs) = £(Ыг)Ыт е М£ Vs) = С{{уш)\г8 € В(е) V.9).

Далее, при условии, что {г8 6 В(е) Уз}, мы имеем |з/4Лт — хД ^ е для всех 4, и, следовательно,

Ит£((илт)|*. € В{е) Ча) = Нт £((*,)!*, 6 В{е) V«),

если один из двух слабых пределов существует.

Согласно лемме 1, до времени г случайный процесс (г() является к-мерным броуновским движением, независимым от ш-мерного броуновского движения, управляющего стохастическим дифференциальным уравнением для случайного процесса (х().

Рассмотрим какое-нибудь вероятностное пространство и определенное на нем п-мерное броуновское движение Далее, рассмотрим на этом вероятностном пространстве семейство случайных процессов (,г£), таких что для каждого е распределение случайного процесса {¡¿¡) совпадает с распределением процесса относительно меры у,е, и все семейство {(г£) : е < £о} независимо от броуновского движения (Ьг). Рассмотрим на этом вероятностном пространстве фильтрацию порожденную \Ьв : 8 < £} и всеми процессами (я£), 0 < < ^ 1. Тогда является п-мерным (^)-броуновским движением, (Ь^) - ш-мерным (^-броуновским движением, и коэффициенты системы стохастических дифференциальных уравнений

где Г - тензор связности, адаптированы. Из оценки < £ следует, что коэффициенты этой системы также ограничены, и, следовательно, система имеет единственное решение [и\, х\) для каждого е. Далее, по лемме 1 для каждого £ распределение случайного процесса (х£) совпадает с распределением случайного процесса (хг) относительно меры це. Кроме того, на выбранном вероятностном пространстве семейство случайных процессов сходится к нулю локально равномерно по вероятности. Затем доказывается, что случайный процесс {и\,х\) сходится локально равномерно по вероятности к случайному процессу являющемуся решением системы стохастических дифференциальных уравнений

и, наконец, что в силу свойств стохастического параллельного переноса второе уравнение системы описывает не что иное, как броуновское движение на

( (1x1 = Ь, + + «?РГ2

5щ 4- гг,(<$х*)и( = о, <1хг = щРоо&ь + §Д1г(г()<Й

многообразии М.

□

В части 3.2 исследуется взаимосвязь семейств W£ и ц£. Она следует из соотношения между исходными мерами W и д, которые, согласно теореме Гирсанова, эквивалентны и

dW Г1 1 f^

РМ = И = ехр J {v(ujt),dut} + - у0 |«(wf)|2díj

Легко видеть, что из-за стохастического интеграла, стоящего в экспоненте, плотность р, вообще говоря, не является ограниченной непрерывной функцией, что делает невозможным прямое использование факта слабой сходимости мер ц£. Далее в части 3.2 строится приближение плотности р непрерывной ограниченной функцией ро, такой, что она аппроксимирует плотность достаточно точно на путях, не выходящих из окрестности М£ до времени 1. Мы называем приближение такого типа 0(е)-приближением.

Определение 3. Пусть £ : C(R") R - измеримая функция. Мы будем говорить, что £ является 0(е), если существует такая константа с > О, что

EJ£IP < (pœ)p для всех р £ N.

Мы будем также говорить, что стохастический дифференциал является О(е) если стохастический интеграл от этого дифференциала от нуля до единицы является 0(е).

ЛЕММА 2. Плотность р представляется в виде

р = роехр(0(е)), где ро - непрерывная ограниченная функция, заданная формулой

ро(Ш) = ехр j-i jf1 R(xt)dt + i jf * ¡И 2(xt)dtj ,

R(a) - скалярная кривизна, а а (а) - вектор трения многообразия M в точке а£М.

Наконец, в части 3.3 доказываются две основные теоремы диссертации.

ТЕОРЕМА 1. Пусть W£ - нормированное ограничение стандартной меры Винера W на пространстве C^QO, 1],КП) путей в Мп на множество путей, не покидающих е-окрестность многообразия M вплоть до времени 1. Тогда семейство We слабо сходится к мере Si, называемой поверхностной мерой первого типа, которая абсолютно непрерывна относительно меры

Винера Wm на пространстве путей в многообразии Сао([0,1], М), а соответствующая плотность Радона-Ншодима задается формулой

dS1 _ ехр /0Х Щин)Л + I /р1 |M8fo)dt}

ехр/0г R(u>t)dt +1/о1 |k||*(a;t)<4

г<?е i?(a) - скалярная кривизна, а а (а) - вектор трения (равный к(а) dimM, где к(а) - вектор средней кривизны) многообразия М в точке а Е М.

Идея доказательства. Слабая сходимость семейства (рд£) к мере AjWm следует из оценки

- EpoWmM < ||Л|1ооЕд,|р - pol + РМро - EWMftpo| О,

где первое слагаемое стремится нулю по свойствам 0(е)-приближения. а второе - вследствие слабой сходимости семейства (ре) к мере Винера W^. Следовательно,

liml= Hm = lim^ =

е-Ю е-Ю Ewlc(M.)

- HmE/ilc(Mt)/tp _limEM«/>fe e-+o Е,Дс(м,) ЕДс^м^р Е-ioE^p

Po

.Ew„Po.

что влечет слабую сходимость и доказывает формулу для плотности. □

5-Ю Еда, 1 e^oE^w^l 6-Ю EwMPo

ТЕОРЕМА 2. Пусть We - распределение броуновского движения (rf) в К" с началом в точке ао и с отражением на границе (?М£ е-окрестности многообразия М. Тогда при s —0 семейство мер слабо сходится к мере Винера wjiî, т.е. поверхностная мера второго типа §2 существует и совпадает с мерой Винера на пространстве путей в многообразии М.

Идея доказательства. Сначала заметим, что для каждого е случайный процесс (rf) является непрерывным семимартингалом, так как он удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению Скорохода23

àr\ = dbt + In(ret)dll

где (bt) - стандартное n-мерное броуновское движение с началом в точке ао, (Ц) - локальное время случайного процесса (rf) на границе а п(у) -

23Base R.F., Uniqueness for the Skorokhod equation with normal reflection in Lipschitz domaine // Electron. J. Probab. 1, No.ll, Paper 11, (1996)

внутренняя нормаль к границе в точке у G дШе. Следовательно, разложение Ферми ((xf), (zf)) процесса (г£) корректно определено. Обозначим символом (uf) матрицу переноса, соответствующую стохастическому параллельному переносу вдоль непрерывного М-значного семимартингала (xf). Так как

dist(a;f, yf) ^ е

для всех t, то достаточно показать, что семейство случайных процессов (xf) сходится локально равномерно по вероятности к броуновскому движению (xi) на многообразии М с началом в точке ао-

Применяя формулу Ито, уравнение Скорохода, геометрические результаты главы 2 и тот факт, что п(у) € N^M для всех у € <9М£о, мы получаем

dxet - ф(хи zt, ut)dbt + ^An(xEt + utprJ1^)dt,

где функция гр вычисляется непосредственно в терминах геометрических характеристик многообразия. Следовательно, случайный процесс (xf, uf) является решением системы стохастических дифференциальных уравнений

dx? - ф(хи zt, ut)dbt + + utpr21z$)dt,

^ = oo,

коэффициенты которой сходятся к коэффициентам системы стохастических дифференциальных уравнений

' 5щ + Гit(Sxt)üt = О, dxt ~ PSldbt + ¿Air(xt)dt, ' щ = 1, х0 = ао,

второе уравнение которой описывает броуновское движение на М. □

В четвертой главе рассматриваются два частных случая общей задачи, рассмотренной в предыдущей главе. В первом из них за счет дополнительных предположений оказывается возможным исследование предельного поведения поверхностных мер при увеличении интервала времени до бесконечности, а во втором результаты и доказательства диссертации получают наглядную геометрическую интерпретацию.

Первый частный случай рассматривается в части 5.1 и заключается в том, что многообразие М С М" предполагается одномерным, но вместо интервала времени [0,1] рассматривается интервал [О, Т\ для произвольного Т > 0.

Поверхностные меры Sf и S2 определяются аналогично тому, как это сделано в 1 и 2, и для них выполняются теоремы, получаемые из теорем 1 и 2 путем замены 1 на Т. А именно, поверхностная мера первого типа Sf эквивалентна мере Винера W^ на пространстве Сао([0,7'], М), и ее плотность РадонагНикодима задается формулой

JwtH = =-Где v(x) = \к2{х),

oWm Ewr exp /0 v{ujt)dt 8

и к - кривизна кривой М, а поверхностная мера второго типа Sj совпадает с Wlf. Таким образом, вопрос о предельном поведении поверхностных мер при Т оо тривиален в случае поверхностных мер второго типа, и далее в этой части вопрос сходимости при Т —> оо изучается только для поверхностных мер Sf.

Для каждого Т > О обозначим символом (yf),t < Т случайный процесс, соответствующий поверхностной мере Sf.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Для каждого Т > О случайный процесс [yj) является неоднородным марковским процессом до времени Т, а его переходная плотность задается формулой

^(s, t, х, у) = pv{t - s, х, gj.

где и - решение уравнения теплопроводности с потенциалом

dtu = ^-Аи + г; и £t

с начальным условием tt(0, х) — 1, apv(•, ■, у) - решение того же уравнения not и х для каждого у, такое, что pv(t, х, y)dy —> 5Z при t —¥ 0 для каждого х.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Для каждого Т случайный процесс (yf),t < Т является решением стохастического дифференциального уравнения

dyf = din + (V logи)(Т - t, yf)dt

с начальным условием = olq.

Пусть с - такое (однозначно определенное) собственное значение оператора |А -(- v, что соответствующая ему собственная функция <р положительна.

ТЕОРЕМА 3. Семейство поверхностных мер ) при Т оо слабо сходится к закону распределения броуновского движения со сносом (yt), которое является решением стохастического дифференциального уравнения

dyt = dbt + V log <p(yt)dt

с начальным условием уо = oq.

Переходная плотность предельного случайного процесса (yt) (являющегося однородным марковским) задается формулой р е<* фу

В части 4.2 рассматривается многообразие М произвольной размерности, но предполагается, что нормальное расслоение вложения М в R" плоско. Это условие всегда выполнено, когда размерность или коразмерность М равна 1 (в частности, это верно для любых вложений в К2 и R3).

Назовем m-мерное многообразие N С М^ параллельным к М, если TyN = Тф)М для каждого у € N.

ЛЕММА 3. Следующие два условия эквивалентны:

1) Для каждого а € Мео существует многообразие Ма, параллельное к М и проходящее через точку а.

2) Нормальное расслоение вложения многообразия М в Rn плоско.

Пусть а € МЕо; обозначим символом NaM нормальное пространство

^(РАЦПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть и : М£о —у R - дважды дифференцируемая функция и пусть а € Мео. Тогда

(Ди)(а) =[Ам„и + AjvaMu](a) + т{к, Vu)(a),

где Ама - оператор Бельтрами-Лапласа, соответствующий многообразию Ма, Ддг.м ~ оператор Лапласа в пространстве NaM, а к(а) - вектор средней кривизны многообразия Ма в точке а.

Это предложение отражает геометрический смысл всех построений, использованных для доказательства основной теоремы 1. А именно, смещенный случайный процесс в случае плоского нормального расслоения есть не что иное, как процесс с генератором ^ [АМа + Ддгом]> а векторное поле сноса равно тк. Это делает интуитивно ясным тот факт, что поверхностная мера первого типа, соответствующая смещенному случайному процессу, совпадает с мерой Винера Wji/, а плотность относительно нее поверхностной меры первого типа, соответствующей броуновскому движению, может быть найдена с помощью теоремы Гирсанова.

В пятой главе рассматриваются два обобщения основных результатов диссертации: на случай диффузионного процесса вместо броуновского движения и на случай многообразий с особенностями вместо гладких многообразий.

В части 5.1 рассматривается простейшее обобщение двумерного броуновского движения. А именно, рассматривается случайный процесс (ц) в К2, такой что его компоненты являются независимыми рескалированными броуновскими движениями с началом в нуле с различными дисперсиями а\ ф При этом в качестве многообразия берется прямая в К2, проходящая через начало координат под углом а £ (—т/2, ж/2) к оси абсцисс.

Обозначим символом (с£) процесс, получаемый из (с() с помощью отражения на границе е-окрестности Ме. Далее, определим поверхностные меры первого и вторго типа аналогично тому, как это делалось для броуновского движения:

где £(■) £(-|-) обозначает распределение и условное распределение соответствующего случайного процесса.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Мера §1 является законом распределения рескалирован-ного броуновского движения на М с началом в нуле и с дисперсией

Предложение 6. Мера является законом распределения рескалирован-ного броуновского движения на М с началом в нуле и с дисперсией

В части 5.2 в качестве процесса, порождающего поверхностную меру, рассматривается стандартное броуновское движение на М2, но в качестве многообразия М берется замкнутая кривая в Ж2 с одной особой точкой (в начале координат), содержащая множество Мо = {(ж, у) £ К2 : у = |г|,|х| < 2}. Обозначим М\ = М\Мо.

Пусть ¡р : [—2,2] —> К — гладкая четная функция, монотонно убывающая на [—2,0] и монотонно возрастающая на [0,2], такая что <р(х) = \х\ при 1 ^ |ж| ^ 2 и <р(х) > |г| для х € (-1,1). Пусть, далее,

Si = (слабый) lim£ (с|с, € МeVs € [0,1]) §2 = (слабый) limjC (сг),

<Tl<T2

у/ sin2 (а) + <у\ eos2 (а)

при х £ [-е, е] иначе

и пусть

М? = {(х,у) е R2 : у = ^(х), |х| < 2}.

Тогда МЕ = U М1 определяет семейство гладких многообразий, аппроксимирующих многообразие М при е -> 0. Для каждого е > 0 многообразие Ме является компактным римановым многообразием, вложенным в R2, и, следовательно, по теореме 1 существует поверхностная мера первого типа % на пространстве С(хд)([0,1], М£), порожденная двумерным броуновским движением с началом в точке (1,1). Возникает естественный вопрос: будет ли семейство т)е слабо сходиться, и если да, то какими свойствами должна обладать предельная мера.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7. Предположим, что слабый предел г] семейства Т)£ существует. Тогда с r¡-вероятностью 1 предельный процесс приходит в начало координат до момента времени 1. Говоря формально,

г){ш € C(R2) : 3t G [0,1] т.ч. uit = (0,0)} = 1.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору О. Г. Смолянову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Список публикаций по теме диссертации

[1] Сидорова H.A., Броуновское движение во вложенном многообразии как предел броуновских движений с отражением в его трубчатых окрестностях // Матем. заметки, т.73, в.6, 947-950 (2003)

[2] Сидорова H.A., Сходимость поверхностных мер // Сборник конференции молодых ученых, МГУ, 153-155 (2003)

[3] Сидорова H.A., Предельное поведение поверхностных мер на пространствах траекторий // Матем. заметки, т.76, в.2, 258-263 (2004)

[4] Sidorova N.A., The Smolyanov surface measure on trajectories in a Riemannian manifold // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, Vol. 7, No. 3, 461-471 (2004)

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¡00 экз. Заказ № 3

S40£

H-51

/

1 Введение

1.1 Мотивировка и основные результаты.

1.2 Структура работы и дальнейшие результаты.

1.3 Терминология и обозначения.

1.4 Основные идеи доказательств.

1.4.1 Поверхностная мера Si: случай плоского нормального расслоения

1.4.2 Поверхностная мера Si: общий случай.И

1.4.3 Поверхностная мера S

1.4.4 Сходимость поверхностных мер на бесконечности

2 Геометрия трубчатых окрестностей

2.1 Геометрические инварианты многообразия в специальных системах координат.

2.1.1 Специальные системы координат.

2.1.2 Производная проекции 7Г

2.1.3 Производная проектора Р.

2.1.4 Вторая фундаментальная форма в специальных координатах

2.1.5 Кривизна и поле трения в специальных координатах

2.2 Векторное поле сноса.

2.2.1 Две естественные меры на трубчатой окрестности

2.2.2 Поле сноса: определение и свойства.

2.3 Разложение Ферми непрерывных семимартингалов

2.3.1 Стохастический параллельный перенос.

2.3.2 Разложение Ферми непрерывных М£о-значных семимартингалов

3 Поверхностные меры

3.1 Смещенный случайный процесс (yt).

3.1.1 Определение и свойства.

3.1.2 Поверхностная мера смещенного процесса.

3.2 Соотношение между мерами W и /л.

3.2.1 Эквивалентность мер W и Плотность.

3.2.2 О (^-приближение.

3.2.3 Приближение плотности dM/dy.

3.3 Основные результаты

3.3.1 Поверхностная мера первого типа.

3.3.2 Поверхностная мера второго типа.

4 Два частных случая

4.1 Одномерные многообразия.

4.1.1 Поверхностные меры для произвольных интервалов времени [0, Т].

4.1.2 Сходимость при Т —»• оо.

4.2 Случай плоского нормального расслоения.

4.2.1 Параллельные многообразия.

4.2.2 Разложение оператора Лапласа.

5 Дополнение

5.1 Введение в поверхностные меры, порожденные диффузионными процессами.

5.2 Введение в поверхностные меры на негладких многообразиях

Список обозначений

1.1 Мотивировка и основные результаты

Изучение поверхностных мер на бесконечномерных пространствах играет важную роль как в теории меры и функциональном анализе, так и в теории случайных процессов. Понятие поверхностной меры является естественным обобщением понятия меры Лебега на поверхности в R": по мере ц на бесконечномерном пространстве X строится мера /2s, сосредоточенная на достаточно гладкой поверхности S в X, которая находится в том же соответствии с исходной мерой ц, что и мера Лебега на поверхности в Rn с обычной мерой Лебега в Rn. Такая мера называется поверхностной мерой на S, порожденной мерой \i в объемлющем пространстве.

Существуют различные способы определения поверхностных мер, порождаемых достаточно гладкими мерами на бесконечномерных пространствах. Первый был предложен А.В. Скороходом ([4]) и затем развит А.В. Углановым ([6]). Затем П. Малявэном ([10]) был предложен другой - альтернативный - способ определения поверхностных мер.

Оба этих подхода обладают общим недостатком - они определяют поверхностные меры только в случае, когда поверхность обладает конечной коразмерностью.

В данной работе изучается случай поверхностей бесконечной коразмерности. В качестве объемлющего пространства рассматривается пространство непрерывных функций Сао([0, l],Rn) со значениями в Rn, равных фиксированному значению oq в нуле. Затем фиксируется гладкое компактное т-мерное риманово многообразие М С Rn без края, содержащее точку ао, и в качестве поверхности в объемлющем пространстве рассматривается пространство непрерывных функций Сао([0,1], М) С Сао{[0, l],Rn) со значениями в многообразии. Наконец, в качестве исходной меры на объемлющем пространстве рассматривается мера Винера W, соответствующая стандартному n-мерному броуновскому движению с началом в точке ао- В этом случае существует (как минимум) два естественных способа определить поверхностную меру на Сао([0,1], М), порожденную мерой Винера W. Оба этих способа были предложены О.Г. Смоляновым ([5]), поэтому такие меры также называются поверхностными мерами Смолянова.

Пусть М£ - трубчатая окрестность многообразия М, состоящая из всех таких точек объемлющего пространства Rn, что расстояние от них до многообразия не превышает е, т.е.

М£ = {аеГ: dist(a, М) ^ е}, где символом dist обозначена обычная евклидова метрика в Мп.

Далее, пусть (bt) - стандартное n-мерное броуновское движение с началом в точке ао. Обозначим символом W£ вероятностную меру на пространстве Cao([0, 1],R") (сосредоточенную на Сао([0,1],Ме)), являющуюся условным распределением случайного процесса (bt) при условии, что его траектория не покидает трубчатую е-окрестность многообразия М, т.е. w wk0([Q,i],Me) £ W(Cao([0,l],M£))'

Определение 1. Мера Si на пространстве Cao([0,1], М), определяемая как слабый предел

Si = (слабый) limWg, называется поверхностной мерой первого типа (или поверхностной мерой, соответствующей условным броуновским движениям).

Основным результатом данной работы является теорема 1, в которой доказывается, что поверхностная мера первого типа Si существует, эквивалентна мере Винера Wм на пространстве Cao([0,1], М), соответствующей броуновскому движению на многообразии М, а ее плотность Радона-Никодима задается формулой dSi , х ехР fo R{ut)dt 4-1 /q ||сг||2(а;г)^|

Шм ~ EwM ехР{-1 £ R(ujt)dt +1 f0lM*(ut)dt}' где R(a) - скалярная кривизна, а а (а) - вектор трения (равный (dim М)к(а), где к(а) - вектор средней кривизны) многообразия М в точке а 6 М.

Неожиданным следствием этой теоремы является тот факт, что поверхностная мера Si совпадает с поверхностной мерой, описанной в [27], которая определяется следующим образом: для каждого разбиения интервала времени Р : 0 = to < ti • • • < tn = 1 рассматривается условное распределение броуновского движения в Rn при условии, что в моменты времени ti оно принимает значения в многообразии М (т.е. в некотором смысле рассматривается совокупность броуновских мостов), и затем диаметр разбиения устремляется к нулю.

Замечательно также и то, что именно такой геометрический потенциал, как в формуле (1.1), появляется при изучении квантово-механических голо-номных связей в [21, стр. 500].

Вторым естественным определением поверхностной меры на пространстве Сао([0,1], М), соответствующей броуновскому движению в объемлющем пространстве, является следующее. Пусть (:rf) - броуновское движение вГ с началом в точке do и с отражением на границе дМ£ трубчатой е-окрестности. Обозначим закон распределения случайного процесса (rf) символом Wg.

Определение 2. Мера §2 на пространстве Сао([0,1], М), определяемая как слабый предел

S2 = (слабый) limW£, £—►0 называется поверхностной мерой второго типа (или поверхностной мерой, соответствующей броуновским движениям с отражением).

В теореме 2, являющейся вторым главным результатом работы, доказывается, что поверхностная мера §2 существует и совпадает с винеровской мерой Wм

Заметим, что оба этих результата могут быть интерпретированы как новые способы построения меры Винера на многообразии. Согласно теореме 2, винеровская мера Wм может быть построена как предел броуновских движений с отражением в объемлющем пространстве. Кроме того, если обозначить символом ip какое-нибудь (отделенное от нуля, непрерывное и ограниченное) продолжение плотности Радона-Никодима (1.1) на пространство Сао([0,1],ЕГ), то, согласно теореме 1, мера Винера Wм может быть определена как предел мер при е —> 0.

Заметим, что аналогичные определения поверхностных мер могут быть даны для произвольного интервала времени [0,Т] вместо интервала [0,1]. В случае произвольного Т будут выполняться теоремы, аналогичные теоремам 1 и 2 с той лишь разницей, что интегрирование в формуле для плотности поверхностной меры первого типа будет производиться от 0 до Т. Таким образом, возникает естественный вопрос о предельном поведении поверхностных мер при Т —> сю (в'смысле слабой сходимости). Для поверхностных мер второго типа ответ (как и сам вопрос) тривиален: предельной мерой является мера Винера на пространстве Сао([0,оо), М). Предельное поведение поверхностных мер первого типа описывается в теореме 3 для случая компактных одномерных многообразий (т.е. замкнутых кривых без самопересечений) в Rn. Доказывается, что предельная мера является законом распределения броуновского движения со сносом (не зависящим от времени), удовлетворяющего стохастическому дифференциальному уравнению dyt = dbt + V log (p{yt)dt с начальным условием уо = ао, где ip - определенная однозначно с точностью до мультипликативной константы положительная собственная функция оператора м + а к обозначает (среднюю) кривизну кривой М.

1. Вентцель А.Д., Курс теории случайных процессов // второе издание, Наука, Москва (1996)

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа // Москва, Мир (1989)

3. Пугачев О.В., Поверхностные меры на бесконечномерных пространствах // Матем. заметки, т. 63, в. 1 (1998)

4. Скороход А.В., Интегрирование в гильбертовых пространствах // Наука, Москва (1974)

5. Смолянов О.Г., Гладкие меры на группах петель // ДАН, т. 345, 4, 455-458 (1995).

6. Угланов А.В., Поверхностные интегралы в банаховых пространствах /1 Матем. сборник, т. 110, в. 2, 189-217 (1979)

7. Уорнер Ф.В. Основы гладких многообразий и групп Ли // Москва, Мир (1987), пер. с англ. Warner F.W., Foundations of differentiable manifolds and Lie groups // Glenview Illinois-London, Scott, Foresman & Сотр. (1971)

8. Хасьминский P.3., Эргодические свойства возвратных диффузионных процессов и стабилизация решений параболических уравнений // Теория вероятн. и ее прим. 5, N.2, 179-196 (1960)

9. Airault H., Malliavin P., Integration geometrique sur I'espace de Wiener // Bull. Sci. Math. (2), 112, 3-52 (1988)

10. Bass R.F., Uniqueness for the Skorokhod equation with normal reflection in Lipschitz domains // Electron. J. Probab. 1, No.11, Paper 11, (1996).

11. Berg M. van den, Lewis J.T., Brownian motion on a hypersurface // Bull. Lond. Math. Soc. 17, 144-150 (1985).

12. Bogachev V.I., Smooth measures, the Malliavin calculus and approximations in infinite-dimensional spaces // Acta Univ. Carolin. Math. Phys., 31, No. 2, 9-23 (1990)

13. Carmo M.P.do, Riemannian geometry ]/ translated from the Portuguese, Mathematics, Theory & Applications. Boston, MA etc.: Birkhauser. (1992)

14. Driver В., A Primer on Riemannian Geometry and Stochastic Analysis on Path Spaces // http://math.ucsd.edu/ ~ driver/driver/preprints.html, University of California, San Diego.

15. Eells J., Lemaire L., Selected topics in harmonic maps // Reg. Conf. Ser. Math. 50, Amer. Math. Soc., Providence, R.I. (1983).

16. Elworthy K.D., Stochastic differential equations on manifolds // Cambrige University Press, Cambrige (1982)

17. Gray A., Tubes // Redwood City, CA etc.: Addison-Wesley Publishing Company(1990)

18. Jost J., Riemannian geometry and geometric analysis // 2nd Edition, Universitext, Berlin, Springer (1998)

19. Freidlin M.I., Wentzell A.D., Diffusion processes on graphs and the averaging principle // Ann. Probab. 21, No.4, 2215-2245 (1993)

20. Froese R., Herbst I., Realizing holonomic constraints in classical and quantum mechanics // Comm. Math. Phys. 220, 489-535 (2001)

21. Karatzas I., Shreve S.E., Brownian motion and stochastic calculus // 2nd Edition, Springer, New York (1991)

22. Lewis J.T., Brownian motion on a submanifold of Euclidean space // Bull. Lond. Math. Soc. 18, 616-620 (1986).

23. Pinsky R.G., Second order elliptic operators with periodic coefficients: criticality theory, perturbations, and positive harmonic functions // J. Funct. Anal. 129, 80-107 (1995)

24. Revuz D., Yor M., Continuous martingales and Brownian motion // 2nd edittion, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Berlin, Springer-Verlag (1994)

25. Rogers L.C.G., Williams D., Diffusions, Markov processes, and Martingales, Volume 2: ltd calculus // John Wiley к Sons, New York (1987)

26. Smolyanov O.G., Weizsacker H.v., Wittich 0., Brownian motion on a manifold as limit of stepwise conditioned standard Brownian motions // Can. Math. Soc. Conference Proceedings, Volume in honour of S. Albeverio's 60th birthday 29, 589-602 (2000)

27. Stroock D.W., Varadhan S.R.S., Multidimensional diffusion processes // Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Berlin, Heidelberg, New York, Springer-Verlag (1979)

28. Weizsacker H.v., Winkler G. Stochastic integrals, An introduction // Friedrich Vieweg, Advanced Lectures in Mathematics (1990)

29. Сидорова H.A., Броуновское движение во вложенном многообразии как предел броуновских движений с отражением в его трубчатых окрестностях // Матем. заметки, т.73, в.6, 947-950 (2003)

30. Сидорова Н.А., Сходимость поверхностных мер Смолянова // Сборник конференции молодых ученых, МГУ, 153-155 (2003)

31. Сидорова Н.А., Предельное поведение поверхностных мер на пространствах траекторий // Матем. заметки, т.76, в.2, 258-263 (2004)